数据结构(树)
数据结构树知识点总结图
数据结构树知识点总结图一、树的定义树是一种抽象的数据结构，它是由n（n≥0）个节点组成的有限集合，其中一个节点被指定为根节点，其他节点被划分为m（m≥0）个互不相交的子集T1、T2、...、Tm，每个子集本身又是一棵树。
树的定义可以用递归方式来描述，即树是由一个根节点和若干颗子树组成的。
其中，根节点没有父节点，每个子树的根节点都是父节点的孩子节点。
二、树的特点1. 树是一种层次结构：树中的节点可以分层次地组织，也就是包含父子关系。
根节点是树的第一层，它的子节点是树的第二层，以此类推。
2. 树是一种非线性结构：树中的节点之间的关系是非线性的，每个节点可以有多个子节点，但只有一个父节点。
3. 树是一种递归结构：树的定义中包含了对子树的定义，因此树是一种递归结构，通过递归的方式可以方便地对树进行操作。
4. 树是一种有序结构：树中的节点之间存在明确定义的顺序关系，因此可以用来表示有序集合。
三、树的基本操作1. 树的创建：创建一棵树需要先创建根节点，然后在根节点上添加子节点，逐层递归地创建子树。
2. 树的遍历：树的遍历是指按照一定顺序访问树中的每个节点，常见的遍历方式包括前序遍历、中序遍历、后序遍历和层序遍历。
3. 树的查找：树的查找是指在树中查找指定的节点，包括广度优先搜索（BFS）和深度优先搜索（DFS）两种方式。
4. 树的插入：树的插入是指将新节点插入到树中的指定位置，可以在根节点或指定节点的子节点上进行插入操作。
5. 树的删除：树的删除是指将指定节点从树中删除，可以删除叶子节点、中间节点或整棵子树。
6. 树的修改：树的修改是指对树中的节点进行数值或结构的改变，包括修改节点的值、替换子树等操作。
四、常见类型的树1. 二叉树（Binary Tree）：每个节点最多含有两个子节点的树，包括普通二叉树、满二叉树和完全二叉树等。
2. 平衡二叉树（Balanced Binary Tree）：每个节点的左子树和右子树的高度差不超过1的二叉树。
关于数据结构树的举例
关于数据结构树的举例
树是一种常见的数据结构，它有根节点、子节点和叶节点组成。
树的一个重要特点是它可以表达具有层次结构的数据。
以下是一些关于数据结构树的举例：
1. 二叉树：每个节点最多有两个子节点的树结构。
一种常见的应用是二叉搜索树，其中左子节点的值小于父节点的值，右子节点的值大于父节点的值。
2. AVL树：一种自平衡二叉搜索树，用于解决普通二叉搜索
树可能导致的不平衡问题。
AVL树通过旋转操作来使树保持
平衡。
3. 红黑树：另一种自平衡二叉搜索树，也用于解决二叉搜索树可能导致的不平衡问题。
红黑树通过颜色标记节点并进行旋转操作来保持平衡。
4. B树：一种用于在外部存储中组织大量数据的数据结构。
B
树具有多个子节点和键值对，并且在每个节点上有更多的子节点，以减少I/O操作。
5. 堆：一种特殊的树结构，用于快速访问最大或最小元素。
在大根堆中，父节点的值大于或等于子节点的值；在小根堆中，父节点的值小于或等于子节点的值。
6. 树状数组：一种特殊的树结构，用于高效地进行前缀和查询和更新操作。
树状数组通常用于解决区间求和等相关问题。
7. Trie树：一种用于存储和搜索字符串的数据结构。
Trie树逐
个字符存储字符串，并通过每个节点的子节点表示不同的字符。
这些只是数据结构树的一些常见例子，还有许多其他类型的树结构可用于各种应用。
数据结构树的知识点总结
数据结构树的知识点总结一、树的基本概念。
1. 树的定义。
- 树是n（n ≥ 0）个结点的有限集。
当n = 0时，称为空树。
在任意一棵非空树中：- 有且仅有一个特定的称为根（root）的结点。
- 当n>1时，其余结点可分为m（m>0）个互不相交的有限集T1、T2、…、Tm，其中每个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（sub - tree）。
2. 结点的度、树的度。
- 结点的度：结点拥有的子树个数称为结点的度。
- 树的度：树内各结点的度的最大值称为树的度。
3. 叶子结点（终端结点）和分支结点（非终端结点）- 叶子结点：度为0的结点称为叶子结点或终端结点。
- 分支结点：度不为0的结点称为分支结点或非终端结点。
- 除根结点之外，分支结点也称为内部结点。
4. 树的深度（高度）- 树的层次从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推。
树中结点的最大层次称为树的深度（或高度）。
二、二叉树。
1. 二叉树的定义。
- 二叉树是n（n ≥ 0）个结点的有限集合：- 或者为空二叉树，即n = 0。
- 或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。
2. 二叉树的特点。
- 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点。
- 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。
3. 特殊的二叉树。
- 满二叉树。
- 一棵深度为k且有2^k - 1个结点的二叉树称为满二叉树。
满二叉树的特点是每一层上的结点数都是最大结点数。
- 完全二叉树。
- 深度为k的、有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时，称之为完全二叉树。
完全二叉树的叶子结点只可能在层次最大的两层上出现；对于最大层次中的叶子结点，都依次排列在该层最左边的位置上；如果有度为1的结点，只可能有一个，且该结点只有左孩子而无右孩子。
三、二叉树的存储结构。
1. 顺序存储结构。
- 二叉树的顺序存储结构就是用一组地址连续的存储单元依次自上而下、自左至右存储完全二叉树上的结点元素。
数据结构练习题--树(题)
