导数与函数的单调性极值最值 教学设计
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教学策略的选择设计立足学生实际选题，关注高考的动向，既重视基础，又注重对学生数学能力与综合素质的提高。
五、教学重点
1、利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，
减少失分．
2、求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小．
教学难点1．注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行．
2．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．
3．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f′(x)＝0时的情况；区分极值
六、教学过程
教师活动学生活动设计意图
题型一利用导数研究函数的单调性
教师启迪函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论．
例1已知函数f(x)＝e x－ax－1.
(1)求f(x)的单调增区间；
(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值
范围，若不存在，请说明理由．
解f′(x)＝e x－a，
(1)若a≤0，则f′(x)＝e x－a≥0，
即f(x)在R上单调递增，
若a>0，e x－a≥0，∴e x≥a，x≥ln a. 学生自主完
成解答过程，
然后利用投
影展示，纠正
错误，规范书
写。
让学生进一步
明确(1)利用
导数的符号来
判断函数的单
调性；
(2)已知函数
的单调性求函
数范围可以转
化为不等式恒
成立问题；
因此当a ≤0时，f (x )的单调增区间为R ， 当a >0时，f (x )的单调增区间是[ln a ，＋∞)． (2)∵f ′(x )＝e x －a ≤0在(－2,3)上恒成立． ∴a ≥e x 在x ∈(－2,3)上恒成立． 又∵－2 直击高考1 江西卷12．设在 内单调递 增， ，则 是的（ B ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 学生小组合作学习，展示成果，其他组 点评 (3)f (x )为增函数充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解． 题型二 利用导数求函数的极值 教师启迪 (1)通过f ′(2)的值确定a ；(2)解f ′(x )＝0，然后要讨论两个零点的大小确定函数的极值． 例2 设a >0，函数f (x )＝1 2 x 2－(a ＋1)x ＋a (1＋ln x )． (1)求曲线y ＝f (x )在(2，f (2))处与直线y ＝－x ＋1垂直的切线方程； (2)求函数f (x )的极值． 设f (x )＝e x 1＋ax 2 ，其中a 为正实数． 学生自主完成解答过程，然后利用投影展示纠正错误，规范书写 让学生明确 (1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个 (1)当a ＝4 3 时，求f (x )的极值点； (2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 解 对f (x )求导得f ′(x )＝e x ·1＋ax 2－2ax (1＋ax 2)2 .① (1)当a ＝4 3时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0， 解得x 1＝32，x 2＝1 2.结合①，可知 x ⎝ ⎛⎭⎫－∞，12 1 2 ⎝⎛⎭ ⎫12，32 32 ⎝⎛⎭ ⎫32，＋∞ f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x ) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以x 1＝32是极小值点，x 2＝1 2 是极大值点． (2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件 a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，即Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，