新人教版八年级数学上册角平分线的性质(2)导学案

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八年级数学上册(人教版)配套导学案：12.3.1角平分线的

12.3.1角的平分线的性质（2）导学案【学习目标】1、会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．2、能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

教学重点：角平分线的性质及其应用教学难点: 灵活应用两个性质解决问题。

【学习过程】一、自主学习1、复习思考（1）、画出三角形三个内角的平分线你发现了什么特点吗？（2）、如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。

2、求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

（提示：先画图，并写出已知、求证，再加以证明）3、要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５00米，应建在何处？（比例尺1：20 000）二、合作探究1、比较角平分线的性质与判定D CBA2、如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，BE ，CD 相交于点O ，OB ＝OC ，求证∠1＝∠2三、学以致用50页练习题四、能力提高(*)如图，在四边形ABCD 中，BC>BA ，AD=DC,BD 平分∠ABC,求证：∠A+∠C=180°五、课堂小结这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流六、作业1、已知△ABC 中，∠A=60°，∠ABC,∠ACB 的平分线交于点O ，则∠BOC 的度数为2、下列说法错误的是（）A 、到已知角两边距离相等的点都在同一条直线上B 、一条直线上有一点到已知角的两边的距离相等，则这条直线平分已知角C 、到已知角两边距离相等的点与角的顶点的连线平分已知角D 、已知角内有两点各自到两边的距离相等，经过这两点的直线平分已知角3、到三角形三条边的距离相等的点是（）A、三条中线的交点B、三条高线的交点C、三条边的垂直平分线的交点D、三条角平分线的交点。

人教版八年级上第11章《角的平分线的性质》第2课时导学案

八年级( )班姓名：第组教学目的：理解角平分线的判定，能运用性质或判定解决相关题型。

教学过程：一、复习回顾1、如图1，点P是∠AOB内一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，若射线OP平分∠AOB ，则PD= ，若PD=2.5cm，则PE= cm。

2、如图1，∠AO P=∠BOP，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，若OD=4，PE=3，则OE= ，PD= 。

3、在图2上，用尺规作出∠MON的平分线OP(不写作法)。

二、新课讲授1、已知：DE⊥OA，DF⊥OB，点E、F为垂足，DE=DF，求证：点D在∠AOB的平分线上。

证明：∵DE⊥OA，DF⊥OB∴∠=∠=90°在Rt△DOE和Rt△DOF中DE OD =⎧⎨=⎩∴Rt△DOE≌Rt△DOF( )∴∠DOE=∠∴点D在∠AOB的平分线上通过上例可以归纳出：角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点。

2、例如图3，△ABC的角平分线BE，CF相交于点D。

求证：点D到三边AB，BC，CA的距离相等。

证明：过点D作，，分别垂直于AB，BC，CA，垂足为O，P，Q∵BE是△ABC的角平分线，点D在BE上，∴DP=同理DP=∴DP=DO=DQ即点D到三边AB，BC，CA的距离相等。

3、思考：如图，三条公路围成的一个三角形区域，要在这个区域中建一个加油站，使它到三条公路的距离都相等，加油站应建在什么位置？请用尺规作出表示加油站的点。

三、局部练习A1、如图4，若DE⊥AB，DF⊥AC，则∠1和∠2的大小关系下列说法正确的是( )A、一定相等B、一定不相等C、当BD=CD时相等D、当DE=DF时相等2、如图，已知AP是∠CAB的平分线，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，则有PN= ，∠CAP= ，△APN ≌ ；若PN=3，AN=4，则△APN 的面积为。

3、如图，在△ABC 中，∠B =∠C ，D 是BC 的中点，且DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E 、F 为垂足。

角平分线的性质导学案

12.3 角的平分线的性质导学案学习目标：1、会用尺规作已知角的平分线，知道作法的合理性；2、探索并证明角的平分线的性质定理；3、能用角的平分线的性质解决简单问题。

学习重点：探索并证明角的平分线的性质定理。

学习难点：角平分线性质定理的应用。

学习过程：一、情境导入问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路。

问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？P二、自学指导让学生先阅读课本48-49页内容，思考下面的问题：1、平分角的仪器怎么使用？2、用尺规如何平分已知角？3、角平分线的性质是4、角平分线的性质怎么证明？5、证明几何命题的一般步骤是：（1）；（2）；（3）。

三、自主探究合作展示探究（一）：角平分仪平分角的道理：1、为什么角平分仪能平分一个角？（小组讨论回答）。

探究（二）如何作尺规作出一个角的平分线呢？1、分析角平分仪原理，你能利用圆规和直尺作角的平分线吗？（小组讨论）2、师生共同用尺规作角的平分线。

已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．（2）分别以M、N为圆心，大于1MN的长为半径作弧．两弧在2∠AOB内部交于点C．（3）作射线OC。

射线OC 即为所求．3、让学生回答为什么射线OC 是∠AOB 的平分线。

4、在上面作法的第二步中，去掉“大于12MN 的长”这个条件行吗？探究（三）、探究角平分线的性质：如图4，OA 是∠BAC 的平分线，点O 是射线AM 上的任意一点. 操作测量：取点O 的三个不同的位置，分别过点O 作OE ⊥AB ，OD ⊥AC,点D 、E 为垂足，测量OD 、OE 的长.将三次数据填入下表：根据测量结果，猜想线段OD 与OE 的大小关系，猜想角平分线的性质结论是：。

让学生用学过的知识证明此结论：教师引导学生分析这个文字命题的条件和结论，并找出结论中的隐含条件，最后让学生画出图形，用符号语言写出已知和求证，图4ODOE 第一次第二次第三次BOAM并独立完成证明过程。

人教版数学八年级上册 12.3角的平分线的性质(2) 导学案

12.3角的平分线的性质（2）
班级：姓名：学习日期：评价等级：学习目标：
1、掌握三角形全等的“S ＡS ”条件，能运用“S ＡS ”证明简单的三角形全等问题 2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、•归纳获得数学结论的过程．学习重点：三角形全等的条件．学习难点：寻求三角形全等的条件．
学法指导：数形结合，根据图形培养学生分析问题和解决问题的能力
认真阅读课本50页，完成以下问题 1、复习引入思考（学生合作、教师引导）（1）、画出三角形三个内角的平分线
你发现了什么特点吗？（2）、如图，△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ，求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相
等。

2、求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

（提示：先画图，并写出已知、求证，再加以证明）（学生合作、教师引导）
例1、如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，BE 、 CD 相交于点O ，OB ＝OC ，求证∠1＝∠ 2
例2：如图3，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P ．求证：点P 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等．
1.如图，在ABC △中，90C ∠=， AD 平分CAB ∠，8cm 5cm BC BD ==，，那么D 点到直
线AB 的距离是 cm ．
2.如图，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB=DC ，
求证：EB=FC
课前热身、自主预习课堂展示、合作学习
课堂反馈、巩固提升
P
N
M
C
B
A
A
B D
C。

人教版-数学-八年级上册- 12.3 角平分线的性质(二) 导学案

安徽铜都双语学校人本跨界大课堂数学学道班级 80 姓名编号 NO :1107 日期:比一比，看谁表现最好！拼一拼，力争人人过关！课题：角的平分线的性质（二）设计者: 八年级数学组自研课（时段：晚自习时间： 10 分钟）A1、旧知链接：作出∠AOB 的平分线OC ，并保留作图痕迹。

2、新知自研：自研教材P 20-P 21的内容。

展示课（时段：正课时间： 60 分钟） O B学习主题：1.认知角平分线性质的推导过程;2.初步掌握证明一个几何命题的一般步骤和方法。

当堂反馈即同类演练:训练课（时段：晚自习，时间：30分钟）“日日清巩固达标训练题” 自评：师评：基础题：1.如图,P是∠BAC平分线上的点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，则下列结论：（1）PM=PN；（2）AM=AN；（3）△APM与△APN 的面积相等；（4）∠P AN+∠APM=90°，其中，正确结论的个数是（）B A B（1）（2）（3）A M EP OA N C C DB D C2.已知，如图，AB∥CD，O为∠BAC和∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于点E，且OE=4,则两平行线间的距离为3.如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，已知AB=10cm，CD=3cm，则△ABD的面积为4.如图，在△ABC中，BD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm，求△ABC的面积。

（4）AEDB C5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BC=32，且BD:CD=9:7，求点D到AB边的距离。

（5）CDA B发展题：6.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC上一点，DE⊥AB于E，∠ADF=90°，∠1=∠2，求证：DE=DC。

A1EF2B D C7.如图，BD是∠BAC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM=PN。

数学八年级上册《角平分线的性质(2)》导学案

数学八年级上册《角平分线的性质（2）》导学案设计人：审核人：【学习目标】1.会用数学符号表示角的平分线的性质的逆定理，并会应用。

2.利用三角形全等的知识证明逆命题的正确性。

3.在自学与合作探究中体验成功的快乐，激发学数学的兴趣。

【学习重点】掌握作已知角的平分线的方法及角的平分线的性质。

【学习难点】角的平分线的性质的应用。

【学习方法】通过思考、动手实践及结合三角形全等的判定方法得出结论的合理性。

自学学法指导：学习课本49页思考以上部分。

举例说说如何证明一个命题？1.由角的平分线的性质我们可以得到逆命题：文字语言表述：确定命题的条件：结论：2.你能用所学知识证明以上的命题吗？画出图形，写出已知和求证，并证明。

