高一数学课件 平面向量的概念及其线性运算
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平面向量的概念及其线性运算PPT课件
（印度）
探究（三） 探究大运河
1、说说它 的起点和终 点？长度？ 2、大运河 以洛阳为中 心分为哪四 段？ 3、流经省 市？ 4、大运河 连接哪五大 水系？
养 蚕
嫘祖长沙马
抽
王
丝
堆
技 重49克
汉
术 提花技术 墓
丝绸之路—现在篇
亚欧大陆桥
亚欧大陆桥是一条横跨亚欧大 陆的洲际铁路，它东起中国的 连云港，西至荷兰的鹿特丹港， 经过三十多个国家。亚欧大陆 桥的贯通，代替了昔日缓缓西 行在茫茫戈壁上的骆驼队，被 称为当代的新丝绸之路。
开辟旅游线路
1949年以前只有其中一小段勉强维持季节通航，现江 苏北段的400多公里河道千吨级驳船可畅驶长江、淮河。 1981年4月，我国新开辟的古运河无锡至扬州、无锡至杭 州的旅游线路，引起了国外旅游者的极大兴趣。
浙江省：京杭大运河将“加长”240公里
——杭甬运河今日动工
今天，杭甬大运河杭州段破土动工，沿传了千年的“京杭大运河 这一称谓，今后将被“京杭甬大运河”所取代。这条世界上最长的人 工河不仅“加长”240余公里，而且终点也将延伸至宁波港。浙江境 内的大运河终于有了自己的出海口。
比较丝绸之路和大运河
相同点：都促进了经济、文化的发展 和交流。都是国力强大的体现。
不同点：丝绸之路开通了一条亚洲通往 欧洲的交通大道；沟通了东西间的国际 的经济、文化交流；增加了出口换汇。
答案：4OM
设两个非零向量a与b不共线， (1)若 AB＝a＋b，BC ＝2a＋8b，CD＝3(a－b)， 求证：A，B，D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb同向．
(2)∵ka＋b与a＋kb同向， 解：(∴1)证存明在：实∵数λA(Bλ>＝0)a，＋使b，ka＋BCb＝2λ(aa＋＋8kbb，)，CD＝3(a－b)，
探究（三） 探究大运河
1、说说它 的起点和终 点？长度？ 2、大运河 以洛阳为中 心分为哪四 段？ 3、流经省 市？ 4、大运河 连接哪五大 水系？
养 蚕
嫘祖长沙马
抽
王
丝
堆
技 重49克
汉
术 提花技术 墓
丝绸之路—现在篇
亚欧大陆桥
亚欧大陆桥是一条横跨亚欧大 陆的洲际铁路，它东起中国的 连云港，西至荷兰的鹿特丹港， 经过三十多个国家。亚欧大陆 桥的贯通，代替了昔日缓缓西 行在茫茫戈壁上的骆驼队，被 称为当代的新丝绸之路。
开辟旅游线路
1949年以前只有其中一小段勉强维持季节通航，现江 苏北段的400多公里河道千吨级驳船可畅驶长江、淮河。 1981年4月，我国新开辟的古运河无锡至扬州、无锡至杭 州的旅游线路，引起了国外旅游者的极大兴趣。
浙江省：京杭大运河将“加长”240公里
——杭甬运河今日动工
今天，杭甬大运河杭州段破土动工，沿传了千年的“京杭大运河 这一称谓，今后将被“京杭甬大运河”所取代。这条世界上最长的人 工河不仅“加长”240余公里，而且终点也将延伸至宁波港。浙江境 内的大运河终于有了自己的出海口。
比较丝绸之路和大运河
相同点：都促进了经济、文化的发展 和交流。都是国力强大的体现。
不同点：丝绸之路开通了一条亚洲通往 欧洲的交通大道；沟通了东西间的国际 的经济、文化交流；增加了出口换汇。
答案：4OM
设两个非零向量a与b不共线， (1)若 AB＝a＋b，BC ＝2a＋8b，CD＝3(a－b)， 求证：A，B，D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb同向．
(2)∵ka＋b与a＋kb同向， 解：(∴1)证存明在：实∵数λA(Bλ>＝0)a，＋使b，ka＋BCb＝2λ(aa＋＋8kbb，)，CD＝3(a－b)，
高中数学 第25讲 平面向量的概念及其线性运算配套课件
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第25讲 平面向量的概念及其线性运算
双 向
固•
基
础• •
• —— 知 识 梳 理 —— 一、向量的有关概念及表示
名称 向量
定义
表示
在平面中，既有
________又有__方__向____ 大小 的量
用 a，b，c，…，或A→B， B→C，…表示
向量 的模
向量 a 的__大__小____，也 就是表示向量 a 的有向
点 面 讲 考 向
1.平面向量有关的概念 2.平面向量的线性运算
选择(1) 解答(1)
2012年广东T8(C)
选择(1) 2012年广东T3(A)
•
3.向量共线定理
选择(2) 解答(1)
2012年浙江T5(B)
• 4.向量线性运算
