2015合肥168自主招生数学试卷及答案
安徽省合肥XX中学自主招生数学试卷（含答案解析）
安徽省合肥XX中学自主招生数学试卷一、选择题（本大提共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知a＝，b＝，则二次根式的值是（）A．6B．7C．8D．92．（5分）已知有9张卡片，分别写有1到9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为（）A．B．C．D．3．（5分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，3），且与坐标轴围成面积为6的三角形，则满足条件的函数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个4．（5分）若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则代数式的值为（）A．﹣20B．2C．2或﹣20D．2或205．（5分）对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣x+与x轴交于A n，B n 以|A n B n|表示这两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|AB|的值是（）A．B．C．D．6．（5分）已知a，b，c是△ABC的三边，则下列式子一定正确的是（）A．a2+b2+c2≥ab+bc+ac B．＜C．D．a3+b3＜c37．（5分）如图，从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC，各与其对边或其延长线相交于D，E，F．若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为（）A．3B．C．D．28．（5分）半径为2.5的圆O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知BC：CA＝4：3，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大提共7题，每小题5分，共35）9．（5分）若分式方程＝a无解，则a的值为．10．（5分）已知一列数a1，a2，a3，…满足a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，…，依此类推，则a1，a2，…，a，这个数的积为．11．（5分）某公司加工252个零件，计划若干天完成，加工了2天后，由于改进新技术，每天可多加工9个零件，因此提前1天完成任务，则原计划完成任务的天数为．12．（5分）已知函数y＝x2﹣2mx+4（m是实数）与x轴两交点的横坐标为x1，x2，当1＜x1＜2，1＜x2＜3时，则m的范围是．13．（5分）如图，已知四边形ABCD是矩形，BC＝2AB，A，B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，1），C，D两点在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，则k的值等于．14．（5分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，内取一点P，且AP＝AC＝a，BP＝CP＝b（b＜a），则＝．15．（5分）足球运动员在足球场上，常需要带球跑到一定位置后，再进行射门，这个位置为射门点，射门点与球门边框两端的夹角是射门角．如果点A，B表示球门边框（不考虑球门的高度）的两端点，点C表示射门点，连接AC，BC，则∠ABC就是射门角，在不考虑其他因素的情况下，一般地，射门角越大，射门进球的可能性越大，如图（1）（2）（3）是运动员带球跑动的三种常见路线（用直线L表示），则下列说法：①如图（1），AB∥L，当运动员在线段AB的垂直平分线与L的交点C处射门时，进球的可能性最大；②如图（2）AB⊥L垂足为D，设AB＝2a，BD＝b，当运动员在离底线AB的距离为的点C处（即CD＝）射门时，进球可能性最大．③如图（3），AB与L交于点Q，设AB中点为O，当点C满足OQ＝CQ时，运动员在点C处射门时，进球的可能性最大．④如图（3），过点C作直线L的垂线与线段AB的垂直平分线交于点M，当M恰好是△ABC的外心时，运动员在点C处射门时，进球可能性最大．其中正确的序号是（写出所有正确的序号）三、解答题（本大题共5小题，共75分）16．（12分）若，求的值．17．（13分）某学校在大课间举行跳绳活动，为此学校准备购置长、中、短三种跳绳若干，要求中跳绳的条数是长跳绳的2倍，且短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍．已知长跳绳单价是20元，中跳绳的单价是15元，短跳绳的单价是8元．（1）若学校准备用不超过2300元的现金购买200条长、中、短跳绳，问学校有几种购买方案可供选择？（2）若学校准备恰好用3000元的现金购买n条长、中、短跳绳．求n的最大值．18．（13分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE×CA．（1）求证：BC＝CD（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝2，求⊙O的半径．19．（13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣），点M 是抛物线C2：y＝mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．20．（14分）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t．（Ⅰ）如图①，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．安徽省合肥168中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大提共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知a＝，b＝，则二次根式的值是（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：∵a＝＝（﹣）2＝4﹣，b＝＝＝4+，∴ab＝（4+）（4﹣）＝1，∴＝＝＝＝＝＝9．故选：D．2．（5分）已知有9张卡片，分别写有1到9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：因为关于x的不等式组有解，可得：，所以得出a＞5，因为a取≤9的整数，可得a的可能值为6，7，8，9，共4种可能性，所以使关于x的不等式组有解的概率为，故选：C．3．（5分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，3），且与坐标轴围成面积为6的三角形，则满足条件的函数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：把A（1，3）代入y＝kx+b中，得3＝k+b，∴b＝3﹣k，∴一次函数的解析式为：y＝kx+3﹣k，∴一次函数图象与坐标轴的交点为（0，3﹣k），（，0），∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与坐标轴围成三角形的面积为6，∴，解得，k＝﹣3，或k＝9，∴k的值有3个，∴满足条件的函数有3个．故选：B．4．（5分）若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则代数式的值为（）A．﹣20B．2C．2或﹣20D．2或20【解答】解：∵a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，∴a，b可看着方程x2﹣8x+5＝0的两根，∴a+b＝8，ab＝5，＝＝＝＝﹣20．故选：A．5．（5分）对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣x+与x轴交于A n，B n 以|A n B n|表示这两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|AB|的值是（）A．B．C．D．【解答】解：y＝x2﹣x+＝（x﹣）（x﹣），∴A n（，0），B n（，0），∴|A n B n|＝﹣，∴|A1B1|+|A2B2|+…+|AB|＝+++…+＝1﹣＝，故选：C．6．（5分）已知a，b，c是△ABC的三边，则下列式子一定正确的是（）A．a2+b2+c2≥ab+bc+ac B．＜C．D．a3+b3＜c3【解答】解：A、由三角形三边关系可得：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2≥0，可得：2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ac），可得：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2≥0，故选项正确；B、由三角形三边关系不一定得出a+b＞c，＜，可得＜，＞，选项错误；C、由三角形三边关系不一定得出a＞b＞c，由，可得：a＞b＞c，选项错误；D、由三角形三边关系不一定得出a3+b3＜c3，选项错误；故选：A．7．（5分）如图，从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC，各与其对边或其延长线相交于D，E，F．若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为（）A．3B．C．D．2【解答】证明：∵AD∥BE，AD∥FC，FC∥BE，∴△ADE和△ABD在底边AD上的高相等，△ADF和△ADC在底边AD上的高相等，△BEF和△BEC在底边BE上的高相等，∴S△ADF＝S△ADC，S△BEF＝S△BEC，S△AEF＝S△BEF﹣S△ABE＝S△BEC﹣S△ABE＝S△ABC∴S△DEF＝S△ADE+S△ADF+S△AEF＝S△ABD+S△ADC+S△ABC＝2S△ABC．即S△DEF＝2S△ABC．∵S△ABC＝1，∴S△DEF＝2，故选：D．8．（5分）半径为2.5的圆O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知BC：CA＝4：3，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵AB是直径，∴AB＝5，∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，且BC：CA＝4：3，∴BC＝4，AC＝3，∵∠A＝∠P，∠ACB＝∠PCQ＝90°，∴△ACB∽△PCQ，∴，∴CQ＝，∴当PC最大时，CQ有最大值，∴PC是直径时，CQ的最大值＝×5＝，故选：B．二、填空题（本大提共7题，每小题5分，共35）9．（5分）若分式方程＝a无解，则a的值为1或﹣1．【解答】解：去分母得：x﹣a＝ax+a，即（a﹣1）x＝﹣2a，显然a＝1时，方程无解；由分式方程无解，得到x+1＝0，即x＝﹣1，把x＝﹣1代入整式方程得：﹣a+1＝﹣2a，解得：a＝﹣1，综上，a的值为1或﹣1，故答案为：1或﹣110．（5分）已知一列数a1，a2，a3，…满足a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，…，依此类推，则a1，a2，…，a，这个数的积为．【解答】解：a1＝，a2＝，＝2，a3＝＝﹣1，a4＝＝，…，依此类推，发现每3个数为一组一个循环，前3个数的乘积为：2×（﹣1）＝﹣1，所以÷3＝672…1，则a1，a2，…，a，这个数的积为（﹣1）672×＝．故答案为：．11．（5分）某公司加工252个零件，计划若干天完成，加工了2天后，由于改进新技术，每天可多加工9个零件，因此提前1天完成任务，则原计划完成任务的天数为7．【解答】解：设原计划每天加工x个零件．由题意得：+2+1＝，整理得：x2+27x﹣2268＝0．解得：x1＝36，x2＝﹣63（不合题意舍去）．经检验：x＝36是原方程的解．当x＝36时，＝7，即原计划7天完成，故答案为：7．12．（5分）已知函数y＝x2﹣2mx+4（m是实数）与x轴两交点的横坐标为x1，x2，当1＜x1＜2，1＜x2＜3时，则m的范围是2＜m＜．【解答】解：由题意得：△＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×4＞0，解得：m＞2或m＜﹣2①，函数的对称轴为x＝﹣＝﹣＝m，当1＜x1＜2，1＜x2＜3时，1＜（x1+x2）＜，而x＝﹣＝﹣＝m＝（x1+x2），即1＜m＜②，联立①②并解得：2＜m＜，故答案为：2＜m＜．13．（5分）如图，已知四边形ABCD是矩形，BC＝2AB，A，B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，1），C，D两点在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，则k的值等于﹣6．【解答】解：过点C作CE⊥y轴，垂足为E，∵A，B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，1），∴OA＝OB＝1，∠OAB＝∠OBA＝45°，∵ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠CBE＝180°﹣90°﹣45°＝45°＝∠BCE，∴△AOB∽△BEC，∴＝＝，又∵BC＝2AB，∴BE＝CE＝2，OE＝OB+BE＝1+2＝3，∴点C（﹣2，3），代入反比例函数关系式得，k＝﹣2×3＝﹣6，故答案为：﹣6．14．（5分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，内取一点P，且AP＝AC＝a，BP＝CP＝b（b＜a），则＝．【解答】解：如图：过点P作PD⊥BC与点D，作PE⊥AC于点E，可得矩形PDCE，有PD＝EC，PE＝CD，∵PC＝PB，PD⊥BC，∴DC＝DB＝BC＝AC＝a，∴PE＝CD＝a，Rt△AEP中，AP＝AC＝a，PE＝a，∴AE＝a，∴EC＝AC﹣AE＝a﹣a＝a．∴PD＝EC＝a，Rt△CDP中，PD2+CD2＝CP2，∴（a）2+（）2＝b2，∴a2+a2＝b2，∴a2＝b2，∴（2﹣）a2＝b2．∴＝2﹣，∴＝＝＝．故答案是：．15．（5分）足球运动员在足球场上，常需要带球跑到一定位置后，再进行射门，这个位置为射门点，射门点与球门边框两端的夹角是射门角．如果点A，B表示球门边框（不考虑球门的高度）的两端点，点C表示射门点，连接AC，BC，则∠ABC就是射门角，在不考虑其他因素的情况下，一般地，射门角越大，射门进球的可能性越大，如图（1）（2）（3）是运动员带球跑动的三种常见路线（用直线L表示），则下列说法：①如图（1），AB∥L，当运动员在线段AB的垂直平分线与L的交点C处射门时，进球的可能性最大；②如图（2）AB⊥L垂足为D，设AB＝2a，BD＝b，当运动员在离底线AB的距离为的点C处（即CD＝）射门时，进球可能性最大．③如图（3），AB与L交于点Q，设AB中点为O，当点C满足OQ＝CQ时，运动员在点C处射门时，进球的可能性最大．④如图（3），过点C作直线L的垂线与线段AB的垂直平分线交于点M，当M恰好是△ABC的外心时，运动员在点C处射门时，进球可能性最大．其中正确的序号是①②④（写出所有正确的序号）【解答】解：①作△ABC的外接圆圆O，过C作圆O的切线，由圆的切线性质可得，当△ABC等腰三角形的时候，∠ACB最大，所以正确；②当△DBC∽△DAC时，∠ACB最大，此时，CD2＝BD•AD＝b（2a+b）＝2ab+b2，CD＝，所以正确；③④过点C作l的垂线，交AB垂直平分线于M，当M恰好是△ABC的外心时，∠ACB最大，所以③错误，④正确．故答案为：①②④．三、解答题（本大题共5小题，共75分）16．（12分）若，求的值．【解答】解：∵＝﹣，∴x＝a+﹣2，∵x≥0，∴≥，∴a≥1，≤1，原式＝，＝，＝，＝，当a≥时，原式＝＝a2；当a＜时与a≥1，≤1相矛盾．综上所述，原二次根式的值为：a2．故答案为：a2．17．（13分）某学校在大课间举行跳绳活动，为此学校准备购置长、中、短三种跳绳若干，要求中跳绳的条数是长跳绳的2倍，且短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍．已知长跳绳单价是20元，中跳绳的单价是15元，短跳绳的单价是8元．（1）若学校准备用不超过2300元的现金购买200条长、中、短跳绳，问学校有几种购买方案可供选择？（2）若学校准备恰好用3000元的现金购买n条长、中、短跳绳．求n的最大值．【解答】解：（1）设购进x条长跳绳，则购进2x条中跳绳，（200﹣x﹣2x）条短跳绳，依题意，得：，解得：22≤x≤26．∵x为正整数，∴x＝23，24，25，26，∴学校共有4种购买方案可供选择．（2）设可以购买a条长跳绳，则购进2a条中跳绳，（n﹣a﹣2a）条短跳绳，依题意，得：，化简，得：，∴13a＝4（375﹣n），∴a为4的倍数，设a＝4k，则n＝375﹣13k，∴375﹣13k≤36k，∴k≥7，∴k的最小值为8，n的最大值为271．18．（13分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE×CA．（1）求证：BC＝CD（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝2，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵DC2＝CE•CA，∴，而∠ACD＝∠DCE，∴△CAD∽△CDE，∴∠CAD＝∠CDE，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝DC；（2）解：连接OC，如图，设⊙O的半径为r，∵CD＝CB，∴＝，∴∠BOC＝∠BAD，∴OC∥AD，∴，∴PC＝2CD＝4，∵∠PCB＝∠P AD，∠CPB＝∠APD，∴△PCB∽△P AD，∴，即，∴r＝4，即⊙O的半径为4．19．（13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣），点M 是抛物线C2：y＝mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．【解答】解：（1）y＝mx2﹣2mx﹣3m＝m（x﹣3）（x+1），∵m≠0，∴当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；（2）设C1：y＝ax2+bx+c，将A、B、C三点的坐标代入得：，解得，故C1：y＝x2﹣x﹣．如图：过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，由B、C的坐标可得直线BC的解析式为：y＝x﹣，设P（x，x2﹣x﹣），则Q（x，x﹣），PQ＝x﹣﹣（x2﹣x﹣）＝﹣x2+x，S△PBC＝S△PCQ+S△PBQ＝PQ•OB＝×（﹣x2+x）×3＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，S△PBC有最大值，Smax＝，×（）2﹣﹣＝﹣，P（，﹣）；（3）y＝mx2﹣2mx﹣3m＝m（x﹣1）2﹣4m，顶点M坐标（1，﹣4m），当x＝0时，y＝﹣3m，∴D（0，﹣3m），B（3，0），∴DM2＝（0﹣1）2+（﹣3m+4m）2＝m2+1，MB2＝（3﹣1）2+（0+4m）2＝16m2+4，BD2＝（3﹣0）2+（0+3m）2＝9m2+9，当△BDM为Rt△时有：DM2+BD2＝MB2或DM2+MB2＝BD2．①DM2+BD2＝MB2时有：m2+1+9m2+9＝16m2+4，解得m＝﹣1（∵m＜0，∴m＝1舍去）；②DM2+MB2＝BD2时有：m2+1+16m2+4＝9m2+9，解得m＝﹣（m＝舍去）．综上，m＝﹣1或﹣时，△BDM为直角三角形．20．（14分）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t．（Ⅰ）如图①，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP＝90°，OB＝6，在Rt△OBP中，由∠BOP＝30°，BP＝t，得OP＝2t．∵OP2＝OB2+BP2，即（2t）2＝62+t2，解得：t1＝2，t2＝﹣2（舍去）．∴点P的坐标为（，6）．（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，∴∠OPB′＝∠OPB，∠QPC′＝∠QPC，∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC＝180°，∴∠OPB+∠QPC＝90°，∵∠BOP+∠OPB＝90°，∴∠BOP＝∠CPQ．又∵∠OBP＝∠C＝90°，∴△OBP∽△PCQ，∴，由题意设BP＝t，AQ＝m，BC＝11，AC＝6，则PC＝11﹣t，CQ＝6﹣m．∴．∴m＝（0＜t＜11）．（Ⅲ）过点P作PE⊥OA于E，∴∠PEA＝∠QAC′＝90°，∴∠PC′E+∠EPC′＝90°，∵∠PC′E+∠QC′A＝90°，∴∠EPC′＝∠QC′A，∴△PC′E∽△C′QA，∴，∵PC′＝PC＝11﹣t，PE＝OB＝6，AQ＝m，C′Q＝CQ＝6﹣m，∴AC′＝＝，∴，∴，∴3（6﹣m）2＝（3﹣m）（11﹣t）2，∵m＝，∴3（﹣t2+t）2＝（3﹣t2+t﹣6）（11﹣t）2，∴t2（11﹣t）2＝（﹣t2+t﹣3）（11﹣t）2，∴t2＝﹣t2+t﹣3，∴3t2﹣22t+36＝0，解得：t1＝，t2＝，点P的坐标为（，6）或（，6）．法二：∵∠BPO＝∠OPC′＝∠POC′，∴OC′＝PC′＝PC＝11﹣t，过点P作PE⊥OA于点E，则PE＝BO＝6，OE＝BP＝t，∴EC′＝11﹣2t，在Rt△PEC′中，PE2+EC′2＝PC′2，即（11﹣t）2＝62+（11﹣2t）2，解得：t1＝，t2＝．点P的坐标为（，6）或（，6）．。
【优质文档】2014-2015年安徽省合肥168中高一上学期期末数学试卷与答案