学法指导：利用全等三角形证明这个命题。

已知：求证：证明：用符号语言表示角平分线的性质的逆定理：∵∴4.完成课本49页“思考”。

自学中我的困惑：研学1.将自学部分内容中的收获与困惑与同伴交流。

2.能力提升：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。

求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。

探究：点P在∠A的平分线上吗？为什么？中考链接：已知，如图为的平分线，AB=BC ，点在上，于，于.求证：示学展示一：口述展示自学部分基础知识。

展示二：黑板展示 “能力提升”，“中考聚焦”部分。

展示三：找出学习中的易错点，归纳规律和方法检学必做题：课后练习1.2.选做题：如图，直线1l 、2l 、3l 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？小结1.本节课学到了什么知识？2.还有那些收获？BD ABC ∠P BD AD PE ⊥E CD PF ⊥F PF PE =l 3A CB 2l 1lE F C B A D （第6题） D EA FBC （第2题）课时作业一、选择题1．三角形中到三边距离相等的点是（）A ．三条边的垂直平分线的交点B ．三条高的交点C ．三条中线的交点D ．三条角平分线的交点2．如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，有下面四个结论：①DA 平分∠EDF ；②AE=AF ；③AD 上的点到B ，C两点的距离相等；④到AE ，AF 的距离相等的点到DE ，DF 的距离也相等．其中正确的结论有（） A ．1个B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．下面哪个点到三角形三边的距离相等（） A ．三条角平分线的交点 B ．三条角中线的交点C ．三条角高线的交点D ．三条中垂线的交点4．如图，的两个外角平分线相交于点，则下面结论正确的是（）A ．不平分B ．平分C ．平分D ．二、填空题5．如图，△ABC 的三边AB 、BC 、AC 的长分别为20、30、40，其三条角平分线的交点为，则 .6．如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 面积是28 cm 2，AB=20cm ，AC=8cm ，则DE 的长为_________ cm ．三、解答题 7．已知：如图，BD=CD ，CF ⊥AB 于点F ，BE ⊥AC 于点E ．求证：AD 平分∠BAC ．ABC ∆P BP ABC ∠BP ABC ∠BP APC ∠PC PA =O =∆∆∆CAO BCO ABO S S S :: E F A D B C 第7题。

新人教八年级上第11章《角的平分线的性质》第2课时导学案

角的平分线的性质(二)初二( )班姓名：第组教学目的：理解角平分线的判定，能运用性质或判定解决相关题型。

教学过程：一、复习回顾1、如图1，点P 是∠AOB 内一点，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ，若射线OP 平分∠AOB ，则PD= ，若PD=，则PE= cm 。

2、如图1，∠AO P=∠BOP ，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ，若OD=4，PE=3，则OE= ，PD= 。

3、在图2上，用尺规作出∠MON 的平分线OP(不写作法)。

二、新课讲授1、已知：DE ⊥OA ，DF ⊥OB ，点E 、F 为垂足，DE=DF ，求证：点D 在∠AOB 的平分线上。

证明：∵DE ⊥OA ，DF ⊥OB ∴∠ =∠ =90° 在Rt △DOE 和Rt △DOF 中DE OD =⎧⎨=⎩ ∴Rt △DOE ≌Rt △DOF( )图1O ABDPE 图2OMNOBAFED∴∠DOE=∠∴点D 在∠AOB 的平分线上通过上例可以归纳出：角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点。

2、例如图3，△ABC 的角平分线BE ，CF 相交于点D 。

求证：点D 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等。

证明：过点D 作，，分别垂直于AB ，BC ，CA ，垂足为O ，P ，Q ∵BE 是△ABC 的角平分线，点D 在BE 上， ∴ DP= 同理 DP= ∴ DP=DO=DQ即点D 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等。

三、局部练习A1、如图4，若DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，则∠1和∠2的大小关系下列说法正确的是( )A 、一定相等B 、一定不相等C 、当BD=CD 时相等 D 、当DE=DF 时相等图3D BCAEFOQP 21图4A BCED F2、如图，已知AP 是∠CAB 的平分线，PM ⊥AB 于M ，PN ⊥AC 于N ，则有PN= ，∠CAP= ，△APN ≌ ；若PN=3，AN=4，则△APN 的面积为。

角的平分线的性质(2)导学案

18.3角的平分线的性质(2)一、学习目标∙了解角平分线的性质，并运用其解决一些实际问题。

∙经历操作，推理等活动，探索角平分线的性质，发展空间观念，在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。

教学重点：三角形三条角平分线的性质定理教学难点：掌握三角形三条角平分线的性质定理并进行证明。

二、自主学习1．已知：△ABC中，∠B=90°，∠A、∠C的平分线交于点O，则∠AOC的度数为. 2．角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________．3．如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）A、PD＝PEB、OD＝OEC、∠DPO＝∠EPOD、PD＝OD4．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6㎝，则△DEB的周长为（）A、4㎝B、6㎝C、10㎝D、不能确定三、引领学习1．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。

求证：AD是△ABC的角平分线。

2．如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且交BE于E．求证：AE平分∠FAC.3、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.4、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( )A.一处B. 两处C.三处D. 四处5、如图在中，AD是的平分线，E，F分别是AB，AC上的点，且，求证DE=DF。

CBAPD BA四、学习反馈1. 如图，E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥AO ， ED ⊥BO ，垂足分别是C 、D ．求证： ∠EDC ＝∠ECD ．2. 如图，四边形ABCD 中，AB=AD ，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，P 是对角线AC 上一点，求证：PB=PC 。

角平分线的性质(第二课[1]

OAC 图a11.3角平分线的性质（第二课）时导学案【教学目标】：1. 知道角平分线性质定理的逆命题,并会进行应用；2. 注意区别这两个定理的条件和结论，熟练用来解题．【教学重难点】：运用角平分线性质判定证明及解决问题.教学难点：运用角平分线的性质和判定证明及解决问题. 【自主探究】：1. 已知: ∠AOB ，若点P 是∠AOB 内部一点，且点P 到OA 、OB 的距离相等，你能猜想出点P 的位置吗？点P 到OA 、OB 的距离如何在图中表示出来，完成画图并证明你的猜想？小结：角的内部到在角的平分线上。

2.填空：如图：（1）∵OC 平分∠AOB ，点P 在射线OC 上，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ∴（）．（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ OP 平分∠AOB（）．自学检测：1.如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ， BE ，CD 相交于点O ，OB ＝OC . 求证：∠OAB ＝∠OAC范例精析：例1．已知：如图（a ），△ABC 的角平分线BD 和CE 交于F ．（l ）求证：F 到AB ，BC 和 AC 边的距离相等；（2）求证：AF 平分∠BAC ；（3）求证：三角形中三条内角的平分线交于一点，而且这点到三角形三边的距离相等；（4）怎样找△ABC内到三边距离相等的点？（5）若将“两内角平分线BD，CE交于F”改为“△ABC的两个外角平分线BD，CE交于F，如图b，那么（1）～（3）题的结论是否会改变？怎样找△ABC外到三边所在直线距离相等的点？共有多少个？达标测评：1.已知：如图，∠B=∠C=900，DM平分∠ADC， AM平分∠DAB求证： M B=MC2.已知：如图，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，相交于点P.求证：P在∠A的平分线上．3：已知BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE交于点D，且BE＝CF，求证：AD平分∠BAC.小结反思：1.本节课收获:现有学生总结，教师补充.2.关于本节课的知识还有不明白的地方吗?如果有提出来，让老师同学帮你解决.。

八年级数学角的平分线的性质导学案人教新课标版

八年级数学角的平分线的性质导学案人教新课标版11、3 角的平分线的性质(1)学习什么通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理、怎样学习经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法、学习或教学笔记教学程序一、练习回顾：二、自主学习：已知：∠AOB、求法：∠AOB的平分线、作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N、（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C、（3）作射线OC，射线OC•即为所求。

如下图，将∠AOB 对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？实践感知，互动交流，得出结论，“从实践中可以看出，第一条折痕是∠AOB的平分线OC，第二次折叠形成的两条折痕PD、PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离，这两个距离相等、”证明如下：已知：∠AOC=∠BOC，点P在∠AOB的平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E。

求证：PD=PE、证明：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，•离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？从实践中可知：角平分线上的点到角的两边距离相等，将条件和结论互换：到角的两边的距离相等的点也在角的平分线上、三合作探究【例】如课本图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P•到三边AB，BC，CA的距离相等、证明：注意：因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等必须标出它们、所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理、如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段，那么图中画实线，在证明中就可以不写、四学习测评：1、已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE、求证：点P在∠AOB的平分线上、证明：2、△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F、求证EB=EC、3、如图，CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点O,OB=OC、求证∠１＝∠２、课后反思。