选择(2) 2012年天津T7(C)
• 说明：A表示简单题，B表示中等题，C表示难题， 考频分析2012年课标地区真题卷情况．
实数λ与向量a的 (2)当λ＞0时，λa
积是一个 向_量_______，这
与a的方向 相同________；当
种运算叫做向
λ＜0时，λa与
数量乘 的________，
a的相方反 向
记λ作a ________
______；当λ
＝0时0 ，λa＝ ________
(1)对向量加法的 分配律：
λ(a＋b)＝ λa＋__λb______ (2)对实数加法的
1．零向量的问题 (1)0 的模为 0，没有方向．( )
(2)零向量与任意向量平行，零向量与任意向量垂
直．( )
[答案] (1)× (2)√
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第25讲 平面向量的概念及其线性运算
第25讲 平面向量的概念及其线性运算
双 向
固•
基
础• •
• —— 知 识 梳 理 —— 一、向量的有关概念及表示
名称 向量
定义
表示
在平面中，既有
________又有__方__向____ 大小 的量
用 a，b，c，…，或A→B， B→C，…表示
向量 的模
向量 a 的__大__小____，也 就是表示向量 a 的有向
点 面 讲 考 向
1.平面向量有关的概念 2.平面向量的线性运算
选择(1) 解答(1)
2012年广东T8(C)
选择(1) 2012年广东T3(A)
•
3.向量共线定理
选择(2) 解答(1)
2012年浙江T5(B)
• 4.向量线性运算
选择(2) 2012年天津T7(C)
• 说明：A表示简单题，B表示中等题，C表示难题， 考频分析2012年课标地区真题卷情况．
实数λ与向量a的 (2)当λ＞0时，λa
积是一个 向_量_______，这
与a的方向 相同________；当
种运算叫做向
λ＜0时，λa与
数量乘 的________，
a的相方反 向
记λ作a ________
______；当λ
＝0时0 ，λa＝ ________
(1)对向量加法的 分配律：
λ(a＋b)＝ λa＋__λb______ (2)对实数加法的
1．零向量的问题 (1)0 的模为 0，没有方向．( )
(2)零向量与任意向量平行，零向量与任意向量垂
直．( )
[答案] (1)× (2)√
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第25讲 平面向量的概念及其线性运算
高考数学 第一节 平面向量的概念及其线性运算课件 理 新人教A
考点三
共线向量定理的应用|
试题
解析
典题悟法 演练冲关
(2015·高考全国卷Ⅱ)
设向量 a，b 不平行，向量 λa
＋b 与 a＋2b 平行，则实数 λ 1
＝____2____.
由于 λa＋b 与 a＋2b 平行，所 以存在 μ∈R，使得 λa＋b＝μ(a ＋ 2b) ， 即 (λ － μ)a ＋ (1 － 2μ)b ＝0，因为向量 a，b 不平行， 所以 λ－μ＝0,1－2μ＝0，解得 λ＝μ＝12.
第一节 平面向量的概念及其线性运算 抓主干 知识回顾
知识点二
[自测练习]
研考向 考点研究 思想方法系列 课时 跟踪检测
试题
上页 下页
解析
知识点一 知识点二 知识点三
3．(2016·通州模拟)已知在△ABC 本题考查向量的线性运算．A
中，D 是 BC 的中点，那么下列各式
→→ →
中正确的是( D )
第一节 平面向量的概念及其线性运算 抓主干 知识回顾 研考向 考点研究 思想方法系列 课时 跟踪检测 上页 下页
考点二
试题
解析
典题悟法 演练冲关
1．设 O 为△ABC 内部的一
点，且O→A＋O→B＋2O→C＝0，
则△AOC 的面积与 △BOC
的面积之比为( D )
A.32
B.53
C．2
D．1
取 AB 的中点 E，连接 OE，则
知识点二
知识点一 知识点二 知识点三
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
减法
求a与b的相反 向量－b的和 的运算叫作a 与b的差
_三__角__形__法则
a－b＝a＋(－ b)
第五章 第1讲 平面向量的概念与线性运算.pptx
27
知识衍化体验
考点聚焦突破
@《创新设计》
解析 设O→A＝a，O→B＝b，由题意知O→G＝23×12(O→A＋O→B)＝13(a＋b)，P→Q＝O→Q－O→P＝nb －ma，P→G＝O→G－O→P＝13－ma＋13b，由 P，G，Q 三点共线，得存在实数 λ 使得P→Q＝ λP→G，即 nb－ma＝λ13－ma＋13λb， 从而n－＝m13＝λ，λ13－m，消去 λ，得1n＋m1 ＝3.
