《九章算术》中的多元一次方程组及其解法
九章算术--新九章数学教育
原作有插图，今传本已只剩下正文了。《九章算术》共收有246个数学问题，分为九章、它们的主要内容分别是：第一章“方田”：主要讲述了平面几何图形面积的计算方法。包括长方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圆形、扇形、弓形、圆环这八种图形面积的计算方法。另外还系统地讲述了分数的四则运算法则，以及求分子分母最大公约数等方法。第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换；提出比例算法，称为今有术；衰分章提出比例分配法则，称为衰分术；第三“衰分”：比例分配问题；介绍了开平方、开立方的方法，其程序与现今程序基本一致。这是世界上最早的多位数和分数开方法则。它奠定了中国在高次方程数值解法方面长期领先世界的基础。第四章“少广”：已知面积、体积，反求其一边长和径长等；第五章“商功”：土石工程、体积计算；除给出了各种立体体积公式外，还有工程分配方法；第六章“均输”：合理摊派赋税；用衰分术解决赋役的合理负担问题。今有术、衰分术及其应用方法，构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论。西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法。第七章“盈不足”：即双设法问题；提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法。
九章算术
九章算术《九章算术》成书于西汉末到东汉初之间，约公元一世纪前后，《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问(题目)、答(答案)、术(解题的步骤，但没有证明)，有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。
这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章如下表所示。
原作有插图，今传本已只剩下正文了。
《九章算术》的作者不详。
很可能是在成书前一段历史时期内通过多人之手逐次整理、修改、补充而成的集体创作结晶。
由于二千年来经过辗转手抄、刻印，难免会出现差错和遗漏，加上《九章算术》文字简略有些内容不易理解，因此历史上有过多次校正和注释，其中重要的有：《九章算术》的主要内容，可分成算术、代数和几何三部分。
一、算术部分1．分数《九章算术》中有比较完整的分数计算方法，包括四则运算，通分、约分、化带分数为假分数(我国古代称为通分内子，“内”读为纳)等等。
其步骤与方法大体与现代的雷同。
分数加减运算，《九章算术》已明确提出先通分，使两分数的分母相同，然后进行加减。
加法的步骤是“母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一”这里“实”是分子。
“法”是分母，“实如法而一”也就是用法去除实，进行除法运算，《九章算术》还注意到两点：其一是运算结果如出现“不满法者，以法命之”。
就是分子小于分母时便以分数形式保留。
其二是“其母同者，直相从之”，就是分母相同的分数进行加减，运算时不必通分，使分子直接加减即可。
关于分数乘法，《九章算术》中提出的步骤是“母相乘为法，子相乘为实，实如法而一”。
《九章算术》对分数除法虽然没有提出一般法则，但算法也很清楚。
2．最大公约数与最小公倍数《九章算术》中还有求最大公约数和约分的方法。
求最大公约数的方法称为“更相减损”法，其具体步骤是“可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。
《九章算术》方程术与初等变换之实例详解
《九章算术》方程术与初等变换之实例详解
《九章算术》方程术与初等变换之实例详解
◎姚秀凤
【摘要】【摘要】本文主要是以《九章算术》中一题目作为实例，详尽解析《九章算术》中方程术的解法，并与现今矩阵的初等变换做对比.《九章算术》中所谓“方程”专指多元一次方程组，解法是将它们的系数和常数项用算筹摆成“方阵”，运用直除法进行消元，这个过程与现今《线性代数》中矩阵的初等变换一致.从中感受我国古代科技之进步.
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2019(000)019
【总页数】1
【关键词】【关键词】《九章算术》；方程术；初等变换
矩阵初等变换是求解线性方程组的重要方法，今天广泛应用的线性方程组的解法是十七世纪由莱布尼茨提出的.而实际上，在我国公元前的汉代，张苍等整理校订的《九章算术》一书，即提出了线性方程组的概念，并系统的总结了线性方程组的求解算法.这一科学论述远远早于欧洲.在这本《九章算术》中，第八卷方程术主要讲述了由线性方程组的系数排列而成的长方阵的问题，使用的直除法与现在矩阵的初等变换一致.下面以其中一道题目为例，对比两种解法.一、《九章算术》题目原文
问题：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗.问上、中、下禾实一秉各几何？
答曰：上禾一秉，九斗四分斗之一；中禾一秉，四斗四分斗之一；下禾一秉，。
九章算术
《九章算术》是中国古代数学专著，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。
是《算经十书》中最重要的一种。
它的出现，标志着中国古代数学体系的形成。
作为中国古代数学的系统总结，对中国传统数学的发展有了深远的影响。