新人教八年级上册第十二章第1课时角平分线的性质导学案

新人教八年级上册第十二章12.3角的平分线的性质第1课时角平分线性质一、新课导入1.导入课题：投影教材第48页开头的“思考”中的文字和图形，让学生说明道理后提出问题：你能从“思考”中得到的启示通过运用尺规作一个角的平分线吗？2.学习目标：（1）学会角平分线的画法.（2）探究并认知角平分线的性质.（3）熟练地运用角平分线的性质解决实际问题.3.学习重、难点：重点：角的平分线的性质.难点：运用角平分线的性质解决相关的问题.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：探究“角平分线的作法”.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：阅读、作图、总结、归纳.（4）自学参考提纲：①投影中AE平分∠DAB是由什么方法得到∠DAE=∠BAE？证明△ABC≌△ADC(SSS).②由平分角的仪器尝试画∠AOB的平分线.③由导入得到作角平分线的方法：a.作法(1)能得到OM=ON；b.作法(2)能得到MC=NC；c.由SSS方法判定△OMC≌△ONC，得到∠MOC＝∠NOC，∴OC是∠AOB的平分线;d.在作法的第二步中，去掉“大于12MN的长”这个条件行吗？不行.2.自学：学生结合自学指导进行探究式学习.3.助学：(1)师助生：①明了学情：利用角平分仪悟出画角平分线的方法，由实物抽象出几何图形，应用了数学里面的建模思想，部分学生理解起来还存在一定的困难.②差异指导：a.引导学生理解角平分仪平分角的道理是证明两角相等，回忆前面证明角相等的方法是证明三角形全等.b.在尺规作图的过程中引导学生运用三角形三边关系定理，理解“大于12MN的长”这个条件.（2）生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：（1）让学生口述角平分线的作法步骤.（2）尝试练习：作出△ABC的三条角平分线（保留作图痕迹，写出作法）.（3）练习：平分平角∠AOB，通过作角平分线得到射线OC，然后反向延长OC得到直线CD，直线CD与直线AB存在什么样的位置关系？互相垂直.（4）给一张三角形纸片，你能不借助任何工具找到某一个角的平分线吗？能，将这个三角形沿过一个顶点的线折叠，使在该顶点的角的两边重合，则该线就是这个角的平分线.1.自学指导：（1）自学内容：探究“角平分线上的点到角的两边的距离相等”.（2）自学时间：5分钟.（3）学习方法：先通过折纸画图、测量得出角平分线的性质，再探究几何证明方法.（4）探究提纲：①如图，OC平分∠AOB，点P是OC上任一点，P点到OA、OB的距离怎么找？过点P分别向OA、OB作垂线，P点与垂足之间的线段的长就是P点到OA、OB的距离.②这两个距离可采用什么方法得到它们的大小关系？证三角形全等，然后得出这两个距离相等.③用你采用的方法，得到了什么结论？结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等..④将性质用图形、几何语言表示（填写下表）：图形：已知事项：已知∠AOB,OC是∠AOB的平分线，P为OC上一点，且PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E.由已知事项推出的事项：PD=PE⑤根据探究的内容，写出已知、求证及证明结论的过程.已知：∠AOC=∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E.求证：PD=PE.证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO,∠AOC=∠BOC,OP=OP,∴△PDO≌△PEO(AAS),∴PD=PE.⑥由上述证明过程，总结证明一个几何命题的一般步骤：1.明确命题中的已知和求证;2.根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证;3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.2.自学：学生可结合自学指导探究式学习.3.助学：(1)师助生：①明了学情：通过第二层次的学习，学生能够理解角平分线的性质定理，但在证明过程中，大部分学生不习惯把文字语言改成几何语言，教师应了解学生在几何表述中存在的问题.②差异指导：得出结论之后，要通过证明，才能确定命题的正确性，引导学生学会证明文字语言描述的几何题的步骤.(2)生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：(1)用文字及几何语言表述定理；(2)证明题的基本步骤.三、评价1.学生的自我评价：学生相互交谈自己的收获和学习困惑.2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：对学生的学习态度、方法、成果及存在的不足进行点评.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）：本节课由于采用了动手操作、直观模型的观察以及讨论交流等教学方法.从而有效地增强了学生对角以及角的平分线的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感性.所以本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的，不是之处：少数学生在尺规作图上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步加强巩固和训练.一、基础巩固（第1、2、3题每题10分，第4题20分，共50分）1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.2.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D．下列结论中错误的是(D)A.PC=PDB.OC=ODC.∠CPO=∠DPOD.OC=PO第2题图第3题图第4题图3.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，若AB=10cm，则△DBE的周长等于(A)A.10cmB.8cmC.6cmD.9cm4.如图，P是∠AOB角平分线上的点，C、D分别是OA、OB上的点，且PC=PD，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，求证：CE=DF.证明：∵OP是∠AOB的平分线，PE⊥OA,PF⊥OB,∴∠PEC=∠PFD=90°,PE=PF,在Rt△PEC和Rt△PFD中，PC=PD,PE=PF,∴Rt△PEC ≌Rt△PFD(HL),∴CE=DF.二、综合应用（第5题10分，第6题20分，共30分）5.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，DE ⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，则下列四个结论：①AD上任意一点到点C、点B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDF．其中，正确的个数是（D）A.1个B.2个C.3个D.4个第5题图第6题图6.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，∠B=90°，DF⊥AC，垂足为F，DE=DC，求证：BE=CF.证明：∵DF⊥AC,∴∠DFA=∠B=90°.∵AD为∠BAC的平分线，∴DB=DF.在Rt△BDE和Rt△FDC中，DE=CD,DB=DF,∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL）.∴BE=CF.三、拓展延伸（20分）7.如图，点D、B分别在∠MAN的两边上，C是∠MAN内一点，AB=AD，BC=CD，CE⊥AM于E，CF⊥AN于F.求证：CE =CF.证明：在△ABC和△ADC中，AB=AD,BC=DC,AC=AC,∴△ABC ≌△ADC(SSS).∴∠DAC=∠BAC.∴AC平分∠MAN.∵CE⊥AM,CF⊥AN,∴CE=CF.。

数学人教八年级上册(2013年新编)12-3-2 角的平分线的判定(导学案)

12.3.2 角的平分线的判定导学案一、学习目标：1.理解角平分线的判定定理.2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.重点：角的平分线的判定定理的证明及应用.难点：角的平分线的判定.二、学习过程：课前自测角平分线的性质定理：文字语言：__________________________________________________.几何符号：________________________________________________________________________合作探究思考：我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？（先独立思考，然后在组内交流分享，通过观察动画演示，确定猜想）猜想：__________________________________________________.把猜想转化成具体数学问题，认真填写一下已知和求证：已知:__________________________________________________________.求证:________________________________________________.※角的平分线的判定：文字语言：________________________________________________.几何语言：____________________________________________________________________思考：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米. 这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1:20000)？【针对练习】如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等.典例解析例1.如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.例2.如图，在△AB C中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为()A．110° B．120° C．130° D．140°例3.如图，P A、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线,它们交于点P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F.求证:BP为∠MBN的平分线.【针对练习】如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P. 求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等.例 4.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证:(1)AM平分∠DAB;(2)AD=AB+C D.达标检测1.如图，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=6cm，当PE=____cm时，点P在∠AOB的平分线上.2.如图,已知P A⊥ON于A,PB⊥OM于B,且P A=PB,∠MON=50°,∠OPC=30°，则∠PCA=______.3.如图，直线l1，l2，l3表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有____处.4.如图所示，已知△ABC的周长是10，OC、OB分别平分∠ABC和∠ACB，OD上BC于D，且OD=1，则△ABC的面积是_______.5.如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在绿地中建一小亭供人小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭的中心位置.6.如图，有一块三角形的闲地，其三边长分别为30m、40m、50m，现要把它分成面积比为3:4:5的三部分，分别种植不同的花，请你设计一种方案，并简要说明理由.7.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=D C．求证:AD是∠BAC 的平分线.。

新人教版八年级上册数学导学案：角平分线的性质(2)

新人教版八年级上册数学导学案：角平分线的性质（2）学习目标：1、知道角平分线的判定定理；2、会用角平分线判定定理进行有关证明和计算。

学习重难点：角平分线性质定理和判定定理的应用。

学习过程：一、自主学习1、如图1，已知OC 平分∠AOB ，PD ⊥O A 于点D ，P E ⊥OB 于点E ，则有结论_________，其根据是__________________________．2、如图2，OM 平分∠AOB ，P 为OM 上一点，PD 交OA 于D ，PE 交OB 于E ，利用角平分线的性质证明PD=PE 时，必须补充的条件是___________________________.3、如图3，已知P D ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ，且PD ＝PE ，则点P 在∠AOB 的平分线上吗？为什么？（请写出证明过程）4、归纳：角的内部到角的两边的_________相等的点在_____ ________上．二、预习自侧1、如图4，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，离公路与铁路交叉处500m ．这个集贸市场应建在何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？2、如图5，ΔABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ．求证：点P 也在∠A 的平分线上．3、如图6，BE ⊥AC 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，BE ，CF 相交于点D ，BD ＝CD ．求证：AD 平分∠BAC ．教与学随笔教与学随笔图1 图2图3 图4 图6图5三、合作探究如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证：AM平分∠DAB．四、课堂小结3．如图，在RtΔABC与RtΔEDC中，∠BAC＝∠DEC＝90°，CB＝CD，BA＝DE，AB、ED的延长线相交于点P．求证：CP平分∠APE．提高题：如图，AD∥BC，∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，过点P的直线垂直于AD，垂足为点D，交BC于点C．试问：（1）点P是线段CD的中点吗？为什么？（2）线段AD与线段BC的和等于图中哪一条线段的长度？为什么？课后反思A BCDP。

