221椭圆及其标准方程精品PPT课件

内到两定点F1、F2距离之
F1
O
F2 X 和为定值2a（2a>2c)的动
(-c,0)
(c,0) 点M的轨迹方程。
解：以F1F2所在直线为X轴， F1F2 的中 点为原点建立平面直角坐标系，则焦点F1、F2 的坐标分别为(-c,0)、 (c,0)。
设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点，
则:|MF1|+ |MF2|=2a
即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
因为2a>2c，即a>c，所以 a2-c2>0，令a2-c2=b2，其中 b>0，代入上式可得：
b2x2+a2y2=a2b2
F1
(-c,0)
Y M(x,y)
O
F2 X
(c,0)
两边同时除以a2b2得：
x2 a2
y2 b2
1 (a>b>0)
这个方程叫做椭圆的标准方程， 它所表示的椭圆的焦点在x 轴上。
即: (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
所以 (x c)2 y2 2a (x c)2 y2
两边平方得 : (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2
即: a2 cx a (x c)2 y2
两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2
1
10 6
课堂练习2：
1.口答：下列方程哪些表示椭圆？若是,则判定其焦点在何轴？ 并指明 a2,b2 ，写出焦点坐标.
(1) x 2 y 2 1 25 16
(2) 3x2 2 y 2 1
x2 (3)
y2
1
16 16
(5)
x2 m2
课堂练习1
（1）动点P到两个定点F1（- 4，0）、F2（4，0）的距离
之和为8，则P点的轨迹为
（ B）
A、椭圆 B、线段F1F2 C、直线F1F2 D、不能确定
（2）动点P到两个定点F1（- 4，0）、F2（4，0） 的距离之和为不小于8，则P点的轨迹为 （ ）
A、椭圆 B、线段F1F2 C、直线F1F2 D、不能确定
F1
F2
1、F1、F2是两个不同的定点；
2、M是椭圆上任意一点，且|MF1| + |MF2| = 常数；
3、通常这个常数记为2a，焦距记为2c，且2a>2c（？）；
4、如果2a = 2c，则M点的轨迹是线段F1F2.
5、如果2a < 2c，则M点的轨迹不存在.（由三角形的性质知）
下面我们来求椭圆的标准方程.
问题1：当常数等于|F1F2|时，点M的轨迹 是什么？ 线段F1F2
问题2：当常数小于|F1F2|时，点M的轨迹 是什么？ 轨迹不存在
1、椭圆的定义：
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常
数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离
叫做椭圆的焦距。
M
几点说明：
一个轴上。
（3）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。
（4）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的 值。
五、数学应用：
例１ 写出适合下列条件的椭圆的标准方程
(1) a =4，b=1，焦点在 x 轴上；
x2 y2 1 16
(2) a =4，b=1，焦点在坐标轴上；
x2 y2 1或 x2 y 2 1
YM
F1 O
(-c,0)
F2 X
(c,0)
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
椭圆的标准方程的再认识：
Y
F2(0 , c)
M X
O
F1(0,-c)
y2 a2
x2 b2
1(a
b 0)
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1
（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪
22
解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程为：
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)
由椭圆的定义可知：
2a ( 5 2)2 ( 3)2 ( 5 2)2 ( 3)2 2 10
2
2
2
2
所以a 10 又因 c=2， 故 b2=a2-c2=10-22=6
所以椭圆的标准方程为：
x2
y2
16
16
例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），
椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。
(2)两焦点的坐标分别是（-2，0）、（2，0），
且椭圆经过点P
(
5 2
,
3 2
)。
(1)两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭 圆上一点P到两焦点距离之和等于10。
三、①椭圆方程的几何意义：
y
y
F1 o F2 x
B2 A1 b a A2F1 O c F2 xB1x2 a2
y2 b2
1
a
b
0
②椭圆的第二种形式：
如果椭圆的焦点在y轴上， 焦点是F1(o,-c)、F2(0,c)方程是怎样呢？
y
F2
M
o
F1
x
y2 a2
x2 b2
1
a
b
0
四、两类标准方程的对照表：
解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程
为： x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)
2a=10，2c=8 即 a=5，c=4
故 b2=a2-c2=52-42=9
所以椭圆的标准方程为：x2 y2 1
25 9
(2)两焦点的坐标分别是（-2，0）、（2，0），且 椭圆经过点P (5 , 3) 。
定义
图形
方程 焦点 a,b,c之间的关系
P={M||MF1|+|MF2|=2a｝ (2a>2c>0)
y
M
y
F2 M
F1 o F2 x
x2 a2
y2 b2
1
a
b
0
F(±c，0)在Ｘ轴上
ox
F1
y2 a2
x2 b2
1
a
b
0
F(0，±c)在Ｙ轴上
c2=a2-b2
注: 哪个分母大，焦点就在相应的哪条坐标轴上！
天体的运行
一.课题引入：
生 活 中 的 椭 圆
如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的 物件呢？
椭圆的画法
椭圆及其标准方程
F1
F2
一、椭圆的定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数 （大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，
这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
2.求椭圆的方程：
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
yy y
y
y
M
F2
M
F1 O O OF2 x x x
O
x
O
x
F1
方案一
方案二
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的
直线作为坐标轴.) (对称、“简
Y
M (x,y)
如图所示： F1、F2为两定 点，且|F1F2|=2c，求平面