第4课时—— 余弦定理(1)(配套作业)

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课时作业12：6.4.3 第四课时正、余弦定理在几何中的应用

第四课时正、余弦定理在几何中的应用基础达标一、选择题1.在△ABC 中，若c ＝2a cos B ，则△ABC 的形状一定是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形解析 ∵c ＝2a cos B ，由正弦定理得， 2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0，又∵－π<A －B <π， ∴A －B ＝0， ∴A ＝B .∴△ABC 是等腰三角形. 答案 C2.在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π 解析设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则由已知及正弦定理得a 2≤b 2＋c 2－bc . 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，则cos A ≥12.∵0<A <π， ∴0<A ≤π3.故选C. 答案 C3.在△ABC 中，若满足sin 2A ＝sin 2B ＋3sin B ·sin C ＋sin 2C ，则A 等于( )A.30°B.60°C.120°D.150°解析设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， ∵sin 2A ＝sin 2B ＋3sin B ·sin C ＋sin 2C ， ∴由正弦定理得a 2＝b 2＋c 2＋3bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－32，又∵0°<A <180°，∴A ＝150°. 答案 D4.已知三角形的面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( ) A.1 B.2 C.12D.4解析设三角形外接圆半径为R ，则由πR 2＝π，得R ＝1.由三角形面积S ＝12ab sin C ＝abc 4R ＝abc 4＝14，∴abc ＝1. 答案 A5.已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( ) A.10 B.9 C.8D.5 解析化简23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，解得cos A ＝15.由余弦定理，知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入数据，得b ＝5. 答案 D 二、填空题6.在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析 ∵cos C ＝13，C ∈(0，π)，∴sin C ＝223， ∴12ab sin C ＝43，∴b ＝2 3.答案237.在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝________.解析∵b＝2a，∴sin B＝2sin A，又∵B＝A＋60°，∴sin(A＋60°)＝2sin A，即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A，化简得sin A＝33cos A，∴tan A＝3 3，又∵0°<A<180°，∴A＝30°.答案30°8.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为315，b－c＝2，cos A＝－14，则a的值为________.解析因为cos A＝－14，0<A<π，所以sin A＝1－cos2A＝15 4.由315＝12bc sin A得bc＝24.又因为b－c＝2，所以b＝6，c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝36＋16＋12＝64.故a＝8.答案8三、解答题9.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，角C是钝角，且sin B＝b2c.(1)求角C的值；(2)若b＝2，△ABC的面积为3，求c的值.解(1)由sin B＝b2c得2c sin B＝b，由正弦定理得2sin C sin B ＝sin B ，所以sin B (2sin C －1)＝0. 因为sin B ≠0，所以sin C ＝12. 因为C 是钝角，所以C ＝5π6.(2)由S ＝12ab sin C ＝12a ＝3，得a ＝23，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝12＋4－2×23×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝28，即c 的值为27.10.在△ABC 中，三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＝(2c －b )cos A .(1)求角A ：(2)若b ＝3，点M 在线段BC 上，AB→＋AC →＝2AM →，|AM →|＝372，求△ABC 的面积. 解 (1)因为a cos B ＝(2c －b )cos A ，故由正弦定理，得sin A cos B ＝(2sin C －sin B )cos A ，即sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos A ，整理得sin C ＝2sin C cos A ，因为在△ABC 中，sin C ≠0，所以cos A ＝12.由于A ∈(0，π)，可得A ＝π3. (2)AB→＋AC →＝2AM →，两边平方，得AB→2＋AC →2＋2AB →·AC →＝4AM →2.由b ＝3，|AM→|＝372，cos A ＝12，得c 2＋9＋2×c ×3×12＝63，解得c ＝6或c ＝－9(舍去)，所以△ABC 的面积S ＝12×6×3×32＝932.能力提升11.已知锐角△ABC 中，A ＝2B ，AC ＝2，则BC 的范围为( ) A.(22，23) B.(2，3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，32D.[22，23]解析由正弦定理得BC sin A ＝2sin B ，所以BC 2sin B cos B ＝2sin B ，即BC ＝4cos B ，又△ABC 是锐角三角形，所以90°<A ＋B <180°且A <90°，所以30°<B <45°，所以22<cos B <32，所以22<BC <23，故选A. 答案 A12.某市欲建一个圆形公园，现规划设立A ，B ，C ，D 四个出入口(在圆周上)，并以直路顺次连通，其中A ，B ，C 的位置已确定.已知AB ＝2，BC ＝6，∠ABC ＝θ，如图所示.请你为规划部门解决以下问题：(1)如果DC ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积； (2)如果圆形公园的面积为28π3，求cos θ的值. 解 (1)∵∠ADC ＋∠ABC ＝π， ∴cos ∠ADC ＝－cos θ.连接AC .在△ABC 和△ADC 中分别使用余弦定理，可得AC 2＝22＋62－2×2×6×cos θ＝42＋42－2×4×4×(－cos θ)，解得cos θ＝17， ∴sin ∠ADC ＝sin θ＝437， ∴四边形ABCD 的面积S ＝S △ABC ＋S △ADC ＝12 (BA ·BC ＋DA ·DC )sin θ＝12 (2×6＋4×4)×437＝8 3.(2)∵圆形公园的面积为28π3，∴圆形公园的半径R ＝2213.在△ABC 中，由正弦定理，可知AC ＝2R sin θ＝4213sin θ. 由余弦定理，可知AC 2＝22＋62－2×2×6×cos θ＝40－24cos θ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫4213sin θ2＝40－24cos θ，化简得14cos 2θ－9cos θ＋1＝0，解得cos θ＝12或cos θ＝17.创新猜想13.(多选题)在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是( ) A.2 3 B. 3 C.3 3D.43解析在△ABC 中，因为B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，所以由AC sin B ＝AB sin C ，得sin C ＝AB ·sin B AC ＝32，又因为AB ·sin 30°<AC <AB ，所以C 有两解，所以C ＝60°或C ＝120°. 由三角形内角和定理得A ＝90°或A ＝30°. 由面积公式S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ，所以S △ABC ＝3或S △ABC ＝2 3. 答案 AB14.(多空题)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34.(1)则1tan A ＋1tan C 的值为________； (2)设BA →·BC →＝32，则a ＋c 的值为________. 解析 (1)由cos B ＝34，B ∈(0，π)，得sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74. 由b 2＝ac 及正弦定理，得sin 2B ＝sin A sin C .于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin （A ＋C ）sin 2B ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477.(2)由BA→·BC →＝32，得ca ·cos B ＝32，由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5， ∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，又∵a >0，c >0，∴a ＋c ＝3. 答案 (1)477 (2)3。

《余弦定理》教案(含答案)

