2020年高考数学考点22等差数列及其前n项和
2020届高考数学(理)一轮复习考点基础达标训练：考点22等差数列及其前n项和
2020高三一轮基础达标 考点22等差数列及其前n 项和一、选择题1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则a 9＝( ) A ．8 B ．12 C ．16D ．242．已知{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 3＝5，S n ＝64，则n ＝( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．93．等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7＝( )A.3727 B.3828 C.3929D.40304．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝( )A ．10B ．18C ．20D ．28 5．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，a 4＋a 5＝23，则S 8＝( ) A ．72 B ．88 C ．92 D ．986．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．57．设S n 是公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和，且a 1>0，若S 5＝S 9，则当S n 最大时，n ＝( )A ．6B ．7C ．10D ．98．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 8＋a 11＝30，则S 13＝( ) A ．130 B ．65 C ．70 D ．1409．设{a n }是公差不为0的等差数列，且a 24＋a 25＝a 26＋a 27，则该数列的前10项和S 10＝( ) A ．－10 B ．－5 C ．0 D ．510．在等差数列{a n }中，已知S 4＝1，S 8＝4，设S ＝a 17＋a 18＋a 19＋a 20，则S 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．1111．(一题多解)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8二、填空题12．等差数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________．13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝2a 3，则S 11S 5＝________．14．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________．15．在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34，则a 1＝________．16．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－3，a k ＋1＝32，S k ＝－12，则正整数k ＝________.17．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若－1<a 3<1,0<a 6<3，则S 9的取值范围是________． 三、解答题18．已知等差数列{a n }的公差d >0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36. (1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65.参考答案1. 答案：C解析：由已知得a 1＋4d ＝8,3a 1＋3×22d ＝6，解得a 1＝0，d ＝2.故a 9＝a 1＋8d ＝16.故选C.2. 答案： C解析： 因为d ＝a 3－a 12＝2，所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n ＋n (n －1)＝64，解得n ＝8．故选C ．3. 答案： A解析： a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝132(a 1＋a 13)132(b 1＋b 13)＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.4. 答案： C解析： 由题意可知a 3＋a 8＝a 5＋a 6＝10，所以3a 5＋a 7＝2a 5＋a 5＋a 7＝2a 5＋2a 6＝20，故选C ．5. 答案： C解析： 由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3得a n ＋1－a n ＝3，所以{a n }为等差数列，公差为3，由a 4＋a 5＝23得2a 1＋7d ＝23，所以a 1＝1，S 8＝8＋12×8×7×3＝92．故选C ．6. 答案： D解析： 由a 1＝1，公差d ＝2，得通项a n ＝2n －1，又S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2，所以2k ＋1＋2k ＋3＝24，解得k ＝5．故选D ．7. 答案： B解析： 由题意可得S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0，所以2(a 7＋a 8)＝0，即a 7＋a 8＝0.又因为a 1>0，所以该等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数．所以当S n 最大时，n ＝7.8. 答案： A解析： 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 2＋a 8＋a 11＝30，可得a 1＋6d ＝10，故S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 1＋6d )＝130．故选A ．9. 答案： C解析： 由a 24＋a 25＝a 26＋a 27得a 24－a 26＝a 27－a 25，即(a 4－a 6)(a 4＋a 6)＝(a 7－a 5)(a 7＋a 5)，也即－2d ×2a 5＝2d ×2a 6，由d ≠0，得a 6＋a 5＝a 1＋a 10＝0，所以S 10＝5(a 1＋a 10)＝0．故选C ．10. 答案： B解析： 由S 4＝1，S 8＝4得S 8－S 4＝3，所以S 12－S 8＝5，所以S 16－S 12＝7，所以S ＝S 20－S 16＝9．故选B ．11. 答案： C解析：选C.法一：等差数列{a n }中，S 6＝（a 1＋a 6）×62＝48，则a 1＋a 6＝16＝a 2＋a 5，又a 4＋a 5＝24，所以a 4－a 2＝2d ＝24－16＝8，得d ＝4，故选C.法二：由已知条件和等差数列的通项公式与前n 项和公式可列方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝4，故选C. 12. 答案： 10解析： 因为a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，数列{a n }是等差数列，所以2a m －a 2m ＝0，解得a m ＝0或a m ＝2．又S 2m －1＝38，所以a m ＝0不符合题意，所以a m ＝2．所以S 2m －1＝(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝(2m －1)a m ＝38，解得m ＝10．13. 答案：225解析：S 11S 5＝112（a 1＋a 11）52（a 1＋a 5）＝11a 65a 3＝225.14. 答案：10解析：因为S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，所以a 1＋a 100＝910，a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝502(a 1＋a 99)＝502×25＝10.15. 答案：0解析：由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，又因为a 2a 4＝34，数列{a n }单调递增，所以a 2＝12，a 4＝32.所以公差d ＝a 4－a 22＝12.所以a 1＝a 2－d ＝0. 16. 答案： 13解析： 由S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝－12＋32＝－212得S k ＋1＝(k ＋1)(a 1＋a k ＋1)2＝(k ＋1)⎝⎛⎭⎫－3＋322＝－212，解得k ＝13. 17. 答案： (－3,21)解析： S 9＝9a 1＋36d ＝x (a 1＋2d )＋y (a 1＋5d )，由待定系数法得x ＝3，y ＝6.因为－3<3a 3<3,0<6a 6<18，两式相加即得－3<S 9<21.18. 解析：(1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36， 将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5.因为d >0，所以d ＝2.从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N *)．(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65. 由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1>1，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4. 即所求m 的值为5，k 的值为4.。
2020年高考山东版高考理科数学 6.2 等差数列及其前n项和
1
1
1 100 100
所以 lg ������1>lg ������2>…>lg ������6=lg 26 =lg 64 >lg 1=0,
1
1 100
当 n≥7 时,lg ������������≤lg ������7=lg 27 <lg 1=0,
{ }1
所以数列 lg������������ 的前 6 项和最大.
答案 B 2.(2018 江西赣中南五校联考,4)在等差数列{an}中,已知 a3+a8>0,且 S9<0,则 S1、S2、…、S9 中最小的是 ( ) A.S5 B.S6 C.S7 D.S8 答案 A 3.(2017 广东惠州第二次调研,7)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若������������65=191,则������������191=( )
2������
从而数列{an}为等比数列,an=a1·2n-1= ������ .
2������
(2)当 a1>0,λ=100 时,由(1)知,an=100,
1 100
则 lg������������=lg 2������ =lg 100-lg 2n=2-nlg 2,
{ }1
所以数列 lg ������������ 是单调递减的等差数列,公差为-lg 2,
备战 2020 高考
考点二 等差数列前 n 项和公式
������2 017 ������17
1.(2018 山东聊城月考)已知数列{an}是公差为 d 的等差数列,Sn 为其前 n 项和,若2 017- 17 =100,.20 B.10 C.10 D.20
考点二 等差数列前 n 项和公式
2020年高考数学(人教文科)总复习(福建专用)配套课件：6.2等差数列及其前n项和 .pptx
专题六
知识梳理 考点自测
6.2 等差数列及其前n项和
考情概览备考定向
必必备备知知识识预预案案自自诊诊
关键能力学案突破
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专题六
知识梳理 考点自测
6.2 等差数列及其前n项和
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必必备备知知识识预预案案自自诊诊
关键能力学案突破
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1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
=
2���������������������+��� 1,化简得���������1���+1=2+���1���������,即���������1���+1
−
1 ������������
=2,
故数列
1 ������������
是以
1
为首项,2
为公差的等差数列.
(2)解 由(1)知���1���������=2n-1,所以 Sn=������(1+22������-1)=n2.
必备知识预案自诊
关关键键能能力力学学案案突突破破
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等差数列中基本量的求解
例1(1)(2017辽宁大连一模,文6)已知数列{an}满足an+1-an=2,a1=-5, 则|a1|+|a2|+…+|a6|=( C )
A.9 B.15 C.18 D.30 (2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等 于( C )
示.数学语言表示为 an+1-an=d (n∈N*),d为常数. (2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是
A=������+2 ������
2020届高考数学(文)总复习课件：等差数列及其前n项和
以 d＝－2，所以 a1＝2，故 S20＝20×2＋20×2 19×(－2)＝－340，
选 D.
答案：D
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3．在等差数列{an}中，已知 a5＋a10＝12，则 3a7＋a9＝( )
A．12
B．18
C．24
D．30
解析：设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，
因为 a5＋a10＝12，
所以 2a1＋13d＝12，
都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常
数叫做等差数列的公差，符号表示为 an＋1－an＝d(n∈N *，d
为常数)． (2)等差中项：数列 a，A，b 成等差数列的充要条件是 A＝a＋2 b，
其中 A 叫做 a，b 的等差中项． 在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项(有穷等差数列的 末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项.
法 都成立⇔{an}是等差数列
空题中的
前 n 项和 验证 Sn＝An2＋Bn(A，B 是常数)对任意的 判定问题
公式法 正整数 n 都成立⇔{an}是等差数列
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[提醒] 用定义证明等差数列时，容易漏掉对起始项的检 验，从而产生错解．比如，对于满足 an－an－1＝1(n≥3)的数列 {an}而言并不能判定其为等差数列，因为不能确定起始项 a2－ a1 是否等于 1.
的前 n 项和，则 S3＝________. 解析：设{an}的公差为 d，由 a2＝－6，a6＝6，得aa11＋ ＋d5＝ d＝－6，6， 解得ad1＝＝3－. 9， 于是 S3＝3×(－9)＋3×2 2×3＝－18. 答案：－18
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5．(2018·北京高考)设{an}是等差数列，且 a1＝3，a2＋a5＝36，则 {an}的通项公式为________．
高中数学等差数列前n项和公式
高中数学等差数列前n项和公式
等差数列是数学中非常重要的一种数列，它的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
等差数列的前n项和可以用如下公式表示：Sn=n(a1+an)/2。
这个公式可以用来求解等差数列的前n项和，其中n是所求项数，a1是首项，an是第n项。
这个公式的推导过程比较简单，可以通过数学归纳法进行证明。
在使用这个公式时，需要注意等差数列的首项和公差的取值。
如果首项和公差不正确，那么计算出来的结果就是错误的。
另外，在计算过程中，也需要注意精度问题，避免出现四舍五入等误差。
除了前n项和公式，还有一些其他的等差数列公式也非常重要，例如通项公式、公差公式等。
这些公式在数学中应用非常广泛，涉及到许多重要的问题，例如金融、物理、工程等。
在学习等差数列的过程中，我们还需要了解等比数列、级数等数学概念，这些概念都有着广泛的应用，是数学学习的重要基础。
等差数列前n项和公式是数学中非常重要的一个公式，它可以用来求解等差数列的前n项和。
在学习数学时，我们需要掌握这个公式的推导过程和使用方法，同时还需要了解其他与等差数列相关的数学概念。
2020年高考理科数学一轮总复习：等差数列及其前n项和教师版
2020年高考理科数学一轮总复习等差数列及其前n 项和[基础梳理]1．等差数列的有关概念 (1)定义：①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数． ②符号语言：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2.3．等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．1．两个重要技巧(1)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d .(2)若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 2．三个必备结论(1)若等差数列{a n }的项数为偶数2n ，则①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；②S偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a n a n ＋1.(2)若等差数列{a n }的项数为奇数2n ＋1，则①S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；②S 奇S 偶＝n ＋1n .(3)在等差数列{a n }中，若a 1＞0，d ＜0，则满足⎩⎨⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值S m ；若a 1＜0，d ＞0，则满足⎩⎨⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .3．两个函数等差数列{a n }，当d ≠0时，a n ＝dn ＋(a 1－d )，是关于n 的一次函数； S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n 是无常数项的二次函数． [四基自测]1．(教材改编)已知数列{a n }中，a n ＝3n ＋4，若a n ＝13，则n 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案：A2．已知等差数列{a n }满足：a 3＝13，a 13＝33，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：B3．(教材改编)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8＝( ) A ．18 B ．36 C ．54 D ．72 答案：D4．在100以内的正整数中有________个能被6整除的数． 答案：165．已知等差数列5,427，347，…，则前n 项和S n ＝________. 答案：514(15n －n 2)考点一 等差数列的性质及基本量的运算◄考基础——练透 角度1 用等差数列的基本量a 1和d 进行计算[例1] (1)(2018·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10D ．12解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a 1＋3×(3－1)2×d ＝2a 1＋2×(2－1)2×d ＋4a 1＋4×(4－1)2×d ，将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10. 故选B. 答案：B(2)已知等差数列{a n }的各项都为整数，且a 1＝－5，a 3a 4＝－1，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝( ) A ．70 B ．58 C ．51D ．40解析：设等差数列{a n }的公差为d ， 由各项都为整数得d ∈Z ，因为a 1＝－5，所以a 3a 4＝(－5＋2d )(－5＋3d )＝－1，化简得6d 2－25d ＋26＝0，解得d ＝2或d ＝136(舍去)，所以a n ＝2n －7，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝5＋3＋1＋1＋3＋…＋13＝9＋7×(1＋13)2＝58.故选B.答案：B角度2 用等差数列性质进行计算[例2] (1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 3＋a 10＝9，则S 9＝( ) A ．3 B ．9 C ．18D ．27 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .∵a 2＋a 3＋a 10＝9，∴3a 1＋12d ＝9，即a 1＋4d ＝3，∴a 5＝3，∴S 9＝9×(a 1＋a 9)2＝9×2a52＝27.故选D.答案：D(2)(2019·河北唐山第二次模拟)设{a n}是任意等差数列，它的前n项和、前2n项和与前4n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是()A．2X＋Z＝3Y B．4X＋Z＝4YC．2X＋3Z＝7Y D．8X＋Z＝6Y解析：设数列{a n}的前3n项的和为R，则由等差数列的性质得X，Y－X，R－Y，Z－R成等差数列，所以2(Y－X)＝X＋R－Y，解之得R＝3Y－3X，又因为2(R－Y)＝Y－X＋Z－R，把R＝3Y－3X代入得8X＋Z＝6Y，故选D.答案：D等差数列的计算技巧1．已知等差数列{a n}中，a2＝1，前5项和S5＝－15，则数列{a n}的公差为()A．－3 B．－5 2C．－2 D．－4 解析：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，因为⎩⎨⎧a 2＝1，S 5＝－15，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，5a 1＋5×42d ＝－15，解得d ＝－4，故选D.答案：D2．在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝8，a 4＝7，则a 5＝( ) A ．11 B ．10 C ．7D ．3解析：∵a 1＋a 5＝2a 3＝8，∴a 3＝4， 又∵a 3＋a 5＝2a 4， ∴a 5＝2a 4－a 3＝14－4＝10. 故选B. 答案：B3．等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列的前13项和为( ) A ．13 B ．26 C ．52D ．156解析：3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，∴6a 4＋6a 10＝24，∴a 4＋a 10＝4，∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 4＋a 10)2＝13×42＝26，故选B.答案：B考点二 等差数列的判定与证明◄考能力——知法 角度1 用等差数列定义证明[例3] (2019·南京模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列．(2)求a n 的表达式．解析：(1)证明：因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又a n ＝－2S n ·S n －1，所以S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0.因此1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．故由等差数列的定义知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1S n＝1S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，即S n ＝12n .由于当n ≥2时，有a n ＝－2S n ·S n －1＝－12n (n －1)，又因为a 1＝12，不适合上式． 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12(n ＝1)，－12n (n －1)(n ≥2).角度2 用等差中项法证明[例4] 已知等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n . (1)若S 3，S 9，S 6成等差数列，求证：a 2，a 8，a 5成等差数列；(2)若a m ＋2是a m ＋1和a m 的等差中项，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列吗？ 解析：(1)证明：由S 3，S 9，S 6成等差数列，得S 3＋S 6＝2S 9.