第八章第三节圆的方程

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（江苏专用）高考数学总复习第八章第3课时圆的方程课件

【解】设点M的坐标是(x，y)，点A 的坐标是(x0，y0)，由于点B的坐标是 (4,3)且M是线段AB的中点，
所以 x＝x0＋2 4，y＝y0＋2 3，于是有 x0＝2x－4，y0＝2y－3. ① 因为点 A 在圆(x＋1)2＋y2＝4 上运动，
所以点 A 的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝ 4，即(x0＋1)2＋y20＝4. ② 把 ①代入 ②，得(2x－ 4＋ 1)2＋ (2y－ 3)2 ＝4，
(2)求圆的方程有两类方法 ①几何法，即通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系，进而求得圆的基本量(圆心、半径)和方程；
②代数法，即用“待定系数法”求圆的方程，其一般步骤是：a.根据题意选择方程的形式——标准形式或一般形式(本例题中涉及圆心及切线，故设标准形式较简单)；b.利用条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；c.解出a，b，r或D，E，F，代入所设的标准方程或一般方程．
第八章平面解析几何
第3课时圆的方程
回归教材•夯实双基
基础梳理 1．圆的方程 (1)标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中 (a_，__b_)____为圆心，r为半径．
(2)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝
0(D2＋E2－4F＞0)其中圆心为
__－__D2_，__－__E2___，半径为_12__D__2_＋__E_2－ __4_F_.
d＝|2－－1－1|＝ 2.
1＋1
又直线y＝x－1被圆截得的弦长为2， ∴2＝2，即2＝2，解得r＝2. ∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝ 4.
(2)法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y
－b)2＝r2，则有
b＝－4a，
3－a2＋－2－b2＝r2， |a＋b－1|＝r， 2

高考数学考前最后一轮基础知识巩固之第八章第3课圆的方程

第3课圆的方程【考点导读】1. 掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化。

2. 本节内容主要考查利用待定系数法求圆的方程，利用三角换元或数形结合求最值问题，题型难度以容易题和中档题为主. 【基础练习】1.已知点A(3，－2)，B(－5，4)，以线段AB 为直径的圆的方程为(x + 1)2+ (y －1)2= 252.过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是（x －1）2＋（y－1）2＝43.已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为0422=-+x y x4.圆22420x y x y c +-++=与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若∠APB=120°，则实数c 值为_-11__5.如果方程220x y Dx Ey F ++++=()2240D E F +->所表示的曲线关于直线y x =对称，那么必有__D=E__ 【范例导析】【例1】设方程22242(3)2(14)1690x y m x m y m +-++-++=，若该方程表示一个圆，求m 的取值范围及这时圆心的轨迹方程。

分析:配成圆的标准方程再求解解：配方得：[]2222(3)(14)167x m y m m m ⎡⎤-++--=+-⎣⎦ 该方程表示圆，则有21670m m +->，得1(,1)7m ∈-，此时圆心的轨迹方程为2341x m y m =+⎧⎨=-⎩，消去m ，得24(3)1y x =--，由1(,1)7m ∈-得x =m +320,47⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴所求的轨迹方程是24(3)1y x =--，20,47x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭注意：方程表示圆的充要条件，求轨迹方程时，一定要讨论变量的取值范围，如题中20,47x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭变式1：方程224(1)40ax ay a x y +--+=表示圆，求实数a 的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程。

圆的方程课件高二人教A版(精品)

C
[解析] 设圆心的坐标为，圆的半径为，因为圆心在直线上，所以。因为，所以，解得 , ,所以。所以方程为。
二、易错题
4.（错用点与圆的位置关系致误）若点在圆的内部，则实数的取值范围是( )A. B. C. 或 D.
A
[解析] 设圆心为，半径为，圆被轴分成两部分的弧长之比为，则其中劣弧所对圆心角为，由圆的性质可得，又圆被轴截得的弦长为4，所以，所以。变形为，即在双曲线上，易知双曲线上与直线平行的切线的切点为，此点到直线的距离最小。设切线方程为，由
类型二与圆有关的轨迹问题
【例2】（1）平面内到两定点，的距离之比等于常数（且）的动点的轨迹叫做阿波罗尼斯圆。已知 , , ，则点的轨迹围成的平面图形的面积为( )A. B. C. D.
B
[解析] 设，由，得 , , ，，则点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，所以所求面积。
2.（微考向2）已知点为圆上一点，为圆心，则（为坐标原点）的取值范围是( )A. B. C. D.
C
[解析] 将圆的方程化为，所以圆心的坐标为。所以。而，所以。因为，所以，所以。因为，所以，所以 ,即。因此，从而（为坐标原点）的取值范围为。故选C。
2.点与圆的位置关系平面上的一点与圆之间存在着下列关系：
（1）在_______，即在圆外；
（2）在_______，即在圆上；
（3）在_______，即在圆内。
圆外
圆上
圆内
小题·微演练
一、基础题
1.圆的圆心坐标是( )A. B. C. D.
[解析] 由题意可设点的坐标为，因为满足，由两点间的距离公式可得，即，所以即为点的轨迹方程。故选B。