《余弦定理》教案（含答案）章节一：余弦定理的定义与表达式教学目标：1. 了解余弦定理的定义及其在几何中的应用。

2. 掌握余弦定理的表达式。

3. 能够运用余弦定理解决实际问题。

教学内容：1. 余弦定理的定义。

2. 余弦定理的表达式：a^2 = b^2 + c^2 2bccosA。

3. 余弦定理的应用实例。

教学活动：1. 引入余弦定理的概念，通过几何图形引导学生理解余弦定理的定义。

2. 推导余弦定理的表达式，并通过实例解释其含义。

3. 运用余弦定理解决实际问题，如已知三角形两边和夹角，求第三边的长度。

作业布置：1. 复习余弦定理的定义和表达式。

2. 完成课后练习题，如已知三角形ABC中，AB = 5cm，BC = 8cm，AC = 10cm，求角A的余弦值。

章节二：余弦定理的应用教学目标：1. 掌握余弦定理在三角形中的应用。

2. 能够运用余弦定理解决三角形的不全信息问题。

教学内容：1. 余弦定理在三角形中的应用。

2. 余弦定理解决三角形不全信息问题的方法。

教学活动：1. 通过几何图形引导学生理解余弦定理在三角形中的应用。

2. 讲解余弦定理解决三角形不全信息问题的方法，如已知两边和夹角，求第三边和两个角。

作业布置：1. 复习余弦定理在三角形中的应用。

2. 完成课后练习题，如已知三角形ABC中，AB = 5cm，BC = 8cm，角A = 30°，求AC的长度。

章节三：余弦定理在实际问题中的应用教学目标：1. 了解余弦定理在实际问题中的应用。

2. 能够运用余弦定理解决实际问题。

教学内容：1. 余弦定理在实际问题中的应用实例。

2. 运用余弦定理解决实际问题的方法。

教学活动：1. 通过实际问题引导学生理解余弦定理的应用。

2. 讲解运用余弦定理解决实际问题的方法，如测量三角形的边长和角度。

作业布置：1. 复习余弦定理在实际问题中的应用。

2. 完成课后练习题，如已知三角形ABC中，AB = 5cm，BC = 8cm，角A = 30°，求AC的长度。

高中数学 2.1.2 余弦定理(一)课时作业北师大版必修5

1.2 余弦定理(一)课时目标1.熟记余弦定理及其推论；2.能够初步运用余弦定理解斜三角形．1．余弦定理三角形任何一边的________等于其他两边________的和减去这两边与它们的________的余弦的积的________．即a2＝________________，b2＝________________，c2＝____. 2．余弦定理的推论cos A＝________________；cos B＝______________；cos C＝________________. 3．在△ABC中：(1)若a2＋b2－c2＝0，则C＝________；(2)若c2＝a2＋b2－ab，则C＝________；(3)若c2＝a2＋b2＋2ab，则C＝________.一、选择题1．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于( )A. 3 B．3C. 5 D．52．在△ABC中，a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为( )A.π3B.π6C.π4D.π123．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( )A ．1B . 2C ．2D ．44．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A .14 B .34 C .24 D .235．在△ABC 中，sin 2A2＝c －b 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形6．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为( )A ．135°B ．45°C ．60°D ．120°二、填空题7．在△ABC 中，若a 2－b 2－c 2＝bc ，则A ＝________.8．△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________.9．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2(a>0，b>0)，则最大角为________． 10．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________.三、解答题11．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．12．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos (A ＋B)＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长；(3)求△ABC 的面积．能力提升13．在△A BC中，AB＝2，AC＝6，BC＝1＋3，AD为边BC上的高，则AD的长是________．14．在△ABC中，a cos A＋b cos B＝c cos C，试判断三角形的形状．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两边和夹角，解三角形． (2)已知三边求三角形的任意一角． 2．余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．1．2 余弦定理(一)答案知识梳理1．平方平方夹角两倍 b 2＋c 2－2bc cos A c 2＋a 2－2ca cos B a 2＋b 2－2ab cos C 2.b 2＋c 2－a 22bc c 2＋a 2－b 22ca a 2＋b 2－c 22ab 3.(1)90° (2)60° (3)135°作业设计 1．A2．B [∵a>b>c ，∴C 为最小角，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c22ab ＝72＋432－1322×7×43＝32. ∴C＝π6.]3．C [b cos C ＋c cos B ＝b·a 2＋b 2－c 22ab ＋c·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a22a＝a ＝2.]4．B [∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a·2a ＝34.]5．B [∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c ，∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理．故△ABC 为直角三角形．]6．B [∵S＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C.由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴C＝45° .] 7．120° 8．30°解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋42－2×2×4×cos 60°＝12 ∴c＝2 3.由正弦定理：a sin A ＝c sin C 得sin A ＝12.∵a<c，∴A<60°，A ＝30°. 9．120°解析易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－a 2＋ab ＋b 222ab ＝－12，∴θ＝120°. 10．－2 3解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝3，∴c＝4.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，sin C ＝1213，∴tan C ＝－12＝－2 3.11．解由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49⇒x ＝7.所以，所求中线长为7.12．解 (1)cos C ＝cos [π－(A ＋B)]＝－cos (A ＋B)＝－12，又∵C∈(0°，180°)， ∴C＝120°.(2)∵a，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b)2－ab ＝10， ∴AB＝10.(3)S △ABC ＝12ab sin C ＝32.13. 3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC×AC ＝22，∴sin C ＝22.∴AD＝AC·sin C ＝ 3. 14．解由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c22ab，代入已知条件得a·b 2＋c 2－a 22bc ＋b·a 2＋c 2－b 22ac ＋c·c 2－a 2－b 22ab ＝0，通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0，展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4. ∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2.根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．。

余弦定理导学案及课时作业(经典)

§1.1.2余弦定理【情景导入】在△ABC 中，已知10c =，A =45︒，C =30︒，解此三角形．思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？学习过程（一）自主探究阅读教材，探索讨论余弦定理及其推导过程：（用向量来证明）1．叙述余弦定理的内容2．写出余弦定理的推论来[问题] 1.余弦定理与勾股定理有怎样的关系？2.观察余弦定理及其推论，我们可以用它们来解决哪类有关三角形的问题。

3. 在△ABC 中，若222c b a +<，则A 为________角，反之亦成立；若222c b a +=，则A 为________角，反之亦成立；若222c b a +>，则A 为_______角，反之亦成立（二）合作探讨类型一已知两边及夹角解三角形例1、△ABC中，a =2c =，150B = ，求b ．变式：在ABC ∆中，已知7=a ，8=b ，1413cos =C ，求边cA B类型二已知两边及一边的对角解三角形例2.在△ABC 中，已知a b 45B = ，求,A C 和c ．变式：在△ABC 中，若AB AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________．规律总结：类型三已知三边解三角形例3、在△ABC 中，已知34,326,62=+==c b a ，求角A ，B ，C 。

变式1：在△ABC 中，已知三边长3a =，4b =，c =，求三角形的最大内角．变式2：在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A ．类型四判断三角形的形状例3：在∆ABC 中，已知bc a c b c b a 3))((=-+++，且C B A cos sin 2sin =，试确定∆ABC的形状。

变式：在∆ABC 中，已知A a C c B b cos cos cos =+,试判断∆ABC 的形状。

完成课时作业（二）§1.1.2余弦定理1、在ABC ∆中，若0222>--b a c ，则（）A 、一定是锐角三角形B 、一定是直角三角形C 、一定是钝角三角形D 、是锐角或直角三角形2、在ABC ∆中，7:5:3::=c b a ，则ABC ∆的最大角是（）A 、30°B 、60°C 、90°D 、120°3、在ABC ∆中，13,34,7===c b a ，则ABC ∆的最小角为（）A 、3πB 、6πC 、4πD 、12π 4、在ABC ∆中，若ac c a b ++=222，则B ∠为（）A 、60°B 、45°或135°C 、120°D 、30°5、在ABC ∆中，已知)(2222444b a c c b a +=++，则C 等于（）A 、30°B 、60°C 、45°或135°D 、120°6、在ABC ∆中，已知2,2=-=-c b b a ，且最大角的正弦值是23，则ABC ∆的面积是 A 、3415 B 、415 C 、4321 D 、4335 （） 7、已知ABC ∆中，1,3==AC AB ，且 30=B ，则ABC ∆的面积等于（） A 、23 B 、43 C 、23或3 D 、43或23 8、在ABC ∆中，135cos ,53sin ==B A ，则cosC= （） A 、6516 B 、6556 C 、6516或6556 D 、以上皆对 9.三角形两边之差为2，夹角的余弦值为53，该三角形的面为14，则这两边分别为（） A 、3和5 B 、4和6 C 、5和7 D 、6和810. 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（） A. 185 B. 43 C. 23 D. 87 11．已知C a b sin =，B a c cos =，则ABC ∆一定是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形12．若钝角三角形的边长为连续自然数n ，1+n ，2+n ，则三边长为（）A ．1，2，3B ．2，3，4C ．3，4，5D ．4，5，613. 在△ABC 中，已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab ，且2cosAsinB=sinC,则△ABC 的形状为14.在∆ABC 中，22()1a b c bc--=,则∠A =15.已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的外接圆半径为__________16.在ABC ∆中，5=AB ，7=AC ，8=BC ，则=∙____________________．17.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边长，若a 2＋c 2＝b 2＋ac 且a c ＝ 3 ＋12，求角C 的大小.18.在△AB C 中，A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知C ab B ca A bc c cos cos cos 2++=（1）试判断△AB C 的形状；（2）若9,3=⋅-=⋅AC AB BC AB ，求角B 的大小。

