优化模型的三要素.ppt
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数学建模中的优化模型ppt课件
2
3
4
• 制订月生产计划，使工厂的利润最大.
• 如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆，
那么最优的生产计划应作何改变？ 15
汽车厂生产计划
模型建立
设每月生产小、中、大型 汽车的数量分别为x1, x2, x3
小型 钢材 1.5 时间 280 利润 2
中型 3
250 3
大型 5
400 4
现有量 600 60000
p(t)w(t) p(t)w(t) 4
每天利润的增值 每天投入的资金
保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售
由 S(t,r)=3 若 1.8 w 2.2(10%), 则 7 t 13（30%） 建议过一周后(t=7)重新估计 p, p, w, w, 再作计算。
13
研究 r, g变化时对模型结果的影响 估计r=2， g=0.1
• 设r=2不变
t 3 20 g , 0 g 0.15 g
t 对g的（相对）敏感度 30
t
S(t, g) Δ t / t dt g 20 Δ g / g dg t
S(t, g) 3 3 3 20 g
7
常用优化软件
1. LINGO软件 2. MATLAB优化工具箱 3. EXCEL软件的优化功能 4. SAS(统计分析)软件的优化功能 5. 其他
8
2.简单的优化模型
——生猪的出售时机
问 饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设 题 备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。
市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降 低 0.1元，问生猪应何时出售。
均为整数，重新求解. 17
模型求解 整数规划(Integer Programming,简记IP)
优化模型的三要素
② ③
④
现在我们用Lindo软件来求解这个模型，单击工具栏中的 Lindo求解器运行状态窗口各项的含义
图标，便得到以下运行状态窗口：
名称
Status
含义
显示当前求解状态：Optimal表示已经达到 最优解；其他可能的显示：Feasible， Infeasible，Unbounded
Iterations 显示迭代次数
在这个模型中，对变量x没有非负限制，对y有上限限制，对z有下限 限制；分别用FREE、SBU、SLB三个命令可以实现这些功能。具体输入 如下：
这是一个线性0-1 规划模型，它是一个特 殊的线性整数规划。
Lingo/Lindo软件介绍
这套软件包由美国芝加哥大学的Linus Scharge教
授于1980年前后开发，专门用于求解最优化问题，后 经不断完善和扩充，并成立LINDO公司进行商业化运 作，取得了巨大的成功。全球《财富》杂志500强的企 业中，一半以上使用该公司产品，其中前25强企业中 有23家使用该产品。 该软件包功能强大，版本也很多，而我们 使用的只 是演示版（试用版），演示版与正式版功能基本上是 类似的，只是能够求解问题的规模受到限制，总变量数 不超过30个，这在我们目前的使用过程中，基本上是 足够。
线 性 规 划 模 型
显然，人数应该是正整数，所以
x 0 i 1 , 2 , 7 i
问题归结为在以上约束条件下求解min z的 整数规划模型。由于目标函数和约束条件关于 决策变量都是线性函数，所以这是一个整数向 行规划模型。
线 性 规 划 模 型
例-2 某班准备从5名游泳队员中选择4人组成 接力队，参加学校的4*100混合泳接力比赛。 5名队员4中泳姿的百米平均成绩如下表所示， 问应该如何选拔队员组成接力队？
主成分分析优化模型三要素
主成分分析优化模型三要素
主成分分析（PCA）优化模型的三个要素是：
1. 变量选择：PCA分析是基于协方差矩阵或相关系数矩阵进行的,因此需要根据研究目的和数据类型选择适合的变量。
一般来说,变量数目应该比样本数少,并且变量之间不能存在高度的共线性。
2. 主成分数目选择：主成分数目应该足够大以解释数据的大部分变异,并且足够小以保留数据的主要信息。
一般来说,可以采用Kaiser准则和Scree图两种方法确定主成分数目。
