广州市初中数学锐角三角函数的解析

广州市初中数学锐角三角函数的解析

一、选择题

1．将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A 为60°角与直尺的交点，B 为光盘与直尺的交点，AB =4，则光盘表示的圆的直径是( )

A ．4

B ．83

C ．6

D ．43

【答案】B

【解析】

【分析】 设三角板与圆的切点为C ，连接OA 、OB ，根据切线长定理可得AB=AC=3，∠OAB=60°，然后根据三角函数，即可得出答案.

【详解】

设三角板与圆的切点为C ，连接OA 、OB ，

由切线长定理知，AB =AC =3，AO 平分∠BAC ，

∴∠OAB =60°，

在Rt △ABO 中，OB =AB tan ∠OAB =43，

∴光盘的直径为83．

故选：B ．

【点睛】

本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数.

2．如图，AB 是O e 的弦，直径CD 交AB 于点E ，若3AE EB ==，15C ∠=o ，则OE 的长为( )

A 3

B ．4

C ．6

D ．33

【答案】D

【解析】

【分析】

连接OA ．证明OAB ∆是等边三角形即可解决问题．

【详解】

如图，连接OA ．

∵AE EB =，

∴CD AB ⊥，

∴»»AD BD

=， ∴230BOD AOD ACD ∠=∠=∠=o ，

∴60AOB ∠=o ，

∵OA OB =，

∴AOB ∆是等边三角形，

∵3AE =， ∴tan 6033OE AE =⋅=o ， 故选D ．

【点睛】 本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

3．如图，在等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 的中点，将△ABC 折叠，使点A 与点D 重合，EF 为折痕，则sin ∠BED 的值是（ ）

A 5

B ．35

C 2

D ．23

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据翻折变换的性质得到DEF AEF ∆≅∆，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性

质可得到BED CDF ∠=，设1CD =，CF x =，则2CA CB ==，再根据勾股定理即可求解．

【详解】

解：∵△DEF 是△AEF 翻折而成，

∴△DEF ≌△AEF ，∠A ＝∠EDF ，

∵△ABC 是等腰直角三角形，

∴∠EDF ＝45°，由三角形外角性质得∠CDF +45°＝∠BED +45°，

∴∠BED ＝∠CDF ，

设CD ＝1，CF ＝x ，则CA ＝CB ＝2，

∴DF ＝FA ＝2﹣x ，

∴在Rt △CDF 中，由勾股定理得，

CF 2+CD 2＝DF 2，

即x 2+1＝（2﹣x ）2， 解得：34x =， 3sin sin 5CF BED CDF DF ∴∠=∠=

=． 故选：B ．

【点睛】

本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．

4．如图，矩形纸片ABCD ，4AB =，3BC =，点P 在BC 边上，将CDP ∆沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE 、DE 分别交AB 于点O 、F ，且OP OF =，则cos ADF ∠的值为（ ）

A ．1113

B ．1315

C ．1517

D ．1719

【答案】C

【解析】

【分析】

根据折叠的性质可得出DC=DE 、CP=EP ，由∠EOF=∠BOP 、∠B=∠E 、OP= OF 可得出△OEF ≌AOBP(AAS)根据全等三角形的性质可得出0E=OB 、EF=BP ，设EF=x ，则BP=x 、DF=4-x 、BF=PC=3-x ，进而可得出AF=1+x ，在Rt △DAF 中，利用勾股定理可求出x 的值，再利用余弦的定义即可求出cos ∠ADF 的值．

解：∵矩形纸片ABCD ，点P 在BC 边上，将CDP ∆沿DP 折叠，点C 落在点E 处， 根据折叠性质，可得：△DCP ≌△DEP ，

∴.DC=DE=4， CP= EP ，

在△OEF 和△OBP 中

90 EOF BOP B E OP OF ∠=∠⎧⎪∠=∠

=︒⎨⎪=⎩

∴△OEF ≌△OBP(AAS)

∴ОE=OB ， EF= ВР.

设EF=x,则BP=x ，DF= DE-EF=4-X ，

又∵ BF=OB+OF=OE+ OP=PE=PC, РС=ВC-BP=3-x,

∴AF=AB-BF=1+x.

在Rt △DAF 中，AF 2+AD 2= DF 2，即(1+x) 2+32= (4-x)2

解得: x=35

∴DF=4-x=175

∴cos ∠ADF=

1517AD DF = 故选: C.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合AF=1+x ，求出AF 的长度是解题的关键．

5．如图，在△ABC

中，AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，点D 是CB 延长线上的一点，且BD ＝BA ，则tan ∠DAC 的值为（ ）

A ．23

B ．3

C ．33

D ．3