北师大二附文科学霸高中数学笔记_数系的扩充与复数的引入_2015高考状元笔记
高中数学 第四章 数系的扩充 复数的概念知识归纳素材 北师大版选修1-2(1)
复数的概念知识归纳1虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即 21i =-;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2 i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i3 i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n=1 4复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示*3 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式4 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数05复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C6 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小 也只有当两个复数全是实数时才能比较大小7 复平面、实轴、虚轴：点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应这就是复数的一种几何意义也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.2.1复数的加法与减法笔记全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特
即：两个复数和（或差）仍是复数，它实部是原
来两个复数实部和（或差），它虚部是原来两个 复数虚部和（或差）.
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例题分析
例1 计算： (1) (5 3i) (2 4i) (2) ( 3 i) (2 3 4i)
例3
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分析： 因为复数与复平面内向量是一一对应，所
以复数和差几何意义为：
z1 z2 表示以 O Z 1 , O Z 2 为邻边平行四边形 对角线 OZ所对应复数.
z1 z2 表示以 O Z 1 , O Z 2 为邻边平行四边形 另一对角线 Z2Z1(注意终点指向)所对应复数.
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解：由复数和差几何意义，可得：
z 1 z 2 2 z 1 z 2 2 2 ( z 1 2 z 2 2 ) 因为 z 1 z 2 2 2 , z 1 3 , z 2 2 ，
所以 原式 2.
练习
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3. 计算：
( 2 3i) ( 3 2i ) [( 3 2i) ( 3 2i)]
4. x, y是实数，求值：
(2x 3 yi) (2x 2 yi)
(1 2i) (2 3i) (3 4i) (2002 2003i)
思索
加法交换率和结合率是否适合用于复
数加法？
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解：
(1)原式 (5 2) (3 4)i 3 i;
(2)原式 3 3 5i;
(3)原式 (2 3) (11)i 1 2i;
(4)原式 18i.
例2
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解一： 分析：
复数加减法公式适合用于任意个复数相加减.
原式 (12342003) (2 345 2003 2004)i
4-4第四节 数系的扩充与复数的引入(2015年高考总复习)
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(2)在复平面内，复数 6＋5i，－2＋3i 对应的点分别为 A，B， 若 C 为线段 AB 的中点，则点 C 对应的复数是( A．4＋8i C．2＋4i B．8＋2i D．4＋i )
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(3)已知复数 z1＝cos23° ＋isin23° 和复数 z2＝cos37° ＋isin37° ， 则 z1 · z2 为( 1 3 A.2＋ 2 i 1 3 C.2－ 2 i ) 3 1 B. 2 ＋2i 3 1 D. 2 －2i
(2)几何意义： 复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法 则进行． 如右图给出的平行四边形 OZ1ZZ2 可以直观地反映出复数加减
→ → → → → → OZ2－OZ1 OZ1＋OZ2 ，Z1Z2＝____________. 法的几何意义，即OZ＝____________
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高考这样考 1.考查复数的基本概念，复数相等的条件．
2.考查复数的代数形式的运算，复数的几何意义.
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备考这样做 1.要理解复数的相关概念如实部、 虚部、 纯虚数、 共轭复数等， 以及复数的几何意义． 2.要把复数的基本运算作为复习的重点， 尤其是复数的四则运 算与共轭复数的性质等．因考题较容易，所以重在练基础.
高二数学北师大版选修2-2 数系的扩充与复数的引入 章末复习总结 课件 (25张)
5．求复平面上的点的轨迹问题通常有两种途径：一是设z ＝x＋yi(x，y∈R)，依据条件转化为关于x与y的方程，从而得出 所求轨迹．二是结合“基本轨迹方程”，充分考虑复数的整体 性，运用条件及有关性质，探求轨迹上的点所对应的复数所具 有的特征及满足的方程(代入法是求轨迹时常用的思想方法)．
复数的基本概念 复数的概念是掌握复数的基础，要认清复数的类型与复数 相等的充要条件，以便于快速准确的解题．
[解析] z
2
(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，若 即b＝0，故z是实数，A正确．若z2<0，
ab＝0， ≥0，则 2 2 a － b ≥0，
ab＝0， 则 2 2 a －b <0，
a＝0， 即 b≠0，
故B正确．若z是虚数，则b≠0，z2＝
a2－b2＋2abi无法与0比较大小，故C是假命题．若z是纯虚数，
a＝0， 则 b≠0，
z2＝－b2<0，故D正确．
(2)复数z＝(5＋2i)2＝21＋20i，其实部是21. 103＋i 10 (3)a－ ＝a－ ＝a－(3＋i)＝(a－3)－i，其为纯 3－i 3－i3＋i 虚数得a＝3.