9
知识衍化体验
考点聚焦突破
@《创新设计》
2.(教材改编)给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若 a，b 都是单 位向量，则 a＝b；③向量A→B与B→A相等.则所有正确命题的序号是________. 解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等， 但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量A→B与B→A互为相反向 量，故③错误.
答案 3
28
知识衍化体验
考点聚焦突破
@《创新设计》
角度3 应用定理证明共线问题
【例3－3】 设两个向量 a与b不共线.
(1)试证：起点相同的三个向量a，b，3a－2b的终点在同一条直线上(a≠b)； (2)求实数k，使得ka＋b与2a＋kb共线.
(1)证明 设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝3a－2b. 因为A→C＝O→C－O→A＝(3a－2b)－a＝2(a－b)， A→B＝O→B－O→A＝b－a，所以A→C＝－2A→B，故A→C，A→B共线. 又A→C，A→B有公共起点 A，所以 A，B，C 在同一条直线上.
19
知识衍化体验
考点聚焦突破
@《创新设计》
考点二 平面向量的线性运算 【例 2】 (1)(2019·南京模拟)在△ABC 中，P，Q 分别是 AB，BC 的三等分点，且 AP ＝13AB，BQ＝13BC.用A→B，A→C表示P→Q，则P→Q＝________. (2)设 D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若D→E＝λ1A→B＋ λ2A→C(λ1，λ2 为实数)，则 λ1＋λ2 的值为________.
4-1第一节 平面向量的概念及其线性运算(54张PPT)
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
精品课件
第一节 ►►平面向量的概念及律
拓思维·培能力
精品课件
高考这样考 1.在平面几何图形中考查向量运算的平行四边形法则及三角 形法则． 2.考查平面向量的加减法的几何意义及共线向量定理的应用.
精品课件
备考这样做 1.重视向量的概念，熟练掌握向量加减法及几何意义． 2.理解应用向量共线和点共线、直线平行的关系.
3．“向量”和“有向线段”是两个不同的概念，向量只有两 个要素：大小、方向；而有向线段有三个要素：起点、方向、长 度．
精品课件
变式思考 1 给出下列四个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ③若 a∥b，b∥c，则 a∥c； ④a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b. 其中假命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4
A．3e1－2e1 C．3e1＋2e2
B．－3e1－3e2 D．2e1＋3e2
精品课件
解析 a＋b＋c＝e1＋2e2＋(e1－2e2)＋e1＋2e2＝3e1＋2e2.
答案 C
精品课件
2．给出下面四个命题：①A→B＋B→A＝0；②A→B＋B→C＝A→C；③A→B －A→C＝B→C；④0·A→B＝0.其中正确的个数为( )
【例 1】 给出下列四个命题： ①若|a|＝|b|，则 a＝b 或 a＝－b；
②若A→B＝D→C，则四边形 ABCD 为平行四边形；
③若 a 与 b 同向，且|a|>|b|，则 a>b；
④λ，μ 为实数，若 λa＝μb，则 a 与 b 共线．
精品课件
其中假命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
精品课件
第一节 ►►平面向量的概念及律
拓思维·培能力
精品课件
高考这样考 1.在平面几何图形中考查向量运算的平行四边形法则及三角 形法则． 2.考查平面向量的加减法的几何意义及共线向量定理的应用.
精品课件
备考这样做 1.重视向量的概念，熟练掌握向量加减法及几何意义． 2.理解应用向量共线和点共线、直线平行的关系.
3．“向量”和“有向线段”是两个不同的概念，向量只有两 个要素：大小、方向；而有向线段有三个要素：起点、方向、长 度．
精品课件
变式思考 1 给出下列四个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ③若 a∥b，b∥c，则 a∥c； ④a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b. 其中假命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4
A．3e1－2e1 C．3e1＋2e2
B．－3e1－3e2 D．2e1＋3e2
精品课件
解析 a＋b＋c＝e1＋2e2＋(e1－2e2)＋e1＋2e2＝3e1＋2e2.
