天津市河东区2014届高三一模理科数学试卷(带解析)
2014年天津市高考数学试卷(理科)(附参考答案+详细解析Word打印版)
2014年天津市普通高等学校招生统一考试数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分）1．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．53．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．15 B．105 C．245 D．9454．（5分）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=16．（5分）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC 于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④A F•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④7．（5分）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件8．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC 上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．11．（5分）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为．13．（5分）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为．14．（5分）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．16．（13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．18．（13分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．19．（14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1，x i∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a n＜b n，则s＜t．20．（14分）设f（x）=x﹣ae x（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．2014年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分）1．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i，即求出值．【解答】解：复数==，故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题．2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=1+2×1=3，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．15 B．105 C．245 D．945【分析】算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值，∵跳出循环的i值为4，∴输出S=1×3×5×7=105．故选：B．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．4．（5分）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【分析】令t=x2﹣4＞0，求得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），且函数f（x）=g（t）=log t．根据复合函数的单调性，本题即求函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．再利用二次函数的性质可得，函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．【解答】解：令t=x2﹣4＞0，可得x＞2，或x＜﹣2，故函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），当x∈（﹣∞，﹣2）时，t随x的增大而减小，y=log t随t的减小而增大，所以y=log（x2﹣4）随x的增大而增大，即f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增．故选：D．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．6．（5分）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC 于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④【分析】本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项．【解答】解：∵圆周角∠DBC对应劣弧CD，圆周角∠DAC对应劣弧CD，∴∠DBC=∠DAC．∵弦切角∠FBD对应劣弧BD，圆周角∠BAD对应劣弧BD，∴∠FBD=∠BAF．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAF=∠DAC．∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即结论①正确．又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB．由，FB2=FD•FA．即结论②成立．由，得AF•BD=AB•BF．即结论④成立．正确结论有①②④．故选：D．【点评】本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于基础题．7．（5分）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：若a＞b，①a＞b≥0，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞b•b，此时成立．②0＞a＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为﹣a•a＞﹣b•b，即a2＜b2，此时成立．③a≥0＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞﹣b•b，即a2＞﹣b2，此时成立，即充分性成立．若a|a|＞b|b|，①当a＞0，b＞0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＞0，因为a+b ＞0，所以a﹣b＞0，即a＞b．②当a＞0，b＜0时，a＞b．③当a＜0，b＜0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＜0，因为a+b ＜0，所以a﹣b＞0，即a＞b．即必要性成立，综上“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键．8．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC 上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由•=1，求得4λ+4μ﹣2λμ=3 ①；再由•=﹣，求得﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．结合①②求得λ+μ的值．【解答】解：由题意可得若•=（+）•（+）=+++=2×2×cos120°++λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．•=﹣•（﹣）==（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．由①②求得λ+μ=，故选：C．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取60名学生．【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60，故答案为：60．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．【分析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4，∴几何体的体积V=π×12×4+×π×22×2=4π+π=π．故答案为：．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．11．（5分）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为﹣．【分析】由条件求得，S n=，再根据S1，S2，S4成等比数列，可得=S1•S4，由此求得a1的值．【解答】解：由题意可得，a n=a1+（n﹣1）（﹣1）=a1+1﹣n，S n==，再根据若S1，S2，S4成等比数列，可得=S1•S4，即=a1•（4a1﹣6），解得a1=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式，等比数列的定义和性质，属于中档题．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为﹣．【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c，b=，再由余弦定理求得cosA=的值．【解答】解：在△ABC中，∵b﹣c= a ①，2sinB=3sinC，∴2b=3c ②，∴由①②可得a=2c，b=．再由余弦定理可得cosA===﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．13．（5分）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为3．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出B的坐标的值，代入x2+（y﹣2）2=4，可得a的值．【解答】解：直线ρsinθ=a即y=a，（a＞0），曲线ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，即x2+（y﹣2）2=4，表示以C（0，2）为圆心，以2为半径的圆，∵△AOB是等边三角形，∴B（a，a），代入x2+（y﹣2）2=4，可得（a）2+（a﹣2）2=4，∵a＞0，∴a=3．故答案为：3．【点评】本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，求出B的坐标是解题的关键，属于基础题．14．（5分）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为（0，1）∪（9，+∞）．【分析】由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，作出函数y=f（x），y=a|x ﹣1|的图象利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，作出函数y=f（x），y=g（x）=a|x﹣1|的图象，当a≤0，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件，则a＞0，此时g（x）=a|x﹣1|=，当﹣3＜x＜0时，f（x）=﹣x2﹣3x，g（x）=﹣a（x﹣1），当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时﹣x2﹣3x=﹣a（x﹣1），即x2+（3﹣a）x+a=0，则由△=（3﹣a）2﹣4a=0，即a2﹣10a+9=0，解得a=1或a=9，当a=9时，g（x）=﹣9（x﹣1），g（0）=9，此时不成立，∴此时a=1，要使两个函数有四个零点，则此时0＜a＜1，若a＞1，此时g（x）=﹣a（x﹣1）与f（x），有两个交点，此时只需要当x＞1时，f（x）=g（x）有两个不同的零点即可，即x2+3x=a（x﹣1），整理得x2+（3﹣a）x+a=0，则由△=（3﹣a）2﹣4a＞0，即a2﹣10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9，综上a的取值范围是（0，1）∪（9，+∞），方法2：由f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，若x=1，则4=0不成立，故x≠1，则方程等价为a===||=|x﹣1++5|，设g（x）=x﹣1++5，当x＞1时，g（x）=x﹣1++5≥，当且仅当x﹣1=，即x=3时取等号，当x＜1时，g（x）=x﹣1++5=5﹣4=1，当且仅当﹣（x ﹣1）=﹣，即x=﹣1时取等号，则|g（x）|的图象如图：若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则满足a＞9或0＜a＜1，故答案为：（0，1）∪（9，+∞）【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期；（Ⅱ）由（Ⅰ）化简的函数解析式和条件中x的范围，求出的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=cosx•（sinx cosx）====所以，f（x）的最小正周期=π．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，由x∈[﹣，]得，2x∈[﹣，]，则∈[，]，∴当=﹣时，即=﹣1时，函数f（x）取到最小值是：，当=时，即=时，f（x）取到最大值是：，所以，所求的最大值为，最小值为．【点评】本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的周期公式应用，考查了整体思想和化简计算能力，属于中档题．16．（13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的3名同学是来自互不相同学院的基本事件个数，代入古典概型概率公式求出值；（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，（k=0，1，2，3）列出随机变量X的分布列求出期望值．【解答】（Ⅰ）解：设“选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A，则，所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为．（Ⅱ）解：随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，（k=0，1，2，3）所以随机变量X的分布列是随机变量X的数学期望．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，互斥事件，离散型随机变量的分布列与数学期望，考查应用概率解决实际问题的能力．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．【分析】（I）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE，DC 的方向向量，根据•=0，可得BE⊥DC；（II）求出平面PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）根据BF⊥AC，求出向量的坐标，进而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值．【解答】证明：（I）∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）∴=（0，1，1），=（2，0，0）∵•=0，∴BE⊥DC；（Ⅱ）∵=（﹣1，2，0），=（1，0，﹣2），设平面PBD的法向量=（x，y，z），由，得，令y=1，则=（2，1，1），则直线BE与平面PBD所成角θ满足：sinθ===，故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为．（Ⅲ）∵=（1，2，0），=（﹣2，﹣2，2），=（2，2，0），由F点在棱PC上，设=λ=（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），故=+=（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），由BF⊥AC，得•=2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0，解得λ=，即=（﹣，，），设平面FBA的法向量为=（a，b，c），由，得令c=1，则=（0，﹣3，1），取平面ABP的法向量=（0，1，0），则二面角F﹣AB﹣P的平面角α满足：cosα===，故二面角F﹣AB﹣P的余弦值为：【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．18．（13分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．【分析】（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F2（c，0），由|AB|=|F1F2|．可得，再利用b2=a2﹣c2，e=即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b2=c2．可设椭圆方程为，设P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得，．利用圆的性质可得，于是=0，得到x0+y0+c=0，由于点P在椭圆上，可得．联立可得=0，解得P．设圆心为T（x1，y1），利用中点坐标公式可得T，利用两点间的距离公式可得圆的半径r．设直线l的方程为：y=kx．利用直线与圆相切的性质即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F2（c，0），由|AB|=|F1F2|，可得，化为a2+b2=3c2．又b2=a2﹣c2，∴a2=2c2．∴e=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b2=c2．因此椭圆方程为．设P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得=（x0+c，y0），=（c，c）．∵，∴=c（x0+c）+cy0=0，∴x0+y0+c=0，∵点P在椭圆上，∴．联立，化为=0，∵x0≠0，∴，代入x0+y0+c=0，可得．∴P．设圆心为T（x1，y1），则=﹣，=．∴T，∴圆的半径r==．设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx．∵直线l与圆相切，∴，整理得k2﹣8k+1=0，解得．∴直线l的斜率为．【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．19．（14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1，x i∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a n＜b n，则s＜t．【分析】（Ⅰ）当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|x=x1+x2•2+x3•22，x i∈M，i=1，2，3}．即可得到集合A．（Ⅱ）由于a i，b i∈M，i=1，2，…，n．a n＜b n，可得a n﹣b n≤﹣1．由题意可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…+（a n﹣1﹣b n﹣1）q n﹣2+（a n﹣b n）q n﹣1≤（q﹣1）+（q﹣1）q+…+（q﹣1）q n﹣2﹣q n﹣1再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】（Ⅰ）解：当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|x=x1+x2•2+x3•22，x i∈M，i=1，2，3}．可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．（Ⅱ）证明：由设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．a n＜b n，∴s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…+（a n﹣1﹣b n﹣1）q n﹣2+（a n﹣b n）q n﹣1≤（q﹣1）+（q﹣1）q+…+（q﹣1）q n﹣2﹣q n﹣1=（q﹣1）（1+q+…+q n﹣2）﹣q n﹣1=﹣q n﹣1=﹣1＜0．∴s＜t．【点评】本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．20．（14分）设f（x）=x﹣ae x（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．【分析】（Ⅰ）对f（x）求导，讨论f′（x）的正负以及对应f（x）的单调性，得出函数y=f（x）有两个零点的等价条件，从而求出a的取值范围；（Ⅱ）由f（x）=0，得a=，设g（x）=，判定g（x）的单调性即得证；（Ⅲ）由于x1=a，x2=a，则x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln，令=t，整理得到x1+x2=，令h（x）=，x∈（1，+∞），得到h（x）在（1，+∞）上是增函数，故得到x1+x2随着t的减小而增大．再由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，即得证．【解答】解：（Ⅰ）∵f （x ）=x ﹣ae x ，∴f′（x ）=1﹣ae x ；下面分两种情况讨论：①a ≤0时，f′（x ）＞0在R 上恒成立，∴f （x ）在R 上是增函数，不合题意； ②a ＞0时，由f′（x ）=0，得x=﹣lna ，当x 变化时，f′（x ）、f （x ）的变化情况如下表：∴f （x ）的单调增区间是（﹣∞，﹣lna ），减区间是（﹣lna ，+∞）；∴函数y=f （x ）有两个零点等价于如下条件同时成立：①f （﹣lna ）＞0；②存在s 1∈（﹣∞，﹣lna ），满足f （s 1）＜0；③存在s 2∈（﹣lna ，+∞），满足f （s 2）＜0；由f （﹣lna ）＞0，即﹣lna ﹣1＞0，解得0＜a ＜e ﹣1；取s 1=0，满足s 1∈（﹣∞，﹣lna ），且f （s 1）=﹣a ＜0，取s 2=+ln ，满足s 2∈（﹣lna ，+∞），且f （s 2）=（﹣）+（ln ﹣）＜0；∴a 的取值范围是（0，e ﹣1）．（Ⅱ）证明：由f （x ）=x ﹣ae x =0，得a=， 设g （x ）=，由g′（x ）=，得g （x ）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，并且当x ∈（﹣∞，0）时，g （x ）≤0，当x ∈（0，+∞）时，g （x ）≥0，x1、x2满足a=g（x1），a=g（x2），a∈（0，e﹣1）及g（x）的单调性，可得x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；对于任意的a1、a2∈（0，e﹣1），设a1＞a2，g（X1）=g（X2）=a1，其中0＜X1＜1＜X2；g（Y1）=g（Y2）=a2，其中0＜Y1＜1＜Y2；∵g（x）在（0，1）上是增函数，∴由a1＞a2，得g（X i）＞g（Y i），可得X1＞Y1；类似可得X2＜Y2；又由X、Y＞0，得＜＜；∴随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明：∵x1=a，x2=a，∴lnx1=lna+x1，lnx2=lna+x2；∴x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln，设=t，则t＞1，∴，解得x1=，x2=，∴x1+x2=…①；令h（x）=，x∈（1，+∞），则h′（x）=；令u（x）=﹣2lnx+x﹣，得u′（x）=，当x∈（1，+∞）时，u′（x）＞0，∴u（x）在（1，+∞）上是增函数，∴对任意的x∈（1，+∞），u（x）＞u（1）=0，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上是增函数；∴由①得x1+x2随着t的增大而增大．由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，∴x1+x2随着a的减小而增大．【点评】本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了函数思想、化归思想、抽象概括能力和分析问题、解决问题的能力，是综合型题目．。
天津市河东区高考一模理科数学试卷及答案
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河东 区 2015 年 高 考 一 模考 试
数学试卷（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试
用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．已知变量 满足约束条件 则 的最大值为（ ）
A． －3
B． 0
C．1
D．3
3．某程序框图如图1所示，则输出的结果S=（ ）
A．26
B．57
C．120
D．247
4．函数 在定义域内的零点的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
5．下列说法正确的是个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
河东 区 2015 年 高 考 一 模考 试
数学试卷（理工类）
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡横线上.）
9．一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，若用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，则样本中女运动员的人数为人．
0
1
2
3
（1）求至少有一位学生做对该题的概率；
（2）求 ， 的值；
（3）求 的数学期望.