3. 主成分旋转方法选择：主成分旋转是为了将主成分与原始变量联系起来,使得每个主成分都有解释上的可比性。
常用的旋转方法有Varimax、Quartimax、Equamax等方法。
选择旋转方法要基于数据类型和实际需求来进行。
优化模型的三要素
定所有变量非负，也不区分大小写；约束条件中的“>=” 及“<=”可分别用“>”“<”代替；输入的多于空格和回车也 会被忽略；
④ 一行中“！”后面的文字将被认为是说明语句，不参与
模型的建立，主要目的是增加程序的可读性。
现在我们用Lindo软件来求解这个模型，单击工具栏中的
Lindo求解器运行状态窗口各项的含义
型
xij
0,1;
这是一个线性0-1 规划模型，它是一个特 殊的线性整数规划。
Lingo/Lindo软件介绍
➢ 这套软件包由美国芝加哥大学的Linus Scharge教
授于1980年前后开发，专门用于求解最优化问题，后 经不断完善和扩充，并成立LINDO公司进行商业化运 作，取得了巨大的成功。全球《财富》杂志500强的企 业中，一半以上使用该公司产品，其中前25强企业中 有23家使用该产品。
队员
甲
乙
丙
丁
戊
蝶泳 66.8 57.2
78
70
67.4
仰泳 75.6
66
67.8
74.2
71
蛙泳
87
66.4 84.6
69.6
83.8
自由泳 58.6
53
59.4
57.2
62.4
线 性 规
·划
模 型
决策变量：引入0-1变量xij 若选择队员 i 参加泳姿 j
的比赛，记 xij=1，否则记 xij=0.这就是问题的决策变量， 共20个。
•松弛变量的值 【紧约束】
Lingo/Lindo软件介绍 ---Lindo
➢使用Lindo软件的一些注意事项：
① 变量以字母开头、不区分大小写，变量名可不超过8个字符；
④ 一行中“！”后面的文字将被认为是说明语句，不参与
模型的建立，主要目的是增加程序的可读性。
现在我们用Lindo软件来求解这个模型，单击工具栏中的
Lindo求解器运行状态窗口各项的含义
型
xij
0,1;
这是一个线性0-1 规划模型，它是一个特 殊的线性整数规划。
Lingo/Lindo软件介绍
➢ 这套软件包由美国芝加哥大学的Linus Scharge教
授于1980年前后开发，专门用于求解最优化问题，后 经不断完善和扩充，并成立LINDO公司进行商业化运 作，取得了巨大的成功。全球《财富》杂志500强的企 业中，一半以上使用该公司产品，其中前25强企业中 有23家使用该产品。
队员
甲
乙
丙
丁
戊
蝶泳 66.8 57.2
78
70
67.4
仰泳 75.6
66
67.8
74.2
71
蛙泳
87
66.4 84.6
69.6
83.8
自由泳 58.6
53
59.4
57.2
62.4
线 性 规
·划
模 型
决策变量：引入0-1变量xij 若选择队员 i 参加泳姿 j
的比赛，记 xij=1，否则记 xij=0.这就是问题的决策变量， 共20个。
•松弛变量的值 【紧约束】
Lingo/Lindo软件介绍 ---Lindo
➢使用Lindo软件的一些注意事项：
① 变量以字母开头、不区分大小写，变量名可不超过8个字符；
三章优化模型-PPT文档资料153页
乘以图中三角形 A 的面积，缺货损失费是c 3 乘以三角形
面积B , 加上准备费，得一周期内的总费用为
C c 1 c 2 Q T 1 /2 c 3 r T T 1 2 /2 , ⑼
q
则每天的平均费用为
Q
R Ar
B
T1 T
t
C T,Q c1c2Q 2c3rTQ 2. ⑽
法，对⑶式求导，并令其为零:
cTTc12
c2r0. 2
即有:
T2 2c1 ,T 2c1 .
⑷
c2r
c2r
而
Q rT 2c1r .
⑸
c2
将⑷代入到⑶式，得最小的平均费用为
C 2c1c2r.
⑹
⑷，⑸被称为经济订货批量公式（EOQ公式）.
结果解释
由⑷，⑸式可以看到，当 c 1 （准备费用）提高时，生
c22cr1
1/2
1, 2c1c2r
而
c1 c1
c1c2r ,
T 2c1/c2r
2
代入上式，得
sT,c1
dT dc1
c1 T
1. 2
同理可得:
sT,c21 2,sT,r1 2.
即：c 1 每增加 1 % ，T 增加 0 .5 % , c 2 每增加 1 % ，T 减
Q rT rT
由第二个方程, 得
T c2 c3 Q, c3r
再由第一个方程, 得
2 r c 1 c 2 Q 2 r 2 c 3 T 2 c 3 Q 2 0 .
