(汇总)非线性规划问题的求解方法.ppt
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非线性规划问题的求解方法
程序1：主程序main2.m
global lamada%主程序main2.m,罚函数方法
x0=[1 1];
lamada=2;
c=10;
e=1e-5;
k=1;
while lamada*fun2p(x0)>=e
x0=fminsearch('fun2min',x0);
lamada=c*lamada;
k=k+1;
越是接近极值点，收敛越慢；
它是其它许多无约束、有约束最优化方法的基础。
该法一般用于最优化开始的几步搜索。
以梯度法为基础的最优化方法
min f (x), x En
求f(x)在En中的极小点
基础：方向导数、梯度
思想：
方向导数是反映函数值沿某一方向的变化率问题 方向导数沿梯度方向取得最大值
通过一系列一维搜索来实现。 本方法的核心问题是选择搜索方向。 搜索方向的不同则形成不同的最优化方法。
1.约束中可以有等式约束 2.可以含线性、非线性约束均可
输入参数语法：
x = fmincon(fun,x0,A,b) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) x= fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2, ...)
i 1
j 1
其中 ( y), ( y) 是满足如下条件的连续函数：
非线性规划问题的求解方法[优质ppt]
![非线性规划问题的求解方法[优质ppt]](https://img.taocdn.com/s3/m/cd0d5afa0c22590102029d42.png)
3、问题：
4.1、外点法（外部惩罚函数法）：
如何将此算法模块化？
外点法框图： kk1
初始 x(0),1 0,1 0,k1
以x(k)为初始点 , 解
min f ( x) k p( x)
得到 x (k 1)
No
k1k
kp(x(k1)) yes
停 x (k 1) f22=subs(fx2x2); if(double(sqrt(f1^2+f2^2))<=0.002)
a(k+1)=double(x1);b(k+1)=double(x2);f0(k+1)=double(subs(f)); break; else X=[x1 x2]'-inv([f11 f12;f21 f22])*[f1 f2]'; x1=X(1,1);x2=X(2,1); end end if(double(sqrt((a(k+1)-a(k))^2+(b(k+1)b(k))^2))<=0.001)&&(double(abs((f0(k+1)-f0(k))/f0(k)))<=0.001) a(k+1) b(k+1) k f0(k+1) break; else m(k+1)=c*m(k);
非线性规划问题的求解方法
Content
无约束非线性规划问题 有约束非线性规划问题 Matlab求解有约束非线性规划问题
一.无约束问题
• 一维搜索
指寻求一元函数在某区间上的最优值点的方法。这类方法不仅有实用 价值，而且大量多维最优化方法都依赖于一系列的一维最优化。
逐次插值逼近法 近似黄金分割法（又称0.618法） • 无约束最优化
非线性规划ppt课件
g3(x) x1 x2 x3 0
;
20
一维搜索方法
目标函数为单变量的非线性
规划问题称为一维搜索问题
min t0 (0ttmax )
其中 t R 。
(t)
➢精确一维搜索方法 0.618法 Newton法
➢非精确一维搜索方法 Goldstein法 Armijo法
;
21
0.618法（近似黄金分割法）
定义 4.1.2 对于非线性规划(MP)，若 x* X ，并且存在 x* 的一个
领域 N ( x* ) x Rn x x* ( 0, R) ，使
f (x* ) f (x), x N (x* ) X ，
则称 x* 是(MP)的局部最优解或局部极小点，称 f ( x* ) 是(MP)的局部
函数(t) 称为在[a,b]上是单谷的，如果存在一个 t * [a, b] ，使得(t) 在[a, t * ]上严格递减，且在[t * , b] 上严格递增。区间[a,b]称为(t) 的单 谷区间。
第 1 步 确定单谷区间[a,b]，给定最后区间精度 0 ;
第 2 步 计算最初两个探索点
t1 a 0.382(b a) b 0.618(b a)
;
22
0.618法例题
• 例4.3.1 用0.618法求解
min(t) t3 2t 1 t0
(t) 的单谷区间为[0,3]， 0.5
解答
例4.3.1解答 • 迭换换代tbtb 过程0311..62..∧✓18可0036145436481由-00下101.2.∧...0✓871110650431表48611 给0-0100.2.∨...0✓1470出2064308168821 --000100...∨...00✓4178376340791868681 01..7140486 a2112a
管理运筹学 06 非线性规划.ppt
在此例中，约束h(X ) x1 x2 6 0 对最优解发生 了影响，若以 h(X ) x1 x2 6 0 代替原约束， 则非线性规划的最优解是X (2,2) ，即图中的 C点，此时 f (X ) 0。由于最优点位于可行域 的内部，故事实上约束 h(X ) x1 x2 6 0 并未 发挥作用，问题相当一个无约束极值问题。