----<<本文为word格式，下载后方便编辑修改，也可以直接使用>>------<<本文为word格式，下载后方便编辑修改，也可以直接使用>>----2014-2015年安徽省合肥168中高一上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）cos（﹣1560°）的值为（）A．﹣ B．C．﹣D．2．（5.00分）已知函数f（x）=（a∈R），若f[f（﹣1）]=1，则a=（）A．B．C．1 D．23．（5.00分）下列函数中，不满足f（2x）=2f（x）的是（）A．f（x）=|x|B．f （x）=x﹣|x|C．f（x）=x+1 D．f（x）=﹣x4．（5.00分）下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上是减函数的为（）A．B．y=x2 C．D．5．（5.00分）已知α∈（，π），sinα=，则tan（α﹣）=（）A．﹣7 B．﹣ C．7 D．6．（5.00分）已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，，则λ=（）A．B．C．D．7．（5.00分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象是（）A．B．C．D．8．（5.00分）将函数y=sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，所得到的图象解析式是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=cosx C．f（x）=sin4x D．f（x）=cos4x9．（5.00分）设集合X是实数集R的子集，如果点x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x﹣x0|＜a，称x0为集合X的聚点．用Z表示整数集，则在下列集合中：①；②{x|x∈R，x≠0}；③；④整数集Z以0为聚点的集合有（）A．②③B．①④C．①③D．①②④10．（5.00分）偶函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=cos﹣1，若函数g（x）=f（x）﹣log a x有且仅有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（2，4） D．（3，5）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5.00分）已知集合M={0，1，3}，N={x|x=3a，a∈M}，则M∪N=．12．（5.00分）函数f（x）=的定义域为．13．（5.00分）已知向量，夹角为45°，且||=1，||=，则|2﹣|=．14．（5.00分）函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=．15．（5.00分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（1，1）时，的坐标为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12.00分）已知=（sinx，1），=（cosx，2）．（1）若∥，求tan2x的值；（2）若f（x）=（﹣）•，求f（x）的单调递增区间．17．（12.00分）如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，=x•+y•．（1）若=，求x，y的值；（2）若=3，||=4，||=2，且与的夹角为60°时，求•的值．18．（12.00分）函数f（x）是以2为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=3x﹣1．（1）求f（x）在[﹣1，0]上的解析式；（2）求的值．19．（12.00分）已知函数f（x）=﹣x2+2ax﹣2a+b，且f（1）=0．（1）若f（x）在区间（2，3）上有零点，求实数a的取值范围；（2）若f（x）在[0，3]上的最大值是2，求实数a的值．20．（13.00分）设函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象的一条对称轴是x=．（1）求φ的值及f（x）在区间上的最大值和最小值；（2）若f（α）=，，求cos2α的值．21．（14.00分）对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数，且条件②中的区间[a，b]为f （x）的一个“好区间”．（1）求闭函数y=﹣x3的“好区间”；（2）若[1，16]为闭函数f（x）=m x的“好区间”，求m、n的值；（3）判断函数y=k+是否为闭函数？若是闭函数，求实数k的取值范围．2014-2015年安徽省合肥168中高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）cos（﹣1560°）的值为（）A．﹣ B．C．﹣D．【解答】解：cos（﹣1560°）=cos（1560°）=cos（360°×4+120°）=cos120°=cos （180°﹣60°）=﹣cos60°=﹣．故选：A．2．（5.00分）已知函数f（x）=（a∈R），若f[f（﹣1）]=1，则a=（）A．B．C．1 D．2【解答】解：∵f[f（﹣1）]=1，∴f[f（﹣1）]=f（2﹣（﹣1））=f（2）=a•22=4a=1∴．故选：A．3．（5.00分）下列函数中，不满足f（2x）=2f（x）的是（）A．f（x）=|x|B．f （x）=x﹣|x|C．f（x）=x+1 D．f（x）=﹣x【解答】解：f（x）=|x|，f（2x）=|2x|=2|x|=2f（x），故满足条件；f（x）=x﹣|x|，f（2x）=2x﹣|2x|=2（x﹣|x|）=2f（x），故满足条件；f（x）=x+1，f（2x）=2x+1≠2（x+1）=2f（x），故不满足条件；f（x）=﹣x，f（2x）=﹣2x=2（﹣x）=2f（x），故满足条件；故选：C．4．（5.00分）下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上是减函数的为（）A．B．y=x2 C．D．【解答】解：选项A，∵f（x）=，f（﹣x）==﹣f（x），∴y=是奇函数，不合条件；选项B，y=x2在（0，+∞）单调递增，不合条件；选项C，∵，f（﹣x）=，∴f（x）是偶函数，在区间（0，+∞）上是减函数，符合条件；选项D，∵，f（﹣x）=（）﹣x=2x，∴不是偶函数，不符合条件．故选：C．5．（5.00分）已知α∈（，π），sinα=，则tan（α﹣）=（）A．﹣7 B．﹣ C．7 D．【解答】解：∵a∈（，π），sina=，∴cosa=﹣，则tana===﹣∴tan（a﹣）===﹣7故选：A．6．（5.00分）已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，，则λ=（）A．B．C．D．【解答】解：因为向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），所以，所以，因为，所以11+3λ=0，所以．故选：D．7．（5.00分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由函数的图象可知，﹣1＜b＜0，a＞1，则g（x）=a x+b为增函数，当x=0时，y=1+b＞0，且过定点（0，1+b），故选：C．8．（5.00分）将函数y=sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，所得到的图象解析式是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=cosx C．f（x）=sin4x D．f（x）=cos4x【解答】解：函数y=sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到y=sin，再向右平移个单位，得到y=sin=sinx故选：A．9．（5.00分）设集合X是实数集R的子集，如果点x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x﹣x0|＜a，称x0为集合X的聚点．用Z表示整数集，则在下列集合中：①；②{x|x∈R，x≠0}；③；④整数集Z以0为聚点的集合有（）A．②③B．①④C．①③D．①②④【解答】解：①中，集合中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大，∴在a＜的时候，不存在满足得0＜|x|＜a的x，∴0不是集合的聚点②集合{x|x∈R，x≠0}，对任意的a，都存在x=（实际上任意比a小得数都可以），使得0＜|x|=＜a∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点③集合中的元素是极限为0的数列，对于任意的a＞0，存在n＞，使0＜|x|=＜a∴0是集合的聚点④对于某个a＜1，比如a=0.5，此时对任意的x∈Z，都有|x﹣0|=0或者|x﹣0|≥1，也就是说不可能0＜|x﹣0|＜0.5，从而0不是整数集Z的聚点故选：A．10．（5.00分）偶函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=cos﹣1，若函数g（x）=f（x）﹣log a x有且仅有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（2，4） D．（3，5）【解答】解：∵偶函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），故函数的图象既关于y轴对称又关于x=1对称，故函数f（x）是周期为2．由当x∈[﹣1，0]时，f（x）=cos﹣1，可得函数f（x）的图象，如图所示：由题意可得，函数y=f（x）的图象和函数y=log a x有的图象有且仅有3个交点，故有，求得＜a＜，故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5.00分）已知集合M={0，1，3}，N={x|x=3a，a∈M}，则M∪N={0，1，3，9} ．【解答】解：∵M={0，1，3}，∴N={x|x=3a，a∈M}={0，3，9}，则M∪N={0，1，3，9，}．故答案为：{0，1，3，9}．12．（5.00分）函数f（x）=的定义域为（﹣2，1] ．【解答】解：因为f（x）=，根据二次根式定义得1﹣x≥0①，根据对数函数定义得x+2＞0②联立①②解得：﹣2＜x≤1故答案为（﹣2，1]13．（5.00分）已知向量，夹角为45°，且||=1，||=，则|2﹣|=．【解答】解：∵向量夹角为45°，且，∴=4﹣4•+=4×12﹣4×1×cos45°+=2，∴=；故答案为：．14．（5.00分）函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=．【解答】解：由函数的图象可得A=，•T=﹣=•，求得ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=π，∴φ=，故f（x）=sin（2x+），∴f （0）=sin=，故答案为：．15．（5.00分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（1，1）时，的坐标为（1﹣sin1，1﹣cos1）．【解答】解：设滚动后的圆的圆心为C，切点为A（2，0），连接CP过C作与x轴正方向平行的射线，交圆C于B（2，1），设∠BCP=θ∵⊙C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴根据圆的参数方程，得P的坐标为（1+cosθ，1+sinθ），∵单位圆的圆心的初始位置在（0，1），圆滚动到圆心位于（1，1）∴∠ACP=1，可得θ=+1，可得cosθ=cos（﹣1）=﹣sin1，sinθ=sin（﹣1）=﹣cos2，代入上面所得的式子，得到P的坐标为（1﹣sin1，1﹣cos1），所以的坐标是（1﹣sin1，1﹣cos1），故答案为：（1﹣sin1，1﹣cos1）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12.00分）已知=（sinx，1），=（cosx，2）．（1）若∥，求tan2x的值；（2）若f（x）=（﹣）•，求f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1），∴；∴．（2）f（x）=（﹣）•=﹣==﹣2==﹣，令．所以f（x）的单调递增区间是．17．（12.00分）如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，=x•+y•．（1）若=，求x，y的值；（2）若=3，||=4，||=2，且与的夹角为60°时，求•的值．【解答】解：（1）∵，∴，即，∴，即，（2）∵，∴，即∴∴，==18．（12.00分）函数f（x）是以2为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=3x﹣1．（1）求f（x）在[﹣1，0]上的解析式；（2）求的值．【解答】解：（1）当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，又f（x）是偶函数则，x∈[﹣1，0]．（2），∵1﹣log32∈[0，1]，∴，即．19．（12.00分）已知函数f（x）=﹣x2+2ax﹣2a+b，且f（1）=0．（1）若f（x）在区间（2，3）上有零点，求实数a的取值范围；（2）若f（x）在[0，3]上的最大值是2，求实数a的值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=﹣x2+2ax﹣2a+b，由f（1）=0，得﹣1+2a﹣2a+b=0，解得：b=1．…（2分）又f（x）在区间（2，3）上有零点，且f（x）的一个零点是1；所以，．…（6分）（2）∵f（x）=﹣x2+2ax﹣2a+1的图象开口方向朝上，对称轴为x=a．①当a≤0时，f max=f（0）=﹣2a+1=2，则；②当0＜a＜3时，，则，或（舍去）；③当a≥3时，f max=f（3）=4a﹣8=2，则（舍去）；综上：或．…（12分）20．（13.00分）设函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象的一条对称轴是x=．（1）求φ的值及f（x）在区间上的最大值和最小值；（2）若f（α）=，，求cos2α的值．【解答】解：（1）f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象的一条对称轴是．故，k∈Z又0＜φ＜π，故．…（3分）所以，．即f（x）在区间上的最大值是1，最小值是．…（7分）（2）由已知得，，所以，=…（13分）21．（14.00分）对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数，且条件②中的区间[a，b]为f （x）的一个“好区间”．（1）求闭函数y=﹣x3的“好区间”；（2）若[1，16]为闭函数f（x）=m x的“好区间”，求m、n的值；（3）判断函数y=k+是否为闭函数？若是闭函数，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵y=﹣x3是减函数，∴故闭函数y=﹣x3的“好区间”是[﹣1，1]．…（3分）（2）①若f（x）是[1，16]上的增函数，则∴此时是[1，16]上的增函数，故符合题意．②若f（x）是[1，16]上的减函数，则∴此时．因为，所以在区间[1，16]上不是减函数，故不符合题意．综上：…（8分）（3）若是闭函数，则存在区间[a，b]⊆[﹣1，+∞），满足；故方程f（x）=x在区间[﹣1，+∞）上有两不相等的实根．由得令则x=t2﹣1，方程可化为t2﹣t﹣k﹣1=0，且方程有两不相等的非负实根；令g（t）=t2﹣t﹣k﹣1，则…（14分）附赠：数学考试技巧一、心理准备细心+认真=成功！1、知己知彼，百战百胜。
2015年合肥某168联合中学招生入学数学真卷(三)及答案
2015年合肥某168联合中学招生入学数学真卷（三）（时间：60分钟 满分：100分）一、填空题（每题3分，共30分）1. 据统计，我国汉族人口是十一亿三千七百三十九万人，写作______，省略“亿”位后面的尾数约是______。
2. 5时24分＝______时，38吨＝______千克。
3. 4:8＝15:______＝______%＝______折＝244. 在一个口袋里有2个红球和8个白球，从中任意摸出1个球，摸出白球的可能性是______，摸出黄球的可能性是______。
5. 六（1）班举行跳绳比赛，第一组有8个人，成绩分别是88个，94个，88个，98个，107个，94个，116个，88个。
这组数据的中位数是______，众数是______。
6. 某商品现价18元，亏了25%，如果想盈利25%，应该按______元出售该商品。
7. 如右图所示，ABC △是等腰直角三角形，D 是半圆弧的中点；BC 是半圆直径。
已知10AB BC ==厘米，则阴影部分面积是______。
8. 通过放大镜看一个20︒的角，这个角______20︒。
？（大于、小于或等于）9. 一件工作，甲单独做2小时完成，乙单独做2.5小时完成，丙单独做3小时完成，那么甲、乙、丙三人的工作效率比是______。
10. 如下图所示，一条直线最多可以把圆分成2小块，2条直线最多可以把圆分成()22+块，3条直线最多可以把圆分成()223++块。
以此类推，4条直线最多可以把圆分成______块，n 条直线最多可以把圆分成______块。
二、选择题（每题2分，共10分）1.将一根木棒锯成4段需要6分钟，则将这根木棒锯成8段需要（）分钟。
A.10B.12C.14D.162. 要反映小红六年级数学成绩的变化情况，应选择（）。
A.条形统计图B.折线统计图C.扇形统计图D.直方图3. 左图由7个立方体叠加的几何体，从上面观察，可画出的平面图形是（）。
2015-2016学年安徽省合肥168中高一(上)期末数学试卷
2015-2016学年安徽省合肥168中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知A ={−4, 2a −1, a 2}，B ={a −5, 1−a, 9}，且A ∩B ={9}，则a 的值是（ ） A.a =3 B.a =−3 C.a =±3 D.a =5或a =±32. 函数y =√log 2(4x−1)的定义域为（ ）A.(0,12)B.(34，+∞) C.(12，+∞) D.(34, 1)3. 若方程x 2−mx +3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m 的取值范围是（ ） A.(2, +∞) B.(0, 2) C.(4, +∞) D.(0, 4)4. 设a =0.512，b =0.812，c =log 20.5，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A.c <b <a B.c <a <b C.a <b <c D.b <a <c5. 为了得到函数y =sin (3x −π3)的图象，只需把函数y =sin 3x 的图象（ ）A.向右平移π9个单位长度 B.向左平移π9个单位长度 C.向右平移π3个单位长度D.向左平移π3个单位长度6. 给出下列各函数值：①sin 100∘；②cos (−100∘)；③tan (−100∘)；④sin 7π10cos πtan17π9．其中符号为负的是（ ）A.①B.②C.③D.④7. 设D 为△ABC 所在平面内一点BC →=3CD →，则( ) A.AD →=−13AB →+43AC →B.AD →=13AB →−43AC →C.AD →=43AB →+13AC →D.AD →=43AB →−13AC →8. 已知α∈R ,sin α+2cos α=√102，则tan 2α=( )A.43 B.34C.−34 D.−439. 设0<a <1，实数x ，y 满足|x|−log a 1y=0，则y 关于x 的函数的图象形状大致是（ ）A. B.C. D.10. 若函数f(x)=log a (2x 2+x)(a >0，a ≠1)在区间(0, 12)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为（ ） A.(−∞, 14) B.(−14, +∞)C.(0, +∞)D.(−∞, −12)11. 已知函数f(x)={2−|x|,x ≤2(x −2)2，x >2，函数g(x)=b2−f(2−x)，其中b ∈R ，若函数y =f(x)−g(x)恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ） A.(78，+∞) B.(74，2)C.(78，1)D.(72，4)12. 设向量a →，b →满足：|a →|=3，|b →|=4，a →⋅b →=0．以a →，b →，a →−b →的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ） A.3 B.4C.5D.6二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）设MP 和OM 分别是角17π18的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①MP <OM <0；②OM <0<MP ；③OM <MP <0；④MP <0<OM ， 其中正确的是________（把所有正确的序号都填上）．设函数f(x)=2x 1+2x(x ∈R)，若用[m]表示不超过实数m 的最大整数，则函数y =[f(x)−12]+[f(−x)+12]的值域为________．在直角坐标系xOy 中，已知点A(0, 1)和点B(−3, 4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC →|=2，则OC →=________．设函数f(x)＝x 2−ax +a +3，g(x)＝x −a ．若不存在x 0∈R ，使得f(x 0)<0与g(x 0)<0同时成立，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题（本题共8小题）已知α∈(π2，π)，且sin α2+cos α2=2√33．（1）求sin α，cos α的值；（2）若sin (α+β)=−35，β∈(0,π2)，求sin β的值．已知函数f(x)=A sin (ωx +ϕ)(A >0,ω>0,|ϕ|<π2)的图象在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(π, 2)和(4π, −2)． （1）试求f(x)的解析式；（2）将y =f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的14（纵坐标不变），然后再将新的图象向轴正方向平移π3个单位，得到函数y =g(x)的图象．写出函数y =g(x)的解析式．如图在长方形ABCD 中，AB →=a →，AD →=b →，N 是CD 的中点，M 是线段AB 上的点，|a →|=2，|b →|=1．（1）若M 是AB 的中点，求证：AN →与CM →共线；（2）在线段AB 上是否存在点M ，使得BD →与CM →垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M 点的位置；（3）若动点P 在长方形ABCD 上运动，试求AP →⋅AB →的最大值及取得最大值时P 点的位置．已知：函数f(x)=log 2x−1x+1，g(x)=2ax +1−a ，又ℎ(x)=f(x)+g(x)．（1）当a =1时，求证：ℎ(x)在x ∈(1, +∞)上单调递增，并证明函数ℎ(x)有两个零点；（2）若关于x 的方程f(x)=log 2g(x)有两个不相等实数根，求a 的取值范围．设f(x)=x 2−ax +2．当x ∈[1, +∞)时，f(x)≥0恒成立，求实数a 的取值范围．我国加入WTO 后，根据达成的协议，若干年内某产品关税与市场供应量P 的关系允许近似的满足：y =P(x)=2(1−kt)(x−b)2（其中t 为关税的税率，且t ∈[0,12））．（x 为市场价格，b 、k 为正常数），当t =18时的市场供应量曲线如图（1）根据图象求k 、b 的值；（2）若市场需求量为Q ，它近似满足Q(x)=211−12x ．当P ＝Q 时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率t 的最小值．（全省班做）《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累计计算：某人一月份的工资为8660元，那么他当月应缴纳的个人所得税是多少元？已知函数f(x)=x|2a−x|+2x，a∈R．(1)若a=0，判断函数y=f(x)的奇偶性，并加以证明；(2)若函数f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围；(3)若存在实数a∈[−2, 2]，使得关于x的方程f(x)−tf(2a)=0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．参考答案与试题解析2015-2016学年安徽省合肥168中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1.【答案】 B【考点】 交集及其运算元素与集合关系的判断【解析】由已知得到2a −1=9或a 2=9，求出a 后分别验证得答案． 【解答】解：∵ A ={−4, 2a −1, a 2}， B ={a −5, 1−a, 9}， 且A ∩B ={9}，∴ 2a −1=9或a 2=9，当2a −1=9时，a =5，A ∩B ={−4, 9}，不符合题意； 当a 2=9时，a =±3，若a =3，集合B 违背互异性； ∴ a =−3． 故选B ． 2.【答案】 C【考点】函数的定义域及其求法 【解析】由分母中根式内部的代数式大于0，求解对数不等式得答案． 【解答】解：要使原函数有意义，则log 2(4x −1)>0， 即4x −1>1，得x >12． ∴ 函数y =log 2(4x−1)的定义域为(12，+∞)． 故选：C ． 3.【答案】 C【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系 二次函数的性质【解析】 令f(x)=x 2−mx +3，若方程x 2−mx +3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，则f(1)<0，解得答案．【解答】解：令f(x)=x 2−mx +3，若方程x 2−mx +3=0的两根满足一根大于1，一根小于1， 则f(1)=1−m +3<0， 解得：m ∈(4, +∞)， 故选：C ． 4. 【答案】 B【考点】对数值大小的比较 【解析】要比较三个数字的大小，可将a ，b ，c 与中间值0，1进行比较，从而确定大小关系． 【解答】解：∵ a =0.512，b =0.812， ∴ 0<a <b ，∵ c =log 20.5<0， ∴ c <a <b ， 故选B ． 5.【答案】 A【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】由条件利用函数y =A sin (ωx +φ)的图象变换规律，可得结论． 【解答】解：把函数y =sin 3x 的图象向右平移π9个单位长度，可得y =sin 3(x −π9)=sin (3x −π3)的图象，故选：A ． 6. 【答案】 B【考点】三角函数值的符号 【解析】分别判断每个角对应的象限，即可判断每个函数值的符号． 【解答】 解：：①sin 100∘>0，②cos (−100∘)=cos 100∘<0，③tan (−100∘)=−tan 100>0， ④∵ sin 7π10>0，cos π=−1，tan17π9<0，∴sin7π10cos πtan17π9>0，其中符号为负的是②， 故选：B ． 7.【答案】 A【考点】向量的线性运算性质及几何意义 平行向量的性质 向量的几何表示 【解析】将向量AD →利用向量的三角形法则首先表示为AB →+BD →，然后结合已知表示为AB →，AC →的形式． 【解答】解：由已知得到如图，由AD →=AB →+BD →=AB →+43BC →=AB →+43(AC →−AB →)=−13AB →+43AC →. 故选A . 8.【答案】 C【考点】二倍角的正切公式同角三角函数间的基本关系【解析】由题意结合sin 2α+cos 2α=1可解得sin α，和cos α，进而可得tan α，再代入二倍角的正切公式可得答案． 【解答】解：∵ sin α+2cos α=√102，又sin 2α+cos 2α=1，联立解得{sin α=−√1010,cos α=3√1010,或{sin α=3√1010,cos α=√1010,故tan α=sin αcos α=−13，或tan α=3， 代入可得tan 2α=2tan α1−tan 2α=2×(−13)1−(−13)2=−34，或tan 2α=2tan α1−tan 2α=2×31−32=−34故选C . 