17. （本小题满分13分）
等边三角形 的边长为3，点 、 分别是边 、 上的点，且满足 （如图4）．将△ 沿 折起到△ 的位置，使二面角 成直二面角，连结 、
天津河东区届高三第一次模拟考试数学(理)
天津市河东区高三第一次模仿测验数学(理工类)本试卷分第1卷(选择题)和第U卷(非选择题)两部分,共150分,测验用时120分钟．第1卷1至3页,第1I卷4至10页．测验停止后,将本试卷和答题卡一并交回·祝列位考生测验顺遂!第I卷(选择题共50分)一.选择题：本题共10个小题,每小题5分．共50分．每小题给出的四个选项只有一个相符标题请求．I．设聚集,,则下图中暗影暗示的聚集为( )A.（∞,1）B.(1,3)C.(1,3)D.(1,+∞)2．已知数列．为等差数列,且,则的值为( )A．2 B．1C． D．3．已知为偶函数,则可以取的一个值为( )A． B． C． D．4．设复数Z+i在映射下的象为．则复数1+2i的原象为( ) A．2 B．2i C．2+i D．1+3i5．给定空间中的直线l及平面a．前提“直线l与平面a内很多条直线都垂直”是“直线l与平面a垂直”的( )A．充要前提 B．充分非须要前提C．须要非充分前提 D．即非充分又非须要前提6·图(1)是某校高中学生身高条形统计图,从左到右的各条形图暗示的学生人数依次为 (暗示身高在[150,155]内的学生人效)(单位：cm),图(2)是统计图(1)中身高在必定规模内学生人敛的一个算法流程图,现要统计身高在160～180cm(含160cm,不含 1 80cm)的学生人数．那么在流程图中的断定框内应填写的前提是( )A．i<6 B．i<7 C．i<8 D．i<9??·长方体中.AB.的中点,则异面直线A．??????B．,则知足前提9. 已知界说在R上的函数f(x)是奇函数,且f(2)=0,当x>0时有,则不等式的解集是（）A．（2,0）∪（2,+∞） B. (∞,2∪(0,2)C (2,0) ∪(0,2) .D. （2,2）∪（2,+∞）10．已知曲线上一点P到两定点A(0,2),B(0,2)的距离之差为2,则的值为（）A. 12B. 12C. 9D. 9二.填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分．把答案填在题中横线上．)11．在平面直角坐标系中,若直axy+1=0经由抛物线的核心,则实数a=_______·12．从长度分离是1cm,3cm,5cm.7cm.9cm的5条线段中任取3条作为三角形的三条边能组成三角形的概率为_______________·13.对于命题p：消失,使得的否天命题是____________________.14．设数列的前n项和为,对于所有n≥1,,且则=____________________15.一个几何体的三视图如下图所示,则该几何体(不斟酌接触点)的概况积为_____________16．己知则=_____________三.解答题：(本大题6个题,共76分)17．(本小题满分{2分)已知函数(1)求函数,的最大值,并求取得最大值时x值的聚集：(2)求函数的最小正周期,并断定函数的图象与x轴是否有交点,请解释理出．18．(本小题满分12分)袋中有质地.大小完整雷同的5个小球,编号分离为I.2,3,4,5,甲.乙两人玩一种游戏．甲先摸出一个球．记下编号,放回后再摸出一个球,记下编号,假如两个编号之和为偶数．则算甲赢,不然算乙赢．(1)求甲赢且编号之和为6的事宜产生的概率：(2)试问：这种游戏规矩公正吗．请解释来由．19．(本小题满分12分)如图,平面是正方形.ABEF是矩形,G是线段EF 的中点,且B点在平面ACG内的射影在CG上．(1)求证：AG上平面BCG;(2)求直线BE与平面ACG所成角的正弦值．20．(本小题满分12分)已知数列中,对随意率性正整数N,都有：(1)若数列是首项和公役都是1的等差数列,求证数列是等比数列：(2)若数列是等比数列,数列是否为等差数列?若是,请求出通项公式：若不是．请解释来由．22．(本小题满分14分)在四边形ABCD中,已知A(0,0),D(0,4)点B在x轴上．BC//AD,且对角线．(1)求点C的轨迹T的方程;(2)若点P是直线y=2x一5上随意率性一点,过点p作点C的轨迹T的两切线PE.PF.E.F为切点．M为EF的中点．求证：PM//Y轴或PM与y轴重合：(3)在(2)的前提下,直线EF是否恒过必定点?若是,请求出这个定点的坐标;若不是．请解释来由．。
2014年高考理科数学天津卷-答案
34i，即求出值【解析】作出可行域，如图：【解析】由弦切角定理得FBD EACBAE ，又AF BD AB BF =，排除A 、C. DBC ，排除B 、故选D.本题利用角与弧的关系，得到角相等，，所以||||cos1202AB AD AB AD =︒=-，所以AE AB AD λ=+，AF AB AD μ=+.因为1AE AF =，所以()()1AB AD AB AD λμ++=，即2λ2-②，①+②得5λμ+=，故选C. 【提示】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义求得2120ππ4π2233+=m 【考点】空间立体图形三视图、体积.结合图象可知01a <<或9a >.][),4∞+，所以][)9,∞+.结合图象可得01a <<或9a >.1sin 2x x ⎛+ ⎝3cos 2x x -43π3x 的范围，再利用正弦函数的性质求出再已【考点】三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法1203373734960C C C C +=. 3463k k C C -(k =3463k kC C -(k =(0,0,2)P.由E为棱PC的中点，得(1,1,1)E.证明：向量(0,1,1)BE=，(2,0,0)DC=，故0BE DC=.所以，）向量(1,2,0)BD=-，(1,0,PB=设(,,)n x y z=0,0,n BDn PB⎧=⎪⎨=⎪⎩即-⎧，可得(2,1,1)n=为平面的一个法向量,||||6n BEn BEn BE==⨯与平面PBD3）向量(1,2,0)BC=，(2,CP=-，(2,2,0)AC=，(1,0,0)AB=由点F在棱PC上，设CF CPλ=，0≤故()1,2BF BC CF BC CPλλλ=+=+=-.，得0BF AC=，因此，2(1即12BF⎛=-设(1,n x y=为平面FAB的法向量，则110,0,n ABn BF⎧=⎪⎨=⎪⎩即，可得1(0,n=-FAB的一个法向量的法向量1(0,1,0)n=121212,||||10n nn nn n-==31010.【提示】（1）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE ，DC 的方向向量，根据0BE DC =，可得BE DC ⊥；（2）求出平面PBD 的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值； （3）根据BFAC ，求出向量BF 的坐标，进而求出平面F AB 和平面ABP 的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F ABP 的余弦值2，有10(F P x =+，1(,)F B c c =由已知，有110F P F B =，即1.②由①和②可得234x cx +可得1F P ，1F B .利用圆的性质可得11F B F P ⊥，于是110F B F P =，得到040cx =，解得1n n a q -++1n n b q -++1,2,,n 及n a (1n a -++-()1q ++-q。
天津市河东区2014届高三一模试题理科数学试卷(带解析)
天津市河东区2014届高三一模试题理科数学试卷（带解析）1AC【答案】D【解析】{}{=-≤≤<->或B x x x x x|23|14所以选D．考点：集合的运算．AC=，则BC=( )2(2,4),(1,3)A．(1，1) B．（-1，-1） C．(3，7) D．（-3，-7）【答案】B【解析】所以选B．考点：向量的运算．3( )【答案】D【解析】试题分析：解：A,B,C,题意，选项D中的图象显示，有交点；故选D．考点：函数的零点．4这条直线的斜率是( )A【答案】A【解析】试题分析：解:故选A．考点：1、直线与圆的位置关系；2、同角三角函数基本关系．5．阅读图1的程序框图，该程序运行衍输出的k的值为( ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】试题分析：解:7．所以选C．考点：循环结构．6成等比数列,则xy( )A．有最大值e B．有最小值e D【答案】C【解析】试题分析：解:又,成等比数列，所以C．考点：1、基本不等式的应用；2、对数函数的性质．7．已知棱长为l E，F，M分别是AB、AD又P、Q,MEF论中不成立的是( )A ABCDBC．面MEF与面MPQ不垂直D．当x【答案】D【解析】MEF，所以选项B正确；面只能有一个，所以面MEF与面MPQ不垂直，所以选项C是正确的；唯一的，故选项D不正确．考点：1、直线平面的位置关系；2、直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行与垂直的判定及性质．8R,若存在常数M>0一切实数x均成立，R上的奇函数，且其中是“倍约束函数”的有( )A．1个 B．2个 C．．3个 D．4个【答案】C【解析】试题分析：解：一切实数x均成立，所以该函数是“倍约束函数”；故不存在常数M>0，一切实数x均成立，所以该函数不是“倍约束函数”；③对于函故不存在常数M>0，使一切实数x均成立，所以该函数不是“倍约束函数”；()f xx一切实数x均成立, 所以该函数是“倍约束函数”；R一切实数x均成立, 所以该函数是“倍约束函数”；综上可知“倍约束函数”的有①④⑤共三个，所以应选C．考点：1、新定义；2、赋值法；3、基本初等函数的性质．9__________．【答案】1【解析】所以答案应填1．考点：1、复数的运算．10．如图，AB是圆O的直径，AD=DE，AB=8,BD=6【解析】试题分析：解：因为AB是圆O的直径，所以，所以因为AD=DE考点：1、圆的性质；2、相似三角形．11．三棱柱的直观图和三视图(主视图和俯视图是正方形，左视图是等腰直角三角形）如图所永，则这个三棱柱的全面积等于_____________【解析】试题分析：解考点：1、三视图；2、棱柱的表面积．12为参数)，若以点O(0，0)为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是____________．【解析】考点：圆的参数方程、标准方程和极坐标方程．13．已知关于x 则a 的最小值是__________。
2014年高考天津理科数学试题及答案(word解析版)
xy2O-221FEDCBA 2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2014年天津，理1，5分】i是虚数单位，复数7i34i（）（A）1i（B）1i（C）1731i2525（D）1725i77【答案】A【解析】7i34i7i2525i1i34i34i34i25，故选A．【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题．（2）【2014年天津，理2，5分】设变量x，y满足约束条件2012xyx yy≥--≤+≥-⎧⎪⎨⎪⎩，则目标函数2z x y=+的最小值为（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5【答案】B【解析】作出可行域，如图结合图象可知，当目标函数通过点1,1时，z取得最小值3，故选B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．（3）【2014年天津，理3，5分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值为（）（A）15 （B）105 （C）245 （D）945【答案】B【解析】1i时，3T，3S；2i时，5T，15S；3i时，7T，105S，4i输出105S，故选B．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．（4）【2014年天津，理4，5分】函数212log4f x x的单调递增区间是（）（A）0,（B）,0（C）2,（D）,2【答案】D【解析】240x，解得2x或2x．由复合函数的单调性知f x的单调递增区间为,2，故选D．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．（5）【2014年天津，理5，5分】已知双曲线22221x ya b0,0a b的一条渐近线平行于直线l：210y x，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）（A）221520x y（B）221205x y（C）2233125100x y（D）2233110025x y【答案】A【解析】依题意得22225b acc a b，所以25a，220b，双曲线的方程为221520x y，故选A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．（6）【2014年天津，理6，5分】如图，ABC是圆的内接三角形，BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F．在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF ；②2FB FD FA ；③AE CE BE DE ；④AF BD AB BF ．则所有正确 结论的序号是（ ）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④ 【答案】D 【解析】∵圆周角DBC ∠对应劣弧CD ，圆周角DAC ∠对应劣弧CD ，∴DBC DAC ∠=∠．∵弦切角FBD∠对应劣弧BD ，圆周角BAD ∠对应劣弧BD ，∴FBD BAF ∠=∠．∵BD 是BAC ∠的平分线，∴BAF DAC ∠=∠． ∴DBC FBD ∠=∠．即BD 平分CBF ∠．即结论①正确．又由FBD FAB ∠=∠，BFD AFB ∠=∠，得FBD FAB ∆∆．由FB FD FA FB =，2FB FD FA =⋅．即结论②成立．由BF BDAF AB=，得AF BD AB BF ⋅=⋅．即结论④成立．正确结论有①②④，故选D ．【点评】本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于基础题．（7）【2014年天津，理7，5分】设,a b R ，则|“a b ”是“a a b b ”的（ ） （A ）充要不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充要也不必要条件 【答案】C【解析】解法一：设f x x x ，则220,0,x x x x f x ，所以f x 是R 上的增函数，“a b ”是“a a b b ”的充要条件，故选C ． 解法二：若0a b >≥，则不等式a ab b 等价为a a b b 此时成立．若0a b >>，则不等式a ab b等价为a a b b -⋅>-⋅，即22a b <，此时成立．若0a b ≥>，不等式a a b b 等价为a a b b ⋅>-⋅，即22a b >-，此时成立，综上则“ab ”是“a ab b ”的充要条件，故选C ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质 结合分类讨论是解决本题的关键．（8）【2014年天津，理8，5分】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC ，DFDC ．若1AE AF ，23CE CF ，则（ ） （A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）712【答案】C 【解析】因为120BAD，所以cos1202AB ADAB AD ．因为BE BC ，所以AEABAD ，AFAB AD ．因为1AE AF ，所以1ABADABAD，即3222① 同理可得23 ②，①+②得56，故选C ． 【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．第II 卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． （9）【2014年天津，理9，5分】某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取 名学生． 【答案】60【解析】应从一年级抽取4604556300名．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应俯视图侧视图正视图各层的样本数之比，属于基础题．（10）【2014年天津，理10，5分】已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m ． 【答案】203【解析】由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4，∴几何体的体积22182014224333V πππππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=+=．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．（11）【2014年天津，理11，5分】设n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和．若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为 ．【答案】12【解析】依题意得2214S S S ，所以21112146a a a ，解得112a ． 【点评】本题主要考查等差数列的前n 项和公式，等比数列的定义和性质，属于中档题． （12）【2014年天津，理12，5分】在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,abc ．已知14b ca ，2sin 3sin B C ，则cos A 的值为 ．【答案】14【解析】因为2sin 3sin B C ，所以23b c ，解得32cb ，2ac ．所以2221cos 24b c a A bc ．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题． （13）【2014年天津，理13，5分】在以O 为极点的极坐标系中，圆4sin 和直线sin a 相交于,A B两点．若AOB 是等边三角形，则a 的值为 ． 【答案】3【解析】圆的方程为2224x y ，直线为y a ．因为AOB一个交点坐标为,3aa ，代入圆的方程可得3a ．【点评】本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，求出B 坐标是解题的关键，属于基础题．（14）【2014年天津，理14，5分】已知函数23f x x x ，x R ．若方程1f x a x 个互异的实数根，则实数a 的取值范围为 ． 【答案】()()0,19,+∞ 【解析】解法一：（ⅰ）当1y a x 与23y x x 相切时，1a ，此时10f x a x 恰有3个互异的实数根． （ⅱ）当直线1y a x 与函数23yxx 相切时，9a ，此时10f x a x 恰有2个互异的实数根． 结合图象可知01a 或9a ． 解法二：显然1a ，所以231x xa x ．令1tx ，则45at t． 因为,444,tt，所以45,19,tt．结合图象可得01a 或9a ．【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大． 三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）【2014年天津，理15，13分】已知函数()23cos sin 3cos 34f x x x x π⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭，x R ∈．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．解：（1）由已知，有2133cos sin cos 3cos 224f x xx x x2133sin cos cos 224x x x133sin 21cos2444x x13sin 2cos 244x x 1sin 223x ．所以，f x 的最小正周期22T ．（2）因为f x 在区间,412上是减函数，在区间,124上是增函数．144f，1122f， 144f．所以，函数f x 在闭区间,44上的最大值为14，最小值为12．【点评】本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的周期公式2T πω=应用，考查了整体思想和化简计算能力，属于中档题．