3．复数相等的充要条件是复数问题实数化的理论依据． 4．复数的模是复数的一个重要概念，也是高考重点考察的 对象之一．求复数的模的最值时，常用的方法有：(1)设出代数 形式，利用求模公式，把模表示成实数范围的函数，然后利用 函数来求最值；(2)利用不等式||z1|－|z2||≤|z1± z2|≤|z1|＋|z2|求解； (3)利用几何法求解．
例1 题是(
(1)[2013· 陕西高考]设z是复数，则下列命题中的假命 )
A．若z2≥0，则z是实数 B．若z2<0，则z是虚数 C．若z是虚数，则z2≥0 D．若z是纯虚数，则z2<0
高中数学北师大版 选修1-2 数系的扩充和复数的概念
自然数（正整数与零）
引入负整数
整数
解方程x+3=1
N
引入分数
解方程3 x=5
有理数
Z
引入无理数
实数
Q
解方程x2=2
R
可以发现数系的每一次扩充，解决了在原有数集中某种运算不能 实施的矛盾，且原数集中的运算规则在新数集中得到了保留。
问 题1：
一元二次方程 x2 1 0 ，有没有实数根？
类比每一次数系的扩充过程，我们能否引 进一个新数，将实数集进行扩充，使得在 新的数集中，该问题能得到解决呢？
平面内所对应的点位于第二象限，求实
数m允许的取值范围.
解
：
由 m m
2 2
m m
6 2
0 0
得
m
3 2
m 或
2 m
1
m ( 3, 2 ) (1,2 )
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满
在象限的问题
足的不等式组的问题
(几何问题)
(代数问题)
一种重要的数学思想：数形结合思想
非纯虚数 (a 0，b 0)
虚 数 集复数集C
纯虚数集
实数集R
4、复数相等
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就
说这两个复数相等．即如果 a, b, c, d R，那么
a bi c di a c,b d
a bi 0 a 0,b 0
复数不一定能比较大小.
口答
1.若2-3i=a-3i，求实数a的值； 2.若8+5i=8+bi，求实数b的值；
(1)m 1; (2)m 1; (3)m 2.
例3. 设x，y∈R，并且 (2x 1) i y (3 y)i
数学北师版选修22第五章1数系的扩充与复数的引入
数学北师版选修22第五章1数系的扩充与复数的引入 学习目的 重点难点 1.了解数系的扩大进程，体会实践需求与数学外部的矛盾在数系扩大中的作用．2．能说出双数的有关概念及两双数相等的充要条件．3．了解复平面的概念，了解并掌握双数的几何意义. 重点：双数的概念及代数方式，双数的几何意义． 难点：双数相等的充要条件，双数几何意义的运用.平方等于－1的数用符号______表示，规则________，我们把______叫作虚数单位．形如________的数叫作双数(a ，b 是实数，i 是虚数单位)．a 与b 区分叫作双数的______与______．依据双数a ＋b i 中a ，b 的取值不同，双数可以有以下的分类：双数a ＋b i ⎩⎨⎧ 实数( )虚数( )⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数( )非纯虚数( )双数的全体组成的集合叫作________，记作C ，显然________．预习交流1议一议：你能用Venn 图表示双数集、实数集、虚数集与纯虚数集之间的关系吗？2．双数的有关概念两个双数a ＋b i 与c ＋d i 相等，当且仅当它们的________与________区分相等，记作a ＋b i ＝c ＋d i.即a ＋b i ＝c ＋d i 当且仅当________．当用直角坐标平面内的点来表示双数时，我们称这个直角坐标平面为________，x 轴称为________，y 轴称为________．双数集C 和复平面内一切的点构成的集合是________的，即任一个双数z ＝a ＋b i 与复平面内的点________是对应的．点Z 到原点的________|OZ |叫作双数z 的模或相对值，记作________，显然________．两个双数普通__________，但__________它们模的大小．预习交流2想一想：引进虚数单位之后，两数还能比拟大小吗？答案：预习导引1．i i 2＝－1 i a ＋bi 实部 虚部 b ＝0 b ≠0 a ＝0 a ≠0 双数集 R C 预习交流1：提示：双数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如以下图所示：2．实部 虚部 a ＝c ，且b ＝d 复平面 实轴 虚轴 逐一对应 Z (a ，b ) 距离 |z | |z |＝a 2＋b 2 不能比拟大小 可以比拟预习交流2：提示：两个双数不全是实数时不能比拟大小，只能说相等或不相等．假定两个双数都是实数那么可以比拟大小．两个双数可以比拟它们模的大小．一、双数的概念及分类实数k 为何值时，双数(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 区分是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．思绪剖析：依据双数的有关概念停止求解．双数z ＝(m 2－2m －8)＋(m 2－3m －4)i 为纯虚数，那么实数m 的值为( )．A ．m ＝4B ．m ＝－2C ．m ＝－1D ．m ≠－1且m ≠4研讨一个双数在什么状况下是实数，虚数或纯虚数时，首先要保证这个双数的实部、虚部有意义．关于纯虚数，除了虚部不为0外，勿忘实部必需为零．二、双数相等2x －1＋(y ＋1)i ＝x －y ＋(－x －y )i ，务实数x ，y 的值．思绪剖析：应用双数相等的性质，列出方程组，再解方程组．