9.【答案】 A【考点】函数的图象变换 【解析】函数y =1a ，显然y 在(0, +∞)上单调递增，且函数的图象经过点(0, 1)，从而得出结论． 【解答】解：0<a <1，实数x ，y 满足|x|−log a 1y =0，即y =1a |x|，故函数y 为偶函数，它的图象关于y 轴对称， 在(0, +∞)上单调递增，且函数的图象经过点(0, 1)， 故选：A ． 10.【答案】 D【考点】对数函数的图象与性质 对数函数的单调区间【解析】先求出2x 2+x ∈(0, 1)，再由条件f(x)>0判断出a 的范围，再根据复合函数“同增异减”原则求f(x)单调区间． 【解答】解：当x ∈(0, 12)时，2x 2+x ∈(0, 1)，∴ 0<a <1.∵ 函数f(x)=log a (2x 2+x)(a >0, a ≠1),由f(x)=log a t 和t =2x 2+x 复合而成，0<a <1时，f(x)=log a t 在(0, +∞)上是减函数，所以只要求t =2x 2+x >0的单调递减区间． t =2x 2+x >0的单调递减区间为(−∞, −12)， ∴ f(x)的单调增区间为(−∞, −12).故选D ． 11.【答案】 D【考点】分段函数的应用 函数零点的判定定理【解析】求出函数y =f(x)−g(x)的表达式，构造函数ℎ(x)=f(x)+f(2−x)，作出函数ℎ(x)的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵ g(x)=b2−f(2−x)，∴ y =f(x)−g(x)=f(x)−b2+f(2−x)，由f(x)−b 2+f(2−x)=0，得f(x)+f(2−x)=b2，设ℎ(x)=f(x)+f(2−x)，若x ≤0，则−x ≥0，2−x ≥2，则ℎ(x)=f(x)+f(2−x)=2+x +x 2，若0≤x ≤2，则−2≤−x ≤0，0≤2−x ≤2，则ℎ(x)=f(x)+f(2−x)=2−x +2−|2−x|=2−x +2−2+x =2， 若x >2，−x <−2，2−x <0，则ℎ(x)=f(x)+f(2−x)=(x −2)2+2−|2−x|=x 2−5x +8． 作出函数ℎ(x)的图象如图：当x ≤0时，ℎ(x)=2+x +x 2=(x +12)2+74≥74，当x >2时，ℎ(x)=x 2−5x +8=(x −52)2+74≥74， 故当b2=74时，ℎ(x)=b2，有两个交点， 当b2=2时，ℎ(x)=b2，有无数个交点，由图象知要使函数y =f(x)−g(x)恰有4个零点， 即ℎ(x)=b2恰有4个根，则满足74<b 2<2，解得：b ∈(72, 4)， 故选：D ． 12.【答案】 B【考点】直线与圆相交的性质向量的模平面向量数量积的运算【解析】先根据题设条件判断三角形为直角三角形，根据三边长求得内切圆的半径，进而看半径为1的圆内切于三角形时有三个公共点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，进而可得出答案． 【解答】解：∵ 向量a ⋅b =0，∴ 此三角形为直角三角形，三边长分别为3，4，5，进而可知其内切圆半径为1， ∵ 对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点， 对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况， 但5个以上的交点不能实现． 故选B二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 【答案】 ②【考点】 三角函数线 【解析】 作出角17π18的三角函数线图象，由图象进行判断，即可得到OM ，0，MP 之间的大小关系．【解答】解：由MP ，OM 分别为角17π18的正弦线、余弦线，如图， ∵ sin17π18=MP >0，cos17π18=OM <0，∴ OM <0<MP ．故答案为：②．【答案】 {0, 1} 【考点】函数的值域及其求法 【解析】化简y =[f(x)−12]+[f(−x)+12]=[12−11+2x ]+[11+2x +12]，从而分类讨论以确定函数的值，从而解得． 【解答】解：y =[f(x)−12]+[f(−x)+12]=[2x 1+2x −12]+[2−x 1+2−x +12] =[12−11+2]+[11+2+12]， ∵ 0<11+2x <1，∴ −12<12−11+2x <12，12<11+2x +12<32， ①当0<11+2x <12时，0<12−11+2x <12，12<11+2x +12<1， 故y =0； ②当11+2x =12时，12−11+2x =0，11+2x +12=1， 故y =1； ③12<11+2x<1时，−12<12−11+2x<0，1<11+2x+12<32，故y =−1+1=0；故函数y =[f(x)−12]+[f(−x)+12]的值域为{0, 1}． 故答案为：{0, 1}．【答案】(−√105, 3√105) 【考点】线段的定比分点 【解析】本题考查的知识点是线段的定比分点，处理的方法是，根据三角形内角平分线定理，求出OC 所在直线分有线向量AB 所成的比．然后代入定比分点公式求出OC 与AB 的交点坐标，再根据向量的模求出答案． 【解答】 解：∵ |OA →|=1，|OB →|=5， 设OC 与AB 交于D(x, y)点， 则AD:BD =1:5，即D 分有向线段AB 所成的比为15，则{x =−3×151+15,y =1+4×151+15,解得：{x =−12,y =32,∴ OD →=(−12,32)， 又∵ |OC →|=2，∴ OC →=2OD →|OD →|=(−√105, 3√105). 故答案为：(−√105, 3√105). 【答案】 [−3, 6] 【考点】一元二次不等式的应用 【解析】当x >a 时，g(x)>0恒成立，显然不存在x 0∈(a, +∞)，使得f(x 0)<0与g(x 0)<0同时成立，当x ≤a 时，则需f(x)≥0在(−∞, a]上恒成立，只需f(x)在(−∞, a]上的最小值大于或等于零即可，利用二次函数的图象性质求最小值并解不等式即可得a 的取值范围 【解答】①若x ≤a ，则g(x)≤0，此时若不存在x 0∈(−∞, a]，使得f(x 0)<0与g(x 0)<0同时成立，需f(x)≥0在(−∞, a]上恒成立，即x 2−ax +a +3≥0在(−∞, a]上恒成立，需{a >0f(a 2)≥0 或{a ≤0f(a)≥0 ，即{a >0−a 24+a +3≥0 或{a ≤0a +3≥0解得：−3≤a ≤6②若x >a ，则g(x)>0恒成立，显然不存在x 0∈(a, +∞)，使得f(x 0)<0与g(x 0)<0同时成立，此时a ∈R 综上所述，若不存在x 0∈R ，使得f(x 0)<0与g(x 0)<0同时成立，实数a 的取值范围是[−3, 6] 三、解答题（本题共8小题） 【答案】解：（1）将sin α2+cos α2=2√33两边平方得：(sin α2+cos α2)2=sin 2α2+2sin α2cos α2+cos 2α2=1+sin α=43，∴ sin α=13， ∵ α∈(π2, π)，∴ cos α=−√1−sin 2α=−2√23； （2）∵ α∈(π2, π)，β∈(0, π2)， ∴ α+β∈(π2, 3π2)， ∵ sin (α+β)=−35<0，∴α+β∈(π, 3π2)，∴cos(α+β)=−√1−sin2(α+β)=−45，则sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=−35×(−2√23)−(−45)×13=2√25+415=6√2+415．【考点】求两角和与差的正弦运用诱导公式化简求值【解析】（1）已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简，再利用二倍角的正弦函数公式化简求出sinα，由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosα的值；（2）由α与β的范围，求出α+β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos(α+β)的值，将sinβ变形为sin[(α+β)−α]，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）将sinα2+cosα2=2√33两边平方得：(sinα2+cosα2)2=sin2α2+2sinα2cosα2+cos2α2=1+sinα=43，∴sinα=13，∵α∈(π2, π)，∴cosα=−√1−sin2α=−2√23；（2）∵α∈(π2, π)，β∈(0, π2)，∴α+β∈(π2, 3π2)，∵sin(α+β)=−35<0，∴α+β∈(π, 3π2)，∴cos(α+β)=−√1−sin2(α+β)=−45，则sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=−35×(−2√23)−(−45)×13=2√25+415=6√2+415．【答案】（本题满分为12分）解：（1）由题意知：A=2，…∵T=6π，∴2πω=6π得ω=13，…∴f(x)=2sin(13x+φ)，∵函数图象过(π, 2)，∴sin(π3+φ)=1，∵−π6<φ+π3<5π6，∴φ+π3=π2，得φ=π6…∴A=2，ω=13，φ=π6，∴f(x)=2sin(13x+π6)．…（2）∵将y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的14（纵坐标不变），可得函数y=2sin(43x+π6)的图象，然后再将新的图象向轴正方向平移π3个单位，得到函数g(x)=2sin[43(x−π3)+π6]=2sin(4x3−5π18)的图象．故y=g(x)的解析式为：g(x)=2sin(4x3−5π18)．…【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】（1）依题意，可求得A，由T=6π可求ω，函数图象过(π, 2)可求φ；（2）根据函数图象的周期变换及平移变换法则，结合（1）中函数的解析式，即可求出函数y=g(x)的解析式．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由题意知：A=2，…∵T=6π，∴2πω=6π得ω=13，…∴f(x)=2sin(13x+φ)，∵函数图象过(π, 2)，∴sin(π3+φ)=1，∵−π6<φ+π3<5π6，∴φ+π3=π2，得φ=π6…∴A=2，ω=13，φ=π6，∴ f(x)=2sin (13x +π6)．…（2）∵ 将y =f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的14（纵坐标不变），可得函数y =2sin (43x +π6)的图象， 然后再将新的图象向轴正方向平移π3个单位，得到函数g(x)=2sin [43(x −π3)+π6]=2sin (4x3−5π18)的图象． 故y =g(x)的解析式为：g(x)=2sin (4x3−5π18)．…【答案】（1）证明：如图，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系， 当M 是AB 的中点时，A(0, 0)，N(1, 1)，C(2, 1)，M(1, 0)， AN →=(1,1)，CM →=(−1,−1)，由AN →=−CM →，可得AN →与CM →共线；（2）解：假设线段AB 上是否存在点M ，使得BD →与CM →垂直， 设M(t, 0)(0≤t ≤2)，则B(2, 0)，D(0, 1)，M(t, 0)， BD →=(−2,1)，CM →=(t −2,−1)，由BD →⋅CM →=−2(t −2)−1=0，解得t =32，∴ 线段AB 上存在点M(32，0)，使得BD →与CM →垂直；（3）解：由图看出，当P 在线段BC 上时，AP →在AB →上的投影最大， 则AP →⋅AB →有最大值为4． 【考点】平面向量数量积的运算 【解析】（1）建立如图所示平面直角坐标系，得到AN →与CM →的坐标，由共线向量基本定理得答案； （2）假设存在M ，设出M 的坐标，由数量积运算求得M 的坐标； （3）直接利用向量在向量方向上的投影结合图形得答案．【解答】（1）证明：如图，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系， 当M 是AB 的中点时，A(0, 0)，N(1, 1)，C(2, 1)，M(1, 0)，AN →=(1,1)，CM →=(−1,−1)，由AN →=−CM →，可得AN →与CM →共线；（2）解：假设线段AB 上是否存在点M ，使得BD →与CM →垂直， 设M(t, 0)(0≤t ≤2)，则B(2, 0)，D(0, 1)，M(t, 0)， BD →=(−2,1)，CM →=(t −2,−1)，由BD →⋅CM →=−2(t −2)−1=0，解得t =32， ∴ 线段AB 上存在点M(32，0)，使得BD →与CM →垂直；（3）解：由图看出，当P 在线段BC 上时，AP →在AB →上的投影最大， 则AP →⋅AB →有最大值为4． 【答案】解：（1）证明：ℎ(x)=f(x)+g(x)=log 2x−1x+1+2x ， =log 2(1−2x+1)+2x ； ∵ y =1−2x+1在(1, +∞)上是增函数，故y =log 2(1−2x+1)在(1, +∞)上是增函数； 又∵ y =2x 在(1, +∞)上是增函数； ∴ ℎ(x)在x ∈(1, +∞)上单调递增；同理可证，ℎ(x)在(−∞, −1)上单调递增； 而ℎ(1.1)=−log 221+2.2<0， ℎ(2)=−log 23+4>0；故ℎ(x)在(1, +∞)上有且仅有一个零点，同理可证ℎ(x)在(−∞, −1)上有且仅有一个零点，故函数ℎ(x)有两个零点；（2）由题意，关于x的方程f(x)=log2g(x)有两个不相等实数根可化为1−2x+1=2ax+1−a在(−∞, −1)∪(1, +∞)上有两个不相等实数根；故a=2(x+1)(1−2x)；结合函数a=2(x+1)(1−2x)的图象可得，22×(−1)<a<0；即−1<a<0．【考点】函数零点的判定定理对数函数图象与性质的综合应用函数单调性的判断与证明【解析】（1）利用复合数的单调性证明函数的单调性，利用函数零点的判定定理求函数的零点；（2）化简关于x的方程f(x)=log2g(x)有两个不相等实数根为1−2x+1=2ax+1−a在(−∞, −1)∪(1, +∞)上有两个不相等实数根；从而求解．【解答】解：（1）证明：ℎ(x)=f(x)+g(x)=log2x−1x+1+2x，=log2(1−2x+1)+2x；∵y=1−2x+1在(1, +∞)上是增函数，故y=log2(1−2x+1)在(1, +∞)上是增函数；又∵y=2x在(1, +∞)上是增函数；∴ℎ(x)在x∈(1, +∞)上单调递增；同理可证，ℎ(x)在(−∞, −1)上单调递增；而ℎ(1.1)=−log221+2.2<0，ℎ(2)=−log23+4>0；故ℎ(x)在(1, +∞)上有且仅有一个零点，同理可证ℎ(x)在(−∞, −1)上有且仅有一个零点，故函数ℎ(x)有两个零点；（2）由题意，关于x的方程f(x)=log2g(x)有两个不相等实数根可化为1−2x+1=2ax+1−a在(−∞, −1)∪(1, +∞)上有两个不相等实数根；故a=2(x+1)(1−2x)；结合函数a=2(x+1)(1−2x)的图象可得，22×(−1)<a<0；即−1<a<0．【答案】解：由f(x)≥0得f(x)=x2−ax+2≥0，即ax≤2+x2，∵x∈[1, +∞)，∴ a ≤2+x 2x =x +2x ，∵ x +2x≥2√x ⋅2x=2√2，当x =2x ，即x =√2取等号，∴ a ≤2√2． 【考点】函数恒成立问题 【解析】根据不等式的关系利用参数分类法，结合基本不等式的性质进行求解即可． 【解答】解：由f(x)≥0得f(x)=x 2−ax +2≥0， 即ax ≤2+x 2， ∵ x ∈[1, +∞)， ∴ a ≤2+x 2x =x +2x ，∵ x +2x ≥2√x ⋅2x =2√2， 当x =2x ，即x =√2取等号， ∴ a ≤2√2． 【答案】由图可知，t =18{2(1−k8)(5−b)2=12(1−k 8)(7−b)2=2解得{k =6b =5 当P ＝Q 时，得2(1−6t)(x−5)2=211−12x解得：t =16[1−22−x 2(x−5)2]=16[1−17−(x−5)2(x−5)2]=−112[17(x−5)2−1x−5−2]令m =1x−5，∵ x ≥9，∴ m ∈(0, 14]，则t =−112(17m 2−m −2)， ∴ 对称轴m =134∈(0, 14]，且开口向下； ∴ m =14时，t 取得最小值19192，此时x ＝9∴ 税率t 的最小值为19192．【考点】指数函数综合题 【解析】第一问能根据图象求出k 、b 的值．第二问能根据题意构造函数，并能在定义域内求函数的最小值．考查的知识综合性较强，对学生理解题意的能力也是一个挑战． 【解答】由图可知，t =18{2(1−k 8)(5−b)2=12(1−k8)(7−b)2=2解得{k =6b =5当P ＝Q 时，得2(1−6t)(x−5)2=211−12x 解得：t =16[1−22−x 2(x−5)2]=16[1−17−(x−5)2(x−5)2]=−112[17(x−5)2−1x−5−2]令m =1x−5，∵ x ≥9，∴ m ∈(0, 14]，则t =−112(17m 2−m −2)，∴ 对称轴m =134∈(0, 14]，且开口向下； ∴ m =14时，t 取得最小值19192，此时x ＝9 ∴ 税率t 的最小值为19192．【答案】解：由题意，某人一月份的工资为8660元，那么他当月应缴纳的个人所得税是1500×3%+3000×10%+(8660−4500)×20%=1177元 【考点】函数模型的选择与应用 【解析】利用税款分段累计，即可得出结论． 【解答】解：由题意，某人一月份的工资为8660元，那么他当月应缴纳的个人所得税是1500×3%+3000×10%+(8660−4500)×20%=1177元 【答案】(1)证明：函数y =f(x)为奇函数． 当a =0时，f(x)=x|−x|+2x ， ∴ f(−x)=−x|x|−2x =−f(x)， ∴ 函数y =f(x)为奇函数.(2)解：f(x)={x 2+(2−2a)x ，x ≥2a,−x 2+(2+2a)x ，x <2a,当x ≥2a 时，y =f(x)的对称轴为：x =a −1； 当x <2a 时，y =f(x)的对称轴为：x =a +1； ∴ 当a −1≤2a ≤a +1时，f(x)在R 上是增函数, 即−1≤a ≤1时，函数f(x)在R 上是增函数.(3)解：方程f(x)−tf(2a)=0的解即为方程f(x)=tf(2a)的解． ①当−1≤a ≤1时，函数f(x)在R 上是增函数，∴ 关于x 的方程f(x)=tf(2a)不可能有三个不相等的实数根； ②当a >1时，即2a >a +1>a −1，∴ f(x)在(−∞, a +1)上单调增，在(a +1, 2a)上单调递减，在(2a, +∞)上单调递增， ∴ 当f(2a)<tf(2a)<f(a +1)时，关于x 的方程f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根； 即4a <t ⋅4a <(a +1)2， ∵ a >1，∴ 1<t <14(a +1a +2)． 设ℎ(a)=14(a +1a+2)，∵ 存在a ∈[−2, 2]，使得关于x 的方程f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根，∴1<t<ℎ(a)max，又可证ℎ(a)=14(a+1a+2)在(1, 2]上单调递增，∴ℎ(a)max=98，∴1<t<98，③当a<−1时，即2a<a−1<a+1，∴f(x)在(−∞, 2a)上单调递增，在(2a, a−1)上单调递减，在(a−1, +∞)上单调递增，∴当f(a−1)<tf(2a)<f(2a)时，关于x的方程f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根；即−(a−1)2<t⋅4a<4a，∵a<−1，∴1<t<−14(a+1a−2)，设g(a)=−14(a+1a−2)，∵存在a∈[−2, 2]，使得关于x的方程f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根，∴1<t<g(a)max，又可证g(a)=−14(a+1a−2)在[−2, −1)上单调递减，∴g(a)max=98，∴1<t<98;综上：1<t<98．【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的性质【解析】(1)若a=0，根据函数奇偶性的定义即可判断函数y=f(x)的奇偶性；(2)根据函数单调性的定义和性质，利用二次函数的性质即可求实数a的取值范围；(3)根据方程有三个不同的实数根，建立条件关系即可得到结论．【解答】(1)证明：函数y=f(x)为奇函数．当a=0时，f(x)=x|−x|+2x，∴f(−x)=−x|x|−2x=−f(x)，∴函数y=f(x)为奇函数.(2)解：f(x)={x2+(2−2a)x，x≥2a,−x2+(2+2a)x，x<2a,当x≥2a时，y=f(x)的对称轴为：x=a−1；当x<2a时，y=f(x)的对称轴为：x=a+1；∴当a−1≤2a≤a+1时，f(x)在R上是增函数, 即−1≤a≤1时，函数f(x)在R上是增函数.(3)解：方程f(x)−tf(2a)=0的解即为方程f(x)=tf(2a)的解．①当−1≤a≤1时，函数f(x)在R上是增函数，∴关于x的方程f(x)=tf(2a)不可能有三个不相等的实数根；②当a>1时，即2a>a+1>a−1，∴f(x)在(−∞, a+1)上单调增，在(a+1, 2a)上单调递减，在(2a, +∞)上单调递增，∴当f(2a)<tf(2a)<f(a+1)时，关于x的方程f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根；即4a<t⋅4a<(a+1)2，∵a>1，∴1<t<14(a+1a+2)．设ℎ(a)=14(a+1a+2)，∵存在a∈[−2, 2]，使得关于x的方程f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根，∴1<t<ℎ(a)max，又可证ℎ(a)=14(a+1a+2)在(1, 2]上单调递增，∴ℎ(a)max=98，∴1<t<98，③当a<−1时，即2a<a−1<a+1，∴f(x)在(−∞, 2a)上单调递增，在(2a, a−1)上单调递减，在(a−1, +∞)上单调递增，∴当f(a−1)<tf(2a)<f(2a)时，关于x的方程f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根；即−(a−1)2<t⋅4a<4a，∵a<−1，∴1<t<−14(a+1a−2)，设g(a)=−14(a+1a−2)，∵存在a∈[−2, 2]，使得关于x的方程f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根，∴1<t<g(a)max，又可证g(a)=−14(a+1a−2)在[−2, −1)上单调递减，∴g(a)max=98，∴1<t<98;综上：1<t<98．。
2015年合肥某168联合中学招生入学数学真卷(二)及答案
2015年合肥某168联合中学招生入学数学真卷（二）（时间：60分钟 满分100分）一、选择题（每题3分，共15分）1.一根蜡烛原长20㎝，点燃后每小时燃烧5㎝，则燃烧时剩下的高度h ㎝与燃烧时间t （小时）之间的关系用图表示为（ ）。
2.下列图形中，（ ）不是轴对称图形。
A.直角三角形B.五角星C.等腰三角形D.圆3.一个非零自然数A 除以一个假分数，商一定（ ）A 。
A.小于B.大于C.等于D.无法判断4.a ，b 是两个自然数，如果7a b ÷=，下列说法不正确的有（ ）。
A.a 是b 的倍数B.a 能被b 整除C.a 是b 的7倍D.a ，b 最大公约数是75.甲、乙两根同样长的绳子，甲剪去它的58，乙剪去58米，则剩下的绳子的长短关系是（ ）。
A.甲比乙长 B.甲比乙短 C.相等 D.无法比较二、填空题（每题3分，共30分）1.光明小学为学生统一编学号，设定尾数1为男生，0为女生，9913510表示“1999年入学的一年级三班的51号学生，该生为女生”，那么9731041，表示该生是（ ）年入学的，是（ ）年级（ ）班的，学号是（ ）号，该生是（ ）。
2.圆的直径由6厘米增加到10厘米，圆的面积增加了（ ）平方厘米。
3.一年级六班今天到校57人，有3人请假。
一年级六班今天出勤率是（ ）。
4.如果※表示一种运算符号，其意义2a b a b =-※，则()115.53=※※（ ）。
5.环形的内圆周长是31.4，环宽2，那么环形的面积为（ ）。
6.如图所示，将它折成一个正方体。
相交于同一顶点的三个面的点数之和最大的值是（ ）。
7.一所学校男学生与女学生的比是4∶5，女学生比男学生多（ ）%。
8.一个运输队包运输1998套玻璃茶具，运输合同规定：每套茶具运费1.6元，每损坏一套茶具，不仅不得运费，还要从总费中扣除赔偿费18元。
结果这个运输队实际得到运费3059.6元，那么，在运输过程中一共损坏了（ ）套茶具。
安徽省合肥168中2014-2015学年高二下学期期末数学(文)试卷 Word版含解析