（16）【2014年天津，理16，13分】某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院． 现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）． （1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（2）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：（1）设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A ，则120337373104960C C C C P A C ． 所以，选出的3名同学来自互不相同学院的概率为4960．所以，f x 的最小正周期22T ．（2）随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3．346310k k C C P xk C 0,1,2,3k ． 所以，随机变量X 的分布列是X0 1 2 3 P1612 310 130 随机变量X 的数学期望1131612362103050E X ． 【点评】本题考查古典概型及其概率公式，互斥事件，离散型随机变量的分布列与数学期望，考查应用概率解决实际问题的能力．（17）【2014年天津，理17，13分】如图，在四棱锥P ABCD 中，PA 底面ABCD ，AD AB ，//AB DC ，2AD DC AP ，1AB ，点E 为棱PC 的中点． （1）证明 BE DC ；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ，求二面角F AB P 的余弦值． 解：解法一：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），可得1,0,0B ，2,2,0C ，0,2,0D ， z y xPE DA0,0,2P ．由E 为棱PC 的中点，得1,1,1E ．（1）向量0,1,1BE ，2,0,0DC ，故0BE DC ．所以，BE DC ．（2）向量1,2,0BD，1,0,2PB．设,,nx y z 为平面PBD 的法向量，则00n BD n PB，即2020x y x z ，不妨令1y，可得2,1,1n 为平面PBD 的一个法向量，223cos ,36n BE n BEn BE．所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33． （3）向量1,2,0BC，2,2,2CP，2,2,0AC ，1,0,0AB ．由点F 在棱PC 上，设CF CP ，01．故12,22,2BF BCCFBCCP．由BF AC ，得0BF AC ，因此，2122220，解得34．即113,,222BF ．设1,,n x y z 为平面FAB 的法向量，则1100n AB n BF，即01130222x x y z ．不妨令1z，可得10,3,1n 为平面FAB的一个法向量．取平面ABP 的法向量20,1,0n ，则1212113310cos ,10101n n n n n n ． 易知，二面角FAB P 是锐角，所以其余弦值为31010． 解法二：（1）如图，取PD 中点M ，连接EM ，AM ．由于,E M 分别为,PC PD 的中点，故//EM DC ，且12EM DC ，又由已知，可得//EM AB 且EM AB ，故四边形ABEM 为平行四边形，所以//BE AM ．因为PA 底面ABCD ，故PA CD ，而 CD DA ，从而CD 平面PAD ，因为AM 平面PAD ，于是CD AM ，又 //BE AM ，所以BE CD ． （2）连接BM ，由（1）有CD 平面PAD ，得CD PD ，而//EM CD ，故PD EM ．又因为AD AP ，M 为PD 的中点，故PD AM ，可得PD BE ，所以PD 平面BEM ，故平面BEM 平面PBD ． 直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM ，而BE EM ，可得EBM 为锐角，故EBM 为直线BE 与平面PBD 所成的角．依题意，有22PD，而M 为PD 中点，可得2AM，进而2BE ．故在直角三角形BEM 中，tan 12EM AB EBMBEBE，因此3in 3s EMB． 所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33． （3）如图，在PAC 中，过点F 作//FH PA 交AC 于点H ．因为PA 底面ABCD ，故FH 底面ABCD ，从而FH AC ．又BF AC ，得AC 平面FHB ，因此AC BH ．在底面ABCD 内，可得3CH HA ，从而3CF FP ．在平面PDC 内，作//FG DC 交PD 于点G ，于是3DG GP ．由于//DC AB ，故//GF AB ，所以,,,A B F G 四点共面．由AB PA ， AB AD ，得AB 平面PAD ，故AB AG ．所以PAG 为二面角F AB P 的平面角．在PAG 中，2PA ，1242PG PD，45APG ，由余弦定理可得102AG ，3os 10c 1PAG．所以，二面角F AB P． 【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．（18）【2014年天津，理18，13分】设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B ．已知1232AB F F ．（1）求椭圆的离心率；（2）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过原点的直线l 与该圆相切． 求 直线的斜率．解：（1）设椭圆的右焦点2F 的坐标为,0c ．由1232AB F F ，可得2223a b c ，又222b a c ，则2212c a ． 所以，椭圆的离心率22e ．223b c ，所以22223a c c ，解得2a c ，22e ．（2）由（1）知222a c ，22b c ．故椭圆方程为222212x y c c ．设00,P x y ．由1,0F c ，0,B c ，有100,F P x c y ，1,F B c c ．由已知，有110F P F B ，即000x c c y c ．又0c ，故有00x y c． ① 又因为点P 在椭圆上，故22002212x y c c ． ② 由①和②可得200340x cx ．而点P 不是椭圆的顶点，故043cx ，代入①得03cy ，即点P 的坐标为4,33c c．设圆的圆心为11,T x y ，则1402323c x c ，12323c cy c ，进而圆的半径221153rx y cc ． 设直线l 的斜率为k ，直线l 的方程为ykx ．由l 1121y r ，即22233531c c kc k ， 整理得2810k k ，解得415k ．所以，直线l 的斜率为415或415． 【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．（19）【2014年天津，理19，14分】已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合0,1,2,1,Mq ，集合112,,1,2,,n n iA x xx x x q x M in q．（1）当2q，3n 时，用列举法表示集合A ；（2）设,s t A ，112n n s a a qa q ，112n n tb b qb q ，其中,i ia b M ，1,2,,n i ．证明：若n n a b ，则st ．解：（1）当2q ，3n 时，0,1M ，12324,,1,2,3iA x xx x x M x i ．可得，0,1,2,3,4,5,6,7A ．（2）由,s tA ，112n n s a a q a q ，112n n t b b qb q ，,i i a b M ，1,2,,n i 及n n a b ，可得21111122nn n nnn sta b a b q a b q a b q21111n n q q qq qq11111nnq q q q10．所以，s t ．【点评】本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n 项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．（20）【2014年天津，理20，14分】已知函数x f xx ae a R ，x R ．已知函数y f x 有两个零点12,x x ，且12x x ．（1）求a 的取值范围；（2）证明21xx 随着a 的减小而增大；（3）证明12x x 随着a 的减小而增大． 解：（1）由x f xx ae ，可得1x fx ae ．下面分两种情况讨论：1）0a 时，0f x 在R 上恒成立，可得f x 在R 上单调递增，不合题意． 2）0a时，由0fx，得ln xa ．当x 变化时，fx ，f x 的变化情况如下表：ln axxln 1a↘ x 的单调递增区间是,ln a ；单调递减区间是ln ,a ．于是，“函数y f x 有两个零点”等价于如下条件同时成立：（1）ln 0f a ；（2）存在1,ln a s ，满足10f s ；3）存在2ln ,a s ，满足20f s ．由ln 0f a，即ln 10a ，解得10a e ，而此时，取10s ，满足1,ln a s ，且10f s a；取222ln s a a，满足2ln ,a s ，且22222ln 0aaf s eeaa．所以，a 的取值范围是10,e ．（2）由0xf x x ae ，有x xae ．设xxg x e ，由1xxg x e ，知g x 在,1上单调递增，在1,上单调递减． 并且，当,0x 时，0g x；当0,x 时，0g x ．由已知，12,x x满足1ag x ，2ag x ．由10,ae，及g x 的单调性，可得10,1x ，21,x ．对于任意的1120,,a a e，设12a a ，121gga ，其中121；122gga ，其中121．因为g x 在0,1上单调递增，故由12a a ，即11gg，可得11；类似可得22．又由11,0，得222111．所以，21x x 随着a 的减小而增大． （3）由11x x ae ，22x x ae ，可得11ln ln x ax ，22ln ln x ax ．故221211ln ln lnx x x x x x ． 设21x t x ，则1t ，且2121ln x tx x x t，解得1ln 1tx t ，2ln 1t tx t ．所以，121ln 1tt x x t ． ①令1ln 1x x h x x ，1,x ，则212ln 1x xx h x x ．令12ln u xx xx， 得21x u xx．当1,x 时，0u x．因此，u x 在1,上单调递增，故对于任意的1,x，10u x u ，由此可得0h x ，故h x 在1,上单调递增．因此，由①可得12x x 随着t 的增大而增大．而由（2），t 随着a 的减小而增大，所以12x x 随着a 的减小而增大．【评析】本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了函数思想、化归思想、抽象概括能力和分析问题、解决问题的能力，是综合型题目．。
数学_2014年天津市河东区高考数学一模试卷(理科)(含答案)
2014年天津市河东区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求．1. 若集合A ＝{x|−2≤x ≤3}，B ＝{x|x <−1或x >4}，则集合A ∩B 等于（ ）A {x|x ≤3或x >4}B {x|−1<x ≤3}C {x|3≤x <4}D {x|−2≤x <−1}2. 若AB →=(2, 4)，AC →=(1, 3)，则BC →=( )A (1, 1)B (−1, −1)C (3, 7)D (−3, −7)3. 若关于x 的方程f(x)−2=0在(−∞, 0)内有解，则y =f(x)的图象可以是（ ） A B CD4. 若直线xcosθ+ysinθ−1=0与圆(x −1)2+(y −sinθ)2=116相切，且θ为锐角，则这条直线的斜率是（ ）A −√33B −√3C √33D √3 5. 阅读图的程序框图，该程序运行后输出的k 的值为（ ）A 5B 6C 7D 86. 已知x >1，y >1，且14lnx ，14，lny 成等比数列，则xy( )A 有最大值eB 有最大值√eC 有最小值eD 有最小值√e7. 已知棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是AB 、AD 、AA 1的中点，又P 、Q 分别在线段A 1B 1、A 1D 1上，且A 1P =A 1Q =x ，0<x <1，设面MEF ∩面MPQ =l ，则下列结论中不成立的是（ ）A l // 面ABCDB l ⊥AC C 面MEF 与面MPQ 不垂直D 当x 变化时，l 不是定直线8. 设函数f(x)的定义域为R ，若存在常数M >0，使得|f(x)|≤M|x|对一切的实数x 都成立，则称f(x)为“倍约束函数”．现给出下列函数：①f(x)=2x ，②f(x)=x 2+1，③f(x)=sinx +cosx ，④f(x)=xx 2−x+3，⑤f(x)是定义在实数集上的奇函数，且对一切的x 1，x 2均有|f(x 1)−f(x 2)|≤2|x 1−x 2|． 其中是“倍约束函数”的有（ ）A 1个B 2个C 3个D 4个二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上.）9. 复数(1+i 1−i)100的值等于________． 10.（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径，AD =DE ，AB =8，BD =6，则DE AC =________．11. 三棱柱三视图（主视图和俯视图是正方形，左视图是等腰直角三角形）如图所示，则这个三棱柱的全面积等于________．12. 曲线C:{x =2+2cosα,y =2sinα（α为参数），若以点O(0, 0)为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是________．13. 已知关于x 的不等式|x −1|+|x +a|≤8的解集不是空集，则a 的最小值是________．14. 在平行四边形ABCD 中，∠A =π3，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM|→|BC|→=|CN|→|CD|→，则AM →⋅AN →的取值范围是________．三、解答题：（本大题6个题，共80分）15. 已知函数f(x)=sin(π−x)sin(π2−x)+cos 2x (1)求函数f(x)的最小正周期；(2)当x ∈[−π8, 3π8]时，求函数f(x)的单调区间．16. 如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天． (I)求此人到达当日空气重度污染的概率；(II)设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望．17. 如图，已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是A 1B 1、CC 1的中点，过D 1、E 、F 作平面D 1EGF 交BB 1于G ．（1）求证：EG // D 1F ；（2）求二面角C 1−D 1E −F 的余弦值；（3）求正方体被平面D 1EGF 所截得的几何体ABGEA 1−DCFD 1的体积．18. 已知函数f(x)=2x+33x ，数列{a n }满足a 1=1，a n+1=f(1a n )，n ∈N ∗． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =1a n−1a n (n ≥2)，b 1=3，S n =b 1+b 2+...+b n ，若S n <m−20042对一切n ∈N ∗成立，求最小正整数m ．19. 给定椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，称圆心在原点O ，半径为√a 2+b 2的圆是椭圆C 的“准圆”．若椭圆C 的一个焦点为F(√2，0)，其短轴上的一个端点到F 的距离为√3．（1）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程．（2）点P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点，过点P 作直线l 1，l 2，使得l 1，l 2与椭圆C 都只有一个交点．求证：l 1⊥l 2．20. 已知函数y =f(x)=−x 3+ax 2+b(a, b ∈R)（1）若函数y =f(x)的图象切x 轴于点(2, 0)，求a 、b 的值；（2）设函数y=f(x)（x∈(0, 1)）的图象上任意一点的切线斜率为k，试求|k|≤1的充要条件；（3）若函数y=f(x)的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于1，求证|a|<√3．2014年天津市河东区高考数学一模试卷（理科）答案1. D2. B3. D4. A5. C6. C7. D8. C9. 110. 3411. 12+4√212. ρ=4cosθ13. −714. [2, 5]15. 解：(I)f(x)=sinx⋅cosx+12cos2x+12=12sin2x+12cos2x+12=√22sin(2x+π4)+12∴ 函数f(x)的最小正周期T=2π2=π(II)当x∈[−π8，3π8]时，2x+π4∈[0,π]∴ 当2x+π4∈[0,π2]即x∈[−π8，π8]时，函数f(x)单调递增当2x+π4∈[π2,π]即x∈[π8，3π8]时，函数f(x)单调递减16. 解：设A i表示事件“此人于3月i日到达该市”(=1, 2,…,13)．根据题意，P(A i)=113，且A i∩A j=⌀(i≠j)．(I)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B=A5∪A8，∴ P(B)=P(A5∪A8)=P(A5)+P(A8)=213．(II)由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，且P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)=P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)=413，P(X =2)=P(A 1∪A 2∪A 12∪A 13)=P(A 1)+P(A 2)+P(A 12)+P(A 13)=413， P(X =0)=1−P(X =1)−P(X =2)=513，∴ X 的分布列为：故X 的期望EX =0×513+1×413+2×413=1213． 17. 证明：（1）在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，∵ 平面ABB 1A 1 // 平面DCC 1D 1平面D 1EGF ∩平面ABB 1A 1=EG ，平面D 1EGF ∩平面DCC 1D 1=D 1F ，∴ EG // D 1F ．解：（2）如图，以D 为原点分别以DA 、DC 、DD 1为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则有D 1(0, 0, 2)，E(2, 1, 2)，F(0, 2, 1)，∴ D 1E →=(2, 1, 0)，D 1F →=(0, 2, −1)设平面D 1EGF 的法向量为n →=(x, y, z)则由n →⋅D 1E →=0，和n →⋅D 1F →=0，得{2x +y =02y −z =0， 取x =1，得y =−2，z =−4，∴ n →=(1, −2, −4)又平面ABCD 的法向量为DD 1→(0, 0, 2)以二面角C 1−D 1E −F 的平面角为θ，则cosθ=||DD 1→|⋅|n →|˙|=4√2121故截面D 1EGF 与底面ABCD 所成二面角的余弦值为4√2121． 解：（3）设所求几何体ABGEA 1−DCFD 1的体积为V ，∵ △EGB 1∽△D 1FC 1，D 1C 1=2，C 1F =1，∴ EB 1=12D 1C 1=1，B 1G =12C 1F =12，∴ S△EB1G =12EB1⋅B1G=12⋅1⋅12=14，S△D1FC1=12D1C1⋅C1F=12⋅2⋅1=1故V棱台D1FC1−EGB1=76∴ V=V正方体−V棱台D1FC1−EGB1=23−76=416．18. 解：（1）∵ f(x)=2x+33x，数列{a n}满足a1=1，∴ a n+1=f(1a n )=2+a n3=a n+23，∴ {a n}是首项为1，公差为23的等差数列，∴ a n=23n+13．