高中数学《余弦定理》课时作业

1.1.2余弦定理课时作业一、选择题1.在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( )A.1B. 2C.2D.4 2.在△ABC 中，已知B ＝120°，a ＝3，c ＝5，则b 等于( )A.4 3B.7C.7D.53.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( )A.90°B.120°C.135°D.150°4.在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( )A.14B.34C.24D.235.若△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( )A.19B.14C.－18D.－196.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2A sin C等于( ) A.1 B.2 C.12 D.347.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从点O 沿OD 走到点D 用了2 min ，从点D 沿DC 走到点C 用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min ，则该扇形的半径为( )A.50 mB.45 mC.507 mD.47 m8.若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( ) A.43 B.8－4 3 C.1 D.23二、填空题9.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2<c 2，且sin C ＝32，则C ＝ . 10.在△ABC 中，A ＝60°，最大边长与最小边长是方程x 2－9x ＋8＝0的两个实根，则边BC 的长为 .11.在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是 .三、解答题12.在△ABC 中，已知A ＝120°，a ＝7，b ＋c ＝8，求b ，c .13.在△ABC中，a2＋c2＝b2＋2ac.(1)求B的大小；(2)求2cos A＋cos C的最大值.四、探究与拓展14.已知a，b，c是△ABC的三边长，若直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1无公共点，则△ABC的形状是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定考点判断三角形形状题点利用余弦定理判断三角形形状15.在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，则AC边上的中线长为.。

课时作业4：习题课正弦定理和余弦定理

习题课正弦定理和余弦定理一、基础达标1．在钝角△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则最大边c 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(2,3)C ．(5，3)D ．(22，3)答案 C解析在钝角△ABC 中，由于最大边为c ，所以角C 为钝角．所以c 2>a 2＋b 2＝1＋4＝5，即c > 5.又因c <a ＋b ＝1＋2＝3，所以5＜c ＜3.2．在△ABC 中，已知a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，则角C 等于( )A ．30°B ．60°C ．45°或135°D ．120°答案 C解析由a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)⇒(a 2＋b 2－c 2)2＝2a 2b 2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝±22，∴C ＝45°或135°.3．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c, 若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 B解析因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A sin A .即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝sin A sin A ，所以sin A ＝1，A ＝π2.所以△ABC 为直角三角形．故选B.4．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，已知b 2＝c (b ＋2c )，若a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积等于( )A.17B.15C.152 D ．3 答案 C解析 ∵b 2＝c (b ＋2c )，∴b 2－bc －2c 2＝0，即(b ＋c )·(b －2c )＝0，∴b ＝2c .又a ＝6，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝78，解得c ＝2，b ＝4. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×1－(78)2＝152. 故选C.5．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝ . 答案 2 3解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝223，∴12ab sin C ＝43，∴b ＝2 3. 6．已知锐角三角形的三边长分别为2,3，x ，则x 的取值范围是．答案 (5，13)解析 x 满足：⎩⎪⎨⎪⎧ 1<x <5，22＋32－x 2>0，22＋x 2－32>0，解得5<x <13.7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，求A 的值．解 ∵B ＝A ＋60°，∴sin B ＝sin(A ＋60°)，sin B ＝12sin A ＋32cos A . 又b ＝2a,2R sin B ＝4R sin A (R 为△ABC 外接圆半径)，∴sin B ＝2sin A ，∴2sin A ＝12sin A ＋32cos A,3sin A ＝3cos A ， ∴tan A ＝33，又∵0°<A <180° ，∴A ＝30°. 8．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，求sin C 的值．解设BD ＝a ，则BC ＝2a ，AB ＝AD ＝32a . 在△ABD 中，由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝(32a )2＋(32a )2－a 22×32a ·32a ＝13. 又∵A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝223.在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin A ＝AB sin C， ∴sin C ＝AB BC ·sin A ＝32a 2a ·223＝66. 二、能力提升9．在△ABC 中，a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b 且a >b ，则B 等于( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6答案 A解析由正弦定理，得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B ，即sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，sin(A ＋C )＝12，即sin B ＝12.∵a >b ，∴B ＝π6. 10．在△ABC 中， ∠ABC ＝π4，BA ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC 等于( ) A.1010 B.105 C.31010 D.55答案 C解析由余弦定理，得AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC cos ∠ABC ＝5，则AC ＝ 5.由正弦定理，得BC sin ∠BAC ＝AC sin ∠ABC ，即3sin ∠BAC ＝5sin π4.所以sin ∠BAC ＝31010. 11．在△ABC 中，若lg a －lg c ＝lg sin A ＝－lg 2，并且A 为锐角，则△ABC 为三角形．答案直角解析 ∵lg a －lg c ＝lg sin A ＝－lg 2，∴a c ＝sin A ＝22. ∵A 为锐角，∴A ＝45°，由正弦定理得：sin C ＝c asin A ＝2×sin 45°＝1，∴C ＝90°. 12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R )，且ac ＝14b 2.(1)当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值； (2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．解 (1)由题设并由正弦定理，得a ＋c ＝pb ，∴a ＋c ＝54. 由⎩⎨⎧ a ＋c ＝54，ac ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，c ＝14或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，c ＝1. (2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝p 2b 2－12b 2－12b 2cos B ，即p 2＝32＋12cos B . ∵0<cos B <1，∴p 2∈(32，2)，由题设知p >0，∴62<p < 2. 三、探究与创新13．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34. (1)求1tan A ＋1tan C 的值； (2)设BA →·BC →＝32，求a ＋c 的值．解 (1)由cos B ＝34得sin B ＝ 1－⎝⎛⎭⎫342＝74，由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C .于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin (A ＋C )sin 2B ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477. (2)由BA →·BC →＝32得ca ·cos B ＝32，由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2. 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a＋c＝3.。