第8章第3节圆的方程

第三节圆的方程一、教材概念·结论·性质重现1．圆的定义及方程定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圆心：⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E2，半径：12D2＋E2－4F(1)确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质．①圆心在过切点且与切线垂直的直线上．②圆心在任一弦的中垂线上．③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心共线．(2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F>0时，表示圆心为⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E2，半径r＝D2＋E2－4F2的圆；当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E2；当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形．00(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.3．常用结论以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直径端点的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”． (1)确定圆的几何要素是圆心与半径． (√) (2)方程x 2＋2ax ＋y 2＝0一定表示圆． (×) (3)圆x 2＋2x ＋y 2＋y ＝0的圆心是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12．(×)(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0内，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F＞0． (×)2．若圆(x －1)2＋(y －1)2＝2关于直线y ＝kx ＋3对称，则k 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－1B 解析：由题意知直线y ＝kx ＋3过圆心(1,1)，即1＝k ＋3，解得k ＝－2.3．过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4C 解析：设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r .因为圆心C 在直线x ＋y －2＝0上，所以b ＝2－a .又|CA |2＝|CB |2，所以(a －1)2＋(2－a ＋1)2＝(a ＋1)2＋(2－a －1)2，所以a ＝1，b ＝1.所以r ＝2.所以方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.4．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．a ＝±1A 解析：因为点(1,1)在圆的内部，所以(1－a )2＋(1＋a )2<4，所以－1<a <1.5．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．(－2，－4)5解析：由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．考点1求圆的方程——基础性(1)(2020·北京高三一模)已知圆C与x轴的正半轴相切于点A，圆心在直线y＝2x上．若点A在直线x－y－4＝0的左上方且到该直线的距离等于2，则圆C的标准方程为()A．(x－2)2＋(y＋4)2＝4B．(x＋2)2＋(y＋4)2＝16C．(x－2)2＋(y－4)2＝4D．(x－2)2＋(y－4)2＝16D解析：因为圆C的圆心在直线y＝2x上，所以可设C(a,2a)．因为圆C与x轴正半轴相切于点A，所以a>0且圆C的半径r＝2a，A(a,0)．因为点A到直线x－y－4＝0的距离d＝2，所以d＝|a－0－4|1＋1＝2，解得a＝6或a＝2，所以A(2，0)或A(6,0)．因为A在直线x－y－4＝0的左上方，所以A(2,0)，所以C(2,4)，r＝4，所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝16.(2)古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A (－a,0)，B (a,0)，动点P 满足|P A ||PB |＝λ(其中a 和λ是正常数，且λ≠1)，则P 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”，该圆的半径为________．2aλ|1－λ2| 解析：设P (x ，y )，由动点P 满足|P A ||PB |＝λ(其中a 和λ是正常数，且λ≠1)，所以(x ＋a )2＋y 2＝λ(x －a )2＋y 2，化简得x 2＋2a (1＋λ2)1－λ2x ＋a 2＋y 2＝0，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋a (1＋λ2)1－λ22＋y 2＝a 2(1＋λ2)2(1－λ2)2－a 2，所以该圆半径r ＝a 2(1＋λ2)2(1－λ2)2－a 2＝2aλ|1－λ2|.求圆的方程的两种方法(1)几何法．通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直于切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．(2020·重庆育才中学3月月考)圆C 以直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＋2m ＝0上的定点为圆心，半径r ＝4，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝16B ．(x －2)2＋(y －2)2＝16C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝16D ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝16A 解析：由(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＋2m ＝0，可得(2x ＋y ＋2)m ＋(x ＋y )＝0，所以直线过⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋2＝0，x ＋y ＝0的交点，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即直线过定点(－2,2)，则所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝16.故选A ．考点2 与圆有关的轨迹问题——综合性设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解：如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N 在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 因此所求轨迹为圆(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上时的情况)．求与圆有关的轨迹问题的常用方法(1)直接法：由题设直接求出动点坐标所满足的关系式． (2)定义法：利用定义写出动点的轨迹方程．(3)代入法：若动点P (x ，y )随着圆上的另一动点Q (x 1，y 1)运动而运动，且x 1，y 1可用x ，y 表示，可将点Q 的坐标代入已知圆的方程，即得动点P 的轨迹方程．1．若动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝32B ．x 2＋y 2＝16C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16B 解析：设P (x ，y )，则由题意可得2(x －2)2＋y 2＝(x －8)2＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16.2．如图，已知点A (－1,0)与点B (1,0)，点C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连接BC 并延长至点D ，使得|CD |＝|BC |.求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．解：设动点P (x ，y )，由题意可知P 是△ABD 的重心．由A (－1,0)，B (1,0)，设动点C (x 0，y 0)，则D (2x 0－1,2y 0)．由重心坐标公式得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋1＋2x 0－13，y ＝2y 03，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ＋12，y 0＝3y 2(y ≠0)，代入x 2＋y 2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋y 2＝49(y ≠0)，故所求轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋y 2＝49(y ≠0)．考点3 与圆有关的最值问题——综合性考向1 斜率型、截距型、距离型最值问题已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求yx 的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． (1)yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx ＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3(如图1)．所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6(如图2)．所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)．又圆心到原点的距离为2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，最小值是(2－3)2＝7－4 3.与圆有关的最值问题的3种几何转化法(1)形如m＝y－bx－a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题．考向2利用对称性求最值已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N 分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为() A．52－4 B．17－1 C．6－2 2 D．17A解析：P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C′1(2，－3)．所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝52，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥52－4.求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．1．设点P是函数y＝－4－(x－1)2图象上的任意一点，点Q的坐标为(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为________．5－2解析：函数y＝－4－(x－1)2的图象表示圆(x－1)2＋y2＝4在x轴及下方的部分．令点Q的坐标为(x，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x＝2a，y＝a－3，得y＝x2－3，即x－2y －6＝0，作出图象如图所示．由于圆心(1,0)到直线x－2y－6＝0的距离d＝|1－2×0－6|12＋(－2)2＝5>2，故直线x －2y－6＝0与圆(x－1)2＋y2＝4相离，因此|PQ|的最小值是5－2.2．已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y ＝0上，则|P A|＋|PQ|的最小值是________．25解析：因为圆C化为标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，所以圆C是以C(2，1)为圆心，r＝5为半径的圆．设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，故⎩⎪⎨⎪⎧m＋02＋n＋22＋2＝0，n－2m－0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m＝－4，n＝－2.故A′(－4，－2)．所以|A′C|＝(2＋4)2＋(1＋2)2＝3 5.连接A′C交圆C于点Q，由对称性可知|P A|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2 5.。

