吉林省长春市普通高中2020届高三质量监测三模 理科数学试题(含答案)
长春市2020年度高三质量监测数学理科
长春市 2020 届高三质量监测（一） 理科数学一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1. 已知集合{|||2}A x x =≥，2{|30}B x x x =-> ，则A B =IA. ∅B. {|3,x x >或x ≤2}-C. {|3,x x >或0}x <D. {|3,x x >或2}x ≤ 2. 复数252i +i z =的共轭复数z 在复平面上对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知31()3a =，133b =，13log 3c =，则A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. b c a << 4. 已知直线0x y +=与圆22(1)()2x y b -+-=相切，则b = A. 3- B. 1 C. 3-或1 D.525. 2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为 1，2014 年编号为 2，…，2018年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1 到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线ˆ13.7433095.7yx =+，其相关指数2R 0.9817=，给出下列结论，其中正确的个数是①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强 ②公共图书馆业机构数平均每年增加 13.743 个③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为 3192 个A. 0B. 1C. 2D. 36. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为512-时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为A. (35)π-B. 51)πC. 51)πD. 52)π7. 已知,,a b c 为直线，,,αβγ平面，则下列说法正确的是 ① ,a b αα⊥⊥，则//a b ② ,αγβγ⊥⊥，则αβ⊥ ③ //,//a b αα，则//a b ④//,//αγβγ，则//αβA. ① ② ③B. ② ③ ④C. ① ③D. ① ④8. 已知数列{}n a 为等比数列，n S 为等差数列{}n b 的前n 项和，且21a =，1016a =，66a b = ，则11S = A. 44 B. 44- C. 88 D. 88-9. 把函数()y f x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到2sin()y x ωϕ=+(0,||)2πωϕ><的图象（部分图象如图所示） ，则()y f x =的解析式为A. ()2sin(2)6f x x π=+ B. ()2sin()6f x x π=+C. ()2sin(4)6f x x π=+D. ()2sin()6f x x π=- 10. 已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()0f x f x ++=，当[2,0]x ∈-时，2()2f x x x =--，则当[4,6]x ∈时，()y f x =的最小值为A. 8-B. 1-C. 0D. 111. 已知椭圆22143x y +=的右焦点F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，则过F 作倾斜角为60︒的直线分别交抛物线于,A B （A 在x 轴上方）两点，则||||AF BF 的值为 A.3 B. 2 C. 3 D. 412. 已知函数21()(2)e x f x x x -=-，若当1x > 时，()10f x mx m -++≤有解，则m 的取值范围为A. m ≤1B. m <-1C. m >-1D. m ≥1 二、填空题：本题共4小题，每小题5分. 13. 381(2)x x-展开式中常数项为___________.14.边长为2正三角形ABC 中，点P 满足1()3AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则BP BC ⋅=u u r u u u r _________.15.平行四边形ABCD 中，△ABD 是腰长为2的等腰直角三角形，90ABD ∠=︒，现将△ABD 沿BD 折起，使二面角A BD C --大小为23π，若,,,A B C D 四点在同一球面上，则该球的表面积为________. 16.已知数列{}n a 的前项n 和为n S ，满足112a =-,且1222n n a a n n++=+，则2n S = __________，n a =__________.三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答. 第 22~23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.（本小题满分 12 分）△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan ()a b A a b => . （Ⅰ）求证：△ABC 是直角三角形；（Ⅱ）若10c =，求△ABC 的周长的取值范围. 18. （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AB CD ，AD DC ⊥，22AB AD DC ===，E 为PB 中点.（Ⅰ）求证：//CE 平面PAD ；（Ⅱ）若4PA =，求平面CDE 与平面ABCD 所成锐二面角的大小. 19.（本小题满分 12 分）某次数学测验共有 10 道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确 的，评分标准规定：每选对 1 道题得 5 分；不选或选错得 0 分. 某考生每道题都选并能确定其中有 6 道题能选对，其余 4 道题无法确定正确选项，但这 4 道题中有 2 道题能排除两个错误选项，另 2 道只能排除一个错误选项，于是该生做这 4 道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响．（Ⅰ）求该考生本次测验选择题得 50 分的概率；（Ⅱ）求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望. 20.（本小题满分 12 分）已知点(1,0),(1,0)M N -若点(,)P x y 满足||||4PM PN +=. （Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）过点(3,0)Q 的直线l 与（Ⅰ）中曲线相交于,A B 两点，O 为坐标原点， 求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程. 21.（本小题满分 12 分）已知函数()(1)ln f x x x =-,3()ln eg x x x =--. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）令()()()(0)h x mf x g x m =+>两个零点1212,()x x x x < ，证明：121ex e x +>+. （二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4 坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为212222x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24cos 3ρρθ-=.（Ⅰ）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 与圆C 交于,A B 两点，点(1,2)P ，求||||PA PB ⋅的值. 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5 不等式选讲已知函数()|3||1|f x x x =+-- . （Ⅰ）解关于x 的不等式()1f x x +≥ ；（Ⅱ）若函数()f x 的最大值为M ，设0,0a b >>，且(1)(1)a b M ++=，求a b + 的最小值.