新人教版八年级上册数学12.3 第2课时角平分线的判定导学案

第十二章全等三角形角平分线的性质第2课时角平分线的判定. . ．．. 的逆命题.）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的上.）①三角形的三条角平分线相交于点，它到 . ②三角形内，到三边距离相等的点是 . °,则∠AOB= . 图2垂足分别为D,C,AD 与BC 相交于点P,若PA=PB,则∠1与∠2的1>∠2 C.∠1<∠2 D.无法确定 ______________________________ _____利用角平分线的判定定理，在铁路和公路形成的夹角的平分线上取合适的点E,F,AE=AF.探究点2：三角形内角平分线的性质及运用活动1：分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么特点吗？活动2：分别过交点作三角形三边的高，用刻度尺量一量，它们有什么数量关系？要点归纳：①三角形的三条角平分线相交于点，它到 . ②三角形内，到三边距离相等的点是 . 例2：已知：如图，△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ，求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等.方法总结:三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.例3：如图，在△ABC 中，点O 是△ABC 内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A ＝40°，则∠BOC 的度数为( )A ．110°B ．120°C ．130°D ．140° 已知：如图，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，CD 、BE 交于O ，∠1＝∠2. 求证：OB ＝OC.二、课堂小结角平分线的判定定理内容作用结论角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上判断一个点是否在角的平分线上三角形的角平分线相交于内部一点，该点到三角形三边的距离相等.1. 如图，某个居民小区C 附近有三条两两相交的道路MN 、OA 、OB ，拟在MN 上建造一个大型超市，使得它到 OA 、OB 的距离相等，请确定该超市的位置P.2.如图所示，已知△ABC 中，PE ∥AB 交BC 于点E ，PF∥AC 交BC 于点F ，点P 是 AD 上一点，且点D 到PE 的距离与到PF 的距离相等，判断AD 是否平分∠BAC ，并说明理由．3.已知：如图，OD 平分∠POQ ，在OP 、OQ 边上取OA ＝OB ，点C 在OD 上，CM ⊥AD 于M ，CN ⊥BD 于N.求证：CM ＝CN.4.如图，已知∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F ，求证：点F 在∠DAE 的平分线上.32。

角平分线2第二课时角平分线判定定理教案导学案教学设计

班级姓名使用日期：2019-09 八年级数学学案主备课：黄本华O C B 1 A2 PDE SCPABMNFB CDE A ∟∟ c a b AB C 课题：角的平分线2学习目标：1. 掌握角平分线的判定定理2. 掌握角平分线性质定理和判定定理的应用【复习引入】探究一：想一想复习回顾：1、如何快速用尺规作一个已知角的平分线？2、角平分线的性质？用符号语言如何表述？【探究新知】探究一：想一想如图，要在S 区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500m ，这个贸易市场应建在何处？（比例尺为1 ∶20000）想一想，反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ 1）猜想：到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。

2）证明：已知：如图,QD ⊥OA ，QE ⊥OB ，点D 、E 为垂足，QD ＝QE ．求证：点Q 在∠AOB 的平分线上．说一说角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

用符号语言表示为：∵ QD ⊥OA ，QE ⊥OB ，QD ＝QE ． ∴点Q 在∠AOB 的平分线上．所以：角平分线可以看做_______________的所有点的集合探究二：已知：如图，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P. 求证：点P 在∠A 的平分线上.结论：三角形的三条角平分线交于一点，且这点到三边的距离相等。

用一用：如图，已知△ABC 的外角∠CBD 和∠DAE 的平分线相交于点F ，求证：点F 在∠BAC 的平分线上．结论：三角形两个外角的平分线也交于一点，且这点到三边所在的直线的距离相等。

【巩固练习】1.已知O 是△ABC 三条角平分线的交点，OD ⊥BC 于D ，若OD ＝5，△ABC 的周长等于20，则△ABC 的面积等于S △ABC ＝。

2. 有三条公路相交于A ，B ，C 三点，要在这三条公路旁建一个加油站，且到三条公路的距离相等，符合要求的点共有（）个。

新人教版数学八年级上册第12章第8课时角平分线的性质(教师版)

