培优专题直角三角形
专题：直角三角形培优
专题：直角三角形知识要点:1、 宜角三角形的性质：（1） ______________________________ 直角三角形的两个锐角（2） ___________________________________________ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 ;（3） ______________________________________ 直角三角形30°角所对的直角边是 的一半；（4） 直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30° . 2、 直角三角形的判定方法：（1） 有一个角是直角的三角形是直角三角形；（2） _____________ 有两个角 的三角形是直角三角形；（3） 如果一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、 等腰直角三角形是特殊的直角三角形，它的两个底角都是 _______ ，且两条直角边相等。
等腰宜角三角形具有等 腰三角形和直角三角形的所有性质，是很常见的特殊三角形。
典型例题1. 如图.已知ZXABC 为直角三角形，ZC 二90° ,若沿图中虚线剪去ZC.则则Z1 + Z2等于 ___________ ・2. 设M 表示直角三角形，N 表示等腰三角形.P 表示等边三角形.Q 表示等腰直角三角形•则下列四个图中，能表示5、如图，在RtAABC 中.ZACBPO 。
・AB 的垂直平分线DE 交干BC 的延长线于F •若ZF=30° ,DE=1> 则 EF 的长是（ ） A. 3 B. 2 C ・ D ・ 1它们之间关系的是（ AB±AC, AD 丄BC, BE 平分 ZABC. )3、如图,RtAABC 中， 结论一定成立的是（ =BF B. AE=ED C. AD=DC D.4、如图, 能的是（ 在Z\ABC 中.ZC=90° ,) AC=3, ZB 二30° , A. B. C. D. 76、 已知等腰AABC 中，AD 丄BC 于点D.且AD 二丄BC ・则ZiABC 底角的度数为 ______________ 27、 如图所示，四边形ABCD 由一个ZACB=30°的RtAABC 与等RtAACD 拼成，E边AC 的中点，则ZBDE= _____________________ ・8x 已知：在厶ABC 中.ZBAC=90° , AD 丄BC 于点D. ZABC 的平分线BE 交AD 干点F ・试说明AE=AF.9、如图，在ZkABC 中，ZA=90° , AB 二AC, ZABC 的平分线BD 交AC 于D, CE 丄BD 的延长线于点E ・求证：CE= -BD 210、如图，一根长2a 的木棍（AB ）,斜釜在与地啲（0M ）垂直的墙（0N ）上，设木棍的中点为P ・若木棍A 端沿塢下滑，且B 端沿地面向右滑行.木棍滑动的过程中，点P 到点0的距离不变化.在木棍滑动的过程中，AAOB 的而积最大为 __________________________ ・12、如图在RtAABC 中,ZACB=90° , CD 、CE 分别是斜边AB 边上的高与中线.CF 是ZACB 的 平分线，则Z1与Z2的大小关系是（） A ・ Z1>Z2 B ・ Z1=Z2 C. Z1<Z2 D •不能确定13、如图.在 RtAABC 中，ZACB=90° , AB=2BC,在直线BC 或AC 上取一点巴 使得APAB 为等腰三角形，则符合条件 的点P 共有（）11、如图.只剪两刀把一 （剪法二） （剪法三）个直角三角形分割成三个直角三角形 铅笔作出分割线，只要有一条分割线不DA. 4个B. 5个C. 6个D. 7个1K如图. 交干N, 在直角三角形ABC中，CM是斜边AB上的中线，MN丄AB, ZACB 求证：CM=MN.15.如图，在等腰直角三角形OAR中作内接正方形A：B：D：C：；在等腰直角三角形OA：B：中作内接正方形A…；依次做下去，则第n个正方形氛的边长是_________________ ・在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中.作内接正方形A I BDC L：16.下面的方格图案中的正方形顶点叫做格点•图1中以格点为顶点的等腰直角三角形共有4个.图2中以格点为顶点的等腰直角三角形共有 ____________ 个.图3中以格点为顶点的等腰直角三角形共有__________________ 个，图4中以格点为顶点的等腰直角三角形共有 _____________ 个.17、如图，在AABC中.ZB=90° , ZBAC=78°,过C作CF〃AB，连接AF于BC相交于G.若GF=2AC・则ZBAG= ___________18s如图.在等腰RtAABC中.ZC=90fl , AC=8, F是AB边上的中点•点D.别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE.连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中，下列结论：①ZkDFE是等腰直角三角形：②DE长度的最小值为4：③四边形CDFE的而积保持不变：④ACDE面积的最大值为8・其中正确的结论是（〉A.①（§＞③B.①（§）C.①＜§＞④D・②③©19.电子跳承游戏盘是如图所示的AABC, AB=AC=BC=6.如果跳禾开始时在BC边的P°处，BPo=2.跳虽第一步从P。
九年级数学中考复习分类培优专题练习：30°的直角三角形性质运用(附解析)
九年级数学中考复习分类培优专题练习30°的直角三角形性质运用（附解析）一．选择题1．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN ＝2，则OM＝（）A．3 B．4 C．5 D．62．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，∠B＝60°，AD＝3，BC＝5，则腰AB的长为（）A．8 B．6 C．4 D．23．如图，在△ABC中，∠A＝150°，AB＝20cm，AC＝30cm，则△ABC的面积为（）A．330cm2B．450cm2C．150cm2D．300cm24．如图，四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD，对角线AC⊥BD于点O，若AD＝CD，则∠ADC的度数为（）A．100°B．105°C．85°D．95°5．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4cm，则矩形的对角线长为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm6．如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B，取∠ABD＝150°，BD＝500米，∠D＝60°．要使A，C，E成一直线．那么开挖点E离点D的距离是（）A．200米B．250米C．300米D．350米7．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3．点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A．3 B．4.2 C．5 D．6.18．如图，想测量旗杆AB的高，在C点测得∠ACB＝30°，然后在地面上沿CD方向从C点到D点，使∠ACD＝∠ACB，DA⊥AC于点A，此时测得CD＝36m，则旗杆高（）A．9m B．18m C．36m D．72m9．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子与地面的夹角∠ABC＝60°，梯子的长为5米，则梯子与墙角的距离BC为（）米．A．5 B．2.5 C．4 D．310．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，AC＝12cm，则AD＝（）cm．A．4 B．8 C．6 D．无法确定11．在四边形ABCD中，∠A＝60°，AB⊥BC，CD⊥AD，AB＝4cm，CD＝2cm，求四边形ABCD 的周长（）A．10+2B．8+2C．8+3D．10+212．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，交BC于点D．若BC＝6cm，则CD 的长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm二．填空题13．如图，在等边△ABC中，BC＝2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF ⊥BC于点E，则BE的长为．14．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝24，∠BAC＝120°，过点A作AD⊥AB，交BC于点D，则CD＝．15．如图，在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC＝4，则△ABC的面积为．16．如图所示，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，若DE＝2，则BC＝．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，若BF＝1，则BC的长为：．18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，斜边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，BC＝9，则CD的长是．19．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，点E为AC上任意一点（不与点A、C重合），连结EB，分别过点A、B作BE、AE的平行线交于点F，则EF的最小值为．20．如图，∠MON＝60°，点A1在射线ON上，且OA1＝1，过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B 1，在射线ON上截取A1A2，使得A1A2＝A1B1；过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2，在射线ON上截取A2A3，使得A2A3＝A2B2；…；按照此规律进行下去，则A2020B2020长为．三．解答题21．如图，AD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，F是AB中点，∠ABC＝50°，∠CAD ＝60°．（1）求∠AEB的度数；（2）若△BCF与△ACF的周长差为3，AB＝5，AC＝8，求△ABC的周长．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝．（1）求AB的长；（2）求Rt△ABC的面积．23．已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为线段CB上一点且满足CD＝CA，连接AD，过点C作CE⊥AB于点E．（1）如图1，∠B＝30°，BD＝2，AD与CE交于点P，则∠CPD＝，AE＝；（2）如图2，若点F是线段CE延长线上一点，连接FD．若∠F＝45°，求证：AE＝FE．24．如图（1）将三角板ABC与∠DAE摆放在一起，射线AE与AC重合，射线AD在三角形ABC 外部，其中∠ACB＝30°，∠B＝60°，∠BAC＝90°，∠DAE＝45°．固定三角板ABC，将∠DAE绕点A按顺时针方向旋转，如图（2），记旋转角∠CAE＝α．（1）当α为60°时，在备用图（1）中画出图形，并判断AE与BC的位置关系，并说明理由；（2）在旋转过程中，当0°＜α＜180°，∠DAE的一边与BC的平行时，求旋转角α的值；（3）在旋转过程中，当0°＜α≤90°时，探究∠CAD与∠BAE之间的关系．（温馨提示：对于任意△ABC，都有∠A+∠B+∠C＝180°）25．如图1，△ABC中，∠ABC＝∠BAC，D是BC延长线上一动点，连接AD，AE平分∠CAD 交CD于点E，过点E作EH⊥AB，垂足为点H．直线EH与直线AC相交于点F．设∠AEH＝α，∠ADC＝β．（1）求证：∠EFC＝∠FEC；（2）①若∠B＝30°，∠CAD＝50°，则α＝，β＝；②试探究α与β的关系，并说明理由；（3）若将“D是BC延长线上一动点”改为“D是CB延长线上一动点”，其它条件不变，请在图2中补全图形，并直接写出α与β的关系．。
2022-2023学年第二学期初二数学名校优选培优训练专题05 直角三角形斜边上的中线
2022-2023学年第二学期初二数学名校优选培优训练专题测试专题05 直角三角形斜边上的中线姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2022春•武城县期末）一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线和高分别为（）A．和B．和C．和D．和2．（2022秋•北碚区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝45°，E是BD 的中点，BD＝8，则△AEC的面积为（）A．B．16 C．8 D．3．（2022春•安乡县期末）如图是屋架设计图的一部分，其中∠A＝30°，D是斜梁AB的中点，BC，DE垂直于横梁AC，DC＝8cm，则DE的长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm4．（2022春•闽侯县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，且BD＝，若Rt△ABC 的面积为2，则它的周长为（）A．+2 B．+4 C．2+4 D．2+25．（2022春•凤山县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AC＝8，BC＝6，则△ADC 的周长为（）A．14 B．24 C．12 D．186．（2022•碑林区校级模拟）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，E为BC边的中点，AB＝4，AC＝2，DE＝，则∠ACD＝（）A．15°B．30°C．22.5°D．45°7．（2020秋•丹东期末）如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点，连接MC，MD，CD，若CD＝6，则△MCD的面积为（）A．12 B．12.5 C．15 D．248．（2020•汝阳县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且∠ACD＝30°，DE∥BC 交AC于点E，BF⊥CD于点F，连接EF．若AC＝2，则EF的长是（）A．2 B．C．1 D．9．（2019春•嘉祥县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是边AB的中点，AB＝10，DE＝4，则S△AEC＝（）A．8 B．7.5 C．7 D．610．（2019•黄石）如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD+∠CED＝（）A．125°B．145°C．175°D．190°评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2022春•南岗区校级期中）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC中点，∠BDE＝52°，则∠DEB的度数为．12．（2022春•渝中区校级月考）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝20°，点D为斜边BC的中点，连接AD，AE⊥BC于点E，则∠DAE为度．13．（2022春•广安期末）如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，AF，CE都是这个三角形的高，P为AC的中点．若∠B＝35°，则∠EPF的度数为．14．（2022春•紫阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，以AC为斜边作Rt△ADC．使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB，E，F分别是BC，AC的中点，则DE的长为．15．（2021春•龙岗区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E、F分别是AB、AC上的动点，∠EDF＝90°，M、N分别是EF、AC的中点，连接AM、MN，若AC＝6，AB＝5，则AM﹣MN的最大值为．16．（2021秋•诸暨市期中）如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，AF、CE都是这个三角形的高，P为AC 的中点，若∠B＝40°，则∠EPF＝．17．（2021秋•温州期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°．以AB长为一边作△ABD，且AD＝BD，∠ADB＝90°，取AB中点E，连DE、CE、CD．则∠EDC＝°．18．（2020春•揭西县期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝9，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF＝CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为．19．（2019春•瑶海区期末）如图，直角边分别为3，4的两个直角三角形如图摆放，M，N为斜边的中点，则线段MN的长为．20．（2017春•武侯区校级月考）如图，∠MON＝90°，边长为4的等边△ABC的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最大距离为．评卷人得分三．解答题（共9小题，满分60分）21．（2022春•汉滨区期中）如图，BN，CM分别是△ABC的两条高，点D，E分别是BC，MN的中点．（1）求证：DE⊥MN；（2）若BC＝26，MN＝10，求DE的长．22．（2021春•抚顺期末）如图，BN、CM分别是△ABC的两条高，点D、点E分别是BC、MN的中点，求证：DE⊥MN．