于 凸任集意。实数,集合S ={X|X∈R, f (X) ≤}是
2019/11/18
27
2.4 凸函数的性质
设f (X)为定义在凸集R上的凸函数，则它 的任一极小点就是它在R上的最小点（全 局极小点）；而且它的极小点形成一个凸 集。
设f (X)为定义在凸集R上的可微凸函数， 若它存在点X*∈R，使得对于所有的X∈R 有▽ f (X *)T (X- X*) ≥0，则X*是f (X)在R上 的最小点（全局极小点）。
Example 2: 在层次分析（Analytic Hierarchy Process,
简记为 AHP）中，为进行多属性的综合评 价，需要确定每个属性的相对重要性，即 它们的权重。为此，将各属性进行两两比 较，从而得出如下判断矩阵：
2019/11/18
5
1.1 非线性规划问题举例
a11 … a1n
则必有
或
0 f (X ) x1
f ( X ) x2
f ( X ) xn
f ( X ) 0
2019/11/18
18
必要条件
f
(X
)
( f
(X x1
)
,
f ( X x2
)
,
在 X*点处的梯度。
,
f ( X xn
于 凸任集意。实数,集合S ={X|X∈R, f (X) ≤}是
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2.4 凸函数的性质
设f (X)为定义在凸集R上的凸函数，则它 的任一极小点就是它在R上的最小点（全 局极小点）；而且它的极小点形成一个凸 集。
设f (X)为定义在凸集R上的可微凸函数， 若它存在点X*∈R，使得对于所有的X∈R 有▽ f (X *)T (X- X*) ≥0，则X*是f (X)在R上 的最小点（全局极小点）。
Example 2: 在层次分析（Analytic Hierarchy Process,
简记为 AHP）中，为进行多属性的综合评 价，需要确定每个属性的相对重要性，即 它们的权重。为此，将各属性进行两两比 较，从而得出如下判断矩阵：
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1.1 非线性规划问题举例
a11 … a1n
则必有
或
0 f (X ) x1
f ( X ) x2
f ( X ) xn
f ( X ) 0
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必要条件
f
(X
)
( f
(X x1
)
,
f ( X x2
)
,
在 X*点处的梯度。
,
f ( X xn
非线性规划基础.pptx
部最优解。
定理13.10 若目标函数f(x)是Rn上的连续可微凸函数，
则 f (x的) 充0分必要条件 为无x 约束优化问题
（13.4）的全局最优点和局部最优点。
第19页/共35页
• 例13.5 求函数f(x)的最优值点，即。
m in
xR n
f
(
x
)
(
x12
1)2
x12
x22
2x1
解： f (x) 0 x (1,0)T
凹函数
第8页/共35页
非凸非凹函数
凸函数具有如下性质
第9页/共35页
二、凸函数的判断
• 一元函数凸性的判断
f (x) 0 f (x1) f (x2 ) f (x2 )(x1 x2 )
第10页/共35页
• 多元函数凸性的判断
梯度：
f (x) ( f (x) ,, f (x) )T
x1
xn
H(
x1,x2
)
6x1 3
23
• 判定正定的方法：当一个n×n矩阵A的任意k阶顺
序主子式大于0时，则该矩阵为正定的。
2 f (x) 2 f (x) 2 f (x)
x12
x1x2
x1xk
2 f (x)
H
(
k
x)
x2x1
2 f (x) x22
2 f (x) x2xk
2 f (x) 2 f (x) 2 f (x)
第13页/共35页
• 例13.4 判别下列函数的凸凹性
1） f (x1, x2 ) 2x12 x22 2x1x2 x1 1
2） f (x1, x2 ) x12 x22
解： 1）
H(
x1,x2
定理13.10 若目标函数f(x)是Rn上的连续可微凸函数，
则 f (x的) 充0分必要条件 为无x 约束优化问题
（13.4）的全局最优点和局部最优点。
第19页/共35页
• 例13.5 求函数f(x)的最优值点，即。
m in
xR n
f
(
x
)
(
x12
1)2
x12
x22
2x1
解： f (x) 0 x (1,0)T
凹函数
第8页/共35页
非凸非凹函数
凸函数具有如下性质
第9页/共35页
二、凸函数的判断
• 一元函数凸性的判断
f (x) 0 f (x1) f (x2 ) f (x2 )(x1 x2 )
第10页/共35页
• 多元函数凸性的判断
梯度：
f (x) ( f (x) ,, f (x) )T
x1
xn
H(
x1,x2
)
6x1 3
23
• 判定正定的方法：当一个n×n矩阵A的任意k阶顺
序主子式大于0时，则该矩阵为正定的。
2 f (x) 2 f (x) 2 f (x)
x12
x1x2
x1xk
2 f (x)
H
(
k
x)
x2x1
2 f (x) x22
2 f (x) x2xk
2 f (x) 2 f (x) 2 f (x)
第13页/共35页
• 例13.4 判别下列函数的凸凹性
1） f (x1, x2 ) 2x12 x22 2x1x2 x1 1
2） f (x1, x2 ) x12 x22
解： 1）
H(
x1,x2
(汇总)非线性规划问题的求解方法.ppt
..........