《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。
分为九章。
第一章“方田”有关田亩面积的计算。
第二章“粟米”有关粮食谷物按一定比例进行折算的方法。
第三章“衰分”将物品按一定比例进行分配。
第四章“少广”已知面积或体积，逆求一边的长等问题。
提出开平方和开立方的方法。
第五章“商功”有关筑城、修堤、开渠、积粮等工程的计算问题。
第六章“均输”研究如何合理摊派赋税的问题。
第七章“盈不足”研究盈亏、比例的问题。
第八章“方程”用消元法解三元一次方程组。
第九章“勾股”运用勾股定理解决一些实际问题。
数学成就是多方面的：(1)、在算术方面的主要成就有分数运算、比例问题和“盈不足”算法。
《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作，在第二、三、六章中有许多比例问题，在世界上也是比较早的。
“盈不足”算法需要给出两次假设，是一项创造，中世纪欧洲称它为“双设法”，有人认为它是由中国经中世纪阿拉伯国家传去的．《九章算术》中有比较完整的分数计算方法，包括四则运算，通分、约分、化带分数为假分数等等。
《九章算术》中还有求最大公约数和约分的方法。
(2)、《九章算术》总结了生产、生活实践中大量的几何知识，在方田、商功和勾股章中提出了很多面积、体积的计算公式和勾股定理的应用。
《九章算术》方田章主要论述平面图形直线形和圆的面积计算方法。
《九章算术》商功章收集的都是一些有关体积计算的问题。
但是商功章并没有论述长方体或正方体的体积算法。
看来《九章算术》是在长方体或正方体体积计算公式：V=abc的基础上来计算其他立体图形体积的。
九章算术方程题目解析
九章算术方程题目解析
在九章算术中，方程题目是数学中的重要部分。
方程题目要求我们找到一个或
多个未知数的值，使得方程两边相等。
下面将对九章算术中一些常见的方程题目进行解析。
1. 一元一次方程
一元一次方程是形如ax + b = c的方程，其中a、b、c为常数，x为未知数。
解
这类方程可以采用平衡法，移项得到x = (c - b) / a。
注意，当a等于0时，方程没
有解或有无数解。
2. 一元二次方程
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为常数，x为未知数。
解这类方程可以利用求根公式，即x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
注意，当判别式(b^2 - 4ac)小于0时，方程无解。
3. 分式方程
分式方程是含有分式的方程。
解这类方程的关键是化简分式，将分母消去或通分，使得方程化为整式方程。
然后按照一元一次方程或一元二次方程的方法解。
4. 线性方程组
线性方程组是包含多个方程的方程组，每个方程中包含相同的未知数。
解线性
方程组可以通过消元法、代入法或矩阵法等方法。
目标是找到使得所有方程都成立的未知数的值。
总结来说，九章算术中的方程题目可分为一元一次方程、一元二次方程、分式
方程和线性方程组。
解这些方程题目的关键是灵活应用解方程的方法，将问题转化为求解未知数的表达式。
掌握这些解题方法有助于我们更好地理解和应用数学知识。
九章算术——精选推荐
九章算术九章算术《九章算术》成书于西汉末到东汉初之间，约公元⼀世纪前后，《九章算术》的内容⼗分丰富，全书采⽤问题集的形式，收有246个与⽣产、⽣活实践有联系的应⽤问题，其中每道题有问(题⽬)、答(答案)、术(解题的步骤，但没有证明)，有的是⼀题⼀术，有的是多题⼀术或⼀题多术。
这些问题依照性质和解法分别⾪属于⽅⽥、粟⽶、衰分、少⼴、商功、均输、盈不⾜、⽅程及勾股九章如下表所⽰。
原作有插图，今传本已只剩下正⽂了。
《九章算术》的作者不详。
很可能是在成书前⼀段历史时期内通过多⼈之⼿逐次整理、修改、补充⽽成的集体创作结晶。
由于⼆千年来经过辗转⼿抄、刻印，难免会出现差错和遗漏，加上《九章算术》⽂字简略有些内容不易理解，因此历史上有过多次校正和注释，其中重要的有：《九章算术》的主要内容，可分成算术、代数和⼏何三部分。
⼀、算术部分1．分数《九章算术》中有⽐较完整的分数计算⽅法，包括四则运算，通分、约分、化带分数为假分数(我国古代称为通分内⼦，“内”读为纳)等等。
其步骤与⽅法⼤体与现代的雷同。
分数加减运算，《九章算术》已明确提出先通分，使两分数的分母相同，然后进⾏加减。
加法的步骤是“母互乘⼦，并以为实，母相乘为法，实如法⽽⼀”这⾥“实”是分⼦。
“法”是分母，“实如法⽽⼀”也就是⽤法去除实，进⾏除法运算，《九章算术》还注意到两点：其⼀是运算结果如出现“不满法者，以法命之”。
就是分⼦⼩于分母时便以分数形式保留。
其⼆是“其母同者，直相从之”，就是分母相同的分数进⾏加减，运算时不必通分，使分⼦直接加减即可。
关于分数乘法，《九章算术》中提出的步骤是“母相乘为法，⼦相乘为实，实如法⽽⼀”。
《九章算术》对分数除法虽然没有提出⼀般法则，但算法也很清楚。
2．最⼤公约数与最⼩公倍数《九章算术》中还有求最⼤公约数和约分的⽅法。
求最⼤公约数的⽅法称为“更相减损”法，其具体步骤是“可半者半之，不可半者，副置分母⼦之数，以少减多，更相减损，求其等也。
[资料]中国数学史
![[资料]中国数学史](https://img.taocdn.com/s3/m/7fbd24c532d4b14e852458fb770bf78a65293a1c.png)
中国数学史中国数学史1. 中国数学从公元前后至公元 14 世纪，先后经历了三次发展高潮，即 ___________ 、魏晋南北朝时期以及宋元时期，其中 ___________ 时期达到了中国古典数学发展的顶峰。