安徽省合肥168中2014-2015学年高二下学期期末数学试卷（文科） 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1．设x∈R，“复数z=（1﹣x2）+（1+x）i为纯虚数”是“lg|x|=0”的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 2．若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin，则（） A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b 3．已知x与y之间的几组数据如下表： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 假设根据上表数据所得线性回归方程为=x+，根据中间两组数据（4，3）和（5，4）求得的直线方程为y=bx+a，则与b，与a的大小为（） A．＞b，＞a B．＞b，＜a C．＜b，＞a D．＜b，＜a 4．△ABC中，若sin2A+sin2B＞sin2C，则△ABC是（） A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定 5．动圆M经过双曲线x2﹣=1的左焦点且与直线x=2相切，则圆心M的轨迹方程是（） A．y2=8x B．y2=﹣8x C．y2=4x D．y2=﹣4x 6．设{an}是有正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4=1，S3=7，则S5=（） A．B．C．D． 7．已知实数x，y满足，如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2，则实数m等于（） A．0 B． 6 C．7 D．8 8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n后，输出的S∈（10，20），那么n的值为（） A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 9．偶函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为奇函数，且f（1）=1，则f（9）+f（10）=（） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D． 1 10．定义在R上的函数f（x），若对任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称f（x）为“Z函数”，给出下列函数： ①y=x3﹣x2+x﹣2；②y=2x﹣（sinx+cosx）；③y=ex+1；④f（x）=其中是“Z函数”的个数为（） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11．命题“对?x≥0，都有x2+x﹣1＞0”的否定是． 12．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为． 13．已知实数x，y满足x2+y2﹣xy=1，则x+y的最大值为． 14．已知正数a，b，对任意a＞b且a，b∈（0，1）不等式ax2﹣ax﹣a2＞bx2﹣bx﹣b2恒成立，则实数x的取值范围是． 15．下列说法中 ①若=，则点O是△ABC的重心 ②若点O满足：，则点O是△ABC的垂心． ③若动点P满足，点P的轨迹一定过△ABC的内心． ④若动点P满足，点P的轨迹一定过△ABC的重心． ⑤若动点P满足，点P的轨迹一定过△ABC的外心． 其中正确的是． 三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DA=DC，已知B=，BC=1． （Ⅰ）若△ABC是锐角三角形，DC=，求角A的大小； （Ⅱ）若△BCD的面积为，求边AB的长． 17．安徽省文科2015届高考数学试题考生一致认为比较简单，从而好成绩的取得不仅与知识掌握程度有关更与细节的把握程度有关（非知识错误）！学校就数学学科考试上是否有失误从本届文科毕业生中随机调查了100人，其中男生36人，有失误的学生中男生14人，女生16人． （1）问：你有多大的把握认为细节的把握程度与性别有关？ （2）为了进一步调查考试中易犯哪些非知识错误，现用分层抽样的方法从100人中抽取样本容量为10的样本，求从这10人中任取两人，恰有一人犯有非知识错误的概率． 附：（1）临界值表： p（k2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.879 10.828 （2）K2=． 18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，D为线段AC的中点． （Ⅰ）求证：BD⊥平面ACC1A1； （Ⅱ）求证：直线AB1∥平面BC1D； （Ⅲ）设M为线段BC1上任意一点，在△BC1D内的平面区域（包括边界）是否存在点E，使CE⊥DM，并说明理由． 19．已知f（x）=+nlnx（m，n为常数），在x=1处的切线方程为x+y﹣2=0． （Ⅰ）求f（x）的解析式并写出定义域； （Ⅱ）若?x∈[，1]，使得对?t∈[，2]上恒有f（x）≥t3﹣t2﹣2at+2成立，求实数a的取值范围． 20．数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn与an之间满足an=（n≥2）． （1）求a2的值； （2）求数列{Sn}的通项公式； （3）设f（n）=，若存在正数k，使f（n）≥k对一切n∈N*都成立，求k的最大值． 21．在平面直角坐标系xoy中，已知点P（0，1），Q（0，2），椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以坐标原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T．求证：点T 在椭圆C上． 安徽省合肥168中2014-2015学年高二下学期期末数学试卷（文科） 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1．设x∈R，“复数z=（1﹣x2）+（1+x）i为纯虚数”是“lg|x|=0”的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：简易逻辑． 分析：根据充分必要条件的对于进行判断即可． 解答：解：若复数z=（1﹣x2）+（1+x）i为纯虚数， 则，解得：x=1， ∴lg|x|=lg1=0，是充分条件， 若lg|x|=0，则：x=±1， x=1时，复数z是纯虚数， x=﹣1时，z=0，不满足条件，不是必要条件， 故选：A． 点评：本题考查了充分必要条件，考查复数的定义，是一道基础题． 2．若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin，则（） A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b 考点：对数值大小的比较． 专题：函数的性质及应用． 分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 解答：解：∵a=20.5＞1，0＜b=logπ3＜1，c=log2sin＜0， ∴a＞b＞c． 故选：C． 点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题． 3．已知x与y之间的几组数据如下表： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 假设根据上表数据所得线性回归方程为=x+，根据中间两组数据（4，3）和（5，4）求得的直线方程为y=bx+a，则与b，与a的大小为（） A．＞b，＞a B．＞b，＜a C．＜b，＞a D．＜b，＜a 考点：线性回归方程． 专题：概率与统计． 分析：利用数据求出回归直线方程的系数，利用数据（4，3）和（5，4）求得的直线方程y=bx+a，比较可得结论． 解答：解：由题意可知n=4，===4.5，===3.5， 则==，==3.5﹣0.7×4.5=0.35， 过（4，3）和（5，4）的直线方程为：， 即y=x﹣1，则b=1，a=﹣1， 则＜b，＞a， 故选：C． 点评：本题考查线性回归方程的求解，以及由两点求直线方程的应用，比较基础． 4．△ABC中，若sin2A+sin2B＞sin2C，则△ABC是（） A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定 考点：三角形的形状判断． 专题：解三角形． 分析：由正余弦定理结合已知条件可得角C为锐角，但A、B两角不确定，无法判断三角形的形状． 解答：解：∵sin2A+sin2B＞sin2C， ∴由正弦定理可得a2+b2＞c2， ∴cosC=＞0， ∴角C为锐角， 但A、B两角不确定，故无法判断三角形的形状， 故选：D 点评：本题考查三角形形状的判断，属基础题． 5．动圆M经过双曲线x2﹣=1的左焦点且与直线x=2相切，则圆心M的轨迹方程是（） A．y2=8x B．y2=﹣8x C．y2=4x D．y2=﹣4x 考点：双曲线的简单性质． 专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：求出双曲线的左焦点（﹣2，0），设M（x，y），动圆的半径为r，运用直线和圆相切的条件d=r，以及圆的半径的定义，列出方程，化简即可得到M的轨迹方程． 解答：解：双曲线x2﹣=1的左焦点为（﹣2，0）， 设M（x，y），动圆的半径为r， 由动圆M与直线x=2相切，可得|x﹣2|=r， 又动圆M经过双曲线的左焦点， 则=r， 即有=|x﹣2|， 两边平方，化简可得y2=﹣8x． 故选B． 点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查轨迹方程的求法：直接法，运用直线和圆相切的条件和圆的定义是解题的关键，考查化简的运算能力，属于基础题． 6．设{an}是有正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4=1，S3=7，则S5=（） A．B．C．D． 考点：等比数列的前n项和；等比数列的性质． 分析：先由等比中项的性质求得a3，再利用等比数列的通项求出公比q及首项a1，最后根据等比数列前n项和公式求得S5． 解答：解：由a2a4=a32=1，得a3=1， 所以S3==7， 又q＞0，解得=2，即q=． 所以a1==4， 所以=． 故选B． 点评：本题考查等比中项的性质、等比数列的通项公式及前n项和公式． 7．已知实数x，y满足，如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2，则实数m等于（） A．0 B． 6 C．7 D．8 考点：简单线性规划的应用． 专题：计算题． 分析：由目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2，我们可以画出满足条件的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数m的方程组，消参后即可得到m的取值． 解答：解：画出x，y满足的可行域如下图： 可得直线y=2x﹣1与直线x+y=m的交点使目标函数z=x﹣y取得最小值， 故， 解得， 代入x﹣y=﹣2得 故选：D 点评：如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值． 8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n后，输出的S∈（10，20），那么n的值为（） A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 考点：循环结构． 专题：算法和程序框图． 分析：框图在输入n的值后，根据对S和k的赋值执行运算，S=1+2S，k=k+1，然后判断k是否大于n，不满足继续执行循环，满足跳出循环，由题意，说明当算出的值S∈（10，20）后进行判断时判断框中的条件满足，即可求出此时的n值． 解答：解：框图首先给累加变量S赋值0，给循环变量k赋值1， 输入n的值后，执行S=1+2×0=1，k=1+1=2； 判断2＞n不成立，执行S=1+2×1=3，k=2+1=3； 判断3＞n不成立，执行S=1+2×3=7，k=3+1=4； 判断4＞n不成立，执行S=1+2×7=15，k=4+1=5． 此时S=15∈（10，20），是输出的值，说明下一步执行判断时判断框中的条件应该满足， 即5＞n满足，所以正整数n的值应为4． 故选：B． 点评：本题考查了程序框图中的循环结构，是直到型循环，即先执行后判断，不满足条件继续执行循环，直到条件满足跳出循环，算法结束，是基础题． 9．偶函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为奇函数，且f（1）=1，则f（9）+f（10）=（） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D． 1 考点：函数奇偶性的性质． 专题：函数的性质及应用． 分析：根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论． 解答：解：∵f（x+2）为奇函数， ∴f（﹣x+2）=﹣f（x﹣2）， ∵f（x）是偶函数， ∴f（﹣x+2）=f（x﹣2）=﹣f（x﹣2）， 即f（x+4）=﹣f（x）， f（x+8）=f（x+4+4）=﹣f（x+4）=f（x）， 则f（9）=f（1）=1， f（10）=f（2）， 当x=0时，由f（﹣x+2）=﹣f（x﹣2）， 得f（2）=﹣f（﹣2）=﹣f（2）， 即2f（2）=0， 则f（2）=0， ∴f（9）+f（10）=0+1=1， 故选：D． 点评：本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键． 10．定义在R上的函数f（x），若对任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称f（x）为“Z函数”，给出下列函数： ①y=x3﹣x2+x﹣2；②y=2x﹣（sinx+cosx）；③y=ex+1；④f（x）=其中是“Z函数”的个数为（） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 考点：函数的概念及其构成要素． 分析：不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1﹣x2）[f （x1）﹣f（x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论． 解答：解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f （x2）+x2f（x1）恒成立， ∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立， 即函数f（x）是定义在R上的增函数． ①y=﹣x3﹣x2+x﹣2；y'=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，则函数在定义域上单调递增． ②y=2x﹣（sinx+cosx）；y'=2﹣（cosx﹣sinx）=2+sin（x﹣）＞0，函数单调递增，满足条件． ③y=ex+1为增函数，满足条件． ④f（x）=，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件． 故选C． 点评：本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键． 二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11．命题“对?x≥0，都有x2+x﹣1＞0”的否定是?x≥0，都有x2+x﹣1≤0． 考点：命题的否定． 专题：简易逻辑． 分析：根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可． 解答：解：命题为全称命题， 则命题的否定为：?x≥0，都有x2+x﹣1≤0， 故答案为：?x≥0，都有x2+x﹣1≤0 点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． 12．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为8﹣π． 考点：由三视图求面积、体积． 专题：空间位置关系与距离． 分析：由三视图知几何体为正方体在相对的两个顶点处分别挖去两个个圆柱，根据三视图的数据求出正方体的棱长、圆柱的高和底面上的半径，代入体积公式计算即可． 解答：解：由三视图可知，该几何体为正方体在相对的两个顶点处分别挖去两个个圆柱， 由三视图中的数据可得：正方体的棱长为2，圆柱的高为2，圆柱底面的半径都是1， ∴几何体的体积V==8﹣π， 故答案为：8﹣π． 点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量，考查空间想象能力． 13．已知实数x，y满足x2+y2﹣xy=1，则x+y的最大值为2． 考点：基本不等式． 专题：不等式的解法及应用． 分析：利用基本不等式的性质即可得出． 解答：解：∵x2+y2﹣xy=1， ∴（x+y）2=1+3xy， 化为（x+y）2≤4， ∴x+y≤2， ∴x+y的最大值为2． 故答案为：2． 点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题． 14．已知正数a，b，对任意a＞b且a，b∈（0，1）不等式ax2﹣ax﹣a2＞bx2﹣bx﹣b2恒成立，则实数x的取值范围是x≤﹣1或x≥2． 考点：函数恒成立问题． 专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 分析：法一：通过因式分解，原不等式可化简为x2﹣x﹣（a+b）＞0，问题可化为x2﹣x＞（a+b）max；法二：构造函数h（t）=﹣t2+（x2﹣x）t，由题意可知h（t）=﹣t2+（x2﹣x）t在（0，1）单调递增，借助二次函数的性质可得关于x的不等式． 解答：解法一：化简ax2﹣ax﹣a2＞bx2﹣bx﹣b2， 得（a﹣b）x2﹣（a﹣b）x﹣（a2﹣b2）＞0， ∵a＞b，∴x2﹣x﹣（a+b）＞0， 又a，b∈（0，1），∴x2﹣x≥2，解得x≤﹣1或x≥2． 故答案为：x≤﹣1或x≥2． 法二：ax2﹣ax﹣a2＞bx2﹣bx﹣b2可化为a（x2﹣x）﹣a2＞b（x2﹣x）﹣b2， 令h（t）=﹣t2+（x2﹣x）t， ∵对任意a＞b且a，b∈（0，1）不等式ax2﹣ax﹣a2＞bx2﹣bx﹣b2恒成立， ∴h（t）=﹣t2+（x2﹣x）t在（0，1）单调递增， ∴对称轴t=，解得x≤﹣1或x≥2， 故答案为：x≤﹣1或x≥2． 点评：本题考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力，法一转化为了函数最值解决，而法二则通过构造函数转化为函数的单调性处理，细心观察式子的特点并能合理转化是解题关键． 15．下列说法中 ①若=，则点O是△ABC的重心 ②若点O满足：，则点O是△ABC的垂心． ③若动点P满足，点P的轨迹一定过△ABC的内心． ④若动点P满足，点P的轨迹一定过△ABC的重心． ⑤若动点P满足，点P的轨迹一定过△ABC的外心． 其中正确的是①②③④． 考点：向量的线性运算性质及几何意义． 专题：平面向量及应用． 分析：①若=，取BC中点D，连接并延长OD至E，使DE=OD 于是四边形BOCE是平行四边形，由于=，即可判断出正误； ②设，，，则=，=，=．由已知可得：+=+=，化为==，利用向量垂直与数量积的关系即可判断出正误． ③由已知化为=λ，可知点P一定在∠BAC的平分线上，即可判断出正误． ④由已知可得：=λ，设D为边BC的中点，根据正弦定理：，因此与共线，而与共线，即可判断出正误． ⑤由已知可得：=λ，?=+=0，可得，即可判断出正误． 解答：解：①若=，取BC中点D，连接并延长OD至E，使DE=OD 于是四边形BOCE是平行四边形，∴=，∴A，O，D三点共线，且||OA=2|OD|，∴点O是三角形ABC的重心，正确； ②设，，，则=，=，=．∵点O满足：，∴+=+=，化为==，∴，，，则点O是△ABC的垂心，正确．则点O是△ABC的垂心． ③若动点P满足，∴=λ，因此点P一定在∠BAC的平分线上，∴点P的轨迹一定过△ABC 的内心，正确． ④若动点P满足，∴=λ，设D为边BC的中点，根据正弦定理：，即=，∴与共线，而与共线，∴点P的轨迹一定过△ABC的重心． ⑤若动点P满足，∴=λ，∵?=+=0， ∴，因此点P的轨迹一定过△ABC的垂心，故不正确． 故答案为：①②③④． 点评：本题综合考查了向量的运算性质、数量积运算性质、三角形的重心垂心内心外心等判定定理与性质定理、正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DA=DC，已知B=，BC=1． （Ⅰ）若△ABC是锐角三角形，DC=，求角A的大小； （Ⅱ）若△BCD的面积为，求边AB的长． 考点：正弦定理． 专题：解三角形． 分析：（Ⅰ）在△BCD中，由正弦定理得到∠BDC，又由DA=DC，即可得到∠A； （Ⅱ）由于△BCD面积为，得到 ?BC?BD?sin=，得到BD，再由余弦定理得到CD2=BC2+BD2﹣2BC?BD?cos ，再由DA=DC，即可得到边AB的长． 解答：解：（Ⅰ）在△BCD中，B=，BC=1，DC=， 由正弦定理得到：， 解得sin∠BDC==， 则∠BDC=或．△ABC是锐角三角形，可得∠BDC=． 又由DA=DC，则∠A=． （Ⅱ）由于B=，BC=1，△BCD面积为， 则?BC?BD?sin=，解得BD=． 再由余弦定理得到CD2=BC2+BD2﹣2BC?BD?cos=1+﹣2××=， 故CD=， 又由AB=AD+BD=CD+BD=， 故边AB的长为：． 点评：本题考查了正弦定理和余弦定理结合去解三角形，属于中档题． 17．安徽省文科2015届高考数学试题考生一致认为比较简单，从而好成绩的取得不仅与知识掌握程度有关更与细节的把握程度有关（非知识错误）！学校就数学学科考试上是否有失误从本届文科毕业生中随机调查了100人，其中男生36人，有失误的学生中男生14人，女生16人． （1）问：你有多大的把握认为细节的把握程度与性别有关？ （2）为了进一步调查考试中易犯哪些非知识错误，现用分层抽样的方法从100人中抽取样本容量为10的样本，求从这10人中任取两人，恰有一人犯有非知识错误的概率． 附：（1）临界值表： p（k2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.879 10.828 （2）K2=． 考点：独立性检验的应用． 专题：应用题；概率与统计． 分析：（1）列出2×2列联表，计算k2，与临界值比较，即可得出结论； （2）确定基本事件的个数，即可求出从这10人中任取两人，恰有一人犯有非知识错误的概率． 解答：解：（1）2×2列联表为 有失误没有失误合计 男生14 22 36 女生16 48 64 合计30 70 100 k2=≈2.12＞2.072， 故有85%的把握认为细节的把握程度与性别有关； （2）从这10人中任取两人，基本事件45，从这10人中任取两人，非知识错误3人，满足要求21个， 故从这10人中任取两人，恰有一人犯有非知识错误的概率为． 点评：本题考查独立性检验知识，考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，D为线段AC的中点． （Ⅰ）求证：BD⊥平面ACC1A1； （Ⅱ）求证：直线AB1∥平面BC1D； （Ⅲ）设M为线段BC1上任意一点，在△BC1D内的平面区域（包括边界）是否存在点E，使CE⊥DM，并说明理由． 考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 专题：空间位置关系与距离． 分析：（Ⅰ）充分利用正三棱柱的性质得到CC1⊥底面ABC，得到CC1⊥BD，只要再证明BD垂直于AC即可； （Ⅱ）连接B1C交BC1于O，连接OD，D为AC 中点，得到AB1∥OD，利用线面平行的判定定理可得； （Ⅲ）在△BC1D内的平面区域（包括边界）存在点E，使CE⊥DM，此时E在线段C1D上；只要利用线面垂直的判定定理和性质定理证明． 解答：（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形， ∴CC1⊥BC，CC1⊥AC，∴CC1⊥底面ABC， ∵BD?底面ABC，∴CC1⊥BD， 又底面为等边三角形，D为线段AC的中点． ∴BD⊥AC， 又AC∩CC1=C， ∴BD⊥平面ACC1A1； （Ⅱ）证明：连接B1C交BC1于O，连接OD，如图 则O为B1C的中点， ∵D是AC的中点，∴AB1∥OD， 又OD?平面BC1D，OD?平面BC1D ∴直线AB1∥平面BC1D； （Ⅲ）在△BC1D内的平面区域（包括边界）存在点E，使CE⊥DM，此时E在线段C1D上； 证明如下：过C作CE⊥C1D交线段C1D与E， 由（Ⅰ）可知BD⊥平面ACC1A1， 而CE?平面ACC1A1，所以BD⊥CE， 由CE⊥C1D，BD∩C1D=D， 所以CE⊥平面BC1D， DM?平面BC1D， 所以CE⊥DM． 点评：本题考查了线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理的运用证明线线垂直，熟练运用定理是关键． 19．已知f（x）=+nlnx（m，n为常数），在x=1处的切线方程为x+y﹣2=0． （Ⅰ）求f（x）的解析式并写出定义域； （Ⅱ）若?x∈[，1]，使得对?t∈[，2]上恒有f（x）≥t3﹣t2﹣2at+2成立，求实数a的取值范围． 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的定义域及其求法；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题：导数的概念及应用；不等式的解法及应用． 