若q ＝1，则3a 1＋6a 1＝18a 1，解得a 1＝0，这与{a n }是等比数列矛盾，所以q ≠1， 于是有a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2a 1(1－q 9)1－q ，整理得q 3＋q 6＝2q 9.因为q ≠0且q ≠1，所以q 3＝－12，a 8＝a 2q 6＝14a 2，a 5＝a 2q 3＝－12a 2， 所以2a 8＝a 2＋a 5，即a 8－a 2＝a 5－a 8，故a 2，a 8，a 5成等差数列．(2)依题意，得2a m ＋2＝a m ＋1＋a m ，则2a 1q m ＋1＝a 1q m ＋a 1q m －1.在等比数列{a n }中，a 1≠0，q ≠0，所以2q 2＝q ＋1，解得q ＝1或q ＝－12.当q ＝1时，S m ＋S m ＋1＝ma 1＋(m ＋1)a 1＝(2m ＋1)a 1，S m ＋2＝(m ＋2)a 1. 因为a 1≠0，所以2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1，此时S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列． 当q ＝－12时，S m ＋2＝a 1[1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋2]1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2a 13[1－(－12)m ＋2] ＝2a 13 [1－14×(－12)m ]，S m ＋S m ＋1＝a 1[1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ]1－(－12)＋a 1[1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋1]1－(－12)＝2a 13[1－(－12)m ＋1－(－12)m ＋1] ＝2a 13[2－12×(－12)m ]，所以2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1.故当q ＝1时，S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列；当q ＝－12时，S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．判定数列{a n }是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意n ∈N *，a n ＋1－a n 是同一个常数．(证明用) (2)等差中项法：对任意n ≥2，n ∈N *，满足2a n ＝a n ＋1＋a n －1.(证明用) (3)通项公式法：数列的通项公式a n 是n 的一次函数．(4)前n 项和公式法：数列的前n 项和公式S n 是n 的二次函数，且常数项为0.提醒：判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定义法判断．将本例1条件变为“数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，2S n －na n ＝n ，”求证：{a n }为等差数列．证明：因为2S n －na n ＝n ，①所以当n ≥2时，2S n －1－(n －1)a n －1＝n －1，② 所以①－②得：(2－n )a n ＋(n －1)a n －1＝1， (1－n )a n ＋1＋na n ＝1，所以2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)， 所以数列{a n }为等差数列．考点三 等差数列前n 项和及综合问题◄考素养——懂理[例5] (1)(2018·高考全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15.①求{a n }的通项公式； ②求S n ，并求S n 的最小值．解析：①设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15. 由a 1＝－7得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －9. ②由①得S n ＝a 1＋a n2·n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16. 所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.(2)已知数列{a n }满足a 1＝2，n (a n ＋1－n －1)＝(n ＋1)(a n ＋n )(n ∈N *)．①求证数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求其通项公式；②设b n ＝2a n －15，求数列{|b n |}的前n 项和T n . 解析：①∵n (a n ＋1－n －1)＝(n ＋1)(a n ＋n )(n ∈N *)， ∴na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n (n ＋1)，∴a n ＋1n ＋1－a nn ＝2， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，其公差为2，首项为2，∴a nn ＝2＋2(n －1)＝2n .②由①知a n ＝2n 2，∴b n ＝2a n －15＝2n －15， 则数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－13＋2n －15)2＝n 2－14n .令b n ＝2n －15≤0，解得n ≤7.∴n ≤7时，数列{|b n |}的前n 项和T n ＝－b 1－b 2－…－b n ＝－S n ＝－n 2＋14n . n ≥8时，数列{|b n |}的前n 项和T n ＝－b 1－b 2－…－b 7＋b 8＋…＋b n ＝－2S 7＋S n ＝－2×(72－14×7)＋n 2－14n ＝n 2－14n ＋98.∴T n ＝⎩⎨⎧14n －n 2，n ≤7，n 2－14n ＋98，n ≥8.关于等差数列前n 项和问题，主要是求和方法及性质的应用，其关键点为： (1)定性质，根据已知条件判断出数列具有哪些特性．(2)定方法，根据已知条件或具有的性质，确定解决问题的方法． ①_x0001_求和：用哪个公式，需要哪些量．②求S n 最值：(ⅰ)借助S n 的二次函数法； (ⅱ)借用通项的邻项变号法a 1>0，d <0，满足⎩⎨⎧ a m ≥0a m ＋1≤0S n 取得最大值S m ；a 1<0，d >0，满足⎩⎨⎧a m ≤0a m ＋1≥0，S n 取得最小值S m .1．在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使S n 达到最大值的n 是( ) A ．21 B ．20 C ．19D ．18解析：由a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝105，∴a 3＝35. a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99，∴a 4＝33，∴d ＝a 4－a 3＝－2. ∴a n ＝a 4＋(n －4)×d ＝33＋(n －4)×(－2)＝－2n ＋41. ∴a 20＞0，a 21＜0，∴当n ＝20时，S 20最大，故选B. 答案：B2．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，若b n ＝12a n －30，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值． 解析：∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1， 故数列{a n }为等差数列．设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72得，⎩⎨⎧a 1＋2d ＝10，6a 1＋15d ＝72，解得a 1＝2，d ＝4.故a n ＝4n －2，则b n ＝12a n －30＝2n －31， 令⎩⎨⎧ b n ≤0，b n ＋1≥0，即⎩⎨⎧2n －31≤0，2(n ＋1)－31≥0， 解得292≤n ≤312， ∵n ∈N *，∴n ＝15，即数列{b n }的前15项均为负值，∴T 15最小． ∵数列{b n }的首项是－29，公差为2， ∴T 15＝15×(－29＋2×15－31)2＝－225，∴数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为－225.数学建模——传统文化中的数列的学科素养在传统文化中，涉及很多等差数列的模型，经过转化用等差数列的知识求解，体现了数学建模，数学运算的素养.[例1] 《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加( ) A.47尺 B.1629尺 C.815尺 D.1631尺解析：设该女子织布每天增加d 尺，由题意知S 30＝30×5＋30×292d ＝390，解得d ＝1629.故该女子织布每天增加1629尺．故选B. 答案：B[例2] 中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( ) A.174斤B ．184斤C.191斤 D ．201斤解析：用a 1，a 2，…，a 8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列a 1，a 2，…，a 8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴8a 1＋8×72×17＝996，解得a 1＝65.∴a 8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤，故选B.答案：B课时规范练1．在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34，则a 1＝( )A ．－1B ．0 C.14 D.12解析：由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，又∵a 2a 4＝34，数列{a n }单调递增，∴a 2＝12，a 4＝32.∴公差d ＝a 4－a 22＝12.∴a 1＝a 2－d ＝0.答案：B2．等差数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝100(n ≥3)．若{a n }的公差为某一自然数，则n 的所有可能取值为( )A ．3,7,9,15,100B ．4,10,12,34,100C ．5,11,16,30,100D ．4,10,13,43,100解析：由等差数列的通项公式得，公差d ＝a n －a 1n －1＝99n －1.又因为d ∈N ，n ≥3，所以n －1可能为3,9,11,33,99，n 的所有可能取值为4,10,12,34,100，故选B. 答案：B3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( )A ．5B ．7C ．9D ．11解析：因为{a n }是等差数列，∴a 1＋a 5＝2a 3，即a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，∴a 3＝1，∴S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5，故选A. 答案：A4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8－S 4＝36，a 6＝2a 4，则a 1＝( )A ．－2B ．0C ．2D ．4解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 8－S 4＝36，a 6＝2a 4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 1＋8×72d －⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋4×32d ＝36，a 1＋5d ＝2a 1＋6d ，解得⎩⎨⎧a 1＝－2，d ＝2.故选A. 答案：A5．若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( )A ．12B ．13C ．14D ．15 解析：由S 5＝(a 2＋a 4)·52，得25＝(3＋a 4)·52，解得a 4＝7，所以7＝3＋2d ，即d ＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝7＋3×2＝13.答案：B6．已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100B ．99C ．98D ．97解析：由题意可知，⎩⎨⎧a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，解得a 1＝－1，d ＝1，所以a 100＝－1＋99×1＝98.答案：C7．已知等差数列{a n }中，a n ≠0，若n ≥2且a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，S 2n －1＝38，则n 等于__________．解析：∵{a n }是等差数列，∴2a n ＝a n －1＋a n ＋1，又∵a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，∴2a n－a 2n ＝0，即a n (2－a n )＝0.∵a n ≠0，∴a n ＝2.∴S 2n －1＝(2n －1)a n ＝2(2n －1)＝38， 解得n ＝10.答案：108．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．解析：设数列首项为a 1，则a 1＋2 0152＝1 010，故a 1＝5. 答案：59．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110.(1)求a 及k 的值．(2)已知数列{b n }满足b n ＝S n n ，证明数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .解析：(1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k (k －1)2·d ＝2k ＋k (k －1)2×2＝k 2＋k .由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10.(2)由(1)得S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)， 则b n ＝S n n ＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝n (2＋n ＋1)2＝n (n ＋3)2. 10．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n ＝1a n(n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解析：(1)证明：∵b n ＝1a n，且a n ＝a n －12a n －1＋1，∴b n＋1＝1a n＋1＝1a n2a n＋1＝2a n＋1a n，∴b n＋1－b n＝2a n＋1a n－1a n＝2.又∵b1＝1a1＝1，∴数列{b n}是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知数列{b n}的通项公式为b n＝1＋(n－1)×2＝2n－1，又b n＝1a n，∴a n＝1b n＝12n－1.∴数列{a n}的通项公式为a n＝12n－1.。
2020届浙江高考数学总复习讲义： 等差数列及其前n项和
第二节等差数列及其前n 项和1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2. 3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．[小题体验]1．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. 答案：102．(2018·温州模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝5，a 5＝3，则a n ＝________；S 7＝________.答案：－n ＋8 283．(2018·温州十校联考)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则S 7＝______. 答案：281．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．2．求等差数列的前n 项和S n 的最值时，需要注意“自变量n 为正整数”这一隐含条件．[小题纠偏]1．首项为24的等差数列，从第10项开始为负数，则公差d 的取值范围是( ) A ．(－3，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－∞，－83 C.⎝⎛⎭⎫－3，－83 D.⎣⎡⎭⎫－3，－83 答案：D2．(2018·湖州模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝16，a 6＝10，则公差d ＝________；S n 取到最大时的n 的值为________．解析：因为数列{a n }是等差数列，且a 3＝16，a 6＝10，所以公差d ＝a 6－a 36－3＝－2，所以a n ＝－2n ＋22，要使S n 能够取到最大值，则需a n ＝－2n ＋22≥0，所以解得n ≤11.所以可知使得S n 取到最大时的n 的值为10或11.答案：－2 10或11考点一 等差数列的基本运算(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2017·嘉兴二模)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 1S 4＝110，则S 3S 5＝( )A.25 B.35 C.37D.47解析：选A 设数列{a n }的公差为d ，因为S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且S 1S 4＝110，所以10a 1＝4a 1＋6d ，所以a 1＝d .所以S 3S 5＝3a 1＋3d 5a 1＋10d ＝6d 15d ＝25.2．设等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 2＝－d ，若a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，则k ＝( ) A ．5 B ．6 C ．9D ．11解析：选C 因为a k 是a 6与a k ＋6的等比中项， 所以a 2k ＝a 6a k ＋6.又等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 2＝－d ， 所以[a 2＋(k －2)d ]2＝(a 2＋4d )[a 2＋(k ＋4)d ]， 所以(k －3)2＝3(k ＋3)，解得k ＝9或k ＝0(舍去)，故选C.3．公差不为零的等差数列{a n }中，a 7＝2a 5，则数列{a n }中第________项的值与4a 5的值相等．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 7＝2a 5，∴a 1＋6d ＝2(a 1＋4d )，则a 1＝－2d ，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －3)d ，而4a 5＝4(a 1＋4d )＝4(－2d ＋4d )＝8d ＝a 11，故数列{a n }中第11项的值与4a 5的值相等．答案：114．(2019·绍兴模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，满足S 2＝S 6，S 55－S 44＝2，则a 1＝______，公差d ＝________.解析：由S 2＝S 6，得S 6－S 2＝a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝4a 1＋14d ＝0，即2a 1＋7d ＝0.由S 55－S 44＝2，得52(a 1＋a 5)5－42(a 1＋a 4)4＝12(a 5－a 4)＝12d ＝2，解得d ＝4，所以a 1＝－14.答案：－14 4[谨记通法]等差数列基本运算的方法策略(1)等差数列中包含a 1，d ，n ，a n ，S n 五个量，可“知三求二”．解决这些问题一般设基本量a 1，d ，利用等差数列的通项公式与求和公式列方程(组)求解，体现方程思想．(2)如果已知等差数列中有几项的和是常数的计算问题，一般是等差数列的性质和等差数列求和公式S n ＝n (a 1＋a n )2结合使用，体现整体代入的思想． 考点二 等差数列的判断与证明(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2019·温州模拟)已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1＋a n a n ＋12(n ∈N *)．(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：因为对于n ∈N *，a n ＋1＝1＋a n a n ＋12， 所以a n ＋1＝12－a n， 所以1a n ＋1－1－1a n －1＝112－a n－1－1a n －1＝2－a n －1a n －1＝－1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为1a 1－1＝－2，公差为－1的等差数列．(2)由(1)知1a n －1＝－2＋(n －1)(－1)＝－(n ＋1)， 所以a n －1＝－1n ＋1， 即a n ＝n n ＋1. [由题悟法]等差数列的判定与证明方法已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n ＝1a n(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式． 解：(1)证明：∵b n ＝1a n ，且a n ＝a n －12a n －1＋1，∴b n ＋1＝1a n ＋1＝1a n 2a n ＋1＝2＋1a n ， ∴b n ＋1－b n ＝2＋1a n －1a n ＝2.又b 1＝1a 1＝1，∴数列{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)知数列{b n }的通项公式为 b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， 又b n ＝1a n，∴a n ＝1b n＝12n －1.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝12n －1. 考点三 等差数列的性质及最值(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2019·宁波模拟)在等差数列{a n }中，若a 9a 8＜－1，且其前n 项和S n 有最小值，则当S n ＞0时，n 的最小值为( )A ．14B ．15C ．16D ．17解析：选C ∵数列{a n }是等差数列，它的前n 项和S n 有最小值，∴公差d ＞0，首项a 1＜0，{a n } 为递增数列，∵a 9a 8＜－1，∴a 8·a 9＜0，a 8＋a 9＞0，由等差数列的性质知2a 8＝a 1＋a 15＜0，a 8＋a 9＝a 1＋a 16＞0.∵S n ＝(a 1＋a n )n2，∴当S n ＞0时，n 的最小值为16. 2．(2018·嘉兴一中模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6＞S 7＞S 5，则满足a n ＞0的最大n 的值为______，满足S k S k ＋1＜0的正整数k ＝______.解析：由题可得a 6＝S 6－S 5＞0，a 7＝S 7－S 6＜0，所以使得a n ＞0的最大n 的值为6.又a 6＋a 7＝S 7－S 5＞0，则S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6＞0，S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 6＋a 7)＞0，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＜0，因为{a n }是递减的等差数列，所以满足S k S k ＋1＜0的正整数k ＝12. 答案：6 12[由题悟法]1．等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n ＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .2．求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1＞0，d ＜0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1＜0，d ＞0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[即时应用]1．(2018·浙江新高考联盟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8＝13，则S 8S 16＝( )A.310 B.37 C.13D.12解析：选A 因为数列{a n }是等差数列，所以S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列，因为S 4S 8＝13，所以不妨设S 4＝1，则S 8＝3，所以S 8－S 4＝2，所以S 16＝1＋2＋3＋4＝10，所以S 8S 16＝310.