3.1 《周髀算经》与《九章算术》 1. 《史记》“夏本纪”记载说：夏禹治水，“左规矩，右准绳”，这里的规是指 ________ ，矩则是指 _____________ 。
2 “一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自我国古代名著 ( ) 。
A. 《考工记》B. 《墨经》C. 《史记》D. 《庄子》3. 在现存的中国古代数学著作中，《 ________ 》是最早的一部。
卷上叙述的关于荣方与陈子的对话，包含了 ________ 的一般形式。
4 中国历史上最早叙述勾股定理的著作是《 ______ 》，中国历史上最早完成勾股定理证明的数学家是三国时期的 ______ 。
5 《九章算术》是从先秦至 ___________ 的长时期里经众多学者编撰、修改而成的一部数学著作。
6 、“九数”是指：方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要。
7 、《九章算术》就是从九数发展来的。
8 《九章算术》 " 方田 " 、 " 商功 " 、 " 勾股 " 三章处理几何问题。
其中 " 方田 " 章讨论 _________ ， " 勾股 " 章则是关于_________ 。
9 《九章算术》的“少广”章主要讨论（）。
A. 比例术B. 面积术C. 体积术D. 开方术10 《九章算术》内容丰富，全书共有 ________ 章，大约有 ________ 个问题。
11. 世界上讲述方程最早的著作是 ( )A. 中国的《九章算术》B. 阿拉伯花拉子米的《代数学》C. 卡尔丹的《大法》D. 牛顿的《普遍算术》12 《九章算术》中 " 方程术 " 的关键算法是 "__________" ，实质上这就是我们今天所使用的解线性联立方程组的___________ 。
《九章算术》—方程
《九章算术》—方程“方程”史话：我们研究许多数学问题时，可以发现其中的未知数不是孤立的，它们与一些已知数之间有确定的联系，这种联系常常表现为一定的相等关系，把这种关系用数学形式写出来就是含有未知数的等式，这种等式的数学专有名称是方程.人们对方程的研究可以上溯到很早以前，公园820年左右，中亚细亚的数学家阿尔花拉子米曾写过一本名叫《对消与还原》的书，重点讨论方程的解法，这本书对后来数学发展产生了很大的影响.在很长时期内，方程没有专门的表达形式，而是使用一般的语言文字来叙述它们，17世纪时，法国数学家笛卡尔最早提出用x,y,z 这样的字母表示未知数，把这样的字母与普通数字同样看待，用运算符合和等号将字母与数字连接起来，就形成含有未知数的等式，后来经过不断的简化改进，方程逐渐演变成现在的表达形式，例如543,04,16752=+=-=+y x x x 等. 中国人对方程的研究有悠久的历史，汉语中“方程”一词最初源于讨论多个未知数的问题.著名中国古代著作《九章算术》大约成书于公元前200~前50年，其中有专门以“方程”命名的一章，其中以一些实际应用问题为例，给出了列由几个方程组成的方程组的解题方法.中国古代数学家表示方程时，只用算筹表示各未知数的系数，而没有使用专门的记法来表示未知数，按照这样的表示法，方程组被排列成长方形的数字阵，这与现在代数学中的矩阵非常接近，宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数进而建立方程，这种方法的代表作是“立天元一”相当于现在的“设未知数x”.1859年，中国清代数学家李善兰翻译外国数学著作时，开始讲equation(指含有未知数的等式)一词译为方程，即将含有未知数的一个等式称为方程，而将含有未知数的多个等式的组合称为方程组，至今一直这样沿用.随着数学的研究范围不断扩充，方程被普遍使用，它的作用越来越重要，从初等数学中的简单代数方程，到高等数学中的微分方程、积分方程，方程的类型由简单到复杂不断地发展.但是，无论方程的类型如何变化，形形色色的方程都是含有未知数的等式，都表述涉及未知数的相等关系；解方程的基本思想都是依据相等关系使未知数逐步化归为用已知数表达的形式.这正是方程的本质所在.《九章算术》方程：《九章算术》方程章中所谓“方程”是专指多元一次方程组而言，与现在“方程”的含义并不相同．《九章算术》中多元一次方程组的解法，是将它们的系数和常数项用算筹摆成“方阵”(所以称之谓“方程”)．消元的过程相当于现代大学课程高等代数中的线性变换．方程章第一题：“今有上禾(指上等稻子)三秉(指捆)中禾二秉，下禾一秉，实(指谷子)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何”，这一题若按现代的记法．设x 、y 、z 依次为上、中、下禾各一秉的谷子数，则上述问题是求解三元一次方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++ 26323432 323z y x z y x z y x其他国家或民族给出联立一次方程组的解法比中国晚不少年，如在印度最早出现在婆罗摩笈多(Brahmagupta ，598-660)的著作《婆罗摩修正体系》之中；而欧洲最早提出三元一次方程组解法者是法国数学家布丢(J.Buteo ，1485-1572).《九章算术》方程章中共计18道题目，其中关于二元一次方程组的有8题，三元的6题，四元、五元的各2题皆是用直除法求解，该演算法是我国古代求解线性方程组的基本方法，其理论上和现在加减消元法基本一致.如第2、10题就是典型的二元一次方程组.今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗.问上、下禾实一秉各几何？这里的“损实”就是减去，“益实”就是加上，故而“益实”和“损实”是一对互为相反意义的正负概念.同时在“术”中还给出移项的概念.解按术计算有：设上禾每捆打谷斗，下禾每捆打谷斗.据题意可得方程组(71)2102(81)10x yx y-+=⎧⎨++=⎩，解得35264152xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.今有甲乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何？据题意可得15022503x yy x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得37.525xy=⎧⎨=⎩.。