即
T2 2rc1c2 c3Q2,
c3r2
再代入前一式, 有
T 2c1c2c3,Q 2c1c3r .⑾
数学建模最优化模型 ppt课件
output= iterations: 108 funcCount: 202
algorthm: 'Nelder-Mead simplex direct search '
2020/4/13
最优化问题的数学模型
建立数学模型时要尽可能简单，而且要能完整地描述所 研究的系统，具体建立怎样的数学模型需要丰富的经验和熟练 的技巧。即使在建立了问题的数学模型之后，通常也必须对模 型进行必要的数学简化以便于分析、计算。
其中等式（3）、（4）、（5）的右边可选用（1）或（2） 的等式右边.
函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求 目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解.
2020/4/13
MATLAB(wliti1)
例 1 求 x = 2ex sin x 在 0< x <8 中的最小值与最大值.
线性规划 整数规划 非线性规划 动态规划 多目标规划
对策论
2020/4/13
最优化问题的一般算法
最优化问题的一般数学模型
minfx
s.t.
hi x0
i1,2,L,m
(P)
gj(x)0 j1,2,Lp
2020/4/13
整体（全局）最优解：若 x* D，对于一切 x D ，恒有
fx*fx则称 x * 是最优化问题的整体最优解。
2020/4/13
整体最优解
求解 P 的基本方法（迭代算法）：
1 给定一个初始可行点 x0 D；
2 产生可行点 x1，x2，…，xk ，…，记为 xk ；
3 使得或者某个 xk 恰好是问题的一个最优
解，或者该点列xk 收敛到问题的一个最优解 x*。
2020/4/13
algorthm: 'Nelder-Mead simplex direct search '
2020/4/13
最优化问题的数学模型
建立数学模型时要尽可能简单，而且要能完整地描述所 研究的系统，具体建立怎样的数学模型需要丰富的经验和熟练 的技巧。即使在建立了问题的数学模型之后，通常也必须对模 型进行必要的数学简化以便于分析、计算。
其中等式（3）、（4）、（5）的右边可选用（1）或（2） 的等式右边.
函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求 目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解.
2020/4/13
MATLAB(wliti1)
例 1 求 x = 2ex sin x 在 0< x <8 中的最小值与最大值.
线性规划 整数规划 非线性规划 动态规划 多目标规划
对策论
2020/4/13
最优化问题的一般算法
最优化问题的一般数学模型
minfx
s.t.
hi x0
i1,2,L,m
(P)
gj(x)0 j1,2,Lp
2020/4/13
整体（全局）最优解：若 x* D，对于一切 x D ，恒有
fx*fx则称 x * 是最优化问题的整体最优解。
2020/4/13
整体最优解
求解 P 的基本方法（迭代算法）：
1 给定一个初始可行点 x0 D；
2 产生可行点 x1，x2，…，xk ，…，记为 xk ；
3 使得或者某个 xk 恰好是问题的一个最优
解，或者该点列xk 收敛到问题的一个最优解 x*。
2020/4/13
第一讲 优化模型·
• 0-1整数规划
0-1型整数规划
★变量xi 仅取值0或1，这时候 xi 成为0-1变量，或称二进制 变量（Excel中就是称作二进制变量）。 例 某8名实习生, 在生产流水线上按2人一队负责某产 品同一道工序, 共分成四队. 假设8名实习生两两之间组 队的工作效率如下表所示,由于对称性,只列出上三角部 分。为使工作效率最高, 问应如何组队?