23．（2019春•房山区期中）如图，锐角△ABC中，AD，CE为两条高，F，G分别为AC，DE的中点，猜想FG与DE的位置关系并加以证明．24．（2021春•新泰市期中）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为AC的中点．EF⊥BD，垂足为F．（1）求证：BE＝DE；（2）若AC＝26，EF＝5，求BD的长．25．（2020春•江岸区校级月考）在三角形△ABC中，D是BC边的中点，AD＝BC．（1）△ABC的形状为．（2）如图，BM＝3，BC＝12，∠B＝45°，∠MAN＝45°，求CN；（3）在（2）的条件下，AN＝．26．（2019春•城关区校级期中）小明在学完北师大数学八年级（下）第一章后，看到这样一道题目：“已知，如图∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，求证：MN⊥BD．小明思考片刻，找到了解决方法，他作了辅助线．聪明的你知道他作的辅助线是什么吗？怎么证明的？小明又突然想到，在边AD上能找一点P，使得PB＝PD，请你写出证明过程．27．（2022•宜城市模拟）如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，AD⊥DB，点E为AB的中点，DE∥BC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）连接EC，若∠A＝30°，DC＝，求EC的长．28．（2022春•永丰县期中）同学们知道：“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．”（1）请写出它的逆命题；（2）应用：若学校有一块三角形的绿地，AB＝BC＝20m，∠A＝15°，求绿地△ABC的面积？29．（2020春•重庆期末）如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE．（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．答案与解析一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2022春•武城县期末）一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线和高分别为（）A．和B．和C．和D．和解：∵直角三角形的两条直角边分别为5和12，∴斜边长＝＝13，∴斜边上的中线＝，斜边上的高＝＝，故选：C．2．（2022秋•北碚区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝45°，E是BD 的中点，BD＝8，则△AEC的面积为（）A．B．16 C．8 D．解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，E是BD的中点，BD＝8，∴AE＝CE＝BD＝4，∴∠ABE＝∠BAE，∠CBE＝∠BCE，∵∠AED＝∠ABE+∠BAE＝2∠ABE，∠CED＝∠CBE+∠BCE＝2∠CBE，∴∠AEC＝2∠ABE+2∠CBE＝2∠ABC，∵∠ABC＝45°，∴∠AEC＝90°，∴S△ACE＝AE•CE＝×4÷4＝8．故选：C．3．（2022春•安乡县期末）如图是屋架设计图的一部分，其中∠A＝30°，D是斜梁AB的中点，BC，DE垂直于横梁AC，DC＝8cm，则DE的长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm解：∵∠A＝30°，DC＝8cm，D是斜梁AB的中点，∴CD＝AB，∴AB＝2CD＝2×8＝16，∵∠A＝30°，∴BC＝AB＝8，∵BC、DE垂直于横梁AC，∴BC∥DE，∵点D是斜梁AB的中点，∴DE＝BC＝×8＝4cm．故选：B．4．（2022春•闽侯县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，且BD＝，若Rt△ABC 的面积为2，则它的周长为（）A．+2 B．+4 C．2+4 D．2+2解：∵∠ABC＝90°，点D是AC的中点，∴AC＝2BD＝2，∴AB2+BC2＝AC2＝8，∵Rt△ABC的面积为2，∴AB•BC＝2，∴AB•BC＝4，∴（AB+BC）2＝AB2+BC2+2AB•BC＝8+8＝16，∴AB+BC＝4或AB+BC＝﹣4（舍去），∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝4+2，故选：C．5．（2022春•凤山县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AC＝8，BC＝6，则△ADC 的周长为（）A．14 B．24 C．12 D．18解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝，∵D是AB的中点，∴AD＝CD＝AB＝5，∴△ACD的周长为：AD+CD+AC＝5+5+8＝18．故选：D．6．（2022•碑林区校级模拟）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，E为BC边的中点，AB＝4，AC＝2，DE＝，则∠ACD＝（）A．15°B．30°C．22.5°D．45°解：∵CD⊥AB，E为BC边的中点，DE＝，∴BC＝2DE＝2，∵AB＝4，AC＝2，∴AC2+BC2＝4+12＝16＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，且∠ABC＝30°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵∠ABC+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠ABC＝30°．故选：B．7．（2020秋•丹东期末）如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点，连接MC，MD，CD，若CD＝6，则△MCD的面积为（）A．12 B．12.5 C．15 D．24解：过M作ME⊥CD于E，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点，∴CM＝AB＝5，MD＝AB＝5，∴CM＝DM，∵ME⊥CD，CD＝6，∴CE＝DE＝3，由勾股定理得：EM＝＝＝4，∴△MCD的面积为＝＝12，故选：A．8．（2020•汝阳县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且∠ACD＝30°，DE∥BC 交AC于点E，BF⊥CD于点F，连接EF．若AC＝2，则EF的长是（）A．2 B．C．1 D．解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝AD＝BD，∴∠A＝∠ACD，∵∠ACD＝30°，∴∠A＝30°，∴AB＝2BC，∠ABC＝60°，∵AC2+BC2＝AB2，AC＝2，∴（2）2+BC2＝（2BC）2，解得：BC＝2（负数舍去），∴AB＝2BC＝4，∵AB＝4，D为AB的中点，∴BD＝AD＝2＝BC，∵BF⊥CD，∴CF＝DF，∵DE∥BC，D为AB的中点，∴AE＝CE，∴EF＝AD＝＝1，故选：C．9．（2019春•嘉祥县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是边AB的中点，AB＝10，DE＝4，则S△AEC＝（）A．8 B．7.5 C．7 D．6解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，C点E是边AB的中点，∴AE＝BE＝CE＝AB＝5，∵CD⊥AB，DE＝4，∴CD＝＝3，∴S△AEC＝S△BEC＝BE•CD＝3＝7.5，故选：B．10．（2019•黄石）如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD+∠CED＝（）A．125°B．145°C．175°D．190°解：∵CD⊥AB，F为边AC的中点，∴DF＝AC＝CF，又∵CD＝CF，∴CD＝DF＝CF，∴△CDF是等边三角形，∴∠ACD＝60°，∵∠B＝50°，∴∠BCD+∠BDC＝130°，∵∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，∴∠DCE+∠CDE＝65°，∴∠CED＝115°，∴∠ACD+∠CED＝60°+115°＝175°，故选：C．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2022春•南岗区校级期中）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC中点，∠BDE＝52°，则∠DEB的度数为76°．解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC中点，∴DE＝AC，BE＝AC，∴DE＝BE，∴∠BDE＝∠DBE＝52°，∴∠DEB＝180°﹣∠BDE﹣∠DBE＝76°，故答案为：76°．12．（2022春•渝中区校级月考）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝20°，点D为斜边BC的中点，连接AD，AE⊥BC于点E，则∠DAE为50度．解：∵∠BAC＝90°，点D为斜边BC的中点，∴AD＝CD＝BC，∴∠C＝∠DAC＝20°，∴∠ADE＝∠C+∠DAC＝40°，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴∠EAD＝90°﹣∠ADE＝50°，故答案为：50．13．（2022春•广安期末）如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，AF，CE都是这个三角形的高，P为AC的中点．若∠B＝35°，则∠EPF的度数为110°．解：∵CE⊥BE，AF⊥BC，∴∠CEB＝∠AFC＝90°，∵∠B＝35°，∴∠ECB＝90°﹣∠B＝55°，∵点P是AC的中点，∴PF＝PC＝AC，PE＝PC＝AC，∴∠PFC＝∠PCF，∠PEC＝∠PCE，∵∠APF是△CFP的一个外角，∴∠APF＝∠PFC+∠PCF，∴∠APF＝2∠PCF，∵∠APE是△CEP的一个外角，∴∠APE＝∠ACE+∠PEC，∴∠APE＝2∠ACE，∴∠EPF＝∠APE+∠APF＝2∠PCF+2∠ACE＝2∠ECB＝110°，故答案为：110°14．（2022春•紫阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，以AC为斜边作Rt△ADC．使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB，E，F分别是BC，AC的中点，则DE的长为2．解：∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，F是AC的中点，∴DF＝AF＝AC＝×4＝2，∴∠FDA＝∠CAD＝30°，∴∠DFC＝∠FDA+∠CAD＝60°∵E、F分别是BC、AC的中点，∴EF∥AB，EF＝AB＝×4＝2，∴∠EFC＝∠CAB＝30°，∴∠EFD＝60°+30°＝90°，∴ED＝＝＝2．故答案为：2．15．（2021春•龙岗区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E、F分别是AB、AC上的动点，∠EDF＝90°，M、N分别是EF、AC的中点，连接AM、MN，若AC＝6，AB＝5，则AM﹣MN的最大值为．解：如图，连接DM，DN，由图可以得到M的轨迹是一条线段（AD的垂直平分线的一部分），M在AN上的时候最大（此时AM最大，MN最小），当M在AN上时，如图，设AM＝x，则MN＝3﹣x，DM＝AM＝x，∵D、N分别是BC、AC的中点，∴DN＝AB＝，在直角三角形DMN中，根据勾股定理，得DM2＝DN2+MN2，∴x2＝（3﹣x）2+2.52，解得x＝，∴3﹣x＝，此时AM﹣MN＝﹣＝．∴AM﹣MN的最大值为．故答案为：．16．（2021秋•诸暨市期中）如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，AF、CE都是这个三角形的高，P为AC 的中点，若∠B＝40°，则∠EPF＝100°．解：∵CE⊥BA，∠B＝40°，∴∠BCE＝50°，∵AF⊥BC，CE⊥BA，P为AC的中点，∴PF＝AC＝PC，PE＝AC＝PC，∴∠PFC＝∠PCF，∠PEC＝∠PCE，∴∠EPF＝2∠PCF+2∠PCE＝2∠BCE＝100°，故答案为：100°．17．（2021秋•温州期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°．以AB长为一边作△ABD，且AD＝BD，∠ADB＝90°，取AB中点E，连DE、CE、CD．则∠EDC＝75°．解：∵∠ACB＝90°，点E是AB中点，∴EC＝EA＝EB＝AB，∴∠ECA＝∠CAB＝30°，∴∠CEB＝60°，∵AD＝BD，点E是AB中点，∴DE⊥AB，即∠AED＝90°，∴∠DEC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∵∠ADB＝90°，点E是AB中点，∴DE＝AB，∴ED＝EC，∴∠EDC＝75°，故答案为：75．18．（2020春•揭西县期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝9，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF＝CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为6．解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝9，D为AB的中点，∴CD＝AB＝4.5．∵CF＝CD，∴DF＝CD＝×4.5＝3．∵BE∥DC，∴DF是△ABE的中位线，∴BE＝2DF＝6．故答案为6．19．（2019春•瑶海区期末）如图，直角边分别为3，4的两个直角三角形如图摆放，M，N为斜边的中点，则线段MN的长为．解：连接CM、CN，由勾股定理得，AB＝DE＝＝5，∵△ABC、△CDE是直角三角形，M，N为斜边的中点，∴CM＝，CN＝，∠MCB＝∠B，∠NCD＝∠D，∴∠MCN＝90°，∴MN＝，故答案为：．20．（2017春•武侯区校级月考）如图，∠MON＝90°，边长为4的等边△ABC的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最大距离为2+2．解：如图，取AB的中点D，连接OD、CD，∵△ABC是等边三角形，∴CD＝＝2，∵∠MON＝90°，∴OD＝AB＝＝2，由图可知，当点O、C、D三点共线时点C到点O的距离最大，最大值为2+2．故答案为：2+2．三．解答题（共9小题，满分60分）21．（2022春•汉滨区期中）如图，BN，CM分别是△ABC的两条高，点D，E分别是BC，MN的中点．（1）求证：DE⊥MN；（2）若BC＝26，MN＝10，求DE的长．（1）证明：如图，连接DM，DN，∵BN、CM分别是△ABC的两条高，∴BN⊥AC，CM⊥AB，∴∠BMC＝∠CNB＝90°，∵D是BC的中点，∴DM＝BC，DN＝BC，∴DM＝DN，∵E为MN的中点，∴DE⊥MN；（2）解：∵BC＝26，∴DM＝BC＝13，∵点E是MN的中点，MN＝10，∴ME＝5，由勾股定理得：DE＝＝12．22．（2021春•抚顺期末）如图，BN、CM分别是△ABC的两条高，点D、点E分别是BC、MN的中点，求证：DE⊥MN．证明：如图，连接DM，DN，∵BN、CM分别是△ABC的两条高，∴BN⊥AC，CM⊥AB，∴∠BMC＝∠CNB＝90°，∵D是BC的中点，∴DM＝BC，DN＝BC，∴DM＝DN，又∵E为MN的中点，∴DE⊥MN．23．（2019春•房山区期中）如图，锐角△ABC中，AD，CE为两条高，F，G分别为AC，DE的中点，猜想FG与DE的位置关系并加以证明．解：FG⊥DE，理由如下：连接FE、FD，∵AD，CE为两条高，∴AD⊥BC，CE⊥AB，∵F为AC的中点，∴EF＝AC，FD＝AC，∴FE＝FD，∵G为DE的中点，∴FG⊥DE．24．（2021春•新泰市期中）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为AC的中点．EF⊥BD，垂足为F．（1）求证：BE＝DE；（2）若AC＝26，EF＝5，求BD的长．解：（1）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为AC的中点，∴BE＝DE＝AC；（2）∵BE＝DE，EF⊥BD，∴BD＝2BF，∵BE＝AC，AC＝26，∴BE＝13，∵EF＝5，∴BF＝＝＝12，∴BD＝2BF＝24．25．（2020春•江岸区校级月考）在三角形△ABC中，D是BC边的中点，AD＝BC．（1）△ABC的形状为直角三角形．（2）如图，BM＝3，BC＝12，∠B＝45°，∠MAN＝45°，求CN；（3）在（2）的条件下，AN＝2．解：（1）结论：△ABC是直角三角形．理由：∵BD＝DC，AD＝BC，∴DA＝DB＝DC，∴∠BAC＝90°．故答案为直角三角形．（2）如图，设CN＝x．∵∠B＝45°，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝∠B＝45°，∴AB＝AC，∵BD＝DC，∴AD⊥BC，将△BAM绕点A逆时针旋转90°得到△ACH，连接NH．∵∠ACB＝∠ACH＝∠B＝45°，∴∠NCH＝90°，∵∠MAN＝45°，∠MAH＝90°，∴∠NAM＝∠NAH＝45°，∵NA＝NA，AM＝AH，∴△NAM≌△NAH（SAS），∴MN＝NH，∵BM＝CH＝3，BC＝12，∴CM＝12﹣3＝9，∴MN＝NH＝9﹣x，∵NH2＝CH2+CN2，∴（9﹣x）2＝x2+32，解得x＝4．∴CN＝4．（3）在Rt△ADN中，∵∠ADN＝90°，AD＝BD＝CD＝6，DN＝CD﹣CN＝6﹣4＝2，∴AN＝＝＝2．故答案为2．26．（2019春•城关区校级期中）小明在学完北师大数学八年级（下）第一章后，看到这样一道题目：“已知，如图∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，求证：MN⊥BD．小明思考片刻，找到了解决方法，他作了辅助线．聪明的你知道他作的辅助线是什么吗？怎么证明的？