假定a i ＋2＝b －i(a ，b ∈R )，i 为虚数单位，那么a 2＋b 2＝( )．A ．0B ．2 C.52 D ．5两个双数相等时，应分清两双数的实部和虚部，然后让其实部和虚部区分相等，列出方程组求解．假定z ＝x ＋y i ＝a ＋b i ，未说明x ，y ，a ，b 为实数时，就不能这样处置．三、双数的几何意义假定双数z ＝(m －2)＋m i 的模等于2，务实数m 的值．思绪剖析：应用双数模的定义求解．z 1＝2－2i ，|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．双数的模表示该双数在复平面内对应的点到原点的距离，因此|z 1－z 2|表示z 1，z 2两双数表示的两点之间的距离．答案：活动与探求1：解：z ＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i ，(1)当k 2－5k －6＝0时，z ∈R ，即k ＝6，或k ＝－1.(2)当k 2－5k －6≠0时，z 是虚数，即k ≠6，且k ≠－1.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0时，z 是纯虚数，解得k ＝4. (4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0时，z ＝0，解得k ＝－1. 综上所述：当k ＝6，或k ＝－1时，z 是实数；当k ≠6，且k ≠－1时，z 是虚数；当k ＝4时，z 是纯虚数；当k ＝－1时，z ＝0.迁移与运用：B 解析：当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －8＝0，m 2－3m －4≠0时，z 为纯虚数，解得m ＝－2. 活动与探求2：解：∵x ，y 为实数，(2x －1)＋(y ＋1)i ＝(x －y )＋(－x －y )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＝x －y ，y ＋1＝－x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.迁移与运用：D 解析：∵a i ＋2＝b －i(a ，b ∈R )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，∴a 2＋b 2＝(－1)2＋22＝5. 活动与探求3：解：由题意得(m －2)2＋m 2＝2， 即2m 2－4m ＋4＝4，解得m ＝2或0.即实数m 的值为0或2.迁移与运用：解：z 对应的点可看成以原点为圆心，以1为半径的圆O ，而z 1对应的点是Z 1(2，－2)， ∴|z －z 1|就是点Z 1(2，－2)到圆O 上点的距离，∴|z －z 1|的最大值为|OZ 1|＋1＝22＋1.1．假定双数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，那么实数x 的值为( )．A ．－1B ．0C ．1D ．－1或12．满足条件|z －i|＝|3＋4i|的双数z 在复平面上对应点的轨迹是( )．A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆3．双数z 满足|z ＋3－3i|＝3，那么|z |的最大值和最小值区分是__________．4．双数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求双数z .5．当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 答案：1．A 解析：∵z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，∴x ＝－1. 2．B 解析：∵|z －i|＝32＋42＝5，∴z 在复平面上对应点的轨迹是到(0,1)的距离为5的圆． 3．33，3 解析：|z |表示z 的对应点到原点的距离，|z ＋3－3i|＝3，表示以(－3，3)为圆心，以3为半径的圆，那么|z |的最大值为(－3)2＋3＋3＝33，最小值为(－3)2＋3－3＝ 3.4．解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，那么|z |＝a 2＋b 2， 代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－15，b ＝8，∴z ＝－15＋8i. 5．解：双数z 的实部为m 2－m －6m ＋3，虚部为m 2＋5m ＋6. (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0时，z 为实数，∴m ＝－2.(2)当⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋3≠0，m 2＋5m ＋6≠0时，z 为虚数， ∴m ≠－3，且m ≠－2.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－m －6＝0，m ＋3≠0，m 2＋5m ＋6≠0时，z 为纯虚数，∴m ＝3.综上所述：m ＝－2时，z 为实数；m ≠－3，且m ≠－2时，z 为虚数；m ＝3时，z 为纯虚数．。
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入2_1复数的加法与减法教材基础北师大版选修2-2