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，则数列{a n }的项数为________．解析：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，∴a 1＋a n ＝36， 又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324， ∴18n ＝324，∴n ＝18. 答案：18一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·杭州模拟)已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4.则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝－2n ＋3C ．a n ＝2n －1或－2n ＋3D ．a n ＝2n解析：选A 设数列{a n }的公差为d ，由a 3＝a 22－4可得1＋2d ＝(1＋d )2－4，解得d ＝±2.因为数列{a n }是递增数列，所以d ＞0，故d ＝2.所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.2．(2018·舟山期末)在等差数列{a n }中，若a 2＝1，a 4＝5，则{a n }的前5项和S 5＝( ) A ．7 B ．15 C ．20D ．25解析：选B 因为a 2＝1，a 4＝5，所以S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5(a 2＋a 4)2＝15.3．(2019·缙云模拟)已知{a n }为等差数列，其公差d 为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．110解析：选D 设数列{a n }的首项为a 1，因为a 7是a 3与a 9的等比中项，所以(a 1－12)2＝(a 1－4)(a 1－16)，解得a 1＝20.所以S 10＝10a 1＋45d ＝200－90＝110.4．(2019·腾远调研)我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：________日相逢？解析：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n }，其中a 1＝103，d 1＝13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n }，其中b 1＝97，d 2＝－0.5.设第m 天相逢，则a 1＋a 2＋…＋a m ＋b 1＋b 2＋…＋b m ＝103m ＋m (m －1)×132＋97m ＋m (m －1)×(－0.5)2＝2×1 125，解得m ＝9(负值舍去)．即二马需9日相逢．答案：95．等差数列{a n }中，已知a 5＞0，a 4＋a 7＜0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6＜0，a 5＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5＞0，a 6＜0，∴S n 的最大值为S 5. 答案：S 5二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·金丽衢十二校联考)已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当n ≥2，n ∈N *时，a n ＝a 2n ＋1＋a 2n －12，则a 6＝( ) A ．2 2 B ．4 C ．16D ．45解析：选B 因为a n ＝a 2n ＋1＋a 2n －12，所以2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1，即a 2n ＋1－a 2n ＝a 2n －a 2n －1，所以数列{a 2n }是等差数列，公差d ＝a 22－a 21＝4－1＝3，所以a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a n ＝3n －2，所以a 6＝18－2＝4.2．(2018·浙江五校联考)等差数列{a n }中，a 1＝0，等差d ≠0，若a k ＝a 1＋a 2＋…＋a 7，则实数k ＝( )A ．22B ．23C ．24D ．25解析：选A 因为a 1＝0，且a k ＝a 1＋a 2＋…＋a 7，即(k －1)d ＝21d ，又因为d ≠0，所以k ＝22.3．(2018·河南六市一联)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相等，则a 6＝( )A.114B.32C.72D ．1解析：选A 设{a n }的公差为d ，由题意得，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，又{a n }和{S n}都是等差数列，且公差相同，∴⎩⎨⎧d ＝ d 2，a 1－d2＝0，解得⎩⎨⎧d ＝12，a 1＝14，a 6＝a 1＋5d ＝14＋52＝114.4．(2018·东阳模拟)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A nB n＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n 为整数的正整数的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D 由A n B n ＝7n ＋45n ＋3，可得a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1，所以要使a n b n 为整数，则需12n ＋1为整数，所以n ＝1,2,3,5,11，共5个． 5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为( )A ．b n ＝n －1B ．b n ＝2n －1C ．b n ＝n ＋1D ．b n ＝2n ＋1解析：选B 设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S n S 2n ＝k ，因为b 1＝1，则n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎡⎦⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ， 整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0. 因为对任意的正整数n 上式均成立， 所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0，解得d ＝2，k ＝14.所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.6．(2019·台州中学期中)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝18，S 18＝54，则a 17＝________，S n ＝__________.解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，因为a 2＝18，S 18＝54，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝18，18a 1＋18×172d ＝54，解得a 1＝20，d ＝－2.所以a 17＝a 1＋16d ＝20－32＝－12，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋21n .答案：－12 －n 2＋21n7．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧d ＜0，a 8＞0，a 9＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧d ＜0，7＋7d ＞0，7＋8d ＜0，解得－1＜d ＜－78.答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 8．(2018·金华浦江适考)设数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，其中a n ＝－3n ＋20，b n ＝|a n |，则使T n ＝S n 成立的最大正整数n 为________，T 2 018＋S 2 018＝________.解析：根据题意，数列{a n }中，a n ＝－3n ＋20，则数列{a n }是首项为17，公差为－3的等差数列，且当n ≤6时，a n ＞0，当n ≥7时，a n ＜0，又由b n ＝|a n |，当n ≤6时，b n ＝a n ，当n ≥7时，b n ＝－a n ，则使T n ＝S n 成立的最大正整数为6，T 2 018＋S 2 018＝(a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7＋a 8＋…＋a 2 018)＋(b 1＋b 2＋…＋b 6＋b 7＋b 8＋…＋b 2 018)＝2(a 1＋a 2＋…＋a 6)＝(17＋2)×6＝114.答案：6 1149．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110. (1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项b n ＝S nn ，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .解：(1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ， 由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2， 所以S k ＝ka 1＋k (k －1)2·d ＝2k ＋k (k －1)2×2＝k 2＋k .由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10. (2)证明：由(1)得S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)， 则b n ＝S nn ＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列， 所以T n ＝n (2＋n ＋1)2＝n (n ＋3)2. 10．(2018·南昌调研)设数列{a n }的前n 项和为S n,4S n ＝a 2n ＋2a n －3，且a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列，当n ≥5时，a n ＞0.(1)求证：当n ≥5时，{a n }成等差数列； (2)求{a n }的前n 项和S n .解：(1)证明：由4S n ＝a 2n ＋2a n －3,4S n ＋1＝a 2n ＋1＋2a n ＋1－3， 得4a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋2a n ＋1－2a n ，即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0.当n ≥5时，a n ＞0，所以a n ＋1－a n ＝2， 所以当n ≥5时，{a n }成等差数列．(2)由4a 1＝a 21＋2a 1－3，得a 1＝3或a 1＝－1， 又a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列， 所以由(1)得a n ＋1＋a n ＝0(n ≤5)，q ＝－1， 而a 5＞0，所以a 1＞0，从而a 1＝3，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3(－1)n －1，1≤n ≤4，2n －7，n ≥5，所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32[1－(－1)n ]，1≤n ≤4，n 2－6n ＋8，n ≥5.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·浙江五校联考)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16a n ＋3的最小值为________．解析：设公差为d .因为a 1，a 3，a 13成等比数列，所以(1＋2d )2＝1＋12d ，解得d ＝2.所以a n ＝2n －1，S n ＝n 2.所以2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2＝n 2＋8n ＋1.令t ＝n ＋1，则原式＝t 2＋9－2t t ＝t ＋9t －2.因为t ≥2，t ∈N *，所以当t ＝3，即n ＝2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫2S n ＋16a n ＋3min ＝4. 答案：42．已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)．(1)若数列{a n }是等差数列，求a 1的值；(2)当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)法一：∵数列{a n }是等差数列，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＋1＝a 1＋nd .由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得(a 1＋nd )＋[a 1＋(n －1)d ]＝4n －3，∴2dn ＋(2a 1－d )＝4n －3，即2d ＝4,2a 1－d ＝－3，解得d ＝2，a 1＝－12. 法二：在等差数列{a n }中，由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得a n ＋2＋a n ＋1＝4(n ＋1)－3＝4n ＋1，∴2d ＝a n ＋2－a n ＝(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n )＝4n ＋1－(4n －3)＝4，∴d ＝2.又∵a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋2＝4×1－3＝1，∴a 1＝－12. (2)由题意，①当n 为奇数时，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n )＝2＋4[2＋4＋…＋(n －1)]－3×n －12 ＝2n 2－3n ＋52. ②当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n )＝1＋9＋…＋(4n －7)＝2n 2－3n 2.。
2020-2021学年高考数学(理)考点：等差数列及其前n项和
2020-2021学年高考数学（理）考点：等差数列及其前n 项和1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．(7)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差为12d .5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． 概念方法微思考1．“a ，A ，b 是等差数列”是“A ＝a ＋b2”的什么条件？提示 充要条件．2．等差数列的前n 项和S n 是项数n 的二次函数吗？提示 不一定．当公差d ＝0时，S n ＝na 1，不是关于n 的二次函数．1．（2020•北京）在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-．记12(1n n T a a a n =⋯=，2，)⋯，则数列{}(n T)A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由19a =-，51a =-，得511(9)2514a a d ----===-， 92(1)211n a n n ∴=-+-=-．由2110n a n =-=，得112n =，而*n N ∈， 可知数列{}n a 是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值． 可知190T =-<，2630T =>，33150T =-<，49450T =>为最大项， 自5T 起均小于0，且逐渐减小．∴数列{}n T 有最大项，无最小项．故选B ．2．（2020•新课标Ⅱ）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）( )A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块【答案】C 【解析】方法一：设每一层有n 环，由题意可知从内到外每环之间构成等差数列，且公差9d =，19a =， 由等差数列的性质可得n S ，2n n S S -，32n n S S -成等差数列， 且2322()()n n n n S S S S n d ---=， 则2729n d =， 则9n =，则三层共有扇面形石板3272726279934022n S S ⨯==⨯+⨯=块， 方法二：设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n =+-⨯=，设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为n S ，2n n S S -，32n n S S -， 下层比中层多729块， 729322n n n n S S S S +∴-=-，∴3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n ++++-=-+， 29729n ∴=，解得9n =， 32727(9927)34022n S S +⨯∴===，故选C ．3．（2019•新课标Ⅰ）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知40S =，55a =，则( ) A ．25n a n =- B ．310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ， 由40S =，55a =，得 1146045a d a d +=⎧⎨+=⎩，∴132a d =-⎧⎨=⎩， 25n a n ∴=-，24n S n n =-，故选A ．4．（2018•新课标Ⅰ）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若3243S S S =+，12a =，则5(a = ) A ．12- B ．10- C ．10 D ．12【答案】B【解析】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3243S S S =+，12a =，∴111132433(3)422a d a a d a d ⨯⨯⨯+=++++， 把12a =，代入得3d =- 524(3)10a ∴=+⨯-=-．故选B ．5．（2017•全国）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，546S S S ，则公差d 的取值范围是()A ．8[1,]9--B ．4[1,]5--C ．84[,]95--D ．[1-，0]【答案】A【解析】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，546S S S ， ∴5446S S S S ⎧⎨⎩，∴11115443542243654622a d a d a d a d ⨯⨯⎧++⎪⎪⎨⨯⨯⎪++⎪⎩， ∴4489d d -⎧⎨-⎩，解得819d --．∴公差d 的取值范围是[1-，8]9-．故选A ．6．（2017•新课标Ⅰ）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】C【解析】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4524a a +=，648S =，∴1113424656482a d a d a d +++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩， 解得12a =-，4d =， {}n a ∴的公差为4．故选C ．7．（2017•新课标Ⅲ）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为( ) A ．24- B ．3- C ．3 D ．8【答案】A【解析】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．2a ，3a ，6a 成等比数列，∴2326a a a =，2111(2)()(5)a d a d a d ∴+=++，且11a =，0d ≠， 解得2d =-，{}n a ∴前6项的和为616565661(2)2422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-． 故选A ．8．（2020•上海）已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则12910a a a a ++⋯+=__________． 【答案】278【解析】根据题意，等差数列{}n a 满足1109a a a +=，即11198a a d a d ++=+，变形可得1a d =-，所以1129110119899369362729998da a a a a d d d a a d a d d d ⨯+++⋯++-+====++-+． 故答案为：278． 9．（2020•新课标Ⅱ）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若12a =-，262a a +=，则10S =__________． 【答案】25【解析】因为等差数列{}n a 中，12a =-，26422a a a +==，所以41a =，4133d a a =-=，即1d =，则1011091010(2)451252S a d ⨯=+=⨯-+⨯=． 故答案为：25．10．（2020•海南）将数列{21}n -与{32}n -的公共项从小到大排列得到数列{}n a ，则{}n a 的前n 项和为__________． 【答案】232n n -【解析】将数列{21}n -与{32}n -的公共项从小到大排列得到数列{}n a ， 则{}n a 是以1为首项、以6为公差的等差数列， 故它的前n 项和为2(1)16322n n n n n -⨯+⨯=-， 故答案为：232n n -．11．（2019•新课标Ⅲ）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若35a =，713a =，则10S =__________． 【答案】100【解析】在等差数列{}n a 中，由35a =，713a =，得731352734a a d --===-， 132541a a d ∴=-=-=．则1010921011002S ⨯⨯=⨯+=． 故答案为：100．12．（2019•新课标Ⅲ）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若10a ≠，213a a =，则105S S =__________． 【答案】4【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则 由10a ≠，213a a =可得，12d a =，∴1011051510()5()S a a S a a +=+ 112(29)24a d a d+=+11112(218)428a a a a +==+，故答案为：4．13．（2019•北京）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =-，510S =-，则5a =__________，nS 的最小值为__________． 【答案】0，10-【解析】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =-，510S =-， ∴113545102a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩， 解得14a =-，1d =， 5144410a a d ∴=+=-+⨯=，21(1)(1)19814()22228n n n n n S na d n n --=+=-+=--， 4n ∴=或5n =时，n S 取最小值为4510S S ==-．故答案为：0，10-．14．（2019•江苏）已知数列*{}()n a n N ∈是等差数列，n S 是其前n 项和．若2580a a a +=，927S =，则8S 的值是__________． 【答案】16【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 则1111()(4)70989272a d a d a d a d ++++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得152a d =-⎧⎨=⎩． ∴818788(5)56162dS a ⨯=+=⨯-+=． 故答案为：16．15．（2018•北京）设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________． 