（2）当n≥2时，b n=1a n−1a n =1(23n−13)(23n+13)=92(12n−1−12n+1)，当n=1时，b1=3，代入上式成立，∴ S n=b1+b2+...+b n=92(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=92(1−12n+1)，∵ S n<m−20042，∴ 92(1−12n+1)<m−20042对一切n∈N∗成立，又92(1−12n+1)沿n递增，且92(1−12n+1)<92，∴ 92≤m−20042，∴ m≥2013，∴ 最小正整数m为2013．19. 解：（1）因为c=√2，a=√3，所以b=1所以椭圆的方程为x 23+y2=1，准圆的方程为x2+y2=4．（2）①当l1，l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率，因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为x=√3或x=−√3，当l1方程为x=√3时，此时l1与准圆交于点(√3，1)(√3,−1)，此时经过点(√3，1)（或√3，−1）且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1（或y=−1），即l2为y=1（或y=−1），显然直线l1，l2垂直；同理可证l1方程为x=−√3时，直线l1，l2垂直．②当l1，l2都有斜率时，设点P(x0, y0)，其中x02+y02=4，设经过点P(x0, y0)，与椭圆只有一个公共点的直线为y=t(x−x0)+y0，则{y =tx +(y 0−tx 0)x 23+y 2=1，消去y 得到x 2+3（tx +(y 0−tx 0)）2−3=0， 即(1+3t 2)x 2+6t(y 0−tx 0)x +3(y 0−tx 0)2−3=0，△=[6t(y 0−tx 0)]2−4⋅(1+3t 2)[3(y 0−tx 0)2−3]=0，经过化简得到：(3−x 02)t 2+2x 0y 0t +1−y 02=0，因为x 02+y 02=4，所以有(3−x 02)t 2+2x 0y 0t +(x 02−3)=0，设l 1，l 2的斜率分别为t 1，t 2，因为l 1，l 2与椭圆都只有一个公共点，所以t 1，t 2满足上述方程(3−x 02)t 2+2x 0y 0t +(x 02−3)=0，所以t 1⋅t 2=−1，即l 1，l 2垂直．20. 解：（1）f ′(x)=−3x 2+2ax由f ′(2)=0得a =3，又f(2)=0得b =−4（2）k =f ′(x)=−3x 2+2ax x ∈(0, 1)，∴ 对任意的x ∈(0, 1)，|k|≤1，即）|−3x 2+2ax|≤1对任意的x ∈(0, 1)恒成立 等价于3x −1x ≤2a ≤1x +3x 对任意的x ∈(0, 1)恒成立． 令g(x)=1x +3x ，ℎ(x)=3x −1x ，则12ℎ(x)max ≤a ≤12g(x)min ，x ∈(0, 1) 1x+3x ≥2√3，当且仅当x =√33时“=”成立，∴ g(x)min =2√3 ℎ(x)=3x −1x 在(0, 1)上为增函数∴ ℎ(x)max <2∴ 1≤a ≤√3（3）设x 1，x 2∈R 则k =f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1=−[x 12+x 1x 2+x 22−a(x 1+x 2)]<1即x 12+(x 2−a)x 1+x 22−ax 2+1>0，对x 1∈R 恒成立∴ △=(x 2−a)2−4(x 22−ax 2+1)<0，对x 2∈R 恒成立即3x 22−2ax 2+(4−a 2)>0对x 2∈R 恒成立∴ 4a 2−12(4−a 2)<0解得a 2<3⇒|a|<√3。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学 解析版
2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，复数734ii+=+（ ）（A ）1i - （B ）1i -+ （C ）17312525i + （D ）172577i -+2．设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）53．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值为（ ） （A ）15 （B ）105 （C ）245 （D ）9455．已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为 （ ）（A ）221520x y -= （B ）221205x y -= （C ）2233125100x y -= （D ）2233110025x y -=6．如图，ABC D 是圆的内接三角形，BAC Ð的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ．在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF Ð；②2FB FD FA =?；③AE CEBE DE ??；④AF BD AB BF ??．则所有正确结论的序号是 （ ）7．设,a b R Î，则|“a b >”是“a a b b >”的 （ ）（A ）充要不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充要又不必要条件 【答案】C ．【解析】第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共12小题，共110分．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．）9．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．【答案】60．【解析】试题分析：应从一年级抽取4604556300?+++名．考点：等概型抽样中的分层抽样方法．10．已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_______3m ．俯视图侧视图正视图【答案】203p． 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体是组合体，其中下半部分是底面半径为1，高为4的圆柱，上半部分是底面半径为2，高为2的圆锥，其体积为22120142233pp p 鬃+鬃=（3m ）． 考点：1．立体几何三视图；2．几何体体积的计算．11．设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和．若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________． 【答案】12-． 【解析】试题分析：依题意得2214S S S =，∴()()21112146a a a -=-，解得112a =-页眉页脚换．考点：1．等差数列、等比数列的通项公式；2．等比数列的前n 项和公式． 12．在ABC D 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_______． 【答案】14-． 【解析】试题分析：∵32sin 3sin ,23,,2B C b c b c =\=\=代入14b c a -=得2a c =，由余弦定理得()f x 与()g x 图象恰有四个交点．当()1y a x =-与23y x x =+（或()1y a x =--与23y x x =--）相切时，()f x 与()g x 图象恰有三个交点．把()1y a x =-代入23y x x =+，得()231x x a x +=-，即()230x a x a +-+=，由0D =，得()2340a a --=，解得1a =或9a =．又当0a =时，()f x 与()g x 仅两个交点，01a ∴<<或9a >．（方法二）显然1a ¹，∴231x x a x +=-．令1t x =-，则45a t t=++．∵(][),,444t t ???++，∴(][)45,19,t t?ゥ+++．结合图象可得01a <<或9a >．考点：方程的根与函数的零点．三、解答题（本题共6道大题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分13分）已知函数()2cos sin 34f x x x x π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，x R ∈． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．22T pp ==． （Ⅱ）∵()f x 在区间,412pp轾犏--犏臌上是减函数，在区间,124p p 轾犏-犏臌上是增函数，144f p 骣÷ç-=-÷ç÷ç桫，1122f p 骣÷ç-=-÷ç÷ç桫，144f p 骣÷ç=÷ç÷ç桫，∴函数()f x 在闭区间,44p p 轾犏-犏臌上的最大值为14，最小值为12-．考点：1．两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2．三角函数的周期性和单调性．16．（本小题满分13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．()()3463100,1,2,3,k k C C P x k k C -×===\随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()12362103050E X ??=+??． 考点：1．古典概型及其概率计算公式；2．互斥事件；3．离散型随机变量的分布列与数学期望．17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^底面ABCD ，AD AB ^，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点．公式121211cos ,n n n n n n ×=×来求二面角F AB P --的余弦值．综合法：先利用三垂线定理或其逆定理作出二面角F AB P --的平面角，再利用解三角形的有关知识求其余弦值． 试题解析：（方法一）依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），可得()1,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2P ．由E 为棱PC 的中点，得()1,1,1E ．C（方法二）（Ⅰ）如图，取PD 中点M ，连结EM ，AM ．由于,E M 分别为,PC PD 的中点，故//EM DC ，且12EM DC =，又由已知，可得//EM AB 且EM AB =，故四边形ABEM 为平行四边形，∴//BE AM ．∵PA ^底面ABCD ，故PA CD ^，而CD DA ^，从而CD ^平面PAD ，∵AM Ì平面PAD ，于是CD AM ^，又//BE AM ，∴BE CD ^．（Ⅱ）连结BM ，由（Ⅰ）有CD ^平面PAD ，得CD PD ^，而//EM CD ，故PD EM ^．又∵AD AP =，M 为PD 的中点，故PD AM ^，可得PD BE ^，∴PD ^平面BEM ，故平面BEM ^平面PBD ．∴直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM ，而BE EM ^，可得EBM Ð为锐角，故EBM Ð为直线BE 与平面PBD 所成的角．依题意，有PD =，而M 为PD 中点，可得AM =，进而BE =．故在直角三角形BEM中，tan EM AB EBMBEBE ?==，因此in s EMB ?，∴直线BE 与平面PBD 所C18．（本小题满分13分）设椭圆22221x ya b+=（0a b>>）的左、右焦点为12,F F，右顶点为A，上顶点为B．已知12AB F=．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点1F，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．【答案】（Ⅰ）e=；（Ⅱ）直线l的斜率为4+或4-．标为4,33c c 骣÷ç-÷ç÷ç桫．设圆的圆心为()11,T x y ，则1402323c x c -+==-，12323ccy c +==，进而圆的半径r ==．设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y kx =．由l r，整理得2810kk -+=，解得4k=?l的斜率为4+或4-．考点：1．椭圆的标准方程和几何性质；2．直线和圆的方程；3．直线和圆的位置关系． 19．（本小题满分14分）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合{}0,1,2,1,q M =-，集合{}112,,1,2,,n n i A x x x x q x q x M in -+?==++．（Ⅰ）当2q =，3n =时，用列举法表示集合A ； （Ⅱ）设,s t A Î，112n n s a a q a q -=+++，112n n t b b q b q -=+++，其中,,1,2,,.i i a b M in ?证明：若n n a b <，则s t <．20．（本小题满分14分） 已知函数()xf x x ae=-()a R Î，x R Î．已知函数()y f x =有两个零点12,x x ，且12x x <．（Ⅰ）求a 的取值范围； （Ⅱ）证明21x x 随着a 的减小而增大； （Ⅲ）证明12x x +随着a 的减小而增大．（2）0a >时，由()0f x ¢=，得ln x a =-．当x 变化时，()f x ¢，()f x 的变化情况如下表：这时，()f x 的单调递增区间是(),ln a -?；单调递减区间是()ln ,a -+¥．∴()121ln 1t tx x t ++=-． ①令()()1ln 1x xh x x +=-，()1,x ??，则()()212ln 1x x xh x x -+-¢=-．令()12ln u x x x x=-+-，得()21x u x x 骣-÷ç¢=÷ç÷ç桫．当()1,x ??时，()0u x ¢>．因此，()u x 在()1,+¥上单调递增，故对于任意的()1,x ??，()()10u x u >=，由此可得()0h x ¢>，故()h x 在()1,+¥上单调递增，因此，由①可得12x x +随着t 的增大而增大，而由（Ⅱ），t 随着a 的减小而增大，∴12x x +随着a 的减小而增大．考点：1．函数的零点；2．导数的运算；3.．利页眉页脚换用导数研究函数的性质．。
2014天津市高考理科数学试卷(含答案)
2014天津市高考理科数学试卷(含答案)绝密★ 启用前 2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：•如果事件，互斥，那么•如果事件，相互独立，那么. •圆柱的体积公式. •圆锥的体积公式 . 其中表示圆柱的底面面积，其中表示圆锥的底面面积，表示圆柱的高. 表示圆锥的高. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. （1）是虚数单位，复数（）（A）（B）（C）（D）（2）设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5 （3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的的值为（）（A）15 （B）105 （C）245 （D）945 （4）函数的单调递增区间是（）（A）（B）（C）（D）（5）已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（）（A）（B）（C）（D）（6）如图，是圆的内接三角形，的平分线交圆于点，交于点，过点的圆的切线与的延长线交于点 .在上述条件下，给出下列四个结论：① 平分；② ；③ ；④ . 则所有正确结论的序号是（）（A）①② （B）③④ （C）①②③ （D）①②④ （7）设，则|“ ”是“ ”的（）（A）充要不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充要也不必要条件（8）已知菱形的边长为2，，点分别在边上，， .若，，则（）（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷注意事项： 1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2014届天津市十二区县重点校高三第一次模拟联考理科数学试题(含答案解析)
2014年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）数 学(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷 选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+∙柱体的体积公式Sh V=. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合N M x N x y y M x则},44|{)},1lg(|{2<=+==等于 （ ） A ．[)+∞,0B ．[)1,0C ．()+∞,1D ．(]1,02. 已知y ,x 满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-305x y x y x ，则y x z 42+=的最小值是( )A.－6B.5C.38D.－103. 二项式612⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 展开式中的常数项是( )A ．15B ．60C ．120D ．2404. 对于实数a 和b ，定义运算b a *，运算原理如右图所示，则式子2221e ln *-⎪⎭⎫ ⎝⎛的值为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．23 5. 在ABC ∆中，A C AC BC sin 2sin ,3,5===，则⎪⎭⎫ ⎝⎛π-4A tan 的值为（ ）A ．31B ．43C ．31-D ．36. 线段AB 是圆10221=+y x C ：的一条直径，离心率为5的双曲线2C 以,A B 为焦点．若P 是圆1C 与双曲线2C 的一个公共点，则PB PA +的值为（ ）A. 152C.D.7. 已知实数n ,m ，若100=+≥≥n m ,n ,m 且，则1222+++n n m m 的最小值为( ) A.41B. 154 C.81D.31 8. 函数[]11,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x ⎧--∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩,则下列说法中正确命题的个数是（ ）①函数()ln(1)y f x x =-+有3个零点；②若0x >时，函数()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭； ③函数()f x 的极大值中一定存在最小值；④()()()N k ,k x f x f k∈+⋅=22，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立．A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9.设i 是虚数单位,复数ii21+= ． 10. 某几何体的三视图如图所示,其俯视图是中心角为60︒的扇形,则该几何体的体积为 .11. 直线()为参数m m y mx ⎩⎨⎧=λ+=1被抛物线()为参数t t x ty ⎪⎩⎪⎨⎧==241 所截得的弦长为4，则=λ . 12.在ABC ∆中，060=∠A ,A ∠的平分线交BC 于D ,若3=AB ，且)R (AB AC AD ∈μμ+=31,则13. 如图所示,已知PA 与⊙O 相切,为切点,过点的割线交圆于C B 、两点,弦AP CD //,BC AD 、相交于点E ,F 为CE 上一点,且EDF P ∠=∠,若2:3:=BE CE , 2,3==EF DE ,则PA =___________.三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数()2132++=x cos x cos x sin x f .(Ⅰ)求()x f 的最小正周期，并求出当[,]62x ππ∈时，函数)(x f 的值域； (Ⅱ)当[,]62x ππ∈时，若8()5=f x , 求()12f x π-的值. 16．