选修2-1数学椭圆综合知识点+大量例题
人教版 高中数学【选修 2-1】2.2.1椭圆及其标准方程课后习题
人教版高中数学精品资料2.2.1 椭圆及其标准方程课时演练·促提升A组1.若F1,F2是两个定点,且|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则点M的轨迹是()A.椭圆B.直线C.圆D.线段解析:由椭圆定义知,点M的轨迹是椭圆.答案:A2.“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:方程可化为=1,表示焦点在y轴上的椭圆时,应满足>0,即m>n>0.所以是充要条件.答案:C3.设P是椭圆=1上一点,P到两焦点F1,F2的距离之差为2,则△PF1F2是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形解析:由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=8.又|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=5,|PF2|=3.又|F1F2|=2c=2=4,∴|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,∴△PF1F2为直角三角形.答案:B4.已知椭圆的焦点坐标为(0,-1),(0,1),且过点,则椭圆方程为()A.=1B.=1C.+y2=1D.+x2=1解析:由已知椭圆焦点在y轴上,设方程为=1(a>b>0).则2a==4,故a=2.又c=1,则b2=a2-c2=3,故椭圆方程为=1.答案:B5.已知椭圆的焦点是F1,F2,P是椭圆上的一动点,如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹是()A.圆B.椭圆C.直线D.抛物线解析:由题意,得|PF1|+|PF2|=2a(a>0是常数).∵|PQ|=|PF2|,∴|PF1|+|PQ|=2a,即|QF1|=2a,∴动点Q的轨迹是以F1为圆心,2a为半径的圆,故选A.答案:A6.若方程=1表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围是.解析:将方程化为=1,依题意,得8>2-m>0,解得-6<m<2.答案:-6<m<27.若椭圆=1的焦距为6,则k的值为.解析:由已知,得2c=6,∴c=3,∴c2=9,∴20-k=9或k-20=9,∴k=11或k=29.答案:11或298.若椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为2,则此椭圆的标准方程为.解析:由已知,得2a=8,2c=2,∴a=4,c=,∴b2=a2-c2=16-15=1,故椭圆的标准方程为+x2=1.答案:+x2=19.已知椭圆=1(a>b>0)的焦点分别是F1(0,-1),F2(0,1),且3a2=4b2.(1)求椭圆的方程;(2)设点P在这个椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求∠F1PF2的余弦值.解:(1)依题意知c=1,又c2=a2-b2,且3a2=4b2,所以a2-a2=1,即a2=1.所以a2=4.因此b2=3.从而椭圆方程为=1.(2)因为点P在椭圆上,所以|PF1|+|PF2|=2a=2×2=4.又|PF1|-|PF2|=1,所以|PF1|=,|PF2|=.又|F1F2|=2c=2,所以由余弦定理,得cos ∠F1PF2==.即∠F1PF2的余弦值等于.10.已知圆A:x2+(y+6)2=400,圆A内有一定点B(0,6),动圆C过点B且与圆A内切,求动圆圆心C的轨迹方程.解:设动圆C的半径为r,则|CB|=r.因为圆C与圆A内切,所以|CA|=20-r,所以|CA|+|CB|=20>12,所以点C的轨迹是以A,B两点为焦点的椭圆.因为2a=20,2c=|AB|=12,所以a=10,c=6,b2=64.因为点A,B在y轴上,所以点C的轨迹方程为=1.B组1.已知F1,F2是椭圆=1的两个焦点,P是椭圆上一点,且|PF1|∶|PF2|=4∶3,则三角形PF1F2的面积等于()A.24B.26C.22D.24解析:因为a2=49,所以|PF1|+|PF2|=2a=14.又|PF1|∶|PF2|=4∶3,所以|PF1|=8,|PF2|=6.又因为|F1F2|=2c=2=10,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以PF1⊥PF2.故△PF1F2的面积S=|PF1|·|PF2|=×8×6=24.答案:A2.设F1,F2是椭圆C:=1的焦点,在曲线C上满足=0的点P的个数为()A.0B.2C.3D.4解析:∵=0,∴PF1⊥PF2.∴点P为以线段F1F2为直径的圆与椭圆的交点,且此圆的半径为c==2.∵b=2,∴点P为该椭圆y轴的两个端点.答案:B3.F1,F2分别为椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形,则b2的值是.解析:∵|OF2|=c,∴由已知得,∴c2=4,c=2.设点P的坐标为(x0,y0),由△POF2为正三角形,∴|x0|=1,|y0|=,代入椭圆方程得=1.∵a2=b2+4,∴b2+3(b2+4)=b2(b2+4),即b4=12,∴b2=2.答案:24.已知圆C:(x+1)2+y2=25及点A(1,0),Q为圆上一点,AQ的垂直平分线交CQ于点M,求点M的轨迹方程.解:如图,M是AQ的垂直平分线与CQ的交点,连接MA,则|MQ|=|MA|,∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,且|AC|=2,∴动点M的轨迹是椭圆,且其焦点为C,A.易知2a=5,2c=2,∴a=,c=1,∴b2=a2-c2=-1=,故动点M的轨迹方程为=1.5.已知椭圆的焦点在x轴上,且焦距为4,P为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项.(1)求椭圆的方程;(2)若△PF1F2的面积为2,求点P坐标.解:(1)由题意知,2c=4,c=2,|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8,即2a=8,∴a=4.∴b2=a2-c2=16-4=12.∵椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆的方程为=1.(2)设点P坐标为(x0,y0),依题意知,|F1F2||y0|=2,∴|y0|=,y0=±.代入椭圆方程=1,得x0=±2,∴点P坐标为(2)或(2,-)或(-2)或(-2,-).6.已知P是椭圆+y2=1上的一点,F1,F2是椭圆上的两个焦点.(1)当∠F1PF2=60°时,求△F1PF2的面积;(2)当∠F1PF2为钝角时,求点P横坐标的取值范围.解:(1)由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=4且F1(-,0),F2(,0).①在△F1PF2中,由余弦定理,得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°.②由①②得|PF1|·|PF2|=.所以|PF1||PF2|·sin ∠F1PF2=.(2)设点P(x,y),由已知∠F1PF2为钝角,得<0,即(x+,y)·(x-,y)<0.又y2=1-,所以x2<2,解得-<x<.所以点P横坐标的范围是。
选修2-1 椭圆(新授总结复习)
2,1 .
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）若斜率为 2 的直线与椭圆 C 交于 A ， B 两点，且 AB 2 ，求该直线的方程.
7
7、在平面直角坐标系
xOy 中，已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的焦距为
2，离心率为
2 ，椭圆的右顶点为 A ． 2
（1）求该椭圆的方程；
（2）过点 D( 2, 2) 作直线 PQ 交椭圆于两个不同点 P ， Q ，求证：直线 AP ， AQ 的斜率之和为定值．
（1）相交： 0 ，直线与椭圆有两个交点； （2）相切： 0 ，直线与椭圆有一个交点； （3）相离： 0 ，直线与椭圆无交点；
弦长公式：若直线 l :
y
kx
m
与椭圆
x a
2 2
y2 b2
1(a b
0) 相交于 P,Q 两点，求弦长| PQ | 的步骤：
设 P(x1, y1),Q(x2, y2 ) ，联立方程组（将直线方程代入椭圆方程）：
A，B
两
点，若 AB 的中点为 M (1, 1) ，则椭圆 E 的方程为（
）
A. x2 y2 1 45 36
B. x2 y2 1 36 27
C. x2 y2 1 27 18
D. x2 y2 1 18 9
5
四、直线与椭圆的位置关系 联立直线与椭圆方程，消参数，得关于 x 或 y 的一个一元二次方程；
A． x 2 ＋ y 2 ＝1 B． x 2 ＋ y 2 ＝1
16 9
16 12
C． x 2 ＋ y 2 ＝1 D． x 2 ＋ y 2 ＝1
43
34
9、椭圆
x2 4
高中数学选修(2-1)椭圆基础、提高、综合篇
椭圆及其标准方程基础卷一、选择题：1、椭圆2211625x y +=的焦点坐标为（ ） （A ）(0, ±3) （B ）(±3, 0) （C ）(0, ±5) （D ）(±4, 0)2、在方程22110064x y +=中，下列a , b , c 全部正确的一项是（ ） （A ）a =100, b =64, c =36 （B ）a =10, b =6, c =8 （C ）a =10, b =8, c =6 （D ）a =100, c =64, b =36 3、已知a =4, b =1，焦点在x 轴上的椭圆方程是（ ）（A ）2214x y += （B ）2214y x += （C ）22116x y += （D ）22116y x += 4、已知焦点坐标为(0, －4), (0, 4)，且a =6的椭圆方程是（ ）（A ）2213620x y += （B ）2212036x y += （C ）2213616x y += （D ）2211636x y += 5、若椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是（ ） （A ）4 （B ）194 （C ）94 （D ）146、已知F 1, F 2是定点，| F 1 F 2|=8, 动点M 满足|M F 1|+|M F 2|=8，则点M 的轨迹是（ ） （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段 二、填空题：7、若y 2－lga ·x 2=31－a 表示焦点在x 轴上的椭圆，则a 的取值范围是 . 8、当a +b =10, c =25时的椭圆的标准方程是 .9、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ’，则线段PP ’的中点M 的轨迹方程为 .10、经过点M (3, －2), N (－23, 1)的椭圆的标准方程是 .11、椭圆的两焦点为F 1(－4, 0), F 2(4, 0)，点P 在椭圆上，已知△PF 1F 2的面积的最大值为12，求此椭圆的方程。
人教A版高二数学选修2-1第二章第二节 椭圆 经典例题汇总
For personal use only in study and research; not for commercial use椭圆经典例题分类汇总1.椭圆第一定义的应用例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ，椭圆的标准方程为：11422=+y x ； （2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ，椭圆的标准方程为：116422=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由21=e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12．由21=e ，得4191=-k ，即45-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ．说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．例3 已知方程13522-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ，且4≠k ．∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ，且4≠k ．说明：本题易出现如下错解：由⎩⎨⎧<-<-,03,05k k 得53<<k ，故k 的取值范围是53<<k ．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆． 例4 已知1c o s s i n 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围． 分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围．解：方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x ．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1cos 1>>-αα． 因此0sin >α且1tan -<α从而)43,2(ππα∈．说明：(1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α，0cos 1>-α，这是容易忽视的地方． (2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，αsin 12=b ． (3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件πα<≤0例5 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径，即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程：171622=+y x ． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．2.焦半径及焦三角的应用例1 已知椭圆13422=+y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得2=a ，3=b ，∴1=c ，21=e ．∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=． 又由焦半径公式知：111212x ex a MF -=-=，112212x ex a MF +=+=． ∵212MF MF MN⋅=，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x ．整理得048325121=++x x ．解之得41-=x 或5121-=x ． ① 另一方面221≤≤-x ． ② 则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在．例2 已知椭圆方程()012222>>=+b a by a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用C ab S sin 21=∆求面积． 解：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限．由余弦定理知： 221F F 2221PF PF +=12PF -·224cos c PF =α．①由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ②，则－①②2得 αcos 12221+=⋅b PF PF． 故αsin 212121PF PF S PF F ⋅=∆ ααsin cos 12212+=b 2tan 2αb =． 3.第二定义应用例1 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ，过点()31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．