1 2 B( b A( aij ) 4 0 i 0 4
1x1 2 x2 8 4 x1 0 x2 16 s.t . 8 0 x 4 x 12 1 2 ) 16 x 、 x 0 12 1 2
Ⅰ 设备 1 Ⅱ 2 8台时
例
一、引入决策变量
16kg 12kg
原材料A 原材料B
4 0
0 4
产品Ⅰ的生产量
x1
产品Ⅱ的生产量 x2
二、确定目标函数
max z 2 x1 3 x2
Ⅰ
设备 原材料A 原材料B 1 4 0
Ⅱ
2 0 4 8台时 16kg 12kg
从而，得到了如下模型：
三、约束条件的确定
优化模型的一般形式
目标
Min(或Max) z f ( x), x ( x1 , x n )T
约束
s.t . gi ( x) 0, i 1, 2,m
决策变量包含在数学表达式中
• 线性规划
线性规划
某工厂要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单 位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如 表所示。该工厂生产一单位产品Ⅰ可获利2元，生产一 单位产品Ⅱ可获利3元，问应如何安排生产，使其获得 最多收益？
ordU( X ) (U ( X 1 ),U ( X 2 ),....,U ( X p ))T s.t. g i ( X ) 0 hj (X ) 0
优化模型.ppt
模型实例: 模型实例:存贮模型
问题
第一讲 简单的优化模型
配件厂为装配线生产若干种产品， 配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。 已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费 件 生产准备费 已知某产品日需求量 元 每日每件1元 试安排该产品的生产计划， 每日每件 元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产 一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。 ），每次产量多少 一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。 不只是回答问题，而且要建立生产周期、 要 不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与 需求量、准备费、贮存费之间的关系。 求 需求量、准备费、贮存费之间的关系。
重点在模型的建立和结果的分析
§2.1
奶制品的生产与销售
空间层次
企业生产计划
工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、 工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等 条件，以最大利润为目标制订产品生产计划； 条件，以最大利润为目标制订产品生产计划； 车间级：根据生产计划、工艺流程、 车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费 用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划。 用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划。 时间层次 若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化， 若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可 制订单阶段生产计划 否则应制订多阶段生产计划。 单阶段生产计划， 制订单阶段生产计划，否则应制订多阶段生产计划。 本节课题
c1 c 2 rT + → Min 求 T 使 C (T ) = T 2
优化模型及求解.ppt
问题） 动态规划（求解多阶段决策问题的最优化方法）
线性规划
线性规划
运筹学中应用最广泛的方法之一
运筹学的最基本的方法之一，网络规划， 整数规划，目标规划和多目标规划都是 以线性规划为基础的
解决稀缺资源最优分配的有效方法，使 付出的费用最小或获得的收益最大
研究对象
有一定的人力、财力、资源条件下，如 何合理安排使用，效益最高
某项任务确定后，如何安排人、财、物， 使之最省
例1、生产问题
A 煤1 劳动日 3 仓库 0 利润 40
B 备用资源
2
30
2
60
2
24
50
A, B各生产多少, 可获最大利润?
解:设产品A, B产量分别为变量x1 ， x2 x1 + 2x2 30 3x1 + 2x2 60 2x2 24 x1，x2 0
线性规划的一般式
max(min)Z=C1X1+ C2X2+…+CnXn
a11X1+ a12X2+…+ a1nXn (=, )b1 a21X1+ a22X2+…+ a2nXn (=, )b2
……… am1X1+ am2X2+…+ amnXn (=, )bm Xj 0(j=1,…,n)
隐含的假设
比例性：决策变量变化引起目标的改变量 与决策变量改变量成正比
可加性：每个决策变量对目标和约束的影 响独立于其它变量
连续性：每个决策变量取连续值
确定性：线性规划中的参数aij , bi , ci为
确定值
线性规划的求解软件
LINDO LINGO () Matlab Excel
线性规划
线性规划
运筹学中应用最广泛的方法之一
运筹学的最基本的方法之一，网络规划， 整数规划，目标规划和多目标规划都是 以线性规划为基础的
解决稀缺资源最优分配的有效方法，使 付出的费用最小或获得的收益最大
研究对象
有一定的人力、财力、资源条件下，如 何合理安排使用，效益最高
某项任务确定后，如何安排人、财、物， 使之最省
例1、生产问题
A 煤1 劳动日 3 仓库 0 利润 40
B 备用资源
2
30
2
60
2
24
50
A, B各生产多少, 可获最大利润?