2.1 复数的加法与减法随着虚数的产生,数系得到了进一步的扩充.同时,随着科学和技术的进步,逐步建立起来的复变数函数理论在应用于堤坝渗水的问题、建立巨大水电站时所提供的理论依据中越来越需要进行大量的加、减、乘、除、乘方、开方运算.早在1747年,法国著名的数学家达兰贝尔指出,如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算,那么它的结果总是a+bi的形式(a、b都是实数).他开创了复数四则运算的先河.高手支招1细品教材一、复数的加法1.复数的加法法则设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,复数的加法按照以下法则进行:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.两个复数和仍是一个复数,其实部为a+c,虚部为b+d.因此,两复数相加就是将两个复数的实部相加作为和的实部,虚部相加作为和的虚部.【示例1】计算(7+5i)+(2+3i).思路分析:实部相加作为和的实部,虚部相加作为和的虚部.解:(7+5i)+(2+3i)=(7+2)+(5+3)i=9+8i.【示例2】计算:①(-2+3i)+(5-i);②(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R).思路分析:直接运用复数的加减运算法则进行计算.解:①原式=(-2+5)+(3-1)i=3+2i.②原式=(a-2a)+[b-(-3b)-3]i=-a+(4b-3)i.2.复数加法的交换律、结合律对任何z1,z2,z3∈C,复数运算律如下:(1)交换律:z1+z2=z2+z1.证明:设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i.则:z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i,而z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i,由a1+a2=a2+a1,b1+b2=b2+b1及复数相等的定义得:(a1+a2)+(b1+b2)i=(a2+a1)+(b2+b1)i,∴z1+z2=z2+z1.(2)结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).证明:设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i.(z1+z2)+z3=［(a1+b1i)+(a2+b2i)］+(a3+b3i)=a1+b1i+a2+b2i+a3+b3i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)iz1+(z2+z3)=(a1+b1i)+［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=a1+b1i+a2+b2i+a3+b3i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i,∴(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).状元笔记因为复数可以用向量表示,而向量的加法遵循平行四边形法则,所以复数的加法遵循平行四边形法则.3.复数加法的几何意义复数用向量表示以后,如果复数对应的向量不在同一直线上,那么这些复数的加法就可按向量加法的平行四边形法则来进行.设1OZ 及2OZ 分别与复数a+bi,c+di 对应,且1OZ 、2OZ 不在同一直线上,以1OZ 及2OZ 为两条相邻边画平行四边形OZ 1ZZ 2,画x 轴的垂线PZ 1、QZ 2及RZ,并且画Z 1S⊥RS. 于是,点Z 的坐标是(a+c,b+d)，这说明OZ 就是复数(a+c)+(b+d)i 对应的向量. 由此可知,求两个复数的和,可以先画出与这两个复数对应的向量1OZ 、2OZ ,如果1OZ 、2OZ 不在同一直线上,再以这两个向量为两条邻边作平行四边形,那么与这个平行四边形的对角线OZ 所表示的向量OZ 对应的复数,就是所求两个复数的和.如果两个复数对应的向量在同一直线上,则画一条直线,平移2OZ ,使2OZ 的起点与1OZ 的终点Z 1重合,就得向量OZ ,OZ 对应的复数就表示复数z 1与复数z 2的和.【示例】 已知复数z 满足z+|z|=2+8i,求复数z.思路分析:常规解法为设出z=a+bi(a,b∈R ),代入等式后,可利用复数相等的充要条件求出a 、b.也可以将复数从实部与虚部角度来理解,即将方程化为:z=(2-|z|)+8i,则其实部为2-|z|，虚部为8,然后利用复数求模运算求得|z|.解法1:将z=a+bi(a,b∈R )代入等式,得a+bi+22b a +=2+8i, ∴⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==++,8,15,8,222b a b b a a 解得∴z=-15+8i. 解法2:将方程化为:z=(2-|z|)+8i,∵|z|∈R ,∴2-|z|是z 的实部,于是,|z|=228|)|2(+-z ,即|z|2=68-4|z|+|z|2,∴|z|=17,∴z=(2-|z|)+8i=(2-17)+8i=-15+8i.二、复数的减法1.复数的减法法则设z 1=a+bi,z 2=c+di 是任意两个复数,复数的减法按照以下法则进行:z 1-z 2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.证明:根据复数的加法法则和复数相等的定义,有c+x=a,d+y=b,即x=a-c,y=b-d,∴(x+yi)=(a -c)+(b-d)i,∴(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.两个复数差仍是一个复数,其实部为a-c,虚部为b-d.因此,两复数相减就是将两个复数的实部相减作为差的实部,虚部相减作为差的虚部.