第六章树一．名词解释：1 树 2。
结点的度 3。
叶子 4。
分支点 5。
树的度6．父结点、子结点 7兄弟 8结点的层数 9树的高度 10 二叉树11 空二叉树 12 左孩子、右孩子 13孩子数 14 满二叉树 15完全二叉树16 先根遍历 17 中根遍历 18后根遍历 19二叉树的遍历 20 判定树21 哈夫曼树二、填空题1、树（及一切树形结构）是一种“________”结构。
在树上，________结点没有直接前趋。
对树上任一结点X来说，X是它的任一子树的根结点惟一的________。
2、一棵树上的任何结点（不包括根本身）称为根的________。
若B是A的子孙，则称A是B的________3、一般的，二叉树有______二叉树、______的二叉树、只有______的二叉树、只有______ 的二叉树、同时有______的二叉树五种基本形态。
4、二叉树第i(i>=1)层上至多有______个结点。
5、深度为k(k>=1)的二叉树至多有______个结点。
6、对任何二叉树，若度为2的节点数为n2，则叶子数n0=______。
7、满二叉树上各层的节点数已达到了二叉树可以容纳的______。
满二叉树也是______二叉树，但反之不然。
8、具有n个结点的完全二叉树的深度为______。
9、如果将一棵有n个结点的完全二叉树按层编号，则对任一编号为i(1<=i<=n)的结点X有：（1）若i=1,则结点X是______；若i〉1,则X的双亲PARENT(X)的编号为______。
（2）若2i>n，则结点X无______且无______；否则，X的左孩子LCHILD(X)的编号为______。
（3）若2i+1>n，则结点X无______；否则，X的右孩子RCHILD(X)的编号为______。
10.二叉树通常有______存储结构和______存储结构两类存储结构。
11.每个二叉链表的访问只能从______结点的指针，该指针具有标识二叉链表的作用。
数据结构第七章 树和森林
7.5 树的应用
➢判定树
在实际应用中，树可用于判定问题的描述和解决。
•设有八枚硬币，分别表示为a，b，c，d，e，f，g，h，其中有一枚且 仅有一枚硬币是伪造的，假硬币的重量与真硬币的重量不同，可能轻， 也可能重。现要求以天平为工具，用最少的比较次数挑选出假硬币， 并同时确定这枚硬币的重量比其它真硬币是轻还是重。
的第i棵子树。 ⑺Delete（t，x，i）在树t中删除结点x的第i棵子树。 ⑻Tranverse（t）是树的遍历操作，即按某种方式访问树t中的每个
结点，且使每个结点只被访问一次。
7.2.2 树的存储结构
顺序存储结构 链式存储结构 不管哪一种存储方式，都要求不但能存储结点本身的数据 信息，还要能够唯一的反映树中各结点之间的逻辑关系。 1.双亲表示法 2.孩子表示法 3.双亲孩子表示法 4.孩子兄弟表示法
21
将二叉树还原为树示意图
A BCD
EF
A
B
C
E
D
F
A
B
C
E
D
F
22
练习：将下图所示二叉树转化为树
1 2
4
5
3
6
2 4
1 53
6
23
7.3.2 森林转换为二叉树
由森林的概念可知，森林是若干棵树的集合，只要将森林中各棵树 的根视为兄弟，森林同样可以用二叉树表示。 森林转换为二叉树的方法如下：
⑴将森林中的每棵树转换成相应的二叉树。 ⑵第一棵二叉树不动，从第二棵二叉树开始，依次把后一棵二叉树 的根结点作为前一棵二叉树根结点的右孩子，当所有二叉树连起来 后，此时所得到的二叉树就是由森林转换得到的二叉树。
相交的集合T1，T2，…，Tm，其中每一个集合Ti（1≤i≤m）本身又是 一棵树。树T1，T2，…，Tm称为这个根结点的子树。 • 可以看出，在树的定义中用了递归概念，即用树来定义树。因此， 树结构的算法类同于二叉树结构的算法，也可以使用递归方法。
数据结构3(树形结构)
递归定义 二叉树是由“根节点”、“左子树”和“右子树” 三部分构成，则遍历二叉树的操作可分解 为“访问根节点”、“遍历左子树”和“遍历右 子树”三个子操作。 因此，不难得到三种遍历的递归定义：
– 先序遍历：访问根节点；先序遍历左子树；先序遍历 右子树； – 中序遍历：中序遍历左子树；访问根节点；中序遍历 右子树； – 后序遍历：后序遍历左子树；后序遍历右子树；访问 根节点。
二叉树的存储结构：链式存储结构（1）
typedef struct BiTNode { Lchild data Rchild ElemType data; struct BiTNode *Lchild, *Rchild; // 左、右孩子指针 } *BiTree;
二叉树的存储结构：链式存储结构（2） 上面链式结构只能从根向下找，无法直接获 得节点的父节点
– 启示：给定任意两种遍历序列，唯一确定这棵树。
先序遍历：递归伪代码
template<class T> void BinaryTree<T>::PreOrder(BinaryTreeNode<T>*root)｛ if(root!=NULL){ Visit(root); //访问根节点 PreOrder(root->leftchild()); //访问左子树 PreOrder(root->rightchild());//访问右子树 } ｝ 注：Visit(root)是个抽象操作，实际上，“访问”可以在该节点 上做任何操作。
中序遍历：递归伪代码
template<class T> void BinaryTree<T>::PreOrder(BinaryTreeNode<T>*root)｛ if(root!=NULL){ PreOrder(root->leftchild()); //访问左子树 Visit(root); //访问根节点 PreOrder(root->rightchild());//访问右子树 } ｝
数据结构的树的定义