分析：本题的关键是求出离心率21=e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求MF eAM 1+均可用此法．解：由已知：4=a ，2=c ．所以21=e ，右准线8=x l ：．过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2=．显然MF AM 2+的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此3=M y ，且M 在椭圆上．故32=M x ．所以()332，M ．说明：本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理．事实上，如图，21=e ，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．例2 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离．分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．解法一：由142222=+by b x ，得b a 2=，b c 3=，23=e ．由椭圆定义，b a PF PF 4221==+，得b b b PF b PF 34421=-=-=．由椭圆第二定义，e d PF =11，1d 为P 到左准线的距离，∴b ePF d 3211==，即P 到左准线的距离为b 32．解法二：∵e d PF =22，2d 为P 到右准线的距离，23==a c e ， ∴b ePF d 33222==．又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅．∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-． 说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．例3 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标； (2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标． 分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．解：(1)如上图，62=a ，)0,2(2F ，22=AF ，设P 是椭圆上任一点，由6221==+a PF PF ，22AF PF PA -≥，∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA -=时成立，此时P 、A 、2F 共线．由22AF PF PA +≤，∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA +=时成立，此时P 、A 、2F 共线．建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ，解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点)2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P ． 综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA +取最小值26-，P 点与2P 重合时，2PF PA +取最大值26+．(2)如下图，设P 是椭圆上任一点，作PQ 垂直椭圆右准线，Q 为垂足，由3=a ，2=c ，∴32=e ．由椭圆第二定义知322==e PQ PF ，∴223PF PQ =，∴PQ PA PF PA +=+223，要使其和最小需有A 、P 、Q 共线，即求A 到右准线距离．右准线方程为29=x ．∴A 到右准线距离为27．此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(． 说明：求21PF ePA +的最小值，就是用第二定义转化后，过A 向相应准线作垂线段．巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段．4.参数方程应用例1 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值． 分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．解：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ，设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3，，则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=θπθθd ． 当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时，22=最小值d ． 说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．例2 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积． 分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．解：(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ．(2)设椭圆内接矩形面积为S ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x 轴和y 轴，设)sin 2,c o s 3(θθ为矩形在第一象限的顶点，)20(π<θ<，则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS故椭圆内接矩形的最大面积为12．说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．例3 椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围．分析：∵O 、A 为定点，P 为动点，可以P 点坐标作为参数，把AP OP ⊥，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e 的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．解：设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ，则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ，)0,(a A ， ∵AP OP ⊥，∴1cos sin cos sin -=-⋅aa b a b θθθθ，即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ，解得1cos =θ或222cos b a b -=θ，∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ（舍去），11222<-<-b a b ，又222c a b -= ∴2022<<c a ，∴22>e ，又10<<e ，∴122<<e ． 说明：若已知椭圆离心率范围)1,22(，求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥．如何证明？5.相交情况下--弦长公式的应用例1 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=．（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ，即012522=-++m mx x ．()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2525≤≤-m ． （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5221m x x -=+，51221-=m x x ．根据弦长公式得 ：51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m ．方程为x y =．说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式∆；解决弦长问题，一般应用弦长公式． 用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程． 例2 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长． 分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求． 解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．因为焦点在x 轴上，所以椭圆方程为193622=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ． 由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132=⨯++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以1337221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ， 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB ．(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为193622=+y x ，设m AF =1，n BF =1，则m AF -=122，n BF -=122．在21F AF ∆中，3co s 22112212122πF F AF F F AF AF -+=，即21362336)12(22⋅⋅⋅-⋅+=-m m m ；所以346-=m ．同理在21F BF ∆中，用余弦定理得346+=n ，所以1348=+=n m AB ．(法3)利用焦半径求解．先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=⨯++x x 求出方程的两根1x ，2x ，它们分别是A ，B 的横坐标．再根据焦半径11ex a AF +=，21ex a BF +=，从而求出11BF AF AB +=6.相交情况下—点差法的应用例1 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为1222=+y ax ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴222112aa x x x M +=+=，2111a x y M M +=-=， 4112===a x y k M M OM ，∴42=a ， ∴1422=+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．例2 已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程． 分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ． 解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k ．由韦达定理得22212122k kk x x +-=+．∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得21-=k ． 所以所求直线方程为0342=-+y x ．分析二：设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从而求斜率：2121x x y y --．解法二：设过⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ，，， ①－②得0222212221=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ，即直线的斜率为21-．所求直线方程为0342=-+y x ．说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率． （3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．例3 已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过()12，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ， 求线段PQ 中点M 的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④，③，②，①，y y y x x x y x y x 222222212122222121①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ．由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ，将③④代入得022121=--+x x y y yx ．⑤（1）将21=x ，21=y 代入⑤，得212121-=--x x y y ，故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ⑥ 将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ，0416436>⨯⨯-=∆符合题意，0342=-+y x 为所求．（2）将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分） （3）将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x ．（椭圆内部分） （4）由①＋②得 ：()2222212221=+++y y x x ， ⑦， 将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+， ⑧， 212222124y y y y y -=+， ⑨将⑧⑨代入⑦得：()224424212212=-+-y y y x x x ， ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得： 221242212212=⎪⎭⎫⎝⎛--+-x x y x x x ， 即12122=+y x ．此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．例4 已知椭圆13422=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．分析：若设椭圆上A ，B 两点关于直线l 对称，则已知条件等价于：(1)直线l AB ⊥；(2)弦AB 的中点M 在l 上．利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围． 解：(法1)设椭圆上),(11y x A ，),(22y x B 两点关于直线l 对称，直线AB 与l 交于),(00y x M 点． ∵l 的斜率4=l k ，∴设直线AB 的方程为n x y +-=41．由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,134,4122yx n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x①。
椭圆综合复习-2021-2022学年高二上学期数学人教A版选修2-1