【示例】 计算(1-3i)-(2+5i).思路分析:实部相减作为差的实部,虚部相减作为差的虚部.解:(1-3i)-(2+5i)=(1-2)+(-3-5)i=-1-8i.状元笔记复数z 1-z 2所对应的向量，实质上就是从复数z 2所对应的点指向复数z 1所对应点的向量;而两复数z 1与z 2差的模就是这两个复数所对应的两点之间的距离.两复数的加法和减法的几何意义均可用平行四边形法则来表达.2.复数减法的几何意义复数减法的运算同样适应向量的平行四边形法则和三角形法则.设OZ 与复数a+bi 对应,1OZ 与复数c+di 对应,如图以OZ 为一条对角线,1OZ 为一边画平行四边形,那么这个平行四边形的另一边2OZ 所表示的向量就与复数(a-c)+(b-d)i 对应.这是因为Z 1与2OZ 平行且相等,所以向量Z 1也与这个差对应,实际上,两个复数差z-z 1(即OZ -Z Z 1)与连结两个终点,并指向被减数的向量对应,这是复数减法的几何意义.【示例】 已知z-|z|=-1+i,求复数z.思路分析:设z=x+yi(x,y∈R )将原复数方程转化为实数方程问题.解:设z=x+yi(x,y∈R ),由题意,得x+yi-22y x +=-1+i,即(x-22y x +)+yi=-1+i,根据复数相等的定义得: ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-,1,122y y x x 解得⎩⎨⎧==,1,0y x ∴z=i. 高手支招2基础整理本节内容主要阐述了复数的四则运算中的加法运算、减法运算,复数加减法的几何意义.本节的知识结构如下:。
高中数学第四章数系的扩充与复数的引入4.2复数的四则运算知识导航素材北师大版选修1_2
§4.2 复数的四则运算2.1 复数的加法与减法2.2 复数的乘法与除法自主整理1.复数的加法、减法运算:(a+bi)±(c+di)=______________.2.复数的乘法运算:(a+bi)(c+di)=______________.3.两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫作互为__________,用__________表示.4.设z=a+bi,则z =____________,z z =____________.5.满足(c+di)(x+yi)=a+bi 的复数x+yi 叫作____________,记作_____________或____________.高手笔记1.复数的加、减、乘、除运算后,所得的结果仍为复数.2.复数的加、减、乘法运算与多项式的运算类似.3.复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律,即对任何z 1、z 2、z 3∈C 有z 1·z 2=z 2·z 1,(z 1·z 2)·z 3=z 1·(z 2·z 3),z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3.在复数范围内,实数范围内正整数指数幂的运算律仍然成立,即对任意复数z 、z 1、z 2和正整数m 、n 有z m ·z n =z m+n ,(z m )n =z mn ,(z 1z 2)n =z 1n ·z 2n .4.若z=z,则z 为实数;若z+z=0(z≠0),则z 为纯虚数.5.根据复数所满足的运算律,可知i 4n=1,i 4n+1=i,i 4n+2=-1,i 4n+3=-i,(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,ii -+11=i, ii +-11=-i.若设ω=21-+23i,则1+ω+ω2=0,2ω=ω,ω2=ω,3ω=1. 名师解惑理解复数的除法运算的转化.剖析:复数的除法是复数乘法的逆运算,但每次都按乘法的逆运算将十分麻烦.我们可以用简便方法操作:先把两个复数相除写成分式形式,然后把分子与分母都同乘分母的共轭复数,使分母“实数化”,最后再化简.复数的除法与分母“有理化”的方法相类似.学习时,注意培养这种转化的思想和类比思想.讲练互动【例1】计算(6+6i)+(3-i)-(5-3i).分析:利用复数加、减法法则进行计算.解:(6+6i)+(3-i)-(5-3i)=(6+3-5)+(6-1+3)i=4+8i.绿色通道复数的加、减法运算,就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加减,实部与实部相加减作实部、虚部与虚部相加减作虚部.变式训练1.已知z 1=2+i,z 2=1+2i,则复数z=z 2-z 1对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案:B【例2】已知x 、y∈R ,且i x +1+ii y 31521+=+,求x 、y 的值. 分析:复数通分太麻烦,可将每个分母的复数化为实数,再进行计算.解:i x +1+ii y 31521+=+可写成 2)1(i x -+5)21(i y -=10)31(5i -, 5x(1-i)+2y(1-2i)=5-15i,(5x+2y)-(5x+4y)i=5-15i,∴⎩⎨⎧=+=+.1545,525y x y x ∴⎩⎨⎧=-=.5,1y x绿色通道本题为复数的除法运算,将每个分式的分母同乘分母的共轭复数,再由复数相等的定义,转化为实数方程组.变式训练2.求i i 3434+-+ii 3434-+的值. 解:原式=25)34()34(22i i ++-=2514. 【例3】计算i 2 006+(2+i 2)8-(i-12)50. 分析:利用i 的幂的周期性,(1±i)2=±2i 便可简便地求出结果.解:原式=i 501×4+2+(4i)4-(i22-)25 =-1+256-i=255-i.