数据结构的树的定义哎呀呀，同学们，你们知道啥是数据结构里的树吗？这玩意儿可神奇啦！就像我们在公园里看到的大树一样，数据结构里的树也有它自己的“枝干”和“叶子”。
比如说，公园里的大树有粗壮的树干，从树干上又分出好多树枝，树枝上再长满了叶子。
那数据结构里的树呢，也有一个“根节点”，就好比大树的树干，然后从根节点伸展出好多“子节点”，就像树枝一样。
我给你们举个例子吧。
想象一下，我们班要组织一次活动，我是活动的组织者，那我就是这个“树”的根节点。
然后呢，我找了几个同学帮忙，比如小明负责准备道具，小红负责安排场地，小李负责通知大家，那他们就是我的子节点。
小明又找了几个同学帮忙一起准备道具，那这几个同学就是小明这个节点的子节点。
这是不是就像一棵树呀？从一个根开始，不断地往外分支。
再比如说，一个家族的族谱也像是一棵树。
最上面的老祖宗就是根节点，然后他的孩子们就是子节点，孩子们又有自己的孩子，一代一代的，是不是特别像一棵树在不断地生长，开枝散叶？你们想想，如果没有这种像树一样的结构，那得多乱呀！就像我们的书包，如果没有分层，所有东西都混在一起，找起来得多麻烦！那树这种结构有啥好处呢？比如说，我们要找一个东西，就很方便呀。
就像在一棵苹果树上找一个最大最红的苹果，我们顺着树枝找，很快就能找到。
在数据结构里也是这样，能快速准确地找到我们想要的信息。
而且树的结构还很节省空间呢！不像把东西随便堆在一起，占了好多地方。
哎呀，这么一讲，是不是觉得数据结构里的树特别有趣？反正我是觉得太有意思啦！它让复杂的东西变得简单又有条理，难道不是吗？我觉得呀，了解数据结构里的树，能让我们更好地处理各种信息，就像有了一把神奇的钥匙，能打开好多知识的大门！。
数据结构(树)习题与答案
一、单选题1、树最适合用来表示（）。
A.元素之间具有分支层次关系的数据B.有序数据元素C.元素之间无联系的数据D.无序数据元素正确答案：A2、在树结构中，若结点A有三个兄弟，且B是A的双亲，则B的度是（）。
A.5B.4C.3D.2正确答案：B3、下列陈述中正确的是（）。
A.二叉树是度为2的有序树B.二叉树中结点只有一个孩子时无左右之分C.二叉树中每个结点最多只有两棵子树，并且有左右之分D.二叉树中必有度为2的结点正确答案：C4、设深度为h的二叉树中只有度为0和度为2的结点，则此类二叉树中所包含结点数至少为（）。
A.2h-1B.2h+1C.h+1D.2h正确答案：A解析： A、除根之外，每层只有两个结点，且互为兄弟。
5、设深度为h的二叉树中只有度为0和度为2的结点，则此类二叉树中所包含结点数至多为（）。
A.2h-1B. 2h+1-1C. 2h-1-1D. 2h+1正确答案：A解析： A、构成完全二叉树。
6、具有n(n>0)个结点的完全二叉树的深度为（）。
A.⌊ log2(n)⌋ +1B.⌈log2(n)⌉C.⌊ log2(n)⌋D.⌈log2(n)+1⌉正确答案：A7、具有32个结点的完全二叉树有（）个叶子结点。
A.16B.14C.15D.17正确答案：A解析： A、对结点按层序编号，32号结点的双亲结点编号为16，则17至32号结点都为叶子，共16个。
8、一棵完全二叉树的第6层上有23个叶子结点，则此二叉树最多有（）结点。
A.81B.78C.80D.79正确答案：A解析： A、完全二叉树的叶子结点只能在最下两层，要使结点最多，这棵二叉树深度为7，前6层结点数共为63，第6层有32个结点，其中叶子为23个，非叶子为9个，它们的度都为2，第7层只有18个结点，故整棵二叉树结点数为81.9、具有3个结点的二叉树有（）种。
A.6B.3C.5D.4正确答案：C10、若一棵二叉树有9个度为2的结点，5个度为1的结点，则叶子结点的个数为（）。
树和叉树(数据结构)
第六章树和二叉树 6.1树（tree）的概念在日常生活中，可以见到很多情形可以归结为树结构。
如：家族谱系、行政管理机构、DOS和Windows 磁盘文件管理系统等。
我们讨论的树和自然界的树在生长方向上正好相反，它是倒长的树，即根朝上，枝干和叶子朝下。
例1：某家族谱系的一部分例2：国家行政管理机构的一部分例3：DOS和Windows磁盘文件的一部分C:\TC20VC6.0数据结构课件数据结构讲稿第一章第二章……MyTc程序Tc1Tc2……MyVc程序Vc1Vc2……树是一种层次结构，属于非线性结构。
我们学过的线性表可以灵活组织数据，但它受到线性结构的限制，表达层次结构不太方便。
6.1.1树的定义·树T是n（n≥0）个结点的有限集合。
它满足：(1)仅有一个特定的结点，称为根（root）结点;(2)其余结点分为m(m≥0)个互不相交的非空有限集合T,1,T2,……,T m,其中每个集合自身又是一棵树，称为根的子树（subtree）。
·为了表述方便，把没有结点的树称为空树。
·树的定义具有递归性：即一棵树是由根及若干棵子树构成的，而子树又是由根及若干棵子树构成的，……。
表达树的方法通常有4种：树形、凹入、集合和广义表(1) 树形表示法AB C DE F G H(2)凹入表示法ABCEFDGH(3)集合嵌套表示法A○E C○F○G D○H B(4)广义表表示法T(A(B,C(E,F),D(G,H)))6.1.3 树的基本术语为了对树的形态表述清楚和形象，通常引用树和人的特征及术语来描述。
（1）结点和树的度（degree）结点所拥有的子树的个数称为该结点的度，而树中各结点的度的最大值称为该树的度。
AB C DE F G H如：·结点B、E、F、G和H的度数是0·结点C和D的度数都是2·结点A的度数是3；显然3也是树的度数（2）叶子（leaf）结点和分支结点度为0的结点称为叶子结点（终端结点）；度不为0的结点称为分支结点（非终端结点）。
数据结构(树和二叉树)练习题与答案1
1、树最适合用来表示（）。
A.元素之间无联系的数据B.元素之间具有层次关系的数据C.无序数据元素D.有序数据元素正确答案：B2、现有一“遗传”关系，设x是y的父亲，则x可以把他的属性遗传给y。