小明又突然想到，在边AD上能找一点P，使得PB＝PD，请你写出证明过程．解：①连接BM、DM，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，∴BM＝AC，DM＝AC，∴BM＝DM，又N为BD的中点，∴MN⊥BD；②∵BM＝DM，∴M在BD的垂直平分线上，∵PB＝PD，∴P在BD的垂直平分线上，∴PM垂直平分BD，∴MN⊥BD．27．（2022•宜城市模拟）如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，AD⊥DB，点E为AB的中点，DE∥BC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）连接EC，若∠A＝30°，DC＝，求EC的长．（1）证明：∵AD⊥DB，点E为AB的中点，∴DE＝BE＝AB．∴∠1＝∠2．∵DE∥BC，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．∴BD平分∠ABC．（2）解：∵AD⊥DB，∠A＝30°，∴∠1＝60°．∴∠3＝∠2＝60°．∵∠BCD＝90°，∴∠4＝30°．∴∠CDE＝∠2+∠4＝90°．在Rt△BCD中，∠3＝60°，DC＝，∴DB＝2．∵DE＝BE，∠1＝60°，∴DE＝DB＝2．∴EC＝＝＝．28．（2022春•永丰县期中）同学们知道：“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．”（1）请写出它的逆命题在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（2）应用：若学校有一块三角形的绿地，AB＝BC＝20m，∠A＝15°，求绿地△ABC的面积？解：（1）逆命题为：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半，故答案为：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（2）过C点作CD⊥AB交AB的延长线于点D，∵AB＝BC＝20m，∠A＝15°，∴∠A＝∠ACB＝15°，∴∠DBC＝∠A+∠ACB＝30°，∴CD＝BC＝10cm，∴S△ABC＝AB•CD＝×20×10＝100（cm2）．29．（2020春•重庆期末）如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE．（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．（1）证明：如图（1），连接DM，ME，∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，∴DM＝BC，ME＝BC，∴DM＝ME，又∵N为DE中点，∴MN⊥DE；（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），＝360°﹣2（180°﹣∠A），＝2∠A，∴∠DME＝180°﹣2∠A；（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，理由如下：连接DM，ME，在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC，＝2（180°﹣∠BAC），＝360°﹣2∠BAC，∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC），＝2∠BAC﹣180°．。
第3讲 直角三角形全等的性质与判定(培优)
1．如图1，CD AB ⊥于D ，BE AC ⊥于E ，BE 与CD 交于O ，OB OC =，则图中全等的直角三角形共有()A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对2.如图2，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，点D 是AC 上一点，将ABD ∆沿线段BD 翻折，使得点A 落在A '处，若28A BC '∠=︒，则(CBD ∠=)A ．15︒B ．16︒C ．18︒D ．20︒3.已知如图3，//AD BC ，AB BC ⊥，CD DE ⊥，CD ED =，2AD =，3BC =，则ADE ∆的面积为()A ．1B ．2C ．5D ．无法确定4.把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图4所示的方式放置，其中一个锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A ，且另外三个锐角顶点B ，C ，D 在同一条直线上，若AB ＝，则CD 的长为（）A ．﹣1B ．C ．﹣1D ．5.如图5，ABC ∆的角平分线CD 、BE 相交于F ，90A ∠=︒，//EG BC ，且CG EG ⊥于G ，下列结论：①2CEG DCB ∠=∠；②12DFB CGE ∠=∠；③ADC GCD ∠=∠；④CA 平分BCG ∠．其中正确的结论是()A ．③④B ．①②④C ．①②③D ．①②③④6.如图6，ABC ∆中，10AB AC ==，210BC =，点D 是AB 上一点，连接CD ，将BCD ∆沿CD 翻折得到△B CD '，若B D AC '⊥于点E ，则E 到CD 的距离为()A ．6B ．8C ．455D ．6557.如图7，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，62B ∠=︒，D 、E 分别在AB 、AC 上，将ADE ∆沿DE 折叠得FDE ∆，且满足//EF AB ，则1∠=．8.如图8，已知∠AOB ＝45°，点P 在OA 边上，OP ＝8cm ，点M 、N 在边OB 上，PM ＝PN ，若MN ＝2cm ，则ON 的长为．9.如图9，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，CA ＝CB ＝6，CE ＝CD ，△ACB 的顶点A 在△ECD 的斜边DE 上，若AE ：AD ＝1：2，则两个三角形重叠部分的面积为．10.如图10，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 为ABC ∆外一点，连接AD ，BD ，CD ，发现4AD =，2CD =且45ADC ∠=︒，则BD =．11.如图11，在等腰三角形ABC 中，4AC BC ==，30A ∠=︒，点D 为AC 的中点，点E 为边AB 上一个动点，连接DE ，将ADE ∆沿直线DE 折叠，点A 落在点F 处．当直线EF 与直线AC 垂直时，则AE 的长为．12.如图12，ABC ∆中60CAB ∠=︒，AD 平分CAB ∠交BC 于点D ，6AC AB +=，当ABD ∆为直角三角形时，线段AD 的值为．13.小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，A 、B 、D 三点在同一直线上，//EF AD ，90CAB EDF ∠=∠=︒，45C ∠=︒，60E ∠=︒，量得8DE =．（1）试求点F 到AD 的距离．（2）试求BD 的长．14.如图，在ABC ∆中，AC AB >，以点A 为圆心、AB 长为半径的弧交BC 于点D ，连接AD ，过点B 作BE AD ⊥，垂足为点E ．（1）若10AB =，2DE =，求ABD ∆的面积；（2）若125AC =，20AD =，410CD =，求ABC ∆的面积．15.如图1，点A 、D 在y 轴正半轴上，点B 、C 分别在x 轴上，CD 平分ACB ∠与y 轴交于D 点，90CAO BDO ∠=︒-∠．（1）求证：AC BC =；（2）如图2，点C 的坐标为(4,0)，点E 为AC 上一点，且DEA DBO ∠=∠，求BC EC +的长．16.在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN ∠=︒，2AB =时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =；（3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：2AB AN AM +=．17.在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，10AB =，点D 是射线CB 上的一个动点，ADE ∆是等边三角形，点F 是AB 的中点，连接EF ．（1）如图，当点D 在线段CB 上时，①求证：AEF ADC ∆≅∆；②连接BE ，设线段CD x =，线段BE y =，求y 关于x 的函数解析式及取值范围；（2）当15DAB ∠=︒时，求ADE ∆的面积．。
直角三角形竞赛资料
八年级数学竞赛培优专题讲义----- 直角三角形知识精讲勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，在公元前110多年前，商高已经证明了普遍意义下的勾股定理，国外把勾股定理称为“毕达哥拉斯定理”。
勾股定理是平面几何中一个重要定理，其广泛的应用体现在：勾股定理是现阶段线段计算、证明线段平方关系的主要方法；运用勾股定理的逆定理，通过计算也是证明两直线垂直位置关系的一种有效手段。
直角三角形是一类特殊三角形，有着丰富的性质：两锐角互余（角的关系）、勾股定理（边的关系）、300角所对的直角边等于斜边的一半（边角关系），这些性质在求线段的长度、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面有广泛的应用。
例题精析例1、如图，四边形ABCD 中，DC//AB ，BC=1，AB=AC=AD=2，则BD 的长为（ ） A.14 B.15 C.23 D.32例2、如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，D 、E 是边AB 上的两点，AD=3，BE=4， ∠DCE=45°，求△ABC 的面积。
ABCD E图-184例3、如图，在凸四边形ABCD 中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC. 证明：BD 2=AB 2+BC 2例4、一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存在？若存在，确定它三边的长；若不存在，说明理由。
例5、 如图，设正△ABC 的边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是BC 边上的任意一点，PA+PM 的最大值和最小值分别记作S 和T ，求22S T 的值。
186M PBAC例6、设A 是给定的正有理数（1）若A 是一个三边长都是有理数的直角三角形的面积，求证：一定存在3个正有理数x 、y 、z ，使得2222x y y z A -=-=；（2）若存在3个正有理数x 、y 、z ，满足2222x y y z A -=-=，求证：存在一个三边长都是有理数的直角三角形，它的面积等于A 。
专题03 7.5解直角三角形培优训练(解析版)九下数学专题培优训练
专题03 7.5解直角三角形培优训练班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题1.如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+√55BD的最小值是()A. 2√5B. 4√5C. 5√3D. 10【答案】B【解析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M.由tanA=BEAE=2，设AE=a，BE=2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH=√55BD，推出CD+√55BD=CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．【解答】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠ABE=90°，∵tanA=BEAE=2，设AE=a，BE=2a，则有：100=a2+4a2，∴a2=20，∴a=2√5或−2√5(舍弃)，∴BE=2a=4√5，∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AC，∴CM=BE=4√5(等腰三角形两腰上的高相等))∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，∴sin∠DBH=DHBD =AEAB=√55，∴DH=√55BD，∴CD+√55BD=CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+√55BD≥4√5，∴CD+√55BD的最小值为4√5．故选：B．2.将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形ABCD，连接AC，则tan∠ACD的值为()A. √3B. √3+1C. √3−1D. 2√3【答案】B【解析】本题考查了锐角三角函数，解直角三角形，解此题的关键是能构造直角三角形，并进一步求出各个线段的长，有一定难度．作AH⊥CB交CB的延长线于H，利用含45°的等腰直角三角形和含30°角的直角三角形，解直角三角形，求出各边长，并证明AH//DC，推出∠ACD=∠CAH，由锐角三角函数定义即可解决问题．【解答】解：如图，△BCD是含45°的等腰直角三角形，△ABD是含30°角的直角三角形，∠ADB= 30°，作AH⊥CB交CB的延长线于H．∵∠ABD=90°，∠DBC=45°，∴∠ABH=45°，∵∠AHB=90°，∴△ABH是等腰直角三角形，∴AH=BH，设AH=BH=a，则AB=√2a，BD=√6a，BC=CD=√3a，CH=a+√3a，∵∠AHB=∠DCB=90°，∴AH//DC，∴∠ACD=∠CAH，∴tan∠ACD=tan∠CAH=CHAH=√3+1，故选B．3.如图，在正方形ABCD中，以BC为边向正方形内部作等边△BCE连接AE，DE，连接BD交CE于点F，有下列结论：①∠AED=150∘；②△DEF∽△BAE；③DFFB =√33；④S△BEC:S△BFC=(√3+2):3.其中正确结论的个数为()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B【解析】此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形的内角和，相似三角形，全等三角形的判定及含30°的直角三角形的性质．①利用正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形的内角和，周角求得判定即可②由①可得到∠ADE的度数，再利用正方形的性质即可得∠DEF=∠ABE，即可判定③可利用含30°的直角三角形的性质即可分别求出DFBF，再与tan∠ECD=tan30°作比较即可④两个三角形的底相同，由高的比进行判定即可【解答】解：∵△BEC为等边三角形∴∠EBC=∠BEC=∠ECB=60°，AB=EB=EC=BC=DC ∵四边形ABCD为正方形∴∠ABE=∠ECD=90°−60°=30°∴在△ABE和△DCE中，AB=DC∠ABE=∠ECDBE=EC∴△ABE≌△DCE(SAS)∴∠AEB=∠DEC=180°−30°2=75°∴∠AED=360°−60°−75°×2=150°故①正确由①知AE=ED∴∠EAD=∠EDA=15°∴∠EDF=45°−15°=30°∴∠EDF=∠ABE由①知∠AEB=∠DEC，∴△DEF～△BAE故②正确过点F作FM⊥DC交于M，如图设DM=x，则FM=x，DF=√2x∵∠FCD=30°∴MC=√3x则在Rt△DBC中，BD=√2⋅(√3+1)x∴BF=BD−DF=√2⋅(√3+1)x−√2x则DFBF =√2x√2(√3+1−1)x=√33故③正确如图过点E作EH⊥BC交于H，过F作FG⊥BC交于G，得由③知MC=√3x，MC=FG∴FG=√3x∵BC=DC=(√3+1)x∴BH=√3+12x∵∠EBC=60°∴EH=√3⋅√3+12x，∴S△BECS△BFC =12⋅EH⋅BC12⋅FG⋅BC=EHFG=√3⋅√3+12x√3x=√3+12故④错误，所以正确的有3个．故选：B．4.在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是()A. 2B. 12C. 23D. √55【答案】B【解析】如图，取格点K，连接AK，BK.观察图象可知AK⊥BK，BK=2AK，BK//CD，推出∠AED=∠ABK，解直角三角形求出tan∠ABK即可．本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．【解答】解：如图，取格点K，连接AK，BK．观察图象可知AK⊥BK，BK=2AK，BK//CD，∴∠AED=∠ABK，∴tan∠AED=tan∠ABK=AKBK =12，故选：B．5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，AC=3，cosA=13，将△DAC沿着CD折叠后，点A落在点E处，则BE的长为()A. 4√2B. 4C. 7D. 3√2【答案】C【解析】本题考查的是翻转变换的性质、勾股定理、直角三角形的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．连接AE，根据余弦的定义求出AB，根据勾股定理求出BC，根据直角三角形的性质求出CD，根据面积公式出去AE，根据翻转变换的性质求出AF，根据勾股定理、三角形中位线定理计算即可．【解答】解：连接AE交CD于点F，∵AC=3，cos∠CAB=13，∴AB=3AC=9，由勾股定理得，BC=√AB2−AC2=6√2，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD=12AB=92，S△ABC=12×3×6√2=9√2，∵点D为AB的中点，∴S△ACD=12S△ABC=9√22，由翻转变换的性质可知，S四边形ACED=9√2，AE⊥CD，×CD×AE=9√2，则12解得，AE=4√2，∴AF=2√2，，由勾股定理得，DF=√AD2−AF2=72∵AF=FE，AD=DB，∴BE=2DF=7，故选C．6.在长和宽分别是19和15矩形内，如图所示放置5个大小相同的正方形，且A、B、C、D四个顶点分别在矩形的四条边上，则每个小正方形的边长是()A. √29B. 5.5C. √181D. 3√52【答案】A【解析】本题考查了矩形的性质、正方形的性质、解直角三角形以及同角三角函数的关系．