绿色通道注意复数计算中常用的整体.变式训练3.计算63)1()31(i i ++-. 解:原式=323])1[()]2321(2[i i ++-=388i =i.【例4】设|z|=1且z≠±i,证明21z z +是实数. 分析:(1)z 为复数可设出z=x+yi(x 、y∈R ),再进行运算、判断;(2)由|z|=1转为z z =1,即z 1=z ,进一步化简.证法一:设z=x+yi(x 、y∈R ). 则xyi y x yi x yi x yi x z z 21)(112222+-++=+++=+=22222224)1()21)((y x y x xyiy x yi x +-+--++ =222222222224)1()1(22)1(y x y x iy x y yi x xy y x x +-+-++-+-+ =2222232234)1()()(y x y x iy y x y xy x x +-+--+++.∵|z|=1,∴x 2+y 2=1.∴y -x 2y-y 3=y(1-x 2-y 2)=0. ∴222224)1(21y x y x x z z +-+=+∈R . 证法二:∵|z|=1,∴z z =1.∴z 1=z . ∴21z z+=zz z z +=+111.设z=a+bi,则z+z =2a∈R . ∴21z z+为实数.变式训练4.已知x 、y 为共轭复数,且(x+y)2-3xyi=4-6i,求x 、y 及|x|+|y|.解:设x=a+bi,则y=a-bi,∴x+y=2a,xy=a 2+b 2.∵(x+y)2-3xyi=4-6i,∴4a 2-3(a 2+b 2)i=4-6i.∴⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=.6)(3,44222b a a∴⎪⎩⎪⎨⎧==.1,122b a∴⎩⎨⎧==1,1b a 或⎩⎨⎧-==1,1b a 或⎩⎨⎧=-=1,1b a 或⎩⎨⎧-=-=.1,1b a∴⎩⎨⎧-=+=i y i x 1,1或⎩⎨⎧+=-=i y i x 1,1或⎩⎨⎧--=+-=i y i x 1,1或⎩⎨⎧+-=+-=.1,1i y i x |x|=2,|y|=2,∴|x|+|y|=22.。
《高中数学知识梳理》 系数的扩充与复数的引入
-@>% )一复数的相关概念1.虚数单位i是虚数单位,满足i2=-1,实数可以与i进行四则运算,进行四则运算时原有的加法㊁乘法运算律仍然成立.2.复数形如a+b i(a,bɪR)的数叫作复数,其中a是复数的实部,b是复数的虚部.全体复数组成的集合叫作复数集,用字母C表示.复数a+b i(a,bɪR),当b=0时,就是实数;当bʂ0时,叫作虚数;当a=0,bʂ0时,叫作纯虚数.把复数表示成a+b i(a,bɪR)的形式,叫作复数的代数形式.3.数系的发展自然数集N㊁整数集Z㊁有理数集Q㊁实数集R以及复数集C之间有如下关系:N⫋Z⫋Q⫋R⫋C.11两个复数z1=a+b i(a,bɪR),z2=c+d i(c,dɪR),当且仅当a=c且b=d时,z1=z2.特别地,当且仅当a=b=0时,a+b i=0.5.复数的模复数z=a+b i(a,bɪR)的模记作z或|a+b i|,有|z|=|a+b i|=a2+b2.6.共轭复数当两个复数的实部相等㊁虚部互为相反数时,这两个复数叫作互为共轭复数.在复平面内,表示两个共轭复数的点关于实轴对称.特别地,实数a的共轭复数仍是它本身.7.复数的几何意义从复数相等的定义我们知道,任何一个复数z= a+b i(a,bɪR)都可以用一个有序实数对(a,b)唯一确定,这样我们可以用建立了直角坐标系的平面来表示复数.建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面. x轴叫作实轴,y轴叫作虚轴.这样,实轴上的点都表示实数,除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.复数z=a+b i(a,bɪR)与复平面内的点Z(a,b)及向量O Pң=(a,b)是一一对应的.复数的模表示复数对应的点到原点的距离.1811 二复数的运算对于复数z 1=a +b i (a ,b ɪR ),z 2=c +d i (c ,d ɪR ).(1)复数的加减运算:z 1ʃz 2=(a ʃc )+(b ʃd )i .(2)复数的乘除运算:z 1㊃z 2=(a +b i )(c +d i )=(a c -b d )+(b c +a d )i;z 1z 2=a +b i c +d i =(a +b i )(c -d i )(c +d i )(c -d i )=a c +b d c 2+d 2+b c -a d c 2+d 2i (c 2+d 2ʂ0).。
北师大版高中数学选修2-1第四章《数系的扩充与复数的引入》复习小结课件
y b z a bi
y轴 虚部
O
ax
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向量 OZ 的模 r 叫做复数 z
的模，记作 z 或 a bi
易知 z a2 b2
数系的扩充与复数的引入 复习小结
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数系扩充 复数的引入
复数相关概 念
复数的代数情势 及几何意义
在复数范围下解方程 x2 x 1 0
x1
1 2
3 2
i,
x2
1 2
3i 2
x3 1 0
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数系的扩充与复数的引入 复习小结
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神秘 的复数