答案 C
精品课件
2．给出下面四个命题：①A→B＋B→A＝0；②A→B＋B→C＝A→C；③A→B －A→C＝B→C；④0·A→B＝0.其中正确的个数为( )
【例 1】 给出下列四个命题： ①若|a|＝|b|，则 a＝b 或 a＝－b；
②若A→B＝D→C，则四边形 ABCD 为平行四边形；
③若 a 与 b 同向，且|a|>|b|，则 a>b；
④λ，μ 为实数，若 λa＝μb，则 a 与 b 共线．
精品课件
其中假命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
平面向量的概念及线性运算(课堂PPT)
3
动脑思考 探索新知
在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量 做数量（标量） ，例如质量、时间、温度、面积、密度等． 既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量）， 如力、速度、位移等．
向量的大小叫做向量的模．向量a, A B 的模依次记作 a ， A B ．
模为零的向量叫做零向量．记作0， 零向量的方向是不确定的．
O A O B O A ( O B ) = O A B O B O O A B A ．
即
O A O BB A ． （7．2）
观察图可以得到：起点相同的
a－b
A
两个向量a、 b，其差a − b仍然是一
B
个向量，其起点是减向量b的终点，
b
a
终点是被减向量a的终点．
O
21
巩固知识 典型例题
生活中的一些问题．
作业
32
平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法 具有以下的性质：
(1) a＋0 = 0＋a=a； a＋（− a）= 0； (2) a＋b = b＋a； (3) （a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
16
巩固知识 典型例题
例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流
速度为5 km/h，求该船的实际航行速度．
模为1的向量叫做单位向量．
B a A
4
巩固知识 典型例题
例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处 朝北偏东45°方向飞行200km， 两架飞机的位移相同吗？分别用有向 线段表示两架飞机的位移．
解 位移是向量．虽然这两个向量的模相等，但是它们的方向不
同，所以两架飞机的位移不相同．两架飞机位移的有向线段表示分别
高中数学课件 第四章 第一节《平面向量的概念及其线性运算》
解析：理解基本概念的内涵，按照定义逐个判定 解析：理解基本概念的内涵，按照定义逐个判定. (1)真命题；(2)假命题，若a与b中有一个为零向量时，其 真命题； 假命题 假命题， 中有一个为零向量时， 真命题 与 中有一个为零向量时 方向是不确定的； 真命题 真命题； 假命题 假命题， 方向是不确定的；(3)真命题；(4)假命题，终点相同并不 能说明这两个向量的方向相同或相反；(5)假命题，共线 能说明这两个向量的方向相同或相反； 假命题， 假命题 向量所在直线可以重合，也可以平行； 假命题 假命题， 向量所在直线可以重合，也可以平行；(6)假命题，向量 可用有向线段来表示，但并不是有向线段 可用有向线段来表示，但并不是有向线段. 答案： 答案：C
1.着重理解向量以下几个方面： 着重理解向量以下几个方面： 着重理解向量以下几个方面 (1)向量的模；(2)向量的方向；(3)向量的起点和终点；(4) 向量的模； 向量的方向 向量的方向； 向量的起点和终点 向量的起点和终点； 向量的模 共线向量； 相等向量 相等向量. 共线向量；(5)相等向量 2.当判定两个向量的关系时，特别注意以下两种特殊情况： 当判定两个向量的关系时，特别注意以下两种特殊情况： 当判定两个向量的关系时 (1)零向量的方向及与其他向量的关系； 零向量的方向及与其他向量的关系； 零向量的方向及与其他向量的关系 (2)单位向量的长度及方向 单位向量的长度及方向. 单位向量的长度及方向
.
5.已知向量 ，b，且AB＝a＋2b，BC＝－ ＋6b， 已知向量a， ， ＝－5a＋ ， 已知向量 ＝ ＋ ， ＝－ CD＝7a－2b，则A、B、C、D四点中，一定共线 ＝ － ， 四点中， 、 、 、 四点中 的三点是 .
解析： ＝ ＋ ＝ － ＋ ＋ － 解析：BD＝BC＋CD＝(－5a＋6b)＋(7a－2b) ＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2AB， ＋ ＝ ＋ ＝ ， ∴BD与AB共线，又∵有公共点 ， 共线， 有公共点B， 与 共线 三点共线. ∴A、B、D三点共线 、 、 三点共线 答案：A、B、D 答案： 、 、
平面向量的概念及线性运算-课件
解析：如图所示，A CA BB C 所以 AC 10 2 ，方向为西南方向．
4. (2011·如东中学考试)已知△ABC，若点M满 足AB+AC-3AM=0,则MA+MB+MC= 0 .
解析：由已知得 A B A C 3A M
M A M B M C M A M A M B M A M C 3 M A (A B A C )3 M A A M 0
基础达标
1. (必修4P57习题3改编)如图,O为正方形ABCD对角 线的交点，四边形OAED,OCFB都是正方形，在图中 所示的向量中，与向量AE相等的向量是 B O ，与 向量BF共线的向量是 A O ，与向量CF的模相等的 向量是 C O D E B F B O C O A O D O A E D E .
•
13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/2/282021/2/282021/2/282021/2/282/28/2021
•
14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年2月28日星期 日2021/2/282021/2/282021/2/28
•
15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年2月2021/2/282021/2/282021/2/282/28/2021
解： 若两个向量起点相同，终点相同，则两 向量相等，但两个向量相等，不一定有相同 的起点和终点，所以①不正确；|a|＝|b|，但 a，b方向不确定，所以a，b不一定相等， 故②不正确；零向量与任一非零向量都平行， 当b＝0时，a与c不一定平行，故⑤不正确． ③④正确．
题型二 平面向量的线性运算 【例2】如图,D、E、F分别为△ABC的三边BC、 AC、AB的中点.求证:AD+BE+CF=0.