【优化指导】高中数学(基础预习+课堂探究+达标训练)8.2 余弦定理第1课时湘教版必修4

8.2 余弦定理第1课时余弦定理3．能够利用余弦定理解三角形.余弦定理(1)三角形的一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦值乘积的两倍，这个结论叫作三角形的余弦定理．即a 2＝________________， c 2＝________________， b 2＝________________. (2)余弦定理的其他形式： cos A ＝________________， cos B ＝________________， cos C ＝________________. 预习交流1利用余弦定理可以解决哪几类解三角形问题？预习交流2余弦定理和勾股定理的关系是怎样的？预习交流3怎样用余弦定理判断三角形的内角是锐角、直角还是钝角？(1)b 2＋c 2－2bc cos A a 2＋b 2－2ab cos C a 2＋c 2－2ac cos B (2)b 2＋c 2－a 22bc a 2＋c 2－b 22aca 2＋b 2－c 22ab预习交流1：提示：根据余弦定理及余弦定理的变形，可知用余弦定理可以解决三类解斜三角形问题：(1)已知三角形的三边，求三个角；(2)已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；(3)已知三角形的两边及其中一边的对角，求第三边和其他两个角．预习交流2：提示：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系．勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．预习交流3：提示：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角为直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．一、已知两边及其夹角，解三角形在△ABC中，已知a＝23，b＝3，C＝30°，解此三角形．思路分析：先由余弦定理求出c边长度，再用余弦定理的变形求出角A和B．1．在△ABC中，b＝8，c＝3，A＝60°，则a＝( )．A．2 B．4C．7 D．92．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝120°，则△ABC的周长为__________．1．运用余弦定理的前提是熟记余弦定理，熟悉公式的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等．2．已知两边及其夹角解三角形时，首先是运用余弦定理求出第三边长度，然后再用余弦定理的变形求出其余两个角，当然，也可以运用正弦定理求解．二、已知三边，解三角形在△ABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求此三角形三个角的余弦值并判定其形状．思路分析：由余弦定理的变形可直接求出三个内角的余弦值，然后根据内角余弦值的正负判断内角的范围，从而确定三角形形状．1．在△ABC中，c＝5，a＝6，b＝8，则△ABC的形状是( )．A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．非钝角三角形2．在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，则△ABC的最大角是( )．A．30° B．60° C．90° D．120°1．在解三角形问题时，注意“大边对大角，大角对大边，等角对等边，等边对等角”的应用．2．若一个三角形中有一个角是钝角(最大角)，则该三角形是钝角三角形，只有当一个三角形的三个内角都是锐角时，这个三角形才是锐角三角形．三、已知两边及一角，解三角形在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，解此三角形．思路分析：由于两边及一边对角已知，可利用正弦定理求出另一角，再求出其余的边和角；也可以根据余弦定理，建立关于边a的方程，通过解方程求出a，再用余弦定理的变形求出其余的角．(2012湖南高考，文8)在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于( )．A ．32 B ．332 C ．3＋62 D ．3＋394已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的方法如下：可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边(注意边的取舍)，再利用正弦定理求其他的两个角；也可以由正弦定理求出第二个角(注意角的取舍)，再利用三角形内角和定理求出第三个角，最后再利用正弦定理求出第三边．1．在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则c 的值等于( )． A ．217 B ．219 C ．17 D ．192．在△ABC 中，已知a 2－c 2＋b 2＝ab ，则C ＝( )． A ．60° B ．45°或135° C ．120° D．30°3．若三角形三边长之比是1∶3∶2，则其所对角之比为( )． A ．1∶2∶3 B ．1∶3∶2 C ．1∶2∶ 3 D ．2∶3∶24．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两根，C ＝120°，则c ＝______. 5．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，解此三角形．答案：活动与探究1：解：由余弦定理：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝12＋9－2×23×3×32＝3，∴c ＝ 3.∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋3－1263＝0.∴A ＝90°.∴B ＝180°－30°－90°＝60°.迁移与应用：1．C 解析：由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝64＋9－2×8×3×12＝49，所以a＝7.2． 3＋7 解析：由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝7，所以c ＝7，于是△ABC 的周长为1＋2＋7＝3＋7.活动与探究2：解：由余弦定理的推论可得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝100＋36－49120＝2940，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝49＋36－10084＝－528，s cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝49＋100－36140＝113140，由cos B ＝－528＜0可知B 为钝角，所以△ABC为钝角三角形．迁移与应用：1．C 解析：显然b 边最长，且cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝25＋36－642×5×6＝－120＜0，所以B 为钝角，因此△ABC 为钝角三角形．2．D 解析：依题意可得c 边最长，所以角C 最大，且cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9＋25－492×3×5＝－12，于是C ＝120°. 活动与探究3：解：(解法一)由正弦定理b sin B ＝c sin C ，即312＝33sin C ，解得sin C ＝32，因为c ＞b ，所以C ＝60°或120°，当C ＝60°时，A ＝90°，△ABC 为直角三角形，此时a ＝b 2＋c 2＝6；当C ＝120°时，A ＝30°，A ＝B ，所以a ＝b ＝3.(解法二)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得32＝a 2＋(33)2－2×33a ×cos 30°，化简可得a 2－9a ＋18＝0，解得a ＝6或a ＝3.当a ＝6时，由正弦定理得sin A ＝a sin Bb＝1，∴A ＝90°，C ＝60°；当a ＝3时，由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝32，∴A ＝30°，C ＝120°.迁移与应用：B 解析：在△ABC 中，由余弦定理可知：AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，即7＝AB 2＋4－2×2×AB ×12.整理得AB 2－2AB －3＝0.解得AB ＝－1(舍去)或AB ＝3.故BC 边上的高AD ＝AB ·sin B ＝3×sin 60°＝332.当堂检测1．B 解析：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝42＋62－2×4×6×cos 120°＝76，∴c ＝219.2．A 解析：由a 2－c 2＋b 2＝ab 得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，故C ＝60°.3．A 解析：不妨设三边a ＝m ，b ＝3m ，c ＝2m ，于是a 2＋b 2＝c 2，所以C ＝π2，从而可得A ＝π6， B ＝π3，于是A ∶B ∶C ＝π6∶π3∶π2＝1∶2∶3.4．23 解析：依题意得a ＋b ＝5，ab ＝2，于是c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos C ＝25－4＋2＝23，故c ＝23.5．解：由余弦定理：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－82×6＋24＝8－43＝(6)2＋(2)2－43＝(6－2)2，∴c ＝6－ 2.由正弦定理a sin A ＝csin C，可得sin A ＝a sin Cc＝2×6－246－2＝12，又∵c ＜a ＜b ，∴A ＝30°，∴B ＝180°－15°－30°＝135°.。