解:设产品A, B产量分别为变量x1 ， x2 x1 + 2x2 30 3x1 + 2x2 60 2x2 24 x1，x2 0
线性规划的一般式
max(min)Z=C1X1+ C2X2+…+CnXn
a11X1+ a12X2+…+ a1nXn (=, )b1 a21X1+ a22X2+…+ a2nXn (=, )b2
……… am1X1+ am2X2+…+ amnXn (=, )bm Xj 0(j=1,…,n)
隐含的假设
比例性：决策变量变化引起目标的改变量 与决策变量改变量成正比
可加性：每个决策变量对目标和约束的影 响独立于其它变量
连续性：每个决策变量取连续值
确定性：线性规划中的参数aij , bi , ci为
确定值
线性规划的求解软件
LINDO LINGO () Matlab Excel
数学建模之优化模型PPT课件
（二）优化模型的分类
1.根据是否存在约束条件 有约束问题和无约束问题。
2.根据设计变量的性质 静态问题和动态问题。
3.根据目标函数和约束条件表达式的性质 线性规划，非线性规划，二次规划，多目标规划等。
第3页/共29页
（1）非线性规划
目标函数和约束条件中，至少有一个非线性函数。
minu f (x) x
配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生 产不同的部件时因更换设备要付生产准备费 （与生产数量无关），同一部件的产量大于需 求时因积压资金、占用仓库要付存贮费。今已 知某一部件的日需求量100件，生产准备费5000 元，存贮费每日每件1元。如果生产能力远大于 需求，并且不允许出现缺货，试安排该产品的 生产计划，即多少天生产一次（称为生产周 期），每次产量多少，可使总费用最小。
由相对变化量衡量对参数的敏感程度。
T 对c1 的敏感程度记为 S(T, c1) 2
S(T , c1)
T c1
T c1
dT d c1
c1 T
1 2
c2r c1 1 2c1 T 2
c2r
1
1
S (T , c2 ) 2
S(T , r) 2
第19页/共29页
S (T , c1)
1 2
S
(T
,
一 优化模型的一般意义
（一）优化模型的数学描述
将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数
u f ( x) x (x1, x2, x3,...,xn ) 在约束条件 hi (x) 0,i 1,2,...,m.
和 gi (x) 0(gi (x) 0),i 1,2,...,p.
下的最大值或最小值，其中
工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用； 车间一次加工出一批零件，供装配线每天生产之用； 商店成批购进各种商品，放在货柜里以备零售； 水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和发电。
简单的优化模型ppt
混合优化
将不同方法和技术结合起来，形成混合优 化算法，以应对更复杂的问题。
多目标优化
研究如何处理多个相互冲突的目标，寻求 整体最优解。
鲁棒优化
针对不确定性因素，研究如何设计具有鲁 棒性的优化模型，提高决策的稳健性。
约束优化
在满足一定约束条件下，寻找最优解决方 案。
THANKS
调度优化
针对不同的生产或服务场景，优化 各项任务的执行顺序和时间安排， 提高生产效率和服务质量。
路径规划
在地图或网络上规划最优路径，使 得行驶时间、距离或成本等指标最 优。
金融优化
运用数学方法和计算机技术，对金 融投资组合进行优化，以实现最大 收益或最小风险。
最优化的前景展望
算法改进
不断探索新的优化算法，提高求解大规模 或复杂问题的能力。
投资组合优化
03
整数规划模型可以用于优化投资组合，以实现最小化风险或最
大化收益的目标。
04
简单的非线性规划模型
非线性规划模型概述
定义
非线性规划模型是一类在目标函数或者约 束条件中含有非线性关系的优化问题，通 常可以用来解决一些较为复杂的优化问题 。
VS
分类
根据不同的分类标准，非线性规划可以分 为多种类型，如多极值问题、有约束和无 约束问题等。
共轭梯度法是一种利用共轭方向进行迭代的 求解方法，具有较好的收敛性能。
非线性规划模型的实际应用
电力系统规划
生产计划问题
投资组合问题
信号处理问题
非线性规划模型可以应用于电力 系统规划中，求解最优潮流、最 优调度等问题。
非线性规划模型可以应用于生产 计划问题中，求解资源分配、生 产调度等问题。
非线性规划模型可以应用于投资 组合问题中，求解最优资产配置 、最大收益等问题。
优化模型的三要素课件
优化模型的三要素课 件