分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义求得m，n的值，根据对数函数的定义得到函数定义域； （Ⅱ）f（x）在[，1]上的最小值为f（1）=1，只需t3﹣t2﹣2at+2≤1，即对任意的上恒成立，构造函数m（t），利用导数求出m（t）的最大值，即可求得结论． 解答：解：（Ⅰ）由可得， 由条件可得， 把x=﹣1代入x+y=2可得，y=1， ∴，∴m=2，， ∴，（0，+∞）； （Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在上单调递减， ∴f（x）在上的最小值为f（1）=1， 故只需t3﹣t2﹣2at+2≤1，即对任意的上恒成立， 令m（t）=， 易求得m（t）在单调递减，[1，2]上单调递增， 而，， ∴2a≥m（t）max=g（2） ∴，即a的取值范围为． 点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，属于中档题． 20．数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn与an之间满足an=（n≥2）． （1）求a2的值； （2）求数列{Sn}的通项公式； （3）设f（n）=，若存在正数k，使f（n）≥k对一切n∈N*都成立，求k的最大值． 考点：数列递推式；数列的求和． 专题：点列、递归数列与数学归纳法． 分析：（1）通过an=（n≥2）直接代入计算即可； （2）利用an=Sn﹣Sn﹣1代入an=（n≥2），整理得数列{}是以=1为首项、以2为公差的等差数列，进而计算即得结论； （3）通过化简可知=＞1，问题转化为fmin（n）≥k，进而计算可得结论． 解答：解：（1）∵a1=1，an=（n≥2）， ∴a2=， 解得； （2）∵当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1， ∴Sn﹣Sn﹣1=， ∴（Sn﹣Sn﹣1）（2Sn﹣1）=2， ∴Sn﹣1﹣Sn=2SnSn﹣1， ∴﹣=2， 即数列{}是以=1为首项、以2为公差的等差数列， ∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1， ∴Sn=； （3）∵Sn=，f（n）=， ∴=====＞1， ∴f（n）在n∈N*上递增， 要使f（n）≥k恒成立，只需fmin（n）≥k， ∵fmin（n）=f（1）=， ∴0＜k≤， ∴kmax=． 点评：本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 21．在平面直角坐标系xoy中，已知点P（0，1），Q（0，2），椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以坐标原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T．求证：点T在椭圆C上． 考点：直线与圆锥曲线的综合问题． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：（Ⅰ）利用椭圆C的短半轴长为圆心到切线的距离可知b=，利用e2==可知a=2，进而可得结论； （Ⅱ）通过设点M（x0，y0）、N（﹣x0，y0）、T（x，y），联立直线PM、QN的方程得x0=、y0=，通过将点M、N坐标代入椭圆C方程、化简即得结论． 解答：（Ⅰ）解：∵椭圆C的短半轴长为圆心到切线的距离， ∴b==， 又∵e2===， ∴a=2， ∴椭圆C的方程为：； （Ⅱ）证明：依题意可设点M（x0，y0）、N（﹣x0，y0）、T（x，y）， 则直线PM的方程为：y=x+1， 直线QN的方程为：y=﹣x+2， 联立直线PM、QN的方程，得：x0=，y0=， ∵点M、N均在椭圆C上， ∴， ∴， 整理得：+=（2y﹣3）2， ∴+﹣12y+8=4y2﹣12y+9， 即， ∴点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上． 点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。
合肥168中学自主招生考试语文数学英语物理试题合集 精
168中学2010年科学素养测试 数 学 试 题【卷首语】亲爱的同学们，欢迎参加一六八中学自主招生考试，希望你们凝神静气，考出水平！开放的一六八中学热忱欢迎你们！本学科满分为120分，共17题；建议用时90分钟。
一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、计算28-= .2、分解因式：)1()1(---y y x x = .3、函数114-+-=x x y 中，自变量x 的取值范围是 . 4、已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为1，则数据10x 1＋5，10x 2＋5，…，10x n ＋5的方差为 .5、函数x x y 322+--=的图像与坐标轴的三个交点分别为（a , 0）(b , 0)（0, c )，则a+b+c 的值等于 .6、在同一平面上，⊙1O 、⊙2O 的半径分别为2和1，1O 2O ＝5，则半径为9且与⊙1O 、⊙2O 都相切的圆有 个．7、一个直角三角形斜边上的两个三等分点与直角顶点的两条连线段长分别为 3 cm 和 4 cm ，则斜边长为 cm . 8、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：则第10个图案中有白色地面砖 块.9、将函数2x y =的图像平移，使平移后的图像过C （0，-2），交x 轴于A 、B 两点，并且△ABC 的面积等于4，则平移后的图像顶点坐标是 .10、如图，平行四边形ABCD 中，P 点是形内一点，且△PAB 的面积等于8 cm 2，△PAD 的面积等于7 cm 2，，△PCB 的面积等于12 cm 2，则△PCD 的面积是 cm 2.11、一个由若干个相同大小的小正方体组成的几何组合体，其主视图与左视图均为如图所示的3 × 3的方格，问该几何组合体至少需要的小正方体个数是 .12、正△ABC 内接于⊙O ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，延长DE 交⊙O 与F , 连接BF交AC 于点P ,则=PA PC. 二、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）13、已知（a+b ）∶(b +c )∶(c +a )=7∶14∶9求：① a ∶b ∶c② bcc ab a +-2214、一辆客车,一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上同时同向行驶,客车在前,小轿车在后,货车在客车与小轿车之间，走了1分钟,小轿车追上了货车;又走了6分钟,小轿车追上了客车.再过8分钟,货车追上了客车.设出发时客车与货车的距离为a ，货车与小轿车的距离为b ,求a : b 的值15、在Rt△ABC 中，斜边AB ＝5厘米，BC ＝a 厘米，AC ＝b 厘米，a ＞b ，且a 、b 是方程2(1)40x m x m --++=的两根， ⑴求a 和b 的值；⑵△A'B'C'与△ABC 开始时完全重合，然后让△ABC 固定不动，将△A 'B 'C'以1厘米/秒的速度沿BC 所在的直线向左移动.ⅰ)设x 秒时△A 'B 'C'与△ABC 的重叠部分的面积为y 平方厘米（y ＞0），求y 与x 之间的函数关系式,并写出x 的取值范围； ⅱ)几秒时重叠部分的面积等于38平方厘米？A B CM A'B'C'16、已知A （5，0），点B 在第一象限内，并且AB 与直线l :x y 43=平行，AB 长为8. （1）求点B 的坐标. （2）点P 是直线l :x y 43=上的动点，求△PAB 内切圆的最大面积.17、已知半径为r 的⊙1O 与半径为R 的⊙2O 外离，直线DE 经过1O 切⊙2O 于点E 并交⊙1O 于点A 和点D , 直线CF经过2O 切⊙1O 于点F 并交⊙2O 于点B 和点C , 连接AB 、CD , （1）[以下ⅰ）、ⅱ）两小题任选一题] ⅰ) 求四边形ABCD 的面积ⅱ) 求证：A 、B 、E 、F（2）求证：AB //DC2010年科学素养测试欢迎你们！本学科满分为80分，共18题；建议用时60分钟。
2015年安徽省合肥市168中学自主招生数学模拟试卷和解析答案
2015年安徽省合肥市168中学自主招生数学模拟试卷一、填空题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知0＜a＜1，化简=．2．（5分）已知（2008﹣a）2+（2007﹣a）2=1，则（2008﹣a）•（2007﹣a）=．3．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC=40，．O为AB上一点，以O为圆心，OB为半径地圆交BC于D，且⊙O与AC相切．则D到AC地距离为．4．（5分）观察下列各式：…计算：=．5．（5分）从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，在不同地和数中，是2地倍数地个数为a，是3地倍数地个数为b，则样本6、a、b、9地中位数是．6．（5分）多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为．7．（5分）一次函数地图象与y轴、x轴围成地三角形地内切圆半径是．8．（5分）按下列程序进行运算（如图）规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算．若x=5，则运算进行次才停止；若运算进行了5次才停止，则x地取值范围是．二、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）a，b，c均不为0，若，则P（ab，bc）不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10．（5分）已知函数y=ax2+bx+c，当y＞0时，．则函数y=cx2﹣bx+a 地图象可能是下图中地（）A．B．C．D．11．（5分）已知关于x地方程，若a为正实数，则下列判断正确地是（）A．有三个不等实数根B．有两个不等实数根C．有一个实数根D．无实数根12．（5分）代数式地最小值为（）A．12 B．13 C．14 D．1113．（5分）如图，线段AF中，AB=a，BC=b，CD=c，DE=d，EF=e．则以A，B，C，D，E，F为端点地所有线段长度地和为（）A．5a+8b+9c+8d+5e B．5a+8b+10c+8d+5eC．5a+9b+9c+9d+5e D．10a+16b+18c+16d+10e14．（5分）给出一列数，在这列数中，第50个值等于1地项地序号是（）A．4900 B．4901 C．5000 D．5001三、解答题（本大题共5小题，共80分）15．（15分）已知关于x地方程：有一个增根为b，另一根为c．二次函数y=ax2+bx+c+7与x轴交于P和Q两点．在此二次函数地图象上求一点M，使得△PQM面积最大．16．（15分）某商店积压了100件某种商品，为使这批货物尽快脱手，该商店采取了如下销售方案，将价格提高到原来地2.5倍，再作3次降价处理；第一次降价30%，标出“亏本价”；第二次又降价30%，标出“破产价”；第三次再降价30%，标出“跳楼价”．3次降价处理销售结果如下表：（1）跳楼价占原价地百分比是多少？（2）该商品按新销售方案销售，相比原价全部售完，哪种方案更盈利？17．（15分）已知：关于x地方程x2+2x﹣k=0有两个不相等地实数根．（1）求k地取值范围；（2）若α，β是这个方程地两个实数根，求：地值；（3）根据（2）地结果你能得出什么结论？18．（15分）以半圆中地一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB 交于点D，若=，且AB=10，则CB地长为．19．（20分）如图，已知直线y=﹣2x+12分别与y轴，x轴交于A，B两点，点M 在y轴上，以点M为圆心地⊙M与直线AB相切于点D，连接MD．（1）求证：△ADM∽△AOB；（2）如果⊙M地半径为2，请写出点M地坐标，并写出以（﹣，）为顶点，且过点M地抛物线地解析式；（3）在（2）条件下，试问在此抛物线上是否存在点P使以P、A、M三点为顶点地三角形与△AOB相似？如果存在，请求出所有符合条件地点P地坐标；如果不存在，请说明理由．2015年安徽省合肥市168中学自主招生数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知0＜a＜1，化简=．【解答】解：∵0＜a＜1，∴＜，∴原式=﹣=﹣=﹣（）=2．2．（5分）已知（2008﹣a）2+（2007﹣a）2=1，则（2008﹣a）•（2007﹣a）= 0．【解答】解：∵（2008﹣a）2+（2007﹣a）2=1，∴（2008﹣a）2﹣2（2008﹣a）（2007﹣a）+（2007﹣a）2=1﹣2（2008﹣a）（2007﹣a），即（2008﹣a﹣2007+a）2=1﹣2（2008﹣a）（2007﹣a），整理得﹣2（2008﹣a）（2007﹣a）=0，∴（2008﹣a）（2007﹣a）=0．3．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC=40，．O为AB上一点，以O为圆心，OB为半径地圆交BC于D，且⊙O与AC相切．则D到AC地距离为15．【解答】解：连接OD、OE，则OE⊥AC；∵AB=AC，∴∠B=∠C；∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∴∠ODB=∠C；∴OD∥AC；因此OE即为所求地D到AC地距离．OE=OB，sinA====，解得：OE=15．故D到AC地距离为15．4．（5分）观察下列各式：…计算：=2010．【解答】解：根据题意，+++…+=1﹣（1﹣）+1﹣（﹣）+1﹣（﹣）+…+1﹣（﹣）=1×2011﹣1+﹣+﹣+﹣…﹣+=2011﹣1+=2010．故答案为：2010．5．（5分）从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，在不同地和数中，是2地倍数地个数为a ，是3地倍数地个数为b ，则样本6、a 、b 、9地中位数是 5.5 ． 【解答】解：根据从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，可以得出所有可能： 1+2=3，1+3=4，1+5=6，1+7=8，1+8=9，2+3=5，2+5=7，2+7=9，2+8=10，3+5=8，3+7=10，3+8=11，5+7=12，5+8=13，7+8=15，它们和中所有不同数据为：3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，15， 故是2地倍数地个数为a=5，是3地倍数地个数为b=5， 则样本6、5、5、9按大小排列为：5，5，6，9， 则这组数据地中位数是：=5.5，故答案为：5.5．6．（5分）多项式6x 3﹣11x 2+x +4可分解为 （x ﹣1）（3x ﹣4）（2x +1） ． 【解答】解：6x 3﹣11x 2+x +4， =6x 3﹣6x 2﹣5x 2+x +4，=6x 2（x ﹣1）﹣（5x 2﹣x ﹣4）， =6x 2（x ﹣1）﹣（x ﹣1）（5x +4）， =（x ﹣1）（6x 2﹣5x ﹣4）， =（x ﹣1）（3x ﹣4）（2x +1）．7．（5分）一次函数地图象与y 轴、x 轴围成地三角形地内切圆半径是 2 ．【解答】解：设一次函数与y 轴交于A 、与x 轴交于B ， 当x=0时，y=8， ∴OA=8，当y=0时，0=﹣x +8， ∴x=6， ∴OB=6，在△AOB 中，由勾股定理得：AB=10，设三角形OAB 地内切圆地圆心是I ，半径是R ，连接IA 、IB 、IO ， 由三角形地面积公式得：S △IAO +S △IAB +S △IOB =S △AOB ，∴OA×OB=OA×R+OB×R+AB×R，∴6×8=6R+8R+10R，∴R=2．故答案为：2．8．（5分）按下列程序进行运算（如图）规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算．若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行了5次才停止，则x地取值范围是2＜x≤4．【解答】解：（1）x=5．第一次：5×3﹣2=13第二次：13×3﹣2=37第三次：37×3﹣2=109第四次：109×3﹣2=325＞244→→→停止（2）第1次，结果是3x﹣2；第2次，结果是3×（3x﹣2）﹣2=9x﹣8；第3次，结果是3×（9x﹣8）﹣2=27x﹣26；第4次，结果是3×（27x﹣26）﹣2=81x﹣80；第5次，结果是3×（81x﹣80）﹣2=243x﹣242；∴由（1）式子得：x＞2，由（2）式子得：x≤4∴2＜x≤4．即：5次停止地取值范围是：2＜x≤4．故答案为：4；2＜x≤4．二、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）a，b，c均不为0，若，则P（ab，bc）不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵abc＜0．∴a，b，c中至少有一个是负数，另两个同号，可知三个都是负数或两正数，一个是负数，当三个都是负数时：若=abc，则x﹣y=a2bc＞0，即x＞y，同理可得：y＞z，z＞x这三个式子不能同时成立，即a，b，c不能同时是负数．则P（ab，bc）不可能在第一象限．故选A．10．（5分）已知函数y=ax2+bx+c，当y＞0时，．则函数y=cx2﹣bx+a 地图象可能是下图中地（）A．B．C．D．【解答】解：因为函数y=ax2+bx+c，当y＞0时，所以可判断a＜0，可知﹣=﹣+=﹣，=﹣×=﹣所以可知a=6b，a=﹣6c，则b=﹣c，不妨设c=1则函数y=cx2﹣bx+a为函数y=x2+x﹣6即y=（x﹣2）（x+3）则可判断与x轴地交点坐标是（2，0），（﹣3，0），故选A．11．（5分）已知关于x地方程，若a为正实数，则下列判断正确地是（）A．有三个不等实数根B．有两个不等实数根C．有一个实数根D．无实数根【解答】解：方程可化为x2﹣4x+5=﹣a（+2），所以，方程地解地个数等于函数y=x2﹣4x+5与y=﹣a（+2）地交点地个数，函数y=x2﹣4x+5地图象经过第一、二象限，∵a是正实数，∴﹣a是负实数，∴y=﹣a（+2）地图象位于第二、四象限，两个函数图象一定有一个交点，∴方程有一个实数根．故选C．12．（5分）代数式地最小值为（）A．12 B．13 C．14 D．11【解答】解：如图所示：设P点坐标为P（x，0），原式可化为+，即=AP，=BP，AB==13．代数式地最小值为13．故选B．13．（5分）如图，线段AF中，AB=a，BC=b，CD=c，DE=d，EF=e．则以A，B，C，D，E，F为端点地所有线段长度地和为（）A．5a+8b+9c+8d+5e B．5a+8b+10c+8d+5eC．5a+9b+9c+9d+5e D．10a+16b+18c+16d+10e【解答】解：以A为端点线段有AB、AC、AD、AE、AF，这些线段长度之和为5a+4b+3c+2d+e，以B为端点线段有BC、BD、BE、BF，这些线段长度之和为4b+3c+2d+e，以C为端点线段有CD、CE、CF，这些线段长度之和为3c+2d+e，以D为端点线段有DE、DF，这些线段长度之和为2d+e，以E为端点线段有EF，线段地长度为e，故这些线段地长度之和为5a+8b+9c+8d+5e，故选A．14．（5分）给出一列数，在这列数中，第50个值等于1地项地序号是（）A．4900 B．4901 C．5000 D．5001【解答】解：第50个值等于1地项地分子分母地和为2×50=100，由于从分子分母地和为2到分子分母地和为99地分数地个数为：1+2+…+98=4851．第50个值等于1地项为．故4851+50=4901．故选B．三、解答题（本大题共5小题，共80分）15．（15分）已知关于x地方程：有一个增根为b，另一根为c．二次函数y=ax2+bx+c+7与x轴交于P和Q两点．在此二次函数地图象上求一点M，使得△PQM面积最大．【解答】解：由题意可得b=2，a=﹣4代入方程得c=﹣5．∴二次函数为y=﹣4x2+2x+2与x轴地交点为P（﹣，0），Q（1，0），当点M地横坐标为x=﹣或x=或x=时，△PQM地面积可能取最大，经比较可得x=﹣时，△PQM地面积取最大，此时y=﹣10即点M（﹣，﹣10），．16．（15分）某商店积压了100件某种商品，为使这批货物尽快脱手，该商店采取了如下销售方案，将价格提高到原来地2.5倍，再作3次降价处理；第一次降价30%，标出“亏本价”；第二次又降价30%，标出“破产价”；第三次再降价30%，标出“跳楼价”．3次降价处理销售结果如下表：（1）跳楼价占原价地百分比是多少？（2）该商品按新销售方案销售，相比原价全部售完，哪种方案更盈利？【解答】解：（1）设原价为1，则跳楼价为2.5×1×（1﹣30%）×（1﹣30%）×（1﹣30%）=2.5×0.73，所以跳楼价占原价地百分比为2.5×0.73÷1×100%=85.75%；（2）原价出售：销售金额=100×1=100，新价出售：销售金额=2.5×1×0.7×10+2.5×1×0.7×0.7×40+2.5×0.73×50，=109.375；∵109.375＞100，∴新方案销售更盈利．17．（15分）已知：关于x地方程x2+2x﹣k=0有两个不相等地实数根．（1）求k地取值范围；（2）若α，β是这个方程地两个实数根，求：地值；（3）根据（2）地结果你能得出什么结论？【解答】解：（1）△=4+4k，∵方程有两个不等实根，∴△＞0，即4+4k＞0∴k＞﹣1（2）由根与系数关系可知α+β=﹣2，αβ=﹣k，∴=，（3）由（1）可知，k＞﹣1时，地值与k无关．18．（15分）以半圆中地一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB 交于点D，若=，且AB=10，则CB4．【解答】解：如图，∵=，AB=10，∴AD=4，BD=6，作AB关于直线BC地对称线段A′B，交半圆于D′，连接AC、CA′，可得A、C、A′三点共线，∵线段A′B与线段AB关于直线BC对称，∴AB=A′B，∴AC=A′C，AD=A′D′=4，A′B=AB=10．而A′C•A′A=A′D′•A′B，即A′C•2A′C=4×10=40．则A′C2=20，又∵A′C2=A′B2﹣CB2，∴20=100﹣CB2，∴BC=4．故答案为：4．19．（20分）如图，已知直线y=﹣2x+12分别与y轴，x轴交于A，B两点，点M 在y轴上，以点M为圆心地⊙M与直线AB相切于点D，连接MD．（1）求证：△ADM∽△AOB；（2）如果⊙M地半径为2，请写出点M地坐标，并写出以（﹣，）为顶点，且过点M地抛物线地解析式；（3）在（2）条件下，试问在此抛物线上是否存在点P使以P、A、M三点为顶点地三角形与△AOB相似？如果存在，请求出所有符合条件地点P地坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵AB是⊙M切线，D是切点，∴MD⊥AB．∴∠MDA=∠AOB=90°，又∠MAD=∠BAO，∴△ADM∽△AOB．（2）解：设M（0，m），由直线y=2x+12得，OA=12，OB=6，则AM=12﹣m，而DM=2 ，在Rt△AOB中，AB===6，∵△ADM∽△AOB，∴=，即=，解得m=2，∴M（0，2），设顶点为（﹣，）地抛物线解析式为y=a（x+）2+，将M点坐标代入，得a（0+）2+=2，解得a=﹣2，所以，抛物线解析式为y=﹣2（x+）2+；（3）解：存在．①当顶点M为直角顶点时，M、P两点关于抛物线对称轴x=﹣轴对称，此时MP=5，AM=12﹣2=10，AM：MP=2：1，符合题意，∴P（﹣5，2）；②当顶点A为直角顶点时，P点纵坐标为12，代入抛物线解析式，得﹣2（x+）2+=12，解得x=﹣±，此时AP=﹣±，AM=10，不符合题意；③当顶点P为直角顶点时，则由相似三角形地性质可知，P（n，﹣2n+2 ）或（2n，﹣n+2），若P（n，2n+2），则﹣2n﹣n=10，解得n=﹣4，当x=﹣4，y=﹣2（﹣4+）2+=10，﹣2n+2=10，符合题意，若P（2n，﹣n+2），则﹣n﹣4n=10，解得n=﹣2，而当x=2n=﹣4时，y=﹣2（﹣4+）2+=10，﹣n+2=4，不符合题意，所以，符合条件地P点坐标为（5，2），（4，10）．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
2015年合肥某168联合中学招生入学数学真卷(一)及答案
（时间：60分钟满分100分）
一、选择题（每题
1．学校建校舍计划投资45万元，实际投资40万元。实际投资节约了（）。
A．ll.1％B．12.1％C．12.5％D．12.0％
2．大桥乡修一条长2100米的水渠，已修了5天，平均每天修240米。余下的任务要在3天内完成，平均每天应修（）米。
A．300B．350C．250D．200
3．第四季度比第二季度增长______％。
三、计算题（每题
1．
2．
3．6.11＋9.22＋8.33＋7.44＋5.55＋4.56＋3.67＋2.78＋1.89
4． …
5．
四、解答题（每题
1．一只木箱子长9分米，宽6分米，高4分米，做这样的木箱10只（有盖），至少需用木板多少平方米？
2．甲、乙两车同时从相距520千米的两地相向而行，5小时相遇，已知甲车每小时比乙车每小时多行6千米。甲乙两车每小时各行多少千米？
≈5.83（万元）
1998年平均每朋的产值是5.83万元；
3.（25－10）÷10
＝15÷10
＝1.5
＝150%
第四季度比第二季度增长150%。
故答案为：1.一，二2.5.83 3.150。
三、1.