5
3、问题：
..........
6
4.1、外点法（外部惩罚函数法）：
..........
7
外点法框图： k k1
初始x(0) , 1 0, 1 0, k 1
以x(k)为初始点, 解
min f (x) k p(x)
得到 x(k 1)
No
k1 k
k p( x(k1) )
..........
yes
停
x(k1) opt
8
4.2、内点法（内部惩罚函数法）： min F ( x, )
s.t. x S
算法： （1） 给定初始内点 x(0) S ，允许误差 e>0，
障碍参数 (1) ，缩小系数b (0,1) ，置 k=1；
（2） 以 x(k1) 为初始点，求解下列规划问题： min f (x) (k) B(x) ，令x(k) 为所求极小点 s.t. x S
else
m(k+1)=c*m(k);
..........
12
end end
结果：
•
ans =
•
• 1.0000
•
•
• ans =
•
• -7.1594e-004
•
•
• k=
•
• 14
..........
13
小结
讲解了两个求解有约束非线性规划问题的特点. 易于实现，方法简单. 没有用到目标函数的导数.
s.t. x S0 从x(k )出 发, 求 得 x(k1)
No
k1 k
kq( x(k1) )
yes
停
x(k1) opt
第13讲 非线性规划.ppt
6
信息与计算科学系
数学 建模
在一组等式或不等式的约束下，求一个函数的最大 值（或最小值）问题，其中至少有一个非线性函数，这 类问题称之为非线性规划问题。可概括为一般形式
min f ( x)，
s.t. hj ( x) 0, j 1, , q, （3.1） gi ( x) 0, i 1, , p.
其中 x [x1, , xn]T 称为模型（3.1）的决策变量， f 称 为目标函数， gi (i 1, , p)和hj ( j 1, ,q)称为约束函 数。另外，gi ( x) 0 (i 1, , p)称为等式约束，hj ( x) 0
3
信息与计算科学系
数学 建模
例 3.1 （投资决策问题）某企业有n个项目可供选择
投资，并且至少要对其中一个项目投资。已知该企业拥有
总资金 A元，投资于第i(i 1, ,n)个项目需花资金ai 元， 并预计可收益bi 元。试选择最佳投资方案。
解 设投资决策变量为
xi
1, 决定投资第i个项目 ，i 1, , n，
x(1)+x(2)^2+x(3)^3-20]; %非线性不等式约束
h=[-x(1)-x(2)^2+2;
x(2)+2*x(3)^2-3]; %非线性等式约束
11
信息与计算科学系
数学 建模
（3）编写主程序文件如下 [x,y]=fmincon('fun1',rand(3,1),[],[],[],[],zeros(3,1),[],'fu n2')
14
信息与计)是极小值点，对应的极小值 f (1,0) 5； 点(1,2)，( 3,0)不是极值点； 点( 3,2)是极大值点，对应的极大值 f ( 3,2) 31。
非线性规划PPT演示文稿
正是由于局部最优解的存在，使得非线性规划问 题的求解要比线性规划问题的求解复杂得多。当求 得一个最优解时，常常无法确定该解是否为全局最 优解。但是在某些情况下，可以保证所求得的解就 是全局最优解。下面7.2节、7.3节所介绍的边际收 益递减的二次规划和可分离规划就属于这种情况。
RUC, Information School, Ye Xiang
RUC, Information School, Ye Xiang
求总风险（方差）的一种简便方法
第7章 非线性规划
由于目标函数“总风险（方差）”的公式是非线性的，也 复杂，希望找到一种不容易出错且简便的办法
构造协方差矩阵（方差、协方差）
总风险（方差）=
❖
SUMPRODUCT（MMULT（投资组合,协方差矩阵）,投资
第7章 非线性规划
这种方法是将3.2节的成本收益平衡问题非 线性化。在这种情况下，成本是与投资有关 的风险，收益是投资组合的预期回报。
因此，该模型的一般表达形式为：
最小化 风险
约束条件 预期回报≥最低可接受水平
这个模型关注投资组合的风险和预期收益 之间的平衡。
RUC, Information School, Ye Xiang
例7.1 给定一根长度为400米