新人教版八年级数学上册角平分线的性质导学案一、学习目标了解角平分线的定义，会用尺规作一个角的平分线；掌握角平分线的性质和判定；会利用角平分线的性质与判定证明简单的线段相等、角相等问题，并能解决简单的实际问题．二、知识回顾1．从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平分线；2．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；3．如图，已知AB＝AD，BC＝DC，利用全等的方法证明AC是∠DAB的平分线．证明：∵AB＝AD，BC＝DC（已知），AC=AC（公共边），∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC，∴AC是∠DAB的平分线．三、新知讲解1．角平分线的性质定理文字描述：在角平分线上的点到角的两边的距离相等．符号语言：∵∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．图示：2．角平分线性质定理的逆定理（角平分线的判定定理）文字描述：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．符号语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上（OP是∠AOB的平分线）．图示：3．作已知角的平分线已知∠AOB，求作∠AOB的平分线．作法：（1）如图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；（2）分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；（3）画射线OC，射线OC即为所求．四、典例探究扫一扫，有惊喜哦！1．角平分线的性质定理【例1】（2014秋•青海校级期中）在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE、DF分别垂直AB、AC，垂足为E、F，求证：EB=FC．总结：1．角平分线性质定理中的“距离”是指“点到直线的距离”；2．利用角平分线的性质时，如果条件中具备两个垂直（即角平分线上的点到直线的距离），证明过程中应直接运用性质定理，而不要去寻找全等三角形，否则就是重新证明了一次结论；3．当出现角平分线而没有角平分线上的点到角两边的垂线时，通常先过角平分线上的点向角的两边作垂线段，再利用角平分线的性质解题．练1．（2015•茂名校级一模）如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10，BD=6，则点D 到AB的距离是（）A．4 B．5 C．6 D．7练2．（2015春•启东市校级月考）如图，已知在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P 在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM=PN．2．角平分线的判定定理【例2】（2014秋•赤峰校级期中）如图所示，∠B=∠C，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC．求证：AD平分∠BAC．总结：1．角平分线的性质定理是证明线段相等的一种方法，条件是已知角的平分线，而角平分线的判定定理是证明角相等的一种方法，条件是到已知角的两边的距离相等；2．证明某点在角平分线上的常用方法是证明这个点到角的两边的距离相等，这样就把证明“点在线上”的问题转化为“线段相等”的问题，体现了“化难为易，化陌生为熟悉”的转化思想．练3．（2013秋•兴化市校级期中）如图，PB，PC分别是△ABC的外角平分线且相交于P．求证：P 在∠A的平分线上．3．角平分线性质的实际应用【例3】有三条交叉公路如图所示，要在三角形区域内建一个加油站，使加油站P到三条公路的距离相等，应建在什么位置？请用尺规作图标出加油站P的位置．总结：1.因为三角形的三条角平分线相交于一点，又角平分线的点到角两边的距离相等，所以三角形角平分线的交点到三边的距离相等．2.要画三角形三条角平分线的交点，只需要画三角形的两条角平分线即可.3.注意：三角形外角平分线上的点到外角两边的距离也相等，所以三角形外还有3个点到三角形三边所在的直线的距离相等，它们都是两条外角平分线和一条内角平分线的交点.练4．如图，直线l1，l2，l3表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（）A．一处B．二处C．三处D．四处五、课后小测一、选择题1．（2014秋•荣昌县期末）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2014春•栖霞市期末）在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（）A．3.8cm B．7.6cm C．11.4cm D．11.2cm3．如图，a、b、c三条公路的位置相交成三角形，现决定在三条公路之间建一购物超市，使超市到三条公路的距离相等，则超市应建在（）A．三角形两边高线的交点处B．三角形两边中线的交点处C．∠α的平分线上D．∠α和∠β的平分线的交点处二、填空题4．（2013秋•太康县期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6，BD=4，则点D 到AB的距离是．5．（2014秋•惠安县期末）如图，OC平分∠AOB，点P是OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点，若PM=5，则PN的最小值为．6．（2014秋•临沭县校级月考）如图，△ABC的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40、其中三条角平分线交于点0，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于．三、解答题7．（2014秋•利津县校级月考）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于E，BD=DF，求证：CF=EB．8．（2013秋•黄山校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB 于E．若△DBE的周长为15cm，求AB的长．9．（2014秋•陇西县期末）如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足为C，D．求证：（1）OC=OD；（2）DF=CF．10．（2013秋•临沭县期末）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．求证：AD是△ABC的角平分线．11．（2014秋•门头沟区期末）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°．请在线段BC上作一点D，使点D 到边AC、AB的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．12．（2014秋•厦门期中）如图，△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角的平分线交于P点，PD⊥AC 于D，PH⊥BA于H，（1）若点P到直线BA的距离是5cm，求点P到直线BC的距离；（2）求证：点P在∠HAC的平分线上．13．（2013秋•淮北期末）已知点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC （1）如图1，若点O在BC上，求证：AB=AC．（2）如图2，若点O在△ABC内部，求证：AB=AC．（3）猜想，若O点在△ABC的外部，AB=AC成立吗？典例探究答案：【例1】【解析】依题意知DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，AD 平分∠BAC ，由角平分线性质得DE=DF ，已知BD=DC ，利用“HL”证明△BDE ≌△CDF 即可．证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，AD 平分∠BAC ，∴DE=DF.在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，DE DF BD DC=⎧⎨=⎩， ∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ），∴EB=FC ．点评：本题考查了角平分线性质的运用，三角形全等的判定和性质．关键是寻找证明三角形全等的条件．练1．【解析】由角平分线的性质可得点D 到AB 的距离等于CD ，根据已知求得CD 即可．解：∵∠C=90°，AD 平分∠BAC ，∴点D 到AB 的距离等于CD ，∵BC=10，BD=6，∴CD=BC ﹣BD=10﹣6=4，∴点D 到AB 的距离是4．故选A ．点评：此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．练2．【解析】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD ，然后利用“边角边”证明△ABD 和△CBD 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB ，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．证明：∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠CBD ，在△ABD 和△CBD 中，AB BC ABD CBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△CBD （SAS ），∴∠ADB=∠CDB ，∵点P 在BD 上，PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，∴PM=PN ．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB 是解题的关键．【例2】【解析】由条件可证明△BDE ≌△CDF ，可得到DE=DF ，可证得结论．证明：∵D 是BC 的中点，∴BD=CD.∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠DEB=∠DFC.在△BDE 和△CDF 中，B C DEB DFC BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE ≌△CDF （AAS ），∴DE=DF ，∴D 在∠BAC 的平分线上，即AD 平分∠BAC ．点评：本题主要考查角平分线的判定，掌握在角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．练3．【解析】过P 点作PE ，PH ，PG 分别垂直AB ，BC ，AC ，要证P 在∠A 的平分线上，则需证PE=PG ，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等就可证明PE=PG ．证明：过P 点作PE ，PH ，PG 分别垂直AB ，BC ，AC ．∵PB，PC分别是△ABC的外角平分线，∴PE=PH，PH=PG，∴PE=PG．∴P点在∠A的平分线上．点评：本题主要考查角平分线性质的逆定理．准确作出辅助线是解决本题的关键．【例3】【解析】分别作∠ABC与∠ACB的平分线，两条角平分线交于点P，则点P即为所求点．解：∵加油站P到三条公路的距离相等，∴P点是△ABC的内心，∴加油站P应该建在三角形内角平分线的交点处．如图所示：①以点B为圆心，以任意长为半径画圆，分别交AB、BC于点D、E；②分别以点DE为圆心，以大于12DE为半径画圆，两圆相交于点F．连接BF，则BF即为∠ABC的平分线；同理作出∠ACB的平分线，两条角平分线交于点P，则点P即为所求点．点评：熟知角平分线上的点到角两边距离相等的性质是解答此题的关键．练4．【解析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．故选D．点评：此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握角平分线的定理的应用是关键．课后小测答案：一、选择题1．【解析】∵垂线段最短，∴当PQ⊥OM时，PQ有最小值，又∵OP平分∠MON，PA⊥ON，∴PQ=PA=2，故选B．2．【解析】∵∠C=90°，∠CAB=60°，∴∠B=30°，在Rt△BDE中，BD=2DE=7.6，又∵AD平分∠CAB，∴DC=DE=3.8，∴BC=BD+DC=7.6+3.8=11.4．故选C．3．【解析】∵如图，要建一超市到a、b、c三条公路的距离相等，∴该超市是△ABC的内心，∴超市应该建在∠α和∠β的平分线的交点处．故选D．二、填空题4．【解析】∵BC=6，BD=4∴CD=2∵∠C=90°，AD平分∠CAB∴点D到AB的距离=CD=2．故填2．5．【解析】当PN⊥OA时，PN的值最小，∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，∴PM=PN，∵PM=5，∴PN的最小值为5．故答案为：5．6．【解析】过O分别作OE⊥CB，FO⊥AB，OD⊥AC，∵BO是∠ABC平分线，∴EO=FO，∵CO是∠ACB平分线，∴EO=DO，∴EO=DO=FO，∵S△ABO=AB•FO，S△BCO=CB•EO，S△CAO=AC•DO，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=20：30：40=2：3：4．故答案为：2：3：4．三、解答题7．【解析】∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于E，∴DE=DC．在△CDF与△EDB中，DF DB DC DE=⎧⎨=⎩， ∴Rt △CDF ≌Rt △EDB （HL ），∴CF=EB ．8．【解析】∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，∠C=90°，∴△ACD ≌△AED ，∴CD=DE ，AE=AC ，∴△DBE 的周长=BD+EB+DE=BD+EB+CD=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB=15cm ， ∴AB=15cm ．9．【解析】证明：（1）∵E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ， ∴EC=DE ，∠ECO=∠EDO=90°，在Rt △COE 和Rt △DOE 中，EC ED OE OE =⎧⎨=⎩， ∴Rt △COE ≌Rt △DOE （HL ），∴CO=DO ；（2）∵EO 平分∠AOB ，∴∠AOE=∠BOE ，在△COF 和△DOF 中，CO DO AOE BOE OE OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COF ≌△DOF （SAS ），∴FC=FD ．10．【解析】证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴Rt △BDE 和Rt △DCF 是直角三角形．BD DC BE CF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BDE ≌Rt △DCF （HL ），∴DE=DF ，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是角平分线．11．【解析】如图所示：点D为所求；12．【解析】（1）过P作PF⊥BE于F，如图，∵BP平分∠ABC，PH⊥BA于H，PF⊥BE于F，∴PH=PF=5cm，∴点P到直线BC的距离为5cm；（2）证明：∵CP平分∠ACE，PD⊥AC于D，PF⊥BE于F，∴PF=PD，∴PD=PH，∴AP平分∠HAD．13．【解析】证明：（1）过点O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，则OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，在Rt△BOD和Rt△COE中，∵OD OE OB OC=⎧⎨=⎩，∴∠B=∠C，∴AB=AC；（2）过点O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，在Rt△BOD和Rt△COE中，∵OD OE OB OC=⎧⎨=⎩，∴Rt△BOD≌Rt△COE（HL），∴∠DBO=∠ECO，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC；（3）不一定成立．证明：如图3，过点O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC的延长线于点E，则OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，在Rt△BOD和Rt△COE中，∵OD OE OB OC=⎧⎨=⎩，∴∠DBO=∠ECO，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠DBC=∠ECB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC．如图4，可知AB≠A C．。