椭圆综合复习学习目标：1..了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．3.能够把研究直线与椭圆位置关系的问题转化为研究方程解的问题，会根据根与系数的关系及判别式解决问题.技巧攻略：要点一、椭圆的定义及其标准方程椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c<2a，其中a>0，c>0，且a，c为常数．椭圆的标准方程：标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0,1)a，b，c的关系a2＝b2＋c2要点二、椭圆的几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程22221(0)x y a b a b +=>> 22221(0)x y a b b a +=>> 图形性质焦点 1(,0)F c -，2(,0)F c 1(0,)F c -，2(0,)F c焦距 2212||2()F F c c a b ==-2212||2()F F c c a b ==-范围 ||x a ≤，||y b ≤||x b ≤，||y a ≤对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 (,0)a ±，(0,)b ± (0,)a ±，(,0)b ±轴长轴长=a 2，短轴长=2b离心率(01)ce e a=<< 要点三、直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系将直线的方程y kx b =+与椭圆的方程22221x y a b+=(0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.①Δ＞0⇔直线和椭圆相交⇔直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②Δ＝0⇔直线和椭圆相切⇔直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③Δ＜0⇔直线和椭圆相离⇔直线和椭圆无公共点．直线与椭圆的相交弦设直线y kx b =+交椭圆22221x y a b+=(0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则22121212||()()PP x x y y -+-22121212()[1()]y y x x x x --+-2121|k x x +-同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -12||y y -椭圆的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆22221x y a b +=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x k a y =-；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.要点四、椭圆的实际应用与最值问题对于椭圆的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用椭圆定义，构建参数a,b,c 之间的关系，得到椭圆方程，利用方程求解椭圆中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种： （1）利用定义转化 （2）利用椭圆的几何性质 （3）转化为函数求最值经典例题透析:类型一：椭圆的方程与性质 例1：求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点⎝⎛⎭⎫－32，52； (3)经过点P ⎝⎛⎭⎫13，13，Q ⎝⎛⎭⎫0，－12.【变式1】：求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)短轴长25，离心率e ＝23；(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.【变式2】：分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3； (2)离心率为32，经过点(2,0)．例2. 已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆，求k 的取值范围．【变式1】：若方程22221(1)x y m m +=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A.12m >B. 12m <C. 112m m >≠且 D. 102m m <≠且【变式2】已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．例3. 已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1(a ＞b ＞0)的每一个焦点为(5，0)，离心率为35．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P(x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．【变式1】：如图所示，已知动圆P 过定点A (－3，0)，并且在定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．【变式2】ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A 的轨迹．类型二：椭圆的几何性质（离心率，焦点三角形）例4：椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ）11..5432A B C D 例5：椭圆22221(a b 0)x y a b+=>>的两顶点为A （a ,0），B(0,b ),且左焦点为F ，FAB ∆是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为（ ）A.12 B. 14+ C. 12 D. 14+例6：的直线l 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．12CD ．13例7：已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，F 1，F 2是两个焦点，若椭圆上存在一点P ，使1223F PF π∠=，求其离心率e 的取值范围。
数学选修2-1椭圆练习题及详细答案(含准线练习题)
数学选修2-1椭圆练习题及详细答案（含准线练习题）1．若椭圆my 12m 3x 22-+=1的准线平行于y 轴，则m 的取值范围是 。
答案：－3<m <02．椭圆的长半轴是短半轴的3倍，过左焦点倾斜角为30°的弦长为2则此椭圆的标准方程是 。
答案：9x 2＋y 2=13. 椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，若椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距，又已知直线2x －y －4=0被此椭圆所截得的弦长为354，求此椭圆的方程。
答案：4x 2＋5y 2=24提示：∵椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距, ∴4c 2=(a ＋c )(a －c ),解得a 2=5c 2, ∴b 2=4c 2, 将4 x 2＋5y 2=m 与2x －y －4=0联立，代入消去y 得24x 2－80x ＋80－m =0, 由弦长公式l =2k 1+|x 1－x 2|得354=5×1840m 3-,解得m =24,∴椭圆的方程是4x 2＋5y 2=24 4．证明：椭圆上任意一点到中心的距离的平方与到两焦点距离的乘积之和为一定值。
|PF1|²=(x - c)² + y²=[a²(x - c)² + a²y²]/a²=[a²x² - 2a²cx + a²c² + a²y²]/a² /***--根据b²x² + a²y² = a²b² ***/=[a²x² - 2a²cx + a²c² + a²b² - b²x²]/a²=[(a²-b²)x² - 2a²cx + a²(b² + c²)]/a²=[c²x² -2a²cx + a^4]/a²=(a² - cx)²/a²∴PF1 = (a² - cx)/a = a - (c/a)x = a - ex同理可证：PF2 = a + ex5. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率e =32，长轴长为6，那么椭圆的方程是（ ）。
选修2-1数学 椭圆综合 知识点+大量例题
椭圆的性质▓椭圆的范围 椭圆上的点都位于直线x=±a 和y=±b 围成的矩形内，所以坐标满足|x|≤a ，|y|≤b. ▓椭圆的离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作22c ce a a==。
②因为a ＞c ＞0，所以e 的取值范围是0＜e ＜1。
e 越接近1，则c 就越接近a ，从而22b a c =-越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆。
当且仅当a=b 时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x 2+y 2=a 2。
▓椭圆12222=+by a x 的图象中线段的几何特征（如下图）：（1）122PF PF a +=，1212||||||||PF PF e PM PM ==，2122||||a PM PM c+=；（2）12BF BF a ==，12OF OF c ==，2221A B A B a b ==+；（3）1122A F A F a c ==-,1221A F A F a c ==+，c a PF c a +≤≤-1；▓椭圆标准方程中的三个量a 、b 、c 的几何意义 椭圆标准方程中，a 、b 、c 三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a ＞b ＞0，a ＞c ＞0，且a 2=b 2+c 2。
▓椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x 2、y 2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
▓平面内点与椭圆的位置关系 椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M （x,y ），若点M （x,y ）在椭圆上，则有22221x y a b +=(0)a b >>；若点M （x,y ）在椭圆内，则有22221x y a b +<(0)a b >>；若点M （x,y ）在椭圆外，则有22221x y a b+>(0)a b >>. ▓直线与椭圆的相交弦 设直线y kx b =+交椭圆22221x y a b+=(0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则22121212||()()PP x x y y =-+-=22121212()[1()]y y x x x x --+-=2121||k x x +-同理可得121221||1||(0)PP y y k k =+-≠这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：2121212||()4x x x x x x -=--;2121212||()4y y y y y y -=--▓例 1. 已知椭圆的对称轴为坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且2cos 3OFA ∠=，求椭圆的方程。
苏教版数学选修2-1：2.2 椭 圆2.2.1
1.过点⎝⎛⎭⎫25，355且2c ＝8的椭圆的标准方程为________． 解析：由于焦点的位置不确定，故分类求解．答案：x 225＋y 29＝1和10x 229＋33649＋10y 2189＋33649＝1 2.椭圆的两个焦点是F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项，则该椭圆方程是________．解析：椭圆的两个焦点是F 1(－1，0)，F 2(1，0)，∵P 为椭圆上一点，F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项，∴2a ＝PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝4，a ＝2，c ＝1. ∴b 2＝a 2－c 2＝3，故所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. 答案：x 24＋y 23＝1 3.设M (－5，0)，N (5，0)，△MNP 的周长是36，则△MNP 的顶点P 的轨迹方程为________． 解析：由于点P 满足PM ＋PN ＝36－10＝26>10，知点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，且2a ＝26的椭圆(由于P 与M 、N 不共线，故y ≠0)，再利用待定系数法求解．答案：x 2169＋y 2144＝1(y ≠0) 4.如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在x 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是________．解析：方程x 2＋ky 2＝2化为方程x 22＋ky 22＝1，所以0<2k<2，即k >1. 答案：k >1[A 级 基础达标]1.椭圆的焦点为F 1(0，－5)，F 2(0，5)，点P (3，4)是椭圆上的一个点，则椭圆的方程为________．解析：∵焦点为F 1(0，－5)，F 2(0，5)，可设椭圆方程为y 2a 2＋x 2a 2－25＝1； 点P (3，4)在椭圆上，∴16a 2＋9a 2－25＝1，a 2＝40， ∴椭圆方程为y 240＋x 215＝1. 答案：y 240＋x 215＝1 2.若椭圆x 225＋y 29＝1上任意一点P 到一个焦点的距离为5，则点P 到另一个焦点的距离为________．解析：由椭圆定义PF 1＋PF 2＝2a ＝10，∴PF 2＝10－PF 1＝5.答案：53.与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且2b ＝45的椭圆方程是________．解析：椭圆9x 2＋4y 2＝36化为标准方程x 24＋y 29＝1，则焦点在y 轴上，且c 2＝9－4＝5， 又因为2b ＝45，则b 2＝20，a 2＝b 2＋c 2＝25，故所求椭圆的标准方程为x 220＋y 225＝1. 答案：x 220＋y 225＝1 4.椭圆5x 2－ky 2＝5的一个焦点是(0，2)，那么k 等于____．解析：椭圆5x 2－ky 2＝5化为标准方程y 25－k＋x 21＝1，则c 2＝5－k－1＝4，解得k ＝－1，满足5－k>1，故k ＝－1. 答案：－15.方程x 2m 2＋y 2（m －1）2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是________． 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2>0（m －1）2>0（m －1）2>m 2，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0m ≠1m <12. 故所求实数m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12.答案：(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，126.根据椭圆的方程写出椭圆的焦点坐标：(1)x 225＋y 29＝1；(2)2x 2＋y 2＝1； (3)y 2a 2＋1＋x 2a 2＋5＝1(a ∈R )． 