表示该遗传关系最适合的数据结构为（）。
A.线性表B.树C.数组D.图正确答案：B3、一棵节点个数为n、高度为h的m（m≥3）次树中，其分支数是（）。
A.n+hB.h-1C.n-1D.nh正确答案：C4、若一棵3次树中有2个度为3的节点，1个度为2的节点，2个度为1的节点，该树一共有（）个节点。
A.11B.5C.8D.10正确答案：A解析： A、对于该3次树，其中有n3=2，n2=1，n1=2，总分支数=总度数=n-1，总度数=1×n1+2×n2+3×n3=10，则n=总度数+1=11。
5、设树T的度为4，其中度为1、2、3、4的节点个数分别为4、2、1、1，则T中的叶子节点个数是（）。
A.6B.8C.7D.5正确答案：B解析： B、这里n1=4，n2=2，n3=1，n4=1，度之和=n-1=n1+2n2+3n3+4n4=15，所以n=16，则n0=n-n1-n2-n3-n4=16-8=8。
6、有一棵三次树，其中n3=2，n2=1，n0=6，则该树的节点个数为（）。
A.9B.12C.大于等于9的任意整数D.10正确答案：C解析： C、n=n0+n1+n2+n3=6+n1+1+2=9+n1。
7、假设每个节点值为单个字符，而一棵树的后根遍历序列为ABCDEFGHIJ，则其根节点值是（）。
A.JB.BC.以上都不对D.A正确答案：A8、一棵度为5、节点个数为n的树采用孩子链存储结构时，其中空指针域的个数是（）。
A.4nB.4n-1C.4n+1D.5n正确答案：C解析： C、总指针数=5n，非空总指针数=分支数=n-1，空指针域的个数=5n-(n-1)=4n+1。
9、有一棵三次树，其中n3=2，n2=2，n1=1，该树采用孩子兄弟链存储结构时，则总的指针域数为（）。
数据结构树的逻辑表示方法
数据结构树的逻辑表示方法数据结构树是一种以分层的方式，将数据组织成树形结构的一种数据结构。
它由一个或多个节点组成，每个节点包含一个数据元素和若干指向其他节点的指针。
树的逻辑表示方法主要包括，孩子兄弟表示法、双亲表示法和邻接表表示法。
孩子兄弟表示法是一种常用的表示树的方法。
它通过将每个节点分别表示为一个数据元素和两个指针，分别指向该节点的第一个孩子和该节点的下一个兄弟节点。
这样，可以有效地表示一棵树，且插入和删除节点的操作也相对较为简单。
例如，假设有以下一棵树：A/ \B C/ \D E可以使用孩子兄弟表示法表示为：节点A：数据元素为A，指针1指向节点B，指针2指向节点C。
节点B：数据元素为B，指针1指向节点D，指针2指向节点E。
节点C：数据元素为C，指针1为空，指针2为空。
节点D：数据元素为D，指针1为空，指针2为空。
节点E：数据元素为E，指针1为空，指针2为空。
这样，通过孩子兄弟表示法，我们可以方便地表示并操作这棵树。
双亲表示法是另一种常见的表示树的方法。
它通过定义一个数组，数组的下标表示节点的编号，数组的值表示节点的父节点的编号。
通过这种方式，可以快速地找到一个节点的父节点。
例如，假设有以下一棵树：A(0)/ \B(1) C(2)/ \D(3) E(4)可以使用双亲表示法表示为一个数组：[0, 0, 1, 1, 2]数组的下标表示节点的编号，数组的值表示节点的父节点的编号。
例如，第一个值0表示节点A的父节点是根节点，第二个值0表示节点B的父节点是根节点，以此类推。
通过双亲表示法，可以快速地找到一个节点的父节点，但是找到一个节点的子节点和兄弟节点则相对较为困难。
邻接表表示法是另一种常用的表示树的方法。
它通过使用链表来表示树中的每个节点，并使用一个数组来存储每个节点的指针。
数组的下标表示节点的编号，数组的值表示节点的指针所指向的链表。
例如，假设有以下一棵树：A(0)/ \B(1) C(2)/ \D(3) E(4)可以使用邻接表表示法表示为一个数组和链表：数组：[A, B, C, D, E]链表：[B -> D -> E, C, NULL, NULL, NULL]数组存储着每个节点的指针，链表存储着每个节点的子节点。
《数据结构——C语言描述》第6章：树
先根遍历: -+a*b–cd/ef 中根遍历: a+b*c–d–e/f 后根遍历: abcd-*+ef/-
typedef struct Node { datatype data; struct Node *Lchild; struct Node *Rchild; } BTnode,*Btree;
满二叉树：一棵深度为k且有2k-1个结 点的二叉树称为满二叉树。 完全二叉树：深度为k，有n个结点的 二叉树当且仅当其每一个结点都与深度 为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一 对应时，称为完全二叉树。
1 2 4 8 9 10 5 11 12 6 13 14 3 7 15 4 6 2
1 3 5 7
树的度：树中最大的结点的度数即为 树的度。图6.1中的树的度为3。 结点的层次(level)：从根结点算起， 根为第一层，它的孩子为第二层……。 若某结点在第l层，则其孩子结点就在 第l+1层。图6.1中，结点A的层次为1， 结点M的层次为4。 树的高度(depth)：树中结点的最大层 次数。图6.1中的树的高度为4。 森林(forest)：m(m≥0)棵互不相交的 树的集合。
数据结构实验报告-树(二叉树)
实验5：树（二叉树）（采用二叉链表存储）一、实验项目名称二叉树及其应用二、实验目的熟悉二叉树的存储结构的特性以及二叉树的基本操作。
三、实验基本原理之前我们都是学习的线性结构，这次我们就开始学习非线性结构——树。
线性结构中结点间具有唯一前驱、唯一后继关系，而非线性结构中结点的前驱、后继的关系并不具有唯一性。
在树结构中，节点间关系是前驱唯一而后继不唯一，即结点之间是一对多的关系。
直观地看，树结构是具有分支关系的结构（其分叉、分层的特征类似于自然界中的树）。