八年级数学上册角的平分线的性质导学案新人教

AE FPCB12.3角的平分线的性质主备人辅备人授课人使用时间三、知识深化：比较角平分线的性质与判定四、展示交流：1.要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处500米，应建在何处？（比例尺 1：20000）2.如右上图，在直线MN 上求作一点P ，使点P 到射线OA 和OB 的距离相等.3.如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，BE ，CD 相交于点O ，OB ＝O C ，求证：∠1＝∠2分课时总课时姓名小组组号课题： 12.3角的平分线的性质（2）课型：新授课教学目标：1.能画出图形，并叙述角的平分线的判定方法；2.能应用角的平分线的性质及判定方法解决一些简单的实际问题.重点难点：角的平分线的判定方法的推导一、复习导入：1.角平分线的性质是 .2.如右图，点P 是∠AOB 的平分线OC 上的一点，且DP ⊥OC,EP ⊥OC,点D,E 分别在OA,OB 上，请问：（1）PD=PE 吗？说明理由.（2） PD 、PE 是点P 到∠AOB 的两边的距离吗？若不是，请在图中画出点p 到OA OB 的距离.二、合作探究：已知：点P 是∠BAC 内的一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别是点E 、F ，PE=PF. 求证：点P 在∠BAC 的角平分线上.备注（教师个性备课；学生方法总结，易混点、易错点整理）PDA OBECAO BMN八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．已知（m-n ）2=8，（m+n ）2=2，则m 2+n 2=（） A ．10 B ．6 C ．5 D ．3【答案】C【分析】根据完全平方公式可得()22228m n m mn n -=-+= ，()22222m n m mn n +=++=，再把两式相加即可求得结果. 【详解】解：由题意得()22228m n m mn n -=-+= ，()22222m n m mn n +=++=把两式相加可得，则故选C.考点：完全平方公式点评：计算题是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分. 2．如图所示的图案中，是轴对称图形且有两条对称轴的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】选项A 、B 中的图形是轴对称图形，只有1条对称轴；选项C 中的图形不是轴对称图形；选项D 中的图形是轴对称图形，有2条对称轴. 故选D.3．若三角形三个内角度数之比为2：3：7，则这个三角形一定是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】C【分析】根据三角形内角和180°来计算出最大的内角度数,然后来判断三角形的形状. 【详解】解:三角形三个内角度数之比为2：3：7,∴三角形最大的内角为: 7180105237︒⨯=︒++.∴这个三角形一定为钝角三角形.故选:C. 【点睛】本题主要考查三角形内角和180°,计算三角形最大内角是解题关键. 4．下面是一名学生所做的4道练习题：①0(2)1-=；②()3236xy x y -=；③222()x y x y +=+，④21(3)9--=，他做对的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】根据零次幂、积的乘方、完全平方公式、负整数指数幂进行判断. 【详解】解：①0(2)1-=，正确； ②()3236xyx y -=-，错误；③222()2x y x y xy +=++，错误； ④21(3)9--=，正确. 故选B. 【点睛】本题考查了整式乘法和幂的运算，正确掌握运算法则是解题关键.5．如图，数轴上的点A 表示的数是-1，点B 表示的数是1，CB AB ⊥于点B ，且2BC =，以点A 为圆心，AC 为半径画弧交数轴于点D ，则点D 表示的数为（）A ．221B ．22C ．2.8D ．221【答案】A【分析】根据勾股定理求出AC ，根据实数与数轴的概念求出点D 表示的数．【详解】解：由题意得，AB ＝1，由勾股定理得，AC ＝22222222AB BC ，∴AD ＝22，则OD ＝22−1，即点D 表示的数为22−1，故选A ．【点睛】本题考查的是勾股定理、实数与数轴，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 1＋b 1＝c 1．6．《九章算术》中有一道“盈不足术”问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何?设该物品的价格是x 钱，共同购买该物品的有y 人，则根据题意，列出的方程组是（） A ．83{74y x y x -=-=B ．83{74y x y y -=-= C ．83{74y x y x -=--=- D ．83{74y x y x -=-=-【答案】D【分析】设该物品的价格是x 钱，共同购买该物品的有y 人，由“每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解．【详解】解：根据题意可知，8374y x y x -=⎧⎨-=-⎩故答案为：D. 【点睛】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 7．若()22316x m x --+是关于x 的完全平方式，则m 的值为（）A ．7B ．-1C ．8或-8D ．7或-1【答案】D【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m 的值．【详解】∵x 2−2（m−3）x ＋16是关于x 的完全平方式， ∴m−3＝±4，解得：m ＝7或−1，故选：D ．【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．8．如图，△ABC≌△ADE，∠B＝25°，∠E＝105°，∠EAB＝10°，则∠BAD为（）A．50°B．60°C．80°D．120°【答案】B【分析】先根据全等三角形的对应角相等得出B=∠D=25°，再由三角形内角和为180°，求出∠DAE=50°，然后根据∠BAD=∠DAE+∠EAB即可得出∠BAD的度数．【详解】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠B=∠D=25°，又∵∠D+∠E+∠DAE=180°，∠E=105°，∴∠DAE=180°-25°-105°=50°，∵∠EAB=10°，∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=60°．故选B．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理．综合应用全等三角形的性质和三角形内角和定理是解题的关键．9．小明对九（1）、九（2）班（人数都为50人）参加“阳光体育”的情况进行了调查，统计结果如图所示.下列说法中正确的是( )A．喜欢乒乓球的人数(1)班比(2)班多B．喜欢足球的人数(1)班比(2)班多C ．喜欢羽毛球的人数(1)班比(2)班多D ．喜欢篮球的人数(2)班比(1)班多【答案】C【解析】根据扇形图算出（1）班中篮球，羽毛球，乒乓球，足球，羽毛球的人数和（2）班的人数作比较，（2）班的人数从折线统计图直接可看出．【详解】解：A 、乒乓球：(1)班50×16%=8人，(2)班有9人，8<9，故本选项错误； B 、足球：(1)班50×14%=7人，(2)班有13人，7<13，故本选项错误； C 、羽毛球：(1)班50×40%=20人，(2)班有18人，20>18，故本选项正确； D 、篮球：(1)班50×30%=15人，(2)班有10人，15>10，故本选项错误. 故选C. 【点睛】本题考查扇形统计图和折线统计图，扇形统计图表现部分占整体的百分比，折线统计图表现变化，在这能看出每组的人数，求出(1)班喜欢球类的人数和(2)班比较可得出答案． 10．如图，点A 表示的实数是（）A ．3B ．3-C ．5D ．5-【答案】D【分析】根据勾股定理可求得OA 的长为5，再根据点A 在原点的左侧，从而得出点A 所表示的数．【详解】如图，22215+= ∵OA=OB ， ∴5∵点A 在原点的左侧，∴点A 在数轴上表示的实数是5 故选：D ．【点睛】本题考查了实数和数轴，以及勾股定理，注意原点左边的数是负数．二、填空题11．如图，直线l上有三个正方形,,a b c，若,a c的面积分别为5和11，则b的面积为__________．【答案】16【解析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠ABC=∠DAE，然后证明△ΔBCA≌ΔAED，结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．【详解】解：∵AB=AD，∠BCA=∠AED=90°，∴∠ABC=∠DAE，∴ΔBCA≌ΔAED(ASA)，∴BC=AE，AC=ED，故AB²=AC²+BC²=ED²+BC²=11+5=16，即正方形b的面积为16.点睛：此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，解题的重点在于证明ΔBCA≌ΔAED，而利用全等三角形的性质和勾股定理得到b=a+c则是解题的关键.12．方程233x x=-的解是．【答案】x=1．【分析】根据解分式方程的步骤解答即可. 【详解】去分母得：2x=3x﹣1，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解，故答案为x=1．【点睛】本题主要考查了解分式方程的步骤，牢牢掌握其步骤就解答此类问题的关键．13．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC 于点M 和N，再分别以M，N 为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC 于点D，则下列说法中：①AD 是∠BAC 的平分线；②点D 在线段AB 的垂直平分线上；③S△DAC：S△ABC=1：2,正确的序号是_____．【答案】①②【解析】①据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；②利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的垂直平分线上；③利用10度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．【详解】①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确；②如图，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝10°，∴∠CAB＝60°．又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1＝∠2＝12∠CAB＝10°，∵∠1＝∠B＝10°，∴AD＝BD，∴△ABD为等腰三角形∴点D在AB的垂直平分线上．故②正确；③∵如图，在直角△ACD 中，∠2＝10°， ∴CD ＝12AD ， ∴BC ＝CD ＋BD ＝12AD ＋AD ＝32AD ，∴S △DAC ＝12AC•CD ＝14AC•AD ，∴S △ABC ＝12AC•BC ＝12AC•32AD ＝34AC•AD ，∴S △DAC ：S △ABC ＝14AC•AD ：34AC•AD ＝1：1．故③错误．故答案为：①②．【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图－基本作图，解题关键是熟悉等腰三角形的判定与性质． 14．若一组数据4,,5,,7,9x y 的平均数为6，众数为5，则这组数据的方差为__________．【答案】83【分析】根据平均数的计算公式，可得11x y +=，再根据众数是5，所以可得x,y 中必须有一个5，则另一个就是6，通过方差的计算公式计算即可. 【详解】解：∵一组数据4,,5,,7,9x y 的平均数为6，众数为5， ∴,x y 中至少有一个是5，∵一组数据4,,5,,7,9x y 的平均数为6， ∴()4579166x y +++++=， ∴11x y +=，∴,x y 中一个是5，另一个是6，∴这组数据的方差为()()()()()22222846256661[]676963-+-+-+-+-=；故答案为83．