解：(1)由方程知，焦点在x 轴上，且a 2＝25，b 2＝9，∴c 2＝a 2－b 2＝16，∴c ＝4，故所求椭圆的焦点坐标为(－4，0)，(4，0)． (2)把方程化为标准方程为y 2＋x 212＝1，故焦点在y 轴上，且a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2－b 2＝12， ∴c ＝22，故所求椭圆的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，22，⎝⎛⎭⎫0，－22. (3)a 2＋5>a 2＋1，故焦点在x 轴上，且c 2＝(a 2＋5)－(a 2＋1)＝4，∴c ＝2，故所求椭圆的焦点坐标为(2，0)，(－2，0)．7.已知△ABC 的三边a 、b 、c (a >b >c )成等差数列，A 、C 两点的坐标分别为(－1，0)、(1，0)．求顶点B 的轨迹方程．解：设点B 的坐标为(x ，y )，∵a 、b 、c 成等差数列， ∴a ＋c ＝2b ，即BC ＋BA ＝2AC ＝4.由椭圆的定义知，点B 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1； 又∵a >b >c ，∴a >c ，∴BC >BA ，∴(x －1)2＋y 2>(x ＋1)2＋y 2，x <0；又当x ＝－2时，点B 、A 、C 在同一条直线上，不能构成△ABC ，∴x ≠－2.∴顶点B 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(－2<x <0)，轨迹是两段椭圆弧． [B 级 能力提升]8.已知椭圆mx 2＋3y 2－6m ＝0的一个焦点为(0，2)，则m 的值是________．解析：方程变形为x 26＋y 22m＝1，∵焦点在y 轴上， ∴a 2＝2m ，b 2＝6，又c ＝2且a 2－b 2＝c 2，∴2m －6＝22，∴m ＝5.答案：59.已知椭圆的方程为x 2m＋y 2＝1(m >0，m ≠1)，则该椭圆的焦点坐标为________． 解析：当0<m <1时，此时焦点在y 轴上，a 2＝1，b 2＝m ，∴c 2＝a 2－b 2＝1－m ，∴c ＝1－m ，故所求方程的焦点坐标为(0，1－m )，(0，－1－m )；当m >1时，此时焦点在x 轴上，a 2＝m ，b 2＝1，∴c 2＝a 2－b 2＝m －1，∴c ＝m －1，故所求方程的焦点坐标为(m －1，0)，(－m －1，0)．答案：(0，1－m )，(0，－1－m )或(m －1，0)，(－m －1，0)10.(2012·淮安高二检测)若B (－8，0)，C (8，0)为△ABC 的两个顶点，AC 、AB 两边上的中线和是30，求△ABC 重心G 的轨迹方程． 解：如图，设CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的中线，则CD ＋BE ＝30，又G 是△ABC 的重心，∴BG ＝23，CG ＝23， ∴BG ＋CG ＝23(BE ＋CD )＝23×30＝20. 又B (－8，0)，C (8，0)，∴BC ＝16<20＝BG ＋CG ，∴G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，∴2a ＝20，2c ＝16，即a ＝10，c ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝102－82＝36，∴G 点的轨迹方程是x 2100＋y 236＝1. 11.(创新题)如图，在直角坐标系xOy 中，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点分别为F 1、F 2.过右焦点F 2且与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交，其中一个交点为M (2，1)．求椭圆C 的方程．解：∵l ⊥x 轴，M (2，1)，∴F 2的坐标为(2，0)，由题意知椭圆的焦点在x 轴上，标准方程为：x 2a 2y 2b 2＝1(a >b >0)可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝22a 2＋1b 21，∴解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝2， ∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1。
选修2-1椭圆、双曲线、抛物线经典解析(含详细答案)
选修2-1椭圆、双曲线、抛物线经典解析知识点一 定义和性质的应用设F 1、F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上的一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值．解 由题意知，a ＝3，b ＝2，则c 2＝a 2－b 2＝5，即c ＝ 5. 由椭圆定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝2 5. (1)若∠PF 2F 1为直角，则|PF 1|2＝|F 1F 2|2＋|PF 2|2， |PF 1|2－|PF 2|2＝20.即⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝103，|PF 1|＋|PF 2|＝6，解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43. 所以|PF 1||PF 2|＝72.(2)若∠F 1PF 2为直角，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2. 即20＝|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2，解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2或|PF 1|＝2，|PF 2|＝4(舍去)．所以|PF 1||PF 2|＝2.二 圆锥曲线的最值问题已知A (4,0)，B (2,2)是椭圆x 225＋y 29＝1内的两定点，点M 是椭圆上的动点，求|MA |＋|MB |的最值．解 因为A(4,0)是椭圆的右焦点，设A ′为椭圆的左焦点，则A ′(-4,0)，由椭圆定义知|MA|+|MA ′|=10.如图所示，则|MA|+|MB|=|MA|+|MA ′|+|MB|-|MA ′|=10+|MB|-|MA ′|≤10+|A ′B|. 当点M 在BA ′的延长线上时取等号．所以当M 为射线BA ′与椭圆的交点时，(|MA|+|MB|)max=10+|A ′B|=10+210.又如图所示，|MA|+|MB|=|MA|+|MA ′|-|MA ′|+|MB|=10- (|MA ′|-|MB|)≥10-|A ′B|，当M 在A ′B 的延长线上时取等号．所以当M 为射线A ′B 与椭圆的交点时，(|MA|+|MB|)min=10-|A ′B|=10- 210.三 轨迹问题抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过点(0，－1)作直线交抛物线于不同两点A 、B ，以AF ，BF 为邻边作平行四边形F ARB ，求顶点R 的轨迹方程．解 设直线AB ：y ＝kx －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，R (x ，y )，由题意F (0,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1x 2＝4y ，可得x 2－4kx ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝4k .又AB 和RF 是平行四边形的对角线， ∴x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y ＋1.而y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝4k 2－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k y ＝4k 2－3，消去k 得x 2＝4(y ＋3)． 由于直线和抛物线交于不同两点，∴Δ＝16k 2－16>0， ∴k >1或k <－1，∴x >4或x <－4.∴顶点R 的轨迹方程为x 2＝4(y ＋3)，且|x |>4.四 直线与圆锥曲线的位置关系已知直线l ：y ＝kx ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A 、B 两点，O 为坐标原点．(1)当k ＝0,0<b <1时，求△AOB 的面积S 的最大值；(2)⊥OB →，求证直线l 与以原点为圆心的定圆相切，并求该圆的方程．解 (1)把y ＝b 代入x 22＋y 2＝1，得x ＝±2－2b 2.∴∴S △AOB=21× b22·22122b b +-= ，当且仅当b 2 =21，即b =2 时取等号．∴△AOB 的面积S 的最大值为2.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由 得(1+2k 2)x 2+4kbx+2b 2-2=0，∴x 1+x 2=-241kbk+，x 1·x 2= 222212b k -+. 又∵OA ⊥OB ，∴(x 1，y 1)·(x 2，y 2)=0， 即x 1x 2+y 1y 2=0.又x 1x 2+ y 1y 2= x 1x 2 +( k x 1+b)(k x 2+b) =(k 2+1)·x 1x 2+kb(x 1 + x 2) +b 2=(k 2+1) 222212b k -+-kb 241kbk ++b 2 =222322012b k k--=+， ∴3b 2 = 2k 2+2.又设原点O 到直线l 的距离为d ，则d ===.∴l与以原点为圆心，以3为半径的定圆相切， 该圆的方程为x 2 + y 2 =32 高考分析1．如图所示，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的一个焦点为F (1,0)，且过点(2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若AB 为垂直于x 轴的动弦，直线l ：x=4与x 轴交于点N ，直线AF 与BN 交于点M ， (ⅰ)求证：点M 恒在椭圆C 上； (ⅱ)求△AMN 面积的最大值．解 方法一 (1)由题设a=2，c=1，从而b 2=a 2-c 2=3，所以椭圆C 的方程为22143x y += (2)(ⅰ)由题意得F(1,0)、N(4,0)．设A(m ，n)，则B(m ，-n)(n ≠0)，22143m n +=.① AF 与BN 的方程分别为：n (x －1)－(m －1)y ＝0，n (x －4)＋(m －4)y ＝0.设M (x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧n (x 0－1)－(m －1)y 0＝0， ②n (x 0－4)＋(m －4)y 0＝0， ③由②③得x 0＝5m －82m －5，y 0＝3n2m －5.由于x 204＋y 203＝(5m －8)24(2m －5)2＋3n 2(2m －5)2＝(5m －8)2＋12n 24(2m －5)2＝(5m －8)2＋36－9m 24(2m －5)2＝1.所以点M 恒在椭圆C 上．(ⅱ)设AM 的方程为x ＝ty ＋1，代入x 24＋y 23＝1，得(3t 2＋4)y 2＋6ty －9＝0.设A (x 1，y 1)、M (x 2，y 2)，则有y 1＋y 2＝－6t3t 2＋4，y 1y 2＝－93t 2＋4，|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝43·3t 2＋33t 2＋4.令3t 2＋4＝λ (λ≥4)，则|y 1－y 2|＝43·λ－1λ＝4 3 －⎝⎛⎭⎫1λ2＋1λ ＝4 3 －⎝⎛⎭⎫1λ－122＋14，因为λ≥4,0<1λ≤14，所以当1λ＝14，即λ＝4，t ＝0时，|y 1－y 2|有最大值3，此时AM 过点F .△AMN 的面积S △AMN ＝12|NF |·|y 1－y 2|有最大值92.方法二 同方法一．(2)(ⅰ)由题意得F (1,0)、N (4,0)，设A (m ，n )，则B (m ，－n ) (n ≠0)，m 24＋n 23＝1.①AF 与BN 的方程分别为n (x －1)－(m －1)y ＝0，② n (x －4)＋(m －4)y ＝0.③由②③得：当x ≠52时，m ＝5x －82x －5，n ＝3y2x －5.④把④代入①，得x 24＋y 23＝1 (y ≠0)．当x ＝52时，由②③得⎩⎨⎧32n －(m －1)y ＝0，－32n ＋(m ＋4)y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝0，y ＝0，与n ≠0矛盾．所以点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1 (y ≠0)，即点M 恒在椭圆C上．随堂练习一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．双曲线3mx 2－my 2＝3的一个焦点是(0,2)，则m 的值是( ) A ．－1 B ．1C ．－1020 D.102答案 A解析 化双曲线的方程为x 21m －y 23m＝1，由焦点坐标(0,2)知：－3m －1m ＝4，即－4m ＝4，∴m ＝－1.2．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点P (k ，－2)与点F 的距离为4，则k 等于( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．－2或2 答案 B解析 由题意可设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)．则抛物线的准线方程为y ＝p2，由抛物线的定义知|PF |＝p 2－(－2)＝p2＋2＝4，所以p ＝4，抛物线方程为x 2＝－8y ，将y ＝－2代入，得x 2＝16，∴k ＝x ＝±4.3．已知中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则此双曲线的离心率为( )A.52 B. 5 C.52D ．5 答案 B解析 由已知可设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，∴±a b ＝±12，∴b ＝2a ，∴b 2＝4a 2，∴c 2－a 2＝4a 2， ∴c 2＝5a 2， ∴c 2a 2＝5.∴e ＝ca＝ 5. 4．已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1,1)为中点的弦所在直线方程是( ) A ．x ＋2y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x －2y ＋3＝0 D ．2x －y ＋3＝0 答案 A解析 设弦的端点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2.由x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， ∴(x 1－x 2)＋2(y 1－y 2)＝0，∴k AB ＝－12.∴弦所在的方程为y －1＝－12(x －1)即x ＋2y －3＝0.5．以x 24－y212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 答案 D解析 方程可化为y 212－x 24＝1，该方程对应的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．由题意知椭圆方程可设为x 2b 2＋y 2a2＝1(a >b >0)，则a ＝4，c 2＝a 2－b 2＝12，∴b 2＝a 2－12＝16－12＝4.∴所求方程为x 24＋y 216＝1.6．θ是任意实数，则方程x 2＋y 2cos θ＝4的曲线不可能是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆 答案 C解析 由于没有x 或y 的一次项，方程不可能是抛物线，故选C.7．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12) 答案 B解析 由题意a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，∴e 2＝c 2a 2＝4－k 4.