设正方形边长为x，EF与OD边成的角为θ，则GH与OA、OC边成的角为θ，AB与AJ 边成的角为θ，利用θ的正弦值、余弦值表示出矩形的长和宽，进一步利用同角三角函数的关系，求得结论即可．【解答】解：如图，作EF平行于长方形的长，GH平行于长方形的宽，交于O，设正方形边长为x，EF与OD边成的角为θ，则GH与OA、OC边成的角为θ，AB与AJ边成的角为θ，在Rt△AOH、Rt△COG中，GH=OG+OH=xcosθ+2xcosθ=3xcosθ=15，同理得出EF=EO+HA+AJ=2xcosθ+2xsinθ+xcosθ=3xcosθ+2xsinθ=19②解①得xcosθ=5将xcosθ=5代入②解②得xsinθ=2，两边平方相加得x2=29，所以正方形的边长x=√29．故选A．二、填空题7.如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=12BD，连接AC，若tanB=53，则tan∠CAD的值______．【答案】15【解析】延长AD ，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，由tanB =53，即AD AB =53，设AD =5x ，则AB =3x ，然后可证明△CDE∽△BDA ，然后相似三角形的对应边成比例可得：CE AB =DE AD =CD BD =12，进而可得CE =32x ，DE =52x ，从而可求tan∠CAD =EC AE =15． 本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将∠CAD 放在直角三角形中．【解答】解：如图，延长AD ，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，∵tanB =53，即AD AB =53， ∴设AD =5x ，则AB =3x ，∵∠CDE =∠BDA ，∠CED =∠BAD ，∴△CDE∽△BDA ，∴CE AB =DE AD =CD BD =12，∴CE =32x ，DE =52x ， ∴AE =152x ，∴tan∠CAD =EC AE =15， 故答案为15．8. 已知在菱形ABCD 中，∠A =60°，DE//BF ，sinE =45，DE =6，EF =BF =5，则菱形ABCD 的边长=______．【答案】4√5【解析】连接BD ，过B 作BG//EF 交DE 的延长线于G ，根据菱形的判定和性质以及解直角三角形求得BD ，判断△ABD 是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得出菱形ABCD 的长．本题考查了菱形的性质及勾股定理的知识，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形．【解答】解：连接BD ，过B 作BG//EF 交DE 的延长线于G ，∵∠DEF =∠F ，∴EG//BF ，∴四边形BFEG 是平行四边形，∵EF =BF ，∴四边形BFEG 是菱形，∴EG =BG =EF =BF =5，∴DG =6+5=11，∵EF//BG ，∴∠G =∠DEF ，过D 作DH ⊥GB 交GB 的延长线于H ，∴∠DHG =90°，∵sin∠DEF =sinG =DH DG =45， ∴DH =445， ∴GH =335，∴BH =GH −BG =85，∴BD =√BH 2+DH 2=√(85)2+(445)2=4√5，∵在菱形ABCD 中，∠A =60°，∴△ABD 是等边三角形，∴AB =BD =4√5，故答案为：4√5．9. 如图，△AOB 为等腰三角形，顶点A 的坐标为(2,√5)，底边OB 在x 轴上．将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得到△A′O′B ，点A 的对应点A′在x 轴上，则点O′的坐标为________【答案】(203,4√5 3)【解析】本题考查了坐标与图形变化−旋转，主要利用了勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．过点A作AC⊥OB于C，过点O′作O′D⊥A′B于D，根据点A的坐标求出OC、AC，再利用勾股定理列式计算求出OA，根据等腰三角形三线合一的性质求出OB，根据旋转的性质可得BO′=OB，∠A′BO′=∠ABO，然后解直角三角形求出O′D、BD，再求出OD，然后写出点O′的坐标即可．【解答】解：如图，过点A作AC⊥OB于C，过点O′作O′D⊥A′B于D，∵A(2,√5)，∴OC=2，AC=√5，由勾股定理得，OA=√OC2+AC2=√22+(√5)2=3，∵△AOB为等腰三角形，OB是底边，∴OB=2OC=2×2=4，由旋转的性质得，BO′=OB=4，∠A′BO′=∠ABO，∴O′D=4×√53=4√53，BD=4×23=83，∴OD=OB+BD=4+83=203，∴点O′的坐标为(203,4√53)，故答案为(203,4√5 3).10.三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，则CD的长度是______．【答案】15−5√3【解析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF=45°，进而可得出答案．本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴∠ABC=30°，BC=10×tan60°=10√3，∵AB//CF，=5√3，∴BM=BC×sin30°=10√3×12CM=BC×cos30°=15，在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45°，∴MD=BM=5√3，∴CD=CM−MD=15−5√3．故答案是：15−5√3．11.如下图，正方形ABCD中，AB=3，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正CD连接GH，则GH的最小值为________．方形DEFG，点H是CD上一点，且DH=23【答案】√22【解析】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和三角形中位线定理解答.连接CG.证明△ADE≌△CDG(SAS)，推出∠DCG=∠DAE=45°，推出点G的运动轨迹是射线CG，根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小．【解答】解：连接CG．∵四边形ABCD是正方形，四边形DECG是正方形，∴DA=DC=AB=3，DE=DG，∠ADC=∠EDG=90∘，∠DAC=45∘，∴∠ADE=∠CDG，∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴∠DCG=∠DAE=45∘，∴点G的运动轨迹是射线，根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小，∵DH=23CD=2，∴CH=CD−DH=3−2=1，∴最小值=CH⋅sin45∘=1×√22=√22．故答案为：√2．212.如图，∠EFG=90°，EF=10，OG=17，，则点F的坐标是_________．【答案】(8,12)【解析】本题考查坐标与图形性质，解直角三角形，勾股定理的运用，过点F作直线FA//OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥AH于点H，易得∠AEF=∠HFG=∠FGO，然后利用勾股定理和解直角三角形分别求出AF和HG的长即可．【解答】解：过点F作直线FA//OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥AH于点H，∴∠FGO=∠HFG，∠EAF=90°，∠AOG=90°=∠AHG，∴四边形AOGH为矩形，∴OG=AH=17，∵∠EFG=90°，∴∠AFE+∠AEF=90°，∠HFG+∠AFE=90°，∴∠AEF=∠HFG=∠FGO，=6，在Rt△AEF中，EF=10，则AE=10·cos∠FEA=10×35∴AF=√EF2−AE2=8，FH=AH−AF=17−8=9，在Rt△FGH中，FG=FHcos∠HFG=935=15，∴HG=√FG2−FH2=12，∴点F的坐标为(8,12)．故答案为(8,12)．三、解答题13.如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，垂足为O，直线l为⊙O的切线，A是切点，D是OA上一点，CD的延长线交直线l于点E，F是OB上一点，CF的延长线交⊙O于点G，连接AC，AG，已知⊙O的半径为3，CE=√34，5BF−5AD=4．(I)求AE的长；(2)求cos∠CAG的值及CG的长．【解析】(1)延长CO交⊙O于T，过点E作EH⊥CT于H.首先证明四边形AEHO是矩形，利用勾股定理求出CH，OH即可．(2)利用勾股定理求出CF，利用相似三角形的性质求出FG，证明∠CAG=∠CTG，求出cos∠CTG即可解决问题．本题考查切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．【答案】解：(1)延长CO交⊙O于T，过点E作EH⊥CT于H．∵直线l是⊙O的切线，∴AE⊥OD，∵OC⊥AB，∴∠EAO=∠AOH=∠EHO=90°，∴四边形AEHO是矩形，∴EH=OA=3，AE=OH，∵CH=√EC2−EH2=√(√34)2−32=5，∴AE=OH=CH−CO=5−3=2．(2)∵AE//OC，∴AE OC =AD DO =23，∴AD =25OA =65， ∵5BF −5AD =4，∴BF =2，∴OF =OB −BF =1，AF =AO +OF =4，CF =√OC 2+OF 2=√32+12=√10， ∵∠FAC =∠FGB ，∠AFC =∠GFB ，∴△AFC∽△GFB ，∴AF FG =CF BF ，∴4FG =√102， ∴FG =4√105， ∴CG =FG +CF =9√105，∵CT 是直径，∴∠CGT =90°， ∴GT =√TC 2−CG 2=(9√105)=3√105， ∴cos∠CTG =TG TC =3√1056=√1010， ∵∠CAG =∠CTG ，∴cos∠CAG =√1010．14. 在矩形ABCD 中，AB =8，点H 是直线AB 边上的一个点，连接DH 交直线CB 的干点E ，交直线AC 于点F ，连接BF ．(1)如图①，点H 在AB 边上，若四边形ABCD 是正方形，求证：△ADF≌△ABF ；(2)在(1)的条件下，若△BHF 为等腰三角形，求HF 的长；(3)如图②，若tan∠ADH =43，是否存在点H ，使得△BHF 为等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．【解析】(1)根据SAS证明三角形全等即可．(2)想办法证明∠ADH=30°，求出AH即可解决问题．(3)如图②中，可以假设AH=4k，AD=3k，DH=5k，因为△BHF是等腰三角形，∠BHF 是钝角，推出HF=BH，设BH=HF=x，构建方程组解决问题即可．本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．【答案】(1)证明：如图①中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠FAB=∠FAD=45°，∵AF=AF，∴△ADF≌△ABF(SAS)．(2)解：如图①中，∵∠BHF>∠HAD，∴∠BHF是钝角，∵△BHF是等腰三角形，∴BH=FH，∴∠HBF=∠BFH，∵△ADF≌△ABF，∴∠ADF=∠ABF，∵∠AHD =∠HBF +∠BFH ，∴∠AHD =2∠ADH ，∵∠AHD +∠ADH =90°，∴∠ADH =30°，∴AH =AD ⋅tan30°=8√33， ∴BH =HF =8−8√33．(3)解：如图②中，存在．理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =8，AB//CD ，∠DAH =90°，∵tan∠ADH =AHAD =43， ∴可以假设AH =4k ，AD =3k ，则DH =5k ，∵△BHF 是等腰三角形，∠BHF 是钝角，∴HF =BH ，设BH =HF =x ，∵AH//CD ，∴AH CD =HF DF ， ∴4k8=x 5k−x①， ∵AH +BH =8，∴4k +x =8 ②，由①②可得，x =83或403(舍弃)，∴存在，该三角形的腰长为83．15. 如图，在锐角△ABC 中，小明进行了如下的尺规作图：①分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧分别相交于点P 、Q ；②作直线PQ分别交边AB、BC于点E、D．(1)小明所求作的直线DE是线段AB的______；(2)联结AD，AD=7，sin∠DAC=17，BC=9，求AC的长．【答案】(1)线段AB的垂直平分线(或中垂线)；(2)过点D作DF⊥AC，垂足为点F，如图，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD=7∴CD=BC−BD=2，在Rt△ADF中，∵sin∠DAC=DFAD =17，∴DF=1，在Rt△ADF中，AF=√72−12=4√3，在Rt△CDF中，CF=√22−12=√3，∴AC=AF+CF=4√3+√3=5√3．【解析】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了解直角三角形．【解答】】(1)利用基本作法进行判断；(2)过点D作DF⊥AC，垂足为点F，如图，根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD=7，则CD=2，在Rt△ADF中先利用正弦的定义可计算出DF，再利用勾股定理可计算出AF，接着在Rt△CDF中利用勾股定理可计算出CF，然后计算AF+CF．解：(1)小明所求作的直线DE是线段AB的垂直平分线(或中垂线)；故答案为线段AB的垂直平分线(或中垂线)；(2)见答案．16.如图，矩形ABCD中，AD=8，AB=16，点E在AB边上，与点A、B不重合，过点D作DE的垂线与BC的延长线相交于点F，连结EF，交CD于点G．(Ⅰ)当G为EF的中点时，求AE的长；(Ⅱ)当△DEG是以DE为腰的等腰三角形时，求tan∠ADE．【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、矩形的性质、解直角三角形等知识，解决本题的关键是综合运用以上知识．(Ⅰ)根据∠ADE=∠CDF，∠A=∠DCF=90°证明△DAE∽△DCF，对应边成比例，再根据三角形中位线定理即可求解；(Ⅱ)①当DE=DG时，先证明△EDF≌△EBF得DE=BE，再根据勾股定理求得AE的长，即可求得结果；②当ED=EG时，证明△DAE∽△FBE得DAFB =AEBE，求得AE的长，即可求得结果．【答案】解：(Ⅰ)∵DF⊥DE ∴∠EDG+∠CDF=90°又∵∠EDG+∠ADE=90°∴∠ADE=∠CDF又∵∠A=∠DCF=90°∴△DAE∽△DCF∴ADCD =AECF∴CF=16×AE8=2AE又∵CD//AB，点G为EF的中点∴点C为BF的中点∴CF=BC=8∴2AE=8∴AE=4(Ⅱ)①当DE=DG时，则∠DEG=∠DGE 又∵CD//AB，∴∠DGE=∠BEG∴∠DEG=∠BEG又∵∠EDF=∠EBF=90°EF=EF∴△EDF≌△EBF(AAS)∴DE=BE设AE=x，则BE=16−x，在Rt△DAE中，AD2+AE2=DE2∴82+x2=(16−x)2解得x=6，即AE=6∴tan∠ADE=AEAD =68=34②当ED=EG时，则∠EDG=∠EGD 又∵CD//AB∴∠EGD=∠BEG，∠EDG=∠AED ∴∠AED=∠BEG又∠A=∠B=90°∴△DAE∽△FBE∴DAFB =AEBE由(I)得：CF=2AE设AE=x，则CF=2x，BE=16−x，BF=8+2x，∴88+2x =x16−x解得：x1=4√5−4，x2=−4√5−4(舍去)∴AE=4√5−4∴tan∠ADE=AEAD =4√5−48=√5−12综上所述：tan∠ADE=34或tan∠ADE=√5−12．17.在△ABC中，∠ACB=90°．(1)如图①，若点E在AC的延长线上，ED⊥AB，垂足为D，MN//AB分别交AE、BE于点M、N.且BC=MN，cos∠ABC=35，AD=8，求AM的长；(2)如图②，若将△ABC绕点A逆时针旋转一个锐角得到△AEF，连接FC并延长交BE于点M，若CFBM =43，求tan∠ABC．【解析】本题是几何变换综合题，考查了勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．(1)设BC=3x，AB=5x，根据勾股定理可求AC=4x，根据锐角三角函数可求AE=10，由题意可证△EMN∽△EAB，可得EMEA =MNAB，可求EM=6，即可求AM的长；(2)根据旋转的性质可得AF=AC，EF=BC，AE=AB，∠FAE=∠CAB，∠ACB=∠AFE=90°，即可得∠FAC=∠EAB，∠EFM=∠G=∠BCG，可得BC=BG=EF，根据“AAS”可证△EFM≌△BGM，可得BM=EM，通过证明△FAC∽△EAB，可得ACAB=CF BE =4a6a=23，设AC=2b，AB=3b，根据勾股定理求出AC，即可求tan∠ABC的值．【答案】解：(1)∵cos∠ABC=35=BCAB，∴设BC=3x，AB=5x.在Rt△ABC中，AC=√AB2−BC2=4x．∵tan∠CAB=BCAC =DEAD=3x4x=34，∴DE=34AD，且AD=8，∴DE=6.在Rt△ADE中，AE=√AD2+DE2=10．∵MN=BC，∴MN=3x．∵MN//AB，∴△EMN∽△EAB，∴EMEA =MNAB，∴EM10=3x5x，∴EM=6，∴AM=AE−ME=4．(2)过点B作BG//EF，交FM延长线于点G．∵CFBM =43，∴设CF=4a，BM=3a．∵将△ABC绕点A逆时针旋转一个锐角，得到△AEF，∴AF=AC，EF=BC，AE=AB，∠FAE=∠CAB．∵AF=AC，∴∠AFC=∠ACF.∵∠ACB=∠AFE=90°，∴∠AFC+∠EFM=90°，∠ACF+∠BCG=90°，∴∠BCG=∠EFM．∵EF//BG，∴∠EFM=∠G，∴∠BCG=∠G，∴BC=BG，∴BG=EF，且∠EFM=∠G，∠FME=∠BMG，∴△EFM≌△BGM，∴EM=BM=3a，∴BE=6a．∵∠FAE=∠CAB，∴∠FAC=∠EAB，且AFAE =ACAB，∴△FAC∽△EAB，∴ACAB =CFBE=4a6a=23，∴设AC=2b，AB=3b.在Rt△ACB中，BC=√AB2−BC2=√5b，∴tan∠ABC=ACBC =2√55．。