长春市2020届高三质量监测（一） 数学（理科）试题参考答案及评分参考一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. B 【解析】{|||2}{|2,2}A x x x x x =≥=-或≤≥，2{|30}{|0,3}B x x x x x x =->=<>或，∴A B =I {|3,x x >或x ≤2}-2. C 【解析】252i +i 2i z ==-+，则z 2i =--，其对应点为(2,1)--，在第三象限3. C 【解析】01,1,0a b c <<><，∴c a b <<4. C 【解析】 由圆心到切线的距离等于半径，得22211=+∴|1|2b +=∴13b b ==-或5. D 【解析】由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，又2R 0.9817=趋近于1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确；由回归方程，当7x =时，得估计值为3191.9≈3192，故③正确.6. A 【解析】1S 与2S 所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设1S 与2S 所在扇形圆心角分别为,αβ，则512αβ-=，又2αβπ+=，解得(35)απ=- 7. D 【解析】①正确； ② 错误；③错误；④正确8. A 【解析】 2210661164a a a a =⨯==∴，∴664b a ==，1161144S b ==9. C 【解析】由2sin(0)1ωϕϕ⋅+=π∴=6，由112sin()0212ωπϕω⋅+==∴即2sin(2)6y x π=+，横坐标缩短到原来的12倍，得2sin(4)6y x π=+，即为()f x 解析式.10. B 【解析】由(2)()0f x f x ++=得函数的周期为4，又当[2,0]x ∈-时，2()2f x x x =--，且()f x 是定义在R 上的奇函数∴[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，∴当[4,6]x ∈时，22()(4)(4)2(4)1024f x f x x x x x =-=---=-+此时()f x 的最小值为(5)1f =-.[法2：由周期为4，()f x 在[0,2]上的最小值即为()f x 在[4,6]上的最小值]11. C 【解析】椭圆的右焦点为(1,0)，∴12p =∴2p =，||1cos60p AF =-︒，||1cos60pBF =+︒,∴||10.53||10.5AF BF +==-. 12. C 【解析】21()(2)ex f x x -'=-∴()f x 在(1,2)上递减，在(2,)+∞上递增，当2x >时，()0f x >，又(1)1f =-，(2)1f <-，(2)0f =∵(1)1f '=-∴m >-1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，16题第一空2分，第二空3分，共20分） 13. 112【解析】由3883(8)1881(2)()2(1)rrr r r r r r r T C x C x x----+=-=-有3(8)0r r --=得6r =∴6866782(1)112T C -=-=14. 2【解析】112(())()()()333BP BC AB AC AB AC AB AC AB AC AB ⋅=+-⋅-=-⋅-u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r221248122233332AC AB AC AB =+-⋅=+-⨯⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r15. 20π【解析】取AD,BC 的中点分别为12,O O ,过1O 作面ABD 的垂线与过2O 作面BCD 的垂线，两垂线交点O 即为所求外接球的球心，取BD 中点E ，连结12,O E O E ,则12O EO ∠即为二面角A BD C --的平面角，121O E O E ==，连OE ，在Rt △1O OE 中，13OO =，在Rt △1O OA 中，12O A =得5OA =，即球半径为5，所以球面积为20π.16.221n n +，1(1)(1)n n n -++【解析】由1222n n a a n n ++=+得21222(21)2(21)n n a a n n -+=-+-211(21)(21)2121n n n n ==--+-+∴2nS =1113-+1135-+…+112121n n --+1121n =-+. 由111212a =-=-⨯递推得277623a ==⨯，311111234a =-=-⨯，421212045a ==⨯，归纳可得1(1)(1)n n n -++.【法2：】122111111=()()22112n n a a n n n n n n n n ++=-=-+-+++++∴11111()[()]112n n a a n n n n +--=---+++∴11{()}1n a n n --+为首项为1-，公比为1-的等比数列，11111()=(1)=(1)+()=(1)+11(1)n n n n n a a n n n n n n ------+++∴三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查三角函数的相关知识，特别是三角函数中的取值范围问题. 【试题解析】解：（Ⅰ）由题可知sin sin sin cos AA B A=⋅，即sin cos B A =， 由a b >，可得2A B π+=，即ABC △是直角三角形.（6分）（Ⅱ）ABC ∆的周长1010sin 10cos L A A =++，10102)4L A π=++，由a b >可知，42A ππ<<2sin()14A π<+<，即2010102L <<+（12分） 18. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查立体几何相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）取PA 中点M ，连结EM 、DM ，//////EM CD CE DM CE PAD EM CD DM PAD ⎫⎫⇒⎬⎪⇒=⎬⎭⎪ ⊂⎭平面平面.（6分） （Ⅱ）以A 为原点，以AD 方面为x 轴，以AB 方向为y 轴，以AP 方向为z 轴， 建立坐标系.可得(2,0,0)D ，(2,1,0)C ，(0,0,4)P ，(0,2,0)B ，(0,1,2)E ，(0,1,0)CD =-u u u r ，(2,0,2)CE =-u u u r，平面CDE 的法向量为1(1,0,1)n =u r；平面ABCD 的法向量为2(0,0,1)n =u u r；因此1212||2cos ||||2n n n n θ⋅==⋅u r u u r. 即平面CDE 与平面ABCD 所成的锐二面角为4π.（12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查概率的相关知识.【试题解析】解：（Ⅰ）该考生本次测验选择题得50分即为将其余4道题无法确定 正确选项的题目全部答对，其概率为11111(50)223336P X ==⋅⋅⋅=. （4分）（Ⅱ）设该考生本次测验选择题所得分数为X ， 则X 的可能取值为30，35，40，45，50.11224(30)223336P X ==⋅⋅⋅=112211221112112112(35)223322332233223336P X ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=11221112112111121121111113(40)22332233223322332233223336P X ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=11111111112111126(45)223322332233223336P X ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=11111(50)223336P X ==⋅⋅⋅=选择题所得分数为X 的数学期望为3EX =. （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查圆锥曲线中的最值问题等知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）由定义法可得，P 点的轨迹为椭圆且24a =，1c =.