【点睛】本题是一道数据统计中的综合性题目，涉及知识点较多，应当熟练掌握，特别是记忆方差的计算公式.15x 的取值范围是__________【答案】3x ≥【分析】根据二次根式的性质（被开方数大于等于0）解答．【详解】解:根据题意得：30x -≥，解得：3x ≥．故答案为：3x ≥．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，注意二次根式的被开方数是非负数． 16．已知等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是°．【答案】80°或50° 【解析】分两种情况：①当80°的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数=(180°−80°)÷2=50°；②当80°的角为等腰三角形的底角时，其底角为80°，故它的底角度数是50或80. 故答案为：80°或50°. 17．如图，AD 是ABC ∆的中线，E 、F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DEDF =，连接BF 、CE ，下列说法：①ABD ∆和ACD ∆的面积相等，②BAD CAD ∠=∠，③BDF CDE ∆≅∆，④//BF CE ，⑤CE BF =，其中一定正确的答案有______________．（只填写正确的序号）【答案】①③④⑤【分析】根据三角形中线的定义可得BD=CD，根据等底等高的三角形的面积相等判断出①正确；利用“SAS”证明③△BDF≌△CDE正确，根据全等三角形对应边相等，证明⑤正确，根据全等三角形对应角相等得∠F=∠DEF，再根据内错角相等，两直线平行可得④正确.【详解】解：由题意得 BD=CD,点A到BD,CD的距离相等∴△ABD和△ACD的面积相等，故①正确；虽然已知AD为△ABC的中线，但是推不出来∠BAD和∠CAD一定相等,故②不正确；在△BDF和△CDE中BD CDBDF CDEDF DE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BDF≌△CDE,故③正确；∴CE=BF，故⑤正确；∴∠F=∠DEF∴BF∥CE，故④正确；故答案为①③④⑤.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形面积相等，熟练掌握三角形判定的方法并准确识图是解题的关键. 全等三角形的判定：SSS；SAS；ASA；AAS；H.L；全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等.三、解答题18．计算（每小题4分，共16分）（1）(((201220130222--（2）已知22360a a +-=．求代数式3(21)(21)(21)a a a a +-+-的值.（1）先化简，再求值22211111m m m m m m -+-⎛⎫÷-- ⎪-+⎝⎭，其中m .（4）解分式方程：31221x x =--+1．【答案】（1）1；（2）7；（1（4）116【分析】（1）根据幂的乘方、平方差公式、去绝对值解决即可.（2）根据整式乘法法则，将原式变形成2a 2+1a+1，再将22360a a +-=变形成2a 2+1a=6，代入计算即可.（1）根据分式的基本性质，先将原式化简成1m ，将m 的值代入计算即可.（4）根据等式和分式的基本性质，将分式方程化简成整式方程求解即可.【详解】（1）(((201220130222--，((2012222212⎡⎤=++-⨯-⎣⎦；()(2012121=--，21=，=1.（2）解：原式=6a 2+1a-（4a 2-1）=6a 2+1a-4a 2+1=2a 2+1a+1∵2a 2+1a-6=0∴2a 2+1a=6原式=6+1=7（1）21(1)(1)(1) 1)(1)1m m m mm m m--+--=÷+-+（）原式（11•1(1)m mm m m-+=+-1m=313mm=∴=（4）313,221x x=-+--方程两边都乘以()21x-得：()3261x，=-+-解得：116x=，检验：当116x时，2（x﹣1）≠0，所以116x是原方程的解，即原方程的解为116x.【点睛】本题考查了幂的乘方、平方差公式、整式运算法则、分式的化简求值及解分式方程，解决本题的关键是熟练掌握整式和分式的运算法则，等式的基本性质. 19．如图，在ABC∆中，D是BC的中点，,DE AB DF AC⊥⊥，垂足分别是,,E F BE CF=．求证：AD平分BAC∠．【答案】见解析【分析】首先证明Rt DEB Rt DFC ≅，然后有DEDF =，再根据角平分线性质定理的逆定理即可证明．【详解】∵D 是BC 的中点， BD CD ∴=．,DE AB DF AC ⊥⊥,90DEB DFC ∴∠=∠=︒ ．在Rt DEB 和Rt DFC 中，BE CF BD DC =⎧⎨=⎩()Rt DEB Rt DFC HL ∴≅,DE DF ∴=．,DE AB DF AC ⊥⊥,∴点D 在BAC ∠的平分线上，∴AD 平分BAC ∠．【点睛】本题主要考查角平分线性质定理的逆定理和全等三角形的判定及性质，掌握角平分线性质定理的逆定理和全等三角形的判定及性质是解题的关键．20．（模型建立）（1）如图1，等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=，CB CA =，直线ED 经过点C ，过A 作AD ED ⊥于点D ，过B 作BE ED ⊥于点E .求证：BEC CDA ∆≅∆；（模型应用）（2）已知直线1l ：443y x =+与坐标轴交于点A 、B ，将直线1l 绕点A 逆时针旋转45至直线2l ，如图2，求直线2l 的函数表达式；（3）如图3，长方形ABCO ，O 为坐标原点，点B 的坐标为()8,6-，点A 、C 分别在坐标轴上，点P 是线段BC 上的动点，点D 是直线26y x =-+上的动点且在第四象限.若APD ∆是以点D 为直角顶点的等腰直角三角形，请直接．．写出点D 的坐标.【答案】（1）见解析；（2）y＝−7x−21；（3）D（4，−2）或（203，223-）.【分析】（1）根据△ABC为等腰直角三角形，AD⊥ED，BE⊥ED，可判定BEC CDA∆≅∆；（2）①过点B作BC⊥AB，交l2于C，过C作CD⊥y轴于D，根据△CBD≌△BAO，得出BD＝AO＝3，CD＝OB＝4，求得C（−4，7），最后运用待定系数法求直线l2的函数表达式；（3）根据△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，当点D是直线y＝−2x＋6上的动点且在第四象限时，分两种情况：当点D在矩形AOCB的内部时，当点D在矩形AOCB的外部时，设D（x，−2x＋6），分别根据△ADE≌△DPF，得出AE＝DF，据此列出方程进行求解即可．【详解】解：（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∴CB＝CA，∠ACD＋∠BCE＝90°，又∵AD⊥ED，BE⊥ED，∴∠D＝∠E＝90°，∠EBC＋∠BCE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC，在△ACD与△CBE中，D EACD EBC CA CB∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴BEC CDA∆≅∆（AAS）；（2）①如图2，过点B作BC⊥AB，交l2于C，过C作CD⊥y轴于D，∵∠BAC＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，由（1）可知：△CBD≌△BAO，∴BD＝AO，CD＝OB，∵直线l1：y＝43x＋4中，若y＝0，则x＝−3；若x＝0，则y＝4，∴A（−3，0），B（0，4），∴BD＝AO＝3，CD＝OB＝4，∴OD＝4＋3＝7，∴C（−4，7），设l2的解析式为y＝kx＋b，则7403k bk b=-+⎧⎨=-+⎩，解得：721 kb=-⎧⎨=-⎩，∴l2的解析式为：y＝−7x−21；（3）D（4，−2）或（203，223-）．理由：当点D是直线y＝−2x＋6上的动点且在第四象限时，分两种情况：当点D在矩形AOCB的内部时，如图，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交BC于F，设D（x，−2x＋6），则OE＝2x−6，AE＝6−（2x−6）＝12−2x，DF＝EF−DE＝8−x，由（1）可得，△ADE≌△DPF，则DF＝AE，即：12−2x＝8−x，解得x＝4，∴−2x＋6＝−2，∴D（4，−2），此时，PF＝ED＝4，CP＝6＝CB，符合题意；当点D在矩形AOCB的外部时，如图，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，设D （x ，−2x ＋6），则OE ＝2x−6，AE ＝OE−OA ＝2x−6−6＝2x−12，DF ＝EF−DE ＝8−x ，同理可得：△ADE ≌△DPF ，则AE ＝DF ，即：2x−12＝8−x ，解得x ＝203， ∴−2x ＋6＝223-， ∴D （203，223-），此时，ED ＝PF ＝203，AE ＝BF ＝43，BP ＝PF−BF ＝163＜6，符合题意，综上所述，D 点坐标为：（4，−2）或（203，223-）【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，解题时注意分类思想的运用．21．（1）计算：026(3)(31)8(2)-÷--+⨯-；（2）计算：(48276；（3）解方程：11322x x x --=--；【答案】（1）-1；（2122（3）无解【分析】（1）先算乘方，再算乘除，后算加减即可；（2）先算括号里，再根据二次根式的除法法则计算；（3）两边都乘以x-2，化为整式方程求解，然后检验．【详解】（1）原式=16(3)184÷--+⨯=-2-1+2=-1；（2）原式=(===（3）11322xx x --=--两边都乘以x-2，得x-1-3(x-2)=1，解得x=2，检验：当x=2时，x-2=0，∴x=2是原方程的增根，原方程无解．【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，以及分式方程的解法，熟练掌握运算法则以及分式方程的解法是解答本题的关键．22．已知ABC ∆的三边长a 、b 、c 满足4422222220a b a b a c b c ++--=，试判定ABC ∆的形状.【答案】ABC ∆是直角三角形．【分析】原等式的左边利用分组分解法分解因式即得a 、b 、c 满足的关系式，然后利用勾股定理的逆定理进行判断即可．【详解】解：∵4422222220a b a b a c b c ++--=，∴()()2222220a b c a b +-+=，∴()()222220a b a b c ++-=，∵a 、b 、c 是△ABC 的三边，∴220a b +>，∴2220a b c +-=，即222+=a b c ，∴∠C=90°，ABC ∆是直角三角形．【点睛】本题考查了多项式的因式分解和勾股定理的逆定理，属于常考题型，熟练掌握分解因式的方法和勾股定理的逆定理是解题关键．23．已知：如图，把ABC ∆向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到'''A B C ∆；（1）写出',','A B C 的坐标；（2）求出ABC ∆的面积；（3）点P 在y 轴上，且BCP ∆与ABC ∆的面积相等，求点P 的坐标．【答案】（1）A′（0，4）、B′（-1，1）、C′（3，1）；（2）6；（3）P （0，1）或（0，-5）．【分析】（1）观察图形可得△ABC 的各顶点坐标，继而根据上加下减，左减右加即可得到平移后对应点A′、B′、C′的坐标；即可得到△A ′B ′C ′；（2）直接利用三角形面积公式根据BC 以及BC 边上的高进行求解即可；（3）由△BCP 与△ABC 的面积相等可知点P 到BC 的距离等于点A 到BC 的距离，据此分情况求解即可．【详解】（1）观察图形可得A （-2，1），B （-3，-2），C （1，-2），因为把△ABC 向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′，所以A′（-2+2，1+3）、B′（-3+2，-2+3）、C′（1+2，-2+3），即A′（0，4）、B′（-1，1）、C′（3，1）；（2）S △ABC =12BC AD =1432⨯⨯=6；（3）设P （0，y ），∵△BCP 与△ABC 同底等高，∴|y+2|=3，即y+2=3或y+2=-3，解得y 1=1，y 2=-5，∴P （0，1）或（0，-5）．