初高中衔接型数学试题(4)及参考答案

初高中衔接型数学试题（4）及参考答案

1、阅读下面材料：

在计算3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21时,我们发现,从第一个数开始,以后的每个数与它的前一个数的差都是一个相同的定值。具有这种规律的一列数,除了直接相加外,我们还可

以用公式()d n n na S ⨯-+

=2

1计算它们的和。

（公式中的n 表示数的个数,a 表示第一个数的值,d 表示这个相差的定值） 那么3+5+7+9+11+13+15+17+19+21=()12022

2

11010310=⨯-+⨯

用上面的知识解决下列问题：

为保护长江,减少水土流失,我市某县决定对原有的坡荒地进行退耕还林。从1995年起在坡荒地上植树造林,以后每年又以比上一年多植相同面积的树木改造坡荒地,由于每年因自然灾害、树木成活率、人为因素等的影响,都有相同数量的新坡荒地产生,下表为1995、1996、1997年的坡荒地面积和植树的面积的统计数据。假设坡荒地全部种上树后,不再水上流失形成新的坡荒地,问到哪一年,可以将全县所有的坡荒地全部种上树木。

设n S +⋅⋅⋅+++=321①

则1)2()1(+⋅⋅⋅+-+-+=n n n S ②

①＋②得)1()1()1()1(2+=++⋅⋅⋅++++=n n n n n S 所以

2)1(+=

n n S

（1）利用上述方法或结论证明：

2)1()12(531+=++⋅⋅⋅+++n n （2）若361531=+⋅⋅⋅+++x ,求x 。

2、先阅读下面的材料,再解答下面的问题.

在平面直角坐标系中,有A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）两点,A 、B 两点间的距离用AB 表示,则有：

AB =

()()221221y y x x -+-,下面我们来证明这个公式：

证明：如图5（1）,过A 点作x 轴的垂线,垂足为C,则C 点的横坐标为x 1,过B 点作x 轴的垂线,垂足为D,则D 点的横坐标为x 2,过A 点作BD 的垂线,垂足为E,则E 点的横坐标为x 2,纵坐标为y 1.

∴∣AE ∣=∣CD ∣=∣x 1－x 2∣

∣BE ∣=∣BD ∣－∣DE ∣=∣y 2－y 1∣=∣y 1－y 2∣ 在Rt △AEB 中,由勾股定理得

∣AB ∣2=∣AE ∣2+∣BE ∣2=∣x 1－x 2∣2+∣y 1－y 2∣2 ∴AB =

()()221221y y x x -+-（因为∣AB ∣表示线段长,为非负数）

注：当A 、B 在其它象限时,同理可证上述公式成立.

（1） 在平面直角坐标系中有P （－1,2）、Q （2,－3）两点,求∣PQ ∣；

（2） 如图5（2）,直线L 1与L 2相交于点C （4,6）,L 1、L 2与x 轴分别交于B 、A 两点,其

坐标为B （8,0）、A （1,0）,直线L 3平行于x 轴,与L 1、L 2分别相交于E 、D 两点,且∣DE ∣=

6

7

,求线段DA 的长. 记两个函数的解析式分别为)(x f y =和)(x g y =,A 与B 为不同时为0且A ＋B ≠0的两个实数, 称函数B

A x Bg x Af x h ++=

)

()()(为由函数)(x f 与函数)(x g 生成的函数。请举例说明由函数)(x f 与

函数)(x g 生成的函数)(x h 与涵数)(x f 与函数)(x g 之间一个关系。

3、如图,已知边长为2的正三角形ABC 沿着直线l 滚动。（1）当△ABC 滚动一周到△A 1B 1C 1的

位置,此时A点运动的路程为；约为；（精确到0.1,л=3.14…）；（2）设△ABC滚动240°时,C 点的位置为C’,△ABC滚动480°时,A点的位置为A’。请你利用三角函数中正切的两角和公式tan（α+β）=（tanα+ tanβ）÷（1-tanα·tanβ）,求出∠CAC’+∠CAA’的度数。

参考答案

1、解法一：从表中可知,1995年植树1000公顷,以后每年均比上一年多植树400公顷．1995年实有坡荒地25200公顷．种树1400公顷后,实有坡荒地只减少丁25200—24000＝1200（公顷）,因此,每年新产生的坡荒地为200公顷,即树木实际存活1200公顷．设从1996年起（1996年算第1年）,n 年全县的坡荒地全部植树,有1400n ＋

2

)

1(+n n ×400—200n ≥25200．即：n 2＋5n ≥126．估算：当n ＝8时,82＋5×8＝104≤126．当n ＝9时,92＋5×9＝126．故到2004年,可将全县所有的坡荒地全部种上树木．

解法二：从表中可知,1995年实有坡荒地25200公顷,1996年减少1200公顷,以后每年均比上一年多减少400公顷．设第n 年的减少为0,则25200－（1200n ＋

2

)

1(-n n ×400）≤0．即126－（n 2＋5n ）≤0．当n ＝9时,126—8l －45＝0．故到2004年可将全县所有的坡荒地全部种上树木．

解法三：从表中可知：1996年荒地实际面积减少1200公顷,以后每年均比上一年多减少400公顷．

列表：

从表中可知,到2004年,可将全县所有的坡荒地全部种上树木．

（题29是一道新颖独特的阅读题,它的基本形式可归纳为：“阅读——理解——应用”,解题时应抓住三点：（1）读：读懂材料,读懂表格；（2）用：把阅读材料提供的结论正确地套用于解题中；

（3）活：指解题时的计算,对n

2＋5n ≥126这样的不等式,用估算法求年数n ．） 2、解：（1）

PQ

=

=（2）∵直线L 3平行于x 轴 ∴DE ：AB=CD ：AC 而∣DE ∣=

6

7

,∣AC ∣==∣AB ∣=7

∴CD=7

672

⨯=

,∴DA=AC 一CD=-=。线段DA 。