《九章算术》—方程
《九章算术》—方程“方程”史话：我们研究许多数学问题时，可以发现其中的未知数不是孤立的，它们与一些已知数之间有确定的联系，这种联系常常表现为一定的相等关系，把这种关系用数学形式写出来就是含有未知数的等式，这种等式的数学专有名称是方程.人们对方程的研究可以上溯到很早以前，公园820年左右，中亚细亚的数学家阿尔花拉子米曾写过一本名叫《对消与还原》的书，重点讨论方程的解法，这本书对后来数学发展产生了很大的影响.在很长时期内，方程没有专门的表达形式，而是使用一般的语言文字来叙述它们，17世纪时，法国数学家笛卡尔最早提出用x,y,z 这样的字母表示未知数，把这样的字母与普通数字同样看待，用运算符合和等号将字母与数字连接起来，就形成含有未知数的等式，后来经过不断的简化改进，方程逐渐演变成现在的表达形式，例如543,04,16752=+=-=+y x x x 等. 中国人对方程的研究有悠久的历史，汉语中“方程”一词最初源于讨论多个未知数的问题.著名中国古代著作《九章算术》大约成书于公元前200~前50年，其中有专门以“方程”命名的一章，其中以一些实际应用问题为例，给出了列由几个方程组成的方程组的解题方法.中国古代数学家表示方程时，只用算筹表示各未知数的系数，而没有使用专门的记法来表示未知数，按照这样的表示法，方程组被排列成长方形的数字阵，这与现在代数学中的矩阵非常接近，宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数进而建立方程，这种方法的代表作是“立天元一”相当于现在的“设未知数x”.1859年，中国清代数学家李善兰翻译外国数学著作时，开始讲equation(指含有未知数的等式)一词译为方程，即将含有未知数的一个等式称为方程，而将含有未知数的多个等式的组合称为方程组，至今一直这样沿用.随着数学的研究范围不断扩充，方程被普遍使用，它的作用越来越重要，从初等数学中的简单代数方程，到高等数学中的微分方程、积分方程，方程的类型由简单到复杂不断地发展.但是，无论方程的类型如何变化，形形色色的方程都是含有未知数的等式，都表述涉及未知数的相等关系；解方程的基本思想都是依据相等关系使未知数逐步化归为用已知数表达的形式.这正是方程的本质所在.《九章算术》方程：《九章算术》方程章中所谓“方程”是专指多元一次方程组而言，与现在“方程”的含义并不相同．《九章算术》中多元一次方程组的解法，是将它们的系数和常数项用算筹摆成“方阵”(所以称之谓“方程”)．消元的过程相当于现代大学课程高等代数中的线性变换．方程章第一题：“今有上禾(指上等稻子)三秉(指捆)中禾二秉，下禾一秉，实(指谷子)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何”，这一题若按现代的记法．设x 、y 、z 依次为上、中、下禾各一秉的谷子数，则上述问题是求解三元一次方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++ 26323432 323z y x z y x z y x其他国家或民族给出联立一次方程组的解法比中国晚不少年，如在印度最早出现在婆罗摩笈多(Brahmagupta ，598-660)的著作《婆罗摩修正体系》之中；而欧洲最早提出三元一次方程组解法者是法国数学家布丢(J.Buteo ，1485-1572).《九章算术》方程章中共计18道题目，其中关于二元一次方程组的有8题，三元的6题，四元、五元的各2题皆是用直除法求解，该演算法是我国古代求解线性方程组的基本方法，其理论上和现在加减消元法基本一致.如第2、10题就是典型的二元一次方程组.今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗.问上、下禾实一秉各几何？这里的“损实”就是减去，“益实”就是加上，故而“益实”和“损实”是一对互为相反意义的正负概念.同时在“术”中还给出移项的概念.解按术计算有：设上禾每捆打谷斗，下禾每捆打谷斗.据题意可得方程组(71)2102(81)10x yx y-+=⎧⎨++=⎩，解得35264152xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.今有甲乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何？据题意可得15022503x yy x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得37.525xy=⎧⎨=⎩.。
《九章算术》中的二元一次方程组
《九章算术》中的二元一次方程组九章算术是中国古代智慧的汇集，为中国古代数学思想的一种智慧表现，是中国古代科技和文化的重要代表作。