因此椭圆的方程为22143x y +=. （4分）（Ⅱ）设直线l 的方程为x ty =与椭圆22143x y +=交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立直线与椭圆的方程消去x 可得22(34)30t y +--=，即12y y+=，122334y y t -=+.AOB ∆面积可表示为1211||||2AOB S OQ y y =⋅-=△216234t==+u =，则1u ≥，上式可化为26633u u u u=++， 当且仅当u =3t =±时等号成立， 因此AOB ∆l 的方程为3x y =±. （12分） 21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查函数与导数的相关知识.【试题解析】解：（Ⅰ）由题可知1()ln 1f x x x'=+-， ()f x '单调递增，且(1)0f '=，当01x <<时，()0f x '<，当1x ≥时，()0f x '≥；因此()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增. （4分）（Ⅱ）由3()(1)ln ln h x m x x x x e=-+--有两个零点可知由11()(1ln )1h x m x x x'=+-+-且0m >可知，当01x <<时，()0h x '<，当1x ≥时，()0h x '≥；即()h x 的最小值为3(1)10h e=-<，因此当1x e =时，1113(1)2()(1)(1)(1)0m e e h m e e e e e -+-=--+---=>， 可知()h x 在1(,1)e上存在一个零点；当x e =时，3()(1)10h e m e e e=-+-->，可知()h x 在(1,)e 上也存在一个零点；因此211x x e e -<-，即121x e x e+>+. （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为30x y +-=， 圆C 的直角坐标方程为22430x y x +--=.（5分） （Ⅱ）联立直线l 的参数方程与圆C 的直角坐标方程可得22(1)(2)4(1)30222-++---=，化简可得220t +-=.则12||||||2PA PB t t ⋅==. （10分） 23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识. 【试题解析】（Ⅰ）由题意 (3)(1),34,3()(3)(1),3122,31(3)(1),14,1x x x x f x x x x x x x x x x ---- <-- <-⎧⎧⎪⎪=+-- - =+ -⎨⎨⎪⎪+-- > >⎩⎩≤≤≤≤当3x <-时，41x -+≥，可得5x -≤，即5x -≤.当31x -≤≤时，221x x ++≥，可得1x -≥，即11x -≤≤. 当1x >时，41x +≥，可得3x ≤，即13x <≤.综上，不等式()1f x x +≥的解集为(,5][1,3]-∞--U .（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数)(x f 的最大值4M =，且14ab a b +++=，即23()()2a b a b ab +-+=≤，当且仅当a b =时“=”成立，可得2(2)16a b ++≥，即2a b +≥，因此b a +的最小值为2.（10分）。
2020届吉林市高三第三调理科数学试题(含答案)
2020届吉林市高三第三调理科数学试题一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。
1. 已知集合{-1,0,1,2}A =,{|lg(1)}B x y x ==-，则A B =A. {2}B. {1,0}-C. {1}-D. {1,0,1}-2. 已知复数z 满足i z11=-，则z = A.i 1122+ B. i 1122-C.i 1122-+ D. i 1122-- 3. 已知向量a b (3,1),(3,3)=-=，则向量b 在向量a 方向上的投影为 A.B.C. 1-D. 14. 已知m n ,为两条不重合直线，,αβ为两个不重合平面，下列条件中，αβ⊥的充分条件是 A. m ∥n m n ,,αβ⊂⊂ B.m ∥n m n ,,αβ⊥⊥C.m n m ,⊥∥n ,α∥βD. m n m ,⊥n ,αβ⊥⊥5. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A.103B.3 C.83D.736. 函数f x x 2()cos(2)3π=+的对称轴不可能为 A.x 56π=-B.x 3π=-C. x 6π=D. x 3π=7. 已知f x ()为定义在R 上的奇函数，且满足f x f x (4)(),+=当x (0,2)∈时，f x x 2()2=, 则f (3)=A.18-B. 18C. 2-D. 28. 已知数列n a {}为等比数列，若a a a 76826++=，且a a 5936⋅=，则a a a 768111++= A.1318B.1318或1936C.139D.1369. 椭圆x y 22192+=的焦点为F F 12,，点P 在椭圆上，若PF 2||2=，则F PF 12∠的大小为A. 150︒B. 135︒C. 120︒D. 90︒10. 已知b a b c a 0.2121()2,log 0.2,===，则a b c ,,的大小关系是A. a b c <<B. c a b <<C. a c b <<D. b c a <<11. 赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设A F F A 2'''=,若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六正视图俯视图侧视图边形的概率为A.B.413C. 7D. 4712. 已知F F 12,分别为双曲线x y C a b2222:1-=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以F F 12为直径的圆经过点P ，若PF F 12∆的面积为23，则双曲线的离心率为A.B. 2C.D. 3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. 二项式x 5(2)-的展开式中x 3的系数为（用数字作答） .14. 已知两圆相交于两点A a B (,3),(1,1)-，若两圆圆心都在直线x y b 0++=上，则a b +的值是 .15. 若点P (cos ,sin )αα在直线y x 2=上，则cos(2)2πα+的值等于 .16. 已知数列n a {}的前n 项和n n S a 14λ=-+且114a =，设x x f x e e 2()1-=-+，则 f a f a f a 721222(log )(log )(log )+++的值等于 .三、解答题：共70分。
2020届吉林省长春市高三质量监测(三)(三模)数学(理)试题(解析版)
【答案】C
【解析】根据圆心的连线与公共弦所在直线垂直，即可求得圆心；再结合弦长公式，即可容易求得半径.
【详解】
两圆圆心连线与公共弦垂直，不妨设所求圆心的坐标为 ，
又圆 的圆心为 ，半径为1，
故 ，解得 .故所求圆心为 .
直线 截得 所成弦长 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
所以直线 截得所求圆的弦长 ，
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用 之间的关系，即可容易求得 ，则 得解，再用并项求和法即可求得结果.
【详解】
由 得 ，作差可得：
，又 得 ，
则 所以 ，
…，
所以 .
故选：D.
【点睛】
本题考查利用 的关系求数列的通项公式，涉及等差数列前 项和的求解，属综合中档题.
12．设椭圆 的左右焦点为 ，焦距为 ，过点 的直线与椭圆 交于点 ，若 ，且 ，则椭圆 的离心率为（）
【详解】
因为 ，又 与向量 共线
故可得 ，解得 .
故选：B.
【点睛】
本题考查向量共线的坐标公式，涉及向量的坐标运算，属基础题.
4．已知函数 的图象为C，为了得到关于原点对称的图象，只要把C上所有的点（）
A．向左平移 个单位B．向左平移 个单位
C．向右平移 个单位D．向右平移 个单位
【答案】A
【解析】利用辅助角公式化简 ，再根据三角函数的奇偶性，即可求得结果.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，求得 ，结合余弦定理，即可求得 的齐次式，据此即可求得结果.