＝8－2
＝6
2.
3.6.11＋9.22＋8.33＋7.44＋5.55＋4.56＋3.67＋2.78＋1.89
A．提高了B．降低了C．没变D．没答案
8．装订一批同样的练习本，原计划每本装16页，可以装订250本，如果要装订成200本，每本应装（）页。
A．18B．19C．20D．21
9．一个圆柱形水桶，底面直径和高都是6分米，这个水桶可盛水（）立方分米。
A．169.56B．1695.6C．16.956D．16956
2015-2016年安徽省合肥168中高二(上)期末数学试卷(理科)及答案
2015-2016学年安徽省合肥168中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共60题，每题5分．每题仅有一个正确选项）.1．（5分）设0＜x＜，则“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）如果命题“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解”是正确的，则下列命题中正确的是（）A．曲线C是方程f（x，y）=0的曲线B．方程f（x，y）=0的每一组解对应的点都在曲线C上C．不满足方程f（x，y）=0的点（x，y）不在曲线C上D．方程f（x，y）=0是曲线C的方程3．（5分）若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x4．（5分）已知命题p：∃x∈R，使sinx=；命题q：∀x∈R，都有x2+x+1＞0．给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“￢p∨q”是假命题③命题“￢p∨q”是真命题；④命题“p∨￢q”是假命题；其中正确的是（）A．②③B．②④C．③④D．①②③5．（5分）以双曲线的中心为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程是（）A．y2=4x B．C．D．6．（5分）在四面体ABCD中，AB⊥AD，AB=AD=BC=CD=1，且平面ABD⊥平面BCD，M为AB中点，则CM与平面ABD所成角的正弦值为（）A．B．C．D．7．（5分）若双曲线=1（a＞b＞0）的渐近线和圆x2+y2﹣6y+8=0相切，则该双曲线的离心率等于（）A．B．2C．3D．8．（5分）过抛物线：y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为60°的直线l，若直线l与抛物线在第一象限的交点为A，并且点A也在双曲线：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC 和△DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．36π10．（5分）某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（）A．2B．4C．2D．211．（5分）已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）A．B．3C．D．12．（5分）如图，已知直线a∥平面α，在平面α内有一动点P，点A是定直线a上定点，且AP与a所成角为θ（θ为锐角），点A到平面α距离为d，则动点P的轨迹方程为（）A．tan2θx2+y2=d2B．tan2θx2﹣y2=d2C．D．二、填空题（共20分，每题5分）13．（5分）在△ABC中，“A＞”是“sinA＞”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）14．（5分）直线y=x+m与圆x2+y2=4交于不同的两点M、N，且，其中O为坐标原点，则实数m的取值范围是．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在椭圆+=1上，点P满足=（λ﹣1）（λ∈R），且•=72，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为．16．（5分）已知正四棱锥V﹣ABCD可绕着AB任意旋转，CD∥平面α．若AB=2，VA=，则正四棱锥V﹣ABCD在面α内的投影面积的取值范围是．三、解答题（共70分，每题需有必要的解答过程）17．（10分）设命题p：“若a≥0，则x2+x﹣a=0有实根”．（Ⅰ）试写出命题p的逆否命题；（Ⅱ）判断命题p的逆否命题的真假，并写出判断过程．18．（10分）已知四边形ABCD满足AD∥BC，BA=AD=DC=BC=a，E是BC的中点，将△BAE沿着AE翻折成△B1AE，使面B1AE⊥面AECD，F，G分别为B1D，AE的中点．（Ⅰ）求三棱锥E﹣ACB1的体积；（Ⅱ）证明：B1E∥平面ACF；（Ⅲ）证明：平面B1GD⊥平面B1DC．19．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，点P坐标为（2，﹣1），过点P 作圆C的切线，切点为A、B．（1）求直线PA，PB的方程；（2）求切线长|PA|的值；（3）求直线AB的方程．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC=2，M、N分别为PC、PB的中点．（1）求证：PB⊥平面ADMN；（2）求BD与平面ADMN所成的角；（3）点E在线段PA上，试确定点E的位置，使二面角A﹣CD﹣E为45°．21．（13分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB 面积的最小值．22．（13分）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．2015-2016学年安徽省合肥168中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共60题，每题5分．每题仅有一个正确选项）.1．（5分）设0＜x＜，则“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵0＜x＜，∴0＜sinx＜1，故xsin2x＜xsinx，若“xsinx＜1”，则“xsin2x＜1”若“xsin2x＜1”，则xsinx＜，＞1．此时xsinx＜1可能不成立．例如x→，sinx→1，xsinx＞1．由此可知，“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的必要而不充分条件．故选B．2．（5分）如果命题“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解”是正确的，则下列命题中正确的是（）A．曲线C是方程f（x，y）=0的曲线B．方程f（x，y）=0的每一组解对应的点都在曲线C上C．不满足方程f（x，y）=0的点（x，y）不在曲线C上D．方程f（x，y）=0是曲线C的方程【解答】解：由曲线与方程的对应关系，可知：由于不能判断以方程f（x，y）=0的解为坐标的点是否都在曲线C上，故方程f（x，y）=0的曲线不一定是C，所以曲线C是方程f（x，y）=0的曲线不正确；方程f（x，y）=0的每一组解对应的点都在曲线C上也不正确；不能推出曲线C是方程f（x，y）=0的轨迹，从而得到A，B，D均不正确，不满足方程f（x，y）=0的点（x，y）不在曲线C上是正确的．故选：C．3．（5分）若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，可得，可得，解得，∴双曲线﹣=1的渐近线方程为：y=±x．故选：A．4．（5分）已知命题p：∃x∈R，使sinx=；命题q：∀x∈R，都有x2+x+1＞0．给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“￢p∨q”是假命题③命题“￢p∨q”是真命题；④命题“p∨￢q”是假命题；其中正确的是（）A．②③B．②④C．③④D．①②③【解答】解：∵＞1，结合正弦函数的性质，易得命题p为假命题，又∵x2+x+1=（x+）2+＞0恒成立，∴q为真命题，故￢p是真命题，￢q是假命题；所以①p∧q是假命题，①错误；p∧￢q是假命题，②正确，③错误；命题“p∨￢q”是假命题，④正确；故答案为：②④故选：B．5．（5分）以双曲线的中心为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程是（）A．y2=4x B．C．D．【解答】解：根据双曲线的方程知，该双曲线的中心为原点，右焦点为（，0）；∴抛物线方程可设为y2=2px；∴；∴；∴抛物线方程为．故选：B．6．（5分）在四面体ABCD中，AB⊥AD，AB=AD=BC=CD=1，且平面ABD⊥平面BCD，M为AB中点，则CM与平面ABD所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，取BD的中点O，连接OA，OC，∵AB=AD=BC=CD=1，∴OA⊥BD，OC⊥BD．又平面ABD⊥平面BCD，∴OA⊥平面BCD，OA⊥OC．建立空间直角坐标系．又AB⊥AD，∴DB=．∴O（0，0，0），A（0，0，），B（0，，0），M（0，，），C（，0，0）．∴=（﹣，，）．取平面ABD的法向量=（1，0，0），∴CM与平面ABD所成角的正弦值===．故选：D．7．（5分）若双曲线=1（a＞b＞0）的渐近线和圆x2+y2﹣6y+8=0相切，则该双曲线的离心率等于（）A．B．2C．3D．【解答】解：双曲线=1（a＞b＞0）的渐近线方程为y=±x，即bx±ay=0又∵渐近线与圆x2+（y﹣3）2=1相切，∴点（0，3）到直线bx±ay=0的距离等于半径1，即=1，解之得c=3a，可得双曲线离心率为e==3，故选：C．8．（5分）过抛物线：y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为60°的直线l，若直线l与抛物线在第一象限的交点为A，并且点A也在双曲线：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设A（x0，y0），则|AF|=2（），又|AF|=，∴，解得，，∵A（）在双曲线：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线上，∴，解得：，由a2+b2=c2，得，即，∴．故选：A．9．（5分）已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC 和△DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．36π【解答】解：∵AB=3，AC=，BC=2，∴AB2+AC2=BC2，∴AC⊥AB，∴△ABC的外接圆的半径为，∵△ABC和△DBC所在平面相互垂直，∴球心在BC边的高上，设球心到平面ABC的距离为h，则h2+3=R2=（﹣h）2，∴h=1，R=2，∴球O的表面积为4πR2=16π．故选：C．10．（5分）某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（）A．2B．4C．2D．2【解答】解：由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD，其中SC⊥平面ABCD；四面体S﹣ABD的四个面中SBD面的面积最大，三角形SBD是边长为2的等边三角形，所以此四面体的四个面中面积最大的为=2．故选：C．11．（5分）已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）A．B．3C．D．【解答】解：设椭圆短轴的一个端点为M．由于a=4，b=3，∴c=＜b∴∠F1MF2＜90°，∴只能∠PF1F2=90°或∠PF2F1=90°．令x=±得y2=9=，∴|y|=．即P到x轴的距离为，故选：D．12．（5分）如图，已知直线a∥平面α，在平面α内有一动点P，点A是定直线a上定点，且AP与a所成角为θ（θ为锐角），点A到平面α距离为d，则动点P的轨迹方程为（）A．tan2θx2+y2=d2B．tan2θx2﹣y2=d2C．D．【解答】解：过点A作AO⊥α于点O，在平面α内，以过点O作直线a的平行线为x轴，以过点O作x轴的垂线为y轴建立直角坐标系，作PB⊥y轴，连接AB，设P点坐标为：（x，y），由题意可得：∠APB=θ，AB=xtanθ，OB=y，AO=d．所以，由勾股定理可得：（xtanθ）2=d2+y2，整理可得动点P的轨迹方程为：tan2θx2﹣y2=d2，故选：B．二、填空题（共20分，每题5分）13．（5分）在△ABC中，“A＞”是“sinA＞”的必要不充分条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）【解答】解：∵A是三角形内角，∴0＜A＜π首先“A＞”≠⇒“sinA＞”，如A=＞，而sinA=sin（π﹣）=sin＜sin=其次由“sinA＞”⇒＜A＜，故，“A＞”是“sinA＞”的必要不充分条件故答案为：必要不充分．14．（5分）直线y=x+m与圆x2+y2=4交于不同的两点M、N，且，其中O为坐标原点，则实数m的取值范围是．【解答】解：设MN的中点为A，则OA⊥MN，并且2=+，∵||≥|+|，∴||≥2||，即为2≥2||，解得||≤1，∴O到直线MN的距离≤1，解得﹣≤m．故答案为：．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在椭圆+=1上，点P满足=（λ﹣1）（λ∈R），且•=72，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为15．【解答】解：∵=（λ﹣1），∴=λ，则O，P，A三点共线，∵•=72，∴||||=72，设OP与x轴夹角为θ，设A（x，y），B为点A在x轴的投影，则OP在x轴上的投影长度为||cosθ==72×=72×≤72×=15．当且仅当|x|=时等号成立．则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为15．故答案为：15．16．（5分）已知正四棱锥V﹣ABCD可绕着AB任意旋转，CD∥平面α．若AB=2，VA=，则正四棱锥V﹣ABCD在面α内的投影面积的取值范围是[，4）．【解答】解：由题意，侧面上的高为=2，∴侧面的面积为=2，又由于底面的面积为2×2=4，当正四棱锥的高平行于面时面积最小是，∴正四棱锥V﹣ABCD在面α内的投影面积的取值范围是[，4），故答案为：[，4）．三、解答题（共70分，每题需有必要的解答过程）17．（10分）设命题p：“若a≥0，则x2+x﹣a=0有实根”．（Ⅰ）试写出命题p的逆否命题；（Ⅱ）判断命题p的逆否命题的真假，并写出判断过程．【解答】解：（I）命题的逆否命题是：若x2+x﹣a=0无实根，则a＜0；（II）∵x2+x﹣a=0无实根∴△=1+4a＜0，∴a＜﹣＜0，∴命题p的逆否命题是真命题．18．（10分）已知四边形ABCD满足AD∥BC，BA=AD=DC=BC=a，E是BC的中点，将△BAE沿着AE翻折成△B1AE，使面B1AE⊥面AECD，F，G分别为B1D，AE的中点．（Ⅰ）求三棱锥E﹣ACB1的体积；（Ⅱ）证明：B1E∥平面ACF；（Ⅲ）证明：平面B1GD⊥平面B1DC．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，AD∥EC且AD=EC，所以四边形ADCE为平行四边形，∴AE=DC=a，∴△ABE为等边三角形，∴∠AEC=120°，∴…（1分）连结B1G，则B1G⊥AE，又平面B1AE⊥平面AECD交线AE，∴B1G⊥平面AECD且…（2分）∴…（4分）（Ⅱ）证明：连接ED交AC于O，连接OF，∵AEDC为菱形，且F为B1D的中点，∴FO∥B1E，…（6分）又B1E⊄面ACF，FO⊂平面ACF，∴B1E∥平面AC F …（8分）（Ⅲ）证明：连结GD，则DG⊥AE，又B1G⊥AE，B1G∩GD=G，∴AE⊥平面B1GD．…（10分）又AE∥DC，∴DC⊥平面B1GD，又DC⊂平面B1DC∴平面B1GD⊥平面B1DC．…（12分）19．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，点P坐标为（2，﹣1），过点P 作圆C的切线，切点为A、B．（1）求直线PA，PB的方程；（2）求切线长|PA|的值；（3）求直线AB的方程．【解答】解：（1）易知切线斜率存在，设过P点圆的切线方程为y+1=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣1=0．∵圆心（1，2）到直线的距离为，∴=，解得k=7，或k=﹣1，故所求的切线方程为7x﹣y﹣15=0，或x+y﹣1=0（2）在Rt△PCA中，∵|PC|==，|CA|=，∴|PA|2=|PC|2﹣|CA|2=8．∴过点P的圆的切线长为2.（3）容易求出k PC=﹣3，所以k AB=，如图，由CA2=CD•PC，可求出CD==，设直线AB的方程为y=x+b，即x﹣3y+3b=0由=，解得b=1或b=（舍）所以直线AB的方程为x﹣3y+3=0．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC=2，M、N分别为PC、PB的中点．（1）求证：PB⊥平面ADMN；（2）求BD与平面ADMN所成的角；（3）点E在线段PA上，试确定点E的位置，使二面角A﹣CD﹣E为45°．【解答】证明：（1）∵M、N分别为PC、PB的中点，AD∥BC，∴AD∥MN，即A，D，M，N四点共面∵N是PB的中点，PA=AB，∴AN⊥PB．∵AD⊥面PAB，∴AD⊥PB．又∵AD∩AN=N∴PB⊥平面ADMN．（4分）解：（2）连结DN，∵PB⊥平面ADMN，∴∠BDN是BD与平面ADMN所成的角．在Rt△BDN中，，∴BD与平面ADMN所成的角是．（8分）（3）作AF⊥CD于点F，连结EF，∵PA⊥底面ABCD∴CD⊥PA∴CD⊥平面PAF∴CD⊥EF∴∠AFE就是二面角A﹣CD﹣E的平面角若∠AFE=45°，则AE=AF由AF•CD=AB•AD，可解得∴当时，二面角A﹣CD﹣E的平面角为45°．（12分）21．（13分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB 面积的最小值．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．…（1分）将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2﹣4my﹣4=0．…（3分）设A（x1，y1），B（x2，y2），所以y1+y2=4m，y1y2=﹣4．①…（4分）因为，所以y1=﹣2y2．②…（5分）联立①和②，消去y1，y2，得．…（6分）所以直线AB的斜率是．…（7分）（Ⅱ）解：由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，．…（9分）所以四边形OACB的面积等于2S△AOB因为…（10分）=，…（12分）所以m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4．…（13分）22．（13分）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）椭圆C：经过点P （1，），可得①由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=故椭圆的方程为（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣1）③代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，④在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），从而，，=k﹣注意到A，F，B共线，则有k=k AF=k BF，即有==k所以k1+k2=+=+﹣（+）=2k﹣×⑤④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1又k3=k﹣，所以k1+k2=2k3故存在常数λ=2符合题意方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为令x=4，求得M（4，）从而直线PM的斜率为k3=，联立，得A （，），则直线PA的斜率k1=，直线PB的斜率为k2=所以k1+k2=+=2×=2k3，故存在常数λ=2符合题意第21页（共21页）。
2015-2016学年安徽省合肥168中高一(上)期末数学试卷