4. (2011·如东中学考试)已知△ABC，若点M满 足AB+AC-3AM=0,则MA+MB+MC= 0 .
解析：由已知得 A B A C 3A M
M A M B M C M A M A M B M A M C 3 M A (A B A C )3 M A A M 0
基础达标
1. (必修4P57习题3改编)如图,O为正方形ABCD对角 线的交点，四边形OAED,OCFB都是正方形，在图中 所示的向量中，与向量AE相等的向量是 B O ，与 向量BF共线的向量是 A O ，与向量CF的模相等的 向量是 C O D E B F B O C O A O D O A E D E .
•
13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/2/282021/2/282021/2/282021/2/282/28/2021
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14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年2月28日星期 日2021/2/282021/2/282021/2/28
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15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年2月2021/2/282021/2/282021/2/282/28/2021
解： 若两个向量起点相同，终点相同，则两 向量相等，但两个向量相等，不一定有相同 的起点和终点，所以①不正确；|a|＝|b|，但 a，b方向不确定，所以a，b不一定相等， 故②不正确；零向量与任一非零向量都平行， 当b＝0时，a与c不一定平行，故⑤不正确． ③④正确．
题型二 平面向量的线性运算 【例2】如图,D、E、F分别为△ABC的三边BC、 AC、AB的中点.求证:AD+BE+CF=0.
高一数学平面向量的概念及线性运算PPT优秀课件
a＋b＝λLeabharlann a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，
∴ λ－1＝0 1＋λ＝0
，λ 无解，故假设不成立，即 a＋b 与 a－b 不平行，故选 D.
错源二：向量有关概念理解不当
【例2】 如图，由一个正方体的12条棱构成的向量组成了一个集合M，则集合M的元 素个数为________．
错解：正方体共有12条棱，每条棱可以表示两个向量，一共有24个向量．答案是24. 错解分析：方向相同长度相等的向量是相等向量，故AA1―→＝BB1―→＝CC1―→ ＝ DD1―→ ， AB―→ ＝ DC―→ ＝ D1C1―→ ＝ A1B1―→ ， AD―→ ＝ BC―→ ＝ B1C1―→＝A1D1―→.错解的原因是把相等的向量都当成不同的向量了． 正解：12条棱可以分为三组，共可组成6个不同的向量，答案是6. 答案：6
错解分析：错解一，忽视了 a≠0 这一条件．错解二，忽视了 0 与 0 的区别，AB―→＋
BC―→＋CA―→＝0；错解三，忽视了零向量的特殊性，当 a＝0 或 b＝0 时，两个等号同时
成立．
正解：∵向量 a 与 b 不共线，
∴a，b，a＋b 与 a－b 均不为零向量．
若 a＋b 与 a－b 平行，则存在实数 λ，使
∴|AM―→|＝12|AD―→|＝12|BC―→|＝2.故选 C.
【例2】 (2010年安徽师大附中二模)设O在△ABC的内部，且OA―→＋OB―→＋ 2OC―→＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析：由 OC―→＝－12(OA―→＋OB―→)，设 D 为 AB 的中点， 则 OD―→＝12(OA―→＋OB―→)， ∴OD―→＝－OC―→，∴O 为 CD 的中点， ∴S△AOC＝12S△ADC＝14S△ABC，∴SS△△AAOBCC＝4.故选 B.
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①| a|=|||a| ; ②当 ＞0 时， a与a的方向相同；当 ＜0 时，a 与a的方向相反；当=0时， a= 0 . (2)运算律：设、μ∈R，则： ① (μa)=(μ)a ;②(+μ)a= a+μa; ③ (a+b)= a+ b .
4.两个向量共线定理
向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数 ， 使得b= a .
是
（）
A.a,b方向相同
B.a,b两向量中至少有一个为零向量
C. ∈R,b= a D.存在不全为零的实数1, 2,1a+ 2b=0
知能迁移3 设两个非零向量e1和e2不共线. (1)如果AB=e1-e2,BC =3e1+2e2,CD =-8e1-2e2,求证: A、C、D三点共线；
（2）如果AB=e1+e2,BC =2e1-3e2,CD =2e1-ke2,且A、 C、D三点共线，求k的值.
（1）证明 AB =e1-e2, BC =3e1+2e2,CD =-8e1-2e2,
2
22
AG AB BG AB 2 BE 3
AB 1 (BA BC) 3
2 AB 1 ( AC AB) 33
1 AB 1 AC 1 a 1 b.
33
33
探究提高 （1）解题的关键在于搞清构成三角形
的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的
相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转
定时检测
一、选择题
1.（2009·湖南理，2）对于非零向量a、b,“a+b=0”
是“a∥b”的
（A）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 当a+b=0时，a=-b,∴a∥b;
当a∥b时，不一定有a=-b.