【详解】
根据题意，作图如下：
由 得 ， ，
由
即 ，
整理得 ，
吉林省长春市普通高中2020届高三质量监测理科数学试卷(含答案)
所以 an+1
−
an
=
3n ，
an
=
(an
− an−1)
+
(an−1
− an−2 )
+ ......+ (a2
−
a1) +
a1
=
3n −1 2
.
.
（6 分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得： bn = n 3n − n ，
Tn = 1 31 + 2 32 + ...... + n 3n ， ①
3Tn = 1 32 + 2 33 + ...... + (n −1) 3n + n 3n+1 ， ②
①-②可得
−2Tn
=
31
+
32
+
...... +
3n
−
n 3n+1
=
3n+1 − 2
3
−
n
3n+1
，
则 Tn
=
−
3n+1 − 3 4
+
n 3n+1 2
=
(2n
−1) 3n+1 4
+
3
即
Sn
=
(2n
−1) 3n+1 4
+
3
−
n(n +1) 2
.
20. (本小题满分 12 分)
（12 分）
【参考答案与评分细则】解：（Ⅰ）已知点 P 在椭圆 C ：
（4 分）
（Ⅱ）设直线 AP 的方程为： y = k(x + 2) ，则直线 OM 的方程为 y = kx .
长春市三模理科数学答案
平面 PAD ∩ 平面 ABCD = AD ，故 BF ⊥ 平面 PAD ，又 BF ⊂ 平面 BEF ，
所以平面 BEF ⊥ 平面 PAD . （6 分） （Ⅱ）(法一) 连 PF ∵ PA = PD ， F 为 AD 中点，∴ PF ⊥ AD 又 PF ⊂ 平面 PAD ，
平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ，平面 PAD ∩ 平面 ABCD = AD ，
【题号】21
【参考答案与评分细则】（Ⅰ） F(x) = f (x) − g(x) = m ln x − x −1 ， x
F′(x) = m − 1 = mx −1 ，
x x2
x2
当 m ≤ 0 时， F′(x) < 0 ，所以，函数 F(x) 在 (0, +∞) 上单调递减；
当 m > 0 时，由 F′(x) < 0 得： 0<x < 1 ；由 F′(x) > 0 得： x > 1
m
m
所以，函数 F(x) 在 (0, 1 ) 上单调递减，函数 F(x) 在 ( 1 , +∞) 上单调递增. （4 分）
m
m
（Ⅱ）函数 f (x) = mln x 在点 (a, m ln a) 处的切线方程为 y − m ln a = m (x − a) ， a
即 y = m x + m ln a − m ， a
函数 g(x) = x −1 在点 (b,1− 1) 处的切线方程为 y − (1− 1) = 1 (x − b) ，
x
b
b b2
即
y
=
1 b2
x−
2 b
+1.
y = f (x) 与 y = g(x) 的图象有唯一一条公切线.
吉林省长春市普通高中2020届5月份高三监测(三模)理科数学试题(含答案)
吉林省长春市普通高中2020届高三质量监测（三）（三模）理科数学试题一､选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合2{|4}A x x =∈≤Z ,B={x|-4<x<2},则A∩B= A.{x|-2≤x<2}B.{x|-4<x≤2}.{2,1,0,1,2}C -- .{2,1,0,1}D --2.已知复数z=(a+i)(1-2i)(a ∈R )的实部为3,其中i 为虚数单位,则复数z 的虚部为 A.-1B.-iC.1D.i3.已知向量a r =(1,-2),b r =(3,-3),c r =(1,t),若向量a r与向量b c +r r 共线,则实数t=A.5B.-5C.1D.-14.已知函数()cos3sin 22x xf x =-的图象为C,为了得到关于原点对称的图象,只要把C 上所有的点 A.向左平移3π个单位B.向左平移23π个单位 C.向右平移3π个单位D.向右平移23π个单位 5.函数3()x xx f x e e -=-的图象大致为6.在521()x x +的展开式中,一定含有 A.常数项B.x 项1.C x - 项3.D x 项7.已知直线m,n 和平面,,,αβγ有如下四个命题: ①若m ⊥α,m//β,则α⊥β; ②若m ⊥α,m//n,n ⊂β,则α⊥β;③若n ⊥α,n ⊥β,m ⊥α,则m ⊥β; ④若m ⊥α,m ⊥n,则n//α. 其中真命题的个数是 A.1B.2C.3D.48.风雨桥是侗族最具特色的建筑之一,风雨桥由桥､塔､亭组成,其塔俯视图通常是正方形､正六边形和正八边形.右下图是风雨桥中塔的俯视图｡该塔共5层,若01122334000.5,8.B B B B B B B B m A B m =====这五层正六边形的周长总和为A.35mB.45mC.210mD.270m9.已知圆E 的圆心在y 轴上,且与圆C:2220x y x +-=的公共弦所在直线的方程为30,x y -=则圆E 的方程为22.(3)2A x y +-= 22.(3)2B x y ++= 22.(3)3C x y +-=22.(3)3D x y ++=10.某项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究中,列出各个学段每个主题所包含的条目数(如下表),下右图是将统计表的条目数转化为百分比,按各学段绘制的等高条形图,由图表分析得出以下四个结论,其中错误的是A.除了“综合与实践”外,其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加,尤其“图形与几何”在第三学段增加较多,约是第二学段的3.5倍｡B.所有主题中,三个学段的总和“图形与几何”条目数最多,占50%,综合与实践最少,约占4%C.第一､二学段“数与代数”条目数最多,第三学段“图形与几何”条目数最多.D.“数与代数”条目数虽然随着学段的增长而增长,而其百分比却一直在减少.“图形与几何”条目数,百分比都随学段的增长而增长.11.已知数列{}n a 的各项均为正数,其前n 项和n S 满足2*42,()n nn S a a n =+∈N ,设1(1),n n n n b a a +=-⋅T n 为数列{}n b 的前n 项和,则20T =A.110B.220C.440D.88012.设椭圆的左右焦点为12,,F F 焦距为2c,过点1F 的直线与椭圆C 交于点P,Q,若2||2,PF c =且114||||3PF QF =,则椭圆C 的离心率为1.2A 3.4B 5.7C 2.3D 二､填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡13.一名信息员维护甲､乙两公司的5G 网络,一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护的概率分别为0.4和0.3,则至少有一个公司不需要维护的概率为___.14.等差数列{}n a 中,11,a =公差d ∈[1,2],且391515,a a a λ++=则实数λ的最大值为___.15.若12,x x 是函数2()74f x x x lnx =-+的两个极值点,则12x x =__；12()()f x f x +=___.(本题第一空2分,第二空3分)16.现有一批大小不同的球体原材料,某工厂要加工出一个四棱锥零件,要求零件底面ABCD 为正方形,AB=2,侧面△PAD 为等边三角形,线段BC 的中点为E,若PE=1.则所需球体原材料的最小体积为____.三､解答题:共70分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答｡第22~23题为选考题,考生根据要求作答｡