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 优化模型概述 • 优化模型的三个要素 • 优化模型的求解方法 • 优化模型的应用领域
01
优化模型概述
定义与特点
定义
优化模型是一种数学工具，用于 解决具有约束条件和目标函数的 决策问题，旨在寻找最优解。
实际问题的需求和限制。
选择原则
在选择决策变量时，需要遵循问 题实际、合理、可行的原则，确 保决策变量能够反映问题的本质
和特征。
01
优化模型的求解方 法
解析法
01
02
03
04
解析法是一种通过数学解析的 方式来求解优化问题的方法。
ห้องสมุดไป่ตู้
它通常适用于具有简单、凸或 凹的特性，且可以轻易找到解
析解的问题。
解析法包括了许多不同的技术 ，如梯度下降法、牛顿法等。
特点
优化模型具有抽象性、系统性、 动态性和复杂性等特点，能够描 述和解决实际生活中的各种问题 。
优化模型的重要性
实际应用
优化模型在各个领域都有广泛的应用 ，如经济、金融、物流、生产计划、 交通运输等，对于提高效率和降低成 本具有重要意义。
决策支持
优化模型可以为决策者提供科学依据 和最优方案，帮助决策者做出更加明 智和合理的决策。
01
优化模型的应用领 域
生产计划优化
生产计划优化是优化模型在生产领域的应用，旨在提高生产效率和降低生产成本。
通过合理安排生产计划，优化模型可以帮助企业实现资源的高效利用，减少生产过 程中的浪费和冗余。
生产计划优化通常需要考虑生产能力、市场需求、库存管理等多个因素，以制定出 最优的生产计划方案。
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 优化模型概述 • 优化模型的三个要素 • 优化模型的求解方法 • 优化模型的应用领域
01
优化模型概述
定义与特点
定义
优化模型是一种数学工具，用于 解决具有约束条件和目标函数的 决策问题，旨在寻找最优解。
实际问题的需求和限制。
选择原则
在选择决策变量时，需要遵循问 题实际、合理、可行的原则，确 保决策变量能够反映问题的本质
和特征。
01
优化模型的求解方 法
解析法
01
02
03
04
解析法是一种通过数学解析的 方式来求解优化问题的方法。
ห้องสมุดไป่ตู้
它通常适用于具有简单、凸或 凹的特性，且可以轻易找到解
析解的问题。
解析法包括了许多不同的技术 ，如梯度下降法、牛顿法等。
特点
优化模型具有抽象性、系统性、 动态性和复杂性等特点，能够描 述和解决实际生活中的各种问题 。
优化模型的重要性
实际应用
优化模型在各个领域都有广泛的应用 ，如经济、金融、物流、生产计划、 交通运输等，对于提高效率和降低成 本具有重要意义。
决策支持
优化模型可以为决策者提供科学依据 和最优方案，帮助决策者做出更加明 智和合理的决策。
01
优化模型的应用领 域
生产计划优化
生产计划优化是优化模型在生产领域的应用，旨在提高生产效率和降低生产成本。
通过合理安排生产计划，优化模型可以帮助企业实现资源的高效利用，减少生产过 程中的浪费和冗余。
生产计划优化通常需要考虑生产能力、市场需求、库存管理等多个因素，以制定出 最优的生产计划方案。
相关主题
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性
优化模型
规
决策变量：记周一到周日每天聘用的人数分别为X1，
划
X2，X3，X4，X5，X6 ，X7，这就是问题的决策变量。
模
目标函数：目标函数即是聘用总人数，即
型
z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
约束条件：由每天需要的人数确定。由于每人连续
工作五天，所以一周的雇员应该是周四到周一聘用的， 按照需要至少50人，于是
优化模型
优化模型的三要素
（1）决策变量，通常是某一问题需要求解的未知量，
用n维向量x= x1 ,x2 ,L xn T 表示，当对x赋值后它通常
称为该问题的一个解；
（2）目标函数，通常是某一问题需要优化（最大或 最小）的那个目标的数学表达式，它是决策变量x的 函数，可以 抽象的记作f ( x )；
（3）约束条件，由该问题对决策变量的现实条件给 出，即x允许的取值范围为x ，称为可行域，常
用一组关于x的等式hi( x ) 0i 1,2,L m和（或）不 等式g j( x ) 0 j 1,2,L n来界定，分别称为等式约
束和不等式约束。
于是，优化模型从数学上可以表述为
方案。显然这不是解决问题的最好方法，随着问题
线
规模的变大，穷举法的计算量是无法接受的。
性
可以用0-1变量表示一个队员是否入选接力队， 从而建立这个问题的0-1规划模型.