第8章第3讲圆的方程

第3讲圆的方程[考纲解读]1.掌握确定圆的几何要素，圆的标准方程与一般方程，能根据不同的条件，采取标准式或一般式求圆的方程．(重点)2．掌握点与圆的位置关系，能求解与圆有关的轨迹方程．(难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲为高考中的热点．预测2021年将会考查：①求圆的方程；②根据圆的方程求最值；③与圆有关的轨迹问题．试题以客观题的形式呈现，难度不会太大，以中档题型呈现.1.圆的定义及方程定义平面内与□01定点的距离等于□02定长的点的集合(轨迹)标准方程□03(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0) 圆心：□04(a ，b )，半径：□05r 一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)圆心：□06⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径：□0712D 2＋E 2－4F 平面上的一点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2之间存在着下列关系：设d 为点M (x 0，y 0)与圆心(a ，b )的距离(1)d >r ⇔M 在圆外，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔M 在□01圆外； (2)d ＝r ⇔M 在圆上，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔M 在□02圆上； (3)d <r ⇔M 在圆内，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔M 在□03圆内．1．概念辨析(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a ，半径为12－3a 2－4a ＋4的圆．( )(3)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( )(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.()答案(1)√(2)×(3)√(4)√2．小题热身(1)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2答案 D解析由已知，得所求圆的圆心坐标为(1,1)，半径r＝12＋12＝2，所以此圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝2.(2)若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是()A．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B．(－∞，－22)∪(22，＋∞)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－23)∪(23，＋∞)答案 B解析若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m应满足m2＋(－2)2－4×3>0，解得m<－22或m>2 2.(3)若原点在圆(x－2m)2＋(y－m)2＝5的内部，则实数m的取值范围是________．答案(－1,1)解析因为原点在圆(x－2m)2＋(y－m)2＝5的内部，所以(0－2m)2＋(0－m)2<5.解得－1<m<1.(4)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为________．答案x2＋(y－2)2＝1解析由题意，可设所求圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，因为此圆过点(1,2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2.故所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.题型一求圆的方程1．经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上的圆的标准方程为________．答案 (x －4)2＋(y ＋3)2＝25解析解法一：(待定系数法)设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2，(1－a )2＋(1－b )2＝r 2，2a ＋3b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3，r ＝5.所以圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.解法二：(直接法)由题意，知OP 是圆的弦，其垂直平分线为x ＋y －1＝0.因为弦的垂直平分线过圆心，所以由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－3，即圆心坐标为(4，－3)，半径为r ＝42＋(－3)2＝5，所以圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.2．一圆经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6，求此圆的方程．解设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P ，Q 两点的坐标分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20， ①3D －E ＋F ＝－10. ②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③ 设x 1，x 2是方程③的两根，由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36，④由①②④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．见举例说明1解法二．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值．见举例说明1解法一．②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．见举例说明2.1．圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4 答案 D解析设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )，则有⎩⎨⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.故选D.2．(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．答案 x 2＋y 2－2x ＝0解析解法一：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，又因为圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，22＋02＋2D ＋0E ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝0，所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.解法二：记O (0,0)，A (1,1)，B (2,0)，线段OB 的垂直平分线方程为x ＝1，线段OA 的垂直平分线方程为y －12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即x ＋y －1＝0.解方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －1＝0，得圆心坐标为(1,0)．所以半径r ＝1，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1.解法三：在平面直角坐标系中，画出圆上的三点，另证这三个点构成直角三角形，显然圆心坐标为(1,0)，半径为1，所以圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1.题型二与圆有关的最值问题角度1 建立函数关系求最值1．(2019·厦门模拟)设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2,0)，B (－2,0)，则P A →·PB→的最大值为________．答案 12解析 ∵P A →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，P (x ，y )在圆上，∴P A →·PB→＝x 2－4＋y 2＝6y －8－4＝6y －12，∵2≤y ≤4，∴P A →·PB →≤12.角度2 借助几何性质求最值2．(2019·湖南师大附中模拟)已知点A (－2,0)，B (0,1)，若点C 是圆x 2－2ax ＋y 2＋a 2－1＝0上的动点，△ABC 面积的最小值为3－2，则a 的值为________．答案 1或－5解析由题意，知圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝1，则圆心为(a,0)，半径r ＝1，又A (－2,0)，B (0,2)可得直线AB 的方程为x －2＋y2＝1，即x －y ＋2＝0.所以圆心到直线AB 的距离d ＝|a ＋2|2，则圆上的点到直线AB 的最短距离为d －r ＝|a ＋2|2－1，又|AB |＝4＋4＝22，所以△ABC 面积的最小值为12|AB |·(d －r )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋2|2－1＝3－2，解得a ＝1或－5.求解与圆有关的最值问题的两大规律(1)建立函数关系式求最值．如举例说明1.根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式；然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的．(2)借助几何性质求最值．如举例说明2.1．圆：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( ) A ．1＋ 2 B ．2 C ．1＋22 D ．2＋2 2答案 A解析将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，即圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x－y＝2距离的最大值为d＋1＝2＋1，故选A.2．(2019·兰州模拟)若直线ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)把圆(x＋4)2＋(y＋1)2＝16分成面积相等的两部分，则12a＋2b的最小值为()A．10 B．8C．5 D．4答案 B解析由已知，得圆心C(－4，－1)在直线ax＋by＋1＝0上，所以－4a－b＋1＝0，即4a＋b＝1，又因为a>0，b>0，所以12a ＋2b＝⎝⎛⎭⎪⎫12a＋2b(4a＋b)＝b2a＋8ab＋4≥2b2a·8ab＋4＝8，当且仅当b2a＝8ab时，等号成立，此时b＝4a，结合4a＋b＝1，知a＝18，b＝12.所以当a＝18，b＝12时，12a＋2b取得最小值8.题型三与圆有关的轨迹问题1．已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求直角顶点C的轨迹方程．解解法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，所以k AC·k BC＝－1，又k AC＝yx＋1，k BC＝yx－3，所以yx＋1·yx－3＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．解法二：设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．2．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.因为平行四边形的对角线互相平分，所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x ＋3，y －4)在圆x 2＋y 2＝4上，所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 所以点P的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆⎝ ⎛⎭⎪⎫因为O ，M ，P 三点不共线，所以应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.1．掌握“三方法”2．明确“五步骤”(2019·潍坊调研)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.组基础关1．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与圆的位置关系是( )A ．原点在圆上B ．原点在圆外C ．原点在圆内D ．不确定答案 B解析将圆的一般方程化成标准方程为(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为0<a <1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2>0，即(0＋a )2＋(0＋1)2>2a ，所以原点在圆外．2．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝5 B ．(x －2)2＋y 2＝5 C ．x 2＋(y ＋2)2＝5 D ．(x －1)2＋y 2＝5答案 B解析因为所求圆的圆心与圆(x ＋2)2＋y 2＝5的圆心(－2，0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径为5，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝5.故选B.3．若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆的条件为a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)>0，即3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23.又a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，∴仅当a ＝0时，方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，故选B.4．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43 B ．－34 C. 3 D ．2答案 A解析圆的方程可化为(x －1)2＋(y －4)2＝4，则圆心坐标为(1,4)，圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.故选A.5．(2019·合肥二模)已知圆C ：(x －6)2＋(y －8)2＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为( )A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝100B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝100C ．(x －3)2＋(y －4)2＝25D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝25 答案 C解析由圆C 的圆心坐标C (6,8)，得OC 的中点坐标为E (3，4)，半径|OE |＝32＋42＝5，则以OC 为直径的圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.6．(2020·黄冈市高三元月调研)已知圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于直线y ＝x 对称，则k 的值为( )A ．－1B ．1C ．±1D ．0答案 A解析化圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0为(x ＋k 2)2＋(y ＋1)2＝k 4－4k ＋1.则圆心坐标为(－k 2，－1)，∵圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于直线y ＝x 对称，∴－k 2＝－1，得k ＝±1.当k ＝1时，k 4－4k ＋1<0，不符合题意，∴k ＝－1.故选A.7．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1答案 A解析设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.故选A.8．(2019·太原二模)若圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋F ＝0的半径为1，则F ＝________. 答案 1解析由圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋F ＝0得(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－F ，由半径r ＝2－F ＝1，解得F ＝1.9．已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为________．答案 (0，－1)解析圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1.所以当k ＝0时圆C 的面积最大，此时圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．10．已知实数x ，y 满足(x ＋2)2＋(y －3)2＝1，则|3x ＋4y －26|的最小值为________．答案 15解析解法一：|3x ＋4y －26|最小值的几何意义是圆心到直线3x ＋4y －26＝0的距离减去半径后的5倍，|3x ＋4y －26|min ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|3a ＋4b －26|32＋42－r ，(a ，b )是圆心坐标，r 是圆的半径．圆的圆心坐标为(－2,3)，半径是1，所以圆心到直线的距离为|3×(－2)＋4×3－26|5＝4，所以|3x ＋4y －26|的最小值为5×(4－1)＝15.解法二：令x ＋2＝cos θ，y －3＝sin θ，则x ＝cos θ－2，y ＝sin θ＋3，|3x ＋4y －26|＝|3cos θ－6＋4sin θ＋12－26|＝|5sin(θ＋φ)－20|，其中tan φ＝34，所以其最小值为|5－20|＝15.组能力关1．方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是( ) A ．一个椭圆 B ．一个圆 C ．两个圆 D ．两个半圆答案 D解析由题意知|y |－1≥0，则y ≥1或y ≤－1，当y ≥1时，原方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1(y ≥1)，其表示以(1,1)为圆心，1为半径的上半圆；当y ≤－1时，原方程可化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1(y ≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心，1为半径的下半圆．所以方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是两个半圆．选D.2．(2019·南昌二模)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x 2＋y 2≤1，若将军从点A (2,0)处出发，河岸线所在直线方程为x ＋y ＝3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( )A.10－1 B ．22－1 C ．2 2 D.10答案 A解析设点A 关于直线x ＋y ＝3的对称点为A ′(a ，b )，则AA ′的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22，b 2，k AA ′＝b a －2，故⎩⎨⎧b a －2·(－1)＝－1，a ＋22＋b2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，则从点A 到军营的最短总路程，即为点A ′到军营的距离，则“将军饮马”的最短总路程为32＋12－1＝10－1.3．(2019·贵阳模拟)已知圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝9，过点A (2,3)作圆C 的任意弦，则这些弦的中点P 的轨迹方程为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －2)2＝54解析设P (x ，y )，圆心C (1,1)．因为P 点是过点A 的弦的中点，所以P A →⊥PC →.又因为P A →＝(2－x,3－y )，PC →＝(1－x,1－y )．所以(2－x )·(1－x )＋(3－y )·(1－y )＝0.所以点P 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －2)2＝54.4．(2020·柳州摸底)在平面直角坐标系xOy 中，经过函数f (x )＝x 2－x －6的图象与两坐标轴交点的圆记为圆C .(1)求圆C 的方程；(2)求经过圆心C 且在坐标轴上截距相等的直线l 的方程．解 (1)设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.由f (x )＝x 2－x －6得，其图象与两坐标轴的交点为(0，－6)，(－2,0)，(3,0)，将交点坐标代入圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧36－6E ＋F ＝0，4－2D ＋F ＝0，9＋3D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－1，E ＝5，F ＝－6，所以圆的方程为x 2＋y 2－x ＋5y －6＝0.(2)由(1)知，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－52，若直线经过原点，则直线l 的方程为5x ＋y ＝0；若直线不过原点，设直线l 的方程为x ＋y ＝a ，则a ＝12－52＝－2，即直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.综上，直线l 的方程为5x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.5．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点A (－1,0)，点B (1,0)．点P 是圆O 上异于A ，B 的动点．(1)证明：k AP ·k BP 是定值；(2)过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足2PQ →＝－PM →，求点M 的轨迹方程C ；(3)证明：k AM ·k BM 是定值．解 (1)证明：由已知，直线AP ，BP 的斜率存在，AB 是圆O 的直径，所以AP ⊥BP ，所以k AP ·k BP ＝－1是定值．(2)设P (m ，n )，M (x ，y )，则Q (m,0)，则PQ→＝(0，－n )，PM →＝(x －m ，y －n )，因为2PQ→＝－PM →，所以2(0，－n )＝－(x －m ，y －n )，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝－x ＋m ，－2n ＝－y ＋n ，即⎩⎨⎧m ＝x ，n ＝13y ，①因为点P 在圆O 上，所以m 2＋n 2＝1， ② 将①代入②，得x 2＋y 29＝1，又点P 异于A ，B ，所以x ≠±1，即点M 的轨迹方程C 为x 2＋y 29＝1(x ≠±1)．(3)证明：由已知，直线AM ，BM 的斜率存在， k AM ＝y x ＋1，k BM ＝yx －1，由(2)知，x2－1＝－y29，所以k AM·k BM＝yx＋1·yx－1＝y2x2－1＝－9，即k AM·k BM是定值．。

2024届新高考一轮复习人教A版第八章第3节圆的方程课件(31张)

A.1
B.2
C.-4
D.8

解析:由 x2+y2+x+4y-m=0 得(x+)2+(y+2)2=m+4+,所以 m+4+=,
所以 m=-4.
3.(选择性必修第一册P85T1改编)与圆(x-1)2+y2=4同圆心且经过点P(-2,4)的
圆的标准方程为( D )
A.(x-1)2+y2=17
第3节
圆的方程
[课程标准要求]
1.掌握圆的标准方程的特征,能根据所给条件求圆的标准方程.
2.掌握圆的一般方程,能对圆的一般方程与标准方程进行互化,了解二元二次
方程表示圆的条件.
1.圆的定义与方程
定义
标准方程
平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
2
2
圆心为 (a,b)
2
(x-a) +(y-b) =r (r>0)
.
.
.
1.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
2.同心圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是参数.
1.(选择性必修第一册P85T2改编)已知圆的标准方程是(x-3)2+(y+2)2=16,下列

= ,
+ - = ,
故所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.故选 C.
法二(几何法)
由
= ,
+ - =
圆心一定在 AB 的中垂线上,A#43;(y-1)2=4.故选 C.