（本小题满分13分）由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行.但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求.为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如下表所示：(Ⅰ)估计这60(Ⅱ)现从这10人中随机取3人，求至少有一人来自第二组的概率；(Ⅲ)现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X 个组，求X 的分布列及数学期望. 17．（本小题满分13分）如图，多面体ABCDEF 中，,,BA BC BE 两两垂直，且EF AB ∥，BE CD ∥，2AB BE ==，1BC CD EF ===.（Ⅰ）若点G 在线段AB 上，且3BG GA =，求证：ADF 平面∥CG ；（Ⅱ）求直线DE 与平面ADF 所成的角的正弦值； （Ⅲ）求锐二面角A DF B --的余弦值. 18．（本小题满分13分）设()xx f +=121，若()()[]()(),f f a ,x f f x f n nn n n 201011+-==+其中*N n ∈．（Ⅰ）求1a ；（Ⅱ）求证：{}n a 为等比数列，并求其通项公式；（Ⅲ）若.n n nn Q ,na a a a T n n n 9363642322223212+++=+++= 其中*N n ∈，试比较n 2T 与n Q 的大小，并说明理由．19．（本小题满分14分）已知椭圆12222=+by a x :C (0>>b a )的离心率为22，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为28. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）四边形BCD A 的顶点在椭圆C 上，且对角线BD AC ,均过坐标原点O ，若21-=⋅BD AC k k .(i) 求⋅的范围；(ii) 求四边形BCD A 的面积.20．（本小题满分14分）已知函数2()(0)f x x ax a =-≠，()ln g x x =，()f x 图象与x 轴交于点M （M 异于原点），()x f 在M 处的切线为1l ，()1-x g 图象与x 轴交于点N 且在该点处的切线为2l ，并且1l 与2l 平行. (Ⅰ)求(2)f 的值；(Ⅱ)已知实数R t ∈，求函数[][()+],1,y f xg x t x e =∈的最小值；(Ⅲ)令()()'()F x g x g x =+，给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<，对于两个大于1的正数βα,，存在实数m 满足：21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，并且使得不等式12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立，求实数m 的取值范围.2014年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）数学理科参考答案一、选择题:每小题5分，满分40分题号 1 2 3 45 6 7 8 答案B A B CCDAB二、填空题: 每小题5分，共30分. 9．i 5152+；10．π2 ； 11．0； 1213．4315； 14．()+∞,1 三、解答题15.解：（1）1cos 21()sin 222212cos 212sin(2)16+=++=++=++x f x x x x x ππ=π=22T ………4分由26ππ≤≤x ，得67622πππ≤+≤x ………5分 1)62sin(21≤+≤-∴πx ………6分26ππ≤≤∴x 时，函数)(x f 的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦………7分(2)83()sin(2)1,sin(2)6565=++=+=f x x x ππ则67622,26πππππ≤+≤≤≤x x 得； 所以4cos(2),65x π+=- ………9分1212+=⎪⎭⎫ ⎝⎛π-x sin x f………10分=1662+⎪⎭⎫ ⎝⎛π-π+x sin ………11分...........2分 ...........3分 ...........8分=571033+ ………13分16.解：(Ⅰ)候车时间少于10分钟的人数为3610510160=⎪⎭⎫⎝⎛+⨯人； ………3分 (Ⅱ)设“至少有一人来自第二组为事件A ”()1211131035=-=C C A P…………7分(Ⅲ)X 的可能值为1，2，3()1201113103335=+==C C C X P ()1207122310152313252325=++⨯+==C C C C C )C C (X P ()120382331013151513=++⨯==C C C C C X P …………10分 所以X 的分布列为X 123P120111207112038…………11分 408912026712038371211==⨯+⨯+=EX…………13分17．解：（Ⅰ）分别取,AB AF 的中点,M H ，连结,,MF GH DH ，则有,AG GM MF BE = . ∵AH HF =∴ 12GH MF ……………………………………………1分 又∵1,2CD BE BE MF∴CD GH∴四边形CDHG 是平行四边形∴CG DH ……………………………………………………2分 又∵,CG ADF DH ADF ⊄⊂平面平面∴CG 平面ADF ……………………………………………4分（Ⅱ）如图，以B 为原点，分别以,,BC BE BA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.则(0,0,2),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,2,1)A C D E F(1,1,0),(1,1,2),(0,2,1)DE DA FA =-=--=-……………………………………6分 设平面ADF 的一个法向量(,,)n x y z =，则有2020n DA x y z n FA y z ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，化简，得32x y z y =⎧⎨=⎩ 令1y =，得(3,1,2)n =……………8分设直线DE 与平面ADF 所成的角为θ，则有sin n DE n DEθ⋅==⋅ . ………………………9分 所以直线DE 与平面ADF 所成的角的正弦值为77. (Ⅲ)由已知平面A DF 的法向量1n (3,1,2),BF (0,2,1)==设平面BDF 的一个法向量2n (x,y,z ),BD (1,1,0)==22n BF 02y z 0x y 0n BD 0⎧=+=⎧⎪∴∴⎨⎨+==⎩⎪⎩ z 2y,x y ∴=-=-令y 1,=-则2n (1,1,2)=-……………………………………………………11分设锐二面角B DF A --的平面角为θ则121212n n cos |cos n ,n ||||n ||n |θ=<>===12分所以锐二面角B DF A --的余弦值为7………………………13分 18.解：(Ⅰ).)(f )(f a ,)(f 412010201111=+-==…2分（Ⅱ）)(f )](f [f )(f n n n 0120011+==+.a )(f )(f )(f )(f )(f )(f a n n n n n n n n 21201021024012010111-=+-⋅-=+-=+-=+++...3分∴}a {n 是首项为41，公比为21-的等比数列． …4分 ∴}a {n 的通项公式是.*N n .)21(41a 1n n ∈-⋅=-…5分（Ⅲ）,na a )n (a a a T n n n 212321221232+-++++=-.na a )n (a a T n n n 2232212221--+++=-…6分两式相减得.na a a a a T n n n 22321223+++++=∴122221412112114123--⋅⋅++--=n n n )(n ])([T1222142116161--⋅+--=n n )(n )(…7分 ∴).n (T n n 22213191+-=…8分,)n ()n (n Q n 212914++=]21)1n 2(1[91n 3291n 3)1n 2(91n 3Q T n 22n 22n n2-++=⋅+-+⋅+=-.)1n 2(2)1n 2(291n 32n 22n 2++-⋅+= …9分.*N n ∈ ∴只要比较n 22与212)n (+大小． 当n ＝１时，.05)1n 2(22n 2<-=+-即.Q T 12< …10分 当n ＝2时，.07)1n 2(22n 2<-=+-即.Q T 24<…11分当，3n 时≥.)1n 2()n n 1(]2)1n (n n 1[)C C C (])11[(22222n n 1n 0n 2n n 2+=++≥-++>+++=+< n n 2Q T >∴故n ＝1或2时，3n ,Q T n n 2≥<时，n n 2Q T >．（结论不写不扣分）…13分19.解：（I ）由已知，22228222122a b c ,b a ,a c =+=⋅⋅= …………2分于是8222===a ,b ,c…………3分 所以椭圆的方程为14822=+y x …………4分（II ）当直线AB 的斜率不存在时，2OA OB ⋅=，所以⋅的最大值为2. ……5分当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为m kx y +=，设),(),,(2211y x B y x A联立⎩⎨⎧=++=8222y x m kx y ，得0824)21(222=-+++m kmx x k …………6分()2222244(12)(28)8840km k m k m ∆=-+-=-+>（）…………7分⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=+22212212182214k m x x k km x x ∵21-=⋅=⋅BDAC oB oA k k k k 212121-=∴x x y y 2222212121421822121k m k m x x y y +--=+-⋅⋅-=-=∴…………8分2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++==222222142182m kkm km k m k ++-++-222812m k k -=+ 22222218214kk m k m +-=+--∴2228)4(k m m -=--∴ 2242k m ∴+= …………9分 2121y y x x +=⋅2222222222844424421212121212m m m k k k k k k ---+-=-===-+++++……10分 2242OA OB ∴-=-≤⋅<因此，[]22,OB OA -∈⋅…………11分另解：设直线AB 方程：kx y =，CD 方程：x ky 21-= 分别求出B 、A 的坐标 (2)分情况讨论， k >0时，分析B 、A 所在的象限，求范围 …………占3分 同理0<k 时 …………占1分 结论 …………占1分 (ii)设原点到直线AB 的距离为d ，则22442)4(16642||218242142||4)(2||1||||121||212222222222212212122=+-=--=+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+=+⋅-⋅+=⋅=∆m k mm m k m k m k km m x x x x m k m x x k d AB S AOB 13分284==∴∆AOB ABCD S S 四边形.…………14分20. 解: ()y f x =图象与x 轴异于原点的交点(,0)M a ，'()2f x x a =-(1)ln(1)y g x x =-=-图象与x 轴的交点(2,0)N ，1'(1)1g x x -=- 由题意可得12l l k k =，即1a =， …………………2分 ∴2(),f x x x =-，2(2)222f =-= ………………3分 （2）2[()+][ln +](ln +)y f xg x t x x t x x t ==-=22(ln )(21)(ln )x x t x x t t +-+-………4分令ln u x x =，在 []1,x e ∈时，'ln 10u x =+>，∴ln u x x =在[]1,e 单调递增，0,u e ≤≤ …………5分22(21)y u t u t t =+-+-图象的对称轴122tu -=，抛物线开口向上 ①当1202t u -=≤即12t ≥时，2min 0|u y y t t ===- ……………6分 ②当122t u e -=≥即122e t -≤时，22min |(21)u e y y e t e t t ===+-+- …………7分 ③当1202t e -<<即12122e t -<<时，22min 12212121|()(21)224tu t t y y t t t -=--==+-+-=- ……………8分 1(3)()()'()ln F x g x g x x x =+=+,22111'()0x F x x x x-=-=≥1x ≥得所以()F x 在区间(1,)+∞上单调递增 ……………………………………9分∴1x ≥当时，F F x ≥>（）（1）0①当(0,1)m ∈时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=，第 11 页 共 11 页12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=，得12(,)x x α∈，同理12(,)x x β∈， …………………10分∴ 由)(x f 的单调性知 0<1()()F x F α<、2()()F F x β<从而有12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-，符合题设. ………………11分 ②当0m ≤时，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=，12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=，由)(x f 的单调性知 0<12()()()()F F x F x F βα≤<≤，∴12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符 ………………12分③当1m ≥时，同理可得12,x x αβ≤≥，得12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符. ……………………13分 ∴综合①、②、③得(0,1)m ∈ …………………14分。
2014年全国高考天津省数学(理)试卷及答案【精校版】
（6）如图， D ABC 是圆的内接三角形， DBAC 的平分线交圆于点 D ， 交 BC 于点 E ，过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F . 在上述条
件下，给出下列四个结论：① BD 平分 DCBF ；② FB 2 = FD ?FA ；
y 1,
（A）2
（B）3 （C）4
（D）5
（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的
S 的值为（
）
（A ） 15
（ B ）105
（C） 245
（D ）945
（4）函数 f ( x) = log 1 (x2 - )4 的单调递增区间是（
）
2
（A ） (0,+ ￥)
（ B） (- ￥,0)
（C） (2,+ ￥)
B
A EC
③ AE ?CE BE ?DE ；④ AF ?BD AB ?BF .
则所有正确结论的序号是（
）
（A ）①②
（B ）③④
（ C ）①②③
（ D）①②④
D F
（7）设 a,b ? R ，则 |“ a > b ”是“ a a > b b ”的（ ）
（A ）充要不必要条件 （ C ）充要条件
（ B ）必要不充分条件 （ D ）既不充要也不必要条件
（8）已知菱形 ABCD 的边长为 2， ? BAD 120 ，点 E , F 分别在边 BC, DC 上，
BE = l BC ， DF = mDC . 若 AE ?AF
1， CE ?CF
-
2 ，则 l
+ m=
（
）
3
1
（A ）
2
2
[精品]2014年全国高考天津省高中数学理科试卷和答案
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绝密★ 启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：•如果事件A，B互斥，那么•如果事件A，B相互独立，那么()()()P A B P A P B=+()()()P AB P A P B=.•圆柱的体积公式V Sh=. •圆锥的体积公式13V Sh =.其中S表示圆柱的底面面积，其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆柱的高. h表示圆锥的高.ED CBA 一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）i 是虚数单位，复数734ii+=+（ ） （A ）1i - （B ）1i -+ （C ）17312525i + （D ）172577i -+ （2）设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值为（ ）（A ）15 （B ）105 （C ）245 （D ）945（4）函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是（ ）（A ）()0,+¥ （B ）(),0-¥ （C ）()2,+¥ （D ）(),2-?（5）已知双曲线22221x y a b -=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）（A ）221520x y -= （B ）221205x y -= （C ）2233125100x y -= （D ）2233110025x y -= （6）如图，ABC D 是圆的内接三角形，BAC Ð的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF Ð；②2FB FD FA =?；③AE CEBE DE ??；④AF BDAB BF ??.则所有正确结论的序号是（ ）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④ （7）设,a b R Î，则|“a b >”是“a a b b >”的（ ） （A ）充要不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充要也不必要条件（8）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ?，点,E F 分别在边,BC DC上，BE BC l =，DF DC m =.若1AE AF ?，23CE CF ?-，则l m +=（ ） （A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）712第Ⅱ卷 注意事项：1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
天津地区六校2014届高三上学期第一次联考数学(理)试题(含答案解析)