又∵e ∈(1,2)，∴1<4－k4<4，解得－12<k <0.8．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞) 答案 B解析 由题意知在双曲线上存在一点P ， 使得|PF 1|＝2|PF 2|，如图所示．又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a ，即在双曲线右支上恒存在点P 使得|PF 2|＝2a ， 即|AF 2|≤2a .∴|OF 2|－|OA |＝c －a ≤2a ， ∴c ≤3a .又∵c >a ，∴a <c ≤3a ，∴1<ca≤3，即1<e ≤3.9．已知A 为椭圆x 216＋y 212＝1的右顶点，P 为椭圆上的点，若∠POA ＝π3，则P 点坐标为( )A ．(2,3) B.⎝⎛⎭⎫455，±4155 C.⎝⎛⎭⎫12，±32 D ．(4，±83)答案 B解析 由y ＝±3x 及x 216＋y 212＝1 (x >0)得解．10．等轴双曲线x 2－y 2＝a 2截直线4x ＋5y ＝0所得弦长为41，则双曲线的实轴长是( )A.65B.125C.32 D ．3 答案 D解析 注意到直线4x ＋5y ＝0过原点，可设弦的一端为(x 1，y 1)，则有 ⎝⎛⎭⎫1＋1625x 21＝412.可得x 21＝254，取x 1＝52，y 1＝－2. ∴a 2＝254－4＝94，|a |＝32.11．过椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(0<b <a )中心的直线与椭圆交于A 、B 两点，右焦点为F 2(c,0)，则△ABF 2的最大面积是( )A ．abB ．acC ．bcD ．b 2 答案 C解析 S △ABF 2＝S △OAF 2＋S △OBF 2 ＝12c ·|y 1|＋12c ·|y 2|(y 1、y 2分别为A 、B 两点的纵坐标)，∴S △ABF 2＝12c |y 1－y 2|≤12c ·2b ＝bc . 12．抛物线x 2＝ay (a <0)的准线l 与y 轴交于点P ，若l 绕点P 以每秒π12弧度的角速度按逆时针方向旋转t 秒后，恰与抛物线第一次相切，则t 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 由已知得准线方程为y ＝－a4，∴P 点坐标为(0，－a4)．设抛物线的切线l 1的方程为y ＝kx －a 4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －a 4x 2＝ay，得x 2－akx ＋a 24＝0，由题意得Δ＝a 2k 2－4×a 24＝0，解得k 2＝1，∴y ＝x －a4，∴∠MPN ＝π4，∴π4π12＝3，∴t ＝3.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．斜率为1的直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线相交于A 、B 两点，则AB 的长为________．答案 8解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)．则直线方程为y ＝x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －1.得x 2－6x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝6，x 1·x 2＝1， |AB |＝(1＋1)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2(36－4)＝8.14．已知圆x 2＋y 2＝1，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，则线段PP ′的中点M 的轨迹方程是________．答案 x 2＋4y 2＝1解析 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)由题意知 x 0＝x ，y 0＝2y ，∵P (x 0，y 0)在圆上，有x 20＋y 20＝1，∴x 2＋4y 2＝1.即为所求的轨迹方程．15．F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，P 为抛物线上任意一点，以PF 为直径作圆，则该圆与y 轴的位置关系是__________．答案 相切解析 设P (x 0，y 0)，PF 中点为M ，则M 到y 轴距离d ＝x 0＋p 22＝12|PF |.16．椭圆x 225＋y29＝1上一点P 到两焦点的距离积为m ，则当m 最大时，点P 的坐标是________．答案 (0,3)或(0，－3)解析 设椭圆的两焦点分别为F 1、F 2由椭圆定义知： |PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10. 由基本不等式知：m ＝|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝25.当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号． 即|PF 1|＝|PF 2|＝5，m 取最大值． 所以P 点为椭圆短轴的端点．三、解答题(本大题共6小题，共74分) 17．(12分)如图所示，线段AB 与CD 互相垂直平分于点O ，|AB|=2a (a>0)，|CD|=2b (b>0)，动点P 满足|PA|·|PB|=|PC|·|PD|，求动点P 的轨迹方程．解 以O 为坐标原点，直线AB 、CD 分别为x 轴、y 轴建立坐标系，设P(x ，y)是曲线上的任意一点，则A(-a,0)，B(a,0)，C(0，- b)，D(0，b)． 由题意知：|PA|·|PB|=|PC|·|PD|，化简得：x 2-y 2= 222a b -即动点P 的轨迹方程为x 2-y 2=222a b - .18．(12分)k 代表实数，讨论方程kx 2＋2y 2－8＝0所表示的曲线．解 当k <0时，曲线y 24－x 2－8k＝1为焦点在y 轴的双曲线；当k ＝0时，曲线2y 2－8＝0为两条平行于x 轴的直线y ＝2或y ＝－2；当0<k <2时，曲线x 28k＋y 24＝1为焦点在x 轴的椭圆；当k ＝2时，曲线x 2＋y 2＝4为一个圆；当k >2时，曲线y 24＋x 28k＝1为焦点在y 轴的椭圆．19．(12分)已知椭圆x 29＋y 24＝1及点D (2,1)，过点D 任意引直线交椭圆于A ，B 两点，求线段AB 中点M 的轨迹方程．解 设M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4x 21＋9y 21＝36， ①4x 22＋9y 22＝36. ② ①－②，得4(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋9(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，因为M (x ，y )为AB 中点，所以x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y .所以4×2x (x 1－x 2)＋9×2y (y 1－y 2)＝0.当x 1≠x 2时，y 1－y 2x 1－x 2＝－4x9y .又y 1－y 2x 1－x 2＝y －1x －2，所以y －1x －2＝－4x9y .化简得4x 2＋9y 2－8x －9y ＝0.因为当x 1＝x 2时，中点M (2,0)满足上述方程，所以点M 的轨迹方程为4x 2＋9y 2－8x －9y ＝0.20．(12分)一辆卡车高3米，宽1.6米，欲通过断面为抛物线的隧道，已知拱口AB 的宽恰好为拱高CD 的4倍，若|AB |＝a 米，求能使卡车通过的a 的最小整数的值．解以拱顶为原点，拱高所在的直线为y 轴建立坐标系，如图，点B 的坐标为(,)24a a -，设抛物线方程为x 2=-2py (p>0)，将点B 的坐标代入得2()2a =-2p ·()4a-，解得p = 2a ，所以抛物线方程为x 2=-ay.将点E(-0.8，y)代入抛物线方程得y=-0.64a，依题意点E 到拱底AB 的距离为4a -|y| =4a -0.64a≥3，解得a ≥12.21. 所以能使卡车通过的a 的最小整数值为13.。
数学选修2-1椭圆练习题含答案
数学选修2-1椭圆练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 下图是圆锥曲线的知识结构图，在空白处应填入（ ）A.圆B.直线C.共轭双曲线D.椭圆2. 过原点作直线AB 与椭圆C ：x 220+y 24=1交于不同两点A ，B ，点F 为椭圆左焦点，则|AF|+|BF|的值为( ) A.√5 B.2√5 C.3√5 D.4√53. 双曲线3x 2−4y 2=−12的焦点坐标为（ ） A.(±5, 0) B.(0, ±√5) C.(±√7, 0) D.(0, ±√7)4. 若椭圆mx 2+ny 2=1与y =1−x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点连线的斜率为√2，则mn 的值等于( ) A.√33 B.√22C.√3D.√25. 已知椭圆的方程为x 2a 2+y 225=1(a >5)，它的两个焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=8，弦AB 过F 1，则△ABF 2的周长为( ) A.10 B.20 C.2√41 D.4√416. 设F 1，F 2分别是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆C 于M ，N 两点，若MF 1→=3F 1N →，且cos ∠MNF 2=45，则椭圆C 的离心率为（ ） A.√22 B.√33C.√2−12D.√2−137. 如图，F1、F2是椭圆x2a2+y2b2=1的两个焦点，O为坐标原点，P是椭圆上的一点，且满足|F1F2|=2|OP|，若∠PF2F1=5∠PF1F2，则椭圆的离心率为（）A.√32B.√63C.√22D.√238. 已知F1,F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点(1,√22)在椭圆上，且点(−1,0)到直线PF2的距离为4√55，其中点P(−1,−4)，则椭圆E的标准方程为( )A.x2+y24=1 B.x24+y2=1 C.x2+y22=1 D.x22+y2=19. 如果椭圆x236+y29=1的弦被点(4, 2)平分，则这条弦所在的直线方程是()A.x−2y=0B.5x+2y−4=0C.x+2y−8=0D.2x+3y−12=010. 如果x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )A.(0, +∞)B.(0, 2)C.(1, +∞)D.(0, 1)11. 已知椭圆x29+y25=1的两个焦点分别是F1、F2，△MF1F2的重心G恰为椭圆上的点，则点M的轨迹方程为________．12. 椭圆x23+y24=1的离心率是________．13. 在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于点O，其夹角为α（α为锐角），l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β(π与l平行时，记β=0)，则：当π2>β>α时，平面π与圆锥面的交线为________．14. 已知椭圆C:x 216+y 212=1，F 1，F 2分别为椭圆的两焦点，点P 椭圆在椭圆上，且|PF 2|=3，则△PF 1F 2的面积为________．15. 已知F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，若直线x =a 2c上存在点P ，使△PF 1F 2为等腰三角形，则椭圆离心率的范围是________.16. 已知F 1，F 2是椭圆C:x 2a +y 2b =1(a >0,b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P在过A 且斜率为√36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P =120∘，则C 的离心率为________.17. 已知椭圆x 2m +y 29=1的离心率是13，则实数m 的值是________.18. 已知中心在原点的椭圆C 的一个焦点F 恰为圆F:x 2+y 2−10√2y =0的圆心，直线l:y =3x −2截C 所得弦AB 的中点的横坐标为12，则C 的短轴长为_________.19. 过点(2, −3)且与椭圆9x 2+4y 2=36有共同的焦点的椭圆的标准方程为________．20. 过点M(1, 1)且与椭圆x 216+y 24=1交于A ，B 两点，则被点M 平分的弦所在的直线方程为________．21. 已知椭圆M 的中心原点O ，点F(−1, 0)是它的一个焦点，直线L 过点F 与椭圆M 交于P 、Q 两点，当直线L 的斜率不存在时，OP →⋅OQ →=12．（1）求椭圆M 的方程；（2）设A 、B 、C 是椭圆M 上的不同三点，且OA →+OB →+OC →=0，证明直线AB 与OC 的斜率之积为定值．22. 已知离心率为√22的椭圆x 2a 2+y 2b 2=1，(a >b >0)经过抛物线x 2=−4y 的焦点F ，斜率为1的直线l 经过(1,0)且与椭圆交于C ，D 两点． (1)求△COD 面积；(2)动直线m 与椭圆有且仅有一个交点，且与直线x =1，x =2分别交于A ，B 两点，F 2为椭圆的右焦点，证明|AF 2||BF 2|为定值．23. 已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率为√22，一个焦点为 (−2,0)． (1)求椭圆C 的长轴长、短轴长和焦距；(2)求椭圆C 的方程.24. 已知以椭圆短轴的一个端点和两个焦点为顶点的三角形为正三角形，并且焦点到椭圆的最短距离为3，求椭圆的标准方程．25. 设 F 1 ，F 2为椭圆 C:x 29+y 25=1 的两个焦点，M 为C 上一点， 且M 在第一象限，若△MF 1F 2 为等腰三角形，则 M 的坐标为________．26. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =√63，焦距是2√2． (1)求椭圆的方程；(2)若直线y =kx +2(k ≠0)与椭圆交于C ，D 两点，|CD|=6√25，求k 的值．27. 在①C 的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为8，②长轴长与短轴长之和为6，焦距为2√3；③离心率为√32，点M(2,√3)在C 上这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．问题：已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，________，求C 的标准方程． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．28. 已知椭圆C:4x 2+y 2=16. (1)求椭圆C 的长轴长和短轴长 ;(2)求椭圆C 的焦点坐标和离心率;(3)直线l:y =−2x +4与椭圆C 相交于A ，B 两点，求AB 的长． 29. 椭圆x 24+y 23=1的左焦点为F 1，过右焦点F 2的直线与椭圆相交于点A ,B ,则△AF 1B 的周长是________．30. 椭圆C 的中心在原点，左焦点F 1(−1, 0)，长轴为2√2． （1）求椭圆C 的标准方程（2）过左焦点F 1的直线交曲线C 于A ，B 两点，过右焦点F 2的直线交曲线C 于C ，D 两点，凸四边形ABCD 为菱形，求直线AB 的方程．31. 根据下列条件，求椭圆的标准方程．（1）两个焦点的坐标分别为(−4, 0)和(4, 0)，且椭圆经过点(5, 0)；（2）中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过(2, 0)和(0, 1)两点；（3）经过点(2, −3)且与椭圆9x 2+4y 2=36有共同的焦点．32. 