四、主要仪器设备及耗材Window 11、Dev-C++5.11五、实验步骤1.导入库和预定义2.创建二叉树3.前序遍历4.中序遍历5.后序遍历6.总结点数7.叶子节点数8.树的深度9.树根到叶子的最长路径10.交换所有节点的左右子女11.顺序存储12.显示顺序存储13.测试函数和主函数对二叉树的每一个操作写测试函数，然后在主函数用while+switch-case的方式实现一个带菜单的简易测试程序，代码见“实验完整代码”。
实验完整代码：#include <bits/stdc++.h>using namespace std;#define MAX_TREE_SIZE 100typedef char ElemType;ElemType SqBiTree[MAX_TREE_SIZE];struct BiTNode{ElemType data;BiTNode *l,*r;}*T;void createBiTree(BiTNode *&T){ElemType e;e = getchar();if(e == '\n')return;else if(e == ' ')T = NULL;else{if(!(T = (BiTNode *)malloc(sizeof (BiTNode)))){cout << "内存分配错误!" << endl;exit(0);}T->data = e;createBiTree(T->l);createBiTree(T->r);}}void createBiTree2(BiTNode *T,int u) {if(T){SqBiTree[u] = T->data;createBiTree2(T->l,2 * u + 1);createBiTree2(T->r,2 * u + 2); }}void outputBiTree2(int n){int cnt = 0;for(int i = 0;cnt <= n;i++){cout << SqBiTree[i];if(SqBiTree[i] != ' ')cnt ++;}cout << endl;}void preOrderTraverse(BiTNode *T) {if(T){cout << T->data;preOrderTraverse(T->l);preOrderTraverse(T->r);}}void inOrderTraverse(BiTNode *T) {if(T){inOrderTraverse(T->l);cout << T->data;inOrderTraverse(T->r);}}void beOrderTraverse(BiTNode *T){if(T){beOrderTraverse(T->l);beOrderTraverse(T->r);cout << T->data;}}int sumOfVer(BiTNode *T){if(!T)return 0;return sumOfVer(T->l) + sumOfVer(T->r) + 1;}int sumOfLeaf(BiTNode *T){if(!T)return 0;if(T->l == NULL && T->r == NULL)return 1;return sumOfLeaf(T->l) + sumOfLeaf(T->r);}int depth(BiTNode *T){if(!T)return 0;return max(depth(T->l),depth(T->r)) + 1;}bool LongestPath(int dist,int dist2,vector<ElemType> &ne,BiTNode *T) {if(!T)return false;if(dist2 == dist)return true;if(LongestPath(dist,dist2 + 1,ne,T->l)){ne.push_back(T->l->data);return true;}else if(LongestPath(dist,dist2 + 1,ne,T->r)){ne.push_back(T->r->data);return true;}return false;}void swapVer(BiTNode *&T){if(T){swapVer(T->l);swapVer(T->r);BiTNode *tmp = T->l;T->l = T->r;T->r = tmp;}}//以下是测试程序void test1(){getchar();cout << "请以先序次序输入二叉树结点的值，空结点用空格表示:" << endl; createBiTree(T);cout << "二叉树创建成功!" << endl;}void test2(){cout << "二叉树的前序遍历为:" << endl;preOrderTraverse(T);cout << endl;}void test3(){cout << "二叉树的中序遍历为:" << endl;inOrderTraverse(T);cout << endl;}void test4(){cout << "二叉树的后序遍历为:" << endl;beOrderTraverse(T);cout << endl;}void test5(){cout << "二叉树的总结点数为：" << sumOfVer(T) << endl;}void test6(){cout << "二叉树的叶子结点数为：" << sumOfLeaf(T) << endl; }void test7(){cout << "二叉树的深度为：" << depth(T) << endl;}void test8(){int dist = depth(T);vector<ElemType> ne;cout << "树根到叶子的最长路径:" << endl;LongestPath(dist,1,ne,T);ne.push_back(T->data);reverse(ne.begin(),ne.end());cout << ne[0];for(int i = 1;i < ne.size();i++)cout << "->" << ne[i];cout << endl;}void test9(){swapVer(T);cout << "操作成功!" << endl;}void test10(){memset(SqBiTree,' ',sizeof SqBiTree);createBiTree2(T,0);cout << "操作成功!" << endl;}void test11(){int n = sumOfVer(T);outputBiTree2(n);}int main(){int op = 0;while(op != 12){cout << "-----------------menu--------------------" << endl;cout << "--------------1：创建二叉树--------------" << endl;cout << "--------------2：前序遍历----------------" << endl;cout << "--------------3：中序遍历----------------" << endl;cout << "--------------4：后序遍历----------------" << endl;cout << "--------------5：总结点数----------------" << endl;cout << "--------------6：叶子节点数--------------" << endl;cout << "--------------7：树的深度----------------" << endl;cout << "--------------8：树根到叶子的最长路径----" << endl;cout << "--------------9：交换所有节点左右子女----" << endl;cout << "--------------10：顺序存储---------------" << endl;cout << "--------------11：显示顺序存储-----------" << endl;cout << "--------------12：退出测试程序-----------" << endl;cout << "请输入指令编号:" << endl;if(!(cin >> op)){cin.clear();cin.ignore(INT_MAX,'\n');cout << "请输入整数!" << endl;continue;}switch(op){case 1:test1();break;case 2:test2();break;case 3:test3();break;case 4:test4();break;case 5:test5();break;case 6:test6();break;case 7:test7();break;case 8:test8();break;case 9:test9();break;case 10:test10();break;case 11:test11();break;case 12:cout << "测试结束!" << endl;break;default:cout << "请输入正确的指令编号!" << endl;}}return 0;}六、实验数据及处理结果测试用例：1.创建二叉树（二叉链表形式）2.前序遍历3.中序遍历4.后序遍历5.总结点数6.叶子结点数7.树的深度8.树根到叶子的最长路径9.交换所有左右子女10.顺序存储七、思考讨论题或体会或对改进实验的建议通过这次实验，我掌握了二叉树的顺序存储和链式存储，体会了二叉树的存储结构的特性，掌握了二叉树的树上相关操作。
数据结构 树
(a)一般二叉树 数组 下标
(b)完全二叉树
A
0
B
1
C
2
Λ D
3 4
E
5
Λ Λ Λ F
6 7 8 9
Λ Λ G
10 11 12
25
（c)在数组中的存储形式
链式存储结构
二叉树的链式存储结构是指用链表的形式来存储二叉 树，即用指针来指示元素之间的逻辑关系。最常用的有二 叉链表和三叉链表。 1. 二叉链表存储 每个结点由三个域组成，一个数据域和两个指针域。 两个指针lchild和rchild分别指向其左孩子和右孩子结点。
（1）访问根结点；
（2）先序遍历根结点的左子树； （3）先序遍历根结点的右子树。
31
（二）中序遍历二叉树的递归算法为： 若二叉树为空，则算法结束；否则： (1）中序遍历根结点的左子树； （2）访问根结点； （3）中序遍历根结点的右子树。
（三）后序遍历二叉树的递归算法为： 若二叉树为空，则算法结束；否则： （1）后序遍历根结点的左子树； （2）后序遍历根结点的右子树；
lchild
data
rchild
结点结构描述为： typedef struct BiTNode{ ElemType data; /*数据域*/ struct BiTNode *lchild, *rchild; /*左右指针域*/ }BTNode;
26
2. 三叉链表存储
每个结点由四个域组成，具体结构如图6-6所示：
lchild
左孩子
data
数据
parent rchild
双亲 右孩子
typedef struct BiTNode{ ElemType data; /*数据域*/ struct BiTNode *lchild, *rchild,*parent; /*左、右及双亲指针域*/ }BTNode_p;
第四篇 数据结构-树
第十章非线性结构—树和图第九章讨论的线性表（包括栈、队列、与串）属于线性结构。