规
记甲、乙、丙、丁、戊分别为队员 i=1，2，3，4，5；
划
记蝶泳、仰泳、蛙泳、自由泳分别为泳姿 j=1，2，3，
模
4；记队员 i 的第 j 种泳姿的百米成绩为 cij（s），则表 一可以表示成为：
ai xi
bi , bi
, bi ,
形 式
xi 0,i 1,2,...,n
（2）二次规划问题
常
目标函数为二次函数，约束条件为线性约束。
用 的
n
1n
min f
x
i 1
ci xi
2
i,
bij
j 1
xi
x
j
优 化 模 型 形 式
n
ai xi bi , bi
划
x3 x4 x5 x6 x7 90
模
显然，人数应该是正整数，所以
型
xi 0 i 1, 2,L 7
问题归结为在以上约束条件下求解min z的 整数规划模型。由于目标函数和约束条件关于 决策变量都是线性函数，所以这是一个整数向 行规划模型。
例-2 某班准备从5名游泳队员中选择4人组成
两个约束条件：
① 每人最多只能入选4种泳姿之一，即对于员 i=1，2，3，
x1 x4 x5 x6 x7 50
类似的，有
x1 x2 x5 x6 x7 50
x1 x2 x3 x6 x7 50
线 性 规
x1 x2 x3 x4 x7 50 x1 x2 x3 x4 x5 80 x2 x3 x4 x5 x6 90
型
表二 ：5名队员4中泳姿百米平均成绩
队员
甲
乙
丙
丁
戊
蝶泳 66.8 57.2
78
70
67.4
仰泳 75.6
66
67.8
74.2
71
蛙泳
87
66.4 84.6
69.6
83.8
自由泳 58.6
53
59.4
57.2
62.4
线 性 规
·划
模 型
决策变量：引入0-1变量xij 若选择队员 i 参加泳姿 j
opt z f ( x )
（1）
s. t. h( x ) 0 i 1,2,L ,2,L ,n （3）
这里opt 最优化的意思，可以是min（求极大， 即minamize的缩写）或max （求极小，即minamize 的缩写）的两者之一；s.t. （即subject to）“受约 束于”之意。
接力队，参加学校的4*100混合泳接力比赛。
5名队员4中泳姿的百米平均成绩如下表所示，
线
问应该如何选拔队员组成接力队？
性
规
表一 ：5名队员4中泳姿百米平均成绩
划
队员
甲
乙
丙
丁
戊
模
蝶泳 1’06”8 57”2 1’18” 1’10” 1’07”4
型
仰泳 1’15”6 1’06” 1’07”8 1’14”2 1’11”
蛙泳 1’27” 1’06”4 1’24”6 1’09”6 1’23”8
自由泳 58”6
53”
59”4
57”2 1’02”4
问题分析：问题要求从5名队员中选出4人组成接
力队，每人一种泳姿，且四人的泳姿各不相同，使
接力队成绩最好。容易想到穷举法，组成接力队的
方案有5！=120中，逐一计算并做比较即可找出最优
, bi .
s
.t
.
i 1
xi
0.
i, j 1,2,...,n.
例-1 某服务部门一周中每天需要不同数目的
雇员：周一到周四每天至少需要50人，周五
需要80人，周六和周日需要90人。现规定应
聘者需连续工作5天，试确定聘用方案，即周
线
一到周日每天聘用多少人，是5在满足需要的 前况下聘用总人数最少？
3.此外，为了解决实际问题的需要，还可以分为： 单目标规划，多目标规划，动态规划，多层规划等。
（1）线性规划（LP）的一般形式
常
目标函数和所有的约束条件都是变量的线性 函数。
用
n
的 min f x ci xi , i 1,2,...,n
优
i 1
化 模 型
n
s.t. i1
的比赛，记 xij=1，否则记 xij=0.这就是问题的决策变量， 共20个。
目标函数：当队员队员 i 入选泳姿 j 的比赛时，
cij xij表示他的成绩，否则cij xij=0。于是接力队的成绩
可以表示为：
45
f
cij xij
j1 i1
约束条件：根据组成接力队的要求， xij 应该满足下面
优化模型基本类型
1.决策变量x的所有分量xi均为连续数值
a）f ,hi ,gi都是线性函数，则为线性规划（LP） b）f ,hi ,gi至少有一个是非线性，则为非线性规划（NLP）
c） f 是二次函数,hi ,gi 都是线性，则为二次规划（QP）
2.决策变量x的的一个或多个分量xi取离散值
a） x的至少一个分量只取整数数值，则为整数规划（IP） b） x的分量限定只取整数0或1，则为0-1规划（ZOP）