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应用广泛 系统分析 信号分析 量子力学 相对论 反常积分 应用数学 流体力学
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数系的扩充与复数的引入 复习小结
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1.以知识链的情势回顾了整章知识
数系扩充 复数的引入
复数相关概 念
复数的代数情势 及几何意义
复数的四则 运算
2. 思想方法 类比推理，数形结合 关键能力 运算求解，直观想象
复数的四则 运算
复数的四则运算
(a bi) (c di) (a c) (b d)i;
i2 1
(a bi)(c di) (ac bd) (ad bc)i;
z z a2 b2
a bi c di
(a bi)(c di) (c di)(c di)
ac bd c2 d 2
赣
高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 5.2 复数的
5.2 复数与平行四边形家族菱形、矩形、正方形等特殊的平面几何图形与某些复数式之间存在某种联系及相互转化的途径．在求解复数问题时，要善于考察条件中给定的或者是通过推理所得的复数形式的结构特征，往往能获得简捷明快、生动活泼的解决方法．下面列举几例，以供参考． 一、复数式与长方形的转化例1 复数12z z ，满足120z z ≠，1212z z z z +=-，证明：21220z z <．解析：设复数12z z ，在复平面上对应的点为12Z Z ，，由1212z z z z +=-知，以1OZ u u u u r ，2OZ u u u ur 为邻边的平行四边形为矩形，12OZ OZ ⊥u u u u r u u u u r ∴，故可设12(0)zki k k z =∈≠R ，，所以22221220z k i k z ==-<．例2 已知复数12z z ，满足11z =，21z =，且124z z -=，求12z z 与12z z +的值．解析：设复数12z z ，在复平面上对应的点为12Z Z ，，由于2221)1)4+=，故2221212z z z z +=-，故以1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r 为邻边的平行四边形是矩形，从而12OZ OZ ⊥u u u u r u u u u r，则12z z ==；12124z z z z +=-=． 二、复数式与正方形的转化例3 已知复数12z z ，满足121z z ==，且12z z -=，求证：12z z += 证明：设复数12z z ，在复平面上对应的点为1OZ u u u u r，2OZ u u u u r ，由条件知1212z z -==，以1OZ u u u u r，2OZ u u u u r 为邻边的平行四边形为正方形，而12z z +在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线，所以12z z +点评：复数与向量的对应关系赋予了复数的几何意义，复数加法几何意义的运用是本题 考查的重点．三、复数式与菱形的转化例4 已知12z z ∈C ，，121z z ==，12z z +=12z z -．解析：设复数1212z z z z +，，在复平面上对应的点为12Z Z Z ，，，由121z z ==知，以 12OZ OZ u u u u r u u u u r ，为邻边的平行四边形是菱形，在1OZ Z △中，由余弦定理，得22212121121cos 22z z z z OZ Z z z +-+∠==-，1120OZ Z ∠=∴°，1260Z OZ ∠=∴°，因此，12OZ Z △是正三角形，12211z z Z Z -==∴． 点评：本题通过复数模的几何意义的应用来判断四边形的形状，并且应用到了余弦定理， 使得问题解决的很巧妙．例5 求使2222(0)z a a z a->+为纯虚数的充要条件． 解：2222z a z a -+∵是纯虚数，∴可设2222(0)z a i z a λλλ-=∈≠+R ，．设复数22z a ，在复平面上对应的点为12Z Z ，，以12OZ OZ u u u u r u u u u r ，为邻边的平行四边形是菱形，22z a =∴，z a =∴，考虑到z a =±时，22220z a z a-=+；z ai =±时，2222z a z a -+无意义，故 使2222(0)z a a z a ->+为纯虚数的充要条件是z a =，且z a ≠±，z ai ≠±． 复数的加减法符合平行四边形法则，是复数与平行四边形家族联姻的前提．通过本文我 们发现深入抓住复数加减法的几何意义的本质，可使我们求解复数问题的思路更加广阔，方法也更加灵活．。
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.1数系的扩充与复数的引入笔记全国公开课一等奖百校联赛微课赛课
解这个方程组，得
｛ x=1 y=-1
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练习5
• 求适合以下方程实数x,y值： • （1）（-2x+3)+(y-4)i=0 • (2) (x-1)+i=1+(y-1)i
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练习6
• 求实数m值，使复数（m2-2m-3)+(m2-3m-
4)i分别是：
• （1）实数
（2）纯虚数
（3）零
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复数通常用字母 z 表示，即 z＝a＋bi(a，b∈R).