的绳子，用来围成一块矩形菜 地，问长和宽各为多少，使菜 地的面积最大？ 解：这是一个小学数学问题， 现在把它当作一个规划问题来 求解。
RUC, Information School, Ye Xiang
7.1 非线性规划基本概念 第7章 非线性规划
(1) 决策变量
7.2.2 运用非线性规划优化 有价证券投资组合
第7章 非线性规划
投资组合优化，就是确定投资项目中的一 组最优投资比例。这里所说的“最优”，可 以是在一定风险水平下使得投资回报最大， 也可以是在一定的投资回报水平下使得风险 最小。
RUC, Information School, Ye Xiang
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求总风险（方差）的一种简便方法
第7章 非线性规划
由于目标函数“总风险（方差）”的公式是非线性的，也 复杂，希望找到一种不容易出错且简便的办法
构造协方差矩阵（方差、协方差）
总风险（方差）=
❖
SUMPRODUCT（MMULT（投资组合,协方差矩阵）,投资
第7章 非线性规划
这种方法是将3.2节的成本收益平衡问题非 线性化。在这种情况下，成本是与投资有关 的风险，收益是投资组合的预期回报。
因此，该模型的一般表达形式为：
最小化 风险
约束条件 预期回报≥最低可接受水平
这个模型关注投资组合的风险和预期收益 之间的平衡。
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例7.1 给定一根长度为400米
的绳子，用来围成一块矩形菜 地，问长和宽各为多少，使菜 地的面积最大？ 解：这是一个小学数学问题， 现在把它当作一个规划问题来 求解。
RUC, Information School, Ye Xiang
7.1 非线性规划基本概念 第7章 非线性规划
(1) 决策变量
7.2.2 运用非线性规划优化 有价证券投资组合
第7章 非线性规划
投资组合优化，就是确定投资项目中的一 组最优投资比例。这里所说的“最优”，可 以是在一定风险水平下使得投资回报最大， 也可以是在一定的投资回报水平下使得风险 最小。
lingo解非线性规划汇总.ppt
在LINGO中使用LINDO模型 运行程序 :
优化建模
点“LINGO菜单Solve 命令”
或 按ctrl+s运行
或 用鼠标点
• 运行状态窗口
优化建模
求解 器(求 解程 序)状 态框
解的目标函数值
当前解的状态 : "Global
Optimum", "Local Optimum", "Feasible", "Infeasible“(不可行), "Unbounded“(无界), "Interrupted“(中断), "Undetermined“(未确定)
INV (0) 10
@For(Quarters(I)|I#GT#1: INV(I)=INV(I-1)+RP(I)+OP(I)-DEM(I););
对下标集合的元素（下标i）增加了一个逻辑关系式 “i#GT#1”（这个限制条件与集合之间有一个竖线“|” 分开，称为过滤条件）。
限制条件“I#GT#1”是一个逻辑表达式，意思就是I>1； “#GT#”是逻辑运算符号，意思是“大于（Greater Than的字首字母缩写）” 。
设
第一季度 第二季度 第三季度 第四季度
DEM: 需求量(为已知)
40
60
75
25
RP: 正常生产的产量
OP: 加班生产的产量
INV: 库存量
总费用：四个季度的（生产费用+加班费用+库存费用）
DEM,RP,OP,INV对每个季度都应该有一个对应的值，也就说他们都应该是
一个由4个元素组成的数组，其中DEM是已知的，而RP,OP,INV是未知数。
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x1=X(1,1);x2=X(2,1);
end
end
if(double(sqrt((a(k+1)-a(k))^2+(b(k+1)b(k))^2))<=0.001)&&(double(abs((f0(k+1)-f0(k))/f0(k)))<=0.001)
a(k+1)
b(k+1)
k
f0(k+1)
break;
逐次插值逼近法 近似黄金分割法（又称0.618法） • 无约束最优化
指寻求 n元实函数f在整个n维向量空间Rn上的最优值点的方法。无约 束最优化方法大多是逐次一维搜索的迭代算法。这些迭代算法的基本
..........