求下列椭圆的标准方程：(1)焦点在x 轴上，离心率e =35，且经过点A(5√32,−2)；(2) 以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P(3, 0)．33. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，离心率e =12，直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l垂直于x轴且垂足为(√2a2,0)时，△AOB的面积为4√3（O为坐标原点）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若△AOB的面积为定值4√3，求弦AB中点的轨迹方程．34. 如图，B，A是椭圆C：x24+y2=1的左、右顶点，P，Q是椭圆C上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是k BQ，k AQ，k AP．（1）求证：k BQ⋅k AQ=−14；（2）若直线PQ过定点(65,0)，求证：k AP=4k BQ．35. 中心在原点O、焦点在坐标轴上的椭圆与直线x+y−1=0交于A，B两点，C是AB的中点，若以AB为直径的圆过圆点，且OC的斜率为12，求椭圆的方程．36. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：y2a +x2b=1(a>b>0)的离心率为√22，两个焦点分别为F1，F2，右顶点为M，且△MF1F2的面积为1．(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C上存在A，B两点关于直线l：x+ky=12(k≠0)对称，求实数k的取值范围．37. 如图，我区新城公园将在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭圆x 2a2+y2b2=1(x≤0)和y2b2+x281=1(x≥0)组成，其中a>b>9，“挞圆”内切于矩形（即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点）．（1）求“挞圆”的方程；（2）在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y＝t(t∈(0.15)，求该网箱所占水面面积的最大值．38.如图，A，B是椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点，M是椭圆上异于A，B的任意一点，直线l是椭圆的右准线．(1)若椭圆C的离心率为12，直线l:x=4，求椭圆C的方程；(2)设直线AM交l于点P，以MP为直径的圆交MB于Q，若直线PQ恰好过原点，求椭圆C 的离心率．39. 已知椭圆的焦点为F1(−t, 0)，F2(t, 0)，(t>0)，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项．(1)求椭圆方程；(2)如果点P在第二象限且∠PF1F2=120∘，求tan∠F1PF2的值．40. 过椭圆C:x225+y29=1右焦点F的直线l交C于两点A(x1, y1)，B(x2, y2)，且A不在x轴上．(Ⅰ)求|y1y2|的最大值；(Ⅱ)若|AF||FB|=14，求直线l的方程．参考答案与试题解析数学选修2-1椭圆练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【考点】圆锥曲线的实际背景及作用【解析】此题暂无解析【解答】解：圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线.故选D.2.【答案】D【考点】椭圆的简单几何性质椭圆的定义【解析】设F1为椭圆的右焦点，由椭圆对称性可知|AF|+|BF|=12(|AF|+|BF|+|AF1|+|BF1|)，再结合椭圆定义，则|AF|+|AF1|=2a,|BF|+|BF1|=2a,即可求解.【解答】解：设F1为椭圆的右焦点，则由椭圆的对称性以及定义可得：|AF|+|BF|=12(|AF|+|BF|+|AF1|+|BF1|)=12(|AF|+|AF1|+|BF|+|BF1|)=12(2a+2a)=2a.由椭圆方程可知a2=20,所以a=2√5.即|AF|+|BF|=4√5.故选D.3.【答案】D【考点】圆锥曲线的实际背景及作用双曲线的特性【解析】把双曲线3x2−4y2=−12化为标准方程，然后利用双曲线的基本性质求解即可．【解答】解：把双曲线3x2−4y2=−12化为标准方程：y23−x24=1，∴a2=3，b2=4，c=√7，∴双曲线3x2−4y2=−12的焦点坐标是(0, ±√7)．故选：D．4.【答案】D【考点】与椭圆有关的中点弦及弦长问题【解析】设A(x,y1)B(x2,y2)，线段AB的中点M(x0,y0)由题意可得y1+y2x1+x2=y2x0=√2y2−y1x2−x1=−1（1）因为A，B在椭圆上所以mx12+ny12=1mx22+ny22=1两式相减可得m(x1−x2)(x1+x2)+n(y1−y2)(y1+y2)=0（2）（1）（2）联立可得mn=√2.【解答】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，线段AB的中点M(x0,y0)，由题意可得y1+y2x1+x2=y0x0=√2，y2−y1x2−x1=−1①，因为A，B在椭圆上所以mx12+ny12=1，mx22+ny22=1，两式相减可得m(x1−x2)(x1+x2)+n(y1−y2)(y1+y2)=0②，①②联立可得mn=√2.故选D.5.【答案】D【考点】椭圆的定义【解析】求得椭圆的a，b，c，由椭圆的定义可得△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=4a，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意得：b=5，c=4，则a=√b2+c2=√41.由椭圆的定义可得：|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a . 即有△ABF 2的周长为： |AB|+|AF 2|+|BF 2|=|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2| =4a =4√41． 故选D ． 6.【答案】 A【考点】 椭圆的离心率 【解析】设|NF 1|＝m ，因为MF 1→=3F 1N →，及由椭圆的定义可得|MF 1|，|MF 2|，|NF 2|的值，在两个三角形中由余弦定理可得a ，c 的关系，进而求出椭圆的离心率． 【解答】设|NF 1|＝m ，因为MF 1→=3F 1N →，所以|MF 1|＝3m ，由椭圆的定义可得|MF 2|＝2a −3m ，|NF 2|＝2a −m ，在△MNF 2中，由余弦定理可得|MF 2|2＝|MN|2+|NF 2|2−2|MN|⋅|NF 2|cos ∠MNF 2，即(2a −3m)2＝(4m)2+(2a −m)2−2⋅4m ⋅(2a −m)⋅45，整理可得m =a3①在△NF 1F 2中，由余弦定理可得：|F 1F 2|2＝|NF 1|2+|NF 2|2−2|NF 1|⋅|NF 2|⋅cos ∠MNF 2，即(2c)2＝m 2+(2a −m)2−2m ⋅(2a −m)⋅45， 即4c 2=a 29+25a 29−2a 3⋅5a 3⋅45，整理可得：c 2a 2=12，所以椭圆的离心率e =ca =√22， 7.【答案】B【考点】 椭圆的定义 【解析】根据题意可知∠F 1PF 2=90∘，∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1，进而求得∠PF 1F 2和∠PF 2F 1，在Rt △PF 1F 2分别表示出|PF 1|和|PF 2|，进而根据椭圆的定义表示出a ，进而求得a 和c 的关系，即椭圆的离心率． 【解答】解：∵ |F 1F 2|=2|OP|，O 是F 1F 2的中点， ∴ ∠F 1PF 2=90∘∵ ∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1，∴ ∠PF 1F 2=15∘，∠PF 2F 1=75∘∴ |PF 1|=|F 1F 2|sin ∠PF 2F 1=2c ⋅sin 75∘， ∴ |PF 2|=|F 1F 2|sin ∠PF 1F 2=2c ⋅sin 15∘， ∴ 2a =|PF 1|+|PF 2|=2c ⋅sin 75∘+2c ⋅sin 15∘=4c sin 45∘cos 30∘=√6c , ∴ a =√62c , ∴ e =c a=√63. 故选B ． 8.【答案】 D【考点】椭圆的标准方程 【解析】左侧图片未给出解析． 【解答】解：设F 2的坐标为(c,0)(c >0)， 则k PF 2=4c+1，故直线PF 2的方程为y =4c+1(x −c)， 即4c+1x −y −4c c+1=0，点(−1,0)到直线PF 2的距离 d =|−4c+1−4c c+1|√(4c+1)2+1=√(4c+1)2+1=4√55，即(4c+1)2=4，解得c =1或c =−3（舍去）， 所以a 2−b 2=1，① 又点(1,√22)在椭圆E 上， 所以1a 2+12b 2=1，②由①②可得{a 2=2,b 2=1,所以椭圆E 的标准方程为x 22+y 2=1.故选D ． 9. 【答案】 C【考点】与椭圆有关的中点弦及弦长问题 【解析】设这条弦的两端点为A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则{x 1236+y 129=1x 2236+y 229=1，两式相减再变形得x 1+x236+ky 1+y 29=0，又由弦中点为(4, 2)，可得k =−12，由此可求出这条弦所在的直线方程．【解答】解：设这条弦的两端点为A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，斜率为k ，则{x 1236+y 129=1，x 2236+y 229=1，两式相减再变形得x 1+x 236+ky 1+y 29=0,又弦中点为(4, 2)，故k =−12，故这条弦所在的直线方程y −2=−12(x −4)， 整理得x +2y −8=0；故选C ． 10.【答案】 D【考点】椭圆的标准方程 椭圆的定义【解析】利用椭圆的定义求解． 【解答】解：∵ x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆， 把x 2+ky 2=2转化为椭圆的标准方程，得x 22+y 22k=1，∴ 2k >2，解得0<k <1．∴ 实数k 的取值范围是(0, 1)． 故选D ．二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 11.【答案】x 281+y 245=1(x ≠±9) 【考点】椭圆的标准方程圆锥曲线的实际背景及作用 椭圆的应用 【解析】设重心(x 1, y 1)，M(x 0, y 0) 而F 1(2, 0)，F 2(−2, 0)由重心坐标公式得x 1=2+(−2)+x 03=x 03，y 1=y 03，因为重心在椭圆上，所以(x 03)29+(y 03)25=1，由此可知M 的轨迹方程．【解答】解：设重心(x 1, y 1)，M(x 0, y 0) 而F 1(2, 0)，F 2(−2, 0)由重心坐标公式得 x 1=2+(−2)+x 03=x 03，y 1=y 03，∵ 重心在椭圆上． ∴x 129+y 125=1，所以(x 03)29+(y 03)25=1，即x 0281+y 0245=1， 所以M 的轨迹方程为：x 281+y 245=1(x ≠±9)．答案：x 281+y 245=1(x ≠±9)． 12. 【答案】12【考点】 椭圆的定义圆锥曲线的实际背景及作用 【解析】先根据由椭圆的标准方程求的a 和b ，再根据c =√a 2−b 2求得c ，进而根据离心率的公式求得答案． 【解答】解：由椭圆的标准方程x 23+y 24=1可知，a =2，b =√3，∴ c =√a 2−b 2=1 ∴ e =ca =12． 故答案为：12．13.【答案】 椭圆 【考点】平面与圆锥面的截线圆锥曲线的实际背景及作用【解析】根据平面π与圆锥的轴成角的大小，利用从不同角度截圆锥体得到的截面的形状，判断出相应的不可能的截面即可． 【解答】解：不同倾角的截面截割圆锥，无论是两个对顶的圆锥，还是一个单个的圆锥，都有下面的关系：(1)β>α，平面π与圆锥的交线为椭圆；(2)β=α，平面π与圆锥的交线为抛物线；(3)β<α，平面π与圆锥的交线为双曲线．由于题中条件：π2>β>α，故平面π与圆锥面的交线为椭圆．故答案为：椭圆．14.【答案】6【考点】椭圆的定义【解析】本题考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单性质以及根据一些性质求面积，利用椭圆的定义，结合|PF1|+|PF2|=8，|PF2|=3可得|PF1|，进而|PF2|⊥|F1F2|，则△PF1F2的面积可求．【解答】解：由题意椭圆C:x 216+y212=1，a=4，|PF1|+|PF2|=8，∵|PF2|=3，∴|PF1|=5，∵|F1F2|=4，∴PF2⊥F1F2，∴△PF1F2的面积为12×4×3=6，故答案为：6．15.【答案】(√33,1)【考点】椭圆的离心率【解析】由已知P(a 2c ,y)，可得F1P的中点Q的坐标，求出斜率，利用k F1P⋅k F2Q＝−1，可得y2＝2b2－b4c2，由此可得结论。
人教A版 高中数学 选修2-1 椭圆 知识点+讲测练(含答案解析)
人教A版高中数学选修2-1 椭圆知识点+讲测练知识点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1.当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2.当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1.只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2.在椭圆的两种标准方程中，都有和；3.椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。
知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆的的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。
③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。
a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
（4）离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作。
②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。
e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。
当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。
人教课标版高中数学选修2-1典型例题：椭圆与双曲线常见题型
椭圆与双曲线常见题型归纳一. “曲线方程+直线与圆锥曲线位置关系”的综合型试题的分类求解 1.向量综合型例1.在直角坐标系xOy 中，点P到两点(0,的距离之和为4，设点P 的轨迹为C ,直线1y kx =+与C 交于,A B 两点。
（Ⅰ）写出C 的方程; （Ⅱ）若OA OB ⊥，求k 的值。