圆的方程的三种形式

圆的方程的三种形式
圆的方程有两种形式，分为标准方程、一般方程。

圆的标准方程形式为：（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。

圆的一般方程形式为：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。

和标准方程对比来看，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2-r^2。

圆的方程形式
圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a,b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。

圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。

和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2-r^2。

圆
在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。

圆有无数条对称轴。

在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

圆可以表示为集合{M||MO|=r}，其中O是圆心，r是半径。

圆的标准方程是(x-a)²+(y - b)² = r²，其中点(a,b)是圆心，r是半径。

圆形是一种圆锥曲线，由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到。

第八章第三节圆的方程

[题组自测] 1．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的距离的最大值与最小值的差是 A．36 C．6 2 B．18 D．5 2 ( )
解析：圆半径为3 2 ，圆心坐标为(2,2)，它到直线x＋y |2＋2－14| －14＝0的距离为＝5 2 >3 2 ，直线与圆相 2 离，则圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－ 14＝0的距离的最大值与最小值的差即为圆的直径6 2.
A＝C≠0 提示：B＝0 D2＋E2－4AF>0
[题组自测]
1．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为
( A．(x－2)2＋y2＝5 C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5 )
解析：(x，y)点关于(0,0)对称点(－x，－y)，则得
答案：C
在本题中试求过圆上点且与直线y＝x＋1距离最小时
的直线方程．
解：设所求直线方程为y＝x＋m，此时与圆相切， |3＋m| 由d＝r知＝1，∴m＝ 2－3或－ 2－3(舍去) 2 ∴y＝x＋2－ 3.
[归纳领悟] 1．研究与圆有关的最值问题时可借助图形的性质数形结合求解． y－b 2．形如Z＝的形式的最值问题可转化为动直线斜率 x－a 的最值问题． 3．形如Z＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动点到定点距离的平方的最值问题．
解析：如图所示，设直线上一点P，切点为Q，圆心为M，则|PQ|即为切线长，MQ为圆M的半径，长度为1， |PQ|＝ |PM|2－|MQ|2 ＝ |PM|2－1，要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线y ＝x＋1上的点到圆心M的最小距离，设圆心到直线y＝x ＋1的距离为d，

2024年高考数学一轮复习(新高考版)《圆的方程》课件ppt

设动点P的坐标为(x，y)，因为 M(1,0)，N(2,0)，且|PN|＝ 2|PM|，所以 x－22＋y2＝ 2· x－12＋y2，
整理得x2＋y2＝2，所以动点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝2.
(2)已知点B(6,0)，点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q 的轨迹方程.
(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B
＝0，D2＋E2－4AF>0.( √ )
(4)若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外，则 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋
F>0.( √ )
教材改编题
1.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是 A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
若过(0,0)，(4,0)，(4,2)，
F＝0，
则16＋4D＋F＝0， 16＋4＋4D＋2E＋F＝0，
F＝0，
解得D＝－4， E＝－2，
满足 D2＋E2－4F>0，
所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，
即(x－2)2＋(y－1)2＝5；
若过(0,0)，(4,2)，(－1,1)，
F＝0，
则1＋1－D＋E＋F＝0， 16＋4＋4D＋2E＋F＝0，
方法二设 AB 的中点为 D，由中点坐标公式得 D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝12|AB|＝2.由圆的定义知，动点 C 的轨迹是以 D(1,0) 为圆心，2 为半径的圆(由于 A，B，C 三点不共线，所以应除去与 x 轴的交点). 所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
设圆心坐标为(a，－2a＋3)，则圆的半径 r＝ a－02＋－2a＋3－02

2020高三数学一轮复习(人教版理)：圆的方程

解析 (1)由题意设圆心坐标为(a，－a)，则有|a－－a|＝|a－－a－4|
2
2
即|a|＝|a－2|，解得 a＝1。故圆心坐标为(1，－1)，半径 r＝ 2 ＝ 2，所以 2
圆 C 的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2。故选 B。
答案 (1)B
(2)(2019·河南豫西五校联考)在平面直角坐标系 xOy 中，以点(0,1)为圆心且与直线 x－by＋2b＋1＝0 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ()
答案 48
微考点·大课堂
考点例析对点微练
考点一圆的方程【例 1】 (1)过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x－y－1＝0 相切于点 B(2,1)，则圆 C 的方程为________。
解析 (1)由已知 kAB＝0，所以 AB 的中垂线方程为 x＝3①。过 B 点且垂直于直线 x－y－1＝0 的直线方程为 y－1＝－(x－2)，即 x＋y－3＝0②，联立①②，解得xy＝＝30，，所以圆心坐标为(3,0)，半径 r＝ 4－32＋1－02 ＝ 2，所以圆 C 的方程为(x－3)2＋y2＝2。
一、走进教材
1．(必修 2P124A 组 T1 改编)圆 x2＋y2－4x＋6y＝0 的圆心坐标是( )
A．(2,3)
B．(－2,3)
C．(－2，－3)
D．(2，－3)
解析故选 D。
答案
圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)。 D
2．(必修 2P120 例 3 改编)过点 A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线 x＋y －2＝0 上的圆的方程是( )
解析
设圆心的坐标为(a,0)(a>0)，根据题意得|2a|＝4 5

8章3课时圆的方程

课堂互动讲练
|2k－ 0| －此时 2 ＝ 3 ，解得 k＝＝ k ＋1 ± 3. y 所以的最大值为 3，最小值， x 为－ 3.
课堂互动讲练
(2)y－ x 可看作是直线 y＝ x＋b －＝＋轴上的截距，在 y 轴上的截距，当直线 y＝ x＋b ＝＋与圆相切时，与圆相切时，纵截距 b 取得最大值 |2－ 0＋ |2－ 0＋b| 或最小值，或最小值，此时＝ 3，解， 2 得 b＝－＝－2± 6. ＝－所以 y－ x 的最大值为－ 2＋－的最大值为－＋ 6，最小值为－2－ 6. ，最小值为－－
课堂互动讲练
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为 (2－0)2＋ (0－ 0)2＝2，－－，所以 x2 ＋ y2 的最大值是 (2＋＋ 3)2＝ 7＋4 3，＋， x2＋ y2 的最小值是－ 3)2＝ 7 的最小值是(2－－4 3.
三基能力强化
2．(2009年高考重庆卷改编圆心．年高考重庆卷改编)圆心年高考重庆卷改编轴上，在x轴上，半径为，且过点轴上半径为1，且过点(2,1)的圆的圆的方程是( ) 的方程是 A．y2＋(x－2)2＝1 ．－ B．x2＋(y－2)2＝1 ．－ C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 ．－－ D．x2＋(y－3)2＝1 ．－答案：答案：A
课堂互动讲练
如图所示，【解】如图所示，设 P(x， y)， N(x0 ， y0)，则线，，， x y 的中点坐标为( 段 OP 的中点坐标为， )，， 2 2 线段 MN 的中点坐标为 x0－ 3 4 ( )．，． 2 2