3
思想是：在一个近似点处选定一个有利搜索方向,沿这个方向进行一 维寻查,得出新的近似点。然后对新点施行同样手续，如此反复迭代, 直到满足预定的精度要求为止。根据搜索方向的取法不同，可以有各 种算法。
else
m(k+1)=c*m(k);
..........
12
end end
结果：
•
ans =
•
• 1.0000
•
•
• ans =
•
• -7.1594e-004
•
•
• k=
•
• 14
..........
13
小结
讲解了两个求解有约束非线性规划问题的特点. 易于实现，方法简单. 没有用到目标函数的导数.
...
8
4.2、内点法（内部惩罚函数法）： min F ( x, )
s.t. x S
算法： （1） 给定初始内点 x(0) S ，允许误差 e>0，
障碍参数 (1) ，缩小系数b (0,1) ，置 k=1；
（2） 以 x(k1) 为初始点，求解下列规划问题： min f (x) (k) B(x) ，令x(k) 为所求极小点 s.t. x S
（3） 如果 (k) B(x (k) ) e ，则停止计算，得到结果x(k) ，
（4） 否则令 (k1) b (k) ，置 k=k+1，返回（2）。
..........
9
内点法框图 k k1
x(0) S0 , 1 0, [0,1], 0, k 1
min f ( x) kq( x)
=diff(fx2,'x1');fx2x2=diff(fx2,'x2');
for k=1:100
x1=a(k);x2=b(k);e=m(k);
for n=1:100
f1=subs(fx1);
f2=subs(fx2);
f11=subs(fx1x1);
f12=subs(fx1x2);
..........
11
f21=subs(fx2x1);
f22=subs(fx2x2);
if(double(sqrt(f1^2+f2^2))<=0.002)
a(k+1)=double(x1);b(k+1)=double(x2);f0(k+1)=double(subs(f));
break;
else
X=[x1 x2]'-inv([f11 f12;f21 f22])*[f1 f2]';
m(1)=1;c=0.2;a(1)=2;b(1)=-3;
f=x1^2+x2^2-e*(1/(2*x1+x2-2)+1/(1-x1)); f0(1)=15;
fx1=diff(f,'x1');fx2=diff(f,'x2');fx1x1=diff(fx1,'x1');fx1x2=diff(fx1,'x2');fx2x1
最速下降法（负梯度法） Newton法 共轭梯度法 拟Newton法 变尺度法
..........
4
二.有约束问题
（一）罚函数法（SUMT） 1、算法思想： 将有约束优化问题转化为一系列无约束优化问题 进行求解.(Sequential Unconstrained Minimization Technique-SUMT） 2、算法类型： 外点法（外惩法） 内点法（内惩法）
..........
5
3、问题：
..........
6
4.1、外点法（外部惩罚函数法）：
..........
7
外点法框图： k k1
初始x(0) , 1 0, 1 0, k 1
以x(k)为初始点, 解
min f (x) k p(x)
得到 x(k 1)
No
k1 k
k p( x(k1) )
问题的转化技巧（近似为一个无约束规划）.
..........
14
（二）拉格朗日乘子法 （三）可行方向法与广义简约梯度法 （四）SQP方法
..........
15
三.Matlab求解有约束问题
..........
16
运行输出：
x= 24.0000 12.0000 12.0000
fval =
-3.4560e+03
运行输出：
x= 0.2578 0.2578
resnorm = 124.3622
..........
21
Thank you for your attention!
..........
22
s.t. x S0 从x(k )出 发, 求 得 x(k1)
No
k1 k
kq( x(k1) )
yes
停
x(k1) opt
..........
10
内点法的matlab程序：
m=zeros(1,50);a=zeros(1,50);b=zeros(1,50);f0=zeros(1,50);
syms x1 x2 e;
..........
17
（二）非负条件下线性最小二乘lsqnonneg
..........
18
（三）有约束线性最小二乘lsqlin
..........
19
（四）非线性最小二乘lsqnonlin
..........
20
求解x,使得下式最小
e e 10 (2 2k
kx1
kx 2)2
k 1
非线性规划问题的求解方法
..........
1
Content
无约束非线性规划问题 有约束非线性规划问题
Matlab求解有约束非线性规划问题
..........
2
一.无约束问题
• 一维搜索
指寻求一元函数在某区间上的最优值点的方法。这类方法不仅有实用 价值，而且大量多维最优化方法都依赖于一系列的一维最优化。