2015-2016学年安徽省合肥168中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知A ={−4, 2a −1, a 2}，B ={a −5, 1−a, 9}，且A ∩B ={9}，则a 的值是（ ） A.a =3 B.a =−3 C.a =±3 D.a =5或a =±32. 函数y =√log 2(4x−1)的定义域为（ ）A.(0,12)B.(34，+∞) C.(12，+∞) D.(34, 1)3. 若方程x 2−mx +3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m 的取值范围是（ ） A.(2, +∞) B.(0, 2) C.(4, +∞) D.(0, 4)4. 设a =0.512，b =0.812，c =log 20.5，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A.c <b <a B.c <a <b C.a <b <c D.b <a <c5. 为了得到函数y =sin (3x −π3)的图象，只需把函数y =sin 3x 的图象（ ）A.向右平移π9个单位长度 B.向左平移π9个单位长度 C.向右平移π3个单位长度D.向左平移π3个单位长度6. 给出下列各函数值：①sin 100∘；②cos (−100∘)；③tan (−100∘)；④sin 7π10cos πtan17π9．其中符号为负的是（ ）A.①B.②C.③D.④7. 设D 为△ABC 所在平面内一点BC →=3CD →，则( ) A.AD →=−13AB →+43AC →B.AD →=13AB →−43AC →C.AD →=43AB →+13AC →D.AD →=43AB →−13AC →8. 已知α∈R ,sin α+2cos α=√102，则tan 2α=( )A.43 B.34C.−34 D.−439. 设0<a <1，实数x ，y 满足|x|−log a 1y=0，则y 关于x 的函数的图象形状大致是（ ）A. B.C. D.10. 若函数f(x)=log a (2x 2+x)(a >0，a ≠1)在区间(0, 12)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为（ ） A.(−∞, 14) B.(−14, +∞)C.(0, +∞)D.(−∞, −12)11. 已知函数f(x)={2−|x|,x ≤2(x −2)2，x >2，函数g(x)=b2−f(2−x)，其中b ∈R ，若函数y =f(x)−g(x)恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ） A.(78，+∞) B.(74，2)C.(78，1)D.(72，4)12. 设向量a →，b →满足：|a →|=3，|b →|=4，a →⋅b →=0．以a →，b →，a →−b →的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ） A.3 B.4C.5D.6二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）设MP 和OM 分别是角17π18的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①MP <OM <0；②OM <0<MP ；③OM <MP <0；④MP <0<OM ， 其中正确的是________（把所有正确的序号都填上）．设函数f(x)=2x 1+2x(x ∈R)，若用[m]表示不超过实数m 的最大整数，则函数y =[f(x)−12]+[f(−x)+12]的值域为________．在直角坐标系xOy 中，已知点A(0, 1)和点B(−3, 4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC →|=2，则OC →=________．设函数f(x)＝x 2−ax +a +3，g(x)＝x −a ．若不存在x 0∈R ，使得f(x 0)<0与g(x 0)<0同时成立，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题（本题共8小题）已知α∈(π2，π)，且sin α2+cos α2=2√33．（1）求sin α，cos α的值；（2）若sin (α+β)=−35，β∈(0,π2)，求sin β的值．已知函数f(x)=A sin (ωx +ϕ)(A >0,ω>0,|ϕ|<π2)的图象在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(π, 2)和(4π, −2)． （1）试求f(x)的解析式；（2）将y =f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的14（纵坐标不变），然后再将新的图象向轴正方向平移π3个单位，得到函数y =g(x)的图象．写出函数y =g(x)的解析式．如图在长方形ABCD 中，AB →=a →，AD →=b →，N 是CD 的中点，M 是线段AB 上的点，|a →|=2，|b →|=1．（1）若M 是AB 的中点，求证：AN →与CM →共线；（2）在线段AB 上是否存在点M ，使得BD →与CM →垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M 点的位置；（3）若动点P 在长方形ABCD 上运动，试求AP →⋅AB →的最大值及取得最大值时P 点的位置．已知：函数f(x)=log 2x−1x+1，g(x)=2ax +1−a ，又ℎ(x)=f(x)+g(x)．（1）当a =1时，求证：ℎ(x)在x ∈(1, +∞)上单调递增，并证明函数ℎ(x)有两个零点；（2）若关于x 的方程f(x)=log 2g(x)有两个不相等实数根，求a 的取值范围．设f(x)=x 2−ax +2．当x ∈[1, +∞)时，f(x)≥0恒成立，求实数a 的取值范围．我国加入WTO 后，根据达成的协议，若干年内某产品关税与市场供应量P 的关系允许近似的满足：y =P(x)=2(1−kt)(x−b)2（其中t 为关税的税率，且t ∈[0,12））．（x 为市场价格，b 、k 为正常数），当t =18时的市场供应量曲线如图（1）根据图象求k 、b 的值；（2）若市场需求量为Q ，它近似满足Q(x)=211−12x ．当P ＝Q 时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率t 的最小值．（全省班做）《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累计计算：某人一月份的工资为8660元，那么他当月应缴纳的个人所得税是多少元？已知函数f(x)=x|2a−x|+2x，a∈R．(1)若a=0，判断函数y=f(x)的奇偶性，并加以证明；(2)若函数f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围；(3)若存在实数a∈[−2, 2]，使得关于x的方程f(x)−tf(2a)=0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．参考答案与试题解析2015-2016学年安徽省合肥168中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1.【答案】 B【考点】 交集及其运算元素与集合关系的判断【解析】由已知得到2a −1=9或a 2=9，求出a 后分别验证得答案． 【解答】解：∵ A ={−4, 2a −1, a 2}， B ={a −5, 1−a, 9}， 且A ∩B ={9}，∴ 2a −1=9或a 2=9，当2a −1=9时，a =5，A ∩B ={−4, 9}，不符合题意； 当a 2=9时，a =±3，若a =3，集合B 违背互异性； ∴ a =−3． 故选B ． 2.【答案】 C【考点】函数的定义域及其求法 【解析】由分母中根式内部的代数式大于0，求解对数不等式得答案． 【解答】解：要使原函数有意义，则log 2(4x −1)>0， 即4x −1>1，得x >12． ∴ 函数y =log 2(4x−1)的定义域为(12，+∞)． 故选：C ． 3.【答案】 C【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系 二次函数的性质【解析】 令f(x)=x 2−mx +3，若方程x 2−mx +3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，则f(1)<0，解得答案．【解答】解：令f(x)=x 2−mx +3，若方程x 2−mx +3=0的两根满足一根大于1，一根小于1， 则f(1)=1−m +3<0， 解得：m ∈(4, +∞)， 故选：C ． 4. 【答案】 B【考点】对数值大小的比较 【解析】要比较三个数字的大小，可将a ，b ，c 与中间值0，1进行比较，从而确定大小关系． 【解答】解：∵ a =0.512，b =0.812， ∴ 0<a <b ，∵ c =log 20.5<0， ∴ c <a <b ， 故选B ． 5.【答案】 A【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】由条件利用函数y =A sin (ωx +φ)的图象变换规律，可得结论． 【解答】解：把函数y =sin 3x 的图象向右平移π9个单位长度，可得y =sin 3(x −π9)=sin (3x −π3)的图象，故选：A ． 6. 【答案】 B【考点】三角函数值的符号 【解析】分别判断每个角对应的象限，即可判断每个函数值的符号． 【解答】 解：：①sin 100∘>0，②cos (−100∘)=cos 100∘<0，③tan (−100∘)=−tan 100>0， ④∵ sin 7π10>0，cos π=−1，tan17π9<0，∴sin7π10cos πtan17π9>0，其中符号为负的是②， 故选：B ． 7.【答案】 A【考点】向量的线性运算性质及几何意义 平行向量的性质 向量的几何表示 【解析】将向量AD →利用向量的三角形法则首先表示为AB →+BD →，然后结合已知表示为AB →，AC →的形式． 【解答】解：由已知得到如图，由AD →=AB →+BD →=AB →+43BC →=AB →+43(AC →−AB →)=−13AB →+43AC →. 故选A . 8.【答案】 C【考点】二倍角的正切公式同角三角函数间的基本关系【解析】由题意结合sin 2α+cos 2α=1可解得sin α，和cos α，进而可得tan α，再代入二倍角的正切公式可得答案． 【解答】解：∵ sin α+2cos α=√102，又sin 2α+cos 2α=1，联立解得{sin α=−√1010,cos α=3√1010,或{sin α=3√1010,cos α=√1010,故tan α=sin αcos α=−13，或tan α=3， 代入可得tan 2α=2tan α1−tan 2α=2×(−13)1−(−13)2=−34，或tan 2α=2tan α1−tan 2α=2×31−32=−34故选C . 9.【答案】 A【考点】函数的图象变换 【解析】函数y =1a ，显然y 在(0, +∞)上单调递增，且函数的图象经过点(0, 1)，从而得出结论． 【解答】解：0<a <1，实数x ，y 满足|x|−log a 1y =0，即y =1a |x|，故函数y 为偶函数，它的图象关于y 轴对称， 在(0, +∞)上单调递增，且函数的图象经过点(0, 1)， 故选：A ． 10.【答案】 D【考点】对数函数的图象与性质 对数函数的单调区间【解析】先求出2x 2+x ∈(0, 1)，再由条件f(x)>0判断出a 的范围，再根据复合函数“同增异减”原则求f(x)单调区间． 【解答】解：当x ∈(0, 12)时，2x 2+x ∈(0, 1)，∴ 0<a <1.∵ 函数f(x)=log a (2x 2+x)(a >0, a ≠1),由f(x)=log a t 和t =2x 2+x 复合而成，0<a <1时，f(x)=log a t 在(0, +∞)上是减函数，所以只要求t =2x 2+x >0的单调递减区间． t =2x 2+x >0的单调递减区间为(−∞, −12)， ∴ f(x)的单调增区间为(−∞, −12).故选D ． 11.【答案】 D【考点】分段函数的应用 函数零点的判定定理【解析】求出函数y =f(x)−g(x)的表达式，构造函数ℎ(x)=f(x)+f(2−x)，作出函数ℎ(x)的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵ g(x)=b2−f(2−x)，∴ y =f(x)−g(x)=f(x)−b2+f(2−x)，由f(x)−b 2+f(2−x)=0，得f(x)+f(2−x)=b2，设ℎ(x)=f(x)+f(2−x)，若x ≤0，则−x ≥0，2−x ≥2，则ℎ(x)=f(x)+f(2−x)=2+x +x 2，若0≤x ≤2，则−2≤−x ≤0，0≤2−x ≤2，则ℎ(x)=f(x)+f(2−x)=2−x +2−|2−x|=2−x +2−2+x =2， 若x >2，−x <−2，2−x <0，则ℎ(x)=f(x)+f(2−x)=(x −2)2+2−|2−x|=x 2−5x +8． 作出函数ℎ(x)的图象如图：当x ≤0时，ℎ(x)=2+x +x 2=(x +12)2+74≥74，当x >2时，ℎ(x)=x 2−5x +8=(x −52)2+74≥74， 故当b2=74时，ℎ(x)=b2，有两个交点， 当b2=2时，ℎ(x)=b2，有无数个交点，由图象知要使函数y =f(x)−g(x)恰有4个零点， 即ℎ(x)=b2恰有4个根，则满足74<b 2<2，解得：b ∈(72, 4)， 故选：D ． 12.【答案】 B【考点】直线与圆相交的性质向量的模平面向量数量积的运算【解析】先根据题设条件判断三角形为直角三角形，根据三边长求得内切圆的半径，进而看半径为1的圆内切于三角形时有三个公共点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，进而可得出答案． 【解答】解：∵ 向量a ⋅b =0，∴ 此三角形为直角三角形，三边长分别为3，4，5，进而可知其内切圆半径为1， ∵ 对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点， 对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况， 但5个以上的交点不能实现． 故选B二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 【答案】 ②【考点】 三角函数线 【解析】 作出角17π18的三角函数线图象，由图象进行判断，即可得到OM ，0，MP 之间的大小关系．【解答】解：由MP ，OM 分别为角17π18的正弦线、余弦线，如图， ∵ sin17π18=MP >0，cos17π18=OM <0，∴ OM <0<MP ．故答案为：②．【答案】 {0, 1} 【考点】函数的值域及其求法 【解析】化简y =[f(x)−12]+[f(−x)+12]=[12−11+2x ]+[11+2x +12]，从而分类讨论以确定函数的值，从而解得． 【解答】解：y =[f(x)−12]+[f(−x)+12]=[2x 1+2x −12]+[2−x 1+2−x +12] =[12−11+2]+[11+2+12]， ∵ 0<11+2x <1，∴ −12<12−11+2x <12，12<11+2x +12<32， ①当0<11+2x <12时，0<12−11+2x <12，12<11+2x +12<1， 故y =0； ②当11+2x =12时，12−11+2x =0，11+2x +12=1， 故y =1； ③12<11+2x<1时，−12<12−11+2x<0，1<11+2x+12<32，故y =−1+1=0；故函数y =[f(x)−12]+[f(−x)+12]的值域为{0, 1}． 故答案为：{0, 1}．【答案】(−√105, 3√105) 【考点】线段的定比分点 【解析】本题考查的知识点是线段的定比分点，处理的方法是，根据三角形内角平分线定理，求出OC 所在直线分有线向量AB 所成的比．然后代入定比分点公式求出OC 与AB 的交点坐标，再根据向量的模求出答案． 【解答】 解：∵ |OA →|=1，|OB →|=5， 设OC 与AB 交于D(x, y)点， 则AD:BD =1:5，即D 分有向线段AB 所成的比为15，则{x =−3×151+15,y =1+4×151+15,解得：{x =−12,y =32,∴ OD →=(−12,32)， 又∵ |OC →|=2，∴ OC →=2OD →|OD →|=(−√105, 3√105). 故答案为：(−√105, 3√105). 【答案】 [−3, 6] 【考点】一元二次不等式的应用 【解析】当x >a 时，g(x)>0恒成立，显然不存在x 0∈(a, +∞)，使得f(x 0)<0与g(x 0)<0同时成立，当x ≤a 时，则需f(x)≥0在(−∞, a]上恒成立，只需f(x)在(−∞, a]上的最小值大于或等于零即可，利用二次函数的图象性质求最小值并解不等式即可得a 的取值范围 【解答】①若x ≤a ，则g(x)≤0，此时若不存在x 0∈(−∞, a]，使得f(x 0)<0与g(x 0)<0同时成立，需f(x)≥0在(−∞, a]上恒成立，即x 2−ax +a +3≥0在(−∞, a]上恒成立，需{a >0f(a 2)≥0 或{a ≤0f(a)≥0 ，即{a >0−a 24+a +3≥0 或{a ≤0a +3≥0解得：−3≤a ≤6②若x >a ，则g(x)>0恒成立，显然不存在x 0∈(a, +∞)，使得f(x 0)<0与g(x 0)<0同时成立，此时a ∈R 综上所述，若不存在x 0∈R ，使得f(x 0)<0与g(x 0)<0同时成立，实数a 的取值范围是[−3, 6] 三、解答题（本题共8小题） 【答案】解：（1）将sin α2+cos α2=2√33两边平方得：(sin α2+cos α2)2=sin 2α2+2sin α2cos α2+cos 2α2=1+sin α=43，∴ sin α=13， ∵ α∈(π2, π)，∴ cos α=−√1−sin 2α=−2√23； （2）∵ α∈(π2, π)，β∈(0, π2)， ∴ α+β∈(π2, 3π2)， ∵ sin (α+β)=−35<0，∴α+β∈(π, 3π2)，∴cos(α+β)=−√1−sin2(α+β)=−45，则sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=−35×(−2√23)−(−45)×13=2√25+415=6√2+415．【考点】求两角和与差的正弦运用诱导公式化简求值【解析】（1）已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简，再利用二倍角的正弦函数公式化简求出sinα，由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosα的值；（2）由α与β的范围，求出α+β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos(α+β)的值，将sinβ变形为sin[(α+β)−α]，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）将sinα2+cosα2=2√33两边平方得：(sinα2+cosα2)2=sin2α2+2sinα2cosα2+cos2α2=1+sinα=43，∴sinα=13，∵α∈(π2, π)，∴cosα=−√1−sin2α=−2√23；（2）∵α∈(π2, π)，β∈(0, π2)，∴α+β∈(π2, 3π2)，∵sin(α+β)=−35<0，∴α+β∈(π, 3π2)，∴cos(α+β)=−√1−sin2(α+β)=−45，则sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=−35×(−2√23)−(−45)×13=2√25+415=6√2+415．【答案】（本题满分为12分）解：（1）由题意知：A=2，…∵T=6π，∴2πω=6π得ω=13，…∴f(x)=2sin(13x+φ)，∵函数图象过(π, 2)，∴sin(π3+φ)=1，∵−π6<φ+π3<5π6，∴φ+π3=π2，得φ=π6…∴A=2，ω=13，φ=π6，∴f(x)=2sin(13x+π6)．…（2）∵将y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的14（纵坐标不变），可得函数y=2sin(43x+π6)的图象，然后再将新的图象向轴正方向平移π3个单位，得到函数g(x)=2sin[43(x−π3)+π6]=2sin(4x3−5π18)的图象．故y=g(x)的解析式为：g(x)=2sin(4x3−5π18)．…【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】（1）依题意，可求得A，由T=6π可求ω，函数图象过(π, 2)可求φ；（2）根据函数图象的周期变换及平移变换法则，结合（1）中函数的解析式，即可求出函数y=g(x)的解析式．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由题意知：A=2，…∵T=6π，∴2πω=6π得ω=13，…∴f(x)=2sin(13x+φ)，∵函数图象过(π, 2)，∴sin(π3+φ)=1，∵−π6<φ+π3<5π6，∴φ+π3=π2，得φ=π6…∴A=2，ω=13，φ=π6，∴ f(x)=2sin (13x +π6)．…（2）∵ 将y =f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的14（纵坐标不变），可得函数y =2sin (43x +π6)的图象， 然后再将新的图象向轴正方向平移π3个单位，得到函数g(x)=2sin [43(x −π3)+π6]=2sin (4x3−5π18)的图象． 故y =g(x)的解析式为：g(x)=2sin (4x3−5π18)．…【答案】（1）证明：如图，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系， 当M 是AB 的中点时，A(0, 0)，N(1, 1)，C(2, 1)，M(1, 0)， AN →=(1,1)，CM →=(−1,−1)，由AN →=−CM →，可得AN →与CM →共线；（2）解：假设线段AB 上是否存在点M ，使得BD →与CM →垂直， 设M(t, 0)(0≤t ≤2)，则B(2, 0)，D(0, 1)，M(t, 0)， BD →=(−2,1)，CM →=(t −2,−1)，由BD →⋅CM →=−2(t −2)−1=0，解得t =32，∴ 线段AB 上存在点M(32，0)，使得BD →与CM →垂直；（3）解：由图看出，当P 在线段BC 上时，AP →在AB →上的投影最大， 则AP →⋅AB →有最大值为4． 【考点】平面向量数量积的运算 【解析】（1）建立如图所示平面直角坐标系，得到AN →与CM →的坐标，由共线向量基本定理得答案； （2）假设存在M ，设出M 的坐标，由数量积运算求得M 的坐标； （3）直接利用向量在向量方向上的投影结合图形得答案．【解答】（1）证明：如图，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系， 当M 是AB 的中点时，A(0, 0)，N(1, 1)，C(2, 1)，M(1, 0)，AN →=(1,1)，CM →=(−1,−1)，由AN →=−CM →，可得AN →与CM →共线；（2）解：假设线段AB 上是否存在点M ，使得BD →与CM →垂直， 设M(t, 0)(0≤t ≤2)，则B(2, 0)，D(0, 1)，M(t, 0)， BD →=(−2,1)，CM →=(t −2,−1)，由BD →⋅CM →=−2(t −2)−1=0，解得t =32， ∴ 线段AB 上存在点M(32，0)，使得BD →与CM →垂直；（3）解：由图看出，当P 在线段BC 上时，AP →在AB →上的投影最大， 则AP →⋅AB →有最大值为4． 【答案】解：（1）证明：ℎ(x)=f(x)+g(x)=log 2x−1x+1+2x ， =log 2(1−2x+1)+2x ； ∵ y =1−2x+1在(1, +∞)上是增函数，故y =log 2(1−2x+1)在(1, +∞)上是增函数； 又∵ y =2x 在(1, +∞)上是增函数； ∴ ℎ(x)在x ∈(1, +∞)上单调递增；同理可证，ℎ(x)在(−∞, −1)上单调递增； 而ℎ(1.1)=−log 221+2.2<0， ℎ(2)=−log 23+4>0；故ℎ(x)在(1, +∞)上有且仅有一个零点，同理可证ℎ(x)在(−∞, −1)上有且仅有一个零点，故函数ℎ(x)有两个零点；（2）由题意，关于x的方程f(x)=log2g(x)有两个不相等实数根可化为1−2x+1=2ax+1−a在(−∞, −1)∪(1, +∞)上有两个不相等实数根；故a=2(x+1)(1−2x)；结合函数a=2(x+1)(1−2x)的图象可得，22×(−1)<a<0；即−1<a<0．