这本书的重要性在于，它开创了解决各种问题的前沿方法，尤其是二元一次方程组，即两个未知数的一次方程的组合，也称为二元一次线性方程组。
二元一次方程组，也称为线性方程组，是数学中运用较广泛的一种方程形式，它可以用来解诸如曲线拟合、分类器构建等多种应用中的问题。
九章算术将二元一次方程组的研究分为“计算”和“对话”两个部分，其中“计算”部分，乃至共98条，是介绍如何求解二元一次方程组的。
九章算术中的计算部分，涉及了有关二元一次方程组的求解方法，如平行坐标、逐步消元、代数范式化等。
求解过程中，首先可以通过分析生成方程，得到问题和变量之间的关系，即对变量进行计算。
接着，可以通过消元方法来求解，即把系数矩阵中的一排除掉，使所有未知数成为有限数，最后可计算出未知量的值。
另外，九章算术中的“对话”部分，也就是研究的精髓。
它系统地介绍了中国古代数学家如何通过文本和对等交流的方法，来更好地解决数学问题，尤其是二元一次方程组的研究。
另外，还提出了解决问题的思路和步骤，以及关键的计算步骤。
此外，中国古代数学家也提出了许多新的理论，以提供更好更快求解二元一次方程组的方法。
比如说，阳提出了“夹角公式”，也就是“方程法”。
阳也提出了“夹角公式”，它是一种特殊种类的消元法，用来求解夹角公式和天平理论中的二元一次方程组。
另外，唐代李安也提出了差商公式，一种以解“差商”为前提的求解二元一次方程的算法。
当今，微积分、线性代数等数学学科中，仍然使用九章算术中的求解二元一次方程组的方法。
我们既可以学习九章算术中提供的方法，也可以利用当今最新的计算机科技，来解决各种问题。
九章算术是中国古代数学史上的一个里程碑，它给我们留下了巨大的财富，向我们展示了以前的数学思想，以及如何用科技和理论解决问题的方法。
《九章算术》中的三元一次方程组问题
—
答：甲禾每把重量是旦 石
，
，
２３
１ ２ ２
随 从 每 人
乙 禾 每 把 重 量 是 石 ，丙 禾 每 把
２ ３
吃 鸡
只．
ｌＺＺ
重量 是 石 ．
２ ３
三元
竺
本 刊声 明
茎
１ ． 凡 向本 刊投寄 的文章 、图片 自发表 之 日起 ，其使 用权 归北 方妇 女儿 童 出版社所 有 。 ２ ． 其 他 报刊 有摘 编 、转 载 ，必须 注 明转 （ 摘） 自 《 数 学 大世 界 》 字样 ，违者 即视 为侵 权 ， 本 刊将 追究法 律 责任 。 ３ ． 凡 刊物 出版后 两个 月未 收到样 刊 、稿酬 者 ，请速 与本 刊联 系 以便补 寄 。 ４ ． 读者 如发 现本 刊有 印刷 、装 订 等质量 问题 ，请 直 接与本 刊 发行 营销 中心联 系 、调换 。
ｙ
＝
ｌ ｌ
一 儿一
石
、Ｊ
石
、）
甲禾２ 把 的重量等 于乙禾 １ 把 的重 量 ，乙禾３ 把 的重量 等于丙 禾１ 把
的 重量 ，丙 禾 ４ 把 的 重量 等 于 甲禾
县令 １ ０ 人 ，官员１ 人 ，随从 ５ 人共 吃了８ 只鸡 ；县令５ 人 ，官 员１ ０ 人， 随从１ 人共吃了６ 只鸡 ． 问县令 、官 员和随从每人各吃了多少鸡．
１ ２ ２
பைடு நூலகம்
照各 畜吃 苗 的比例 来 计 算赔 偿 ， 试问三畜 户主各赔偿粮食多少． 答 案 ：牛 主 出粮 二斗八 升七
分 升 之 四 ．马 主 出 粮 一 斗 四 升 七 分 升 之 二 ，羊 主 出 粮 七 升 七 分 升 之 一
《九章算术》中的三元一次方程组问题
江
苏
实 皆不满 斗 ． 上取中， 中取 下 ， 下 取上 各 一 秉而 实
满 斗． 问上、 中、 下禾 实一 秉各几 何 ． ［ 译 文］ 今有 上 、 中、 下三 种 稻禾 各 捆 成把 ． 上 等 稻 禾２ 把， 中 等稻 禾 ３ 把， 下 等 稻禾 ４ 把， 收得 的
于
：
， ｌ ：
｛ ３ ｘ 一 ９ ｙ ＋ ３ ｚ ＝ Ｏ ，
答： 一头 牛价 ｌ
② 解之得｛ ３ ￣ ＝ ５ ０ ０ ，
Ｉ ｊ ， ＝ ３ ０ ０ ．
， 一 只 羊价５ ０ ｏ 钱， 一 头猪价 ３ ０ ｏ 钱．
Ｉ 一 ５ ｘ ＋ ６ ｙ ＋ ＆ ＝ 一 ６ ０ ０ ． ③
题３ 今有 武 马 一匹 ， 中马 二 匹 ， 下马三匹， 皆载 四十石 至 阪， 皆不 能
上． 武马借 中 马一匹 ， 中马 皆下 马 一匹 ， 下 马借武 马一 匹 ， 乃 皆上 ． 问武 、 中、 下 马一 匹各 力 引几何 ．
［ 译 文］ 今有 １ 匹强 马 ， ２ 匹中马， ３ 匹弱马， 各 负 载４ ０ 石 的重 量 上 坡 ， 都
拉不上 去 ． 但若ｌ 匹 强马 添上 １ 匹中马， 或 者２ 匹 中马添 上 １ 匹弱 马 ， 或 者３ 匹
一
，
乙三 重如丙 一 ， 丙 四重 如 甲一． 问甲、 乙、 丙禾 一秉各 重几 何．
［ 译文］ 今有 甲、 乙、 丙种禾各捆成把， 甲禾２ 把、 乙禾３ 把、 丙禾４ 把， 共
重量 都超 过 １ 石． 已知 甲禾２ 把 的重量 比乙禾 １ 把 的重量 重 １ 石 ，乙禾 ３ 把 的
重量 比丙 禾 １ 把 的重量 重 ｌ 石 ，丙 禾４ 把 的重量 比甲禾 ｌ 把 的重量 重 １ 石． 问
三元一次方程组的解法教学设计