在这种结构中，不管其存储方式如何，数据元素的逻辑位置之间呈线性关系，每一个数据元素通常只有一个前件（除第一个元素外）和一个后件（除最后一个元素外）。
在实际生活中，可以用线性结构描述数据元素之间逻辑关系的问题是很广泛的，但也有很多问题不能依靠线性结构来解决，因此在这类问题中，数据元素间的逻辑关系不能用线性结构明确、方便地描述出来。
一般来说，至少存在一个结点（数据元素）有多于一个前件或后件的数据结构称为非线性结构。
具有非线性结构特征的数据结构有两种1.⑴树2.⑵图§10.1 树例如某学校试图将学生成绩表中的百分制成绩转换成五个等级，其中成绩0～59分为不及格，60～69分为及格，70～79分为中，80～89分为良，90～100分为优。
现有n个学生的百分制成绩，如何将他们的成绩转换成五级分制。
下图揭示了一个百分制成绩的判定转换过程。
对于这样一张简单的表，已经不能用线性结构来表示。
因为表中数据元素可能有两个后件，它们之间的关系已经不是线性的了。
上图中所示的表是一个非线性结构。
由该图可以看出，虽然每一个结点可能有多个后件，但它们的前件却只有一个（第一个结点无前件）。
这种非线性结构称为树，树表示了数据元素之间的层次关系，而这种层次关系仿佛像一棵倒长的树。
下面讨论树的基本概念，其中重点讨论的是二叉树。
一、.树的概念1、树的定义树是一种常见的非线性的数据结构。
树的递归定义如下：树是n(n>0)个结点的有限集，这个集合满足以下条件：⑴有且仅有一个结点没有前件（父亲结点），该结点称为树的根；⑵除根外，其余的每个结点都有且仅有一个前件；⑶除根外，每一个结点都通过唯一的路径连到根上。
这条路径由根开始，而未端就在该结点上，且除根以外，路径上的每一个结点都是前一个结点的后件（儿子结点）；由上述定义可知，树结构没有封闭的回路。
下图给出了树的几个示例：2、结点的分类在树中，一个结点包含一个元素以及所有指向其子树的分支。
常见基本数据结构——树，二叉树，二叉查找树，AVL树
常见基本数据结构——树，⼆叉树，⼆叉查找树，AVL树常见数据结构——树处理⼤量的数据时，链表的线性时间太慢了，不宜使⽤。
在树的数据结构中，其⼤部分的运⾏时间平均为O(logN)。
并且通过对树结构的修改，我们能够保证它的最坏情形下上述的时间界。
树的定义有很多种⽅式。
定义树的⾃然的⽅式是递归的⽅式。
⼀棵树是⼀些节点的集合，这个集合可以是空集，若⾮空集，则⼀棵树是由根节点r以及0个或多个⾮空⼦树T1,T2,T3,......,Tk组成，这些⼦树中每⼀棵的根都有来⾃根r的⼀条有向的边所连接。
从递归的定义中，我们发现⼀棵树是N个节点和N-1条边组成的，每⼀个节点都有⼀条边连接⽗节点，但是根节点除外。
具有相同⽗亲的节点为兄弟，类似的⽅法可以定义祖⽗和孙⼦的关系。
从节点n1到nk的路径定义为节点n1，n2，...，nk的⼀个序列，并且ni是ni+1的⽗亲。
这个路径的长是路径上的边数，即k-1。
每个节点到⾃⼰有⼀条长为0的路径。
⼀棵树从根到叶⼦节点恰好存在⼀条路径。
对于任意的节点ni，ni的深度为从根到ni的唯⼀路径长。
ni的⾼是从ni到⼀⽚叶⼦的最长路径的长。
因此，所有的树叶的⾼度都是0，⼀棵树的⾼等于它的根节点的⾼。
⼀棵树的深度总是等于它最深叶⼦的深度；该深度等于这棵树的⾼度。
树的实现实现树的⼀种⽅法可以是在每⼀个节点除数据外还要有⼀些指针，使得该节点的每⼀个⼉⼦都有⼀个指针指向它。
但是由于每个节点的⼉⼦树可以变化很⼤⽽且事先不知道，故在各个节点建⽴⼦节点的链接是不可⾏的，这样将会浪费⼤量的空间。
实际的做法很简单：将每个节点的所有⼉⼦都放在树节点的链表中。
下⾯是典型的声明：typedef struct TreeNode *PtrToNodestruct TreeNode{ ElementType Element; PtrToNode FirstChild; PtrToNode NextSibling}下⾯是⼉⼦兄弟表⽰法的图⽰：树的遍历及应⽤⼀个常见的使⽤是操作系统中的⽬录结构。
数据结构 第六章-树
20
A B C D
E
F
G H
I J
A
E F H
G
B C
D A
I J
A
B C F
E H
G
B C D F
E G H I J
21
I
D
J
5. 二叉树转换成树和森林
二叉树转换成树 1. 加线：若p结点是双亲结点的左孩子，则将p的右孩 子，右孩子的右孩子，……沿分支找到的所有右孩 子，都与p的双亲用线连起来 2. 抹线：抹掉原二叉树中双亲与右孩子之间的连线 3. 调整：将结点按层次排列，形成树结构7Fra bibliotek6.3.2
树和森林的存储结构
树的存储结构有很多，既可以采用顺序存储结构， 也可以采用链式存储结构。但无论采用哪种存储方式， 都要求存储结构不仅能存储各结点本身的数据信息，还 要能惟一地反映树中各结点之间的逻辑关系。 双亲表示法 孩子链表表示法 孩子兄弟表示法
8
1.双亲表示法 除根外，树中的每个结点都有惟一的一个双亲结点，所以可以用一 组连续的存储空间存储树中的各结点。一个元素表示树中一个结点， 包含树结点本身的信息及结点的双亲结点的位臵。 A B E F C G H D I
}CTBox;
//树结构 typedef struct {CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE]; int n, r; }Ctree
12
3. 孩子-兄弟表示法（树的二叉链表）
孩子兄弟表示法用二叉链表作为树的存储结构。将树中的多支关系用 二叉链表的双支关系体现。 ※ 结点的左指针指向它的第一个孩子结点
//孩子结点结构 typedef struct CTNode
1 2 3 4 5 6
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A. 48B.49C. 50D. 51