【答案】63n a n =-【解析】{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=， ∴1113436a a d a d =⎧⎨+++=⎩，解得13a =，6d =，1(1)3(1)663n a a n d n n ∴=+-=+-⨯=-． {}n a ∴的通项公式为63n a n =-．故答案为：63n a n =-．16．（2018•上海）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S =__________． 【答案】14【解析】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，30a =，6714a a +=， ∴111205614a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得14a =-，2d =， 717672842142S a d ⨯∴=+=-+=． 故答案为：14．17．（2018•上海）已知{}n a 是等差数列，若2810a a +=，则357a a a ++=__________． 【答案】15【解析】{}n a 是等差数列，2810a a +=， 285210a a a ∴+==，解得55a =，3575315a a a a ∴++==．故答案为：15．18．（2017•上海）若等差数列{}n a 的前5项的和为25，则15a a +=__________． 【答案】10【解析】等差数列{}n a 的前5项的和为25，∴5155()252S a a =+=， 15225105a a ∴+=⨯=．故答案为：10．19．（2019•北京）设{}n a 是等差数列，110a =-，且210a +，38a +，46a +成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记{}n a 的前n 项和为n S ，求n S 的最小值．【解析】（Ⅰ）{}n a 是等差数列，110a =-，且210a +，38a +，46a +成等比数列．2324(8)(10)(6)a a a ∴+=++， 2(22)(43)d d d ∴-+=-+， 解得2d =，1(1)1022212n a a n d n n ∴=+-=-+-=-．（Ⅱ）由110a =-，2d =，得： 22(1)1112110211()224n n n S n n n n -=-+⨯=-=--， 5n ∴=或6n =时，n S 取最小值30-．20．（2019•新课标Ⅰ）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知95S a =-． （1）若34a =，求{}n a 的通项公式；（2）若10a >，求使得n n S a 的n 的取值范围．【解析】（1）根据题意，等差数列{}n a 中，设其公差为d ， 若95S a =-，则19955()992a a S a a +⨯===-，变形可得50a =，即140a d +=， 若34a =，则5322a a d -==-， 则3(3)210n a a n d n =+-=-+， （2）若n n S a ，则11(1)(1)2n n na d a n d -++-， 当1n =时，不等式成立， 当2n 时，有12ndd a -，变形可得1(2)2n d a --， 又由95S a =-，即19955()992a a S a a +⨯===-，则有50a =，即140a d +=，则有11(2)24an a ---，又由10a >，则有10n ， 则有210n ，综合可得：n 的取值范围是{|110n n ，}n N ∈．21．（2018•新课标Ⅱ）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．【解析】（1）等差数列{}n a 中，17a =-，315S =-， 17a ∴=-，13315a d +=-，解得17a =-，2d =， 72(1)29n a n n ∴=-+-=-；（2）17a =-，2d =，29n a n =-，22211()(216)8(4)1622n n n S a a n n n n n ∴=+=-=-=--，∴当4n =时，前n 项的和n S 取得最小值为16-．1．（2020•运城模拟）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21a =，且1n S -，1n S +，1(2)n S n +成等差数列，则( ) A ．2n n S na n-=B ．2n n S na n+=C ．21n n S a n-=D ．21n n S a n+=【答案】B【解析】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21a =，且1n S -，1n S +，1(2)n S n +成等差数列， 2(∴111)n n n S S S -++=+，2(∴2131)S S S +=+，即1211232(1)a a a a a a ++=+++，33a ∴=，故公差322d a a =-=，2(2)23n a a n d n ∴=+-=-，且11a =-． 1()(1)22n n n n a a n a S +-==，2n n S na n+∴=， 故选B ．2．（2020•东湖区校级模拟）在等差数列{}n a 中，381327a a a ++=，n S 表示数列{}n a 的前n 项和，则15(S = ) A ．134 B ．135 C ．136 D ．137【答案】B【解析】在等差数列{}n a 中， 381327a a a ++=，38138327a a a a ∴++==，解得89a =，n S 表示数列{}n a 的前n 项和，则15115815()181891352S a a a =+==⨯=． 故选B ．3．（2020•青羊区校级模拟）《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问立夏日影长为( ) A ．七尺五寸 B ．六尺五寸 C ．五尺五寸 D ．四尺五寸【答案】D【解析】从冬至日起，日影长构成数列{}n a ，则数列{}n a 是等差数列， 则567832a a a a +++=，573.5S =， 所以112111651073.5a d a d +=⎧⎨+=⎩，解可得，1272a =，1d =-．故10279 4.52a =-=． 故选D ．4．（2020•威海二模）我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是( )A ．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B ．春分和秋分两个节气的晷长相同C ．立冬的晷长为一丈五寸D ．立春的晷长比立秋的晷长短 【答案】D【解析】由题意知：设晷长为等差数列{}n a ，公差为d ，则1135a =，1315a =， 解得10d =-．∴相邻两个节气晷长减少的量为一尺，故A 正确．秋分的晷长为：775a =，春分的晷长为：75，春分和秋分两个节气的晷长相同，故B 正确． 立冬的晷长为：4105a =即为一丈五寸，故C 正确． 立春的晷长与立秋的晷长都为30，故D 不正确． 故选D ．5．（2020•运城模拟）已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若13135S =，则7(a = ) A ．15B ．25 C ．15-D ．25-【答案】A【解析】由等差数列的性质可得11313713()131325a a S a +===， 解得715a =．故选A ．6．（2020•福建模拟）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2a ，4a 是方程2230x x +-=的两实根．则5(S = )A ．10B ．5C ．5-D ．10-【答案】C【解析】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2a ，4a 是方程2230x x +-=的两实根， 242a a ∴+=-，243a a =-，则152455()5()522a a a a S ++===-， 故选C ．7．（2020•乌鲁木齐三模）已知等差数列{}n a 满足13518a a a ++=，35730a a a ++=，则246(a a a ++=) A ．20 B ．24 C ．26 D ．28【答案】B【解析】等差数列{}n a 满足13518a a a ++=，35730a a a ++=，设公差为d ， 相减可得6301812d =-=，2d ∴=． 则246135324a a a a a a d ++=+++=， 故选B ．8．（2020•南平三模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1543a a a +=，324S =，则下列结论正确的是( ) A ．n S 有最大值32 B ．n S 有最小值10 C ．n S 有最大值1214D ．n S 有最大值30【答案】D【解析】等差数列{}n a 中，设公差为d ，由1543a a a +=， 得11143(3)a a d a d ++=+， 所以150a d +=；⋯① 又324S =，即1323242da ⨯+=， 化简得18a d +=；⋯②由①②解得2d =-，110a =； 所以102(1)122n a n n =--=-； 令0n a =，解得6n =；所以5n =或6时，n S 取得最大值， 此时665(2)610302S ⨯⨯-=⨯+=． 故选D ．9．（2020•焦作四模）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，372a =，627S =，则10(a = ) A ．272B ．352C ．36D ．85【答案】B【解析】由题意利用等差数列的性质得1172261527a d a d ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得1122a d ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以，10135(101)222a =-+-⨯=，故选B ．10．（2020•重庆模拟）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，若27927a a a ++=，且89S S =，则(d = ) A ．3- B ．1- C ．1 D ．3【答案】A【解析】等差数列{}n a 中，27911116()(6)(8)3(5)327a a a a d a d a d a d a ++=+++++=+==，所以69a =； 又89S S =， 所以90a =；所以9639a a d -==-， 解得3d =-．故选A ．11．（2020•唐山二模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =，40a =，则5(S = ) A ．2- B ．0 C ．10 D ．20【答案】C【解析】等差数列{}n a 中，24a =，40a =， 所以155245()55()(40)10222a a S a a +==+=⨯+=． 故选C ．12．（2020•天津模拟）已知在等差数列{}n a 中，3456a a a ++=，711a =，则1(a = ) A ．3 B ．7 C ．7- D ．3-【答案】C【解析】由等差数列的性质，得345436a a a a ++==， 所以42a =，公差7493743a a d -===-， 又4132a a d =+=，所以17a =-． 故选C ．13．（2020•梅州一模）已知等差数列{}n a 的公差不为零，且11a ，31a ，41a 构成新的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若存在n 使得0n S =，则(n = )A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】D【解析】由题意可得，1431414211a a a a a a a +=+=， 31414()2a a a a a ∴+=⨯1111(2)(23)(3)2a d a d a a d ∴++=+⨯，整理可得，160a d +=即70a =， 113137()131302a a s a +∴=⨯==， 故13n =． 故选D ．14．（2020•宁德二模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2589a a a ++=，则9(S = ) A ．21 B ．27 C ．30 D ．36【答案】B【解析】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2581593123a a a a d a ++==+=，53a ∴=， 则19959()9272a a S a +===， 故选B ．15．（2020•天心区校级模拟）数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，且11a =，313a =-，那么5(a = )A ．35B ．35-C ．5D ．5-【答案】B 【解析】1211a =+，3231a =+， 数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，设公差为d ．312d ∴=+，解得1d =．∴5211451a =+⨯=+，解得535a =-． 故选B ．16．（2020•河南模拟）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24S =，42S =，则6(S = ) A ．6- B ．4- C ．2- D ．0【答案】A【解析】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2S ，42S S -，64S S -也成等差数列， 又24S =，42S =，62(24)4(2)S ∴-=+-，66S ∴=-， 故选A ．17．（2020•哈尔滨三模）数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，且11a =，313a =-，那么2020(a = )A ．10091010B ．10091010-C ．20192020D ．20192020-【答案】B【解析】设等差数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的公差为d ，且11a =，313a =-，∴1211a =+，3231a =+， 312d ∴=+，解得1d =．∴2111n n n a =+-=+， 21n a n∴=-． 那么202021009120201010a =-=-． 故选B ．18．（2020•湖北模拟）已知首项为正的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3481313()6a a a S ++=，若对于任意的*n N ∈，都有n k S S ，则(k = ) A ．8 B ．9 C ．8或9 D ．9或10【答案】C【解析】首项为正的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3481313()6a a a S ++=， 1111131213(237)6(13)2a d a d a d a d ⨯∴+++++=⨯+， 整理得：180a d =->，可得0d <， 21(1)(1)172898()22224n n n n n d S na d d d n d --∴=+=-+=--， 可得8n =或9时，n S 取得最大值．对于任意的*n N ∈，都有n k S S ，则8k =或9． 故选C ．19．（2020•沙坪坝区校级模拟）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若525S =，348a a +=，则5(a =) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，525S =，348a a +=，∴5111545252238S a d a d a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪+++=⎩， 解得19a =，2d =-， 594(2)1a ∴=+⨯-=．故选A ．20．（2020•松原模拟）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若25a =，540S =，则公差(d = ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】等差数列{}n a 中，25a =，540S =， 则11551040a d a d +=⎧⎨+=⎩，解可得3d =，12a =，故选C ．21．（2020•三模拟）已知数列{}n a 既是等差数列又是等比数列，首项11a =，则它的前2020项的和等于( ) A ．0 B ．1 C ．2020 D ．2021【答案】C【解析】数列{}n a 既是等差数列又是等比数列，且首项11a =， 1n a ∴=，即数列{}n a 是常数列．它的前2020项的和等于2020． 故选C ．22．（2020•运城模拟）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1050S =，101120a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）当2n 时，证明：222n n na S a <<． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，1050S =，101120a a +=． 1104550a d ∴+=，121920a d +=，联立解得：112a =，1d =， 121122n n a n -∴=+-=． （2）证明：当2n 时，2121()12222n n n S n -+==．∴22222112(1)1()0224nn n n a S n ----=-=>，∴2nn a S >． 222112141()022228n n a n n S n ---=-=>，22n n a S ∴>． 综上可得：222n n na S a <<． 23．（2020•安徽模拟）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知312S =，535S =． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n a n b =．求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解析】()I 设等差数列{}n a 的公差为d ．312S =，535S =． 13312a d ∴+=，151035a d +=，解得：11a =，3d =， 13(1)32n a n n ∴=+-=-．（Ⅱ）1284n a n n b ==⨯，数列{}n b 的前n 项和18(18)2(81)4187n n n T --=⨯=-． 24．（2020•汉中二模）设等差数列{}n a 满足39a =-，105a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最小的n 的值． 【解析】（1）1032103a a d -==-，113a =-，13(1)2215n a n n =-+-⨯=-；（2）2(13215)142n n n S n n -+-==-，由于是二次函数， 7n =，n S 最小．25．（2020•肥城市模拟）已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2219a a =，618S =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值及对应n 的大小． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，且0d ≠由2219a a =，得140a d +=，由618S =，得1532a d +=，解得18a =，2d =-．{}n a ∴的通项公式为102n a n =-，*n N ∈．（2）由（1），得22(1)9818(2)9()224n n n S n n n n -=+⨯-=-+=--+． *n N ∈，∴当4n =或5n =时，n S 有最大值为20．26．（2020•吉林二模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23a =-，60S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求使不等式n n S a >成立的n 的最小值．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，23a =-，60S =． 13a d ∴+=-，16150a d +=．解得：15a =-，2d =． 52(1)27n a n n ∴=-+-=-．（2）不等式n n S a >，即(1)52272n n n n --+⨯>-，化为：(1)(7)0n n -->，解得7n >． ∴使不等式n n S a >成立的n 的最小值为8．27．（2020•陕西二模）在等差数列{}n a 中，已知1312a a +=，2418a a +=，*n N ∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求3693n a a a a +++⋯+．【解析】()I 因为{}n a 是等差数列，1312a a +=，2418a a +=，所以112212,2418.a d a d +=⎧⎨+=⎩解得3d =，13a =．则3(1)33n a n n =+-⨯=，*n N ∈．(3)II a ，6a ，9a ，⋯，3n a 构成首项为39a =，公差为9的等差数列． 则23693199(1)9()22n a a a a n n n n n +++⋯+=+-⨯=+．28．（2019•吉安一模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2882a a +=，419S S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最大值．【解析】（1）285822a a a +==，541a ∴= 由419S S =得21524199a a a =⇒=，得：215215a a d -=-，解得2d =-， 故5(5)412(5)512n a a n d n n =+-=+-=-， 由（1），得2250(25)625n S n n n =-+=--+． 由二次函数的性质，当25n =时n S 有最大值625．29．（2019•西安一模）记n S 为等差数列{)n a 的前n 项和，已知13S =，33S =． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最大值．【解析】（1）设{}}n a 的公差为d ，由题意得1333a d +=． 由113a S ==得2d =-．所以{}n a 的通项公式为52n a n =-．（2）由（1）得224(2)4n S n n n =-+=--+．所以当2n =时，n S 取得最大值，最大值为4．30．（2019•兴庆区校级二模）已知等差数列{}n a 中，3716a a =-，460a a +=，求： （1）求{}n a 的通项公式； （2）{}n a 的前n 项和n S ．【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，3716a a =-，46370a a a a +==+， 解得34a =，74a =-或34a =-，74a =．124a d ∴+=，164a d +=-，或124a d +=-，164a d +=．解得182a d =⎧⎨=-⎩或182a d =-⎧⎨=⎩．82(1)102n a n n ∴=--=-，或82(1)210n a n n =-+-=-．（2）由（1）可得：182a d =⎧⎨=-⎩或182a d =-⎧⎨=⎩．因此(1)82(9)2n n n S n n n -=-+⨯=-，或(1)8(2)(9)2n n n S n n n -=+⨯-=--．。
4.2.2 等差数列的前n项和公式 (精讲)(解析版)
4.2.2等差数列的前n项和公式一、等差数列的前n 项和公式1、等差数列的前n 项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式()12n n n a a S +=()112n n S na d-=+n 2、等差数列前n 项和公式的推导对于公差为d 的等差数列，()()()111121n S a a d a d a n d ⎡⎤=+++++++-⎣⎦①()()()21n n n n n S a a d a d a n d ⎡⎤=+-+-++--⎣⎦②由①＋②得()()()()11112n n n n S a a a a a a a a =++++++++n n 个＝()1n n a a +，由此得等差数列前n 项和公式()12n n n a a S +=，代入通项公式()11n a a n d =+-得()112n n n S na d -=+.二、等差数列的前n 项和常用的性质1、设等差数列{}n a 的公差为d ，n S 为其前n 项和，等差数列的依次k 项之和，k S ，2k k S S -，32k k S S -…组成公差为2k d 的等差数列；2、数列{}n a 是等差数列⇔2n S an bn =+(a ，b 为常数)⇔数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，公差为2d；3、若S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，公差为d；①当项数为偶数2n 时，()21n n n S n a a +=+，S S nd -=奇偶，1nn S a S a +=奇偶；②当项数为奇数21n +时，()21121n n S n a ++=+，n S S a -=奇偶，1S n S n+=奇偶.4、在等差数列{}n a ，{}n b 中，它们的前n 项和分别记为,n n S T 则2121n n n n a S b T --=将等差数列前n 项和公式()112n n n S na d -=+，整理成关于n 的函数可得2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.当0d ≠时，n S 关于n 的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(),n n S 在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线2122d d y x a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭上横坐标为正整数的一系列孤立的点．四、求等差数列的前n 项和S n 的最值的解题策略1、将()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭配方，若0d ≠，则从二次函数的角度看：当0d >时，S n 有最小值；当0d <时，n S 有最大值．当n 取最接近对称轴的正整数时，n S 取到最值．2、邻项变号法：当10a >，0d <时，满足100n n a a +≥⎧⎨≤⎩的项数n 使n S 取最大值；当10a <，0d >时，满足10n n a a +≤⎧⎨≥⎩的项数n 使n S取最小值。