《直角三角形》全章培优提高复习(初二)
《直角三角形》全章培优提高复习一、知识过关：一、知识要点梳理与过关：1、直角三角形的定义：叫直角三角形。
直角三角形 ABC用几何符号表示为__________ 。
说明一个三角形是直角三角形时，一般必须说明哪个内角是直角或哪条边是斜边，不然的话就要分类讨论。
2、直角三角形的性质：①直角三角形中有一个角是_________ :②直角三角形中两个锐角_________ ；③直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的_________ ；④直角三角形中，如果有一角等于30 °那么这个角所对的直角边是斜边的 _________ ；⑤直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于___ ；⑥勾股定理（直角三角形的三边关系定理）： _______________________________________________________ ，用几何语言叙述为___________________________________________ 。
注意：1、定理1用来求直角三角形的角的度数；定理2、3通常用于证明线段之间的倍分关系；定理 4通常用于求三角形中角的度数；定理 5通常用来求直角三角形的边长。
2、勾股定理是在三角形为直角三角形的前提下描绘三边之间关系的，利用勾股定理，已知直角三角形的任意两边可求第三边。
计算中一定要注意找准斜边和直角边，同时要熟悉以下公式的变形：222222 2 2 2 2 2 2a =c -b,b =c -a,c=a b a=. c -b ,b= c -a⑦直角三角形面积计算方法是：_____________________________________ 。
⑧直角三角形斜边上的高线长度公式：__________________________________。
3、直角三角形的判定方法：①利用角来判定： ___________________ 或__________________ 的三角形是直角三角形。
第一章：解直角三角形培优训练试题
第一章：解直角三角形培优训练试题一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！1．如图，某地修建的一座建筑物的截面图的高BC ＝5m ，坡面AB 的坡度为1：3，则AB 的长度为（ ） A ．10mB ．103mC ．5mD ．53m2.如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点A 处测得树顶C 的仰角为045，在点B 处测得树顶C 的仰角为060，且A ，B ，D 三点在同一直线上，若m AB 16=，则这棵树CD 的高度是（ ） A ．()m 338-B ．()m 338+C ．()m 336-D ．()m 336+3．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A ，B ，C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C ，D ，则cos ∠ADC 的值为（ ）A ．13132 B ．13133 C ．32 D ．35 4.如图，已知△ABC 内接于半径为1的⊙O ，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC 的面积的最大值为( ) A ．cos θ(1+cos θ) B ．cos θ(1+sin θ) C ．sin θ(1+sin θ) D ．sin θ(1+cos θ)5.在中，、均为锐角，且，则是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 6.数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB 的高度．如图，他们在地面上C 点测得最高点A 的仰角为22°，再向前70m 至D 点，又测得最高点A 的仰角为58°，点C ，D ，B 在同一直线上，则该建筑物AB 的高度约为（ ）（精确到1m ．参考数据：，，，）A ．28mB ．34mC ．37mD ．46m7．如图，AB 是半圆的直径，ABC ∠的平分线分别交弦AC 和半圆于E 和D ，若2BE DE =，4AB =，则AE 长为（ ） A ．2B ．21+C ．6D ．4338．小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，山高为（ ）米A ．5250600-B ．2503600-C ．3350350+D ．35009.如图，等腰△ABC 的面积为2，AB=AC ，BC=2.作AE ∥BC 且AE=BC.点P 是线段AB 上一动点，连接PE ，过点E 作PE 的垂线交BC 的延长线于点F ，M 是线段EF 的中点.那么，当点P 从A 点运动到B 点时，点M 的运动路径长为（ ） A ．3B ．3C ．32D ．410．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，AE ⊥EF ．有下列结论：①∠BAE ＝∠EAF ；②射线FE 是∠AFC 的角平分线；③CF ＝14CD ；④AF ＝AB +CF ．其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！11.如图，在矩形ABCD 中，22==BC AB ，将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转，使得点B 落在边CD 上的点B '处，线段AB 扫过的面积为12．某校数学兴趣小组开展无人机测旗杆的活动：已知无人机的飞行高度为30m ，当无人机飞行至A 处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m 到达B 处，测得旗杆顶部的俯角为60°，则旗杆的高度约为 m ．（参考数据：732.13≈，结果按四舍五八保留一位小数）13.如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB 的高度，他从古塔底部点处前行m 30到达斜坡的底部点C 处，然后沿斜坡前行m 20到达最佳测量点D 处，在点D 处测得塔顶A 的仰角为030，已知斜坡的斜面坡度3:1=i ，且点A ，B ，C ，D ，在同一平面内，小明同学测得古塔的高度是 ．14．如图，在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，点D 、E 分别在AC 、BC 上，点F 在△ABC 内．若四边形CDFE 是边长为2的正方形，则cos ∠ABF ＝15．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在Rt △ABC 中，∠C=90°，若Rt △ABC 是“好玩三角形”，则tanA=16.如图．点E 在正方形ABCD 的边BC 上，2BE=3CE ，过点D 作AE 的垂线交AB 于F ，点G 为垂足，若FG=3，则EG 的长为三．解答题（共6题，共66分）温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！17．（本题6分）计算下列各式：（1）000030cos 45cos 60tan 30cos ⋅- （2）0002030sin 30tan 2345sin 260cos -+-18．（本题8分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是BC 边上一点，以DB 为直径的⊙O 经过AB 的中点E ，交AD 的延长线于点F ，连结EF ．（1）求证：∠1=∠F ．（2）若55sin =B ，52=EF ，求CD 的长．19（本题8分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D 在边AC 上，且AD=2CD ，DE ⊥AB ，垂足为点E ，联结CE ，求：（1）线段BE 的长；（2）求ECB ∠tan20.（本题10分）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD ，小明与同学们在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为53°，沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45°，已知山坡AB 的坡度i ＝1：3，AB ＝10米，AE ＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，sin53°≈54，cos53°≈53，tan53°≈34） （1）求点B 距水平地面AE 的高度；（2）求广告牌CD 的高度．（结果精确到0.1米）21．（本题10分）如图，“中国海监50”正在南海海域A 处巡逻，岛礁B 上的中国海军发现点A 在点B 的正西方向上，岛礁C 上的中国海军发现点A 在点C 的南偏东30°方向上，已知点C 在点B 的北偏西60°方向上，且B 、C 两地相距120海里．（1）求出此时点A 到岛礁C 的距离； （2）若“中海监50”从A 处沿AC 方向向岛礁C 驶去，当到达点A ′时，测得点B 在A ′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．（注：结果保留根号）22．（本题12分）如图，抛物线y=﹣x 2+6x 与x 轴交于点O ，A ，顶点为B ，动点E 在抛物线对称轴上，点F 在对称轴右侧抛物线上，点C 在x 轴正半轴上，且OC EF //，连接OE ，CF 得四边形OCFE ． （1）求B 点坐标；（2）当tan ∠EOC=34时，显然满足条件的四边形有两个，求出相应的点F 的坐标；（3）当0＜tan ∠EOC ＜3时，对于每一个确定的tan ∠EOC 值，满足条件的四边形OCFE 有两个，当这两个四边形的面积之比为1：2时，求tan ∠EOC ．23（本题12分）．在△ABC 中，∠ABC=90°．（1）如图1，分别过A 、C 两点作经过点B 的直线的垂线，垂足分别为M 、N ，求证：△ABM ∽△BCN ；（2）如图2，P 是边BC 上一点，∠BAP=∠C ，tan ∠PAC =552 ，求C tan 的值； （3）如图3，D 是边CA 延长线上一点，AE=AB ，∠DEB=90°，sin ∠BAC =53，52AC AD ，直接写出tan ∠CEB 的值．。
三角形培优训练100题集锦(一)2024
三角形培优训练100题集锦（一）【引言概述】三角形是数学中的一个重要几何概念，对于学生的数学培优训练具有重要意义。
本文整理了一份包含一百道三角形相关题目的训练集锦，旨在帮助学生系统地掌握三角形的性质、定理和计算方法，提高解题能力。
以下将从五个大点来阐述这份题集的内容。
【大点1：三角形基础知识】1. 三角形的定义及分类2. 三角形内角和的性质3. 三角形边长关系：三角不等式定理4. 三角形的周长和面积计算公式5. 三角形的特殊点：重心、垂心、外心、内心、费马点等【大点2：三角形的相似与全等】1. 相似三角形的性质2. 判定三角形相似的方法3. 三角形的全等的条件4. 利用相似三角形或全等三角形解题的方法5. 实际问题中的应用：测量、定位、相似比例等【大点3：三角形的角与线段关系】1. 角的平分线与垂直平分线的特点2. 三角形的角平分线定理3. 三垂线定理与垂心定理4. 外角与内角的关系5. 角与弧的关系及其应用：圆周角、弦切角、弧度制等【大点4：三角形的特殊性质与定理】1. 等腰三角形的性质与判定2. 直角三角形的性质与判定3. 正三角形的性质及计算4. 等边三角形的性质及计算5. 锐角三角形和钝角三角形的性质及判定【大点5：三角形的应用问题】1. 三角形的角度测量与边长测量2. 三角形在建筑工程中的应用：测量高度、角度与距离3. 三角形在地理学中的应用：测量地底深度、地图测量等4. 三角形在航空航天领域的应用：导航、角度计算等5. 三角形在日常生活中的应用：地理问题、旅行导航、地震角度计算等【总结】通过对本文中所整理的三角形培优训练100题集锦的学习，同学们将能够掌握三角形的基础知识，灵活运用三角形的相似与全等等性质和定理，熟练解决三角形的角与线段关系问题，理解各种特殊三角形的性质，并能够应用三角形的知识解决实际问题。
这将为学生的数学学习和思维能力的提高提供坚实的基础。
解直角三角形(培优)
解直角三角形1．(2015·湖南省衡阳市,第1２题3分）如图,为了测得电视塔的高度AB，在Ｄ处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔ﻩﻩ顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进1０0米到达Ｆ处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位:米）为( ）.ﻩﻩﻩA． B.51 C.D．１012．（2０15•浙江滨州，第12题3分）如图,在x轴的上方,直角∠ＢOA绕原点Ｏ按顺时针方向旋转.若∠BOA的两边分别与函数、的图象交于Ｂ、A两点,则∠OＡB大小的变化趋势为( ）ﻩﻩA.逐渐变小ﻩB.逐渐变大C.时大时小ﻩD.保持不变3．如图，要在宽为2２米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC 成120°角,路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DＯ与灯臂CＤ垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BＣ高度应该设计为( ）ﻩﻩ(3题) (4题)A．（11﹣2)米Ｂ.(11﹣2）米 C.(1１﹣２)米ﻩD．（1１﹣4)米4．（2０1５•山东日照 ,第１0题4分)如图,在直角ﻩＢAD 中,延长斜边BD 到点Ｃ，使ＤC ＝ＢD ，连接A Ｃ,若tanB =，则t ａｎﻩCA Ｄ的值（ ）ﻩﻩﻩA.ﻩ Ｂ.ﻩ C ．ﻩﻩD ．5.湖南路大桥于今年５月1日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线.某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度,在距桥塔ＡB 底部50米的Ｃ处,测得桥塔顶部Ａ的仰角为41．5°(如图).已知测量仪器CD 的高度为1米,则桥塔AB 的高度约为（ ）ﻩﻩ(6题)Ａ.３4米ﻩB.ﻩ38米ﻩC ． 45米ﻩD ．ﻩ5０米6.如图，斜面ＡＣ的坡度（ＣD 与ＡD 的比)为１：２，A Ｃ＝米,坡顶有一旗杆BC ,旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带相连,若AB ＝10米，则旗杆ＢC 的高度为( )ﻩﻩ A ．５米 Ｂ.６米 C . ８米 D .米ﻩ二.填空题ﻩ 1. 如图，菱形ABCD 的边长为15，si ｎﻩBAC =,则对角线AC 的长为 . ﻩ(１题） (2题) (3题） （5题)2.如图,在等边ﻩＡBＣ内有一点D,AＤ=5，BＤ＝6，CD=4，将ﻩＡBＤ绕A点逆时针旋转,使AB与ＡC重合，点D旋转至点E,则ﻩＣDE的正切值为．ﻩﻩ3.（2015•广东广州,第15题３分)如图，ﻩABC中,ＤＥ是BC的垂直平分线,DE交AC于点E，连接BE.若BE＝9，ＢC=12，则ｃosC= .ﻩ4．在ﻩABC中，ﻩB＝30°,AB=１2,ＡC=6,则BC=.5．(2015•山东东营，第1４题３分)4月26日,2015黄河口（东营）国际马拉松比赛拉开帷幕,中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播.如图，在直升机的镜头下,观测马拉松景观大道Ａ处的俯角为，B处的俯角为.如果此时直升机镜头C处的高度ＣD为２00米，点Ａ、D、Ｂ在同一直线上,则AB两点的距离是米．ﻩ6.（20１5湖北荆州第15题3分)15．如图，小明在一块平地上测山高,先在B处测得山顶A 的仰角为3０°,然后向山脚直行１00米到达C处，再测得山顶A的仰角为4５°,那么山高A Ｄ为米(结果保留整数，测角仪忽略不计，≈１．414,,1.73２)ﻩ(6题)（7题）7．(201５•浙江宁波，第１6题4分)如图,在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB 的高度，站在教学楼的Ｃ处测得旗杆底端B的俯角为4５°,测得旗杆顶端A的仰角为3０°,若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆ＡB的高度是m（结果保留根号）三解答题1．如图,热气球的探测器显示,从热气球Ａ处看一栋高楼顶部B的仰角为30°,看这栋高楼底部C的俯角为65°,热气球与高楼的水平距离ＡD为1２0m.求这栋高楼的高度.（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可)2.数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆ＡB的高度,如图,老师测得升旗台前斜坡FＣ的坡比为ｉFC＝１：10（即EF:CＥ=1:10)，学生小明站在离升旗台水平距离为35m（即ＣE＝３5m）处的C点，测得旗杆顶端B的仰角为α，已知taｎα=,升旗台高AF ＝１ｍ,小明身高CD=1.6m,请帮小明计算出旗杆AB的高度．ﻩﻩﻩ3．(2015·河南,第20题9分)如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BＣ的高度，他们在斜坡上Ｄ出测得大树顶端B的仰角是48°. 若坡角ﻩFAE＝30°,求大树的高度. (结果保留整数,参考数据:siｎ4８°≈０.７4，coｓ48°≈0.67，tan48°≈１.11，3≈１.73)ﻩ4. 如图，海中一小岛上有一个观测点A,某天上午９:0０观测到某渔船在观测点A的西南方向上的Ｂ处跟踪鱼群由南向北匀速航行。
培优专题直角三角形
注意数形 结合
ZC=90*° . 则AB=」I 则 BC= 12
(3) BC:AC=3:4, AB=10, 则BC= 6 ,AC= 8 ■
(4) AB=2,则 AB2+AC2+BC2= ___
一、知识演练
2、如图，所有的四边形都是正方形，所 有 的三角形都是直角三角形，其中最大 的正 方形的边长为7cm，正方形A、B、 C.