余弦定理练习含答案

课时作业2 余弦定理时间：45分钟满分：100分课堂训练1．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝4，∠C ＝120°.则c 为( ) A.41B.61 C.41或61D.21 【答案】B【解析】c ＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝52＋42－2×5×4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝61.2．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝( )A.14B.34C.24D.23 【答案】B【解析】由b 2＝ac ，又c ＝2a ，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－a ×2a 2a ·2a ＝34.3．在△ABC 中，三个角A 、B 、C 的对边边长分别为a ＝3、b ＝4、c ＝6，则bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ＝________.【答案】612【解析】bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ＝bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＋ca ·c 2＋a 2－b 22ac ＋ab ·a 2＋b 2－c 22ab ＝12(b 2＋c 2－a 2)＋12(c 2＋a 2－b 2)＋12(a 2＋b 2－c 2)＝12(a 2＋b 2＋c 2)＝612.4．在△ABC 中：(1)a ＝1，b ＝1，∠C ＝120°，求c ； (2)a ＝3，b ＝4，c ＝37，求最大角； (3)a :b :c ＝1: 3 :2，求∠A 、∠B 、∠C . 【分析】 (1)直接利用余弦定理即可； (2)在三角形中，大边对大角； (3)可设三边为x ，3x,2x .【解析】(1)由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝12＋12－2×1×1×(－12)＝3，∴c ＝ 3.(2)显然∠C 最大，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋42－372×3×4＝－12.∴∠C ＝120°.(3)由于a :b :c ＝1: 3 :2，可设a ＝x ，b ＝3x ，c ＝2x (x >0)．由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3x 2＋4x 2－x 22·3x ·2x＝32，∴∠A ＝30°.同理cos B ＝12，cos C ＝0.∴∠B ＝60°，∠C ＝90°.【规律方法】1．本题为余弦定理的最基本应用，应在此基础上熟练地掌握余弦定理的结构特征．2．对于第(3)小题，根据已知条件，设出三边长，由余弦定理求出∠A ，进而求出其余两角，另外也可考虑用正弦定理求∠B ，但要注意讨论解的情况．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分) 1．△ABC 中，下列结论：①a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形； ②a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A 为60°； ③a 2＋b 2>c 2，则△ABC 为锐角三角形； ④若∠A :∠B :∠C ＝1:2:3，则a :b :c ＝1:2:3，其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【解析】①cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0，∴∠A 为钝角，正确；②cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，∴∠A ＝120°，错误；③cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab>0，∴∠C 为锐角，但∠A 或∠B 不一定为锐角，错误； ④∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，a :b :c ＝1: 3 :2，错误．故选A.2．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )．若p ∥q ，则∠C 的大小为( )A.π6B.π3C.π2D.23π 【答案】B【解析】∵p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )且p ∥q ， ∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0即a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12.∴∠C ＝π3.3．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∠A ＝π3，a ＝7，b ＝1，则c 等于( )A ．22B ．3C.3＋1 D ．2 3 【答案】B【解析】由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以(7)2＝1＋c 2－2×1×c ×cos π3，即c 2－c －6＝0，解得c ＝3或c ＝－2(舍)．故选B.4．在不等边三角形ABC 中，a 为最大边，且a 2<b 2＋c 2，则∠A 的取值X 围是( )A ．(π2，π)B ．(π4，π2)C ．(π3，π2)D ．(0，π2)【答案】C【解析】因为a 为最大边，所以∠A 为最大角，即∠A >∠B ，∠A >∠C ，故2∠A >∠B ＋∠C .又因为∠B ＋∠C ＝π－∠A ，所以2∠A >π－∠A ，即∠A >π3.因为a 2<b 2＋c 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0，所以0<∠A <π2.综上，π3<∠A <π2.5．在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，∠C ＝120°，则sin A 的值为( ) A.5719B.217 C.338D ．－5719 【答案】A【解析】由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ＝42＋62－2×4×6(－12)＝76，∴c ＝76.由正弦定理得a sin A ＝csin C ，即4sin A ＝76sin120°，∴sin A ＝4sin120°76＝5719.6．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，且2b ＝a ＋c ，∠B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b 等于( )A.1＋32B ．1＋ 3C.2＋32D ．2＋ 3【答案】B【解析】∵2b ＝a ＋c ，又由于∠B ＝30°， ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12ac sin30°＝32，解得ac ＝6，由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac －2ac ·cos30°＝4b 2－12－63，即b 2＝4＋23，由b >0解得b ＝1＋ 3.7．在△ABC 中，若a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，则这个三角形一定是()A ．锐角三角形或钝角三角形B ．以a 或b 为斜边的直角三角形C ．以c 为斜边的直角三角形D ．等边三角形【答案】B【解析】由余弦定理a cos A ＋b cos B ＝c cos C 可变为a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ·a 2＋b 2－c 22ab，a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＝c 2(a 2＋b 2－c 2) a 2b 2＋a 2c 2－a 4＋b 2a 2＋b 2c 2－b 4＝c 2a 2＋c 2b 2－c 42a 2b 2－a 4－b 4＋c 4＝0， (c 2－a 2＋b 2)(c 2＋a 2－b 2)＝0， ∴c 2＋b 2＝a 2或a 2＋c 2＝b 2， ∴以a 或b 为斜边的直角三角形．8．若△ABC 的周长等于20，面积是103，∠A ＝60°，则BC 边的长是( )A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C【解析】依题意及面积公式S ＝12bc sin A ，得103＝12bc ×sin60°，即bc ＝40.又周长为20，故a ＋b ＋c ＝20，b ＋c ＝20－a .由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，故a 2＝(20－a )2－120，解得a ＝7. 二、填空题(每小题10分，共20分)9．在△ABC 中，三边长AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为________．【答案】－19【解析】由余弦定理可求得cos B ＝1935，∴AB→·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝－|AB→|·|BC →|·cos B ＝－19. 10．已知等腰三角形的底边长为a ，腰长为2a ，则腰上的中线长为________．【答案】62a【解析】如图，AB ＝AC ＝2a ，BC ＝a ，BD 为腰AC 的中线，过A作AE ⊥BC 于E ，在△AEC 中，cos C ＝EC AC ＝14，在△BCD 中，由余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos C ，即BD 2＝a 2＋a 2－2×a ×a ×14＝32a 2，∴BD ＝62a .三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．在△ABC 中，已知b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B ·cos C ，试判断三角形的形状．【分析】解决本题，可分别利用正弦定理或余弦定理，把问题转化成角或边的关系求解．【解析】方法一：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，R 为△ABC外接圆的半径，将原式化为8R 2sin 2B sin 2C ＝8R 2sin B sin C cos B cos C . ∵sin B sin C ≠0，sin B sin C ＝cos B cos C ，即cos(B ＋C )＝0，∴∠B ＋∠C ＝90°，∠A ＝90°，故△ABC 为直角三角形．方法二：将已知等式变为b 2(1－cos 2C )＋c 2(1－cos 2B )＝2bc cos B cos C .由余弦定理可得：b 2＋c 2－b 2·(a 2＋b 2－c 22ab )2－c 2(a 2＋c 2－b22ac)2＝2bc ·a 2＋b 2－c 22ab ·a 2＋c 2－b 22ac.即b 2＋c 2＝[a 2＋b 2－c 2＋a 2＋c 2－b2]24a 2也即b 2＋c 2＝a 2，故△ABC 为直角三角形．【规律方法】在利用正弦定理实施边角转化时，等式两边a ，b ，c 及角的正弦值的次数必须相同，否则不能相互转化．12．(2013·全国新课标Ⅰ，理)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .【解析】(1)由已知得，∠PBC ＝60°，∴∠PBA ＝30°，在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝3＋14－2×3×12cos30°＝74，∴PA＝72. (2)设∠PBA ＝α，由已知得，PB ＝sin α，在△PBA 中，由正弦定理得3sin150°＝sin αsin 30°－α，化简得，3cos α＝4sin α，∴tan α＝34，∴tan ∠PBA ＝34.。

苏教版数学必修五：1.2余弦定理(一)作业纸

课题：§1.2余弦定理（一）总第____课时班级_______________姓名_______________1．已知△ABC 中，7,5,3a b c ===，则= .2．在锐角三角形中，角A 、B 满足03)sin(2=-+B A ，则角C = .3．已知△ABC 中，o60=A ，最大边和最小边的长是方程0892=+-x x 的两实根，则边长BC 是 .4．在中，，则最大角的余弦值是 . 5．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝109，则BC ＝ . 6．已知△ABC ，31,2,2+===c b a ，则A= .7．已知三角形的两边分别为4和5，它们夹角的余弦是方程02322=-+x x 的根，则第三边长是 .8．△ABC 中已知∠A=60°，AB ：AC=8：5，面积为103，则其周长为 . 9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若三角形的面积S =41(a 2+b 2－c 2)，则∠C 的度数是_______．10．已知△ABC ，其面积S △ABC ＝312，bc ＝48，b – c ＝2，则a= ．A ABC ∆1413cos ,8,7===C b a11．在△ABC 中，已知o 150,2,33===B c a ，求b 的长和△ABC 的面积12．根据下列条件，判断△ABC 的形状：（1） C A B sin sin cos 2=⋅;（2）222)cos cos (A b B a b a +=-13. 已知圆内接四边形ABCD 中，AB=2，BC=6，AD=CD=4，如何求四边形ABCD 的面积？三、作业错误分析及订正：1．填空题错误分析：[错误类型分四类：①审题错误；②计算错误；③规范错误；④知识_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 3．解答题订正：。

苏教版高中数学必修五第4课时——余弦定理(1)(配套作业).docx

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鑫达捷第4课时余弦定理（1）
分层训练
1．在△ABC 中，若bc c b a ++=222，则∠A=（）
A 030
B 060
C 0120
D 0150
2．三角形三边的比为4:3:2，则三角形的形状为（）
A 锐角三角形
B 直角三角形
C 钝角三角形
D 都有可能
3．在△ABC 中，31
cos =A ，3=a ，则bc 的
最大值为（） A 2 B 3 C 3 D 49
4．在△ABC 的三内角A 、B 、C 的对应边分别为a ，b ，c ，当ac b c a +≥+222时，角B 的取值范围为
5．△ABC 中，若
（6:5:4)(:)(:)=+++b a a c c b ，则△ABC 的最小内角为（精确到10）
6．在△ABC 中，sinA ∶sinB ∶sinC=2∶3∶4，则B 的余弦值为。