2020版高考数学第五章数列第2节等差数列及其前n项和讲义理(含解析)新人教A版
第2节 等差数列及其前n 项和考试要求 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.体会等差数列与一次函数的关系.知 识 梳 理1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数).(2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.2.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝n （a 1＋a n ）2.3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列.(5)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列.[微点提醒]1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .2.在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.3.等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列.4.数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数).基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( ) (4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.( ) 解析 (3)若公差d ＝0，则通项公式不是n 的一次函数. (4)若公差d ＝0，则前n 项和不是二次函数. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×2.(必修5P46A2改编)设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A.31B.32C.33D.34解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝263，d ＝－43，∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝32.答案 B3.(必修5P68A8改编)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________. 解析 由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180. 答案 1804.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A.－12B.－10C.10D.12解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即d ＝－32a 1.又a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10. 答案 B5.(2019·上海黄浦区模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝1，前5项和S 5＝－15，则数列{a n }的公差为( ) A.－3B.－52C.－2D.－4解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，S 5＝－15，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，5a 1＋5×42d ＝－15， 解得d ＝－4. 答案 D6.(2019·苏北四市联考)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8>0，且S 9<0，则S 1，S 2，…，S 9中最小的是______.解析 在等差数列{a n }中， ∵a 3＋a 8>0，S 9<0，∴a 5＋a 6＝a 3＋a 8>0，S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5<0，∴a 5<0，a 6>0，∴S 1，S 2，…，S 9中最小的是S 5. 答案 S 5考点一 等差数列基本量的运算【例1】 (1)(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A.1B.2C.4D.8(2)(2019·潍坊检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，若a m ＝30，则m ＝( ) A.9B.10C.11D.15解析 (1)法一 设等差数列{a n }的公差为d ， 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋3d ）＋（a 1＋4d ）＝24，6a 1＋6×52d ＝48，所以d ＝4. 法二 等差数列{a n }中，S 6＝（a 1＋a 6）×62＝48，则a 1＋a 6＝16＝a 2＋a 5，又a 4＋a 5＝24，所以a 4－a 2＝2d ＝24－16＝8，则d ＝4.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 11＝11a 1＋11×（11－1）2d ＝22，a 4＝a 1＋3d ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－33，d ＝7， ∴a m ＝a 1＋(m －1)d ＝7m －40＝30，∴m ＝10. 答案 (1)C (2)B规律方法 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.【训练1】 (1)等差数列log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)，…的第四项等于( ) A.3 B.4 C.log 318 D.log 324(2)(一题多解)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________. 解析 (1)∵log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)成等差数列， ∴log 3(2x )＋log 3(4x ＋2)＝2log 3(3x )，∴log 3[2x (4x ＋2)]＝log 3(3x )2，则2x (4x ＋2)＝9x 2， 解之得x ＝4，x ＝0(舍去).∴等差数列的前三项为log 38，log 312，log 318， ∴公差d ＝log 312－log 38＝log 332，∴数列的第四项为log 318＋log 332＝log 327＝3.(2)法一 设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由S 3＝6，S 4＝12，可得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝3a 1＋3d ＝6，S 4＝4a 1＋6d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2，所以S 6＝6a 1＋15d ＝30.法二 由{a n }为等差数列，故可设前n 项和S n ＝An 2＋Bn ， 由S 3＝6，S 4＝12可得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝9A ＋3B ＝6，S 4＝16A ＋4B ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝－1，即S n ＝n 2－n ，则S 6＝36－6＝30.答案 (1)A (2)30考点二 等差数列的判定与证明 典例迁移【例2】 (经典母题)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列. (2)解 由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－12n （n －1）.当n ＝1时，a 1＝12不适合上式.故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n （n －1），n ≥2.【迁移探究1】 本例条件不变，判断数列{a n }是否为等差数列，并说明理由. 解 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0， 所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2). 所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2).又1S 1＝1a 1＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列.所以1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n.所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝－12n （n －1），所以a n ＋1＝－12n （n ＋1），又a n ＋1－a n ＝－12n （n ＋1）－－12n （n －1）＝－12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n －1＝1n （n －1）（n ＋1）.所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列. 【迁移探究2】 本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式. 解 由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 1＝35， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25，∴a n ＝n 2－25n . 规律方法 1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数. (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)都成立. 2.判定一个数列是等差数列还常用到结论：(1)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列.(2)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.【训练2】 (2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列. 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－2，a 1＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n. (2)由(1)可得S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－23＋(－1)n 2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23.＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋(－1)n ·2n ＋13＝2S n ， 故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列. 考点三 等差数列的性质及应用 多维探究角度1 等差数列项的性质【例3－1】 (2019·临沂一模)在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则a 2＋a 14的值为( ) A.6B.12C.24D.48解析 ∵在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120， 由等差数列的性质，a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120， ∴a 8＝24，∴a 2＋a 14＝2a 8＝48. 答案 D角度2 等差数列和的性质【例3－2】 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.63B.45C.36D.27解析 由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列， 即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45， 所以a 7＋a 8＋a 9＝45. 答案 B规律方法 1.项的性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .2.和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 (1)S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； (2)S 2n －1＝(2n －1)a n .【训练3】 (1)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 015，S 2 0152 015－S 2 0092 009＝6，则S 2 019＝________.(2)(2019·荆州一模)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＝3，a 8＝8，则a 12的值是( ) A.15B.30C.31D.64(3)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( )A.3727B.1914C.3929D.43解析 (1)由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列. 设其公差为d ，则S 2 0152 015－S 2 0092 009＝6d ＝6，∴d ＝1.故S 2 0192 019＝S 11＋2 018d ＝－2 015＋2 018＝3， ∴S 2 019＝3×2 019＝6 057.(2)由a 3＋a 4＋a 5＝3及等差数列的性质， ∴3a 4＝3，则a 4＝1.又a 4＋a 12＝2a 8，得1＋a 12＝2×8. ∴a 12＝16－1＝15.(3)a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727. 答案 (1)6 057 (2)A (3)A 考点四 等差数列的前n 项和及其最值【例4】 (2019·衡水中学质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1≠0，常数λ>0，且λa 1a n ＝S 1＋S n 对一切正整数n 都成立. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设a 1>0，λ＝100，当n 为何值时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前n 项和最大？ 解 (1)令n ＝1，得λa 21＝2S 1＝2a 1，a 1(λa 1－2)＝0， 因为a 1≠0，所以a 1＝2λ，当n ≥2时，2a n ＝2λ＋S n ，2a n －1＝2λ＋S n －1，两式相减得2a n －2a n －1＝a n (n ≥2). 所以a n ＝2a n －1(n ≥2)，从而数列{a n }为等比数列，a n ＝a 1·2n －1＝2nλ. (2)当a 1>0，λ＝100时，由(1)知，a n ＝2n100，则b n ＝lg 1a n ＝lg 1002n ＝lg 100－lg 2n＝2－n lg 2，所以数列{b n }是单调递减的等差数列，公差为－lg 2， 所以b 1>b 2>…>b 6＝lg 10026＝lg 10064>lg 1＝0，当n ≥7时，b n ≤b 7＝lg 10027<lg 1＝0，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前6项和最大.规律方法 求等差数列前n 项和S n 的最值的常用方法：(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn (a ≠0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值.(2)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求S n 的最值. ①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m (当a m ＋1＝0时，S m ＋1也为最大值)；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m (当a m ＋1＝0时，S m ＋1也为最小值).【训练4】 (1)等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3，a 5，a 15成等比数列，若a 5＝5，S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为( )A.3B.3或4C.4或5D.5(2)已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为________.解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋2d ）（a 1＋14d ）＝25，a 1＋4d ＝5，由d ≠0，解得a 1＝－3，d ＝2，∴S nn＝na 1＋n （n －1）2dn＝－3＋n －1＝n －4，则n －4≥0，得n ≥4，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为3或4.(2)因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝20n －n （n －1）2×2＝－n 2＋21n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2122，又因为n ∈N *，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110. 答案 (1)B (2)110[思维升华]1.证明等差数列可利用定义或等差中项的性质，另外还常用前n 项和S n ＝An 2＋Bn 及通项a n ＝pn ＋q 来判断一个数列是否为等差数列. 2.等差数列基本量思想(1)在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a 1，d 的方程组进行求解. (2)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d .若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.(3)灵活使用等差数列的性质，可以大大减少运算量. [易错防范]1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了a n ＋1－a n ＝d (n ≥2)时，应注意验证a 2－a 1是否等于d ，若a 2－a 1≠d ，则数列{a n }不为等差数列.2.利用二次函数性质求等差数列前n 项和最值时，一定要注意自变量n 是正整数.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A.100B.99C.98D.97解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧9a 1＋36d ＝27，a 1＋9d ＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1， 所以a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99＝98. 答案 C2.(2019·淄博调研)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 6a 5＝911，则S 11S 9＝( )A.1B.－1C.2D.12 解析 由于S 11S 9＝11a 69a 5＝119×911＝1. 答案 A 3.(2019·中原名校联考)若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列，已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝( )A.10B.20C.30D.40解析 依题意，11x n ＋1－11x n＝x n ＋1－x n ＝d ， ∴{x n }是等差数列.又x 1＋x 2＋…＋x 20＝20（x 1＋x 20）2＝200. ∴x 1＋x 20＝20，从而x 5＋x 16＝x 1＋x 20＝20.答案 B4.(2019·北京海淀区质检)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( )A.174斤B.184斤C.191斤D.201斤解析 用a 1，a 2，…，a 8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列a 1，a 2，…，a 8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴8a 1＋8×72×17＝996，解之得a 1＝65. ∴a 8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤.答案 B5.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝9，S 99－S 55＝－4，则S n 取最大值时的n 为( ) A.4 B.5 C.6 D.4或5 解析 由{a n }为等差数列，得S 99－S 55＝a 5－a 3＝2d ＝－4， 即d ＝－2，由于a 1＝9，所以a n ＝－2n ＋11，令a n ＝－2n ＋11<0，得n >112， 所以S n 取最大值时的n 为5.答案 B二、填空题6.已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为________.解析 设项数为2n ，则由S 偶－S 奇＝nd 得，25－15＝2n 解得n ＝5，故这个数列的项数为10.答案 107.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1，则a 6＝________. 解析 将a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1两边同时除以a n a n ＋1，1a n ＋1－1a n ＝2. 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，2为公差的等差数列， 所以1a 6＝1＋5×2＝11，即a 6＝111. 答案 1118.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＝16，S 100－S 90＝24，则S 100＝________. 解析 依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d .又S 10＝16，S 100－S 90＝24，因此S 100－S 90＝24＝16＋(10－1)d ＝16＋9d ，解得d ＝89，因此S 100＝10S 10＋10×92d ＝10×16＋10×92×89＝200. 答案 200三、解答题9.等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解 (1)设数列{a n }首项为a 1，公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝25.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋35. 当n ＝1，2，3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1； 当n ＝4，5时，2≤2n ＋35<3，b n ＝2； 当n ＝6，7，8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3； 当n ＝9，10时，4≤2n ＋35<5，b n ＝4. 