∴“a+b=0”是“a∥b”的充分不必要条件.
2.已知O为△ABC内一点，且 OA OC 2OB =0，则△AOC与△ABC的面积之比是（ A）
第五编 平面向量
§5.1 平面向量的概念及其线性运算 基础知识 自主学习
要点梳理
1.向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有 方向 的量叫做向量，向 量的大小叫做向量的 长度 （或模）. (2)零向量： 长度为0的向量叫做零向量，其方向是 任意 的. (3)单位向量：长度等于 1个单位 的向量.
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量 又叫共线向量，任一组平行向量都可以移到同一条直 线上. 规定：0与任一向量平行 . (5)相等向量：长度 相等且方向相同 的向量. (6)相反向量：长度 相等且方向相同的向量.
题型二 平面向量的线性运算
【例2】在△ABC中，D、E分别为
BC、AC边上的中点，G为BE上
一点，且GB=2GE，设 AB=a， AC =b，试用a、b表示AD ，AG . 思维启迪 结合图形性质，准确灵活运用三角形法
则和平行四边形法则是向量加减运算的关键.
解 AD 1 ( AB AC) 1 a 1 b ;
解析 如图所示,
∵E是OD的中点,
∴OE 1 BD 1 b. 44
又∵△ABE∽△FDE,
∴ AE BE 3.
EF DE 1
∴ AE =3
EF
,∴
AE =
3 4
AF .
在△AOE中, AE= AO OE 1 a 1 b.
24
∴ AF= 3 AE 2 a 1 b.
4 33
答案 B
5.（2008·海南理，8）平面向量a,b共线的充要条件
2.向量的加法和减法 （1）加法 ①法则：服从三角形法则、平行四边形法则. ②运算性质： a+b= b+a (交换律）； (a+b)+c= a+(b+c)（结合律）； a+0= 0+a = a. (2)减法 ①减法与加法互为逆运算； ②法则：服从三角形法则.
3.实数与向量的积
（1）长度与方向规定如下：
③正确.
④不正确.当b=0时， a∥c不一定成立. 答案 D
5.在四边形ABCD中， AB=a+2b，BC =-4a-b，CD =-5a3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为（ A ）
A.梯形
B.平行四边形
C.菱形
D.矩形
解析 由已知得 AD AB BC CD =-8a-2b， 故AD 2 BC ，由共线向量知识知AD∥BC， 且|AD|=2|BC|，故四边形ABCD为梯形，所以选A.
题型分类 深度剖析
题型一 平面向量的有关概念
【例1】给出下列命题
①向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等； ②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同；
④两个有共同终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量 与向量 是共线向量，则点A、B、C、D
必在同一AB条直线上C；D ⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段.
由平面向量的基本定理，
得 3=2 -2=- k,解之得
=3
2
,k= 4 3
.
思想方法 感悟提高
方法与技巧
1.将向量用其他向量（特别是基向量）线性表示，是 十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础.
2.首尾相连的若干向量之和等于以最初的起点为起点， 最后的终点为终点的向量；若这两点重合，则和为 零向量.
AC AB BC
=4e1+e2=
1 2
(-8e1-2e2)=
1 CD 有公共点C，
∴A、C、D三点共线.
（2）解 AC AB BC =（e1+e2）+（2e1-3e2）=3e1-2e2， ∵A、C、D三点共线，∴ AC与 CD共线，
从而存在实数 使得 AC= CD ， 即3e1-2e2= (2e1-ke2),
c 2（b c） 2 b 1 c.
3
33
4.（2008·广东理，8）在平行四边形ABCD中,AC与
BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交
于点F.若 A=Ca, B=Db,则 A等F 于
（）
A. 1 a 1 b 42
C. 1 a 1 b 24
B.2 a 1 b 33
D.1 a 2 b 33
（1）证明 ∵ AB =a+b,BC =2a+8b,
CD =3（a-b），
∴BD BC CD =2a+8b+3（a-b）
=2a+8b+3a-3b
=5（a+b）=5 AB .
4分
∴AB 、BD 共线， 又∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线. 6分
（2）解 ∵ka+b与a+kb共线，
∴存在实数 ，使ka+b=(a+kb), 即ka+b= a+ kb. ∴（k- ）a=( k-1)b.
其中假命题的个数为
（）
A.2
B.3
C.4
D.5
思维启迪 熟练掌握向量的有关概念并进行判断.
解析 ①中，∵向量AB与 BA 互为相反向量， ∴它们的长度相等，∴此命题正确.
②中若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的方
向不一定相同或相反，∴此命题错误.
③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起
∵a、b是不共线的两个非零向量，
∴k- = k-1=0,∴k2-1=0.
∴k=±1.
9分 12分
探究提高 （1）向量共线的充要条件中要注意当 两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共 线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思 想. （2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但 应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向 量共线且有公共点时，才能得出三点共线.