8.4 三元一次方程组的解法1．理解三元一次方程(组)的概念；2．能解简单的三元一次方程组．一、情境导入《九章算术》分为9章，并因此而得名．其中第8章为“方程”，里面有这样一道题目(用现代汉语表述)：3束上等的稻，2束中等的稻，1束下等的稻，共出谷39斗；2束上等的稻，3束中等的稻，1束下等的稻，共出谷34斗；1束上等的稻，2束中等的稻，3束下等的稻，共出谷26斗．问：上、中、下三种稻，每束的出谷量各是多少斗？二、合作探究探究点一：三元一次方程组的概念下列方程组中，是三元一次方程组的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y ＝1，y ＋z ＝0，xz ＝2B.⎩⎪⎨⎪⎧1x＋1＝1，1y ＋z ＝2，1z ＋x ＝6 C.⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＋d ＝1，a －c ＝2，b －d ＝3 D.⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝18，n ＋t ＝12，t ＋m ＝0解析：A 选项中，方程x 2－y ＝1与xz ＝2中含未知数的项的次数为2，不符合三元一次方程组的定义，故A 选项不是；B 选项中1x ，1y ，1z不是整式，故B 选项不是；C 选项中方程组含有四个未知数，故C 选项不是；D 选项符合三元一次方程组的定义．故答案为D.方法总结：满足三元一次方程组的条件：(1)方程组中一共含有三个未知数；(2)每个方程中含未知数的次数都是1；(3)方程组中共有三个整式方程．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题探究点二：三元一次方程组的解法解下列三元一次方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y ＋x ，①2x －3y ＋2z ＝5，②x ＋2y ＋z ＝13；③(2)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋z ＝11，①x ＋y ＋z ＝0，②3x －y －z ＝－2.③解析：(1)观察各个方程的特点，可以考虑用代入法求解，将①分别代入②和③中，消去z 可得到关于x 、y 的二元一次方程组；(2)观察各个方程的特点，可以考虑用加减法求解，用①减去②可消去z ，用①加上③也可消去z ，进而得到关于x 、y 的二元一次方程组．解：(1)将①代入②、③，消去z ，得⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＝5，2x ＋3y ＝13.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.把x ＝2，y ＝3代入①，得z ＝5.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，z ＝5；(2)①－②，得x ＋2y ＝11.④①＋③，得5x ＋2y ＝9.⑤④与⑤组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝11，5x ＋2y ＝9. 解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝234.把x ＝－12，y ＝234代入②，得z ＝－214.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝234，z ＝－214.方法总结：解三元一次方程组的难点在于根据方程组中方程的系数特点选择较简便的方法．(1)一般地，若某一方程的系数比较简单，可选用代入法；(2)若方程组三个方程中某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数时，可选用加减消元法，但要注意必须消去同一个未知数，否则所得的两个新方程虽然都含两个未知数，但由它们组成的方程组仍含三个未知数，并未达到消元的目的．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题探究点三：三元一次方程组的应用【类型一】 三元一次方程组在非负数中的应用若|a －b －1|＋(b －2a ＋c )2＋|2c －b |＝0，求a ，b ，c 的值．解析：本题考查非负数性质的综合应用，要使等式成立必须使每个非负数都为0.解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0.可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a －b －1＝0，b －2a ＋c ＝0，2c －b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－4，c ＝－2.方法总结：非负数之和为0，隐含着每个非负数都为0，从而可列方程组求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题【类型二】 利用三元一次方程组求数字问题一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的34，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．解析：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x ，y ，z ，则原三位数可表示为100x ＋10y ＋z .解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x 、y 、z .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝34z ，x ＋y ＝z ＋1，100z ＋10y ＋x ＝100x ＋10y ＋z ＋495，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，z ＝8.答：原三位数是368.