7．△ABC 中，BC=10，周长为25，则cosA 的最小值是。

8．在△ABC 中，已知A>B>C ，且C A 2=，b=4，a +c =8,求a ，c 的长。

9．如图：在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD=10，AB=14，∠BDA=060，∠BCD=0135，求BC 的长。

拓展延伸
10．在△ABC 中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角。

（1）求最大角；（2）求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积。

11．已知△ABC 中，C A B +=2，ac b =2，证明：△ABC 为等边三角形。

本节学习疑点：。

《余弦定理》教案(含答案)

《余弦定理》教案（含答案）第一章：余弦定理的定义与基本概念教学目标：1. 了解余弦定理的定义及其在几何中的应用。

2. 掌握余弦定理的表达式。

3. 能够运用余弦定理解决简单的问题。

教学内容：1. 余弦定理的定义：在一个三角形中，任意一边的长度平方等于其他两边长度平方的和减去这两边长度与它们夹角的余弦值的乘积的两倍。

2. 余弦定理的表达式：c²= a²+ b²2ab cos(C)，其中c为斜边，a和b为其他两边，C为斜边与a边的夹角。

教学活动：1. 引入三角形的基本概念，引导学生思考三角形中边与角之间的关系。

2. 给出余弦定理的定义，通过示例解释余弦定理的含义和应用。

3. 推导余弦定理的表达式，并解释各符号的含义。

4. 引导学生进行实际例题的计算，巩固余弦定理的应用。

作业：a. ∠A = 30°, a = 5, b = 12b. ∠B = 45°, b = 8, c = 10第二章：余弦定理在直角三角形中的应用教学目标：1. 掌握余弦定理在直角三角形中的应用。

2. 能够解决直角三角形中涉及边长和角度的问题。

教学内容：1. 直角三角形的特殊性质：在一个直角三角形中，余弦定理可以简化为c²= a ²+ b²（其中c为斜边，a和b为直角边）。

2. 利用余弦定理解决直角三角形中的问题：通过已知的边长和角度，求解其他边长和角度。

教学活动：1. 回顾直角三角形的基本概念，引导学生思考直角三角形中边与角之间的关系。

2. 给出余弦定理在直角三角形中的应用，通过示例解释余弦定理在直角三角形中的简化形式。

3. 引导学生进行实际例题的计算，巩固余弦定理在直角三角形中的应用。

作业：a. ∠A = 30°, a = 3, 求解b和c的值。

b. ∠B = 45°, b = 5, 求解a和c的值。

第三章：余弦定理在非直角三角形中的应用教学目标：1. 掌握余弦定理在非直角三角形中的应用。

余弦定理练习题（含答案）

余弦定理定义及公式余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。

是勾股定理在一般三角形情形下的推广。

a²=b²+c²-2bccosA余弦定理证明如上图所示，△ABC，在c上做高，根据射影定理，可得到：将等式同乘以c得到：运用同样的方式可以得到：将两式相加：向量证明正弦定理和余弦定理正弦定理　a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（1）已知三角形的两角与一边，解三角形（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形（3）运用a ：b ：c=sinA ：sinB ：sinC 解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值余弦定理练习题1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝，那么AC 等于( )13A ．6 B ．2 C ．3 D ．46662．在△ABC 中，a ＝2，b ＝－1，C ＝30°，则c 等于( )3A. B. C. D ．23253．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A 等于( )3A ．60° B ．45° C ．120° D ．150°4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ac ，则∠B 的值为( )3A. B. C.或 D.或π6π3π65π6π32π35．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．以上均不对6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定7．已知锐角三角形ABC 中，||＝4，||＝1，△ABC 的面积为，则·的值为( )AB → AC → 3AB → AC → A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－48．在△ABC 中，b ＝，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )3A. B ．2 C.或2 D ．233339．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(－1)∶(＋1)∶，求最大角的度数．331011．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝5，则边c 的值为3________．12．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.13．在△ABC 中，a ＝3，cos C ＝，S △ABC ＝4，则b ＝________.213314．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则·的值为________．AB → BC → 15．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝，则角C ＝________.a 2＋b 2－c 2416．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．17．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－2x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的3长．18．已知△ABC 的周长为＋1，且sin A ＋sin B ＝sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为sin 2216C ，求角C 的度数．19．在△ABC 中，BC ＝，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －)的值．5π420．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．余弦定理答案1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝，那么AC 等于( )13A ．6 B ．26C ．3D ．466解析：选A.由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝＝6.42＋62－2×4×6×132．在△ABC 中，a ＝2，b ＝－1，C ＝30°，则c 等于( )3A. B.32C. D ．25解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝22＋(－1)2－2×2×(－1)cos30°33＝2，∴c ＝.23．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A 等于( )3A ．60° B ．45°C ．120°D ．150°解析：选D.cos ∠A ＝＝＝－，b 2＋c 2－a 22bc －3bc2bc 32∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°.4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ac ，则∠B 的值为( )3A. B.π6π3C.或D.或π65π6π32π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ac ，联想到余弦定理，代入得3cos B ＝＝·＝·.a 2＋c 2－b 22ac 321tan B 32cos Bsin B 显然∠B ≠，∴sin B ＝.∴∠B ＝或.π232π32π35．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．以上均不对解析：选C.a ·＋b ·＝＝c .a 2＋c 2－b 22ac b 2＋c 2－a 22bc 2c 22c 6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2.设增加的长度为m ，则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2，∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．7．已知锐角三角形ABC 中，||＝4，||＝1，△ABC 的面积为，则·的值为()AB → AC → 3AB →AC → A ．2 B ．－2C ．4D ．－4解析：选A.S △ABC ＝＝||·||·sin A312AB →AC →＝×4×1×sin A ，12∴sin A ＝，又∵△ABC 为锐角三角形，32∴cos A ＝，12∴·＝4×1×＝2.AB →AC → 128．在△ABC 中，b ＝，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )3A. B ．233C.或2 D ．233解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－3a ，3∴a 2－3a ＋6＝0，解得a ＝或2.3339．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝.π3在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝＝.1＋4－2×1×2×123答案：310．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(－1)∶(＋1)∶，求最大角的度数．3310解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(－1)∶(＋1)∶，3310∴a ∶b ∶c ＝(－1)∶(＋1)∶.3310设a ＝(－1)k ，b ＝(＋1)k ，c ＝k (k ＞0)，3310∴c 边最长，即角C 最大．由余弦定理，得cos C ＝＝－，a 2＋b 2－c 22ab 12又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝5，则边c 的值为3________．解析：S ＝ab sin C ，sin C ＝，∴C ＝60°或120°.1232∴cos C ＝±，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，12∴c 2＝21或61，∴c ＝或.2161答案：或216112．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，设a ＝2k (k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ，cos B ＝＝＝，a 2＋c 2－b 22ac 2k 2＋ 4k 2－ 3k 22×2k ×4k 1116同理可得：cos A ＝，cos C ＝－，7814∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4)13．在△ABC 中，a ＝3，cos C ＝，S △ABC ＝4，则b ＝________.2133解析：∵cos C ＝，∴sin C ＝.13223又S △ABC ＝ab sin C ＝4，123即·b ·3·＝4，1222233∴b ＝2.3答案：2314．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则·的值为________．AB → BC → 解析：在△ABC 中，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝49＋25－362×7×5＝，1935∴·＝||·||·cos(π－B )AB → BC → AB → BC → ＝7×5×(－)1935＝－19.答案：－1915．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝，则角C ＝________.a 2＋b 2－c 24解析：ab sin C ＝S ＝＝·12a 2＋b 2－c 24a 2＋b 2－c 22ab ab 2＝ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°.12答案：45°16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥2，k ∈N )，则Error!⇒2＜k ＜4，∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的余弦值为＝.32＋42－222×3×478答案：7817．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－2x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的3长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝，即cos C ＝－.1212又∵a ，b 是方程x 2－2x ＋2＝0的两根，3∴a ＋b ＝2，ab ＝2.3∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－)12＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab＝(2)2－2＝10，3∴AB ＝.1018．已知△ABC 的周长为＋1，且sin A ＋sin B ＝sin C .22(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为sin C ，求角C 的度数．16解：(1)由题意及正弦定理得AB ＋BC ＋AC ＝＋1，BC ＋AC ＝AB ，22两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积BC ·AC ·sin C ＝sin C ，得BC ·AC ＝，121613由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝＝，AC ＋BC 2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC 12所以C ＝60°.19．在△ABC 中，BC ＝，AC ＝3，sin C ＝2sin A .5(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －)的值．π4解：(1)在△ABC 中，由正弦定理＝，AB sin C BCsin A 得AB ＝BC ＝2BC ＝2.sin Csin A 5(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝＝，AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC 255于是sin A ＝＝.1－cos2A 55从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝，45cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝.35所以sin(2A －)＝sin 2A cos －cos 2A sin ＝.π4π4π421020．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．解：由正弦定理，得＝.sin C sin B cb 由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝＝.sin C 2sin B c2b 又根据余弦定理，得cos A ＝，所以＝，b 2＋c 2－a 22bc c 2b b 2＋c 2－a 22bc 即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a ＝b .又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2，所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ，因此△ABC 为等边三角形．。