所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.10.已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110.(1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项公式b n ＝S n n ，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .(1)解 设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k （k －1）2·d ＝2k ＋k （k －1）2×2＝k 2＋k ， 由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10.(2)证明 由(1)得S n ＝n （2＋2n ）2＝n (n ＋1)， 则b n ＝S n n ＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝n （2＋n ＋1）2＝n （n ＋3）2.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2019·济宁模拟)设数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1(n ≥2且n ∈N *)，则a 18＝( )A.259B.269C.3D.289 解析 令b n ＝na n ，则2b n ＝b n －1＋b n ＋1(n ≥2)，所以{b n }为等差数列，因为b 1＝1，b 2＝4，所以公差d ＝3，则b n ＝3n －2，所以b 18＝52，则18a 18＝52，所以a 18＝269. 答案 B12.(2019·青岛诊断)已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n (n ∈N *)，若S n T n ＝2n －1n ＋1，则a 12b 6＝( ) A.154B.158C.237D.3 解析 由题意不妨设S n ＝n (2n －1)，T n ＝n (n ＋1)，所以a 12＝S 12－S 11＝12×23－11×21＝45，b 6＝T 6－T 5＝6×(6＋1)－5×(5＋1)＝42－30＝12，所以a 12b 6＝4512＝154. 答案 A13.设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 解析 由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，∴n ≤5时，a n ≤0，当n >5时，a n >0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130. 答案 13014.(2019·长沙雅礼中学模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＋a 13＝26，S 9＝81.(1)求{a n }的通项公式；(2)令b n ＝1a n ＋1a n ＋2，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若30T n －m ≤0对一切n ∈N *成立，求实数m 的最小值.解 (1)∵等差数列{a n }中，a 1＋a 13＝26，S 9＝81，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 7＝26，9a 5＝81，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝13，a 5＝9， ∴d ＝a 7－a 57－5＝13－92＝2，∴a n ＝a 5＋(n －5)d ＝9＋2(n －5)＝2n －1.(2)∵b n ＝1a n ＋1a n ＋2＝1（2n ＋1）（2n ＋3） ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3， ∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3， ∵12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3随着n 的增大而增大，知{T n }单调递增. 又12n ＋3>0，∴T n <16，∴m ≥5， ∴实数m 的最小值为5.新高考创新预测15.(多填题)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，满足S 2＝S 6，S 55－S 44＝2，则a 1＝________，公差d ＝________.解析 由{a n }为等差数列，得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为a 1，公差为d 2的等差数列，∵S 55－S 44＝2，∴d 2＝2⇒d ＝4，又S 2＝S 6⇒2a 1＋4＝6a 1＋6×52×4⇒a 1＝－14. 答案 －14 4。
2020年高考数学(文)一轮复习专题6.2 等差数列及其前n项和(讲)(解析版)
专题6.2等差数列及其前n 项和1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．知识点一等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)．知识点二等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ．通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *)．(2)等差数列的前n 项和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d (其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n 项)．知识点三等差数列及前n 项和的性质(1)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．(5)S 2n －1＝(2n －1)a n .(6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd 2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．知识点四等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 21.数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．知识点五等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值．【必会结论】等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则a m ＋a n ＝2a p .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d .(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d,则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(6)等差数列{a n }的前n 项和为S n,则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等差数列，其公差为n 2d.考点一等差数列基本量的运算【典例1】（2019年全国I 卷）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则()A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-【答案】A 【解析】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，24n S n n =-，故选A 。
4.2.2等差数列的前n项和公式 (解析版)
4.2.2等差数列的前n 项和公式知识点一.前n 项和1．数列的前n 项和：对于数列{a n }，一般地称a 1＋a 2＋…＋a n 为数列{a n }的前n 项和，用S n 表示，即S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .2．等差数列的前n 项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式S n ＝n （a 1＋a n ）2S n ＝na 1＋n （n －1）2d 3、等差数列前n 项和公式的推导对于公差为d 的等差数列，S n ＝a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋…＋[a 1＋(n －1)d ]，①S n ＝a n ＋(a n －d )＋(a n －2d )＋…＋[a n －(n －1)d ]，②由①＋②得2S n ＝(a 1＋a n )＋(a 1＋a n )＋…＋(a 1＋a n )n 个＝n (a 1＋a n )，由此得等差数列前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2，代入通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 得S n ＝na 1＋n (n －1)2d .知识点二．等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ．(3)若{a n }的公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d ．(4)若{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．知识点三．等差数列与函数的关系1.通项公式：当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且一次项系数为公差d .若公差d ＞0，则为递增数列，若公差d ＜0，则为递减数列．2.前n 项和：当公差d ≠0时，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 21是关于n 的二次函数且常数项为0.知识点四．两个常用结论1.关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质①若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1；②若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝n n －1.2.两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为S 2n －1T 2n －1＝a n b n.【注意】1．当公差d ≠0时，等差数列的通项公式是n 的一次函数；当公差d ＝0时，a n 为常数．2．注意利用“a n －a n －1＝d ”时加上条件“n ≥2”．题型1等差数列前n 项和基本量的计算【例题1】(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则()A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n【解析】(1)方法一：设等差数列{a n }的公差为d 4＝0，5＝5，a 1＋4×32d ＝0，1＋4d ＝5，解得1＝－3，＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n 2－4n .故选A.方法二：设等差数列{a n }的公差为d 4＝0，5＝5，a 1＋4×32d ＝0，1＋4d ＝5，1＝－3，＝2.选项A ，a 1＝2×1－5＝－3；选项B ，a 1＝3×1－10＝－7，排除B ；选项C ，S 1＝2－8＝－6，排除C ；选项D ，S 1＝12－2＝－32，排除D.故选A.【变式1-1】1．（2022·甘肃·宁县第二中学高二阶段练习）已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，若S 9=54，a 11+a 12+a 13=27，则S 16=（）A ．120B ．60C ．160D ．80【答案】A【分析】首先根据等差数列通项公式和前n 项和公式将题干条件中的等式转化成基本量a 1和d ，然后联立方程组解出a 1和d ，最后根据公式求解S 16即可.【详解】∵a n 为等差数列，∴S 9=9a 1+9×82d =9a 1+36d =54，a 11+a 12+a 13=a 1+10d +a 1+11d +a 1+12d =3a 1+33d =27，9a 1+36d =543a 1+33d =27，解得a 1=307d =37.S 16=16a 1+16×152d =16×307+120×37=120.故选：A.【变式1-1】2．（2022·湖南省桃源县第一中学高三阶段练习）设等差数列a n 的前n 项和为S n ，已知a 3=11，a 5=19，则S 10=（）A ．310B ．210C ．110D ．39【答案】B【分析】根据等差数列的公差以及求和公式，可得答案.【详解】由等差数列a n ，则公差d =a 5-a 35-3=19-112=4，即S 10=5×a 3+a 8=5×a 3+a 3+5d =5×11×2+5×4=5×42=210.故选：B.【变式1-1】3．（2022·江苏南京·高三阶段练习）设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 8=6,S 21=0，则a 1的值为（）A ．18B ．20C ．22D ．24【答案】B【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式代入求解即可.【详解】解：由题意得：设等差数列的通项公式为a n =a 1+(n -1)d ，则S n =na 1+n (n -1)2da 8=6S 21=0⇒a 1+7d =721a 1+20×212d =0解得：d =-2a 1=20故选：B 【变式1-1】4．（2023·上海·高三专题练习）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n =1+(n −1)d ，5a 2=a 8，则S n =___________.【答案】n 2【分析】根据通项公式列出方程求出d ，利用前n 项和公式求解.【详解】因为a n =1+(n −1)d ，5a 2=a 8所以5(1+d )=1+7d ⇒d =2，所以{a n }是以2为公差的等差数列，所以S n =n (1+2n −1)2=n 2，故答案为：n 2【变式1-1】5.(2020·河南部分重点高中联考)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若3S 5－5S 3＝135，则数列{a n }的公差d ＝________．【解析】因为3S 5－5S 3＝135，所以a 1＋5×42d a 1＋3×22d135，所以15d ＝135，解得d ＝9.【变式1-2】1．(2020·六校联盟第二次联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＋S 5＝2，S 7＝14，则a 10＝()A ．18B ．16C ．14D ．12【答案】选C.【解析】设{an }的公差为d ，1＋3d ＋5a 1＋5×42d ＝2，a 1＋7×62d ＝14a 1＋13d ＝2，1＋3d ＝2，1＝－4，＝2，所以a 10＝－4＋9×2＝14，选C.【变式1-2】2．已知数列{a n}(n∈N＋)是等差数列，S n是其前n项和，若a2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是________．【答案】16【解析】设等差数列{a n}的公差为d，则a2a5＋a8＝(a1＋d)·(a1＋4d)＋a1＋7d＝a21＋4d2＋5a1d ＋a1＋7d＝0，S9＝9a1＋36d＝27，解得a1＝－5，d＝2，则S8＝8a1＋28d＝－40＋56＝16.【变式1-2】3.(2017·全国卷Ⅰ)记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为()A．1B．2C．4D．8【答案】C【解析】设等差数列{a n}的公差为d4＋a5＝24，6＝48，1＋3d＋a1＋4d＝24，a1＋6×52d＝48，即a1＋7d＝24，a1＋5d＝16，解得d＝4.【变式1-2】4．(2020·高考全国卷Ⅱ)记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________．【答案】25【解析】设等差数列{a n}的公差为d，则a2＋a6＝2a1＋6d＝2.因为a1＝－2，所以d＝1.所以S10＝10×(－2)＋10×92×1＝25.【变式1-2】5．(2020·合肥第一次教学检测)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S4＝4S2.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若a m＋a m＋1＋a m＋2＋…＋a m＋9＝180(m∈N*)，求m的值．【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d，由S4＝4S2得，4a1＋6d＝8a1＋4d，整理得d＝2a1，又a1＝1，所以d＝2，所以a n＝a1＋(n－1)d＝2n－1(n∈N*)．(2)a m＋a m＋1＋a m＋2＋…＋a m＋9＝180可化为10a m＋45d＝20m＋80＝180.解得m＝5.【变式1-2】6.(2021·新高考卷Ⅱ)记S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)求使S n＞a n成立的n的最小值．【解析】(1)由等差数列的性质可得S5＝5a3，则a3＝5a3，所以a3＝0，设等差数列的公差为d，从而有a2a4＝(a3－d)(a3＋d)＝－d2，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a3－2d)＋(a3－d)＋a3＋(a3＋d)＝－2d，从而－d2＝－2d，由于公差不为零，故d＝2，数列的通项公式为a n＝a3＋(n－3)d ＝2n－6.(2)由数列的通项公式可得a1＝2－6＝－4，则S n＝n×(－4)＋n（n－1）2×2＝n2－5n，则不等式S n＞a n即n2－5n＞2n－6，整理可得(n－1)·(n－6)＞0，解得n＜1或n＞6，又n为正整数，故n的最小值为7.题型2等差数列前n项和Sn与等差中项的关系2n-1n【例题2-1】等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝20，则S9＝() A．27B．36C．45D．54【答案】选B.【解析】依题意a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝5a5＝20，a5＝4，所以S9＝a1＋a92×9＝9a5＝36.【变式2-1】1．已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，2＋a5＝a6＋a3，则S7＝() A．2B．7C．14D．28【答案】选C.【解析】因为2＋a5＝a6＋a3，所以2＋a4＋d＝a4＋2d＋a4－d.解得a4＝2，所以S7＝7（a1＋a7）2＝7a4＝14.【变式2-1】2．（2023·全国·高三专题练习）设公差不为0的等差数列a n的前n项和为S n，已知S9=3a3+a5+a m，则m=（）A．9B．8C．7D．6【答案】C【分析】根据等差数列的前n项和的性质及等差数列通项公式化简可得.【详解】因为S9=3a3+a5+a m，又S9=9a5，所以9a5=3a3+a5+a m，所以a3+a5+ a m=3a5，即a3+a m=2a5，设等差数列a n的公差为d，则a1+2d+a1+(m−1)d=2(a1+ 4d)，所以(m+1)d=8d，又d≠0，所以1+m=8，所以m=7．故选：C.【变式2-1】3．（2021·陕西渭南·一模（理））已知数列a n为等差数列，其前n项和为S n，若S15=90，则a8=（）A．12B．6C．4D．3【答案】B【分析】根据等差数列的性质及前n项和公式即可求出答案.【详解】因为数列a n为等差数列，所以S15=15×2a82=15a8=90，所以a8=6.故选：B.◆类型2a n bn =S2n−1 T2n−1【例题2-2】（2023·全国·高三专题练习）两个等差数列a n和b n的前n项和分别为S n、T n，且S n Tn =5n+2n+3，则a2+a20b7+b15等于（）A．10724B．724C．14912D．1493【答案】A【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式结合等差数列性质计算作答.【详解】两个等差数列a n和b n的前n项和分别为S n、T n，且S n Tn =5n+2n+3，所以a2+a20b7+b15=a1+a21b1+b21=a1+a21 2×21b1+b21 2×21=S21T21=5×21+221+3=10724.故选：A【变式2-2】1．（2022·辽宁·沈阳市第五十六中学高二阶段练习）若等差数列a n 和b n 的前n 项的和分别是S n 和T n ，且an b n=n 2n +1，则S 11T 11=（）A ．1221B ．1123C ．613D ．1223【答案】C【分析】根据等差数列的前n 项的和的公式即可转化成a n b n=n2n +1,进而求解.【详解】因为a n 和b n 是等差数列,故S11T 11==a 6b 6=613故选:C【变式2-2】2．（2022·天津·高二期末）若等差数列a n ，b n 的前n 项和分别为S n ，T n ，满足S n T n=2n −13n +1，则a4b 4=_______.【答案】1322【分析】根据等差数列下标和性质及等差数列前n 项和公式计算可得；【详解】解：依题意可得a4b 4=2a 42b 4=a 1+a 7b 1+b 7=21+a 77b 1+b 7=S 7T 7=2×7−13×7+1=1322；故答案为：1322【变式2-2】3．（2022·全国·高三专题练习）已知S n ，T n 分别是等差数列a n ，b n 的前n 项和，且S n T n=3n +1n +1,n ∈N ∗，则a 10b3+b 18+a 11b6+b 15=______．【答案】6121【答案】利用等差数列的性质和前n 项和公式即可求得.【详解】因为b n 为等差数列，所以b 3+b 18=b 6+b 15，所以a 10b3+b 18+a 11b6+b 15=a 10+a 11b 6+b 15=a 1+a20b 1+b 20=12×a 1+a 20×2012×b 1+b 20×20=S 20T 20=3×20+120+1=6121.故答案为：6121【变式2-2】4．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S nT n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．【答案】1941【解析】∵{a n }，{b n }为等差数列，∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6.∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝1941.【变式2-2】5.等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意正整数n 都有S n T n ＝2n －13n －2，则a 11b 6＋b 10＋a 5b 7＋b 9________．【答案】2943【解析】a 11b 6＋b 10＋a 5b 7＋b 9＝a 11＋a 52b 8＝2a 82b 8＝a 8b 8，又a 8b 8＝S 2×8－1T 2×8－1＝S 15T 15＝2×15－13×15－2＝2943.【变式2-2】6．（2022·陕西·西安工业大学附中高一阶段练习）有两个等差数列a n ,b n ，其前n 项和分别为S n ,T n .（1）若a n b n=2n −13n +1，则S 11T 11=___________.（2）若S n T n=2n −13n +1，则a 5b 4=___________.【答案】11191722【分析】利用S11T 11=11a 611b 6可得填空1的答案；若SnT n=2n −13n +1=2n 2−n 3n 2+n，则可设S n =2n 2−n k ，T n =3n 2+n k ，然后可计算a5b 4的值.【详解】若a n b n=2n −13n +1，则S 11T 11=11a 611b 6=2×6−13×6+1=1119；若S n T n=2n −13n +1=2n 2−n 3n 2+n，则可设S n =2n 2−n k ，T n =3n 2+n k 所以a 5=S 5−S 4=45k −28k =17k ，b 4=T 4−T 3=52k −30k =22k ，所以a 5b 4=1722，故答案为：1119；1722【变式2-2】7．（2023·全国·高三专题练习）设公差不为零的等差数列a n 的前n 项和为S n ，a 4=2a 5，则S7S 4=（）A ．74B ．-1C ．1D ．54【答案】C【分析】利用等差中项2a 5=a 4+a 6，2a 6=a 5+a 7及等差数列前n 项和的性质即可求解.【详解】解：在等差数列a n 中，2a 5=a 4+a 6，a 4=2a 5，故a 6=0，又2a 6=a 5+a 7，故a 7=−a 5，则S 7=S 4+a 5+a 6+a 7=S 4，故S7S 4=1.故选：C.【变式2-2】8．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列a n 与等差数列b n 的前n 项和分别为S n，T n.若对于任意的正整数n都有S n Tn =2n+13n−1，则a8b9=（）A．