(一)必考题:共60分｡ 17.(12分)笔､墨､纸､砚是中国独有的文书工具,即“文房四宝”.笔､墨､纸､砚之名,起源于南北朝时期,其中的“纸”指的是宣纸,宣纸“始于唐代,产于泾县”,而唐代泾县隶属于宣州府管辖,故因地而得名“宣纸”,宣纸按质量等级,可分为正牌和副牌(优等品和合格品),某公司年产宣纸10000刀(每刀100张),公司按照某种质量标准值x给宣纸确定质量等级,如下表所示:x (48,52] (44,48]∪(52,56] (0,44]∪(56,100]质量等级正牌副牌废品利润是10元，副牌纸的利润是5元，废品亏损10元.(1)估计该公司生产宣纸的年利润(单位:万元);(II)该公司预备购买一种售价为100万元的机器改进生产工艺,这种机器的使用寿命是一年,只能提高宣纸的质量,不影响产量,这种机器生产的宣纸的质量标准值x的频率,如下表所示:其中x为改进工艺前质量标准值x的平均值,改进工艺后,每张正牌和副牌宣纸的利润都下降2元,请判断该公司是否应该购买这种机器,并说明理由.18.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=4ccosB.(1)求证:sinBcosC=3sinCcosB;(II)求B-C的最大值.19.(12分)四棱锥P-ABCD中,ABCD为直角梯形,BC//AD,AD⊥DC,BC=CD=1,AD=2,PA=PD,E为PC中点,平面PAD⊥平面ABCD，F为AD上一点,PA//平面BEF.(1)求证:平面BEF⊥平面PAD;(II)若PC与底面ABCD所成的角为60°.求二面角E-BF-A的余弦值.20.(12分)已知点A(0,1),点B在y轴负半轴上,以AB为边做菱形ABCD,且菱形ABCD对角线的交点在x轴上,设点D 的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(II)过点M(m,0),其中1<m<4,作曲线E的切线,设切点为N,求△AMN面积的取值范围.21.(12分)已知函数1()ln ,()(0)x f x m x g x x x-==>. (1)讨论函数F(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上的单调性;(II)是否存在正实数m,使y=f(x)与y=g(x)的图象有唯一一条公切线,若存在,求出m 的值,若不存在,请说明理由.(二)选考题:共10分,请考生在22-23题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4坐标系与参数方程](10分)以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2212([0,])23sin πρθθ=∈+,直线1的参数方程为23x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数). (1)求曲线C 的参数方程与直线l 的普通方程;(II)设点P 为曲线C 上的动点,点M 和点N 为直线l 上的点,且满足△PMN 为等边三角形,求△PMN 边长的取值范围.23.[选修4-5不等式选讲](10分)已知函数()()2, , 3f x m x m g x x =--∈=+R . (1)当x ∈R 时,有f(x)≤g(x),求实数m 的取值范围;(II)若不等式f(x)≥0的解集为[1,3],正数a,b 满足ab-2a-b=3m-1,求a+b 的最小值.。
吉林省吉林市普通中学2020年高三数学第三次调研考试题 理
吉林省吉林市普通中学2020年高三数学第三次调研考试题 理本试卷共23小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案 无效。
4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
1. 若集合{|0}B x x =≥，且A B A =I ，则集合A 可以是A ．{1,2}B ．{|1}x x ≤C ．{1,0,1}-D ．R2． 已知复数1z i =+（i 为虚数单位）给出下列命题：①||z =；②1z i =-；③z 的虚部为i . 其中正确命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 33． 若1sin ,3α=且2παπ<<，则sin2α=A ．B ．C ．D ． 4. 已知等差数列{}n a 的公差不为0，11a =，且248,,a a a 成等比数列，设{}n a 的前n 项和为 n S ，则n S =A. (1)2n n + B. 2(1)2n +C. 212n +D.(3)4n n + 5． 若1()nx x-的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是 A ． 462-B ． 462C ． 792D ． 792-6． 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A.12018B.12019 C. 20172018D.201820197． 10|1|x dx -=⎰A ．12B ． 1C ． 2D ． 38． 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是 (0,0,0),(1,0,1),(0,1,1)1,(,1,0)2, 绘制该四面体三视图时,按照如图所示的方向画正视图,则得到左视图可以为A. B.C.D.9． 设曲线()cos (*)f xm x m R =∈上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ，则函数2()y x g x =的部分图象可以为10．平行四边形ABCD 中，2,1,1,AB AD AB AD ===-u u u r u u u r g 点M 在边CD 上，则MA MB u u u r u u u rg 的最大值为 A. 2B. 1C. 5D.111．等比数列{}n a 的首项为32，公比为12-，前n 项和为n S ，则当*n N ∈时，1n n S S -的最大值与最小值的比值为A. 125-B. 107-C.109D.12512．已知函数13,1()22ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩（ln x 是以e 为底的自然对数， 2.71828e =K ），若存 在实数,()m n m n <，满足()()f m f n =，则n m -的取值范围为A. 2(0,3)e +B. 2(4,1]e -C. 2[52ln 2,1]e --D. [52ln2,4)-二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分。
2020年吉林省普通高中高考数学三模试卷1 (含答案解析)