例1. 解:（Ⅰ）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C是以(0(0，为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴1b ==，故曲线C 的方程为2214y x +=． （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，其坐标满足 22141.y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=， 故1212222344k x x x x k k +=-=-++，． 若OA OB ⊥，即12120x x y y +=． 而2121212()1y y k x x k x x =+++，于是22121222233210444k k x x y y k k k +=---+=+++， 化简得2410k -+=，所以12k =±．例2．设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅的最大值和最小值;（Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围 例2．解：（Ⅰ）解法一：易知2,1,a b c ===所以())12,F F ，设(),P x y ，则())2212,,,3PF PF x y x y x y ⋅=---=+-()2221133844x x x =+--=-因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅有最小值2- 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅有最大值1 解法二：易知2,1,a b c===())12,F F ，设(),P x y ，则22212121212121212cos 2PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF +-⋅=⋅⋅∠=⋅⋅⋅((22222211232x y x y x y ⎡⎤=+++-=+-⎢⎥⎣⎦（以下同解法一）（Ⅱ）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线()()1222:2,,,,l y kx A x y B x y =-，联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得：2214304k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭ ∴12122243,1144k x x x x k k +=-⋅=++由()2214434304k k k ⎛⎫∆=-+⨯=-> ⎪⎝⎭得：2k <或2k >-又000090cos 000A B A B OA OB <∠<⇔∠>⇔⋅> ∴12120OA OB x x y y ⋅=+>又()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++22223841144k k k k -=++++22114k k -+=+∵2223101144k k k -++>++，即24k < ∴22k -<< 故由①、②得32k -<<32k <<例3． 设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点，)1,0(-B ． （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅的最大值和最小值; （Ⅱ）若C 为椭圆上异于B 一点，且11CF BF λ=，求λ的值； （Ⅲ）设P 是该椭圆上的一个动点，求1PBF ∆的周长的最大值.例3．解：（Ⅰ）易知2,1,3a b c ===())123,0,3,0F F -,设(),P x y ,则()()22123,,3,3PF PF x y x y x y ⋅=---=+-()2221133844x x x =+--=-因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅有最小值2- 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅有最大值 1 （Ⅱ）设C （0x 0，y ），)1,0(-B ()13,0F - 由11CF λ=得λλλ1,)1(300-=-=y x ，又142020=+y x 所以有0762=++λλ解得)01(7舍去>=-=λλ（Ⅲ）因为|P 1F |＋|PB|＝4－|PF 2|＋|PB|≤4＋|BF 2|∴1PBF ∆周长≤4＋|BF 2|＋|B 1F |≤8．所以当P 点位于直线BF 2与椭圆的交点处时，1PBF ∆周长最大，最大值为8． 例4．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3( (1) 求双曲线C 的方程；(2) 若直线l ：2+=kx y 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA (其中O 为原点)，求k 的取值范围。
高中数学选修2-1-椭圆的方程及其性质
椭圆的方程及其性质知识集结知识元椭圆的定义知识讲解1．椭圆的定义【知识点的认识】1．椭圆的第一定义平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆，其中，这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距．2．椭圆的第二定义平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e＝（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半焦距）的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e 叫椭圆的离心率．3．注意要点椭圆第一定义中，椭圆动点P满足{P||PF1|+|PF2|＝2a}．（1）当2a＞|F1F2|时，动点P的轨迹是椭圆；（2）当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2；（3）当2a＜|F1F2|时，动点P没有运动轨迹．【命题方向】利用定义判断动点运动轨迹，需注意椭圆定义中的限制条件：只有当平面内动点P与两个定点F1、F2的距离的和2a＞|F1F2|时，其轨迹才为椭圆．1．根据定义判断动点轨迹例：如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆分析：根据CD是线段MF的垂直平分线．可推断出|MP|＝|PF|，进而可知|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|结果为定值，进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹．解答：由题意知，CD是线段MF的垂直平分线．∴|MP|＝|PF|，∴|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|（定值），又显然|MO|＞|FO|，∴根据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆．故选A点评：本题主要考查了椭圆的定义的应用．考查了学生对椭圆基础知识的理解和应用．2．与定义有关的计算例：已知椭圆上的一点P到左焦点的距离为，则点P到右准线的距离为（）A．2B．2C．5D．3分析：先由椭圆的第一定义求出点P到右焦点的距离，再用第二定义求出点P到右准线的距离d．解答：由椭圆的第一定义得点P到右焦点的距离等于4﹣＝，离心率e＝，再由椭圆的第二定义得＝e＝，∴点P到右准线的距离d＝5，故选C．点评：本题考查椭圆的第一定义和第二定义，以及椭圆的简单性质．例题精讲椭圆的定义例1.'点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和它到直线l：x=的距离的比是常数，求M的轨迹．'例2.'已知P为⊙B：（x+2）2+y2=36上一动点，点A（2，0），线段AP垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程．'例3.'已知△ABC 的周长等于18，B 、C 两点坐标分别为（0，4），（0，-4），求A 点的轨迹方程．'椭圆的标准方程知识讲解1．椭圆的标准方程【知识点的认识】椭圆标准方程的两种形式：（1）（a ＞b ＞0），焦点在x 轴上，焦点坐标为F （±c ，0），焦距|F 1F 2|＝2c ；（2）（a ＞b ＞0），焦点在y 轴上，焦点坐标为F （0，±c ），焦距|F 1F 2|＝2c ．两种形式相同点：形状、大小相同；都有a ＞b ＞0；a 2＝b 2+c 2两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．标准方程（a ＞b ＞0）中心在原点，焦点在x 轴上（a ＞b ＞0）中心在原点，焦点在y 轴上图形顶点A（a ，0），A ′（﹣a ，0）B （0，b ），B ′（0，﹣b ）A （b ，0），A ′（﹣b ，0）B （0，a ），B ′（0，﹣a ）对称轴x 轴、y 轴，长轴长2a ，短轴长2b焦点在长轴长上x 轴、y 轴，长轴长2a ，短轴长2b焦点在长轴长上焦点F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）F 1（0，﹣c ），F 2（0，c ）焦距|F 1F 2|＝2c （c ＞0）c 2＝a 2﹣b 2|F 1F 2|＝2c （c ＞0）c 2＝a 2﹣b 2离心率e ＝（0＜e ＜1）e ＝（0＜e ＜1）准线x ＝±y ＝±例题精讲椭圆的标准方程例1.'已知椭圆的焦点在x 轴上，长轴长为12，离心率为，求椭圆的标准方程．'例2.'写出适合下列条件的曲线方程：（1）求椭圆的标准方程．（2）已知双曲线两个焦点分别为F 1（-5，0），F 2（5，0），双曲线上一点P 到F 1，F 2距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．'例3.'若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，且OA⊥OB，求椭圆的方程．'椭圆的性质知识讲解1．椭圆的性质【知识点的认识】1．椭圆的范围2．椭圆的对称性3．椭圆的顶点顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．4．椭圆的离心率①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．例题精讲椭圆的性质例1.'求满足下列条件的椭圆或双曲线的标准方程：（1）椭圆的焦点在y轴上，焦距为4，且经过点A（3，2）；（2）双曲线的焦点在x轴上，右焦点为F，过F作重直于x轴的直线交双曲线于A，B两点，且|AB|=3，离心率为．'例2.'已知中心在原点的椭圆C的两个焦点和椭圆C1：4x2+9y2=36的两个焦点是一个正方形的四个顶点，且椭圆C过点A（2，-3）．（1）求椭圆C的方程；（2）若PQ是椭圆C的弦，O是坐标原点，OP⊥OQ，已知直线OP的斜率为，求点Q的坐标．'例3.'如图，椭圆E：+=1（a>b>0）经过点A（0，1），且离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）若M点为右准线上一点，B为左顶点，连接BM交椭圆于N，求的取值范围；（3）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A）证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．'当堂练习解答题练习1.'已知椭圆的中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k>0）与直线AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若，求k的值；（Ⅲ）求四边形AEBF面积的最大值．'练习2.'椭圆C：=1（a>b>0）的左焦点为F1（-1，0），点P（1，）在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点，椭圆C上另一点M满足△ABM的重心为坐标原点O，求△ABM的面积．'练习3.'已知P是右焦点为F的椭圆Γ：上一动点，若|PF|的最小值为1，椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）当PF⊥x轴且点P在x轴上方时，设直线l与椭圆Γ交于不同的两点M，N，若PF平分∠MPN，则直线l的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．'练习4.'己知椭圆的一个顶点坐标为（2，0），离心率为，直线y=x+m 交椭圆于不同的两点A，B．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设点C（1，1），当△ABC的面积为1时，求实数m的值．'练习5.'已知椭圆Γ：，B1，B2分别是椭圆短轴的上下两个端点，F1是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于点B1，B2的点，若△B1F1B2的边长为4的等边三角形．（1）写出椭圆的标准方程；（2）当直线PB1的一个方向向量是（1，1）时，求以PB1为直径的圆的标准方程；（3）设点R满足：RB1⊥PB1，RB2⊥PB2，求证：△PB1B2与△RB1B2的面积之比为定值．'练习6.'已知曲线Γ：=1的左、右顶点分别为A，B，设P是曲线Γ上的任意一点．（1）当P异于A，B时，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1∙k2是定值；（2）设点C满足=λ（λ>0），且|PC|的最大值为7，求λ的值．'练习7.'已知椭圆C：的左、右焦点分别是E、F，离心率，过点F的直线交椭圆C于A、B两点，△ABE的周长为16．（1）求椭圆C的方程；（2）已知O为原点，圆D：（x-3）2+y2=r2（r>0）与椭圆C交于M、N两点，点P为椭圆C 上一动点，若直线PM、PN与x轴分别交于G、H两点，求证：|OG|∙|OH|为定值．'练习8.'已知椭圆E：=1（a>b>0）的离心率为，且过点A（2，0）．（1）求椭圆E的标准方程；（2）问：是否存在过点M（0，2）的直线l，使以直线l被椭圆E所截得的弦CD为直径的圆过点N（-1，0），若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．'练习9.'已知椭圆C：=1（a>b>0）的短轴长为2，离心率为，直线l：y=k（x-1）与椭圆C交于不同的两点M，N，A为椭圆C的左顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）当△AMN的面积为时，求1的方程．'练习10.'求与双曲线-=1有相同的焦点，且过点M（2，1）的椭圆的方程．'练习11.'求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴上，a=6，e=；（2）焦点在y轴上，c=3，e=．'练习12.'已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且此焦点和x轴上的较近端点的距离为4（-1），求椭圆方程．'。
人教高中数学 选修2-1 第二章 2.2.1椭圆的定义与标准方程
∴ b2=a2－c2=52－42=9
∴所求椭圆的标准方程为
x2 25
y2 9
1
M
F2 x
求椭圆的标准方程 （1）首先要判断类型， （2）用待定系数法求 a , b
椭圆的定义 a2=b2+c2
例 2 . 已 知 椭 圆 的 两 个 焦 点 坐 标 分 别 为 （ -2 ， 0 ） ， （ 2 ， 0 ） 并 且 经 过 点 （ 5， -3） ， 求 它 的 标 准 方 程 .
a2 c2 0,设a2c2b2(b0),
b2x2a2y2a2b2
椭圆的标
两边除以 a 2b 2 得
x2 a2
by22
1(ab0).
准方程
刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程， 如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢？
由椭圆的定义得，限制条件： |P1F ||P2F |2 a 由于 |P 1 | F x 2 (y c ) 2 ,|P 2 | F x 2 (y c ) 2
2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
1. 改变两图钉之间的距离，使其与 绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
回忆圆标 准方程推 导步骤
结论：若把绳长记为2a，两定点间
的距离记为2c(c≠0).