天津市2014届高三第一次六校联考数学试卷(理科)一、选择题：（共40分，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．i 为虚数单位，则ii-+11＝ ( )． A ．－i B ．－1 C ．i D ．1 2. 设b a 、为向量，则“b a b a =•”是“b a //”的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.已设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x －y －2≤0，x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为( ) A ．11 B ．10 C ．9 D.1724. 如果执行图1的框图，输入N=5，则输出的数等于（ ） A ．54 B.45 C. 65 D.565．某几何体的三视图如图2所示，则它的体积是( )． A ．8－2π3 B ．8－π3 C ．8－2π D.2π3图1否是开始输入Nk =1，S=0)1(1S ++=k k S1+=k kN k <输出S结束图26.设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(b >a >0)的半焦距为c ，直线l过A (a,0)，B (0，b )两点，若原点O 到l的距离为34c ，则双曲线的离心率为( ) A.233或2 B ．2 C.2或233D.2337．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )．A ．3 3B ．2 3C ．4 3 D. 38.已知函数y=f(x)是定义在数集R 上的奇函数，且当x ∈(-∞,0)时，xf /(x)<f(-x)成立，若)3(3f a =,)3(lg )3(lg f b =,)41(log )41(log 22f c =,则a,b,c 的大小关系是（ ）A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.a>c>b二、填空题：（本大题共有6小题，每小题5分，共30分）9. 某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为2 :3 :5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本,样本中A 种型号产品有16件,那么此样本的容量=n ______.10.若83a x x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为7，则实数a =_________. 11．若数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋a n －1＝4(n ≥2)，则a 2013＝________.12.直线415315x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（为参数t ）被曲线2cos()4πρθ=+所截的弦长为 13.如图，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OB 绕点O 逆时针旋转120°到OD ，连PD 交圆O 于点E ，则PE ＝________.14.已知点(a ，b )不在直线x ＋y －2＝0的下方，则2a＋2b的最小值为________．三、解答题（本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤）15.(13分)已知函数R x x x x f ∈--=,21cos 2sin 23)(2 (1)当]125,12[ππ-∈x 时，求函数)(x f 的最小值和最大值(2)设△A,B,C 的对边分别为a,b,c,且c=3，0)(=C f ,若sinB=2sinA ，求a,b 的值.16．（13分）一个袋中装有10个个大小相同的小球．其中白球5个、黑球4个、红球1个. (1)从袋中任意摸出2个球，求至少得到1个白球的概率；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望E (ξ)．17．（13分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面PAD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论； (3)求DB 与平面DEF 所成角的正弦值．18.(13分) 在直角坐标系xOy 中,点P 到两点(0,3-)、(0,3)的距离之和等于4,设点P 的轨迹为C,直线y=kx+1与C 交于A 、B 两点.(1)写出C 的方程;(2)若点A 在第一象限,证明当k>0时,恒有||||OB OA >.19.（14分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S是14与2(1)n a +的等比中项. （1）求证：数列{}n a 是等差数列；（2）若11b a =，且123n n b b -=+，求数列{}n b 的通项公式； （3）在（Ⅱ）的条件下，若3nn n a c b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .20.（14分） 已知函数()2a f x x x=+，()ln g x x x =+，其中0a >．(1)若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；(2)若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求实数a 的取值范围．2014届高三第一次六校联考数学试卷(理科)（答案）一、选择题1.C2.C3.B4.D5.A6.B7.C8.A 二、填空题：9.80 10.21 11.3 12. 2211722.21005r d -=-=弦长＝ 773.13 14.4三、解答题（本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤）15.（13分） 答案：（1）2122cos 12sin 2321cos 2sin 23)(2---=--=x x x x x f 1)62sin(--=πx 最小值.0,231最大值---------6分 （2）2,13===b a C ，π----------13分16．（13分）．(1)解:记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A ，则P (A )＝1－21025C C ＝79．-----3分(2)随机变量ξ的取值为0,1,2,3，------4分由于P (ξ＝0)＝C 35C 310＝112，-----6分 P (ξ＝1)＝C 15C 25C 310＝512，------8分P (ξ＝2)＝C 25C 15C 310＝512，-------10分 P (ξ＝3)＝112，------12分ξ的分布列是ξ 0 1 2 3 P112 512 512 112ξ的数学期望E (ξ)＝112×0＋12×1＋12×2＋12×3＝2.---------13分17．（13分）[解析] 以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图)，设AD ＝a ，则D (0,0,0)、A (a,0,0)、B (a ，a,0)、C (0，a,0)、E (a ，a 2，0)、F (a 2，a 2，a2)、P (0,0，a )．(1)EF →·DC →＝(－a 2，0，a 2)·(0，a,0)＝0，∴EF ⊥DC .-------4分(2)设G (x,0，z )，则G ∈平面PAD .FG →＝(x －a 2，－a 2，z －a2)，FG →·CB →＝(x －a 2，－a 2，z －a 2)·(a,0,0)＝a (x －a 2)＝0，∴x ＝a 2；FG →·CP →＝(x －a 2，－a 2，z －a 2)·(0，－a ，a )＝a 22＋a (z －a 2)＝0，∴z ＝0.∴G 点坐标为(a2，0,0)，即G 点为AD 的中点．---------8分 (3)设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DF →＝0n ·DE →＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y ，z )·(a 2，a 2，a2)＝0，(x ，y ，z )·(a ，a2，0)＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧a2(x ＋y ＋z )＝0，ax ＋a2y ＝0.取x ＝1，则y ＝－2，z ＝1，∴n ＝(1，－2,1)． cos<BD →，n >＝BD →·n |BD →||n |＝a 2a ·6＝36，∴DB 与平面DEF 所成角的正弦值的大小为36------13分 18.（13分）解:(1)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P 的轨迹C 是以(0,3-),(0,3)为焦点,长半轴为2的椭圆,它的短半轴1)3(222=-=b ,------2分故曲线C 的方程为1422=+y x .-----5分(2)证明:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),其坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧+==+.1,1422kx y y x 消去y 并整理,得(k 2+4)x 2+2kx-3=0,----- --7分 故43,42221221+-=+-=+k x x k k x x .-----------9分 22||-||OB OA =x12+y 12-(x 22+y 22)=(x 12-x 22)+4(1-x 12-1+x 22) =-3(x 1-x 2)(x 1+x 2)4)(6221+-=k x x k .---------11分 因为A 在第一象限,故x 1>0. 由43221+-=k x x 知x 2<0,从而x 1-x 2>0.又k>0,故0||||22>-OB OA , 即在题设条件下,恒有||||OB OA >.--------13分 19.（14分）解：（Ⅰ）221(1)4n a =+即21(1)4n n S a =+------1分 当1n =时，2111(1)4a a =+，∴11a =------2分 当2n ≥时，2111(1)4n n S a --=+∴221111(22)4n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-+-------3分即11()(2)0n n n n a a a a --+--=------4分 ∵0n a > ∴ 12n n a a --= ∴数列{}n a 是等差数列------5分（Ⅱ）由123n n b b -=+得132(3)n n b b -+=+------7分∴数列{3}n b +是以2为公比的等比数列 ∴ 111113(3)2(3)22n n n n b b a --++=+=+= ∴ 123n n b +=- ------9分 （Ⅲ）12132n n n n a n c b +-==+ ------10分 ∴2341135212222n n n T +-=++++ ① 两边同乘以12得345211352122222n n n T +-=++++ ②①-②得234512112222212222222n n n n T ++-=+++++-23411111111212222222n n n n T -+-=++++++-1111121323(1)22222n n n n n -++-+=+--=- ------14分 20.（14分）（1）解法1：∵()22ln a h x x x x =++，其定义域为()0 +∞，，----1分∴()2212a h x x x'=-+．3分∵1x =是函数()h x 的极值点，∴()10h '=，即230a -=．∵0a >，∴a =经检验当a =1x =是函数()h x 的极值点，∴a = -----5分解法2：∵()22ln a h x x x x =++，其定义域为()0+∞，， ∴()2212a h x x x '=-+． 令()0h x '=，即22120a x x-+=，整理，得2220x x a +-=．∵2180a ∆=+>，∴()0h x '=的两个实根1x =，2x =，当x 变化时，()h x ，()h x '的变化情况如下表：1=，即23a =，∵0a >，∴a = （2）解：对任意的[]12,1x x e ∈，都有()1f x ≥()2g x 成立等价于对任意的[]12,1x x e ∈，都有()min f x ⎡⎤⎣⎦≥()max g x ⎡⎤⎣⎦．------6分 当x ∈［1，e ］时，()110g x x'=+>． ∴函数()ln g x x x =+在[]1e ，上是增函数．∴()()max1g x g e e ==+⎡⎤⎣⎦． ----8分∵()()()2221x a x a a f x x x+-'=-=，且[]1,x e ∈，0a >． ①当01a <<且x ∈［1，e ］时，()()()20x a x a f x x +-'=>，∴函数()2a f x x x=+在［1，e ］上是增函数，∴()()2min 11f x f a ==+⎡⎤⎣⎦.由21a +≥1e +，得a ，又01a <<，∴a 不合题意．-------10分 ②当1≤a ≤e 时，若1≤x ＜a ，则()()()2x a x a f x x+-'=<，若a ＜x ≤e ，则()()()20x a x a f x x +-'=>．∴函数()2a f x x x=+在[)1,a 上是减函数，在(]a e ，上是增函数．∴()()min 2f x f a a ==⎡⎤⎣⎦.由2a ≥1e +，得a ≥12e +，又1≤a ≤e ，∴12e +≤a ≤e ．-----12分③当a e >且x ∈［1，e ］时，()()()20x a x a f x x +-'=<，∴函数()2a f x x x=+在[]1e ，上是减函数．∴()()2min a f x f e e e ==+⎡⎤⎣⎦.由2a e e +≥1e +，得a ， 又a e >，∴a e >．------13分综上所述，a 的取值范围为1,2e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．-------14分。
2014年(天津卷)数学(理工类) 试题及答案详解
等边三角形,则 a 的值为
.
【答案】3
【解析】由ρ=4sin θ可得ρ2=4ρsin θ,所以 x2+y2=4y.
所以圆的直角坐标方程为 x2+y2=4y,其圆心为 C(0,2),半径 r=2;
由ρsin θ=a,得直线的直角坐标方程为 y=a,
由于△AOB 是等边三角形,
所以圆心 C 是等边三角形 OAB 的中心,
=-2+4(λ+μ)-2λμ=1,所以 4(λ+μ)-2λμ=3.
由
·
= - 2,得(2-2λ)·(2-2μ)·
1
=
-
2,所以
λμ=λ+μ
-
2
,
2
因此有 4(λ+μ)-2(λ+μ)+ = 3,解得 λ+μ= 5,故选 C.
6
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从
又因为一条渐近线与 l 平行,因此 = 2,可解得 a2=5,b2=20,
2
2
故双曲线方程为
=1,故选 A.
5 20
6.如图,△ABC 是圆的内接三角形,∠BAC 的平分线交圆于点 D,交 BC 于点 E,过点 B 的圆
的切线与 AD 的延长线交于点 F.在上述条件下,给出下列四个结论: ①BD 平分∠CBF; ②FB2=FD·FA;
2
2
5.已知双曲线 2
2
2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,双曲线的一个焦
点在直线 l 上,则双曲线的方程为( ).
2014年高考理数真题试卷(天津卷)及解析
○…………外…………○…………装…学校:___________姓名：_○…………内…………○…………装…2014年高考理数真题试卷（天津卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.i 是虚数单位，复数 7+i3+4i =（ ） A.1﹣i B.﹣1+i C.1725+ 3125 I D.﹣ 177 + 257 i2.设变量x ，y 满足约束条件 {x +y −2≥2x −y −2≤0y ≥1，则目标函数z=x+2y 的最小值为（ ）A.2B.3C.4D.53.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为（ ）A.15答案第2页，总15页…外…………○…………装…………○………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线…内…………○…………装…………○………C.245 D.9454.函数f （x ）= log 12（x 2﹣4）的单调递增区间为（ ）A.（0，+∞）B.（﹣∞，0）C.（2，+∞）D.（﹣∞，﹣2）5.已知双曲线 x 2a 2 ﹣ y 2b2 =1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线平行于直线l ：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）A.x 25﹣ y 220 =1 B.x 220﹣ y 25 =1 C.3x 225﹣ 3y 2100 =1 D.3x 2100﹣ 3y 225 =16.如图，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ，在上述条件下，给出下列四个结论： ①BD 平分∠CBF； ②FB 2=FD•FA； ③AE•CE=BE•DE； ④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（ ） A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④7.设a ，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件…○…………装…………○…学校:___________姓名：___________班级：…○…………装…………○…第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取 名学生．9.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b ﹣c= 14 a ，2sinB=3sinC ，则cosA 的值为 ．10.已知函数f （x ）=|x 2+3x|，x∈R，若方程f （x ）﹣a|x ﹣1|=0恰有4个互异的实数根，的取值范围为 ．三、解答题（题型注释）11.已知函数f （x ）=cosx•sin（x+ π3 ）﹣ √3 cos 2x+ √34 ，x∈R． （1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在闭区间[﹣ π4 ， π4 ]上的最大值和最小值．12.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E 为棱PC 的中点．（1）证明：BE⊥DC；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）若F 为棱PC 上一点，满足BF⊥AC，求二面角F ﹣AB ﹣P 的余弦值．13.设椭圆 x 2a 2 + y 2b2 =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2 ， 右顶点为A ，上顶点为B ，已知|AB|= √32 |F 1F 2|．（1）求椭圆的离心率；（2）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1 ， 经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率．14.已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q ﹣1}，集合A={x|x=x 1+x 2q+…+x n q n ﹣1 ， x i ∈M，i=1，2，…n}． （1）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A ；答案第4页，总15页（2）设s ，t∈A，s=a 1+a 2q+…+a n q n ﹣1 ， t=b 1+b 2q+…+b n q n ﹣1 ， 其中a i ， b i ∈M，i=1，2，…，n ．证明：若a n ＜b n ， 则s ＜t ．15.设f （x ）=x ﹣ae x （a∈R），x∈R，已知函数y=f （x ）有两个零点x 1 ， x 2 ， 且x 1＜x 2 ．（1）求a 的取值范围；（2）证明： x2x 1随着a 的减小而增大；（3）证明x 1+x 2随着a 的减小而增大．……装…………○…………订……………………线……_______姓名：___________班级：___________考号：_________……装…………○…………订……………………线……参数答案1.A【解析】1.解：复数 7+i3+4i = (7+i)(3−4i)(3+4i)(3−4i) =25−25i 25=1−i ，故选A ．【考点精析】利用复数的乘法与除法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知设则；．2.B【解析】2.解：作出不等式对应的平面区域， 由z=x+2y ，得y=﹣ 12x +z2 ，平移直线y=﹣ 12x +z2 ，由图象可知当直线y=﹣ 12x +z2 经过点B （1，1）时，直线y=﹣12x +z2 的截距最小，此时z 最小．此时z 的最小值为z=1+2×1=3， 故选：B ．