北航理论力学第五章习题解答

取套筒 A 为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的动力学方程有
ma F FN mg
将该式在 x, y 轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程
mg F cos m x F sin FN m y
其中， cos
x x2 l 2
, sin
第五章习题参考解答
5－3 解：如图所示，火箭的运动方程为： y l tan ， 其中 kt 。将运动方程对时间求导并将 30 代入得
0
v y
l lk 4lk ， 2 2 3 cos cos
2lk 2 sin 8 3lk 2 。 cos3 9
vr
ve va
（a）
vM vA va 2ve 2b 2 2 m/s ，
vr ve b 2m/s 。 O1 A 的角速度
aet
1
vA 2 2 1.89 rad/s O1 A 1.5
aen aan
根据加速度合成定理有
t n t n aa aa ae ae a r aC
求相对加速度 如图（b）所示，由于相对运动为圆周运动，相对速度的大小为常值，因此有
7
ar arn
vr2 1.78 m/s 2 。 RB
5－23 O O
F
r

M
v
mg
r FO
M
v
mg
（a）
（b）
解：销钉 M 上作用有水平槽的约束力 F 和圆槽的约束力 FO （如图（b）所示） 。因为销钉 M 的运动是给定的，所以先求其加速度，再利用质点动力学方程求约束力。取销钉为动点， 水平槽为动系，绝对运动是圆周运动，相对运动是直线运动，牵连运动是匀速直线平移。 O
b sin 300 (3 9) 0.4m / s cos 2 300
ve2 OM2 0.2 3
2 vM va2 ve2 vr22 0.529m / s
5－17 解：动点：圆盘上的 C 点； 动系：O1A 杆； 定系：机座； 运动分析：绝对运动：圆周运动； 相对运动：直线运动（平行于 O1A 杆） ； 牵连运动：定轴转动。 根据速度合成定理有
其中， aa
n
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va2 v2 v 2 sin t n 。根据上式可求出 。 a a tan a a r r cos 2 r cos 3
t n m(aa aa ) F FO mg
根据矢量形式的质点运动微分方程有
将该式在 x 轴上投影：
n m(aat sin aa cos ) FO cos ，
将上式积分有
l 2 g cos a sin c 2
，上式可写成 其中 c 为积分常数（由初始条件确定） 。相对速度 vr l
vr2 g cos a sin c 2l
将上式两边对时间求导可得
( x 2 r 2 ) 2 xx 3 2 2 r 2 xx 2x x
可得 消去 2 x
x
2r 4 x
(x2 r 2 )2
(c)
由此可知滑块 A 的加速度方向向左，大小为 aA 取套筒 A 为研究对象，受力如图（c）所示， 根据质点矢量形式的动力学方程有
2r 4 x
(x2 r 2 )2
y
O
。
B r
ma F FN mg
将该式在 x, y 轴上投影可得直角坐标形式的运动 微分方程

F
FN
A
vA
mg
（c）
x
F cos m x F sin FN mg m y
其中， sin
r , cos x
t n aa ae ae a r aC
ve R 0.5 。 O1C 2 R
ar
a
aen
t e
如图（b）所示。将上式沿 aC 投影得
n aa sin 300 aet cos 300 ae sin 300 aC
aa
aC
其中， aa R ， ae 2 R1 ， aC 21vr 。
ve
va
vr
va ve vr
有 va cos ve 。 AB 杆平动，所以 va v ，由此可得 v cos ve 。 OC 杆的角速度为

ve l v cos 2 0 ， OA ，所以 。当 45 时，OC 杆上 C 点速度的大小为 l cos OA
l x2 l 2
x
2
2 2 v0 l 0 。将其代入直角坐标形式的 , y x3
运动微分方程可得： F m( g
2 2 v0 l l ) 1 。 3 x x
5－11
vB
O A

x
（a）

B O r

x
vA
A
（b）
2
解：假设绳子与圆盘的切点为 B，绳子相对圆盘无滑动，故 vB r 。如图（b）所示，绳 子始终处于拉直状态，因此绳上 A、B 两点的速度在 A、B 两点连线上的投影相等，即
vB vA cos
由图（b）可知： cos
（a）
x2 r 2 ，代入（a）式可得 A 点速度的大小为 x vA r
2
x x2 r 2
2
（b）
x r rx ，将该式两边平方可得 ， 由于 vA x （b）式可写成： x
2 (x2 r 2 ) 2r 2 x2 x
8
求得：
FO
mv2 (tan 2 1) 0.284 N 。 2 r cos
5－24
a
a

M

F mg
et
Fe
（a）
（b）
解：求重物相对吊车的速度，所以取吊车为动系，重物 M 为动点。如图（b）所示，由于动 系平移，根据质点相对运动动力学方程有
mar F mg Fe
将上式在切向量方向投影有
x2 r 2 , x
m 2 r 4 x 2
x
2r 4 x
(x 2 r 2 )2
, y 0 。代入直角坐标形式的
运动微分方程可得
F
(x2 r 2 ) 2
5
,
FN mg
m 2 r 5 x (x2 r 2 ) 2
5
。
3
5－13 解：动点：套筒 A； 动系：OC 杆； 定系：机座； 运动分析 绝对运动：直线运动； 相对运动：直线运动； 牵连运动：定轴转动。 根据速度合成定理
y’
va
vr
ve