D的面积和奥9cm2・ _
（；
\一"1232a解23_m^..、、、_2、 、 — ：_A是_2三 三 是Ao1试知_;B、_因边边；=C判识的c不为长长因断演三是：为之为下练边；比：m=列长-1因为+x}三为n2为-1+角、 ax:：2、形1=mW：ib是)Cl、2否、+V-c2V是m，(2mx^直满nn))角足(2m三：W)>角o2,形n：>o
且 CE = - SCg说明ZAFE 是直角吗？
4
B
EC
三、寻找规律性问题一
■ 1如图, 设四边形ABCD是边长为1的正方形, 以正方形 ABCD的对角线AC为边作第二个正 方形ACEF,再以第二个正
方形的对角线AE* 边作第三个正方形AEGH, 如此下去(1)
记正方形ABCD的边长, 依上述方法所作的正 方形的边长依 次为 ________o
如图: 边长为4的正方形ABCD中，F是DC的中
点，且CE= - BC,则AF丄EF,试说明理由 解: 连接AE
A
t
•••ABCD是正方形，边长是4, F是
DC的中点，EC=1/4BC
•••AD=4，DF=2，FC=2，EC=1
培优专题26 解直角三角形模型-解析版
培优专题26 解直角三角形模型类型一：背靠背型1．（2022·山东聊城·二模）从2019年底以来，新冠疫情一直困扰着我们的日常生活，今年为进一步加强疫情防控工作，某公司决定安装红外线体温检测仪，这种设备的原理是采用非接触式测温法，只要用红外体温测试仪的镜头对准被测对象进行扫描，其体温就可立刻在显示屏上显示出来，从而有效地避免了其他常规测温法所可能造成的交叉感染，测温区域示意图如图所示，已知最大探测角∠PAO＝75°，最小探测角∠PBO＝30°． 1.414 1.732 2.236）(1)若该设备安装在离水平地面距离为2.2m的P处，即OP＝2.2m，请求出图中OB的长度；（结果精确到0.1m）(2)若该公司要求测温区域AB的长度为4 m，请求出该设备的安装高度OP的高度．（结果精确到0.1 m）2．（2021·湖南永州·中考真题）已知锐角ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，边角总满足关系式：sin sin sin a b c A B C==．（1）如图1，若6,45,75a B C =Ð=Ð=°°，求b 的值；（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC 中建一座小型景观桥CD （如图2所示），若,14CD AB AC ^=米，10AB =米，sin ACB Ð=CD 的长度．（2）sin AB ACB ÐQ sin sin AC B AB ´Ð\=3．（2021·甘肃武威·中考真题）如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：方案设计：如图2，宝塔CD 垂直于地面，在地面上选取,A B 两处分别测得CAD Ð和CBD Ð的度数（,,A D B 在同一条直线上）．数据收集：通过实地测量：地面上,A B 两点的距离为58m,42,58CAD CBD Ð=°Ð=°．问题解决：求宝塔CD 的高度（结果保留一位小数）．参考数据：sin 420.67,cos 420.74,tan 420.90°»°=°»，sin 580.85,cos580.53,tan 58 1.60°=°=°=．根据上述方案及数据，请你完成求解过程．1254176,\=xx»．解得，33.4答：宝塔的高度约为33.4m．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用直角三角形中的锐角三角函数建立边与边之间的关系是解题的关键．4．（2021·云南·模拟预测）如图，我市计划在某工业园区内，为相距4千米的彩印公司、包装公司修一条笔直的公路．点P表示住宅小区，在彩印公司北偏东30°方向与包装公司北偏西60°方向的交点，住宅小区在以P为圆心，0.8千米为半径的范围内，问这条公路是否会穿越这个住宅小区？（参考数据：»）1.414» 1.732答：这条公路不会穿越这个住宅小区．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．5．（2021·湖北武汉·一模）【问题背景】如图1，在△ABC中，点D在边BC上且满足∠BAD＝∠ACB，求证：BA2＝BD•BC；【尝试应用】如图2，在△ABC中，点D在边BC上且满足∠BAD＝∠ACB，点E在边AB上，点G在AB 的延长线上，延长ED交CG于点F，若3AD＝2AC，BE＝ED，BG＝2，DF＝1，求BE的长度；【拓展创新】如图3，在△ABC中，点D在边BC上（AB≠AD）且满足∠ACB＝2∠BAD，DH⊥AB垂足为H，若728,927AH ADAD AC==，请直接写出ADAB的值________．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等，解题关键是能通过作合适的辅助线构造相似三角形并最终求得结果．类型二：子母型6．（2022·辽宁鞍山·二模）某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，计划测量中原福塔的总高度．如图所示，在B处测得福塔主体建筑顶点A的仰角为45°，福塔顶部桅杆天线AD高120m，再沿CB方向前进20m到达E处，测得桅杆天线顶部D的仰角为53.4°．求中原福塔CD的总度．（结果精确到1m．参考数据：sin53.4°≈0.803，cos53.4°≈0.596．tan53.4°≈1.346）解得：x≈269.0，∴CD=x+120=389.0≈389米，答：中原福塔CD的总高度约为389m．【点睛】本题主要考查了解直角三角形及其应用，明确题意，熟练掌握锐角三角函数关系是解题的关键．7．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，山坡上有一棵竖直的树AB，坡面上点D处放置高度为1.6m的测倾器CD，测倾器的顶部C与树底部B恰好在同一水平线上（即BC//MN），此时测得树顶部A的仰角为50°．已知山坡的坡度i＝1∶3（即坡面上点B处的铅直高度BN与水平宽度MN的比），求树AB的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）8．（2021·北京市第十二中学八年级阶段练习）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长．9．（2020·山东青岛·九年级期末）如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌AB ，小明在斜坡的坡脚D 处测得宣传牌底部B 的仰角为45°，沿斜坡DE 向上走到E 处测得宣传牌顶部A 的仰角为31°，已知斜坡DE 的坡度3:4，10DE =米，22DC =米，求宣传牌AB 的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：sin 310.52°≈，cos310.86°≈，tan 310.6)°»10．（2020·四川凉山·九年级阶段练习）四川省委书记杜青林、国家旅游局副局长张希钦2006年12月16日向获得“中国优秀旅游城市”称号的西昌市授牌，并修建了标志性建筑——马踏飞燕，如图．某学习小组把测量“马踏飞燕”雕塑的最高点离地面的高度作为一次课题活动，制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表：课题测量“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度测量示意图如图，雕塑的最高点B 到地面的高度为BA ，在测点C 用仪器测得点B 的仰角为α，前进一段距离到达测点E ，再用该仪器测得点B 的仰角为β，且点A ，B ，C ，D ，E ，F 均在同一竖直平面内，点A ，C ，E 在同一条直线上．a 的度数b 的度数CE 的长度仪器CD （EF ）的高测量数据31°42°3米1.65米请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度（结果保留到十分位）．（参考数据：sin 310.52°≈，cos310.86°=，tan 310.60°»，sin 420.67=°，cos420.74=°，tan 420.90=°）【答案】7.1AB =米【分析】在两个直角三角形中，用BG 表示DG 、FG ，进而用 DG−FG ＝DF ＝3列方程求出BG 即可．【详解】如图，延长DF 与AB 交于点G ，类型三：拥抱型11．（2020·四川眉山·中考真题）某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔AB，如图所示，在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30°，向小山前进80米到达点E处，测得塔顶A的仰角为60°，求小山BC的高度．12．（2020·山西太原·模拟预测）山西大学主校区内有一座毛主席塑像，落成于1969年12月26日．是山西大学的标志性建筑之一，目前已被列入保护文物．综合与实践小组的同学们开展了测量这一毛主席塑像高度的活动．他们在该塑像底部所在的平地上，选取一个测点，测量了塑像顶端的仰角，调高测倾器后二次测量了塑像顶端的仰角．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数及测倾器高度时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表．课题成员测量工具测量毛主席塑像的高度组长：XXX组员：XXX，XXX，XXX测倾器，皮尺等测量示意图说明：线段AB 的长表示塑像从最高点到地面之间的距离，C 为测点，线段CE ，CD 表示测倾器（点D 在CE 上），点A ，B ，C ，D ，E 都在同一竖直平面内，且AB BC ^，CE BC ^；ADF Ð、AEG Ð表示两次测量的仰角，点G ，F 在AB 上．测量项目第一次第二次平均值ADF Ð的度数35.1°34.9°35.0°AEG Ð的度数33.4°33.6°33.5°测倾器CE 的高 1.68m1.72m1.70m 测量数据测倾器CD 的高1.07m 1.05m1.06m任务：（1）根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出毛主席塑像的高度；（参考数据：sin 35.00.57°»，cos35.00.82°»，tan 35.00.70°»，sin33.50.55°»，cos33.50.83°»，tan 33.50.66°»）（2）该综合与实践小组在制定方案时，讨论“用已知高度的侧倾器CD 测出仰角ADF Ð，再测出BC 的长来计算塑像高度AB ”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）【答案】（1）毛主席塑像的高度为12.26m ；（2）因为塑像下半部分为底座，其底部不可直接到达，不能准确测出BC ．【分析】（1）根据题意AB ^BC ，CE ^BC ，AB ^EG ，AB ^DF ，可推得四边形BCEG 与四边形DEGF 都是矩形，其中BG=CE=1.70m ，FG=DE=CE-CD=1.70-1.06=0.64m ，EG=DF ，在Rt △AEG 和Rt △ADF 分别用正切函数写出对应边的式子，即可求得AG 的长度，则AB 的长度可求；（2）因为塑像下半部分为底座，其底部不可直接到达，不能准确测出BC ．【详解】解：（1）由题意，得AB ^BC ，CE ^BC ，AB ^EG ，AB ^DF ，13．（2021·河南·九年级专题练习）某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，到市龙源湖公园测量塑像“夸父追日”的高度，如图所示，在A处测得塑像顶部D的仰角为45°，塑像底部E的仰角为30.1°，再沿AC方向前进10m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin30.1°≈0.50，cos30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cos59.1°≈0.51，tan59.1°≈1.67）14．（2018·北京四中九年级期中）如图，一座商场大楼的顶部竖直立有一个矩形广告牌，小红同学在地面上选择了在条直线上的三点(A A 为楼底)，,D E ，她在D 处测得广告牌顶端C 的仰角为60°，在E 处测得商场大楼楼顶B 的仰角为45°,5DE =米.已知广告牌的高度 2.35BC =米，求这座商场大楼的高度AB1.41»»，小红的身高不计，结果保留整数)．15．（2018·四川眉山·九年级期末）在“双创”活动中，某校将双创宣传牌（AB ）放置在教学楼顶部（如图所示）．数学兴趣小组成员小明在操场上的点D 处，用高度为1 m 的测角仪CD ，从点C 测得宣传牌的底部B 的仰角为37°，然后向教学楼正方向走了4 m 到达点F 处，又从点E 测得宣传牌顶部A 的仰角为45°．已知教学楼高19m BM =，且点A 、B 、M 在同一直线上，求宣传牌AB 的高度．（参考数据：1.73»，sin 370.60°»，cos370.81°»，tan 370.75°»）【答案】宣传牌AB 的高度为2米【分析】过点C 作CG AM ^于G ，设AB 为x ，根据45AEG °Ð=可得18EG AG x ==+，然后在Rt CBG V 中解直角三角形即可.类型四：12345型16．（2018·广东·深圳市光明区公明中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1-，0），B（0，2），点C在第一象限，∠ABC=135°，AC交y轴于D，CD=3AD，反比例函数kyx=的图象经过点C，则k的值为_______．【答案】9∵∠ABC=135°，17．（2018·江苏无锡·九年级期末）如图，在正方形ABCD中，P是BC的中点，把△PAB沿着PA翻折得到△PAE，过C作CF⊥DE于F，若CF=2，则DF=_____．【答案】6．【分析】作辅助线，构建全等三角形，证明△AMD≌△DFC，则DM=FC=2，由折叠和正形的边长相等得：AE=AD，根据等腰三角形三线合一得：DM=EM=2，∠EAM=∠MAD，设∠MAD=α，则∠EAM=α，∠BAP=∠PAE=45°﹣α，可得∠PAM=45°，则△PAH是等腰直角三角形，证明△PGE∽△AMD，列比例式得：GE=1，AM=2PG，设PG=x，则AM=2x，根据AH=PH，得2x﹣1=2+x，求得x的值，即可解决问题；【详解】过A作AM⊥DF于M，∵四边形ABCD是正方形，∵AH=PH，∴2x﹣1=2+x，x=3，∴PG=3，AM=6，∵△DAM≌△CDF，∴DF=AM=6．故答案为6.【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、三角形全等和相似的性质和判定、勾股定理、等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定等知识，有难度，证明∠PAM=45°是关键，设未知数，并确定其等量关系列方程解决问题．18．（2018·山东滨州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE∠EAF=45°，则AF的长为_____．19．（2018·山东泰安·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，6AB =，10BC =，将矩形ABCD 沿BE 折叠，点A 落在'A 处，若'EA 的延长线恰好过点C ，则sin ABE Ð的值为__________．20．（2017·浙江丽水·中考真题）（2017丽水）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+m分别交x 轴，y轴于A，B两点，已知点C（2，0）．（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是____；（2）设点P为线段OB的中点，连结PA，PC，若∠CPA=∠ABO，则m的值是________．。
初二数学知识点专题讲解与练习18---直角三角形(培优版)
x2 + 82 = (12 − x)2 ，
得
x
=
10 3
．
例 2 B 提示：过 B 作 BD⊥AC 延长线于 D 点，设 CD=x，BD=y，可求得：x=y，则∠
BCD=45°，故∠BCA=135°．
例 3 ∠ACB=75° 提示：过 C 作 CQ⊥AP 于 Q，连接 BQ，则 AQ=BQ=CQ．
例 4 提示：过 E 作 EG⊥AB 于 G，先证明 Rt△EAG≌Rt△ABC，再证明△EFG≌△
C. 锐角三角形 D.不能确定
（山东省竞赛试题）