第3节圆的方程

创新课堂
7．（2012 届微山一中高三 10 月考试题）直线 y x b 与曲线
x 1 y2 有且仅有一个公共点，
第八单元
则 b 的取值范围是 A． | b |
（
）
2
B． 1 b 1 或 b 2 D． 2 b 1
2
C． 1 b 2 答案:B
解析: y x b 是斜率为 1 的直线,曲线 x 1 y 是以原点为圆心 1 为半径的圆的右半圆,画出他们的图像如右图, 由图可以看出:两种情况两个曲线有且仅有一个公共点, 当 b 2 时相切,当 1 b 1 时,相交且有唯一公共点; 这里考查直线与圆位置关系,数形结合,是中档题.
创新课堂
第八单元
点拨求圆的方程，主要用待定系数法：一是利用圆的标准方程，求出圆心坐标和半径，二是利用圆的一般方程求出D、E、F的值. 用待定系数法求圆的方程要注意两点：第一，究竟用标准方程还是用一般方程要根据题设条件选择，选择得好，解法就简捷，选择得不好，会增加解答的难度，并注意尽量根据条件少设未知量.第二，要注意适时运用几何知识列方程，这样可大大减少计算量.
A(a，b)、半径长为 r 的圆．特例：①圆心在原点：x2＋y2＝r2；②圆心在 x 轴上：(x－a)2＋y2 ＝r2；③圆心在 y 轴上：x2＋(y－b)2＝r2；④以点 A(x1，y1)、点 B(x2，y2)
x1＋x22 y1＋y22 2 为直径两端点的圆的方程：x－＋y－ 2 ＝(x1－x2) ＋(y1－ 2
|CA| 3 2 |CB| 3 2 又∵kPA＝ |PA| ＝＝ 2 ，kPB＝－|PB| ＝－＝－ 2 . 6 6 即 y 2 2 的最大值为 2 ，最小值为－ 2 . x＋1

高考数学(文通用)一轮复习课件：第八章第3讲圆的方程

第3讲第八章平面解析几何圆的方程教材回顾▼夯实基础1.圆的定义及方程平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）课本温故追根求源标准方程(x —a)2+(y —〃)2=以0>0)心：（…）,半径：丄_____一般方程x2+j2+£>x+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)111半径：|\/z>2+E2-4F心:2•点与圆的位置关系点M（x0,旳）与圆（x—af+（y—b）2=r2的位置关系: (1)若旳)在圆外，贝l|(x0—a)2+(yo—^)2(2)若旳)在圆上，贝!|(xo-a)2+(y o-^)2(3)若为)在圆内，贝!Kx0-«)2+(y0-^)2―\，1.辨明两个易误点⑴求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.(2)对于方程X2+J2+D X+£^+F=0表示圆时易忽视Z)2+ 炉一4尸＞0这一条件.2.求解有关圆的问题的转化路径(1)注意二元二次方程表示圆的充要条件，善于利用切割线定理、垂径定理等平面中动点到定点、定直线的距离转化为圆心到它们的距离.(2)在圆中，注意利用半径、半弦长及弦心距组成的直角三角形.双基自测,1•圆心在丿轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为(A ) A. x 2+(y-2)2=l B. x 2+(y+2)2=l C. (x-1)2+ (y~3)2= 1D. x 2+(y-3)2= 1\ (0—1) 2+ (b_2) —I,解得b=2,故圆的方程为x + (y —2)2=1.2.方程^2+j 2+ 4wx —2j + 5w=0(B ) （0 , b ）,则由题意知,1A•一 svl4r 1C. m<rD. m>l解析：S(W+4-4XSw>0,得m>l.43.圆心在丿轴上且经过点(3, 1)的方程是（B ）A. X2+J2+10J=0B. x2+/-10y = 0C. x2+j2+10x=0 D・ x2+j2—10x=0所以9 +(1—方)2=方「解得方=5.解析：设圆心为(0,b）9半径为八Jl!| r= \b\9x2+(y —bf=b)因为点(3, 1)所以圆的方程为x2+j2—10y=0.4.点(1, 1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4内，则实数日的取值范围思’J .解析：因为点(1, 1)在圆的内部,所以(1-a)2+(1+a)2<4, 所以一1<a<1.5.(必修2P124习题4.1 A组T4改编)圆C的圆心在x轴上, 并且过点4(-1, 1)和B(1, 3),则圆C的方程为(X—2)2+j2=10解析：设圆心坐标为C(a, 0),因为点A(-l, 1)和B(l, 3)在圆C所以IC4I= ICBI,即7(a+1)彳+1=7 (a—l) 解得a=2f所以圆心为C(2, 0), 半径IC4I=〈(2+1) 2+1=莎，所以圆C的方程为(X-2)2+/=10.典例剖析▼考点突破*考点一求圆的方程(1)经过卩(一2, 4)、0(3, 一1)两点，并且在兀轴上截得的弦长等于6；(2)圆心在直线j=-4x±,且与直线Z ： x+y-l=0相切于点 P(3, -2).［解］⑴设圆的方程为X 2+J 2+D X +E J +F=0, 将P 、0点的坐标名师导悟以例说法根据下列条件，求圆的方程:分别代入得2D-4E-F=20,①3D-E+F=-1Q.②又令J=O,得x2+Z)x+F=0e③设帀，兀2是方程③的两根, 由I X!-X2I=6,有Q2_4F=36，④由①②④解得D=—2, E=—4, F=_8 或D = _6, E= —,F=0・故所求x2+j2—2x—4y—8=0或x2+j2—6x—8j=0.(2站^沿^啟»1窘)2+Q—y o )2H >{yoH— 4X0》(3—XO )2+(—2—YO )2H?-IF +y o —一一—— 刍J求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径, 进而写出方程. (2)待定系数法:①若已知条件与(冷方)和半径/有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于“，"厂的方程组，从而求出“,b,厂的值;②若已知条件没有明确给出般方程，依据已知条件列出关于D, E, F 的方程组，进而求岀D, E, F的值.跟踪训练(2)若不同的四点 4(5, 0)、5(-1, 0)、C(-3, 3)、D(a 9 3) 共圆，求“的值.1.(1)已知圆心为C4(0，-6), 5(1, -5),且|心在直线％兀一丿+1=0上, ;解：（1）法一：设圆的方程为x2+j2+Dx+ Ey+F= 0（^+E2—4F>0）,则圆心坐标为（一£,—「(一6) 2_6E+F=0,由题意可得* I2 + (-5) 2+Z>-5E+F=0,— 2=0,D+E-IO=O,— 2=0,解得*二代入求得i 所以圆的方程为x2+j2+ 6x4- 4j—12= 0,标准方程为(x+ 3)2+ (y+ 2)2= 25.丄11 y+y= — 刁'即 x+y+5=0・法二：因为 A(0, —6), B(l, —5), 所以线段4B 的中点D 的坐标为g ，—因此线段AB 的垂直平分线I 的方程是直线AB 的斜率k AB = —5— ( — 6) iPox+j+5=0,圆心C的坐标是方程组, 的解,lx-j+l=Ox=— 3，解得宀b=_2,所以圆心C的坐标是（一3, -2）.圆的半径长r= IACI =yj (0+3) 2+ (-6+2) 2= 5,所以,心为C的的标准方程是(x+ 3)2+ (y+ 2f= 25.3(2)设过A 、B. C 三点的圆的方程为x 2 +J 2+D X + Ey+F= 0,分别代入A 、B. C 三点坐标，得25+5D+F=0,< l-D+F=0,5>+9-3D+3E+F=0,F=-5.解得D=-4,所以A、B、C三点确定的圆的方程为x2+j2-4x-p-5 因为ZX 偽3）也在此圆上, 所以/+9—4«— 25—5=0.所以a=7或a= —3（舍去）. 即a的值为7.考点二与圆有关的最值问题(高频考点)与圆有关的最值问题，是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题、中档题.高考中对与圆有关的最值问题的考查主要有以下四个命题角度:(1)半径、面积型最值;⑵斜率型最值;⑶截距型最值;⑷距离型最值.鯉［2 （ 1）（2014-高考江西卷）在平面直角坐标系中分别是兀轴和V轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y_4= 0相切，则圆C面积的最小值为（A ）A 4 口3A•一兀B•一Ji5 4C. （6—2质）兀D.討（2）（2016-河南省豫西五校联考）已知M为圆C：X2+J2-4X 一14丿+45=0上任意一点，且点2（-2, 3）.①求IM0的最大值和最小值；②若M（〃，砒，求三|的最大值和最小值.加十2［解］⑴选A.因为ZAOB=90°,所以点O在圆C上. 设直线2x+y-4=0与圆C相切于点D,则点C与点O间的距离等于它到直线2x+j-4=0的距离，所以点C在以O为焦点，以直线2x+j-4=0为准线的抛物线上，所以当且仅当O, C, D共线时，圆的直径最小为IODI.4 2=质，所以圆C的最小半径为恭，所以圆C面积的最小值为兀1114 亏•IIIf 12X0+0-41 又如=—^―(2)由圆C： x2+j2— 4x— 14y+ 45= 0,可得(x-2)2+(y-7)2 =8,所以圆心C的坐标为(2, 7),半径①I0C1= 7 (2+2) ?+ (7-3) j血所以IMei max= 40+20 = 60, IM0lmin= 40 —2\{2 = 2\[i.②可知表示直线MQ的斜率, 加十2设直线MQ的方程为丿一3=饥兀+2),YI — 3即 kx-y-V 2k-\- 3= 0,则—;—=k.m + 2 由直线M0与圆C 有交点,可得 2—书WEW2+V5,所以所以加+ 2的最大值为2+书, 1小值为2—书.与圆有关的最值问题的常见解法(1)形如“=巳形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.(2)形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如(兀一a)2+® —耐?形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.通关练习2•已知实数x, y满足方程x2+j2— 4x+1= 0.⑴求j-x的j 【大值和最小值;(2)求x2+j2的最大值和最小值.解：原方程可化为(X—2)2+J2=3,表示以(2, 0)为圆心，\[3为半径的圆.(1)丿一兀可看作是直线丿=兀+方在丿轴上的截距，当直线y= x + b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时号解得―朋(如图1).所以y—x的最大值为一2+心,图2（2）X 2+J 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值（如图2）.又圆心到原点的距离为7 （2-0）牛（0一0） 2= 2, 所以x 2+j 2的最大值是（2+书）2=7+4\伎x 2+j 2的最小值是（2—厉）2=7—4\月・1=1oyX2考点三与圆有关的轨迹问题已知圆X2+J2=4±一定点A(2, 0), B(l, 1)为圆内一点，P, 0为圆上的动点.(1)求线段4P中点的轨迹方程；(2)若ZPBQ=W ,求线段P0中点的轨迹方程.［解］⑴设AP 的中点为M(x, j),由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x-2, 2y).故线段AP 中点的轨迹方程为(x-l)2+j 2=l.⑵设 P0 的中点为 j),在 RtZ\PB0 中，I PN\ = \BN\, 设O 为坐标原点，连接ON (图略)，贝!|ON 丄P0,所以IOP|2 = \ON\2+\PN\2=ION?+\BN\29 所以 x 2+j 2+(x —l)2+(y —1)2=4.故线段中点的轨迹方程为x 2+j 2—X —J —1 = 0.因为P+J 2=4±,所以(2X -2)2+(2J )2=4.求与圆有关的轨迹方程的方法直接法L直接根据题设给定的条件列出方程（组）求解的方法定义法一根据圆（或直线）的定义列方程（组）求解的方法跟踪训练 3•已知直角三角形ABC 的斜边为AB,且A(-l, 0), B(3, 0),求：(1)直角顶点C 的轨迹方程; (2)直角边BC 中点M 的轨迹方程.解：⑴法一：设顶点eg j),因为AC 丄BC,且A 、B 、C 三点不共线，所以兀H3且兀H —1・所以~Z7i =— 1，即 /+丿2— 2x — 3= 0・JL eV因此，直角顶点c 的轨迹方程为x 2-\-y 2— 2x — 3= 0(X7^3且兀工一1).又 kac=x+1法二设AB的中点为D,由中点坐标公式得n(l, 0),由直角三角形的性质知，ICDI=|lABI = 2,由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(l, 0)为圆心，2为半径长的圆(由于4B, C三点不共线，所以应除去与兀轴的交点). 所以直角顶点C的轨迹方程为(x—1)2+/= 4(xH 3且xH —1).⑵设点M(x, j),点C(x 0, jo)，因为B(3, 0), M 是线段 BC 的中点，由中点坐标公式得兀=迴兰3工3且xHl), y由(1)知，点C 在圆(x-l)2+/= 4(x^3且兀工一1)上运动,将兀o=2x —3, yo=2y 代入该方程得(2x —4『+(2刃2=4,即 (X -2)2+J 2=1(X #：3且兀Hl).因此动点M 的轨迹方程为(兀 —2)2+J 2= 1(兀工 3 且 x#= 1).=Jo + O—2 ,于是有 x 0 = 2x —3, y 0=2y.拓展升华触类旁通考题溯源一一求圆的方程（2015•高考全国卷II）己知三点4（1, 0）,B（0,C（2,厉），则外接圆的圆心到原点的距离为（B.长为2的正三角形，其外接圆的圆心为［解析］法一:设圆的方程为X 2+J 2+Z)X +£J +F=0, ri+D+F=0, 则5 3+\^E+F=0, 解得 D= — 2, E=_誓法二在平面直角坐标系兀Oy 中画出△4BG 易知△ABC 是边咼考题溯源本题源于人教A 版必修2 P122例4 “求过三点M+3+ 2£>+ 应 + F= 0, •因此IODI =0(0, 0), Mi(l, 1), M2(4, 2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标”.考题变式〔如果一个三角形的三边所在的直线方程分别为方程为闌1能训练▼轻松闯关* ［学生用书单独成册］以练促学强技提能解析:因为三角形三边所在的直线方程分别为x+2y—5=0,y—2= 0, x+j—4= 0,所以可得三角形的三个顶点分别是(1, 2), (2, 2), (3, 1). 设三角形外接圆的方x2+j2+Dx+Ey+F= 0,贝||D+2E+F=-5,< 2D+2E+F=一& 3D+E+F=-10,D= _3, 所以\E=-1, 、F=0,所以该三角形外接圆的方程为x2+j2—3x—y= 0,闌1能训练▼轻松闯关* ［学生用书单独成册］以练促学强技提能点击链接本部分内容讲解结束闌1能训练▼轻松闯关* ［学生用书单独成册］以练促学强技提能。