3552B．3150C．3148D．3546【答案】B【分析】先设S n=2n+1nt，T n=3n−1nt，由a8=S8−S7，b9=T9−T8直接计算a8b9即可.【详解】设S n=2n+1nt，T n=3n−1nt，t≠0.则a8=S8−S7=136t−105t=31t，b9= T9−T8=234t−184t=50t，所以a8b9=3150.故选：B.【变式2-2】9．（2022·安徽宿州·高二期中）已知两个等差数列a n和b n的前n项和分别为A n和B n，且A n Bn =2n+1n+4，则b2+b8a3+a5+a7=（）A．43B．3839C．1319D．2657【答案】D【分析】根据等差数列性质与前n项公式化简即可求解．【详解】由b2+b8a3+a5+a7=b1+b93a1+a9=23⋅B9A9=23×9+42×9+1=2657．故选：D【变式2-2】10．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二开学考试）等差数列a n和b n的前n项和分别记为S n与T n，若S2n Tn =6n3n+4，则a3+a12b4=（）A．725B．1425C．2125D．4225【答案】D【分析】根据等差数列的性质，将a3+a12b4变形为数列的前n项和的比的形式，即可求得答案.【详解】a n和b n为等差数列，故a3+a12b4=a1+a1412×2b4=142(a1+a14)72(b1+b7)=S14T7=6×73×7+4=4225,故选：D.【变式2-2】11．两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n，B n，且满足A nB n ＝7n＋45n＋3，则使得a nb n为正整数的n的个数是() A．5B.4C.3D.2【解析】选A.因为a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1，所以当n ＋1＝2，3，4，6，12，即n ＝1，2，3，5，11时，an b n为正整数．故选A.题型3等差数列前n 项和S n 的性质k 2k k 3k 2k 列【例题3-1】（2022·上海市延安中学高二阶段练习）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10=20，S 30=90，则S 20=___________【答案】50【分析】由等差数列片段和的性质知S 10,S 20−S 10,S 30−S 20成等差数列，再由等差中项的性质求结果.【详解】由题设S 10,S 20−S 10,S 30−S 20成等差数列，所以2(S 20−S 10)=S 10+S 30−S 20，则3S 20=3S 10+S 30=150，所以S 20=50.故答案为：50【变式3-1】1.等差数列前n 项的和为30，前2n 项的和为100，则它的前3n 项的和为()A ．130B ．170C ．210D ．260【答案】C【解析】利用等差数列的性质：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列．所以S n ＋(S 3n －S 2n )＝2(S 2n－S n )，即30＋(S 3n －100)＝2(100－30)，解得S 3n ＝210.【变式3-1】2．（2022·江西·高三开学考试）等差数列a n 的前n 项和为S n ，若a 3=0，a 4+a 5+a 6=6，则S 7=______．【答案】7【分析】方法一：设出公差，利用题干条件得到a 5=2，进而求出公差，再求出首项，利用求和公式进行求解；方法二：利用题干条件得到a 5=2，再利用求和公式的性质进行求解.【详解】方法一：设公差为d ，由a 4+a 5+a 6=3a 5=6，∴a 5=2，又a 3=0，∴d =a 5−a 35−3=1，a 1=a 3−2d =−2，∴S 7=7a 1+7×6d 2=7．方法二：由已知得a 4+a 5+a 6=3a 5=6，∴a 5=2，又a 3=0，所以S 7===7．故答案为：7【变式3-1】3.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于()A ．63B ．45C ．36D ．27【答案】B【解析】∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列，所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.【变式3-1】4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若488,20S S ==,则13141516a a a a +++=()A ．12B ．8C ．20D ．16【答案】C【解析】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，488,20S S ==，由等差数列的性质得：4841281612,,,S S S S S S S ---成等比数列又4848,20812,S S S =-=-=∴128122012416,S S S -=-=+=16121314151616420S S a a a a -=+++=+=．故选：C ．【变式3-1】5．（2022·全国·高二课时练习）设等差数列a n 的前n 项和为S n ，若S k =2，S 2k =8，则S 4k =______．【答案】32【分析】由等差数列a n 前n 项和的性质，可得S k ，S 2k −S k ，S 3k −S 2k ，S 4k −S 3k 成等差数列，进而即得.【详解】由等差数列a n 前n 项和的性质，可得S k ，S 2k −S k ，S 3k −S 2k ，S 4k −S 3k 成等差数列，∴2S 2k −S k =S k +S 3k −S 2k ，解得S 3k =18，∴2，6，10，S 4k −18成等差数列，可得2×10=6+S 4k −18，解得S 4k =32.故答案为：32.【变式3-1】6．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）在等差数列a n 中，其前n 项和为S n ，若S 21:S 7=6:1，则S 28:S 14=（）A ．16:1B ．6:1C ．12:1D ．10:3【答案】D【分析】根据等差数列前n 项和的性质求解即可【详解】由等差数列前n 项和的性质可得，S 7,S 14−S 7,S 21−S 14,S 28−S 21成等差数列，设S 7=s ，则S 21=6s ，即s ,S 14−s ,6s −S 14成等差数列，故2S 14−s =s +6s −S 14，解得S 14=3s ，故S 7,S 14−S 7,S 21−S 14,S 28−S 21即s ,2s ,3s ,4s ，故S 28−6s =4s ，S 28=10s ，故S 28:S 14=10:3故选：D【变式3-1】7.n S 是等差数列n a }的前n 项和，若3613S S =，则612S S 为（）A ．310B ．13C ．18D ．19【答案】A【解析】设36,3S a S a ==，根据36396129,,,S S S S S S S ---是一个首项为a ，公差为a 的等差数列，各项分别为,2,3,4a a a a ，故6123323410S a S a a a a ==+++.故选：A .【变式3-1】8．（2022·全国·高二课时练习）已知一个等差数列a n 的前4项和为32，前8项和为56．(1)求S12、S16的值；(2)通过计算观察，寻找S4、S8、S12、S16之间的关系，你发现什么结论？(3)根据上述结论，请你归纳出对于等差数列而言的一般结论，并证明．【答案】(1)S12=72，S16=80(2)S4，S8−S4，S12−S8，S16−S12成等差数列．(3)已知a n是等差数列，前n项和为S n，则S t，S2t−S t，S3t−S2t，…，S kt−S k−1t，…k,t∈N∗成等差数列；证明见解析．【分析】（1）设{a n}公差为d，由等差数列前n项和公式列方程组求得a1和d，再计算出S12，S16；（2）由（1）求出S4，S8−S4，S12−S8，S16−S12后可得结论；（3）根据等差数列的定义证明．（1）设{a n}公差为d，则S4=4a1+6d=32S8=8a1+28d=56，解得a1=354d=−12，S12=12a1+66d=12×354+66×(−12)=72，S16=16a1+120d=16×354+120×(−12)=80；（2）由（1）得S4=32，S8−S4=24，S12−S8=16，S16−S12=8，所以S4，S8−S4，S12−S8，S16−S12成等差数列；（3）设{a n}公差为d，则S kt−S(k−1)t=(a1+a2+⋯+a kt)−(a1+a2+⋯+a(k−1)t)= a(k−1)t+1+a(k−1)t+2+⋯+a kt，同理S(k+1)t−S kt=a kt+1+a kt+2+⋯+a(k+1)t，所以(S(k+1)t−S kt)−(S kt−S(k−1)t)=(a kt+1−a(k−1)t+1)+(a kt+2−a(k−1)t+2)+⋯+(a(k+1)t−a kt)=td+td+⋯+td=t2d为常数，所以S t，S2t−S t，S3t−S2t，…，S kt−S k−1t，…k,t∈N∗成等差数列．◆类型2数列{a n}是等差数列⇔S n＝an2＋bn(a，b为常数)⇔为等差数列【例题3-2】（2023·全国·高三专题练习）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1＝﹣2018，S20192019−S2*******=6，则S2020等于（）A．﹣4040B．﹣2020C．2020D．4040【答案】C【分析】根据等差数列前n 项和的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可.【详解】∵S n 是等差数列{a n }的前n 项和，∴数列{S n n}是等差数列．∵a 1＝﹣2018，S 20192019−S 20132013=6，∴数列{S n n}的公差d =66=1，首项为﹣2018，∴S 20202020=−2018+2019×1＝1，∴S2020＝2020．故选：C ．【变式3-2】1．（2022·河北·河间一中高三开学考试）在等差数列a n 中，a 1=−2021，其前n 项和为S n ，若S 1010−S 88=2，则S 2021等于（）A ．2021B ．−2021C ．−2020D ．2020【答案】Bd =1，结合等差数列通项公式可求得S 20212021，进而得到结果.【详解】∵数列a n 为等差数列，∴设其公差为d ，又S1010−S 88=2d =2，解得：d =1，又S11=a 1=−2021，∴S 20212021=−2021+2020=−1，∴S 2021=−2021.故选：B.【变式3-2】2.在等差数列{a n }中，a 1＝－2018，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2018的值等于()A ．－2018B ．－2016C ．－2019D ．－2017【答案】A【解析】由题意知，数列{S n n }为等差数列，其公差为1，∴S 20182018＝S 11＋(2018－1)×1＝－2018＋2017＝－1.∴S 2018＝－2018.【变式3-2】3．（2022·浙江·高二阶段练习）（多选）若等差数列a n 的公差为d ，前n 项和为S n ，记b n =S nn，则（）A ．数列b n 是公差为12d 的等差数列B ．数列b n 是公差为2d 的等差数列C ．数列a n +b n 是公差为32d 的等差数列D．数列a n−b n是公差为32d的等差数列【答案】AC【分析】利用等差数列的定义可判断各选项的正误.【详解】由已知可得b n=S n n=2n=a1+a n2，对于AB选项，b n+1−b n=a n+1+a12−a n+a12=a n+1−a n2=d2，所以，数列b n是公差为12d的等差数列，A对B错；对于C选项，a n+1+b n+1−a n+b n=a n+1−a n+b n+1−b n=d+d2=3d2，所以，数列a n+b n是公差为32d的等差数列，C对；对于D选项，a n+1−b n+1−a n−b n=a n+1−a n−b n+1−b n=d−d2=d2，所以，数列a n−b n是公差为12d的等差数列，D错.故选：AC.【变式3-2】4．（2021·全国·高二专题练习）等差数列{a n}的通项公式是a n＝2n＋1，其前n项和为S n10项的和．【答案】75【分析】先求得S n，然后求得S n n，进而求得数列10项的和.【详解】a n=2n+1,a1=3,S n=3+2n+12⋅n=n+2⋅n，所以S n n=n+2是首项为1+2=3，公差为1的等差数列，其前10项和为10×3+10×92×1=75.【变式3-2】5．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知等差数列a n的前n项和为S n，S10=30，S20=70，则S110=___________.【答案】880【分析】设等差数列a n的公差为d为等差数列，且公差为d2，求出5d的值，可求得S110110的值，即可得解.【详解】设等差数列a n的公差为d，∵S n n=2n=a1+a n2，则S n+1n+1−S n n=a n+1+a12−a n+a12=d2，为等差数列，且公差为d2，所以，S2020−S1010=72−3=12=10×d2=5d，故S110110=S1010+100×d2=3+10×5d=3+10×12=8，所以，S110=880.故答案为：880.【变式3-2】6．（2021·安徽·高三阶段练习（理））在等差数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n，若S6−3S2=24，则S10=_____.【答案】100d，进而得S66−S22=4d=4，故S n n=n，进而得S n=n2，再计算S10即可.【详解】∵数列a n为等差数列，∴设其公差为d，又S66−S22=4d=4，解得：d=1，又∵S11=a1=1，∴S n n=n，即S n=n2∴S10=100故答案为：100.【变式3-2】7．（2021·全国·高二课时练习）设等差数列{a n}的前n项和为Sn，且Sm＝－2，Sm＋1＝0，Sm＋2＝3，则m＝________.【答案】4是等差数列，从而可得S m m＋S m+2m+2＝2S m+1m+1，然后将Sm＝－2，Sm＋1＝0，Sm＋2＝3，代入可求出m的值【详解】因为Sn是等差数列{an}的前n所以S m m＋S m+2m+2＝2S m+1m+1，即−2m＋3m+2＝0，解得m＝4.故答案为：4◆类型3奇偶数项的和为()A．6B．5C．4D．3【答案】D【解析】因为某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，因此数列的第一、三、五、七、九项的和，写出数列的第二、四、六、八、十项的和，都用首项和公差表示，两式相减，得到结果．5a1+20d=15，5a1+25d=30，d=3，选B【变式3-3】1.等差数列{a n}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于________．【答案】10【解析】因为等差数列共有2n＋1项，所以S奇－S偶＝a n＋1＝S2n＋12n＋1，即132－120＝132＋1202n＋1，解得n＝10.【变式3-3】2.设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．【答案】117【解析】设等差数列{a n}的项数为2n＋1，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝n＋1a1＋a2n＋12＝(n＋1)a n＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝n a2＋a2n2＝na n＋1，所以S奇S偶＝n＋1n＝4433，解得n＝3，所以项数2n＋1＝7，S奇－S偶＝a n＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项．【变式3-3】3．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列a n共有2n+1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则a n+1的值为（）．A．30B．29C．28D．27【答案】B【分析】由等差数列的求和公式与等差数列的性质求解即可【详解】奇数项共有n+1项，其和为a1+a2n+12⋅n+1=2a n+12⋅n+1=290，∴n+1a n+1=290．偶数项共有n项，其和为a2+a2n2⋅n=2a n+12⋅n=na n+1=261，∴a n+1=290−261=29．故选：B．【变式3-3】4．（2021·全国·高二专题练习）已知某等差数列a n的项数n为奇数，前三项与最后三项这六项之和为78，所有奇数项的和为65，则这个数列的项数n 为（）A ．9B ．11C ．13D ．15【答案】A【分析】由等差数列的性质与求和公式求解即可【详解】由已知，a 1+a 2+a 3+a n +a n −1+a n −2=78，所以a 1+a n =26，所有奇数项的和为a 1+a 3+a 5+⋅⋅⋅+a n =a 1+a n22==65，于是可得n =9.故选：A.【变式3-3】5．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列a n 的前n 项和为377，项数n 为奇数，且前n 项中，奇数项的和与偶数项的和之比为7:6，则中间项为________．【答案】29【分析】由题意可得S 奇S偶=n +1n −1=76，求出n =13，再利用等差数列求和公式的性质可求得答案【详解】因为n 为奇数，所以S奇S 偶=n +1n −1=76，解得n =13．所以S 13=13a 7=377，所以a 7=29．故所求的中间项为29．故答案为：29题型4等差数列前n 项和S n 的最值【例题4-1】已知数列{a n }中，,744,2511-==+n n a a a 若其前n 项和为S n ，则S n 的最大值为（）A.15B.750C.4765 D.2705【解析】由4a n+1=4a n -7，知数列{a n }为等差数列，公差d=-74，{a n }为单调递减数列，其通项公式为a n =25+（n-1)×（-74）=-74n +1074.当a n ≥0且a n+1<0时，S n 最大，得n≤1077且n>1077，所以n=15，即数列{a n }的前15项均为正值，第16项开始为负值，故S 15最大，S 15=15×25＋15×142×（−74）=7654，故选C.【变式4-1】1．（2018·河南信阳·高二期中（文））数列{an}中，如果a n =49﹣2n ，则Sn 取最大值时，n 等于（）A ．23B ．24C ．25D ．26【答案】B【分析】由题意，根据等差数列的求和公式，结合二次函数的性质，可得答案.【详解】由题意，可知数列a n 为等差数列，则S n ==48n −n 2=−n −242+242，则当n =24时，S n 取最大值.故选：B.【变式4-1】2．（2022·北京·高三开学考试）等差数列a n 的前n 项和为S n .已知a 1+2a 3=−1，S 4=0.则S n 的最小值为（）A ．−4B ．−3C ．−2D ．−1【答案】A【分析】根据题意，列方程求得d =2,a 1=−3，再求解S n 的最小值即可.【详解】解：设等差数列a n 的公差为d ，因为等差数列a n 中，a 1+2a 3=−1，S 4=0，所以a 1+2a 3=3a 1+4d =−1S 4=0=4a 1+6d，解得d =2,a 1=−3，所以a 1=−3,a 2=−1,a 3=1，且n ≥3时a n >0，所以S n 的最小值为S 2=a 1+a 2=−4.故选：A【变式4-1】3．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 3=-7，S 4=-32．(1)求{a n }的公差d ；(2)求S n 的最小值．【答案】(1)d =2(2)-36【分析】（1）依题意得到方程组，解得即可；（2）由（1）求出a n 的通项公式及S n ，再根据二次函数的性质计算可得.（1）解：依题意得a 3=a 1+2d =-7S 4=4a 1+6d =-32，解得a 1=-11d =2，所以{a n }的公差d =2；（2）解：由（1）知a n =-11+2(n -1)=2n -13，所以S n =n (a 1+a n )2=n (-11+2n -13)2=n 2-12n =n -62-36，由二次函数性质得，当n =6时，(S n )min =-36．【变式4-1】4.已知数列{}n a 中1116,2(*)n n a a a n N +=-=-∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 最大时，n 的值为（）A ．8B ．7或8C ．8或9D ．9【答案】C 【解析】12n n a a +-=-，∴数列{}n a 是等差数列，并且公差为2-，()()21162172n n n S n n n -=⨯+⨯-=-+21728924n ⎛⎫=--+⎪⎝⎭，对称轴是178.52n ==，*n N ∈，所以当8n =或9时，n S 取得最大值.故选：C ◆类型2相邻两项异号【例题4-2】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＞0，a 3＋a 10＞0，a 6a 7＜0，则满足S n ＞0的最大自然数n 的值为()A ．6B ．7C ．12D ．13【答案】选C.【解析】因为在等差数列{a n }中a 1＞0，a 6a 7＜0，所以a 6＞0，a 7＜0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＝2a 7＜0，所以S 12＞0，S 13＜0，所以满足S n ＞0的最大自然数n 的值为12.【变式4-2】1．（2022·浙江·高一期中）若等差数列满足a 7+a 8+a 9>0，a 7+a 10<0，则当a n 的前n 项和最大时，n 的值为________.【答案】8【分析】利用等差数列的性质可得3a8=a7+a8+a9>0,a8+a9=a7+a10<0，分析即得解【详解】∵等差数列{a n}满足a7+a8+a9>0，a7+a10<0∴3a8=a7+a8+a9>0,a8+ a9=a7+a10<0∴a8>0,a9<0∴d=a9−a8<0∴等差数列{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，∴当{a n}的前n项和最大时n的值为8故答案为：8【变式4-2】2．（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）（多选）已知等差数列a n 中，a3+a9=0，公差d<0，则使其前n项和S n取得最大值的自然数n是（）A．4B．5C．6D．7【答案】BC【分析】由等差数列a n中，a3+a9=0可求出a6=0，从而判断a5>0，a7<0，即可求得答案.【详解】∵在等差数列a n中，a3+a9=0，∴a6=0.又公差d<0，∴a5>0，a7<0，∴使其前n项和S n取得最大值的自然数n是5或6,故选：BC.【变式4-2】3．（2022·江苏·无锡市第一中学高三阶段练习）已知{a n}为等差数列，S n为{a n}的前n项和．若S10<0,a3+a7>0，则当S n取最大值时，n的值为（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【分析】根据等差数列的前n项和公式及等差数列下角标的性质即可求解.=5(a1+a10)=5(a5+a6)<0，所以a5+a6<0，又a3+a7=【详解】因为S10=10(a1+a10)22a5>0，所以a5>0，所以a6<0，则(S n)max=S5.故选:C.【变式4-2】4．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4045>0，S4044<0，则S n取最小时，n=（）A．4045B．4044C．2023D．2022【答案】D【分析】由已知，利用等差数列前n项和公式及其性质得a2023>0，a2022+a2023<0，进而得出结论．【详解】∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4045>0，S 4044<0，∴4045(a 1+a 4045)2=4045×2a 20232>0，4044(a 1+a 4044)2=2022(a 2022+a 2023)<0，∴a 2023>0，a 2022+a 2023<0，∴a 2023>0，公差d >0，则当n =2022时S n 最小．故选：D【变式4-2】5.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 100＞0，S 101＜0，则满足a n a n +1＜0的n ＝（）A ．50B ．51C ．100D ．101【答案】A【解析】根据题意，等差数列{}n a 中，1000S >，1010S <，则有110010*********()10050()50()02a a S a a a a +⨯==+=+>，则有50510a a +>；又由110110151()10110102a a S a +⨯==<，则有510a <；则有500a >，若10n n a a +<，必有50n =；故选：A【变式4-2】6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若190S >，200S <，则11S a ，22S a ，…，2020S a 中最大的是（）A ．88S a B ．99S a C ．1100S a D ．1111S a 【答案】C 【解析】由119191019()1902a a S a +==>，得到100a >；由12020101120()10()02a a S a a +==+<，得到110a <，∴等差数列{}n a 为递减数列，且1231011120a a a a a a >>>>>>>>，12100S S S <<<<,1011121920210S S S S S S >>>>>>>>,当10n ≤时，0,0n n S a >>，且10S 最大，10a 最小，所以110S a 最大；当1119n ≤≤时，0,0n n S a ><，此时0nnS a <；当20n =时，20200,0S a <<，且20100S S <<，20100a a >>，所以202010202010S S S a a a =<，综上所述，11S a ，22S a ，…，2020S a 中最大的是1100S a .