2020年吉林省普通高中高考数学三模试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数是纯虚数，实数m=()A. 1B. −1C. 1或−3D. −1或32.已知集合A={x|x2−x−2<0}，B={x|x2+3x<0}，则A∩B=()A. (0,2)B. (−1,0)C. (−3,2)D. (−1,3)3.我国一直为“低碳生活”努力，根据下面给出的2004年至2013年我国某有害物质排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论正确的是()A. 逐年比较，2005年减少二氧化硫排放量的效果最显著B. 2008年我国治理二氧化硫排放显现成效C. 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D. 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4.已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a2=a4，则S4a2+a5等于()A. 56B. 57C. 34D. 795.已知x,y满足约束条件{y≤1x+y+4≥0x−y≤0，则z=x+2y的最小值是()A. −8B. −6C. −3D. 36.已知F1、F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，若双曲线C的右支上存在点A，满足2|AF1|−3|AF2|=a，则双曲线C的离心率的取值范围是() A. (1,4] B. (1,4) C. (1,2] D. (1,2)7.将曲线y=sin(2x+φ)(|φ|<π2)向右平移π6个单位长度后得到曲线y=f(x)，若函数f(x)的图象关于y轴对称，则φ=()A. π3B. π6C. −π3D. −π68.若曲线y=2e x+3ax+b在点(0,1)处的切线l与直线x+2y−5=0垂直，则a+b=()A. 1B. −1C. 2D. −29.执行如图所示的程序框图，若输入n=6，则输出的S值为()A. 120B. 516C. 165D. 3810.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个侧面中最大的侧面的面积为()A. √22B. √52C. √32D. √211.过抛物线C：x2=2y的焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点，若抛物线C在点B处的切线斜率为1，则线段|AF|=()A. 1B. 2C. 3D. 412.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)=2x−1，则f(−1)的值为()A. −1B. −2C. 12D. −12二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)={4−x,x ⩾0x +4,x <0，则f(f(−4))的值为____________．14. 若△ABC 是边长为2的正三角形，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ 在AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为______． 15. 已知数列{a n }的前n 项和S n =n(n +1)+2，其中，则a n =_______．16. 在四面体中，，且，该四面体外接球的表面积为 ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，a ，b ，c ，分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a =√3，b =√2，1+2cos(B +C)=0，求边BC 上的高．18. 为了新高考顺利实施，广州某校针对高一年级1240名学生选考物理和选考历史进行分班模拟.按性别进行分层抽样，现抽取124名学生对物理、历史这两门课程进行选课意向调查，其中男生有64人，在这124名学生中选历史的男生有22人、女生有40人． (1)根据以上数据完成下列列联表；历史 物理 合计男生 女生 合计(2)判断能否有99.9%的把握认为该校学生学科的选择与性别有关？ 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d 经验表 P(K 2>k 0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819.如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，AB=2，且FA=FC．(1)求证：AC⊥平面BDEF；(2)求三棱锥E−ABD的体积．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(1,√63)，离心率为√63，直线y=kx+2与椭圆C交于A，B两点，D为椭圆C的下顶点．(1)求椭圆C的标准方程．(2)直线AD的斜率与直线BD的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21.已知函数f(x)=lnx+a(x+1).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)求函数f(x)在[1,2]上的最大值．22.在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)=−2，曲线C2的参数方程为{x=t2y=2√2t(t为参数)，求C1与C2交点的直角坐标．23.已知函数f(x)=|x−2|−2，g(x)=|2x+a|．(1)当a=1时，解不等式f(x)≤g(x)；(2)若f(x)≥g(x)在[6,8]上恒成立，求实数a的取值范围-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查复数的基本概念，考查了一元二次方程的解法，属于基础题．由实部为0且虚部不为0列式求解．【解答】解：是纯虚数，∴{m 2−2m−3=0,m2−4m+3≠0,解得m=−1．故选B．2.答案：B解析：【分析】本题考查集合的交集的运算，涉及一元二次不等式的解法，属基础题．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：由x2−x−2<0，即(x+1)(x−2)<0，解得−1<x<2;由x2+3x<0解得−3<x<0．∴A={x|−1<x<2}，B={x|−3<x<0}；∴A∩B=(−1,0)．故选：B．3.答案：C解析：解：从图中看出，2008年的二氧化硫排放量减少的最多，故逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著，故A错误；从2007年开始我国治理二氧化硫排放显现成效，故B错误；2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，是负相关，而不是与年份正相关，故D错误．故选C．由图可得，2008年的二氧化硫排放量减少的最多，可判断A；从2007年开始我国治理二氧化硫排放显现成效，可判断B；2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，可判断C；根据相关的定义，可判断D；本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．4.答案：A解析：解：设公比为q>0，由4a2=a4，∴4=q2，解得q=2．则S4a2+a5=a1(24−1)2−12a1(1+23)=56．故选：A．利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.答案：B解析：【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，设z=x+2y得y=−12x+12z，利用数形结合即可的得到结论．【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A(1,1)，B(−2,−2)，C(−5,1)，z=x+2y，则y=−12x+12z，当直线y=−12x+12z过点B(−2,−2)时z取到最小值，所以z=x+2y的最小值是−2+2×(−2)=−6，故选：B．6.答案：A解析：。
吉林省长春市普通高中高三质量监测(三)数学(理)试题
长春市202X 届高三质量监测(三)理科数学本试卷共4页。
考试结束后，将答题卡交回。