第八章第三节圆的方程1

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二、点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2； (1)若点M(x0，y0)在圆上，则
2 2 2 (2)若点M(x0，y0)在圆外，则 (x0－a) ＋(y0－b) >r ；
(x0－a)2＋(y0－b)2<r2 . (3)若点M(x0，y0)在圆内，则
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1．(教材习题改编)圆心在y轴上，半径为1且过点
(－1,2)的圆的方程为 A．x2＋(y－3)2＝1 C．(x－2)2＋y2＝1 ( B．x2＋(y－2)2＝1 D．(x＋2)2＋y2＝1 )
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解析：设圆心(0，b)，半径为r. 则r＝1.∴x2＋(y－b)2＝1. 又过点(－1,2)代入得b＝2， ∴圆的方程为x2＋(y－2)2＝1. 答案： B
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[自主解答]
由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)、半径是 10，且
点E(0,1)位于该圆内，故过点E(0,1)的最短弦长|BD| ＝2 10－12＋22＝2 5(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC|＝ 1 1 2 10，且AC⊥BD，因此四边形ABCD的面积等于2|AC|×|BD|＝2 ×2 10×2 5＝10 2.
(x－2)2＋y2＝3上的点(x，y)的直线的斜率．由图像知 y 的最大值和最小值分 x＋1
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别是过P与圆相切的直线PA、PB的斜率． |CA| 3 2 又∵kPA＝ |PA| ＝＝ 2 ， 6 |CB| 3 2 kPB＝－ |PB|＝－＝－ 2 . 6 即 y 2 2 的最大值为 2 ，最小值为－ 2 . x＋1
答案： C