3.B【解析】3.解：由程序框图知：算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值， ∵跳出循环的i 值为4， ∴输出S=1×3×5×7=105． 故选：B ．【考点精析】根据题目的已知条件，利用程序框图的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形;一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明． 4.D【解析】4.解：令t=x 2﹣4＞0，可得 x ＞2，或 x ＜﹣2， 故函数f （x ）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），答案第6页，总15页当x∈（﹣∞，﹣2）时，t 随x 的增大而减小，y= log 12t 随t 的减小而增大，所以y= log 12（x 2﹣4）随x 的增大而增大，即f （x ）在（﹣∞，﹣2）上单调递增．故选：D ．【考点精析】利用复合函数单调性的判断方法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”． 5.A【解析】5.解：∵双曲线的一个焦点在直线l 上，令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线 x 2a 2 ﹣ y 2b2 =1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线平行于直线l ：y=2x+10，∴ ba =2， ∵c 2=a 2+b 2 ， ∴a 2=5，b 2=20，∴双曲线的方程为 x 25 ﹣ y 220 =1．故选：A ． 6.D【解析】6.解：∵圆周角∠DBC 对应劣弧CD ，圆周角∠DAC 对应劣弧CD ， ∴∠DBC=∠DAC．∵弦切角∠FBD 对应劣弧BD ，圆周角∠BAD 对应劣弧BD ， ∴∠FBD=∠BAF．∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠BAF=∠DAC．∴∠DBC=∠FBD．即BD 平分∠CBF．即结论①正确． 又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB． 由 FBFA =FDFB ，FB 2=FD•FA．即结论②成立． 由 BFAF =BDAB，得AF•BD=AB•BF．即结论④成立．正确结论有①②④． 所以答案是D【考点精析】通过灵活运用命题的真假判断与应用，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系即可以解答此题． 7.C【解析】7.解：若a ＞b ，①a＞b≥0，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞b•b，此时成立．②0＞a ＞b ，不等式a|a|＞b|b|等价为﹣a•a＞﹣b•b，即a 2＜b 2 ， 此时成立． ③a≥0＞b ，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞﹣b•b，即a 2＞﹣b 2 ， 此时成立，即充分性成…外…………○…………装………学校:___________姓名：_______…内…………○…………装………立．若a|a|＞b|b|，①当a ＞0，b ＞0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a ﹣b ）（a+b ）＞0，因为a+b ＞0，所以a ﹣b ＞0，即a ＞b ．②当a ＞0，b ＜0时，a ＞b ．③当a ＜0，b ＜0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a ﹣b ）（a+b ）＜0，因为a+b ＜0，所以a ﹣b ＞0，即a ＞b ．即必要性成立，综上“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件， 故选：C ． 8.60【解析】8.解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为 44+5+5+6 =15， 故应从一年级本科生中抽取名学生数为300× 15 =60，所以答案是：60． 【考点精析】通过灵活运用分层抽样，掌握先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本即可以解答此题． 9.﹣ 14【解析】9.解：在△ABC 中， ∵b﹣c= 14 a ①，2sinB=3sinC ， ∴2b=3c ②，∴由①②可得a=2c ，b= 3c2 ． 再由余弦定理可得 cosA= b 2+c 2−a 22bc=9c 24+c 2−4c 23c⋅c=﹣ 14 ，所以答案是：﹣ 14 ．【考点精析】掌握正弦定理的定义和余弦定理的定义是解答本题的根本，需要知道正弦定理:；余弦定理:;;．10.（0，1）∪（9，+∞）【解析】10.解：由y=f （x ）﹣a|x ﹣1|=0得f （x ）=a|x ﹣1|， 作出函数y=f （x ），y=g （x ）=a|x ﹣1|的图象，答案第8页，总15页则a ＞0，此时g （x ）=a|x ﹣1|= {a(x −1),x ≥1−a(x −1),x ＜1，当﹣3＜x ＜0时，f （x ）=﹣x 2﹣3x ，g （x ）=﹣a （x ﹣1）， 当直线和抛物线相切时，有三个零点， 此时﹣x 2﹣3x=﹣a （x ﹣1）， 即x 2+（3﹣a ）x+a=0，则由△=（3﹣a ）2﹣4a=0，即a 2﹣10a+9=0，解得a=1或a=9，当a=9时，g （x ）=﹣9（x ﹣1），g （0）=9，此时不成立，∴此时a=1， 要使两个函数有四个零点，则此时0＜a ＜1，若a ＞1，此时g （x ）=﹣a （x ﹣1）与f （x ），有两个交点， 此时只需要当x ＞1时，f （x ）=g （x ）有两个不同的零点即可， 即x 2+3x=a （x ﹣1），整理得x 2+（3﹣a ）x+a=0，则由△=（3﹣a ）2﹣4a ＞0，即a 2﹣10a+9＞0，解得a ＜1（舍去）或a ＞9， 综上a 的取值范围是（0，1）∪（9，+∞），方法2：由f （x ）﹣a|x ﹣1|=0得f （x ）=a|x ﹣1|， 若x=1，则4=0不成立， 故x≠1，则方程等价为a= f(x)|x−1| = |x 2+3x||x−1| =| (x−1)2+5(x−1)+4x−1 |=|x ﹣1+ 4x−1+5|，设g （x ）=x ﹣1+ 4x−1 +5，当x ＞1时，g （x ）=x ﹣1+ 4x−1 +5≥ 2√(x −1)4x−1+5=4+5=9 ，当且仅当x ﹣1=4x−1，即x=3时取等号，当x ＜1时，g （x ）=x ﹣1+ 4x−1 +5 ≤5−2√[−(x −1)⋅−4x−1] =5﹣4=1，当且仅当﹣（x ﹣1）=﹣ 4x−1 ，即x=﹣1时取等号，则|g （x ）|的图象如图：若方程f （x ）﹣a|x ﹣1|=0恰有4个互异的实数根， 则满足a ＞9或0＜a ＜1，所以答案是：（0，1）∪（9，+∞）…○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…11.（1）解：由题意得，f （x ）=cosx•（ 12 sinx+ √32 cosx ） −√3cos 2x +√34= 12sinx ⋅cosx −√32cos 2x +√34= 14sin2x −√34(1+cos2x)+√34= 14sin2x −√34cos2x= 1sin(2x −π)答案第10页，总15页○…………装………※※请※※不※※要※※在※※○…………装………所以，f （x ）的最小正周期 T =2π2=π．（2）解：由（1）得f （x ）= 12sin(2x −π3) ，由x∈[﹣ π4 ， π4 ]得，2x∈[﹣ π2 ， π2 ]，则 2x −π3∈[ −5π6， π6 ]，∴当 2x −π3=﹣ π2 时，即 sin(2x −π3) =﹣1时，函数f （x ）取到最小值是： −12， 当 2x −π3= π6 时，即 sin(2x −π3) = 12 时，f （x ）取到最大值是： 14 ，所以，所求的最大值为 14 ，最小值为- 12【解析】11.（1）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式 T =2π|ω|求出此函数的最小正周期；（2）由（1）化简的函数解析式和条件中x 的范围，求出 2x −π3的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值． 12.（1）证明：∵PA⊥底面ABCD ，AD⊥AB，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E 为棱PC 的中点．∴B（1，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），P （0，0，2），E （1，1，1） ∴ BE →=（0，1，1）， DC →=（2，0，0） ∵ BE →• DC →=0， ∴BE⊥DC；（2）解：∵ BD →=（﹣1，2，0）， PB →=（1，0，﹣2）， 设平面PBD 的法向量 m →=（x ，y ，z ），由 {Bd →⋅m →=0PB →⋅m →=0，得 {−x +2y =0x −2z =0 ， 令y=1，则 m →=（2，1，1）， 则直线BE 与平面PBD 所成角θ满足： sinθ=BE →⋅m→|BE →|⋅|m →|=√6⋅√2= √33 ，故直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为 √33 ．（3）解：∵ BC →=（1，2，0）， CP →=（﹣2，﹣2，2）， AC →=（2，2，0）， 由F 点在棱PC 上，设 CF →=λ CP →=（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1）， 故 BF →= BC →+ CF →=（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1）， 由BF⊥AC，得 BF →• AC →=2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0， 解得λ= 34 ，即 BF →=（﹣ 12 ， 12 ， 32 ），设平面FBA 的法向量为 n →=（a ，b ，c ），由 {AB →⋅n →=0BF →⋅n →=0，得 {a =0−12a +12b +32c =0 令c=1，则 n →=（0，﹣3，1）， 取平面ABP 的法向量 i →=（0，1，0）， 则二面角F ﹣AB ﹣P 的平面角α满足： cosα= |n →⋅i →||n →|⋅|i →|=√10= 3√1010 ，故二面角F ﹣AB ﹣P 的余弦值为：3√1010【解析】12.（1）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE ，DC 的方向向量，根据 BE →• DC →=0，可得BE⊥DC；（2）求出平面PBD 的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）根据BF⊥AC，求出向量 BF →的坐答案第12页，总15页………线…………○………线…………○标，进而求出平面FAB 和平面ABP 的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F ﹣AB ﹣P 的余弦值．【考点精析】解答此题的关键在于理解空间角的异面直线所成的角的相关知识，掌握已知为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是上的任意两点，所成的角为，则．13.（1）解：设椭圆的右焦点为F 2（c ，0）， 由|AB|= √32 |F 1F 2|，可得 √a 2+b 2=√32×2c ，化为a 2+b 2=3c 2．又b 2=a 2﹣c 2，∴a 2=2c 2． ∴e= c a =√22．（2）解：由（1）可得b 2=c2．因此椭圆方程为 x 22c 2+y 2c 2=1 ．设P （x 0，y 0），由F 1（﹣c ，0），B （0，c ），可得 F 1P →=（x 0+c ，y 0）， F 1B →=（c ，c ）． ∵ F 1B →⊥F 1P →，∴ F 1B →⋅F 1P →=c （x 0+c ）+cy 0=0， ∴x 0+y 0+c=0， ∵点P在椭圆上，∴ x 022c 2+y 02c 2=1 ．联立 {x 0+y 0+c =0x 02+2y 02=2c 2，化为 3x 02+4cx 0 =0，∵x 0≠0，∴ x 0=−43c ， 代入x 0+y 0+c=0，可得 y 0=c3 ． ∴P (−43c,c3) ．设圆心为T （x 1，y 1），则 x 1=−43c+02=﹣ 23c ， y 1=c 3+c 2= 23c ．∴T (−23c,23c) ，∴圆的半径r= √(−23c)2+(23c −c)2= √53c ．设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为：y=kx ． ∵直线l 与圆相切，…………○…………线：___________…………○…………线∴|−23ck−23c|√1+k 2=√53c ，整理得k 2﹣8k+1=0，解得 4±√15 ． ∴直线l 的斜率为 4±√15 ．【解析】13.（1）设椭圆的右焦点为F 2（c ，0），由|AB|= √32 |F 1F 2|．可得 √a 2+b 2=√32×2c ，再利用b 2=a 2﹣c2， e= ca 即可得出．（2）由（1）可得b 2=c2． 可设椭圆方程为 x 22c 2+y 2c 2=1 ，设P （x 0 ， y 0），由F 1（﹣c ，0），B （0，c ），可得 F 1P →， F 1B →．利用圆的性质可得F 1B →⊥F 1P → ，于是 F 1B →⋅F 1P →=0，得到x 0+y 0+c=0，由于点P 在椭圆上，可得 x 022c 2+y 02c 2=1 ．联立可得 3x 02+4cx 0 =0，解得P (−43c,c 3) ．设圆心为T （x 1 ， y 1），利用中点坐标公式可得T (−23c,23c) ，利用两点间的距离公式可得圆的半径r ．设直线l 的方程为：y=kx ．利用直线与圆相切的性质即可得出．14.（1）解：当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x| x =x 1+x 2⋅2+x 3⋅22 ，x i ∈M，i=1，2，3}．可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．（2）证明：由设s ，t∈A，s=a 1+a 2q+…+a n q n ﹣1，t=b 1+b 2q+…+b n q n ﹣1，其中a i ，b i ∈M，i=1，2，…，n ．a n ＜b n ，∴a n ﹣b n ≤﹣1．可得s ﹣t=（a 1﹣b 1）+（a 2﹣b 2）q+…+ (a n−1−b n−1)q n−2 + (a n −b n )q n−1 ≤﹣[1+q+…+q n ﹣2+q n ﹣1] = −q n −1q−1＜0．∴s＜t ．答案第14页，总15页……○…………线………题※※……○…………线………【解析】14.（1）当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x| x =x 1+x 2⋅2+x 3⋅22 ，x i ∈M，i=1，2，3}．即可得到集合A ．（2）由于a i ， b i ∈M，i=1，2，…，n ．a n ＜b n ， 可得a n ﹣b n ≤﹣1．由题意可得s ﹣t=（a 1﹣b 1）+（a 2﹣b 2）q+…+ (a n−1−b n−1)q n−2 + (a n −b n )q n−1 ≤﹣[1+q+…+q n ﹣2+q n ﹣1]，再利用等比数列的前n 项和公式即可得出．【考点精析】关于本题考查的数列的前n 项和，需要了解数列{a n }的前n 项和s n 与通项a n的关系才能得出正确答案．15.（1）解：∵f（x ）=x ﹣ae x ，∴f′（x ）=1﹣ae x ； 下面分两种情况讨论：①a≤0时，f′（x ）＞0在R 上恒成立，∴f（x ）在R 上是增函数，不合题意；②a＞0时，由f′（x ）=0，得x=﹣lna ，当x 变化时，f′（x ）、f （x ）的变化情况如下，+∞）； ∴函数y=f （x ）有两个零点等价于如下条件同时成立： ①f（﹣lna ）＞0；②存在s 1∈（﹣∞，﹣lna ），满足f （s 1）＜0； ③存在s 2∈（﹣lna ，+∞），满足f （s 2）＜0；由f （﹣lna ）＞0，即﹣lna ﹣1＞0，解得0＜a ＜e ﹣1； 取s 1=0，满足s 1∈（﹣∞，﹣lna ），且f （s 1）=﹣a ＜0， 取s 2= 2a +ln 2a ，满足s 2∈（﹣lna ，+∞），且f （s 2）=（ 2a ﹣ e 2a ）+（ln 2a ﹣ e 2a ）＜0；∴a 的取值范围是（0，e ﹣1）．（2）证明：由f （x ）=x ﹣ae x =0，得a= xe x ， 设g （x ）= xe x ，由g′（x ）=1−xe x，得g （x ）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，并且当x∈（﹣∞，0）时，g （x ）≤0，当x∈（0，+∞）时，g （x ）≥0，x 1、x 2满足a=g （x 1），a=g （x 2），a∈（0，e ﹣1）及g （x ）的单调性，可得x 1∈（0，1），x 2∈（1，+∞）；对于任意的a 1、a 2∈（0，e ﹣1），设a 1＞a 2，g （X 1）=g （X 2）=a 1，其中0＜X 1＜1＜X 2； g （Y 1）=g （Y 2）=a 2，其中0＜Y 1＜1＜Y 2；………○…………装…………○学校:___________姓名：___________班………○…………装…………○∵g（x ）在（0，1）上是增函数，∴由a 1＞a 2，得g （X i ）＞g （Y i ），可得X 1＞Y 1；类似可得X 2＜Y 2；又由X 、Y ＞0，得 X 2X 1＜ Y 2X 1＜ Y 2Y 1；∴ x2x 1随着a 的减小而增大；（3）证明：∵x 1=a e x 1 ，x 2=a e x 2 ，∴lnx 1=lna+x 1，lnx 2=lna+x 2； ∴x 2﹣x 1=lnx 2﹣lnx 1=ln x 2x 1，设 x2x 1=t ，则t ＞1，∴ {x 2−x 1=lnt x 2=x 1t，解得x 1= lnt t−1 ，x 2= tlntt−1 ，∴x 1+x 2= (t+1)lntt−1…①； 令h （x ）= (x+1)lnxx−1 ，x∈（1，+∞），则h′（x ）=−2lnx+x−1x (x−1)2；令u （x ）=﹣2lnx+x ﹣ 1x ，得u′（x ）= (x−1x )2，当x∈（1，+∞）时，u′（x ）＞0，∴u（x ）在（1，+∞）上是增函数，∴对任意的x∈（1，+∞），u （x ）＞u （1）=0， ∴h′（x ）＞0，∴h（x ）在（1，+∞）上是增函数； ∴由①得x 1+x 2随着t 的增大而增大． 由（2）知，t 随着a 的减小而增大， ∴x 1+x 2随着a 的减小而增大．【解析】15.（1）对f （x ）求导，讨论f′（x ）的正负以及对应f （x ）的单调性，得出函数y=f （x ）有两个零点的等价条件，从而求出a 的取值范围；（2）由f （x ）=0，得a= xe x ，设g （x ）= xe x ，判定g （x ）的单调性即得证；（Ⅲ）由于x 1=a e x 1 ，x 2=a e x 2 ，则x 2﹣x 1=lnx 2﹣lnx 1=ln x 2x 1，令 x2x 1=t ，整理得到x 1+x 2=(t+1)lntt−1，令h （x ）=(x+1)lnxx−1，x∈（1，+∞），得到h （x ）在（1，+∞）上是增函数，故得到x 1+x 2随着t 的减小而增大．再由（2）知，t 随着a 的减小而增大，即得证．【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．。
数学_2014年天津市某校高考数学一模试卷(理科)(含答案)