等于
（ A）
A. BC 1 BA
2
B. BC 1 BA
2
C. BC 1 BA
2
D. BC 1 BA
2
解析 ∵D是AB的中点，∴ BD 1 BA
2 CD CB BD BC 1 BA.
2
3. （ 2009· 北 京 理 ， 2 ） 已 知 向 量 a 、 b 不 共 线 ，
c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果c∥d，那么（ D ）
（ B）
D. PA PB PC 0
解析 因为BC BA 2 BP ，所以点P为线段AC的 中点，即 PC PA 0 ，如图.
题型三 共线向量问题 【例3】 （12分）设两个非零向量a与b不共线，
(1)若AB=a+b，BC =2a+8b，CD =3（a-b）. 求证：A、B、D三点共线；（2）试确定实数k，使 ka+b和a+kb共线. 思维启迪 （1）由已知求 B→D判断 与AB的关BD系→判断 A、B、D的关系. （2）应用共线向量的充要条件→列方程组→ 解方程组得k值.
A.1∶2 B.1∶3
C.2∶3
D.1∶1
解析 设AC的中点为D，则 OA OC 2OD ∴ OA OC 2OB 2OD 2OB 0，∴ OD OB, 即点O为AC边上的中线BD的中点，∴ SAOC 1.
SABC 2
3.(2008·全国Ⅰ理，3)在△ABC中，AB =c，AC=b,
知能迁移1 下列结论中，不正确的是 （ D ）
A.向量 AB ，CD 共线与向量 AB∥CD 同义 B.若向量 AB ∥ CD ，则向量 AB 与 DC 共线 C.若向量 AB = CD ，则向量 AB = DC D.只要向量a，b满足|a|=|b|，就有a=b 解析 根据平行向量（或共线向量）定义知A、B均 正确；根据向量相等的概念知C正确；D不正确.
4.两个向量共线定理
向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数 ， 使得b= a .
是
（）
A.a,b方向相同
B.a,b两向量中至少有一个为零向量
C. ∈R,b= a D.存在不全为零的实数1, 2,1a+ 2b=0
知能迁移3 设两个非零向量e1和e2不共线. (1)如果AB=e1-e2,BC =3e1+2e2,CD =-8e1-2e2,求证: A、C、D三点共线；
（2）如果AB=e1+e2,BC =2e1-3e2,CD =2e1-ke2,且A、 C、D三点共线，求k的值.
（1）证明 AB =e1-e2, BC =3e1+2e2,CD =-8e1-2e2,
2
22
AG AB BG AB 2 BE 3
AB 1 (BA BC) 3
2 AB 1 ( AC AB) 33
1 AB 1 AC 1 a 1 b.
33
33
探究提高 （1）解题的关键在于搞清构成三角形
的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的
相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转
定时检测
一、选择题
1.（2009·湖南理，2）对于非零向量a、b,“a+b=0”
是“a∥b”的
（A）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 当a+b=0时，a=-b,∴a∥b;
当a∥b时，不一定有a=-b.
∴“a+b=0”是“a∥b”的充分不必要条件.
2.已知O为△ABC内一点，且 OA OC 2OB =0，则△AOC与△ABC的面积之比是（ A）
第五编 平面向量
§5.1 平面向量的概念及其线性运算 基础知识 自主学习
要点梳理
1.向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有 方向 的量叫做向量，向 量的大小叫做向量的 长度 （或模）. (2)零向量： 长度为0的向量叫做零向量，其方向是 任意 的. (3)单位向量：长度等于 1个单位 的向量.
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量 又叫共线向量，任一组平行向量都可以移到同一条直 线上. 规定：0与任一向量平行 . (5)相等向量：长度 相等且方向相同 的向量. (6)相反向量：长度 相等且方向相同的向量.
题型二 平面向量的线性运算
【例2】在△ABC中，D、E分别为
BC、AC边上的中点，G为BE上
一点，且GB=2GE，设 AB=a， AC =b，试用a、b表示AD ，AG . 思维启迪 结合图形性质，准确灵活运用三角形法
则和平行四边形法则是向量加减运算的关键.
解 AD 1 ( AB AC) 1 a 1 b ;
解析 如图所示,
∵E是OD的中点,
∴OE 1 BD 1 b. 44
又∵△ABE∽△FDE,
∴ AE BE 3.
EF DE 1
∴ AE =3
EF
,∴
AE =
3 4
AF .
在△AOE中, AE= AO OE 1 a 1 b.
24
∴ AF= 3 AE 2 a 1 b.
4 33
答案 B
5.（2008·海南理，8）平面向量a,b共线的充要条件
2.向量的加法和减法 （1）加法 ①法则：服从三角形法则、平行四边形法则. ②运算性质： a+b= b+a (交换律）； (a+b)+c= a+(b+c)（结合律）； a+0= 0+a = a. (2)减法 ①减法与加法互为逆运算； ②法则：服从三角形法则.