5、已知二叉树的先根遍历序列是ABCDEF，中根遍历序列是CBAEDF，则后根遍历序列是A。
A. CBEFDAB. FEDCBAC. CBEDFAD.不定
6、具有10个叶结点的二叉树中有B个度为2的结点。
A. 8B.9C. 10D. 11
15、两个二叉树是等价的，则它们满足D。
A.它们都为空B.它们的左右子树都具有相同的结构
C.它们对应的结点包含相同的信息D. A、B和C
16、包含n个元素的堆的高度为C。（符号「a表示取不小a最小整数）
A. nB.「log2nC.「log2(n+1)D. n+1
17、以下说法错误的是B。
A.存在这样的二叉树，对其采用任何次序的遍历其结点访问序列均相同
14、设二叉树的中根序列为ABCDEFG，后根序列为BDCAFGE。则该二叉树的先根序列为
EGCBDGF。该二叉树对应的森林中包含2棵树。
15、先根次序遍历森林等同于按先根遍历对应的二叉树，后根次序遍历森林等同与按中根遍历对应的二叉树。
16、一棵哈夫曼树有19个结点，则其叶子结点的个数为10。
17、设有数据WG={7, 19, 2, 6, 32, 3, 21, 10}叶节点权重集合，则所构建哈夫曼树的高是6，带权路径长度WPL为261。
3、含有4个度为2的结点和5个叶子结点的完全二叉树，有1个度为1的结点。
4、具有100个结点的完全二叉树的叶子结点数为50。
5、在用左右链表示的具有n个结点的二叉树中，共有2n个指针域，其中n-1个指针域用于指向其左右孩子，剩下的n+1个指针域是空的。
6、如果一颗完全二叉树的任意一个非终结结点的元素都大于等于其左儿子结点和右儿子结点(如果有的话)的元素，则称此完全二叉树为最大堆。
11、树的表示方法包括数组、邻接表和左右链。
12、表达式(a+b*(c-d))-e/f的波兰式(前缀式)是-+a*b-cd/ef，逆波兰式(后缀式)是abcd-*+e/f-。
13、设F是由T1、T2、T3三棵树组成的森林，与F对应的二叉树为B。已知T1, T2, T3的结点数分别为n1, n2和n3，则二叉树B的左子树中有n1-1个结点，二叉树B的右子树中有n2+n3个结点。
7、一棵非空二叉树的先序遍历序列与后序遍历序列正好相反，则该二叉树一定满足B。
A.所有非叶结点均无左孩子B.所有非叶结点均无右孩子
C.只有一个叶子结点D. A和B同时成立
8、在线索二叉树中，t所指结点没有左子树的充要条件是D。
A. t->left=NULLB. t->ltag=TRUE
C. t->ltag=TRUE且t->left=NULLD.以上都不对
A. 5B.6C. 7D. 8
22、设森林F中有三棵树，第一、第二、第三棵树的结点个数分别为M1, M2, M3。与森林F对应的二叉树根结点的右子树上的结点个数为D。
A. M1-1B. M1+M2C. M2D. M2+M3
23、若以二叉树的任一结点出发到根的路径上所经过的结点序列按其关键字有序，则该二叉树是C。
A.二叉排序树B.哈夫曼树C.堆D.线索二叉树
24、用5个权值{3, 2, 4, 5, 1}构造的哈夫曼树的带权路径长度是C。
A. 32B.33C. 34D. 15
二、填空题
1、一棵二叉树有67个结点，结点的度是0和2。问这棵二叉树中度为2的结点有33个。
2、含A, B, C三个结点的不同形态的二叉树有0棵。
A.先根序列B.中根序列C.后根序列D.层次序列
20、将一棵树转换为二叉树后，这颗二叉树的形态是B。
A.唯一的，根结点没有左孩子B.唯一的，根结点没有右孩子
C.有多种，根结点都没有左孩子D.有多种，根结点都没有右孩子
21、设树T的度为4，其中度为1, 2, 3, 4的结点个数分别为4, 2, 1, 1，则T中的叶结点的个数为D。
9、n个结点的线索二叉树上含有的线索数为C。
A. 2nB. n-1C. n+1D. n
10、二叉树按照某种顺序线索化后，任一结点都有指向其前驱和后继的线索，这种说法B。
A.正确B.错误C.不确定D.都有可能
11、具有n(n>1)个结点的完全二叉树中，结点i(2i>n)的左孩子结点是D。
A. 2iB. 2i+1C. 2i-1D.不存在
数据结构与算法上机作业
第三章树
一、选择题
1、在一棵树中，如果结点A有3个兄弟，B是A的双亲，则B的度为D
A. 1B.2C. 3D. 4
2、深度为h的完全二叉树至少有D个结点，至多有B个结点
A. 2hB. 2h-1C. 2h+1D. 2h-1
3、具有n个结点的满二叉树有C个叶结点。
A. n/2B. (n-1)/2C. (n+1)/2D. n/2+1
7、堆是一种特殊形式的完全二叉树二叉树，对于最大堆而言，其根结点的元素的值应该是所有结点元素中最大的的。
8、二叉树的复制是指按照一棵已知的二叉树复制一个副本，使两者等价。复制二叉树最长用的方法是后根遍历递归算法。
9、在定义堆时，通常采用数组方式定义相应的二叉树，这样可以很容易实现其相关操作。
10、在构建选择树时，根据孩子结点的获胜者确定他们双亲结点所得到的选择树称为胜者树。根据孩子结点的失败者确定他们双亲结点所得到的选择树称为败者树。
12、具有64个结点的完全二叉树的深度为C。
A. 5B. 6C.7D. 8
13、将一颗有100个结点的完全二叉树从上到下、从左到右一次对结点进行编号，根结点的编号为1，则编号为45的结点的右孩子的编号为D。
A. 46B.47C. 90D. 91
14、在结点数为n的堆中插入一个结点时，复杂度为C。
A. O(n)B. O(n2)C. O(log2n)D. O(ogn2)
B.二叉树是树的特殊情形
C.由树转换成二叉树，其根结点的右子树总是空的
D.在二叉树中只有一棵子树的情形下，也要指出是左子树还是右子树
18、设F是一个森林，B是由F变换得到的二叉树。若F中有n个非终端结点，则B中没有右孩子的结点有C个。
A. n-1B. nC. n+1D. n+2
19、将一棵树T转换为二叉树B，则T的后根序列是B的B。