第八章第3讲圆的方程

第3讲圆的方程1．圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程222)()(r b y a x =-+-)0(>r圆心：),(b a ，半径：r 一般方程0=++++F Ey Dx y x )04(22>-+F E D圆心：)2,2(E D --，半径：F E D 42122-+2.点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2． (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )＋(y 0－b )＝r ． (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )＋(y 0－b )＜r ．[做一做]1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为( ) A ．x2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1 答案：A2．点(1，1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1，1) B ．(0，1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(1，＋∞) 解析：选A.∵点(1，1)在圆的内部， ∴(1－a )2＋(1＋a )2<4， ∴－1<a <1.1．辨明两个易误点(1)解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．(2)对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F ＞0这一条件． 2．待定系数法求圆的方程 (1)若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值． [做一做]3．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件的是( )A.14<m <1 B ．m <14或m >1C ．m <14D ．m >1解析：选B.由(4m )2＋4－4×5m >0，得m <14或m >1.4．圆心在y 轴上且经过点)1,3(的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋10y ＝0B ．x 2＋y 2－10y ＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0 解析：选B.设圆心为),0(b ，半径为r ，则||b r =， ∴圆的方程为222)(b b y x =-+.∵点)1,3(在圆上， ∴22)1(9b b =-+，解得：5=b . ∴圆的方程为01022=-+y y x .考点一__求圆的方程__________________________根据下列条件，求圆的方程：(1)经过)4,2(-P 、)13(-，Q 两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6； (2)圆心在直线x y 4-=上，且与直线01:=-+y x l 相切于点)2,3(-P ． [解法一] (1)设圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ，将P 、Q 点的坐标分别代入得⎩⎨⎧=+-=--03042F E D F E D①② 又令0=y ，得02=++Dx x .③设21x x ，是方程③的两根，由6||21=-x x ，有3642=-F D ，④ 由①②④解得8,4,2-=-=-=F E D 或0,8,6=-=-=F E D 故所求圆的方程为084222=---+y x y x 或08622=--+y x y x 解法二：PQ 的中点坐标为)23,21(，直线PQ 的斜率为13214-=--+=k ，PQ 的垂直平分线的方程为2123-=-x y ，即1+=x y ，则圆心在此直线上，设圆心的坐标为)1,(+a a ，半径为r ，则有⎪⎩⎪⎨⎧-+++=++=222222)41()2(3)1(a a r a r则可得，⎩⎨⎧==131r a 或⎩⎨⎧==53r a ，故所求圆的方程为13)2()1(22=-+-y x 或25)4()3(22=-+-y x(2)设所求方程为2200)()(r y y x x =-+-，根据已知条件得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=--+--=r y x r y x x y 2|1|)2()3(4002202000解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==224100r y x 因此所求圆的方程为8)4()1(22=-+-y x .[规律方法] 求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线． (2)代数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．1.(1)已知圆心为C 的圆经过点)5,1(),6,0(--B A ，且圆心在直线01:=+-y x l 上，求圆的标准方程；(2)若不同的四点A (5，0)、B (－1，0)、C (－3，3)、D (a ，3)共圆，求a 的值．解：(1)法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧（－6）2－6E ＋F ＝012＋（－5）2＋D －5E ＋F ＝0，D －E －2＝0消去F 得⎩⎪⎨⎪⎧D ＋E －10＝0D －E －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6E ＝4，代入求得F ＝－12，所以圆的方程为x 2＋y 2＋6x ＋4y －12＝0，标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25. 法二：因为)6,0(-A ，)5,1(-B ，所以线段AB 的中点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－112，直线AB 的斜率k AB ＝－5－（－6）1－0＝1，因此线段AB 的垂直平分线l 的方程是y ＋112＝－⎝⎛⎭⎫x －12，即x ＋y ＋5＝0.圆心C 的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5＝0x －y ＋1＝0的解，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝－2，所以圆心C 的坐标是(－3，－2)．圆的半径长 r ＝|AC |＝（0＋3）2＋（－6＋2）2＝5，所以，圆心为C 的圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25. (2)设过A 、B 、C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，分别代入A 、B 、C 三点坐标，得 ⎩⎪⎨⎪⎧25＋5D ＋F ＝0，1－D ＋F ＝0，9＋9－3D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－253，F ＝－5.∴A 、B 、C 三点确定的圆的方程为x 2＋y 2－4x －253y －5＝0.∵D (a ，3)也在此圆上， ∴a 2＋9－4a －25－5＝0. ∴a ＝7或a ＝－3(舍去)．即a 的值为7.考点二__与圆有关的最值问题(高频考点)________与圆有关的最值问题，是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题、中档题．高考中对与圆有关的最值问题的考查主要有以下四个命题角度： (1)求一次或二次式的最值；(2)求圆上的点与圆外点距离的最值； (3)求圆上的点到直线距离的最值；(4)求z ＝y ＋nx ＋m的最值．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．[解] 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆． (1)y x 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k ，即y ＝kx . 当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3(如图1)．所以yx的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6(如图2)．所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. (3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)．又圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. [规律方法] 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)与圆有关的长度或距离的最值问题，转化为圆的圆心到点、直线的距离，再加半径、减半径求出最值；(2)形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(3)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(4)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．2.已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2，3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值；(2)求点M 到直线x ＋y －7＝0的最大距离；(3)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值．解：由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，可得(x －2)2＋(y －7)2＝8， ∴圆心C 的坐标为(2，7)，半径r ＝2 2.(1)|QC |＝（2＋2）2＋（7－3）2＝4 2.∴|MQ |max ＝42＋22＝62，|MQ |min ＝42－22＝2 2.(2)圆心C (2，7)到直线x ＋y －7＝0的距离为d ＝|2＋7－7|2＝ 2.则点M 到直线x ＋y －7＝0的最大距离为2＋22＝3 2.(3)可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k .由直线MQ 与圆C 有交点， ∴|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤2 2.可得2－3≤k ≤2＋3，∴n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. 考点三__与圆有关的轨迹问题__________________已知圆422=+y x 上一定点)0,2(A ，)1,1(B 为圆内一点，Q P ,为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若090=∠PBQ ，求线段PQ 中点的轨迹方程．[解] (1)设),(00y x P ，AP 的中点为),(y x M ，由中点坐标公式可知，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=22200y y x x解之得：⎩⎨⎧=-=yy x x 22200，因为P 点在圆422=+y x 上，所以4)2()22(22=+-y x (故线段AP 中点的轨迹方程为1)1(22=+-y x .(2)设PQ 的中点为),(y x N ，在PBQ R ∆t 中，||||BN PN =，设O 为坐标原点，连接ON ，则PQ ON ⊥，所以222||||||PN ON OP +=22||||BN ON +=，所以4)1()1(2222=-+-++y x y x .故线段PQ 中点的轨迹方程为0122=---+y x y x[规律方法] 求与圆有关的轨迹方程时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．3.已知在ABC Rt ∆中，)0,0(A ，)0,6(B ，求直角顶点C 的轨迹方程．解：法一：依题意，顶点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，且去掉端点B A ,，圆心坐标为)0,3(，半径为3，故直角顶点C 的轨迹方程为)0(9)3(22≠=+-y y x ．法二：设顶点C 的坐标为),(y x ，由于BC AC ⊥，故1-=⋅BC AC k k ， ∴16-=-⋅x yx y ，∴0622=-+x y x ，即直角顶点C 的轨迹方程为)0(9)3(22≠=+-y y x方法思想——转化与化归思想求与圆有关的最值(2015·河北唐山一中调研)已知点)0,3(),0,3(B A -，动点P 满足||2||PB PA =.(1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线03:1=++y x l 上，直线2l 经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．[解] (1)设点P 的坐标为),(y x ，则2222)3(2)3(y x y x +-=++化简可得16)5(22=+-y x ，此即为所求．(2)曲线C 是以点(5，0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．由直线l 2是此圆的切线，连接CQ ，则|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16，当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值，此时|CQ |＝|5＋3|2＝42，则|QM |的最小值为32－16＝4.[名师点评] 本题在求最值时，利用了转化与化归及数形结合的思想，把|QM |用|CQ |表示，由|CQ |的最值确定|QM |的最值，体现了转化思想．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17解析：选A.两圆的圆心均在第一象限，先求|PC 1|＋|PC 2|的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)，则(|PC 1|＋|PC 2|)min ＝|C ′1C 2|＝52，所以(|PM |＋|PN |)min ＝52－(1＋3)＝52－4.1．经过点(1，0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋y 2＝1B ．(x －1)2＋(y －1)2＝1C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：选B.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即所求圆的圆心坐标为(1，1)，又由该圆过点(1，0)，得其半径为1，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.2．已知⊙C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则“F ＝E ＝0且D <0”是“⊙C 与y 轴相切于原点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由题意可知，要求圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D2，0，而D 可以大于0. 3．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋y 2＝5B ．x 2＋(y －2)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5解析：选D.由题意知所求圆的圆心坐标为(0，－2)，所以所求圆的方程为x 2＋(y ＋2)2＝5. 4．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1解析：选A.由于圆心在第一象限且与x 轴相切，故设圆心为(a ，1)，又圆与直线4x －3y ＝0相切，可得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.5．(2015·温州模拟)已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 为切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A ．4B ．3C ．2 D. 2解析：选C.圆C 的方程可化为x 2＋(y －1)2＝1，因为四边形P ACB 的最小面积是2，且此时切线长为2，故圆心(0，1)到直线kx ＋y ＋4＝0的距离为5，即51＋k 2＝5，解得k ＝±2，又k ＞0，所以k ＝2.6．如果直线l 将圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝13平分，那么坐标原点O 到直线l 的最大距离为________．解析：由题意，知直线l 过圆心C (2，－3)，当直线OC ⊥l 时，坐标原点到直线l 的距离最大， |OC |＝22＋（－3）2＝13. 答案：137．已知A 、B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 的长为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________________．解析：设圆心坐标为M (x ，y )，则(x －1)2＋(y ＋1)2＝⎝⎛⎭⎫|AB |22，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝9.答案：(x －1)2＋(y ＋1)2＝9 8．(2015·太原市模拟)已知点P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，点C 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆心，那么|PC |的最小值是________．解析：点C 到直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点P 的最小距离即为点C 到直线3x ＋4y ＋8＝0的距离，而圆心C 的坐标是(1，1)，因此最小距离为|3×1＋4×1＋8|5＝3.答案：39．在平面直角坐标系xOy 中，求与x 轴相交于A (1，0)和B (5，0)两点且半径为5的圆的标准方程．解：法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝5.因为点A ，B 在圆上，所以可得到方程组：⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）2＋（0－b ）2＝5，（5－a ）2＋（0－b ）2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝±1. 所以圆的标准方程是(x －3)2＋(y －1)2＝5 或(x －3)2＋(y ＋1)2＝5.法二：由于A ，B 两点在圆上，那么线段AB 是圆的一条弦，根据平面几何知识：这个圆的圆心在线段AB 的垂直平分线x ＝3上，于是可以设圆心为C (3，b )．又AC ＝5，得（3－1）2＋b 2＝ 5. 解得b ＝1或b ＝－1.因此，所求圆的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5 或(x －3)2＋(y ＋1)2＝5.10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410. (1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1，2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上，得a ＋b －3＝0.①又∵直径|CD |＝410，∴|P A |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3，6)或P (5，－2)． ∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40 或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.1．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选D.曲线C 的方程可化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，其为圆心为(－a ，2a )，半径为2的圆，要使圆C 的所有的点均在第二象限内，则圆心(－a ，2a )必须在第二象限，从而有a >0，并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C 的半径，易知圆心到坐标轴的最短距离为|－a |，则有|－a |>2，得a >2.2．已知两点A (0，－3)、B (4，0)，若点P 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 面积的最小值为( )A ．6 B.112C ．8 D.212解析：选B.如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，这时△ABP 的面积最小．直线AB 的方程为x 4＋y－3＝1，即3x －4y －12＝0，圆心C 到直线AB 的距离为d ＝|3×0－4×1－12|32＋（－4）2＝165，∴△ABP 的面积的最小值为12×5×(165－1)＝112.3．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝________．解析：由题意知，圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2≤1，当半径r 取最大值时，圆的面积最大，此时k ＝0，r ＝1，所以直线方程为y ＝－x ＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π4.答案：3π44．(创新题)已知直线2ax ＋by ＝1(a ，b 是实数)与圆O ：x 2＋y 2＝1(O 是坐标原点)相交于A ，B 两点，且△AOB 是直角三角形，点P (a ，b )是以点M (0，1)为圆心的圆M 上的任意一点，则圆M 的面积的最小值为________．解析：因为直线与圆O 相交所得△AOB 是直角三角形，可知∠AOB ＝90°，所以圆心O 到直线的距离为12a 2＋b 2＝22，所以a 2＝1－12b 2≥0，即－2≤b ≤ 2.设圆M 的半径为r ，则r ＝|PM |＝a 2＋（b －1）2＝12b 2－2b ＋2＝22(2－b )，又－2≤b ≤2，所以2＋1≥|PM |≥2－1，所以圆M 的面积的最小值为(3－22)π.答案：(3－22)π 5．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3. (1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．解：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22.又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，此时，圆P 的半径r ＝ 3.故圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3或x 2＋(y －1)2＝3.6．(选做题)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y＝x 相切于坐标原点O . (1)求圆C 的方程；(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4，0)的距离等于线段OF 的长？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆C 的圆心为C (a ，b )，则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝8.∵直线y ＝x 与圆C 相切于原点O ， ∴O 点在圆C 上，且OC 垂直于直线y ＝x ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝8b a＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝2.由于点C (a ，b )在第二象限，故a <0，b >0， ∴圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)假设存在点Q 符合要求，设Q (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧（x －4）2＋y 2＝16，（x ＋2）2＋（y －2）2＝8，解之得x ＝45或x ＝0(舍去)．∴存在点Q (45，125)，使Q 到定点F (4，0)的距离等于线段OF 的长．。