3.实数与向量的积
（1）长度与方向规定如下：
③正确.
④不正确.当b=0时， a∥c不一定成立. 答案 D
5.在四边形ABCD中， AB=a+2b，BC =-4a-b，CD =-5a3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为（ A ）
A.梯形
B.平行四边形
C.菱形
D.矩形
解析 由已知得 AD AB BC CD =-8a-2b， 故AD 2 BC ，由共线向量知识知AD∥BC， 且|AD|=2|BC|，故四边形ABCD为梯形，所以选A.
题型分类 深度剖析
题型一 平面向量的有关概念
【例1】给出下列命题
①向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等； ②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同；
④两个有共同终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量 与向量 是共线向量，则点A、B、C、D
必在同一AB条直线上C；D ⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段.
由平面向量的基本定理，
得 3=2 -2=- k,解之得
=3
2
,k= 4 3
.
思想方法 感悟提高
方法与技巧
1.将向量用其他向量（特别是基向量）线性表示，是 十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础.
2.首尾相连的若干向量之和等于以最初的起点为起点， 最后的终点为终点的向量；若这两点重合，则和为 零向量.
AC AB BC
=4e1+e2=
1 2
(-8e1-2e2)=
1 CD 有公共点C，
∴A、C、D三点共线.
（2）解 AC AB BC =（e1+e2）+（2e1-3e2）=3e1-2e2， ∵A、C、D三点共线，∴ AC与 CD共线，
从而存在实数 使得 AC= CD ， 即3e1-2e2= (2e1-ke2),
c 2（b c） 2 b 1 c.
3
33
4.（2008·广东理，8）在平行四边形ABCD中,AC与
BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交
于点F.若 A=Ca, B=Db,则 A等F 于
（）
A. 1 a 1 b 42
C. 1 a 1 b 24
B.2 a 1 b 33
D.1 a 2 b 33
（1）证明 ∵ AB =a+b,BC =2a+8b,
CD =3（a-b），
∴BD BC CD =2a+8b+3（a-b）
=2a+8b+3a-3b
=5（a+b）=5 AB .
4分
∴AB 、BD 共线， 又∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线. 6分
（2）解 ∵ka+b与a+kb共线，
∴存在实数 ，使ka+b=(a+kb), 即ka+b= a+ kb. ∴（k- ）a=( k-1)b.
其中假命题的个数为
（）
A.2
B.3
C.4
D.5
思维启迪 熟练掌握向量的有关概念并进行判断.
解析 ①中，∵向量AB与 BA 互为相反向量， ∴它们的长度相等，∴此命题正确.
②中若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的方
向不一定相同或相反，∴此命题错误.
③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起
∵a、b是不共线的两个非零向量，
∴k- = k-1=0,∴k2-1=0.
∴k=±1.
9分 12分
探究提高 （1）向量共线的充要条件中要注意当 两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共 线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思 想. （2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但 应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向 量共线且有公共点时，才能得出三点共线.
等于
（ A）
A. BC 1 BA
2
B. BC 1 BA
2
C. BC 1 BA
2
D. BC 1 BA
2
解析 ∵D是AB的中点，∴ BD 1 BA
2 CD CB BD BC 1 BA.
2
3. （ 2009· 北 京 理 ， 2 ） 已 知 向 量 a 、 b 不 共 线 ，
c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果c∥d，那么（ D ）
（ B）
D. PA PB PC 0
解析 因为BC BA 2 BP ，所以点P为线段AC的 中点，即 PC PA 0 ，如图.
题型三 共线向量问题 【例3】 （12分）设两个非零向量a与b不共线，
(1)若AB=a+b，BC =2a+8b，CD =3（a-b）. 求证：A、B、D三点共线；（2）试确定实数k，使 ka+b和a+kb共线. 思维启迪 （1）由已知求 B→D判断 与AB的关BD系→判断 A、B、D的关系. （2）应用共线向量的充要条件→列方程组→ 解方程组得k值.
A.1∶2 B.1∶3
C.2∶3
D.1∶1
解析 设AC的中点为D，则 OA OC 2OD ∴ OA OC 2OB 2OD 2OB 0，∴ OD OB, 即点O为AC边上的中线BD的中点，∴ SAOC 1.
SABC 2
3.(2008·全国Ⅰ理，3)在△ABC中，AB =c，AC=b,
知能迁移1 下列结论中，不正确的是 （ D ）
A.向量 AB ，CD 共线与向量 AB∥CD 同义 B.若向量 AB ∥ CD ，则向量 AB 与 DC 共线 C.若向量 AB = CD ，则向量 AB = DC D.只要向量a，b满足|a|=|b|，就有a=b 解析 根据平行向量（或共线向量）定义知A、B均 正确；根据向量相等的概念知C正确；D不正确.