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6.如图，小正方形边长为 1，连结小正方形的三个顶点可得△ABC，则 AC 边上的
高为（ ） A. 3 2 2
B. 3 5 10
C. 3 5 5
D. 4 5 5
A C
第B6题
（福州市中考试题）
7.如图，一个长为 25 分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端 7 分 米，如果梯子的顶端沿墙下滑 4 分米，那么梯足将滑（ ）
DFA．
例 5 连接 AC
∵AD=DC，∠ADC=60°，
A
∴△ADC 是等边三角形，DC=CA=AD，
D
B
C
以 BC 为边向四边形外作等边三角形 BCE，即 BC=BE=CE，
E
则∠BCE=∠EBC=∠CEB=60°，
∴∠ABE=∠ABC+∠EBC=90°，
连接 AE，则 AE2 = AB2 + BE2 = AB2 + BC 2 ，
7． 169 提示：连接 AD，由△ADE≌△CDF，得 ED=DF，AE=CF=5，AF=BE=12，
4
中考数学培优(含解析)之直角三角形的边角关系附答案解析
中考数学培优(含解析)之直角三角形的边角关系附答案解析一、直角三角形的边角关系1．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线．（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20【解析】试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可；（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可．试题解析：（1）∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵AC为⊙O的直径，∴∠ANC=90°，∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，∵∠CAB=2∠BCP，∴∠BCP=∠CAN，∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，∵点D在⊙O上，∴直线CP是⊙O的切线；（2）如图，作BF⊥AC∵AB=AC，∠ANC=90°，∴CN=CB=，∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=，∴sin∠CAN=，∴∴AC=5，∴AB=AC=5，设AF=x，则CF=5﹣x，在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2，在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2，∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2，∴x=3，∴BF2=25﹣32=16，∴BF=4，即点B到AC的距离为4．考点：切线的判定2．如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（3＝1．7）．【答案】32．4米．【解析】试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．试题解析：如图，过点B作BE⊥CD于点E，根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°．∵AB⊥AC，CD⊥AC，∴四边形ABEC为矩形，∴CE=AB=12m，在Rt△CBE中，cot∠CBE=BE CE，∴BE=CE•cot30°=12×3=123，在Rt△BDE中，由∠DBE=45°，得DE=BE=123．∴CD=CE+DE=12（3+1）≈32.4．答：楼房CD的高度约为32.4m．考点：解直角三角形的应用——仰角俯角问题．3．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2＝2CD•OE；（3）若314cos,53BAD BE∠==，求OE的长．【答案】（1）DE为⊙O的切线，理由见解析；（2）证明见解析；（3）OE =356．【解析】试题分析：（1）连接OD，BD，由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB为直角，可得出△BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE，从而得∠C=∠CDE，再由OA=OD，得∠A=∠ADO，由Rt△ABC中两锐角互余，从而可得∠ADO与∠CDE互余，可得出∠ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为⊙O的切线；（2）由已知可得OE是△ABC的中位线，从而有AC=2OE，再由∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，可得△ABC∽△BDC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形中位线定理OE的长即可求得．试题解析：（1）DE为⊙O的切线，理由如下：连接OD，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴CE=DE=BE=BC，∴∠C=∠CDE，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∵∠ABC=90°，∴∠C+∠A=90°，∴∠ADO+∠CDE=90°，∴∠ODE=90°，∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，∴DE为⊙O的切线；（2）∵E是BC的中点，O点是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴AC=2OE，∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，∴△ABC∽△BDC，∴，即BC 2=AC•CD ．∴BC 2=2CD•OE ；（3）解：∵cos ∠BAD=， ∴sin ∠BAC=， 又∵BE=，E 是BC 的中点，即BC=， ∴AC=．又∵AC=2OE ，∴OE=AC=．考点：1、切线的判定；2、相似三角形的判定与性质；3、三角函数4．如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB 的高度，由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点C ，用测角器测得主教学楼顶端A 的仰角为30°，再向主教学楼的方向前进24米，到达点E 处（C ，E ，B 三点在同一直线上），又测得主教学楼顶端A 的仰角为60°，已知测角器CD 的高度为1.6米，请计算主教学楼AB 的高度．（3≈1.73，结果精确到0.1米）【答案】22.4m【解析】【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造等量关系，进而求解．【详解】解：在Rt △AFG 中，tan ∠AFG 3，∴FG =tan 3AG AFG =∠， 在Rt △ACG 中，tan ∠ACG =AG CG ，∴CG =tan AG ACG ∠=3AG ． 又∵CG ﹣FG =24m ， 即3AG ﹣3=24m ， ∴AG =123m ，∴AB =123+1.6≈22.4m ．5．许昌芙蓉湖位于许昌市水系建设总体规划中部，上游接纳清泥河来水，下游为鹿鸣湖等水系供水，承担着承上启下的重要作用，是利用有限的水资源、形成良好的水生态环境打造生态宜居城市的重要部分．某校课外兴趣小组想测量位于芙蓉湖两端的A ，B 两点之间的距离他沿着与直线AB 平行的道路EF 行走，走到点C 处，测得∠ACF=45°，再向前走300米到点D 处，测得∠BDF=60°．若直线AB 与EF 之间的距离为200米，求A ，B 两点之间的距离（结果保留一位小数）【答案】215.6米．【解析】【分析】过A 点做EF 的垂线，交EF 于M 点，过B 点做EF 的垂线，交EF 于N 点，根据Rt △ACM 和三角函数tan BDF ∠求出CM 、DN ，然后根据MN MD DN AB =+=即可求出A 、B 两点间的距离.【详解】解：过A 点做EF 的垂线，交EF 于M 点，过B 点做EF 的垂线，交EF 于N 点在Rt △ACM 中，∵45ACF ∠=︒，∴AM=CM=200米，又∵CD=300米，所以100MD CD CM =-=米，在Rt △BDN 中，∠BDF=60°，BN=200米∴115.6tan 60BN DN =≈o米， ∴215.6MN MD DN AB =+=≈米即A ，B 两点之间的距离约为215.6米．【点睛】本题主要考查三角函数，正确做辅助线是解题的关键.6．如图，公路AB 为东西走向，在点A 北偏东36.5︒方向上，距离5千米处是村庄M ，在点A 北偏东53.5︒方向上，距离10千米处是村庄N ；要在公路AB 旁修建一个土特产收购站P (取点P 在AB 上)，使得M ，N 两村庄到P 站的距离之和最短，请在图中作出P 的位置（不写作法）并计算：（1）M ，N 两村庄之间的距离；（2）P 到M 、N 距离之和的最小值.（参考数据：sin36.5°＝0.6，cos36.5°＝0.8，tan36.5°＝0.75计算结果保留根号.）【答案】(1) M ，N 两村庄之间的距离为29千米;(2) 村庄M 、N 到P 站的最短距离和是55千米．【解析】【分析】（1）作N 关于AB 的对称点N'与AB 交于E ，连结MN’与AB 交于P ，则P 为土特产收购站的位置．求出DN ，DM ，利用勾股定理即可解决问题．（2）由题意可知，M 、N 到AB 上点P 的距离之和最短长度就是MN′的长．【详解】解：作N 关于AB 的对称点N '与AB 交于E ，连结MN ’与AB 交于P ，则P 为土特产收购站的位置．（1）在Rt△ANE中，AN=10，∠NAB=36.5°∴NE=AN•sin∠NAB=10•sin36.5°=6，AE=AN•cos∠NAB=10•cos36.5°=8，过M作MC⊥AB于点C，在Rt△MAC中，AM=5，∠MAB=53.5°∴AC=MA•sin∠AMB=MA•sin36.5°=3，MC=MA•cos∠AMC=MA•cos36.5°=4，过点M作MD⊥NE于点D，在Rt△MND中，MD=AE-AC=5，ND=NE-MC=2，∴MN=2252+=29，即M，N两村庄之间的距离为29千米．（2）由题意可知，M、N到AB上点P的距离之和最短长度就是MN′的长．DN′=10，MD=5，在Rt△MDN′中，由勾股定理，得MN′=22510+=55（千米）∴村庄M、N到P站的最短距离和是55千米．【点睛】本题考查解直角三角形，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．7．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=7，AC=2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C 顺时针旋转得到△A′B′C(点A，B的对应点分别为A'，B′)，射线CA′，CB′分別交直线m于点P，Q．(1)如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数；(2)如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；(3)在旋转过程中，当点P，Q分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形PA'B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形PA′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1）60°；（2）PQ＝72；（3）存在，S四边形PA'B′Q＝33【解析】【分析】（1）由旋转可得：AC=A'C=2，进而得到BC3=∠A'BC=90°，可得cos ∠A 'CB 3'2BC A C ==，即可得到∠A 'CB =30°，∠ACA '=60°； （2）根据M 为A 'B '的中点，即可得出∠A =∠A 'CM ，进而得到PB 3=BC 32=，依据tan ∠Q =tan ∠A 3=，即可得到BQ =BC 3⨯=2，进而得出PQ =PB +BQ 72=； （3）依据S 四边形PA 'B 'Q =S △PCQ ﹣S △A 'CB '=S △PCQ 3-，即可得到S 四边形PA 'B 'Q 最小，即S △PCQ 最小，而S △PCQ 12=PQ ×BC 3=PQ ，利用几何法即可得到S △PCQ 的最小值=3，即可得到结论．【详解】（1）由旋转可得：AC =A 'C =2．∵∠ACB =90°，AB 7=，AC =2，∴BC 3=．∵∠ACB =90°，m ∥AC ，∴∠A 'BC =90°，∴cos ∠A 'CB 3'2BC A C ==，∴∠A 'CB =30°，∴∠ACA '=60°；（2）∵M 为A 'B '的中点，∴∠A 'CM =∠MA 'C ，由旋转可得：∠MA 'C =∠A ，∴∠A =∠A 'CM ，∴tan ∠PCB =tan ∠A 3=，∴PB 3=BC 32=． ∵∠BQC =∠BCP =∠A ，∴tan ∠BQC =tan ∠A 3=，∴BQ =BC 3⨯=2，∴PQ =PB +BQ 72=； （3）∵S 四边形PA 'B 'Q =S △PCQ ﹣S △A 'CB '=S △PCQ 3-，∴S 四边形PA 'B 'Q 最小，即S △PCQ 最小，∴S △PCQ 12=PQ ×BC 3=PQ ， 取PQ 的中点G ． ∵∠PCQ =90°，∴CG 12=PQ ，即PQ =2CG ，当CG 最小时，PQ 最小，∴CG ⊥PQ ，即CG 与CB 重合时，CG 最小，∴CG min 3=，PQ min =23，∴S △PCQ 的最小值=3，S 四边形PA 'B 'Q =33-；【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，解直角三角形以及直角三角形的性质的综合运用，解题时注意：旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．8．如图，半圆O 的直径AB ＝20，弦CD ∥AB ，动点M 在半径OD 上，射线BM 与弦CD 相交于点E （点E 与点C 、D 不重合），设OM ＝m ．（1）求DE 的长（用含m 的代数式表示）；（2）令弦CD 所对的圆心角为α，且sin 4=25α． ①若△DEM 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求出m 的取值范围； ②若动点N 在CD 上，且CN ＝OM ，射线BM 与射线ON 相交于点F ，当∠OMF ＝90° 时，求DE 的长．【答案】（1）DE ＝10010m m -；（2）①S ＝2360300m m m-+，（5013＜m ＜10），②DE ＝52. 【解析】【分析】 （1）由CD ∥AB 知△DEM ∽△OBM ，可得DE DM OB OM=，据此可得； （2）①连接OC 、作OP ⊥CD 、MQ ⊥CD ，由OC ＝OD 、OP ⊥CD 知∠DOP ＝12∠COD ，据此可得sin ∠DOP ＝sin ∠DMQ ＝45、sin ∠ODP ＝35，继而由OM ＝m 、OD ＝10得QM ＝DM sin ∠ODP ＝35（10﹣m ），根据三角形的面积公式即可得；如图2，先求得PD ＝8、CD ＝16，证△CDM ∽△BOM 得CD DM BO OM =，求得OM ＝5013，据此可得m 的取值范围； ②如图3，由BM ＝OB sin ∠BOM ＝10×35＝6，可得OM ＝8，根据（1）所求结果可得答案．【详解】（1）∵CD ∥AB ，∴△DEM ∽△OBM ，∴DE DM OB OM =，即1010DE m m -=，∴DE ＝10010mm-； （2）①如图1，连接OC 、作OP ⊥CD 于点P ，作MQ ⊥CD 于点Q ，∵OC ＝OD 、OP ⊥CD ， ∴∠DOP ＝12∠COD ， ∵sin2α＝45， ∴sin ∠DOP ＝sin ∠DMQ ＝45，sin ∠ODP ＝35， ∵OM ＝m 、OD ＝10， ∴DM ＝10﹣m ， ∴QM ＝DM sin ∠ODP ＝35（10﹣m ）， 则S △DEM ＝12DE •MQ ＝12×10010m m -×35（10﹣m ）＝2360300m m m-+，如图2，∵PD ＝OD sin ∠DOP ＝10×45＝8， ∴CD ＝16， ∵CD ∥AB ， ∴△CDM ∽△BOM ， ∴CD DM BO OM =，即1610=10OMOM-， 解得：OM ＝5013，∴5013＜m ＜10， ∴S ＝2360300m m m-+，（5013＜m ＜10）．