考前须知：I.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘2. 选赤题，荡1扁用2B 铅楚鬲涂：非选择题必须使用0.5亳米黑色字迹的签 字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写 的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不折叠，不弄破、弄皱，不使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中， 只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 设集合 A = {XE Z| 亍 W4}, B = {X \-4<X <2}9 那么 A(}B =A. {x|-2Wxv2}B. {x|T<x 〈2}C. {-2,-1,0.1,2}D. {-2,-1,0,1}2. Ll 知复数z = (〃 + i)(l-2i) (“cR )的实部为3,其中i 为虚数单位，那么复数z 的虚部为A. -1 3.己知向星。
=(1,一2),力=(3, - 3), c = (lj)，假设向量。
与向量b , c 共线，那么实数，=4.己知函数/(x) = cos ；-J5sin ；的图象为C,为了得到关于原点对称的图象，只要 把C 上所有的点5.函数f(x) = 的图象大致为C. D.A.向左平移:个单位 C,向右平移：个单位B.向左平移一厂个单位 D.向右平移号个单位6. 7. 在（X+A-）5的展开式中，一定含有JTA.常数项B.X 项C. X"1项 己知直线〃7,〃和平面a ，D ，y ,有如下四个命题：① 假设 m la . mH §,那么 a ±/7 ；② 假设 m ±a. mH n .③ 假设n La . 〃 J/?,④ 假设〃】-L a , m ± n , 其中真命题的个数是A. 1B.2〃u/?，那么al/?；mla 9 那么m±flz那么nil a.C.3D.48. 9. 10. 风雨桥是佃族最具特色的建筑之一，风雨桥由桥、塔、亨组成，其塔俯视图通常是正 方形、正六边形利正八边形.右下列图是风雨桥中塔的俯视图.该塔共5层，假设Bq =以月=任用=坎/^ = 0.5〃?，4A = 8〃?，那么 /X /\这五层正六边形的周K 总和为——A. 35mB. 45mC. 210mD. 270mA.己知圆E 的圆心在y 轴上，且与圆C ： r + y 2-2x = o 的公共弦所在直线的方程为 x->/3y = 0， A. /+（,、/5）2 =2 C.工2+（）,一后）2=3某项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究中，列出各个学段每个主题所包含的 条目数（如下表），下右图始将统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高 条形图，由图表分析得出以下四个结论，其中 错误的选项是那么圆£的方程为 B ・，/+(y + x/5)2=2 D ・ x 2+(y + V3)2=3段笫一学段 （1-3年坂） 第二学段 （4 6年欲） 第三学段 （7-9年级）合计 致勺代敷 21 28 49 98 图形凡何 18 25 87 130统计级率 3 8 11 22综合实践 3 4 3 10 合计45 65 150260第一学段第二学段第三学段匚■好凡何 匚二♦计（=□»*** A. 除了 “综合与实践”外，其它三个领域的条H 数都随着学段的升高而增加，尤其 “图形与几何”在第三学段增加较多，约是第二学段的3.5倍.B. 所有主题中，三个学段的总和“图形与儿何”条目数最多，占50%,综合与实践 最少，约占4%.C. 第一、二学段“数与代数”条目数最多，第三学段“图形与几何”条目数最多.D. “数与代数”条目数虽然随假设学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少.“图 形与几何”条目数 ，百分比都随学段的增长而增长.II.己知数列｛《,｝的各项均为正数，其前〃项和S 〃满足4S,；2q,,设如=（-1）"・时职,7；为数列｛勿｝的前〃项和，那么乌=A. 110B. 220C. 440D. 88012 •设椭圆的左右焦点为％，&，焦距为2c,过点A ；的直线与椭圆C 交于点P,Q,假设（长舂三切\PF 21= 2c,且那么椭圆C 的离心率为1 3 5 A. —B. —C.—247二、 填空题：此题共4小题，每题5分，共20分.一名信息员维护甲、乙两公司的5G 网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护的概率分别为0.4和0.3.那么至少有一个公司不需要维护的概率为 __________ ・等差数列中，％=1,公差dc[l,2],旦《+如+弓5=15,那么实数人的最大 值为 .假设玉，冯是函数/（x ） = x 2-7x+4lnx 的两个极值点，那么x ｝x 2 =___________ , /（^） + /（^2）= _____________ ・（此题第一空2分，第二空3分）现有一批大小不同的球体原材料，某工厂要加工出一个四棱锥零件，要求零件底面ABCD 为正方形，48 = 2,侧面△ PAD^等边三角形，线段BC 的中点为E,假设 PE = 1.那么所需球体原材料的最小体积为 ______________ ・ 三、 解答题：共70分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为 必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答. （-）必考题：共60分.17. （12 分）笔、墨、纸、砚足中国独有的文书工具，即“文房四宝” O 笔、墨、纸、砚之名， 起源于南北朝时期，其中的“纸”指的是宣纸，宣纸“始丁•唐代，产于泾县”，而唐代 泾县隶属于宣州府管辖，故因地而得名“宣纸”，宣纸按质量等级，可分为正牌和副牌 （优等品和合格品），某公司年产宣纸10（）00刀（每刀100张），公司按照某种质量标 准值X 给宣纸确定质量等级，如下表所示：X (48,521(44,482(5256](0,44|U(56J(X)|质房等级正牌副牌废品公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀 （l （X ）张）进行检验，得到频率分布直方图如 图所示，己知每张正牌纸的利润是10元，副 牌纸的利润是5元，废品亏损10元.（I ） 估计该公司生产宣纸的年利润（单 位：万元）：（II ） 该公司预备购置一种售价为100万 元的机器改良生产工艺，这种机器的使用寿命7D.二 313. 14. 15. 16.是一年，只能提高宣纸的质量，不影响产量，这种机器生产的宣纸的质量标准值A•的频率，如下表所示：(x-2,x + 2]其中三为改良工艺前质量标准值A•的平均值，改良工艺后，每张正牌和副牌宣纸的利润都卜降2元，请判断该公司是否应该购置这种机器，并说明理由.18. (12 分)在AABC中，角A,B,C所对的边分别为。
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t=
A.5
B.-5
C.1
D.-1
4.已知函数 f (x) cos x
x 3 sin 的图象为 C,为了得到关于原点对称的图象,只要把 C 上所有的点
2
2
A.向左平移 个单位 3
B.向左平移 2 个单位 3
C.向右平移 个单位 3
2
D.向右平移 个单位 3
5.函数
f
(x)
x3 ex ex
的图象大致为
吉林省长春市普通高中 2020 届高三质量监测（三）（三模）
理科数学试题
一､选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要
求的.
