3.2 简单的三角恒等变换 学案(含答案)

3.2 简单的三角恒等变换学案（含答案）

3.2简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换学习目标

1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.

2.了解三角恒等变换的特点.变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.

3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简.求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用知识点一半角公式

sin21cos2，cos21cos2，tan21cos1cossin1cos1cossin.思考半角公式对任意角都适用吗答案不是，要使得式子有意义的角才适用知识点二

辅助角公式辅助角公式asinxbcosxa2b2sinx.其中tanba1若k，kZ，则tan2sin1cos1cossin恒成立2辅助角公式asinxbcosxa2b2sinx，其中所在的象限由a，b的符号决定，与点a，b同象限3sinx3cosx2sinx6.提示

sinx3cosx212sinx32cosx2sinx3.题型一应用半角公式求值例1已知sin45，523，求cos2和tan

2.考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值解sin45，且523，cos1sin23

5.54232，cos21cos255.tan2sin1cos

2.反思感悟利用半角公式求值的思路1看角若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角

公式求解2明范围由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围3选公式涉及半角公式的正切值时，常用tan2sin1cos1cossin，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦.余弦值时，常先利用sin221cos2，cos221cos2计算4下结论结合2求值跟踪训练1已知cos33，为第四象限角，则tan2的值为________考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值答案262解析方法一用tan21cos1cos来处理因为为第四象限角，所以2是第二或第四象限角所以tan

20.所以tan21cos1cos133133231284312622262.方法二

用tan21cossin来处理因为为第四象限角，所以sin0.所以sin1cos211363.所以tan21cossin13363262.方法三

用tan2sin1cos来处理因为为第四象限角，所以sin0.所以sin1cos211363.所以tan2sin1cos63133633262.题型二三角函数式的化简例2化简2cos212tan4sin24.考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值解

2cos212tan4sin24cos22cos4sin4sin24cos2sin22cos2cos2

1.反思感悟三角函数式化简的要求.思路和方法1化简的要求能求出值的应求出值尽量使三角函数种数最少尽量使项数最少尽量使分母不含三角函数尽量使被开方数不含三角函数2化简的思路对于和式，基本思路是降次.消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二

倍角公式的逆用另外，还可以用切化弦.变量代换.角度归一等方法跟踪训练2化简1sincossin2cos222cos0考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值解原式

2sin222sin2cos2sin2cos222sin222sin2sin2cos2sin2cos22sin2s in2sin22cos22sin2sin2cossin2.因为0，所以220，所以sin20，cos21cos263.2已知sin35，372，则tan2的值为A3B3

C.13D13考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值答案B解析372，sin35，cos45，tan2sin1cos

3.3已知2sin1cos，则tan2等于

A.12

B.12或不存在C2D2或不存在考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值答案B解析2sin1cos，即

4sin2cos22cos22，当cos20时，tan2不存在，当cos20时，

tan21

2.4化简2sin21cos2cos2cos2的结果为AtanBtan2C1D2考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值答案B解析原式2sin22cos2cos2cos2tan

2.5使函数fxsin2x3cos2x为奇函数的的一个值是

A.6

B.3

C.2

D.23考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用辅助角公式化简求值答案D解析fxsin2x3cos2x2sin2x3.当23时，

fx2sin2x2sin2x是奇函数6已知在ABC中，

sinAcos2C2sinCcos2A232sinB，求证sinAsinC2sin

B.考点三角恒等式的证明题点三角恒等式的证明证明由sinAcos2C2sinCcos2A232sinB，得

sinA1cosC2sinC1cosA232sinB，即sinAsinCsinAcosCsinCcosA3sinB，sinAsinCsinAC3sinB，sinAsinCsinB3sinB，即sinAsinCsinB3sinB，sinAsinC2sin

B.1学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式2辅助角公式asinxbcosxa2b2sinx，其中满足与点a，b同象限；tanba或sinba2b2，cosaa2b2.3研究形如fxasinxbcosx的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一对一些特殊的系数a，b应熟练掌握，例如sinxcosx2sinx4；sinx3cosx2sinx3等