第8章第3节圆的方程-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)

5．已知圆 C 经过点 A(1，3)，B(4，2)，与直线 2x＋y－10＝0 相切，则圆 C 的标准方程为________．
(x－2)2＋(y－1)2＝5 解析由题意，设圆 C 的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，因为点 B(4，2)在直线 2x＋y－10＝0 上，所以点 B(4，2)是圆与直线 2x＋y－10＝0 的切点，连接圆心 C 和切点的直线和与切线 2x＋y－10＝0 垂直，则 kBC＝12，则 BC 的方程为 y－2＝12(x－4)，整理得 x－2y＝0，
(√)
(4)若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外，则 x20
＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0.
(√)
◇教材改编
2．圆 x2＋y2－4x＋6y＝0 的圆心坐标和半径分别是
( D) A．(2，3)，3
B．(－2，3)， 3
C．(－2，－3)，13
D．(2，－3)， 13
解析圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径 r＝ 13.
(2)可知yx－＋32表示直线 MQ 的斜率 k. 设直线 MQ 的方程为 y－3＝k(x＋2)，即 kx－y＋2k＋3＝0. 由直线 MQ 与圆 C 有交点， ∴|2k－71＋＋2kk2＋3|≤2 2，可得 2－ 3≤k≤2＋ 3， ∴yx－＋32的最大值为 2＋ 3，最小值为 2－ 3.
(3)设 y－x＝b，则 x－y＋b＝0. 当直线 y＝x＋b 与圆 C 相切时，截距 b 取到最值， ∴ 1|22＋－（7＋－b1|）2＝2 2，∴b＝9 或 b＝1. ∴y－x 的最大值为 9，最小值为 1.
►考向三与圆有关的轨迹问题[师生共研] [例 3] 已知圆 x2＋y2＝4 上一定点 A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点． (1)求线段 AP 中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段 PQ 中点的轨迹方程． [自主解答] (1)设 AP 的中点为 M(x，y)，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x－2，2y)．因为 P 点在圆 x2＋y2＝4 上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4. 故线段 AP 中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.

第三节圆的方程

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1-1 已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0, 5 )在圆C上,且圆心到直
线2x-y=0的距离为 4 5 ,则圆C的方程为
.
5
答案 (x-2)2+y2=9
解析设圆C的方程为(x-a)2+y2=r2(a>0),
由题意可得
|
2a 5
|

4
5 5
,
(a)2 ( 5)2 r2,
a2 (0 1)2 r2,
解得a= 3 ,r2= 25 ,
4 16
则圆E的标准方程为
x

3 4
2+y2= 1265 .故选C.
考点突破栏目索引
命题方向二已知两点及圆心所在直线,求圆的方程
典例2 (一题多解)圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×
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2.圆心坐标为(1,1)且过原点的圆的方程是 ( D ) A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2
答案 D 由题意得圆的半径为 2 ,故该圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,故选D.
(2)待定系数法:①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值;
②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择设圆的一般方程,依据
已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.

第八章 第三节 圆的方程

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第8章 第3节 圆的方程

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第八章 第三节 圆的方程

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第8章 第3节 圆的方程-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)

第三节 圆的方程

第八章第三节圆的方程

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第8章第3节圆的方程

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第八章第三节圆的方程

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第3节圆的方程

第八章第三节圆的方程1

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第三节圆的方程