1.设集合 A {x Z | x2 4},B={x|-4<x<2},则 A∩B=
A.{x|-2≤x<2}
B.{x|-4<x≤2}
A.35m
B.45m
C.210m
D.270m
9.已知圆 E 的圆心在 y 轴上,且与圆 C: x2 y2 2x 0 的公共弦所在直线的方程为 x 3y 0, 则圆
E 的方程为
A. x2 ( y 3)2 2
B. x2 ( y 3)2 2
C. x2 ( y 3)2 3
D. x2 ( y 3)2 3
10.某项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究中,列出各个学段每个主题所包含的条目数(如下 表),下右图是将统计表的条目数转化为百分比,按各学段绘制的等高条形图,由图表分析得出以下四个结论, 其中错误的是
A.除了“综合与实践”外,其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加,尤其“图形与几何”在第三学
其中 x 为改进工艺前质量标准值 x 的平均值,改进工艺后,每张正牌和副牌宣纸的利润都下降 2 元,请 判断该公司是否应该购买这种机器,并说明理由.
18.(12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=4ccosB. (1)求证:sinBcosC=3sinCcosB; (II)求 B-C 的最大值.
|
PF1
|
4 3
|
QF1
|
,则椭圆
C
的离心率为
A. 1 2
B. 3 4
C. 5 7
二､填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分｡
D. 2 3
13.一名信息员维护甲､乙两公司的 5G 网络,一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护的概率分别为 0.4 和 0.3,则至少有一个公司不需要维护的概率为___.
其中真命题的个数是
A.1
B.2
C.3
D.4
8.风雨桥是侗族最具特色的建筑之一,风雨桥由桥､塔､亭组成,其塔俯视图通常是正方形､正六边形和
正八边形.右下图是风雨桥中塔的俯视图｡该塔共 5 层,若 B0B1 B1B2 B2B3 B3B4 0.5m, A0B0 8m. 这五层正六边形的周长总和为
6.在 (x
1 x2
)5 的展开式中,一定含有
A.常数项
B.x 项
C. x1 项
D. x3 项
7.已知直线 m,n 和平面 , , , 有如下四个命题:
①若 m⊥α,m//β,则 α⊥β;
②若 m⊥α,m//n,n β,则 α⊥β;
③若 n⊥α,n⊥β,m⊥α,则 m⊥β;
④若 m⊥α,m⊥n,则 n//α.
段增加较多,约是第二学段的 3.5 倍｡
B.所有主题中,三个学段的总和“图形与几何”条目数最多,占 50%,综合与实践最少,约占 4%
C.第一､二学段“数与代数”条目数最多,第三学段“图形与几何”条目数最多.
D.“数与代数”条目数虽然随着学段的增长而增长,而其百分比却一直在减少.“图形与几何”条目数,百
x
(48,52]
(44,48]∪(52,56]
(0,44]∪(56,100]
质量等级
正牌
副牌
废品
公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀(100 张)进行检验,得到频率分布直方图如图所示,已知每张正 牌纸的利润是 10 元，副牌纸的利润是 5 元，废品亏损 10 元.
(1)估计该公司生产宣纸的年利润(单位:万元); (II)该公司预备购买一种售价为 100 万元的机器改进生产工艺,这种机器的使用寿命是一年,只能提高 宣纸的质量,不影响产量,这种机器生产的宣纸的质量标准值 x 的频率,如下表所示:
C.{2, 1, 0,1, 2}
D. {2, 1, 0,1}
2.已知复数 z=(a+i)(1-2i)(a∈R)的实部为 3,其中 i 为虚数单位,则复数 z 的虚部为
A.-1
B.-i
C.1
D.i
3.已知向量
a
=(1,-2),
b
=(3,-3),
c
=(1,t),若向量
a
与向量
b
c
共线,则实数
都必须作答｡第 22~23 题为选考题,考生根据要求作答｡
(一)必考题:共 60 分｡
17.(12 分)
笔､墨､纸､砚是中国独有的文书工具,即“文房四宝”.笔､墨､纸､砚之名,起源于南北朝时期,其中的“纸”
指的是宣纸,宣纸“始于唐代,产于泾县”,而唐代泾县隶属于宣州府管辖,故因地而得名“宣纸”,宣纸按质量等 级,可分为正牌和副牌(优等品和合格品),某公司年产宣纸 10000 刀(每刀 100 张),公司按照某种质量标准值 x 给宣纸确定质量等级,如下表所示:
分比都随学段的增长而增长.
11.已知数列{an}的各项均为正数,其前 n 项和 Sn 满足 4Sn an2 2an , (n N *) ,设
bn (1)n anan1, Tn 为数列{bn} 的前 n 项和,则 T20
A.110
B.220
C.440
D.880
12.设椭圆的左右焦点为 F1, F2 , 焦距为 2c,过点 F1 的直线与椭圆 C 交于点 P,Q,若 | PF2 | 2c, 且
14.等差数列{an}中, a1 1, 公差 d∈[1,2],且 a3 a9 a15 15, 则实数 λ 的最大值为___. 15.若 x1, x2 是函数 f (x) x2 7x 4lnx 的两个极值点,则 x1x2 __； f (x1) f (x2 ) ___.(本题第一 空 2 分,第二空 3 分) 16.现有一批大小不同的球体原材料,某工厂要加工出一个四棱锥零件,要求零件底面 ABCD 为正方 形,AB=2,侧面△PAD 为等边三角形,线段 BC 的中点为 E,若 PE=1.则所需球体原材料的最小体积为____. 三､解答题:共 70 分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡第 17~21 题为必考题,每个试题考生