方法总结：解数字问题的关键是正确地用代数式表示数．如果一个两位数的十位上的数字为a ，个位上的数字为b ，那么这个两位数可表示为10a ＋b .如果一个三位数的百位上的数字为a ，十位上的数字为b ，个位上的数字为c ，那么这个三位数可表示为100a ＋10b ＋c ，依此类推．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题【类型三】 列三元一次方程组解决实际问题某汽车在相距70km 的甲、乙两地往返行驶，因途中有一坡度均匀的小山．该汽车从甲地到乙地需要2.5h ，而从乙地到甲地需要2.3h.假设汽车在平路、上坡路、下坡路的时速分别是30km 、20km 、40km ，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？解析：题中有三个等量关系：①上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70km ；②从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5h ；③从乙地到甲地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3h.解：设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度分别是x km ，y km 和z km. 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝70，x 20＋y 30＋z 40＝2.5，z 20＋y 30＋x 40＝2.3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝54，z ＝4. 答：从甲地到乙地的过程中，上坡路是12km ，平路是54km ，下坡路是4km.方法总结：解此题的关键是理解汽车在往返行驶的过程中，如果从甲地到乙地是上坡路段，那么从乙地到甲地时就变成了下坡路段．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计三元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧三元一次方程组的概念三元一次方程组的解法三元一次方程组的应用通过对二元一次方程组的类比学习，让学生感受把新知转化为已知，把不会的问题转化为学过的问题，把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想．感受数学知识之间的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生建立数学模型解决问题的良好思维习惯。
三元一次方程组及其解法PPT课件(沪科版)
前面我们学习了二元一次方程组及 其解法——消元法。对于有两个未知数 的问题，可以列出二元一次方程组来解 决。实际上，在我们的学习和生活中会 遇到不少含有更多未知数的问题。
如本章的“数学史话”所介绍 的《九章算术》一书中第八章
第一题，列成方程组就是
｛3x +2 y + z = 39, 2x +3y + z = 34, x + 2y + 3z = 26.
解：②＋ ① ×2 ，得 y＋ 5z = 3 ④
③ － ①，得 y － 6z = -8 ⑤ ④与⑤联立成二元一次方程组：
你还有其他 解法吗？试 一试，并与 这种解法进 行比较.
｛ y ＋ 5z = 3 y ＋ 6z = -8
解这个方程组，得
｛
y=-2 z=1
把y＝-2，z＝1代入① ，得x=3
｛x=3
这种由三个一次方程组成的含 三个未知数的方程组，叫做三
元一次方程组。
如何解三元一次方程组？
视察方程组：
｛3x +2 y + z = 39, ① 2x +3y + z = 34, ② x + 2y + 3z = 26. ③
我们仍可把它进 行“消元”，即 “三元”化为 “二元”，“二 元”化为“一元”
你能把它化 成与前面类 似的阶梯型 方程组吗？
自己来动手试一试吧！
小明手头有12张面额分别是1元、2元、 5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的 数量是2元纸币数量的4倍．求1元、2元、 5元的纸币各多少张？
提出问题：1．题目中有几个条件？ 2．问题中有几个未知量？ 3．根据等量关系你能列出方程组吗？
分析：在本题中，有三个未知数，我们可设1元、2 元、5元的纸币分别是x张、y张、 z张，用表 格表示三个量之间的关系如下：
数学公式知识：多元一次方程组的解法
数学公式知识：多元一次方程组的解法多元一次方程组是数学中一个非常基本的概念，它是求解一些实际问题时常用的数学工具。
在本文中，我们将会介绍多元一次方程组的定义、解法以及一些常见的应用场景。
一、多元一次方程组的定义多元一次方程组是由若干个含有多个未知数的一次方程组成的方程组。
一次方程指的是方程中未知数的最高次数是1，例如：2x+3y=5。
而多元指的是方程组中包含多个未知数，例如：2x+3y=5，3x-5y=1。
二、多元一次方程组的解法对于一个二元一次方程组，我们可以通过以下两种方法求解：1.代入法假设我们有如下方程组：2x+3y=53x-5y=1我们可以使用代入法来求解这个方程组。
具体的步骤如下：首先，我们可以将第一个方程写成y=(5-2x)/3的形式，然后将这个式子代入到第二个方程中，得到3x-5(5-2x)/3=1。
然后，将这个式子进行化简和移项，得到17x=16。
最后，我们将x=16/17代入到第一个方程中，得到y=(5-2(16/17))/3=17/34。