②当∠OMF ＝90°时，如图3，则∠BMO ＝90°，在Rt △BOM 中，BM ＝OB sin ∠BOM ＝10×35＝6， 则OM ＝8， 由（1）得DE ＝100108582-⨯=． 【点睛】本题主要考查圆的综合题，解题的关键是熟练掌握圆的有关性质、相似三角形的判定与性质及解直角三角形的能力．9．如图，在自动向西的公路l 上有一检查站A ，在观测点B 的南偏西53°方向，检查站一工作人员家住在与观测点B 的距离为7132km ，位于点B 南偏西76°方向的点C 处，求工作人员家到检查站的距离AC ．（参考数据：sin76°≈2425，cos76°≈625，tan 76°≈4，sin53°≈35，tan53°≈43）【答案】工作人员家到检查站的距离AC 的长约为92km ． 【解析】分析：过点B 作BH ⊥l 交l 于点H ，解Rt △BCH ，得出CH=BC•sin ∠CBH=274，BH=BC•cos∠CBH=2716．再解Rt△BAH中，求出AH=BH•tan∠ABH=94，那么根据AC=CH-AH计算即可.详解：如图，过点B作BH⊥l交l于点H，∵在Rt△BCH中，∠BHC=90°，∠CBH=76°，BC=7132km，∴CH=BC•sin∠CBH≈225242732254⨯=，BH=BC•cos∠CBH≈225627 322516⨯=．∵在Rt△BAH中，∠BHA=90°，∠ABH=53°，BH=2716，∴AH=BH•tan∠ABH≈27491634⨯=，∴AC=CH﹣AH=2799442-=（km）．答：工作人员家到检查站的距离AC的长约为92 km．点睛：本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．10．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，1），点C（1，0），正方形AOCD的两条对角线的交点为B，延长BD至点G，使DG=BD，延长BC至点E，使CE=BC，以BG，BE为邻边作正方形BEFG．（Ⅰ）如图①，求OD的长及ABBG的值；（Ⅱ）如图②，正方形AOCD固定，将正方形BEFG绕点B逆时针旋转，得正方形BE′F′G′，记旋转角为α（0°＜α＜360°），连接AG′．①在旋转过程中，当∠BAG′=90°时，求α的大小；②在旋转过程中，求AF′的长取最大值时，点F′的坐标及此时α的大小（直接写出结果即可）．【答案】（Ⅰ）12（Ⅱ）①α=30°或150°时，∠BAG′=90°②当α=315°时，A、B、F′在一条直线上时，AF′的长最大，最大值为22+2，此时α=315°，F′（12+2，12﹣2）【解析】【分析】(1)根据正方形的性质以及勾股定理即可解决问题,(2)①因为∠BAG′=90°,BG′=2AB,可知sin∠AG′B=12ABBG,推出∠AG′B=30°,推出旋转角α=30°,据对称性可知,当∠ABG″=60°时,∠BAG″=90°,也满足条件,此时旋转角α=150°,②当α=315°时,A、B、F′在一条直线上时,AF′的长最大.【详解】（Ⅰ）如图1中，∵A（0，1），∴OA=1，∵四边形OADC是正方形，∴∠OAD=90°，AD=OA=1，∴OD=AC==，∴AB=BC=BD=BO=，∵BD=DG，∴BG=，∴==．（Ⅱ）①如图2中，∵∠BAG′=90°，BG′=2AB，∴sin∠AG′B==，∴∠AG′B=30°，∴∠ABG′=60°，∴∠DBG′=30°，∴旋转角α=30°，根据对称性可知，当∠ABG″=60°时，∠BAG″=90°，也满足条件，此时旋转角α=150°，综上所述，旋转角α=30°或150°时，∠BAG′=90°．②如图3中，连接OF，∵四边形BE′F′G′是正方形的边长为∴BF′=2，∴当α=315°时，A、B、F′在一条直线上时，AF′的长最大，最大值为+2，此时α=315°，F′（+，﹣）【点睛】本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质以及锐角三角函数的定义,解决本题的关键是要熟练掌握正方形的四条边相等、四个角相等，旋转变换的性质以及特殊角的三角函数值的应用．11．如图所示，小华在湖边看到湖中有一棵树AB，AB与水面AC垂直．此时，小华的眼睛所在位置D到湖面的距离DC为4米．她测得树梢B点的仰角为30°，测得树梢B点在水中的倒影B′点的俯角45°．求树高AB（结果保留根号）【答案】AB=（8+43）m ． 【解析】 【分析】设BE=x ，则BA=x+4，B′E=x+8，根据∠ADB′=45°，可知DE=B′E=x+8，再由tan30°=BEDE即可得出x 的值，进而得到答案， 【详解】如图：过点D 作DE ⊥AB 于点E ， 设BE=x ，则BA=x+4，B′E=x+8， ∵∠ADB′=45°， ∴DE=B′E=x+8， ∵∠BDE=30°， ∴tan30°=38BE x DE x ==+ ，解得x=4+43 ， ∴AB=BE+4=（8+43 ）m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答此题的关键12．如图，由一段斜坡AB 的高AD 长为0.6米，ABD 30∠=o ，为了达到无障碍通道的坡道标准，现准备把斜坡改长，使ACD 5.71∠=o ．()1求斜坡AB 的长；()2求斜坡新起点C 与原起点B 的距离.(精确到0.01米)(参考数据：3 1.732≈，tan5.710.100)≈o【答案】()1?AB 1.2=米；()2斜坡新起点C 与原起点B 的距离为4.96米． 【解析】 【分析】()1在Rt ABD V 中，根据AB AD sin30=÷o 计算即可；()2分别求出CD 、BD 即可解决问题；【详解】()1在Rt ABD V 中，1AB AD sin300.6 1.2(2=÷=÷=o 米)，()2在Rt ABD V 中，3BD AD tan300.6 1.039(=÷=≈o 米)， 在Rt ACD V 中，CD AD tan5.716(=÷≈o米)，BC CD BD 6 1.039 4.96(∴=-=-=米)．答：求斜坡AB 的长为1.2米，斜坡新起点C 与原起点B 的距离为4.96米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．。
8年级数学(上)培优辅导之四(直角三角形)
江山二中八年级数学（上）培优辅导之四（直角三角形）班级____________姓名____________勾股定理（及逆定理）：∠C=90o （c为斜边）⇔a2+b2=c2 直角三角形是一类特殊三角形，有着丰富的性质：两锐角互余(角的关系)、勾股定理(边的关系)，30°角所对的直角边等于斜边的一半(边角关系)，这些性质在求线段的长度、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面有广泛的应用．勾股定理是现阶段线段计算、证明线段平方关系的主要方法，运用勾股定理的逆定理，通过计算也是证明两直线垂直位置关系的一种有效手段．等腰三角形三边之比为1:1：2；30o的直角三角形三边比为1：3：230︒例题求解【例1】如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边△ABD，连结DC，以DC为边作等边△DCE，B、E在CD的同侧，若AB=2，则BE=___________．B CDAE【例2】2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么(a+b)2的值为________________.【例3】如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC＝2PB，已知∠ABC＝45°，∠APC＝60°，求∠ACB的度数．CA【例4】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC＝b，BC＝a，AB=c，CD=h．求证：（1）222111hba=+；(2) hcba+<+；(3) 以ba+、h、hc+为边的三角形是直角三角形．BCDA【例5】一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存在?若存在，确定它三边的长，若不存在，说明理由．学历训练1．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ACD沿AD对折，点C落在点C′的位置，则BC′与BC之间的数量关系是______________．B CDAC'B CDAP（第1题）（第2题）2．如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACD重合，若AP＝3，则PD的长等于____________．3．如图，已知AB=13，BC=14，AC=15，AD⊥BC于D，则AD=__________．4．如图，四边形ABCD中，AB＝3cm，BC=4cm，CD=12㎝，DA=13cm，且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是__________cm 2．B CD ABCDA 108B CDA（第3题） （第4题） （第5题） （第7题）5．如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子 的顶端下滑1米，则梯子底端的滑动距离___________米。
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注意数形 结合
1、已知Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）BC=8，AC=15，则AB=_1_7_
（2）AB=13，AC=5，则BC=_1_2_
（3）BC:AC=3:4,AB=10，
则BC= 6 ,AC= 8 . (4)AB=2,则AB2+AC2+BC2=__8____
一、知识演练
2 、 如图，所有的四边形都是正方形，所有 的三角形都是直角三角形，其中最大的正 方形的边长为7cm，正方形A、 B、 C、
点，且CE= 1 BC，则AF⊥EF，试说明理由
4
解：连接AE
A
∵ABCD是正方形，边长是4，F是
DC的中点，EC=1/4BC
∴AD=4，DF=2，FC=2，EC=1 ∴根据勾股定理，在
Rt△ADF，AF2=AD2+DF2=20 Rt△EFC，EF2=EC2+FC2=5 Rt△ABE，AE2=AB2+BE2=25
A5
A4 A3
A6
S4 S5
S3 S2
A2
. ..
S1
O 1 A1
（2003山东烟台）请阅读下列材料： 问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1－①，请把它们 分割后拼接成一个新的正方形.要求：画出分割线并在正方形网格 图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形.
图①
图②
边作第三个正方形AEGH，如此下去…（1）
记正方形ABCD的边长，依上述方法所作的正
方形的边长依次为
。
（2）根据以上规律写出第n个正方形的边长的 表达式。
寻找规律性问题二 细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题： （ 化1规）律用；含有n（n是正整数）的等式表示上述变 （2）推算出OA 10的长； （3）求出S1+ S2+ S3+ … + S10的值。
一、知识演练
３．若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三 边长为16 cm,那么第三边上的高为 ( D ) A. 12 cm B. 10 cm C. 8 cm D. 6cm 4．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三 边长的平方是（ D ）
A、25 B、14 C、7 D、7或25
一、知识演练
(1)若AC=8,AB=10,则 周长 = _2_4__. C
B
(2)同上题， SABC =___2_4__
2.一个直角三角形的面积54,且其中一条直角边
的长为9,则这个直角三角形的斜边长为_1_5___
3.如上图,直角三角形的面积为24,AC=6,则它
的周长为___2_4____
如图：边长为4的正方形ABCD中，F是DC的中
D的面积和是4_9_c_m__2 _．
一、知识演练
Ⅲ、试判断下列三角形是否是直角三角形：
1、三边长为
（m﹥0，n﹥0）
2、三边长之比为1：1：
3、△ABC的三边长为a、b、c，满足：
解：1、不是；因为：
2、是；因为：
3、是;因为： a2c2 b2
二、勾股定理和逆定理应用 A
1.已知直角三角形ABC中, ∠C=900
∴AE2=EF2+AF2 ∴∠AEF=90°即AF ⊥EF
变式：如图，正方形ABCD中，F为DC的中点，
E为BC上一点，且 CE 1你BC能说明∠AFE
是直角吗？
4
三、寻找规律性问题一
1如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，
以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正
方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为
变式二：现有一根一端固定在电线杆顶端的钢缆，给你一把米 尺，你能测量出旗杆的高度吗？请你设计方案。
CBຫໍສະໝຸດ A达标：如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面 积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 . 问题：如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形 其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么 关系？(不必证明) 变式一：如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三 角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间 的关系并加以证明； 变式二： 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形， 其面积分别用S1、S2、S3表示，请你猜想S1、S2、S3之间的关系
本节课主要是应用勾股定理和它的逆定理 来解决实际问题，应注意： 1、数形结合； 2、勾股定理和它的逆定理的使用区别,不要用 错定理。
达标：要从电线杆离地面5m处向地面拉一条长为13m的钢
缆，求地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离。 变式一：如果电线杆的高度未知，现有一根一端固定在电线杆
顶端的钢缆，且钢缆长比电线杆长8米，地面钢缆固定点A 到电线杆底部B的距离为12米，求电线杆的高度。
培优专题
直角三角形
勾股定理
a + b = c 如那果 么直角2三角形两2 直角边2分别为a，b，斜边为c，
即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
直角三角形的判定
1、从角的关系判定:
(1)直角
(2)两内角互余
2、从边的关系判定:
Ⅰ、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2 ， 那么这个三角形是直角三角形
Ⅱ、两边互相垂直
一、知识演练 Ⅰ、选择题
１.一架25米的梯子靠在一座建筑物 上，梯子的底部离建筑物7米,梯子的
上端到建筑物底部有多长？( C )
A15 B25 C24 D28
2．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是
Rt△的是（ A ）
A、a=1.5，b=2,c=3 B、a=7,b=24,c=25 C、a=6,b=8,c=10 D、a=3,b=4,c=5
图1
图③
图④
图⑤
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四、对于本章复习的想法：
基本计算的准确性 注意数学思想方法的渗透例如数形结合、分类
讨论，方程思想等 注意勾股定理与实际相结合的问题 注意培养学生的动手操作能力及合作探究能力
如勾股定理探索，数学活动中的折纸问题 注意勾股定理在综合性问题中的应用例如动点
问题，也为以后学习的相似三角形，二次函数 等问题做好铺垫