故选：C ．【变式4-2】7.在等差数列{}n a 中，其前n 项和是n S ，若90S >，100S <，则在912129,,,S S S a a a ⋯中最大的是（）A ．11S a B ．88S a C ．55S a D ．99S a 【答案】C 【解析】由于191109510569()10()9050222a a a a S a S a a ++====+＞，（）＜，所以可得5600a a ＞，＜．这样569121256900...0,0,...0S S S S S a a a a a ，，，>>><<，而125125S S S a a a ⋯⋯＜＜＜，＞＞＞>0，，所以在912129...S S S a a a ，，，中最大的是55S a ．故选C ．◆类型3利用前n 项和的函数特征（二次函数）【例题4-3】在等差数列{a n }中，a 1＞0，S 4＝S 11，则S n 取最大值时n 的值是________．【答案】7或8【解析】设S n ＝An 2＋Bn.由a 1＞0，S 4＝S 11可知，d ＜0，则d2＝A ＜0.易知{S n }是y ＝Ax 2＋Bx 图象上一系列孤立的点的纵坐标，y ＝Ax 2＋Bx 的图象开口向下，对称轴是直线x ＝4＋112＝152.故S n 取最大值时n 的值是7或8.【变式4-3】1.在等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1＞0，S 3＝S 11.则当n 为多少时，S n 最大？【解析】方法一：设公差为d .由S 3＝S 11，可得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，即d ＝－213a 1.所以S n ＝d 2n 21＝－a 113(n －7)2＋4913a 1，因为a 1＞0，所以－a 113＜0.故当n ＝7时，S n 最大．方法二：易知S n ＝An 2＋Bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝An 2＋Bn 的图象关于直线n ＝3＋112＝7对称．由方法一可知A ＝－a 113＜0.故当n ＝7时，S n 最大．【变式4-3】2.在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求前n 项和S n 的最大值．【解析】由S 17＝S 9，得25×17＋17×17－12d ＝25×9＋9×9－12d ，解得d ＝－2，法一公式法]S n ＝25n ＋nn －12×(－2)＝－(n －13)2＋169.由二次函数性质得，当n ＝13时，S n 有最大值169.法二邻项变号法]∵a 1＝25＞0n ＝25－2n －1≥0，n ＋1＝25－2n ≤0，≤1312，≥1212，即1212≤n ≤1312.又n ∈N *，∴当n ＝13时，S n 有最大值169.【变式4-3】3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n,7a 5＋5a 9＝0，且a 9>a 5，则S n 取得最小值时n 的值为()A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】由7a 5＋5a 9＝0，得a 1d ＝－173.又a 9>a 5，所以d >0，a 1<0.因为函数y ＝d221的图象的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n 取得最小值时n 的值为6.【变式4-3】4．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，若a 2+a 5=24，S 3=S 9，求S n 的最大值．【答案】72【分析】由题意可求出数列的首项和公差，即可求得数列的S n ，结合二次函数性质，求得答案.【详解】解法一（函数法）：等差数列a n 中，由S 3=S 9，得a 4+a 5+⋅⋅⋅+a 9=0，则a 6+a 7=0．又a 2+a 5=24，设数列a n 的公差为d ，可得a 1+5d +a 1+6d =0a 1+d +a 1+4d =24，解得a 1=22d =−4，所以S n =−2n 2+24n =−2n −62+72，故当n =6时，S n 有最大值，为72．解法二（通项变号法）：由S 3=S 9，得a 4+a 5+⋅⋅⋅+a 9=0，则a 6+a 7=0，又a 2+a 5=24，可得a 1+5d +a 1+6d =0a 1+d +a 1+4d =24，解得a 1=22>0d =−4<0，故结合a 6+a 7=0，可知数列a n 的前6项为正，从第7项开始为负，所以当n =6时，S n 有最大值，且最大值为S 6=3a 1+a 6=3a 2+a 5=72．【变式4-3】5．（2022·全国·高二课时练习）设a n 为等差数列，a 1=13，且前3项和与前11项和相等．问：前多少项和最大？并求前n 项和的最大值．【答案】前7项和最大，最大值为49【分析】先根据已知条件求出等差数列的公差，再表示出求和公式，配方后利用二次函数的性质可求得结果.【详解】设等差数列a n 的公差为d ，因为a 1=13，且前3项和与前11项和相等，所以3×13+3×22d =11×13+11×102d ，解得d =−2，所以前n 项和为S n =na 1+n (n −1)2d =13n +n (n −1)2×(−2)=−n 2+14n =−(n −7)2+49，所以当n =7时，前n 项和最大为49，◆类型4S n >0和S n <0问题【例题4-4】若数列{a n }是等差数列，首项a 1<0，a 203＋a 204>0，a 203·a 204<0，则使前n 项和S n <0的最大自然数n 是________．【答案】405【解析】由a 203＋a 204>0⇒a 1＋a 406>0⇒S 406>0，又由a 1<0且a 203·a 204<0，知a 203<0，a 204>0，所以公差d >0，则数列{a n}的前203项都是负数，那么2a203＝a1＋a405<0，所以S405<0，所以使前n项和S n<0的最大自然数n＝405.【变式4-4】1.在等差数列{a n}中，a10<0，a11>0，且a11>|a10|，则满足S n<0的n的最大值为________．【答案】19【解析】因为a10<0，a11>0，且a11>|a10|，所以a11>－a10，a1＋a20＝a10＋a11>0，所以S20＝20a1＋a202>0.又因为a10＋a10<0，所以S19＝19×a10＋a102＝19a10<0，故满足S n<0的n的最大值为19.【变式4-4】2.已知数列{a n}是等差数列，若a9+3a1<0，a10·a11<0，且数列{a n}的前n项和S n 有最大值，那么S n取得最小正值时n等于（）A．1B．20C．10D．19【答案】D【解析】因为等差数列的前n项和有最大值，故可得d<0因为a9+3a1<0，故可得a9+a10+a11+a12<0，2(a10+a11)<0,a10+a11<0又因为a10·a11<0，故可得a10>0,a11<0又因为S n=19a n>0，S20=10(a10+a11)<0，故S n取得最小正值时n等于19.故选：D.【变式4-4】3．（2022·全国·高一专题练习）等差数列a n的前n项和为S n，公差为d，已知a1<0且2a1+7d=0．则使S n>0成立的最小正整数n的值为______．【答案】9【分析】先由2a1+7d=0求得d=−27a1，由S n>0求得n的取值范围，从而求得正确答案.【详解】因为2a1+7d=0，d=−27a1，所以S n=na1=−a17n2+87a1n，又a1<0，由S n=−a17n2+87a1n>0，可得n2−8n=n n−8>0，即n>8，所以使S n>0成立的最小正整数n的值为9.故答案为：9【变式4-4】4．(2022·广东韶关一模)设S n为等差数列{a n}的前n项和，a6＋a7＝1，则S12＝________，若a7＜0，则使得不等式S n＜0成立的最小整数n＝________．【答案】613【解析】根据{a n }为等差数列，且a 6＋a 7＝1，得S 12＝6(a 6＋a 7)＝6；若a 7＜0，则S 13＝（a 1＋a 13）×132＝13a 7＜0，又S 12＞0，所以使不等式S n ＜0成立的最小整数n ＝13.题型5等差数列含有绝对值的求和【例题5】在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是________．【答案】60【解析】由a 1＞0，a 10·a 11＜0可知d ＜0，a 10＞0，a 11＜0，∴T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18＝S 10－(S 18－S 10)＝60.【变式5-1】1.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2=−3a 3,S 3=−9.(1)求{a n }的通项公式；(2)求|S n |的最小值，以及此时n 的值.【答案】(1)a n =4n −11.(2)|S n |的最小值及对应n 均为4.【分析】（1）设公差，由已知结合等差数列通项公式、前n 项和公式求基本量，写出通项公式即可.（2）由{a n }的前n 项和公式，根据|S n |的非负性质，易知最小值出现在S n 零点附近的自然数n 处，代入相应n 值计算即可.(1)设等差数列{a n }的公差为d ,由题意，{a 1+d =−3(a 1+2d )3a 1+3d =−9,，解得a 1=−7,d =4，∴a n =−7+4(n −1)=4n −11.(2)由（1）知，S n =n (−7+4n −11)2=n (2n −9)，由f (x )=x (2x −9)的零点为0和92，∴|f (x )|的最小值是靠近零点处的函数值，又|S 1|=7,|S 4|=4,|S 5|=5，∴当n =4时，|S n |取得最小值为4.【变式5-1】2．（2022·全国·高二课时练习）记S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 5=−35，S 7=−21.(1)求{a n}的通项公式，并求S n的最小值；(2)设b n=a n，求数列{b n}的前n项和T n.【答案】(1)a n=4n−19，-36；(2)T n=17n−2n2,n≤4,2n2−17n+72,n≥5.【分析】（1）求出a n=4n−19，再求出n=1，2，3，4时a n<0，n≥5时，a n>0，即得解；（2）对n分n≤4和n≥5两种情况讨论得解.（1）解：设{a n}的公差为d，则5a1+5×42d=−35，7a1+7×62d=−21，∴a1=−15，d=4，∴a n=−15+4(n−1)=4n−19.由a n=4n−19≥0得，n≥194，∴n=1，2，3，4时a n<0，n≥5时，a n>0，∴S n的最小值为S4=4a1+4×32d=−36.（2）解：由(1)知，当n≤4时，b n=|a n|=−a n;n≥5时，b n=|a n|=a n，S n=na1+n(n−1)2d=2n2−17n，当n≤4时，T n=−S n=17n−2n2.当n≥5时，T n=S n−2S4=2n2−17n−2×(−36)=2n2−17n+72，∴T n= 17n−2n2,n≤4,2n2−17n+72,n≥5.【变式5-1】3．（2021·北京·海淀教师进修学校附属实验学校高二期末）在①a1=−8,a2=−7,a n+1=ka n+1n∈N∗,k∈R②若{a n}为等差数列，且a3=−6,a7=−2③设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=12n2−∈N∗．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答(1)求数列{a n}的通项公式(2)求数列{a n}的前n项和为S n的最小值及n的值(3)记T n=a1+a2+a3+...+a n，求T20【答案】(1)a n=n−9(2)当n=8或n=9时，S n取得最小值为−36.(3)102【分析】（1）选①结合等差数列的定义求得a n；选②通过求a1,d来求得a n；选③利用a n= S1,n=1S n−S n−1,n≥2求得a n.（2）由a n≤0求得S n的最小值以及对应n的值.（3）结合等差数列前n项和公式求得T20.。
高三数学必修五等差数列的前n项和知识点总结
高三数学必修五《等差数列的前n项和》知识点总结一、等差数列及前n项和知识点汇总.等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.2.等差数列的通项公式若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=a1+d.3.等差中项如果A=/2，那么A叫做a与b的等差中项.4.等差数列的常用性质通项公式的推广：an=am+d.若{an}为等差数列，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq.若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…是公差为md的等差数列.数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…也是等差数列.S2n-1=an.若n为偶数，则S偶-S奇=nd/2;若n为奇数，则S奇-S偶=a中.注意：一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：Sn=a1+a2+a3+…+an，①Sn=an+an-1+…+a1，②①+②得：Sn=n/2两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元.若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，….若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.四种方法等差数列的判断方法定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数;等差中项法：验证2an-1=an+an-2都成立;通项公式法：验证an=pn+q;前n项和公式法：验证Sn=An2+Bn.注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列.一、等差数列及前n项和知识点汇总.等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.2.等差数列的通项公式若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=a1+d.3.等差中项如果A=/2，那么A叫做a与b的等差中项.4.等差数列的常用性质通项公式的推广：an=am+d.若{an}为等差数列，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq.若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…是公差为md的等差数列.数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…也是等差数列.S2n-1=an.若n为偶数，则S偶-S奇=nd/2;若n为奇数，则S奇-S偶=a中.注意：一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：Sn=a1+a2+a3+…+an，①Sn=an+an-1+…+a1，②①+②得：Sn=n/2两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元.若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，….若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.四种方法等差数列的判断方法定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数;等差中项法：验证2an-1=an+an-2都成立;通项公式法：验证an=pn+q;前n项和公式法：验证Sn=An2+Bn.注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列.一、等差数列及前n项和知识点汇总.等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.2.等差数列的通项公式若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=a1+d.3.等差中项如果A=/2，那么A叫做a与b的等差中项.4.等差数列的常用性质通项公式的推广：an=am+d.若{an}为等差数列，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq.若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…是公差为md的等差数列.数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…也是等差数列.S2n-1=an.若n为偶数，则S偶-S奇=nd/2;若n为奇数，则S奇-S偶=a中.注意：一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：Sn=a1+a2+a3+…+an，①Sn=an+an-1+…+a1，②①+②得：Sn=n/2两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元.若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，….若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.四种方法等差数列的判断方法定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数;等差中项法：验证2an-1=an+an-2都成立;通项公式法：验证an=pn+q;前n项和公式法：验证Sn=An2+Bn.注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列.。
等差数列的前n项和的数学知识点
等差数列的前n项和的数学知识点
等差数列的前n项和的数学知识点
等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。
这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
以下是店铺为大家收集的'等差数列的前n项和的数学知识点，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。
（1），（2），（3），（4）
当d≠0时，Sn是关于n的二次函数且常数项为0，｛an｝为等差数列，反之不能。
等差数列的前n项和的有关性质：
（1），…成等差数列；
（2）｛an｝有2k项时，＝kd；
（3）｛an｝有2k+1项时，S奇=（k+1）ak+1=（k+1）a平，S偶=kak+1=ka平，S奇：S偶=（k+1）：k，S奇－S偶＝ak+1=a 平；
解决等差数列问题常用技巧：
1、等差数列中，已知5个元素：a1，an，n，d，S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧,时间管理，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛an｝中，（1）若ap=q，aq=p，则列方程组可得：d=-1，a1=p+q-1，ap+q=0，S=-（p+q）；
(2)当Sp＝Sq时（p≠q），数形结合分析可得Sn中最大，Sp+q ＝0，此时公差d＜0。
【等差数列的前n项和的数学知识点】。
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考点22等差数列及其前n项和
、选择题
1. （2020 •江西高考文科・T5）设｛a n｝为等差数列，公差d 2, S n为其前n项和，若Sw 和，则a i
【思路点拨】首先求出a ii，再根据等差数列的通项公式求a i。
【精讲精析】选B.
由S io S ii得，S I I-S I Q =a ii 0,又因为d 2,
a1 a11 10d 0 10 （ 2） 20.
2. （2020 •陕西高考文科・T10）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵
树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（）
（A）①和？（B）⑨和⑩ （C）⑨和？（D）⑩和？
【思路点拨】根据选项分别计算四种情形的路程和；或根据路程和的变化规律直接得出结论.
【精讲精析】选D （方法一）
（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两
端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和进行比较即可。
树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是
10 (1 2 L 19)
19（1 19）
2 10 2 3800 ;树苗放在第10个（或第11个）树坑旁边时，路程
2
总和是10 (1 2 L9) 2 10 (1 2 L 10) 2
9 (1 9)
10 2
2
10 (1 10) 10 2
2
900 1100 2000
A. 18 B . 20 C . 22 D . 24
g i (20 i)
2 (20 i)(i 1
2
所以路程总和最小为2000米.
二、填空题
3. （2020 •辽宁高考文科・T 15）S为等差数列｛a n｝的前n项和，S2S6, a4 1，则a5 ______________ 【思路点拨】可利用等差数列的下标性质，迅速求解.
【精讲精析】答案：1.T S2 S5 ,即S6 S2 0.
二a3 a4 a5 a6 0 •由下标性质知：2® a5） 0,
• a4 1，—a5 1 .
4. （2020 •广东高考理科• T 11）等差数列a n前9项的和等于前4项的和.若a1 1,a k a4 0,则k
【思路点拨】利用等差数列前n项和公式求得公差d，然后再由a k a4 0求得k的值•
【精讲精析】答案：10.由题意得9 1竽d 4 1害d，解得d 1 .则a k 1 （k 1）（ 1） 1k 7，
2 2 6 6 6 6 a4 13（1）1.由a k a4 0 得1k 7 1 0，解得k 10.
6 2 6 6 2
5. （2020 •湖南高考理科・T12 ）设S n是等差数列｛a n｝（n N*）的前n项和，且a11,a47,则S5 _________ .
【思路点拨】本题主要考查等差数列的基本公式：通项公式和求和公式.
5 4
【精讲精析】答案：25.由a1 1,a4 7得到公差d=2，则S5 = 5 1 2 25.
2
6. （2020 •陕西高考理科・T14）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为_________________________________ （米）.
【思路点拨】把实际问题转化为数学模型，然后列式转化为函数的最值问题.
【精讲精析】（方法一）设树苗放在第i个树坑旁边（如图）
J J
1 1 ----------- 1--------- l------- X
------- 1I |
1 1 1 1 1 1 1 T
11 1 1 1
1 2 …i …19 20
那么各个树坑到第i个树坑距离的和是
(i i) 10 [(i 1) i] 10 L (20 i) 10 s (i 1) 10 (i 2) 10 L
20) 10 [i i
10(i2 21i 210)，当i 10或11时，s的值最小，最小值是1000，所以往返路程的最小值是2000米•(方法二)根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两
端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总
和达到另一个最值，所以计算两个路程和即可。
树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是
10 (1 2 L 19) 2
19(1 19)
10 2 3800 ；树苗放在第10个(或第11个)树坑旁边时，路程总和是
2
10 (1 2 L 9) 10 (1 2 L 10) 2
9 (1 9) 10 (1 10)
10 2 10 2 900 1100 2000，所以路程总和最小为2000米.
2 2
【答案】2000
7. (2020 •天津高考文科11)已知｛a n｝为等差数列，S n为其前n项和，n N* ,
若33 =16, S20 = 20,则S。
的值为—r—
【思路点拨】联立33,S20求出首项和公差•代入求和公式计算•
【精讲精析】答案：110.
由题意可得：
3 2d 16
“““ “31 20,d 2, Sw 10a1 45d 110
20a1190d 20
三、解答题
8. (2020 •福建卷文科17)已知等差数列｛a n｝中，31=1, 33=-3.
(1)求数列｛a n｝的通项公式；
(II )若数列｛a n｝的前k项和£ =-35，求k的值.
【思路点拨】(1)通过a n a1 (n 1)d来求a n；
(2)表示S k，建立方程S k 35，解方程得k的值.
【精讲精析】(1)设等差数列｛a n｝的公差为d，则a n a1 (n 1)d .
由a1 1,a3 3可得1 2d 3，解得d 2.
从而a n 1 (n 1) ( 2) 3 2n.
(2)由(1)可知a n 3 2n ,
n[1 (3 2n)] 2 丄"口2所以S n 2n n •由S k 35 可得2k k 35,
2
2
即k 2k 35 0,解得k 7或k 5.
又k N ,故k 7.。