因此，该方程的解为x=16/17，y=17/34。
2.消元法除了代入法，我们还可以使用消元法来求解多元一次方程组。
对于一个二元一次方程组，我们可以使用以下方法来消元：首先，将第一个方程乘以5，得到10x+15y=25。
然后，将第二个方程乘以3，得到9x-15y=3。
最后，将两个方程相加，消除y的系数，得到19x=28。
因此，该方程的解为x=28/19，y=(5-2(28/19))/3=17/34。
对于三元一次方程组或者更高维的一次方程组，我们同样可以使用代入法或消元法来求解。
但是，随着方程组的维数增加，求解的难度也相应地增加。
三、多元一次方程组的应用多元一次方程组常常被应用于一些实际问题中。
例如，假设我们要计算一家餐馆的进货成本和售出利润，我们可以将进货成本、售价和售出量等因素表示为多元一次方程组，并使用上述方法求解方程组，得到进货成本和售出利润的值。
中国数学十大成就
中国数学十大成就
以下是中国数学的十大成就：
1. 十进位值制与算筹记数法：中国是世界上最早使用十进制计数的国家之一，商代甲骨文中已有十进制计数。
2. 《九章算术》与盈不足术：《九章算术》约成书于东汉初年，是中国现有传本中最古老的数学著作，其中最著名的便是分数运算法则和双假设法（盈不足术）等。
3. 《周髀算经》与勾股定理：西汉末年编纂的《周髀算经》，其中提出勾股定理的特例，在赵爽的注释中给出了普遍形式和证明。
4. 线性方程组及解法：《九章算术》中关于多元一次方程组解法的记载比印度早400多年，比欧洲早1300多年。
5. 中国珠算：珠算术用算盘演算，比筹算术用算筹演算简单方便，珠算口诀又便于记忆，在中国被普遍应用，同时也流传到了其他国家和地区。
6. 贾宪三角与增乘开方法：现代初等数学中，二项式乘方展开是一种最基本的运算方法。
二项式展开项系数，具有一定规律性，贾宪三角与增乘开方法就是利用这一规律展开的方法。
除此之外，中国数学成就还包括割圆术、刘徽原理、二元一次方程组、孙子定理等。
1。
(完整版)《九章算术》中的多元一次方程组及其解法
《九章算术》中的多元一次方程组及其解法
《九章算术》方程章中所谓“方程"是专指多元一次方程组而言，与现在“方程”的含义并不相同．《九章算术》中多元一次方程组的解法，是将它们的系数和常数项用算筹摆成“方阵”（所以称之谓“方程"）．消元的过程相当于现代大学课程高等代数中的线性变换．方程章第一题:“今有上禾（指上等稻子)三秉(指捆）中禾二秉,下禾一秉，实(指谷子）三十九斗;上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何”，这一题若按现代的记法．设x、y、z依次为上、中、下禾各一秉的谷子数，则上述问题是求解三元一次方程组:
《九章算术》用算筹演算：
“方程术曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方．中、左行列如右方（图1－28）以右行上禾徧乘(即遍乘）中行而以直除（这里“除”是减，“直除”即连续相减．）……（引文下略）”．
现将遍乘直除法解方程组的过程，按算筹演算如图1－29所示：
这题的答案《九章算术》方程章第一题“答曰：上禾一秉,九斗四
《九章算术》方程章中共计18个题，其中二元的8题，三元的6题，四元、五元的各2题都用上述的演算法解决，直除法是我国古代解方程组的最早的方法．
多元一次方程组解法在印度最早出现于第七世纪(约628年)在欧洲最早提出三元一次方程组和解法的是16世纪中(1559年)的法国数学家布丢(Buteo)．至于线性方程组的一般理论直到18世纪（1779年）才由法国数学家别朱(E．Be－zout)建立．可见《九章算术》中的方程术，不但是中国古代数学中的伟大成就，在世界数学史上，也是一份值得我们自豪的宝贵遗产．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《九章算术》中的多元一次方程组及其解法
《九章算术》方程章中所谓“方程”是专指多元一次方程组而言，与现在“方程”的含义并不相同．《九章算术》中多元一次方程组的解法，是将它们的系数和常数项用算筹摆成“方阵”(所以称之谓“方程”)．消元的过程相当于现代大学课程高等代数中的线性变换．
方程章第一题：“今有上禾(指上等稻子)三秉(指捆)中禾二秉，下禾一秉，实(指谷子)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何”，这一题若按现代的记法．设x、y、z依次为上、中、下禾各一秉的谷子数，则上述问题是求解三元一次方程组：
《九章算术》用算筹演算：
“方程术曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方．中、左行列如右方(图1－28)以右行上禾徧乘(即遍乘)中行而以直除(这里“除”是减，“直除”即连续相减．)……(引文下略)”．
现将遍乘直除法解方程组的过程，按算筹演算如图1－29所示：
答曰：上禾一秉，九斗四
这题的答案《九章算术》方程章第一题“
《九章算术》方程章中共计18个题，其中二元的8题，三元的6题，四元、五元的各2题都用上述的演算法解决，直除法是我国古代解方程组的最早的方法．
多元一次方程组解法在印度最早出现于第七世纪(约628年)在欧洲最早提
出三元一次方程组和解法的是16世纪中(1559年)的法国数学家布丢(Buteo)．至于线性方程组的一般理论直到18世纪(1779年)才由法国数学家别
朱(E．Be－zout)建立．可见《九章算术》中的方程术，不但是中国古代数学中的伟大成就，在世界数学史上，也是一份值得我们自豪的宝贵遗产．。