新教材人教B版高中数学选择性必修第四册课时练习-余弦定理

课时练习(二) 余弦定理(建议用时：40分钟)一、选择题1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则△ABC 中角B 的余弦值是( )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18C [由余弦定理，得cos C ＝72＋82－c 22×7×8＝1314，得c ＝3，所以cos B ＝72＋32－822×7×3＝－17.故选C ．]2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A ．π3 B ．π6 C ．π4 D ．π12B [∵a ＞b ＞c ，∴C 为最小角，由余弦定理得 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32，∴C ＝π6.]3．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A ．14 B ．34 C ．24 D ．23B [∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a＝34.]4．在△ABC 中，若a ＝3，c ＝7，C ＝60°，则b 为( ) A ．5 B ．8 C ．5或－8D ．－5或8B [由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cosC ，即49＝9＋b 2－3b ，所以(b －8)(b ＋5)＝0. 因为b >0，所以b ＝8.]5．△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．都有可能A [由正弦定理得a 2＋b 2<c 2，∴a 2＋b 2－c 2<0，∴cos C <0，又0°<C <180°， ∴C 为钝角，△ABC 为钝角三角形．] 二、填空题6．已知在△ABC 中，a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝ .30° [由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ＝22＋42－2×2×4×12＝12， ∴c ＝2 3.由正弦定理a sin A ＝csin C 得， sin A ＝a sin C c ＝2×3223＝12.∵a ＜c ，∴A ＜60°. ∴A ＝30°.]7．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B sin C 的值为． 35[由余弦定理可得49＝AC 2＋25－2×5×AC ×cos 120°，整理得：AC 2＋5·AC －24＝0，解得AC ＝3或AC ＝－8(舍去)，所以由正弦定理可得sin B sin C ＝AC AB ＝35.]8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且a ，b 是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则c ＝ .19 [由题意，得a ＋b ＝5，ab ＝2.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19，所以c ＝19.]三、解答题9．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝5，cos B ＝35.(1)求b 的值； (2)求sin C 的值．[解] (1)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋25－2×2×5×35＝17，所以b ＝17. (2)因为cos B ＝35，所以sin B ＝45. 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得1745＝5sin C ，所以sin C ＝41717.10．已知△ABC 中，(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A ·sin B ＝sin C ，试判断△ABC 的形状．[解] 法一：(利用边的关系判断) 由正弦定理，得sin C sin B ＝c b .∵2cos A sin B ＝sin C ，∴cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b . ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝c2b ， ∴c 2＝b 2＋c 2－a 2，∴a 2＝b 2，∴a ＝b . ∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，∴(a ＋b )2－c 2＝3ab .∵a ＝b ，∴4b 2－c 2＝3b 2， ∴b 2＝c 2，∴b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形．法二：(利用角的关系判断)∵A ＋B ＋C ＝180°，∴sin C ＝sin(A ＋B )． ∵2cos A sin B ＝sin C ，∴2cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，∴sin(A －B )＝0. ∵0°<A <180°，0°<B <180°， ∴－180°<A －B <180°， ∴A －B ＝0°，即A ＝B ．∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，∴(a ＋b )2－c 2＝3ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝ab ，∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形．11．如图，在四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( )A ． 3B ．5 3C ．6 3D ．73B [连接BD (图略)，在△BCD 中，由已知条件，知∠DBC ＝180°－120°2＝30°，∴∠ABD ＝90°.在△BCD 中，由余弦定理BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ×CD cos C ，知BD 2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，∴BD ＝23，∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×4×23＋12×2×2×sin 120°＝5 3.]12．(多选题)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的大小为( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．56πBC [因为(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，所以2ac cos B ·tan B ＝3ac ，又ac ≠0，所以sin B ＝32，所以B ＝π3或B ＝2π3，故选BC ．]13．(一题两空)在四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，∠BCD ＝60°，cos B ＝－17，AB ＝BC ＝2，则sin ∠BAC ＝，DC ＝ .217 3 [在△ABC 中，由AB ＝BC ＝2，cos B ＝－17，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC cos B ＝877，所以cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ×AC＝277，sin ∠BAC ＝1－cos 2∠BAC ＝217.因为B ＋D ＋∠BAD ＋∠BCD ＝360°，所以D ＋B＝180°，所以cos D ＝17，sin D ＝437.在△ADC 中，sin ∠DAC ＝sin(120°－∠BAC )＝sin 120°cos ∠BAC －cos 120°sin ∠BAC ＝32114，由正弦定理AC sin D ＝DC sin ∠DAC ，得DC ＝3.]14．在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，则AC 边上的中线长为． 7 [由已知条件，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23.设AC 边上的中线长为x ，由余弦定理，得x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49，解得x ＝7，所以所求中线长为7.]15．如图所示，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝23π，AB ＝3，S △ABC ＝34 3.(1)求∠ACB 的大小；(2)若BC ⊥CD ，∠ADC ＝π4，求AD 的长． [解] (1)在△ABC 中， S △ABC ＝12×AB ×BC sin ∠ABC ， ∴12×3×BC sin 2π3＝334， ∴BC ＝3，AB ＝BC ．又∵∠ABC ＝2π3，∴∠ACB ＝π6. (2)∵BC ⊥CD ，∴∠ACD ＝π3. 在△ABC 中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos 2π3＝(3)2＋(3)2－23×3×⎝⎛⎭⎪⎫－12＝9，∴AC＝3.在△ACD中，由正弦定理得，AC sin∠ADC ＝ADsin∠ACD，∴AD＝AC sin∠ACDsin∠ADC＝3sinπ3sinπ4＝32 6.。

高中《正弦和余弦定理》数学教案4篇

高中《正弦和余弦定理》数学教案4篇教案是讲课的前提，是讲好课的基础，教案则备课的具体表现形式。

它可以反映教师在整个教学中的总体设计和思路尤其是教学态度认真与否的重要尺度。

以下是小编为大家整理的高中《正弦和余弦定理》数学教案，感谢您的欣赏。

高中《正弦和余弦定理》数学教案1教学目标进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式.教学重难点教学重点：熟练运用定理.教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.教学过程一、复习准备：1.写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.2.讨论各公式所求解的三角形类型.二、讲授新课：1.教学三角形的解的讨论：①出示例1：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.分两组练习→讨论：解的个数情况为何会发生变化②用如下图示分析解的情况.(A为锐角时)②练习：在△ABC中，已知下列条件，判断三角形的解的情况.2.教学正弦定理与余弦定理的活用：①出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求角的余弦. 分析：已知条件可以如何转化→引入参数k，设三边后利用余弦定理求角.②出示例3：在ΔABC中，已知a=7，b=10，c=6，判断三角形的类型.分析：由三角形的什么知识可以判别→求角余弦，由符号进行判断③出示例4：已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.分析：如何将边角关系中的边化为角→再思考：又如何将角化为边3.小结：三角形解的情况的讨论;判断三角形类型;边角关系如何互化.三、巩固练习：3.作业：教材P11B组1、2题.高中《正弦和余弦定理》数学教案2一)教材分析(1)地位和重要性：正、余弦定理是学生学习了平面向量之后要掌握的两个重要定理，运用这两个定理可以初步解决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题的有力工具。