___________________________________
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复数分类
根据复数中 a，b 的取值不同，复数 a＋bi 可以分类如下： _实__数____b＝0
复数 a＋bi__虚_数____b≠0____纯非__虚__纯__数虚____数_____a_＝_(a_0≠_0__) ___ 对于复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，a 与 b 分别叫作复数 z 的实 部与虚部，.并且分别用 Rez 与 lmz 表示，即 a＝Rez，b＝lmz.
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复数相等 两个复数a＋bi与c＋di相等，当且仅当它们实部与虚 部分别相等，记作a＋bi＝c＋di，即a＋bi＝c＋di当且仅
当____a_=__c_,且__b_=__d__.
由此得到a＋bi＝0⇔a＝0，且b＝0. 用复数相等充要条件时要注意： (1)化为复数标准形式z＝a＋bi； (2)实部、虚部中字母为实数，即a，b∈R.
第五章
数系扩充与复数引入
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复数概念
把平方等于－1 的数用 i 表示，规定 i2＝－1，我们称 i 为
虚数单位．
高中数学 第四章 数系的扩充与复数的引入 4.2 复数的
赏析复数中的数学思想数学思想方法是数学科的灵魂，它反映在数学教学内容里面，体现在解决问题的过程之中，它是将知识转化为能力的桥梁。
只有运用数学思想方法，才能把数学知识和技能转化为分析问题和解决问题的能力.复数在过去几年里一直是代数的重要内容之一，涉及的知识面广，对能力要求较高，是高考热点之一．而随着新教材对复数知识的淡化，高考试题比例下降，但由于复数问题的自身特点，它又是运用数学思想方法较多的题型．本文通过实例介绍几种常用的数学思想方法在复数中的应用．1.整体思想整体处理，就是在处理问题时，利用问题中的整体与部分的关系，通过整体代入、整体运算、整体消元、整本合并等方法，常可以简化运算过程，提高解题速度，并从中感受到整体思维的和谐美.例1. 设复数z 和它的共轭复数z满足42z z i +=+，求复数z 的值．分析：充分利用共轭复数性质，复数的模的意义，复数相等的充要条件即可解出.在求解过程中，整体代入可获得简捷、明快、别具一格的解法.解：设()z a bi a b =+∈R ，，将42z z i +=化为2(22)z z z i ++=． 由222()2()4z z a bi a bi a +=++-=，整体代入，得24z a i +=，12z i =+∴．根据复数相等的充要条件，解得12a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得12a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．故12z i =+． 2.化归思想将复数问题化归为实数，或将其转化为平面直角坐标系下的轨迹问题，就可降低解题难度，简化解题过程．反过来，有时将实数、几何问题、三角题化归为复数问题，也可使问题迎刃而解．例2.已知复数z 满足|z-3-5i|=1, 复数u 满足|u-1|+|u-5|=45，求|z-u|的最值. 解: 椭圆|u-1|+|u-5|=45的中心坐标是(3,0).a=25,c=2,b=4.故椭圆的直角坐标方程为,11620)3(22=+-y x 对此进行参数化,令 ⎩⎨⎧=+=θθsin 4cos 523y x (θ为参数)点(θcos 523+,θsin 4)到圆心(3,5)的距离为:22)5sin 4()cos 52(-+=θθd =45sin 40sin 42+--θθ =145)5(sin 42++-θ.当sinθ＝－1及sinθ＝1时分别得出d 的最大值与最小值：dmax ＝9，dmin ＝1． 所以|z －u|的最大值为9＋1＝10，最小值为1－1＝0．3. 分类讨论思想分类讨论是一种重要的解题策略和方法，在复数中它能使复杂的问题简单化，从而化整为零，各个击破．高考复数考题中经常用到这种分类讨论思想方法．例3. 设a ≥0,在复数集C 中，解方程：z 2＋2|z|＝a .分析:由已知z 2＋2|z|＝a 和|z|∈R 可以得到z 2∈R ，即对z 分实数、纯虚数两种情况进行讨论求解。