2014年天津市某校高考数学一模试卷（理科）一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z =i 1−i，则|z|=( )A √2B 1C 12 D √222. 已知|a →|=1，|b →|=2且(a →+b →)与a →垂直，则a →与b →的夹角是（ ） A 60∘ B 90∘ C 135∘ D 120∘3. 函数f(x)＝x 3+x ，x ∈R ，当0≤θ≤π2时，f(msinθ)+f(1−m)>0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A (0, 1)B (−∞, 0)C (−∞,12) D (−∞, 1)4. 圆{x =3sinθ+1y =3cosθ−2，（θ为参数）的圆心到直线{x =4t −6y =−3t +2，（t 为参数）的距离是（ ）A 1B 85 C 125 D 35. 设变量x ，y 满足约束条件{x −y ≥02x +y ≤2y +2≥0，则目标函数z =3x −y 的最小值为（ ）A −8B −6C −4D −26. 设集合A =|x|x 2−x <0}，B ={x|x 2−2x <3}，则（ ） A A ∪B =B B A ∩B =B C A ∩B =⌀ D A ∪B =R7. 过点(0, −1)作直线l 与圆x 2+y 2−2x −4y −20=0交于A ，B 两点，如果|AB|=8，则直线l 的方程为（ ）A 3x +4y +4=0B 3x −4y −4=0C 3x +4y +4=0或y +1=0D 3x −4y −4=0或y +1=08. 已知函数f(x)=sin(ωx +π3)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象（ ）A 关于直线x =π3对称B 关于点(π3, 0)对称C 关于直线x =−π6对称 D 关于点(π6, 0)对称9. ∫√4−x 22−2dx 的值是（ ） A π2 B π C 2π D 4π10. 定义在R 上的函数f(x)满足f(4)=1，f′(x)为f(x)的导函数，已知函数y =f′(x)的图象如图所示．若两正数a ，b 满足f(2a +b)<1，则b+2a+2的取值范围是( )A (13，12) B (−∞,12)∪(3,+∞) C (12，3) D (−∞, −3)二．填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．11. 某篮球学校的甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图（如图）．则罚球命中率较高的是________．12. 设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则S4a2=________．13. 如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是________．14. 如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB=OB=2，PC切圆O 于C点，CD⊥AB于D点，则PC=________，CD=________．15. 在(1x−x2)6的展开式中，x3的系数是________（用数字作答）．16. 在如下图所示的程序框图中，当程序被执行后，输出s的结果是________．三、解答题（共6小题，满分76分）17. 已知函数f(x)=2cosxcos(π6−x)−√3sin2x+sinxcosx．（1）求f(x)的单调区间；（2）设x∈[−π3, π3]，求f(x)的值域．18. 某高校自主招生中，体育特长生的选拔考试，篮球项目初试办法规定：每位考生定点投篮，投进2球立刻停止，但投篮的总次数不能超过5次，投篮时间不能超过半分钟．某考生参加了这项测试，他投篮的命中率为0.8，假设他各次投篮之间互不影响．若记投篮的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，PA=PB=2．（1）求证：当AD=2时，平面PBD⊥面PAC；（2）当AD=√2时，求二面角B−PD−C的大小．20. 已知函数f(x)=23x3−ax2−3x+1(a∈R)（1）若f(x)在区间(−1, 1)上为减函数，求a的取值范围；（2）讨论y=f(x)在(−1, 1)内的极值点的个数．21. 已知椭圆C:x2a2+r2b2=1(a<b<0)的离心率为12，椭圆C的中心O关于直线2x−y−5＝0的对称点落在直线x＝a2上．（1）求椭圆C的方程；（2）设P(4, 0)是椭圆C上关于x轴对称的任意两点，连接PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率范围并证明直线ME与x轴相交定点．22. 已知数列{a n}中，a1=12，点(n, 2a n+1−a n)在直线y=x上，其中n=1，2，3…．(1)令b n=a n+1−a n−1，求证数列{b n}是等比数列；(2)求数列{a n}的通项；(3)设S n、T n分别为数列{a n}、{b n}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列{S n+λT nn}为等差数列？若存在，试求出λ．若不存在，则说明理由．2014年天津市某校高考数学一模试卷（理科）答案1. D2. D3. D4. A5. C6. A7. C8. B9. C10. C11. 甲12. 15213. 14+√5+√214. 2√3,√315. −2016. 28617. 解：（1）∵ f(x)=2cosxcos(π6−x)−√3sin2x+sinxcosx=√3(cos2x−sin2x)+ 2sinxcosx=2cos(2x−π6)…∴ 令2kπ≤2x−π6≤2kπ+π，k∈Z．…⇒kπ+π12≤x≤kπ+7π12，k∈Z，∴ 函数的递减区间是[kπ+π12,kπ+7π12]，k∈Z；…令2kπ−π≤2x−π6≤2kπ，…∴ 函数的递增区间是[kπ−5π12，kπ+π12]，k∈Z．…（2）∵ x∈[−π3, π3 ]，∴ 2x−π6∈[−5π6，π2]，…又f(x)=2cos(2x−π6)，∴ 根据三角函数图象可得f(x)∈[−√3，2]．…18. 解：由题意ξ∈{2, 3, 4, 5}，则P(ξ=2)=0.8×0.8=0.64，P(ξ=3)=C21×0.8×0.2×0.8=0.256，P(ξ=4)=C31×0.8×0．22×0.8=0.0768，P(ξ=5)=1−0.64−0.256−0.0768= 0.0272，所以ξ的分布列为：19. （1）证明：以A 为坐标原点，射线AP ，AB ，AD 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴， 建立空间直角坐标系，由题意得A(0, 0, 0)，P(2, 0, 0)，B(0, 2, 0)， C(0, 2, 2)，D(0, 0, 2)，∴ BD →=(0,−2,2)，PA →=(−2,0,0)，CA →=(0,−2,−2)， ∴ BD →⋅PA →=0，BD →⋅CA →=0，∵ BD ⊥PA ，BD ⊥CA ，∵ PA ∩CA =A ，∴ BD ⊥平面PAC ，∵ BD ⊂平面PBD ，∴ 平面PBD ⊥平面PAC ．（2）解：∵ AD =√2，∴ P(2, 0, 0)，C(0, 2, √2)，D(0, 0, √2)， ∴ PD →=(−2, 0, √2)，PB →=(−2, 2, 0)，DC →=(0, 2, 0)， 设平面PDC 的法向量n →=(x,y,z)， 则{n →⋅DC →=2y =0˙，取x =1，得n →=(1,0,√2)，设平面PBD 的法向量m →=(x 1,y 1,z 1)， {m →⋅PB →=−2x 1+2y 1=0˙， 取x 1=1，得m →=(1, 1, √2)， ∴ cos <n →，m →>=1+2√3⋅√4=√32， ∴ 二面角B −PD −C 的大小为30∘． 20. 解：（1）∵ f(x)=23x 3−ax 2−3x +1， ∴ f′(x)=2x 2−2ax −3∵ f(x)在区间(−1, 1)上为减函数， ∴ f′(x)≤0在区间(−1, 1)上恒成立，∴ f′(−1)≤0，f′(1)≤0，∴ 2+2a −3≤0，2−2a −3≤0， ∴ −12≤a ≤12；（2）当a <−12时，f′(−1)<0，f′(1)>0 ∴ 在(−1, 1)内有且只有一个极小值点 当a >12时，f′(−1)>0，f′(1)<0 ∴ 在(−1, 1)内有且只有一个极大值点当−12≤a ≤12时，由（1）可知在区间(−1, 1)上为减函数∴ 在区间(−1, 1)内没有极值点．综上可知，当a <−12或a >12时，函数在区间(−1, 1)内的极值点个数为1；当−12≤a ≤12时，在区间(−1, 1)内的极值点个数为0． 21. 由题意知e =ca =12，则a ＝2c ，设椭圆C 的中心O 关于直线2x −y −5＝0的对称点(m, n)，则{nm ⋅2=−12⋅m 2−n2−5=0，∴ m ＝4，n ＝−2，∵ 椭圆C 的中心O 关于直线2x −y −5＝0的对称点落在直线x ＝a 2上． ∴ a 2＝4，∴ c ＝1， ∴ b =√3，∴ 椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为y ＝k(x −4)． 代入椭圆方程，可得(4k 2+3)x 2−32k 2x +64k 2−12＝0．①由△＝(−32k 2)2−4(4k 2+3)(64k 2−12)>0，得4k 2−1<0，∴ −12<k <12又k ＝0不合题意，∴ 直线PN 的斜率的取值范围是：(−12, 0)∪(0, 12)．(Ⅲ)设点N(x 1, y 1)，E(x 2, y 2)，则M(x 1, −y 1)． 直线ME 的方程为y −y 2=y 2+y 1x 2−x 1(x −x 2)．令y ＝0，得x ＝x 2−y 2(x 2−x 1)y 2+y 1．将y 1＝k(x 1−4)，y 2＝k(x 2−4)代入整理，得x =2x 1x 2−4(x 1+x 2)x 1+x 2−8．②由①得x 1+x 2=32k 24k 2+3，x 1x 2=64k 2−124k 2+3代入②整理，得x ＝1．∴ 直线ME 与x 轴相交于定点(1, 0)．22. 解：(1)由已知得a 1=12，2a n+1=a n +n ，∴ 2a 2=a 1+1=12+1=32，∴ a 2=34，∴ b 1=a 2−a 1−1=34−12−1=−34，又b n =a n+1−a n −1，b n+1=a n+2−a n+1−1， ∴ b n+1b n=a n+2−a n+1−1a n+1−a n −1=a n+1+n+12−a n +n2−1a n+1−a n −1=12，∴ {b n }是以−34为首项，以12为公比的等比数列． (2)由(1)知，b n =−34×(12)n−1=−32×12n，∴ a n+1−a n −1=−32×12n ， ∴ a 2−a 1−1=−32×12，a 3−a 2−1=−32×122，…∴ a n −a n−1−1=−32×12n−1，将以上各式相加得：∴ a n −a 1−(n −1)=−32(12+122+⋯+12n−1)， ∴ a n =a 1+n −1−32×12(1−12n−1)1−12=12+(n −1)−32(1−12n−1)=32n+n −2．∴ a n =32n+n −2．(3)存在λ=2，使数列{S n +λT nn}是等差数列．由(1)(2)知，2b n =2a n+1−2a n −2=2a n+1−a n −a n −2=n −a n −2， ∴ a n +2b n =n −2， ∴ S n +2T n =n(n+1)2−2n ，∴S n +λT nn=n(n+1)2−2n−2T n+λT nn=n−32+λ−2nT n，又T n=b1+b2+⋯+b n=−34(1−12n)1−12=−32(1−12n)=−32+32n+1，∴ S n+λT nn =n−32+λ−2n(−32+32n+1)，∴ 当且仅当λ=2时，数列{S n+λT nn}是等差数列．。
天津市河东区高三数学一模考试试题 理
河 东 区 2015 年 高 考 一 模 考 试数学试卷（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试 用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.1．复数2()2iz i i-=+为虚数单位在复平面内对应的点所在象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知变量x y ,满足约束条件21110x y x y y ,,.⎧+≥⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =-的最大值为（ ）A ． －3B ． 0C ．1D ．33．某程序框图如图1所示，则输出的结果S =（ ） A ．26 B ．57 C ．120D ．2474．函数()|2|ln f x x x =--在定义域内的零点的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．35．下列说法正确的是个数为（ ）① 1=a 是直线0=-ay x 与直线0=+ay x 互相垂直的充要条件② 直线12π=x 是函数)62sin(2π-=x y 的图象的一条对称轴③ 已知直线l ：20x y ++=与圆C ：22(1)(1)2x y -++=，则圆心C 到直线l 的距离是④ 若命题P ：“存在∈0x R ，01020>--x x ”，则命题P 的否定：“任意R x ∈，012≤--x x ”A ．1B ．2C ．3D ．46．已知双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为y =，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于（ ）A ．12B．2C．2D ．17．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若对任意2x >，不等式()2x a x a -⊗≤+都成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．17,⎡⎤-⎣⎦B ．(3,⎤-∞⎦C ．(7,⎤-∞⎦D ．()17,,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣8．若直角坐标系内A 、B 两点满足：（1）点A 、B 都在f （x ）的图像上；（2）点A 、B 关于原点对称，则称点对（A ，B ）是函数f （x ）的一个“姊妹点对”（点对（A ，B ）与（B ，A ）可看作一个“姊妹点对”。
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天津市河东区2014届高三一模理科数学试卷（带解析）
1
A
C
【答案】D
【解析】
{}{
=-≤≤<->
或
B x x x x x
|23|14
所以选D．
考点：集合的运算．
AC=，则BC=( )
2(2,4),(1,3)
A．(1，1) B．（-1，-1） C．(3，7) D．（-3，-7）
【答案】B
【解析】
所以选B．
考点：向量的运算．
3( )
【答案】D
【解析】
试题分析：解：
A,B,C,
题意，选项D中的图象显示，
有交点；故选D．
考点：函数的零点．
4
这条直线的斜率是( )
A
【答案】A
【解析】
试题分析：解:
故选A．
考点：1、直线与圆的位置关系；2、同角三角函数基本关系．5．阅读图1的程序框图，该程序运行衍输出的k的值为( ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】
试题分析：解:
7．
所以选C．
考点：循环结构．
6成等比数列,则xy( )
A．有最大值e B
C．有最小值e D
【答案】C
【解析】
试题分析：解:
又,成等比数列，所以
C．
考点：1、基本不等式的应用；2、对数函数的性质．
7．已知棱长为l E，F，M分别是AB、AD
又P、Q,MEF
论中不成立的是( )
A ABCD
B
C．面MEF与面MPQ不垂直
D．当x
【答案】D
【解析】
试题分析：解：
MEF
，所以选项B正确；
面只能有一个，所以面MEF与面MPQ不垂直，所以选项C是正确的；
唯一的，故选项D不正确．
考点：1、直线平面的位置关系；2、直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行与垂直的判定及性质．
8R,若存在常数M>0一切实数x均成立，
R上的奇函数，且
其中是“倍约束函数”的有( )
A．1个 B．2个 C．．3个 D．4个【答案】C
【解析】
试题分析：解：
一切实数x均成立，
所以该函数是“倍约束函数”；
故不存在常数M>0，
一切实数x均成立，所以该函数不是“倍约束函数”；
③对于函
故不存在常数
M>0，使一切实数x均成立，所以该函数不是“倍约束函数”；
()
f x
x
一切实数x均成立, 所以该函数是“倍约束函数”；
R
一切实数x均成立, 所以该函数是“倍约束函数”；
综上可知“倍约束函数”的有①④⑤共三个，所以应选C．
考点：1、新定义；2、赋值法；3、基本初等函数的性质．
9__________．
【答案】1
【解析】
所以答案应填1．
考点：1、复数的运算．
10．如图，AB是圆O的直径，AD=DE，AB=8,BD=6
【解析】
试题分析：解：因为AB是圆O的直径，所以，所以
因为AD=DE
考点：1、圆的性质；2、相似三角形．
11．三棱柱的直观图和三视图(主视图和俯视图是正方形，左视图是等腰直角三角形）如图所永，则这个三棱柱的全面积等于_____________
【解析】
试题分析：解
考点：1、三视图；2、棱柱的表面积．
12为参数)，若以点O(0，0)为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是____________．
【解析】
考点：圆的参数方程、标准方程和极坐标方程．
13．已知关于x则a的最小值是__________。
【答案】-9
【解析】
1x x +
x 的不等式1x -
即a
考点：1、绝对值不等式的性质；2、绝对值不等式的解法．
14．在平行四边形ABCD AB 、 AD 的长分别为2,1，若M 、N 分别是边BC 、
CD BM CN BC
CD
=
_______．
【解析】
AB AD =⋅⋅ 设
BM CN BC
CD
=
，
则
,
(
M
B M ++=
52
考点：1、平面向量基本定理；2、平面向是的数量积；3、一元二次函数的最值问题．
15
(l)
(2)f(x)的单调区间。
【答案】（1（2）单调递增区间
【解析】
试题分析：（1）利用诱导公式及二倍角公式等及将函数
（2）由（1）的结果知，首先由
解：（1
（2
考点：1、三角函数诱导公、二倍角公式、两角和与差的正弦公式；2、正弦数的性质．16．下图是某市3月1日至14日空气质量指数趋势图，空气质量指数小于1 00表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1曰至3月1 3日中某一天到达该市，并停留2天．
(l)求此人到达当日空气重度污染的概率；
(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望。
【答案】（1（2
【解析】
试题分析：（1）某人随机选择3月1曰至3月1 3日中某一天到达该市，有13个基本事件，由于是随机选择，每个结果出现的可能性是相等等的，而到达当天空气重度污染包含两个基本事件，故可由古典概型求其概率；
（2）此人在选择3月1曰至3月1 3日中某一天到达该市，并停留2天，有13个基本事件，
两天都不是优良的有5
解：（1
（23日，6日，7日，11日
1日，2日，12日，13
考点：1、古典概型；2、离散型随机变量的分布列与数学期望．
172，E、F
E、F G．
(l)求证：EG
(2)
(3)
【答案】(1)详见试题解析
【解析】
试题分析：（1）两平行平面都与第三个平面相交，则交线平行；
（2
空间向量的夹角公式求二面角的余弦值．
（3）所求几何由正方去一个三棱台
（1
（2
121DD n
=
⋅
与底面
ABCD 所成二面角的余弦值为
（3
考点：1、平面与平面平行的性质；
2、空间直角坐标系；
3、向量夹角公式；
4、组合体的体积．
18．
称圆心在原点O ，
C
的“准圆”．若椭圆C
F
(1)求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；
(2)点P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点，过动点P
C 都只
【答案】 【解析】
试题分析：（1）由“椭圆C
其短轴上的一个端点到F
圆”的方程；
（2
与椭圆方程联立组成方程组
消去得到关于的方程：
由
化简
整理得：
（12,
=
椭圆方程为3
x
（2
,
综合①②知
考点：1、椭圆的标准方程；2
、直线与圆锥曲线的综合问题．
19
(1)
(2)
立，求最小正整数m．
【答案】（
1（2
【解析】
试题分析：（1
（2）由第（1）的结果
解：（1
是以
2
为公差，首项
（2
2=
20049
⎛
考点：1、等差数列通项公式；2
3、含参数的不等式恒成立问题．
20
(1)
x 轴于点
(2，0)，求a 、b 的值；
(2)
k ，
(3)
l
【答案】（1
（2
（3） 【解析】
试题分析：（1
x 轴于点(2，0)
（2
于l 2
32x ⇔-+任意成立，利用分离变量法，转化为
（3
解：（10=，得a
（2
对任意的(x ∈
x +=
()3h x =1a ∴≤≤
（3
考点：1、导数的几何意义；2、等价转化的思想；3、二次函数与一元二次一不等式问题．。