O （a） y’
x’
va ve vr
如图（a）所示，将上式沿绝对速度方向投影可得
va ve vr
因此
a rn
v r ve va
ve RB , vA ， RA
O （b）
其中， va vB ,

x’
R 380 m/s 。 由此可得： vr B vA vB RA 9
ve
va
r
（c）

M vr
O
r aan
（d）

a
t a
ar
M
销钉的速度如图（c）所示，根据速度合成定理有
va ve v r
由此可求出： va
ve v 。 动系作匀速直线平移， 根据加速度合成定理有： aa a r 。 cos cos
n aat aa ar
如图（d）所示，上式可写成
a y
5－6 证明：质点作平面曲线运动，其加速度 a a t a n , 设质点的速度为 v ，由图可知 y
cos
vy v
vy
v
a

an ， a

所以： a
an v ， vy v2
代入上式可得 a
an
x
将 vy c ， a n 证毕。

v3 ， c
o
5－7 证明：因为
mg sin F cos mart ml e
其中， Fe mae ma, d d d d 。所以上式可写成 dt d dt d ml
整理可得
d mg sin ma cos d
d g sin d a cos d l
va ve


A （a）
ve OM
根据速度合成定理： va ve vr ， 可得
r 2r cos 600
6
va ve tan 2 3r ， vr
ve 4r 。 cos 600
加速度如图（b）所示，其中，
r 2 ae OM 2 2r 2 ， 0 cos 60

FN
mg
y
v0 ， 2ss 2 xx s
由此解得： x sv0 x
（a）
vo
v0 s ，将该式对时间求导得 （a）式可写成： xx
2 x x 2 s v0 v0 x
(b)
2 2 2 2 v0 x v0 l 将（a）式代入（b）式可得： ax 。 x 3 （负号表明滑块 A 的加速度向上） x x
aat 16 10 rad/s 2 。 a 7 2 ， 1 O1 A 3
5－20 解：取小环为动点，OAB 杆为动系。 运动分析 绝对运动：直线运动； 相对运动：直线运动； 牵连运动：定轴转动。 由运动分析可知点的绝对速度、相对速度 和牵连速度的方向如图（a）所示，其中，
M O
vr B
aC 2vr 8r 2 。根据加速度合成定理 aa ae ar aC
ae M
O
ar B
aC


A （b）
aa
x'
将上式在 x ' 轴上投影，可得： aa cos ae cos aC
，
由此求得： aa 14r 2 。
5－21 解：求汽车 B 相对汽车 A 的速度是指以汽车 A 为参考 系观察汽车 B 的速度。 动点：汽车 B； 动系：汽车 A（ Ox' y' ） ； 定系：路面。 运动分析 绝对运动：圆周运动； 相对运动：圆周运动； 牵连运动：定轴转动（汽车 A 绕 O 作定轴转动） 。 求相对速度 根据速度合成定理
vC a
av cos 2 450 av 。 l 2l
5－15 解：动点：销子 M 动系 1：圆盘 动系 2：OA 杆 定系：机座； 运动分析： 绝对运动：平面曲线运动 相对运动：直线运动 牵连运动：定轴转动 根据速度合成定理有
ve1
v r1
ve2
v r2
x
va1 ve1 vr1 ，
va2 ve2 vr2
动点 M 的绝对速度与动系的选取无关，即 va2 va1 ，由上两式可得
ve1 vr1 ve2 vr2
将（a）式在 x 轴投影可得
(a)
ve1 sin 300 ve2 sin 300 vr2 cos 300
由此解得
4
vr2 tan 300 (ve2 ve1 ) OM tan 300 ( 2 1 )
ar
aat
（b）
aC
（b）
如图（b）所示，将上式沿 aC 方向投影可得
n aat cos 450 aa sin 450 aet aC
其中， aa 1 O1 A
n 2
t a
16 m/s 2 ， aet b 1 m/s 2 ， aC 2vr 8 m/s 2 。根据上式可得 3
ve
va
vr
va ve vr
如图（a）所示。将上式在垂直于 O1A 杆的轴上， 以及在 O1C 轴上投影得 （a）
va cos 30 0 ve cos 30 0 ， va cos300 vr cos300
ve va R ， va vr R ， 1
根据加速度合成定理有
at
v ，由图可知 an
av v
，
2
y

a
a n a sin
所以：
an
o x
v3 ，证毕。 av
1
5－10 解：假设初始时绳索 AB 的长度为 L ， t 时刻的长度 为 s ，则有关系式
s L v0 t ，且 s l x
2 2
2
vo
F
将上面两式对时间求导得
2 n 2
求解上式得： 1
aet 3 2 。 2R 12
（b）
5－19 解：ABM 弯杆平移，所以有 vA vM , aA aM 。
5
动点：滑块 M； 动系：滑道 OC； 定系：机座； 运动分析： 绝对运动：圆周运动； 相对运动：直线运动； 牵连运动：定轴转动。 根据速度合成定理 v a v e v r ，如图 （a）所示，可求得