【点睛】本题考查了图形的平移，三角形的面积，熟练掌握平移的规律“上加下减，左减右加”是解题的关键．24．计算:3a 2·(－b)－8ab(b －12a)【答案】228a b ab -【分析】根据单项式乘以单项式和单项式乘以多项式的运算法则进行计算即可得解.【详解】原式=222384a b ab a b --+=228a b ab -.【点睛】本题考查了整式的运算，掌握单项式乘以单项式以及单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．25．某公司购买了一批A 、B 型芯片，其中A 型芯片的单价比B 型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A 型芯片的条数与用4200元购买B 型芯片的条数相等．（1）求该公司购买的A 、B 型芯片的单价各是多少元？（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A 型芯片？【答案】（1）A 型芯片的单价为2元/条，B 型芯片的单价为35元/条；（2）1．【解析】（1）设B 型芯片的单价为x 元/条，则A 型芯片的单价为（x ﹣9）元/条，根据数量=总价÷单价结合用3120元购买A 型芯片的条数与用4200元购买B 型芯片的条数相等，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买a 条A 型芯片，则购买（200﹣a ）条B 型芯片，根据总价=单价×数量，即可得出关于a 的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）设B 型芯片的单价为x 元/条，则A 型芯片的单价为（x ﹣9）元/条，根据题意得：312042009x x =-，解得：x ＝35，经检验，x ＝35是原方程的解，∴x ﹣9＝2．答：A 型芯片的单价为2元/条，B 型芯片的单价为35元/条．（2）设购买a 条A 型芯片，则购买（200﹣a ）条B 型芯片，根据题意得：2a+35（200﹣a ）＝621，解得：a ＝1．答：购买了1条A 型芯片．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图,折叠长方形ABCD 的一边AD ,使点D 落在BC 边的点F 处,折痕为AE ,且6AB =，10BC =．则EF 的长为( )A ．3B ．103 C ．4 D ．83【答案】B【分析】先求出BF 的长度，进而求出FC 的长度；根据勾股定理列出关于线段EF 的方程，即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC=10，DC=AB=6；∠B=90°，由折叠的性质得：AF=AD=10cm ；DE=EF设DE=EF=x ，EC=6-x在Rt △ABF 中228BF AF AB =-=∴CF=10-8=2；在Rt △EFC 中，EF 2=CE 2+CF 2，22(6)4x x ∴=-+ 解得：103x =103EF ∴=故选：B【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是根据翻折变换的性质找出图形中隐含的等量关系；根据有关定理灵活分析、正确判断、准确求解．2．如图，在△ABC 中，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点E 、F ，若∠BAC=110°，则∠EAF 为（）A ．35°B ．40°C ．45D ．50°【答案】B 【解析】试题分析：根据三角形内角和定理求出∠C+∠B=70°，根据线段垂直平分线的性质得到EC=EA ，FB=FA ，根据等腰三角形的性质得到∠EAC=∠C ，∠FAB=∠B ，计算即可．解：∵∠BAC=110°，∴∠C+∠B=70°，∵EG 、FH 分别为AC 、AB 的垂直平分线，∴EC=EA ，FB=FA ，∴∠EAC=∠C ，∠FAB=∠B ，∴∠EAC+∠FAB=70°，∴∠EAF=40°，故选B ．考点：线段垂直平分线的性质．3．若等腰三角形的两边长分别为6和8，则周长为（）A ．20或22B ．20C ．22D ．无法确定【答案】A【解析】若6是腰长，则三角形的三边分别为6、6、8，能组成三角形，周长=6+6+8=20，若6是底边长，则三角形的三边分别为6、8、8，能组成三角形，周长=6+8+8=1，综上所述，三角形的周长为20或1．故选A ．4．如图，C 3∠=∠，280∠=︒，13140∠+∠=︒，A D ∠=∠，则B 的度数是（）A ．80°B ．40°C ．60°D ．无法确定【答案】B【解析】首先证明EF BC ∥，求出340C ∠=∠=︒，然后证明AB CD ∥，根据平行线的性质即可得解.【详解】解：∵C 3∠=∠，∴EF BC ∥，∴12180∠+∠=︒.∵280∠=︒.∴1100∠=︒，∵13140∠+∠=︒，∴340C ∠=∠=︒.∵A D ∠=∠.∴AB CD ∥.∴40B C ∠=∠=︒.故选B.【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质及角的和差计算．5．如图，已知△ABC ，AB=5，∠ABC=60°，D 为BC 边上的点，AD=AC ，BD=2，则DC=( )A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】B【分析】过点A作AE⊥BC，得到E是CD的中点，在Rt△ABE中，AB=5，∠ABC=60°，求出BE=52，进而求出DE=52-2=12，即可求CD．【详解】过点A作AE⊥BC．∵AD=AC，∴E是CD的中点，在Rt△ABE中，AB=5，∠ABC=60°，∴BE=52．∵BD=2，∴DE=52﹣2=12，∴CD=1．故选：B．【点睛】此题考查等腰三角形与直角三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．6．若分式3xx -的值为0，则x 的取值是（）A ．3x =B ．0x =C ．0x =或3D ．以上均不对【答案】B【分析】根据分式的值为零的条件可得到0,30x x =-≠，再解可以求出x 的值．【详解】解：由题意得：0,30x x =-≠，解得：x=1，故选：B ．【点睛】本题主要考查了分式值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为1；（2）分母不为1．这两个条件缺一不可．7．下列各数中是无理数的是（）A ．3.14B ．C D【答案】C【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【详解】A ．3.14是有限小数，属于有理数；B ，是整数，属于有理数；CD =4，是整数，属于有理数；故选C ．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．8．下列变形从左到右一定正确的是( )．A ．22a a b b -=- B ．a ac b bc = C ．ax abx b = D ．22aa b b =【答案】C【分析】根据分式的基本性质依次计算各项后即可解答．【详解】选项A ，根据分式的基本性质，分式的分子和分母都乘以或除以同一个不是0的整式，分式的值不变，分式的分子和分母都减去2不一定成立，选项A 错误；选项B ，当c ≠0时，等式才成立，即()0a acc b bc =≠，选项B 错误；选项C ，ax bx 隐含着x ≠0，由等式的右边分式的分子和分母都除以x ，根据分式的基本性质得出axabx b =，选项C 正确；选项D ，当a=2，b=-3时，左边≠右边，选项D 错误．故选C ．【点睛】本题考查了分式的基本性质的应用，主要检查学生能否正确运用性质进行变形，熟练运用分式的基本性质是解决问题的关键．9．已知图中所有的小正方形都全等，若在右图中再添加一个全等的小正方形得到新的图形，使新图形是中心对称图形，则正确的添加方案是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】观察图形，利用中心对称图形的性质解答即可．【详解】选项A ，新图形不是中心对称图形，故此选项错误；选项B ，新图形是中心对称图形，故此选项正确；选项C ，新图形不是中心对称图形，故此选项错误；选项D ，新图形不是中心对称图形，故此选项错误；故选B ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，熟知中心对称图形的概念是解决问题的关键．10．三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个 ( )A ．形状相同的三角形B ．面积相等的三角形C ．周长相等的三角形D ．直角三角形【答案】B【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等．【详解】三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．故选B ．【点睛】考查了三角形的中线的概念．构造面积相等的两个三角形时，注意考虑三角形的中线．二、填空题11．数据-3、-1、0、4、5的方差是_________．【答案】9.1．【分析】根据公式求出这组数据的平均数与方差．【详解】这组数据的平均数是：(3)(1)04515x -+-+++== 方差是2222221[(31)(11)(01)(41)(51)]9.25s =--+--+-+-+-=．故答案为：9.1．【点睛】本题考查了求数据的平均数与方差的问题，解题时利用平均数与方差的公式进行计算即可．12．若 31x - 与4x 互为相反数，则x 的值为________________．【答案】4 【分析】根据31x - 与4x 互为相反数可以得到31x -+4x =0，再根据分式存在有意义的条件可以得到1-x≠0，x≠0，计算解答即可．【详解】∵31x - 与4x 互为相反数 ∴31x -+4x =0又∵1-x≠0，x≠0∴原式去分母得3x+4（1-x ）=0解得x=4故答案为4【点睛】本题考查的是相反数的意义、分式存在有意义的条件和解分式方程，根据相反数的意义得到31x -+4x=0是解题的关键． 13．如图，在ABC ∆中，12AB AC ==，120BAC ∠=，AD 是ABC ∆的中线，AE 是BAD ∠的角平分线，DFAB 交AE 的延长线于点F ，则DF 的长为_______．【答案】6【分析】根据等腰三角形的性质可得AD ⊥BC ，∠BAD=∠CAD=60°，求出∠DAE=∠EAB=30°，根据平行线的性质求出∠F=∠BAE=30°，从而得到∠DAE=∠F ，从而AD=DF ，求出∠B=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．【详解】解：∵AB=AC ，AD 是△ABC 的中线，∴AD ⊥BC ，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12×120°=60°， ∵AE 是∠BAD 的角平分线，∴∠DAE=∠EAB=12∠BAD=12×60°=30°， ∵DF//AB ，∴∠F=∠BAE=30°，∴∠DAE=∠F=30°，∴AD=DF ，∵∠B=90°-60°=30°，∴AD=12AB=12×12=6， ∴DF=6，故选：C ．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质是解题的关键．14．分解因式：229x y -=__．【答案】(3)(3)x y x y +-．【解析】直接利用平方差公式进行分解即可．【详解】原式(3)(3)x y x y =+-，故答案为：(3)(3)x y x y +-．【点睛】本题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．15．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，这个多边形是_____边形．【答案】九．【解析】设这个多边形是n 边形，由题意得，n ﹣2=7，解得：n=9，即这个多边形是九边形，故答案是：九．16．当x=______，分式221x x -+的的值为零。