（1）当2a>2c时，轨迹是
；
（2）当2a=2c时，轨迹
是
；
（3）当2a<2c时，
F2 X
(c,0)
O
X
F1 (0,-c)
x2 a2
by22
1(ab0)
y2 a2
bx22
1(ab0)
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1 （2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。 （3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。 （4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在
椭圆知识点总结加例题
椭圆知识点总结加例题一、椭圆的定义和性质1.1 椭圆的定义在平面上，椭圆的定义为：对于给定的两个不重合的实点F1和F2，以及一个实数2a （a>0），定义为到点F1和点F2的距离的和等于2a的点的轨迹，这个轨迹就是椭圆。
1.2 椭圆的几何性质（1）焦点性质：椭圆上到焦点的距离之和是一个常数2a。
（2）长短轴性质：椭圆有两个互相垂直的对称轴，其中较长的轴称为长轴，较短的轴称为短轴。
（3）离心率性质：椭圆的离心率e定义为焦距与长轴的比值，介于0和1之间。
（4）焦点到顶点的连线和短轴的交点为端点的线段称为短轴的焦径。
（5）焦点到顶点的连线和长轴的交点为端点的线段称为长轴的焦径。
1.3 椭圆的方程和标准方程椭圆的一般方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, 其中a、b分别为椭圆长轴和短轴的半轴长。
通过坐标平移和旋转，可以得到椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, 椭圆长轴在x轴上，且椭圆的中心为原点。
1.4 椭圆的参数方程和极坐标方程椭圆的参数方程：$\begin{cases}x=a\cos \theta\\ y=b\sin \theta\end{cases}$, $\theta \in [0, 2\pi)$。
椭圆的极坐标方程：$r(\theta)=\frac{ab}{\sqrt{b^2\cos^2\theta+a^2\sin^2\theta}}$。
二、椭圆的相关性质2.1 椭圆的离心率和焦距的关系设椭圆的长轴和短轴分别为2a和2b，焦点到几点段为2c，则椭圆的离心率e满足关系：$e=\frac{c}{a}$。
2.2 椭圆的面积和周长椭圆的面积：$S=\pi ab$。
椭圆的周长：$L=4aE(e)$，其中E(e)为第二类完全椭圆积分。
2.3 椭圆的切线和法线对于椭圆上任一点P(x，y)，其切线的斜率为$k=-\frac{b^2x}{a^2y}$，切线的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，且斜率为$k$的切线方程为$y-kx+ka^2=0$。
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椭圆的性质▓椭圆的围 椭圆上的点都位于直线x=±a 和y=±b 围成的矩形，所以坐标满足|x|≤a ，|y|≤b. ▓椭圆的离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作22c ce a a==。
②因为a ＞c ＞0，所以e 的取值围是0＜e ＜1。
e 越接近1，则c 就越接近a ，从而22b a c =-越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆。
当且仅当a=b 时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x 2+y 2=a 2。
▓椭圆12222=+b y a x 的图象中线段的几何特征（如下图）：（1）122PF PF a +=，1212||||||||PF PF e PM PM ==，2122||||a PM PM c+=；（2）12BF BF a ==，12OF OF c ==，2221A B A B a b ==+；（3）1122A F A F a c ==-,1221A F A F a c ==+，c a PF c a +≤≤-1；▓椭圆标准方程中的三个量a 、b 、c 的几何意义 椭圆标准方程中，a 、b 、c 三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a ＞b ＞0，a ＞c ＞0，且a 2=b 2+c 2。
▓椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x 2、y 2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
▓平面点与椭圆的位置关系 椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M （x,y ），若点M （x,y ）在椭圆上，则有22221x y a b +=(0)a b >>；若点M （x,y ）在椭圆，则有22221x y a b +<(0)a b >>；若点M （x,y ）在椭圆外，则有22221x y a b+>(0)a b >>. ▓直线与椭圆的相交弦 设直线y kx b =+交椭圆22221x y a b+=(0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则22121212||()()PP x x y y =-+-=22121212()[1()]y y x x x x --+-=2121||k x x +-同理可得121221||1||(0)PP y y k k =+-≠这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：2121212||()4x x x x x x -=--;2121212||()4y y y y y y -=--▓例 1. 已知椭圆的对称轴为坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且2cos 3OFA ∠=，求椭圆的方程。
【解析】椭圆的长轴长为6，2cos3OFA∠=，所以点A不是长轴的顶点，是短轴的顶点，所以|OF|=c，||3AF a====，233c=，所以c=2，b2=32－22=5，故椭圆的方程为22195x y+=或22159x y+=。
▓【变式3】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点12,F F在x轴上，离心率为2．过点1F的直线l交C于A，B两点，且2ABF∆的周长为16，那么C的方程为______ 【答案】221168x y+=。
▓例2.（1的两段，求其离心率；（2）已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4，求其离心率。
【解析】（1）由题意得()()a c a c+-=∶即11ee+=-解得5e=-（2）由题意得104a ca c+=⎧⎨-=⎩，解得73ac=⎧⎨=⎩，故离心率37cea==。
▓【变式1】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（）11...5432A B C D【答案】D▓【变式2】椭圆22221x ya b+=上一点到两焦点的距离分别为12d d、，焦距为2c，若122d c d、、成等差数列，则椭圆的离心率为＿＿＿＿＿【答案】12▓例3. 设M为椭圆22221(0)x ya ba b+=>>上一点，F1、F2为椭圆的焦点，若∠MF1F2=75°，∠MF2F1=15°，求椭圆的离心率。
【解析】在△MF1F2中，由正弦定理得12122112||||2sin sin sinMF MFcF MF MF F MF F==∠∠∠即12||||2sin90sin15sin75MF MFc==︒︒︒∴2|1||2|2sin90sin15sin75sin15sin75c MF MF a+==︒︒+︒︒+︒，∴1sin15sin75cea===︒+︒。
▓【变式1】以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于＿＿＿＿。
1▓【变式2】已知椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点A ，上顶点为B ，若BF ⊥BA ，求离心率____。
【解析】 根据题意，|AB 2|=a 2+b 2，|BF|=a ，|AF|=a+c ，所以在Rt △ABF 中，有(a+c)2=a 2+b 2+a 2，化简得c 2+ac ―a 2=0，等式两边同除以a 2，得e 2+e ―1=0，解得e =。
又∵0＜e ＜1，∴e =。
▓例4．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，F 1，F 2是两个焦点，若椭圆上存在一点P ，使1223F PF π∠=，求其离心率e 的取值围。
【解析】△F 1PF 2中，已知1223F PF π∠=，|F 1F 2|=2c ，|PF 1|+|PF 2|=2a ，由余弦定理：4c 2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|cos120°①又|PF 1|+|PF 2|=2a ②联立① ②得4c 2=4a 2-|PF 1||PF 2|，∴2212|PF ||PF |4a 4c =-2222222122a |PF ||PF |()a 4a 4c a 3a 4c 02≤=⇒-≤⇒-≤c e 1a ⇒≥⇒≤< ▓【变式】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，以a ，b ，c 为系数的关于x 的方程20ax bx c ++=无实根，求其离心率e 的取值围。
【答案】由已知，240b ac ∆=-<，所以22()40a c ac --<，即2240c ac a +->，不等式两边同除2a 可得2410e e +->，解不等式得2e <或2e >.由椭圆的离心率(0,1)e ∈，所以所求椭圆离心率2,1)e ∈.▓例6. 已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程． 【解析】解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得 ()()0232122212222=+-+--+k k x k k x k ．由韦达定理得22212122k k k x x +-=+．∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得21-=k ．所以所求直线方程为0342=-+y x ． 解法二：设过⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ，，， ①－②得0222212221=-+-y y x x ．将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ，即直线的斜率为21-．所求直线方程为0342=-+y x ．▓【变式1】已知点P （4，2）是直线l 被椭圆221369x y +=所截得线段的中点，求直线l 的方程. 【答案】直线l 的方程为x+2y －8=0▓【变式2】若直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点，数m 的取值围。
【答案】51≠≥m m 且时，直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点 ▓ 椭圆（2013高考题）▓▓（2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ5）设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，则C 的离心率为（ ）B.13C.12【解析】选 D. 因为21212,30PF F F PF F ⊥∠=,所以2122tan 30,33PF c c PF c ===。
又1223PF PF a +==，所以3c a ==3，选D. ▓(2013·大纲版全国卷高考理科·T8)椭圆C:13422=+y x 的左、右顶点分别为1A ,2A ,点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值围是 ( ) A.1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B.3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D.314⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【解析】选B.设),(00y x P ，则2200143x y ，2002-=x y k PA ，2001+=x y k PA1PA k 222002203334444PA x yk x x ，故1PA k 2143PA k -=.因为]1,2[2--∈PA k ,所以]43,83[1∈PA k ▓（2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ8）已知F 1（-1,0）,F 2（1,0）是椭圆C 的两个焦点,过F 2且垂直于x 轴的直线交于A,B 两点,且错误!未找到引用源。
=3,则C 的方程为 ( )A.2212x y += B.22132x y += C.22143x y += D.22154x y += 【解析】选 C.设椭圆得方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，由题意知232=a b ，又1222=-=b a c ，解得2=a 或21-=a （舍去），而32=b ，故椭圆得方程为13422=+y x . ▓（2013·高考文科·Ｔ9）从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点1F ，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且//AB OP （O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是（）A.4B. 12C. 2D. 2【解析】选C ，根据题意可知点P 0(,)c y ，代入椭圆的方程可得222202b c y b a =-，根据//AB OP ，可知11PF BO F O OA =，即0y b c a =，解得0bc y a=，即2222222b c b c b a a -=，解得2c e a ==，故选C.▓（2013·高考文科·Ｔ9）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 的方程是（ ） A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 【解析】选 D.设C 的方程为222210x y a b a b ，（），则11,,2,2c c e a b a =====，C 的方程是13422=+y x . ▓（2013·高考文科·Ｔ11）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F,C 与过原点的直线相交于A,B 两点,连接AF,BF. 若|AB|=10,|BF|=8,cos ∠ABF=45,则C 的离心率为 ( ) A.35 B.57 C.45 D.67【解析】选B.在三角形ABF 中，由余弦定理得2222cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠,又410,8,cos 5AB BF ABF ==∠=解得 6.AF =在三角形ABF 中，2222221086AB BF AF ==+=+，故三角形ABF 为直角三角形.设椭圆的右焦点为F '，连接,AF BF '',根据椭圆的对称性，四边形AFBF '为矩形，则其对角线10,FF AB '==且8BF AF '==，即焦距210,c =又据椭圆的定义，得2AF AF a '+=，所以26814a AF AF '=+=+=.故离心率25.27c c e a a === ▓(2013·高考数学科·T12) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为【解析】由原点到直线BF 的距离为1d 得1bcd a =，因F 到l 的距离为2d 故22a d c c =-，又126d d =所以2222226616a bc bc b c a c e e c a a a -=⇒-=⇒-=又21b e a=-解得33e =▓（2013·高考文科·T12）与（2013·高考理科·T9）相同 设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4π=∠CBA .若AB=4，BC=2，则Γ的两个焦点之间的距离为 .【解析】 如图所示，以AB 的中点O 为坐标原点,建立如图所示的坐标系.)1,1(3,1,145,2,4,C AD DB CD CBA BC AB AB CD AB D ⇒===⇒︒=∠==⊥上，且在设38,34,111)11(,422222222==⇒+==+=⇒c b c b a b a C a 代入椭圆标准方程得，把6342=⇒c ▓（2013·高考理科·Ｔ14）相同 椭圆Γ: 22221(0)+=>>x y a b a b的左、右焦点分别为F 1,F 2,焦距为2c.若直线y=错误!未找到引用源。