(2)重点、难点。

重点：正余弦定理的证明和应用难点：利用向量知识证明定理(二)教学目标(1)知识目标：①要学生掌握正余弦定理的推导过程和内容;②能够运用正余弦定理解三角形;③了解向量知识的应用。

课时作业4：6.4.3 第1课时余弦定理~6.4.3 第2课时正弦定理

6.4.3 第1课时余弦定理~6.4.3 第2课时正弦定理A 级基础达标一、选择题1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，a ＝5，b ＝4，cos C ＝45，则△ABC 的面积是( ) A ．8 B ．6 C ．4D ．22．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则asin A 等于( )A.2393B.2293C.2633D ．333．在平行四边形ABCD 中，对角线AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则这个平行四边形的面积是( ) A ．8 B ．16 C ．18D ．324．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C 等于( ) A. 3B ．－ 3C ．－2 3D ．－25．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，且a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积等于( )二、填空题6．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________．7．在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，则该三角形的周长为________． 8．在△ABC 中，A ＝π6，BC ＝25，D 是AB 边上的一点，CD ＝2，△BCD 的面积为4，则AC 的长是________．三、解答题9.在△ABC 中，∠B ＝π4，AB ＝42，点D 在BC 上，且CD ＝3，cos ∠ADC ＝55.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，且满足b sin A ＋b cos A ＝c . (1)求B ；(2)若角A 的平分线与BC 相交于D 点，AD ＝AC ，BD ＝2，求△ABC 的面积．B 级能力提升1．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( )A ．40 3B ．20 3C ．40 2D ．2022．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝23，c ＝22，1＋tan A tan B ＝2cb ，则角C 的值为________．3．已知x 、y 均为正实数，且x 2＋y 2－3＝xy ，求x ＋y 的最大值．【参考答案】A 级基础达标一、选择题1．【解析】因为cos C ＝45，C ∈(0，π)，所以sin C ＝35，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×5×4×35＝6.【答案】B2．【解析】面积S ＝3＝12bc sin A ＝12×1×c ×32，所以c ＝4，因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4×12＝13，所以a sin A ＝1332＝2393.【答案】A3．【解析】在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝65，即AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos B ＝65，①在△ABD 中，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos A ＝17，② 又cos A ＋cos B ＝0. ①＋②得AB 2＋AD 2＝41. 因为平行四边形的周长为18，所以AB ＋AD ＝9，又AB 2＋AD 2＝41，所以AB ＝4，AD ＝5或AB ＝5，AD ＝4.所以cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22·AB ·AD ＝35，所以sin A ＝45，故平行四边形的面积为12×AB ×AD ×sin A ×2＝16.【答案】B4．【解析】S △ABC ＝12ac sin B ＝12·1·c ·32＝3，所以c ＝4，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，所以sin C ＝1213，所以tan C ＝sin C cos C＝－12＝－2 3. 【答案】C5．【解析】因为b 2－bc －2c 2＝0，所以(b －2c )(b ＋c )＝0，所以b ＝2c .由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，解得c ＝2，b ＝4，因为cos A ＝78，所以sin A ＝158，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×158＝152.【答案】A 二、填空题 6．【答案】637．【解析】因为a －b ＝4，所以a ＞b ，又因为a ＋c ＝2b ，所以b ＋4＋c ＝2b ，所以b ＝4＋c ，所以a ＞b ＞c . 所以最大角为A ，所以A ＝120°，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，所以b 2＋c 2－a 2＝－bc ，所以b 2＋(b －4)2－(b ＋4)2＝－b (b －4)，即b 2＋b 2＋16－8b －b 2－16－8b ＝－b 2＋4b ，所以b ＝10，所以a ＝14，c ＝6.故周长为30. 【答案】308．【解析】设∠BCD ＝θ，因为S △BCD ＝4＝12·CD ·CB ·sin θ，所以sin θ＝255，θ∈(0，π)，所以cos θ＝±55.在△BCD 中，由余弦定理得 BD 2＝CD 2＋CB 2－2CD ·CB ·cos θ，从而BD ＝42或BD ＝4. 当BD ＝42时，由BD sin θ＝CD sin B 得sin B ＝CD ·sin θBD ＝1010，又由AC sin B ＝BC sin A 得AC ＝BC sin Bsin A ＝22，当BD ＝4时，同理可得AC ＝4. 综上，AC ＝4或AC ＝2 2. 【答案】4或22 三、解答题9. 解：(1)因为∠ADC ＋∠ADB ＝π，且cos ∠ADC ＝55，所以cos ∠ADB ＝－55，所以sin ∠ADB ＝1－cos 2∠ADB ＝255，由∠B ＋∠ADB ＋∠BAD ＝π得， sin ∠BAD ＝sin(∠B ＋∠ADB )＝sin ∠B cos ∠ADB ＋cos ∠B sin ∠ADB ＝22×⎝⎛⎭⎫－55＋22×255＝1010. (2)在△ABD 中，由正弦定理得，BD sin ∠BAD ＝AB sin ∠ADB ，所以BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB＝42×1010255＝2，由正弦定理得AD sin ∠B ＝ABsin ∠ADB ，所以AD ＝42×22255＝25，在△ADC 中，由余弦定理得AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos ∠ADC ＝20＋9－2×25×3×55＝17，所以AC ＝17.10．解：(1)由题意，利用正弦定理可得 sin B sin A ＋sin B cos A ＝sin C ＝sin(A ＋B )，整理可得sin B ＝cos B ，所以B ＝π4.(2)由AD ＝AC ，可知∠ACD ＝∠ADC . 设∠BAD ＝∠DAC ＝α，∠ACD ＝∠ADC ＝β，则⎩⎪⎨⎪⎧45°＋2α＋β＝180°，α＋2β＝180°，所以α＝30°，β＝75°， △ABD 中，由正弦定理可得AB sin 105°＝AD sin 45°＝2sin 30°，所以AB ＝6＋2，AD ＝22，所以AC ＝22，所以S △ABC ＝12AB ·AC ·sin 2α＝3＋ 3.B 级能力提升1．【解析】设另两边长为8x ，5x ，则cos 60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2＝12，解得x ＝2.所以两边长是16与10，所以三角形的面积是12×16×10×sin 60°＝40 3.【答案】A2．【解析】由正弦定理得1＋sin A cos A ·cos B sin B ＝2sin Csin B ，即sin （A ＋B ）sin B cos A ＝2sin C sin B ，所以cos A ＝12，A ∈(0，π)，A ＝π3，sin A ＝32，由a sin A ＝c sin C 得sin C ＝22，又c <a ，C <A ，所以C ＝π4. 【答案】π43．解：构造△ABC ，角A ，B ，C 的对边分别为x ，y ，3，C ＝60°，由余弦定理知x 2＋y 2－3＝xy ，即x 、y 满足已知条件．因为x sin A ＝y sin B ＝3sin 60°＝2，所以x ＝2sin A ，y ＝2sin B ，所以x ＋y ＝2(sin A ＋sin B ) ＝2[sin A ＋sin(120°－A )] ＝2⎝⎛⎭⎫sin A ＋32cos A ＋12sin A ＝23⎝⎛⎭⎫32sin A ＋12cos A＝23sin(A ＋30°)因为0°<A <120°，所以当A ＝60°时，x ＋y 有最大值2 3.。

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