【考点】函数零点的判定定理对数函数图象与性质的综合应用函数单调性的判断与证明【解析】（1）利用复合数的单调性证明函数的单调性，利用函数零点的判定定理求函数的零点；（2）化简关于x的方程f(x)=log2g(x)有两个不相等实数根为1−2x+1=2ax+1−a在(−∞, −1)∪(1, +∞)上有两个不相等实数根；从而求解．【解答】解：（1）证明：ℎ(x)=f(x)+g(x)=log2x−1x+1+2x，=log2(1−2x+1)+2x；∵y=1−2x+1在(1, +∞)上是增函数，故y=log2(1−2x+1)在(1, +∞)上是增函数；又∵y=2x在(1, +∞)上是增函数；∴ℎ(x)在x∈(1, +∞)上单调递增；同理可证，ℎ(x)在(−∞, −1)上单调递增；而ℎ(1.1)=−log221+2.2<0，ℎ(2)=−log23+4>0；故ℎ(x)在(1, +∞)上有且仅有一个零点，同理可证ℎ(x)在(−∞, −1)上有且仅有一个零点，故函数ℎ(x)有两个零点；（2）由题意，关于x的方程f(x)=log2g(x)有两个不相等实数根可化为1−2x+1=2ax+1−a在(−∞, −1)∪(1, +∞)上有两个不相等实数根；故a=2(x+1)(1−2x)；结合函数a=2(x+1)(1−2x)的图象可得，22×(−1)<a<0；即−1<a<0．【答案】解：由f(x)≥0得f(x)=x2−ax+2≥0，即ax≤2+x2，∵x∈[1, +∞)，∴ a ≤2+x 2x =x +2x ，∵ x +2x≥2√x ⋅2x=2√2，当x =2x ，即x =√2取等号，∴ a ≤2√2． 【考点】函数恒成立问题 【解析】根据不等式的关系利用参数分类法，结合基本不等式的性质进行求解即可． 【解答】解：由f(x)≥0得f(x)=x 2−ax +2≥0， 即ax ≤2+x 2， ∵ x ∈[1, +∞)， ∴ a ≤2+x 2x =x +2x ，∵ x +2x ≥2√x ⋅2x =2√2， 当x =2x ，即x =√2取等号， ∴ a ≤2√2． 【答案】由图可知，t =18{2(1−k8)(5−b)2=12(1−k 8)(7−b)2=2解得{k =6b =5 当P ＝Q 时，得2(1−6t)(x−5)2=211−12x解得：t =16[1−22−x 2(x−5)2]=16[1−17−(x−5)2(x−5)2]=−112[17(x−5)2−1x−5−2]令m =1x−5，∵ x ≥9，∴ m ∈(0, 14]，则t =−112(17m 2−m −2)， ∴ 对称轴m =134∈(0, 14]，且开口向下； ∴ m =14时，t 取得最小值19192，此时x ＝9∴ 税率t 的最小值为19192．【考点】指数函数综合题 【解析】第一问能根据图象求出k 、b 的值．第二问能根据题意构造函数，并能在定义域内求函数的最小值．考查的知识综合性较强，对学生理解题意的能力也是一个挑战． 【解答】由图可知，t =18{2(1−k 8)(5−b)2=12(1−k8)(7−b)2=2解得{k =6b =5当P ＝Q 时，得2(1−6t)(x−5)2=211−12x 解得：t =16[1−22−x 2(x−5)2]=16[1−17−(x−5)2(x−5)2]=−112[17(x−5)2−1x−5−2]令m =1x−5，∵ x ≥9，∴ m ∈(0, 14]，则t =−112(17m 2−m −2)，∴ 对称轴m =134∈(0, 14]，且开口向下； ∴ m =14时，t 取得最小值19192，此时x ＝9 ∴ 税率t 的最小值为19192．【答案】解：由题意，某人一月份的工资为8660元，那么他当月应缴纳的个人所得税是1500×3%+3000×10%+(8660−4500)×20%=1177元 【考点】函数模型的选择与应用 【解析】利用税款分段累计，即可得出结论． 【解答】解：由题意，某人一月份的工资为8660元，那么他当月应缴纳的个人所得税是1500×3%+3000×10%+(8660−4500)×20%=1177元 【答案】(1)证明：函数y =f(x)为奇函数． 当a =0时，f(x)=x|−x|+2x ， ∴ f(−x)=−x|x|−2x =−f(x)， ∴ 函数y =f(x)为奇函数.(2)解：f(x)={x 2+(2−2a)x ，x ≥2a,−x 2+(2+2a)x ，x <2a,当x ≥2a 时，y =f(x)的对称轴为：x =a −1； 当x <2a 时，y =f(x)的对称轴为：x =a +1； ∴ 当a −1≤2a ≤a +1时，f(x)在R 上是增函数, 即−1≤a ≤1时，函数f(x)在R 上是增函数.(3)解：方程f(x)−tf(2a)=0的解即为方程f(x)=tf(2a)的解． ①当−1≤a ≤1时，函数f(x)在R 上是增函数，∴ 关于x 的方程f(x)=tf(2a)不可能有三个不相等的实数根； ②当a >1时，即2a >a +1>a −1，∴ f(x)在(−∞, a +1)上单调增，在(a +1, 2a)上单调递减，在(2a, +∞)上单调递增， ∴ 当f(2a)<tf(2a)<f(a +1)时，关于x 的方程f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根； 即4a <t ⋅4a <(a +1)2， ∵ a >1，∴ 1<t <14(a +1a +2)． 设ℎ(a)=14(a +1a+2)，∵ 存在a ∈[−2, 2]，使得关于x 的方程f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根，∴1<t<ℎ(a)max，又可证ℎ(a)=14(a+1a+2)在(1, 2]上单调递增，∴ℎ(a)max=98，∴1<t<98，③当a<−1时，即2a<a−1<a+1，∴f(x)在(−∞, 2a)上单调递增，在(2a, a−1)上单调递减，在(a−1, +∞)上单调递增，∴当f(a−1)<tf(2a)<f(2a)时，关于x的方程f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根；即−(a−1)2<t⋅4a<4a，∵a<−1，∴1<t<−14(a+1a−2)，设g(a)=−14(a+1a−2)，∵存在a∈[−2, 2]，使得关于x的方程f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根，∴1<t<g(a)max，又可证g(a)=−14(a+1a−2)在[−2, −1)上单调递减，∴g(a)max=98，∴1<t<98;综上：1<t<98．【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的性质【解析】(1)若a=0，根据函数奇偶性的定义即可判断函数y=f(x)的奇偶性；(2)根据函数单调性的定义和性质，利用二次函数的性质即可求实数a的取值范围；(3)根据方程有三个不同的实数根，建立条件关系即可得到结论．【解答】(1)证明：函数y=f(x)为奇函数．当a=0时，f(x)=x|−x|+2x，∴f(−x)=−x|x|−2x=−f(x)，∴函数y=f(x)为奇函数.(2)解：f(x)={x2+(2−2a)x，x≥2a,−x2+(2+2a)x，x<2a,当x≥2a时，y=f(x)的对称轴为：x=a−1；当x<2a时，y=f(x)的对称轴为：x=a+1；∴当a−1≤2a≤a+1时，f(x)在R上是增函数, 即−1≤a≤1时，函数f(x)在R上是增函数.(3)解：方程f(x)−tf(2a)=0的解即为方程f(x)=tf(2a)的解．①当−1≤a≤1时，函数f(x)在R上是增函数，∴关于x的方程f(x)=tf(2a)不可能有三个不相等的实数根；②当a>1时，即2a>a+1>a−1，∴f(x)在(−∞, a+1)上单调增，在(a+1, 2a)上单调递减，在(2a, +∞)上单调递增，∴当f(2a)<tf(2a)<f(a+1)时，关于x的方程f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根；即4a<t⋅4a<(a+1)2，∵a>1，∴1<t<14(a+1a+2)．设ℎ(a)=14(a+1a+2)，∵存在a∈[−2, 2]，使得关于x的方程f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根，∴1<t<ℎ(a)max，又可证ℎ(a)=14(a+1a+2)在(1, 2]上单调递增，∴ℎ(a)max=98，∴1<t<98，③当a<−1时，即2a<a−1<a+1，∴f(x)在(−∞, 2a)上单调递增，在(2a, a−1)上单调递减，在(a−1, +∞)上单调递增，∴当f(a−1)<tf(2a)<f(2a)时，关于x的方程f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根；即−(a−1)2<t⋅4a<4a，∵a<−1，∴1<t<−14(a+1a−2)，设g(a)=−14(a+1a−2)，∵存在a∈[−2, 2]，使得关于x的方程f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根，∴1<t<g(a)max，又可证g(a)=−14(a+1a−2)在[−2, −1)上单调递减，∴g(a)max=98，∴1<t<98;综上：1<t<98．。
安徽省合肥168中2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 文(含解析)
安徽省合肥168中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分，请将答案填涂在答题卡上）1．（5分）椭圆的焦距为（）A．10 B．5 C．D．2．（5分）已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（）A．3 B．4 C．5 D．64．（5分）直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），则2a+b的值等于（）A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣25．（5分）∃x∈R，x2﹣ax+1≤0为假命题，则a的取值范围为（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2] C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）6．（5分）在同一坐标系中，方程与ax+by2=0（a＞b＞0）的曲线大致是（）A． B． C． D．7．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是线段A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1E=B1F，有下面四个结论：①EF⊥AA1；②EF∥AC；③EF与AC异面；④EF∥平面ABCD．其中一定正确的有（）A．①②B．②③C．②④D．①④8．（5分）如图，空间四边形ABCD中，M、N分别是BC、DA上的点，且BM：MC=AN：ND=1：2，又AB=5，CD=3，MN与AB、CD所成的角分别为α，β，则之间的大小关系为（）A．α＜βB．α＞βC．α=βD．不确定9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积不可能是（）A．1 B．1.5 C．2 D．310．（5分）已知两点M（﹣1，0）和N（1，0），若直线上存在点P，使|PM|+|PN|=4，则称该直线为“T型直线”．给出下列直线：①y=x+2；②y=﹣x+1；③y=﹣x﹣3；④y=x+1，其中为“T型直线”的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分，请将答案填在答题卷相应位置）11．（5分）若双曲线的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则m的值为．12．（5分）已知集合A={x∈R|mx﹣4=0}，B={x∈R|x2+2x﹣3=0}，则A⊆B的一个充分不必要条件是．（写出一个即可）13．（5分）设f1（x）=sinx，定义f n+1（x）为f n（x）的导数，即f n+1（x）=f′n（x），n∈N+，若△ABC的内角满足f1（A）+f2（A）+…+f2015（A）=，则A=．14．（5分）已知点P是抛物线y2=4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是（4，a），则当|a|＞4时，|PA|+|PM|的最小值是．15．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．（12分）已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）当m为何值时，方程C表示圆．（2）若圆C与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且MN=，求m的值．17．（12分）给定两个命题，命题p：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立，命题q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）如图，已知ABCD为平行四边形，∠A=60°，AF=2FB，AB=6，点E在CD上，EF∥BC，BD⊥AD，BD与EF相交于N．现将四边形ADEF沿EF折起，使点D在平面BCEF上的射影恰在直线BC上．（Ⅰ）求证：BD⊥平面BCEF；（Ⅱ）求折后直线DE与平面BCEF所成角的余弦值．19．（12分）已知P（x，y）为平面上的动点且x≥0，若P到y轴的距离比到点（1，0）的距离小1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）设过点M（m，0）的直线交曲线C于A、B两点，问是否存在这样的实数m，使得以线段AB为直径的圆恒过原点．20．（13分）如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求证；AE∥平面BFD；（Ⅲ）求三棱锥C﹣BGF的体积．21．（14分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为、F2分别为椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与C相交于A、B两点，△F1AB的周长为．（I）求椭圆C的方程；（II）若椭圆C上存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的方程．安徽省合肥168中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分，请将答案填涂在答题卡上）1．（5分）椭圆的焦距为（）A．10 B．5 C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆标准方程得a2=16，b2=9．再根据椭圆基本量的关系得c==，由此即可得到该椭圆的焦距．解答：解：∵椭圆方程为∴a2=16，b2=9，得c==由此，可得椭圆的焦距等于2c=2故选：D点评：本题给出椭圆的方程，求椭圆的焦距，着重考查了椭圆的标准方程和椭圆基本量的关系等知识，属于基础题．2．（5分）已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：由A，B，C，D四点不共面，一定能得到AC，BD不相交；而由AC和BD不相交便知AC和BD平行，所以并不一定得到A，B，C，D四点不共面，所以最后得到命题甲是命题乙的充分不必要条件．解答：解：（1）若A，B，C，D四点不共面；∴AC和BD不相交；若AC和BD相交，则能得到A，B，C，D四点共面，所以AC和BD不相交；∴命题甲是乙的充分条件；（2）若AC和BD不相交，则AC和BD可以平行；∴A，B，C，D四点共面；即得不到A，B，C，D四点不共面；∴命题甲不是命题乙的必要条件；∴命题甲是乙的充分不必要条件．故选A．点评：考查相交直线和平行直线可以确定一个平面，以及充分条件、必要条件、充分不必要条件的概念．3．（5分）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（）A．3 B．4 C．5 D．6考点：平面的基本性质及推论．专题：计算题．分析：根据平行六面体的结构特征和公理2的推论进行判断，即找出与AB和CC1平行或相交的棱．解答：解：根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1符合条件．故选C．点评：本题考查了平行六面体的结构特征和公理2的推论的应用，找出与AB和CC1平行或相交的棱即可，考查了空间想象能力．4．（5分）直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），则2a+b的值等于（）A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：先求出函数的导数，再由导数的几何意义、把切点坐标代入曲线和切线方程，列出方程组进行求解，即可得出结论．解答：解：∵解：由题意得，y′=3x2+a，∴k=3+a ①∵切点为A（1，3），∴3=k+1 ②3=1+a+b ③由①②③解得，a=﹣1，b=3，∴2a+b=1，故选C．点评：本题考查直线与曲线相切，考查学生的计算能力，属于基础题．5．（5分）∃x∈R，x2﹣ax+1≤0为假命题，则a的取值范围为（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2] C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）考点：特称命题；命题的真假判断与应用．专题：不等式的解法及应用．分析：根据所给的∃x∈R，x2﹣ax+1≤0为假命题，得到判别式不于0，解不等式即可．解答：解：∵∃x∈R，x2﹣ax+1≤0为假命题，∴△=a2﹣4＜0∴﹣2＜a＜2故选A．点评：本题考查特称命题，解题的关键是根据这个命题是一个假命题，得到判别式的情况．6．（5分）在同一坐标系中，方程与ax+by2=0（a＞b＞0）的曲线大致是（）A． B． C． D．考点：曲线与方程．专题：综合题．分析：先利用a＞b判断出椭圆的焦点在x轴，故可排除C，D两项；整理抛物线的方程为标准方程可知其焦点在x轴，排除B项．答案可得．解答：解：∵a＞b∴椭圆的焦点在x轴上，排除C和D，整理抛物线方程得y2=﹣x∵a＞b＞0∴﹣＜0∴抛物线的开口向左，焦点在x轴．故选A点评：本题主要考查了椭圆和抛物线的简单性质，曲线与方程的问题．考查了学生对基础知识的掌握程度．7．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是线段A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1E=B1F，有下面四个结论：①EF⊥A A1；②EF∥AC；③EF与AC异面；④EF∥平面ABCD．其中一定正确的有（）A．①②B．②③C．②④D．①④考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：作出正方体ABCD﹣A1B1C1D1，利用正方体的结构特征，结合题设条件，能够作出正确判断．解答：解：如图所示．由于AA1⊥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，则EF⊥AA1，所以①正确；当E，F分别不是线段A1B1，B1C1的中点时，EF与AC异面，所以②不正确；当E，F分别是线段A1B1，B1C1的中点时，EF∥A1C1，又AC∥A1C1，则EF∥AC，所以③不正确；由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD，EF⊂平面A1B1C1D1，所以EF∥平面ABCD，所以④正确．故选D．点评：本题考查命题的真假判断及其应用，解题时要认真审题，注意正方体的结构特征的灵活运用．8．（5分）如图，空间四边形ABCD中，M、N分别是BC、DA上的点，且BM：MC=AN：ND=1：2，又AB=5，CD=3，MN与AB、CD所成的角分别为α，β，则之间的大小关系为（）A．α＜βB．α＞βC．α=βD．不确定考点：平面与平面之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：过N点作NP∥AB，连接PM，易得∠PNM是MN与AB所成角，∠PMN是MN与CD所成角，在三角形PMN内求出此角即可．解答：解：过N点作NP∥AB，连接PM，∵BM：MC=AN：ND=1：2∴PM∥CD，∠PNM是MN与AB所成角，∠PMN是MN与CD所成角∵AB=5，CD=3，∴MP=1，PN=∴∠PMN＜∠PNM，∴α＜β，故选：A点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积不可能是（）A．1 B．1.5 C．2 D．3考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：根据几何体的三视图画出直观图，再根据体积公式，利用基本不等式求最大值，判断即可．解答：解：几何体的直观图如图，设AD=y，CD=x，则x2+y2=16⇒xy≤8V=××2xy≤．故选D点评：本题考查几何体的三视图、几何体的体积计算及基本不等式的应用．可利用2xy≤x2+y2求最值．10．（5分）已知两点M（﹣1，0）和N（1，0），若直线上存在点P，使|PM|+|PN|=4，则称该直线为“T型直线”．给出下列直线：①y=x+2；②y=﹣x+1；③y=﹣x﹣3；④y=x+1，其中为“T型直线”的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④考点：椭圆的简单性质；函数的图象．专题：新定义；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆的定义可得点P在以M，N 为焦点、长轴等于4的椭圆上，将问题转化为考查哪些直线和椭圆有交点，从而得到结论．解答：解：满足|PM|+|PN|=4的点，在以M，N 为焦点、长轴等于4的椭圆上，椭圆的方程为．①联立，得7x2﹣16x+4=0，△=（﹣16）2﹣16×7＞0，直线y=x+2和椭圆有两个交点，满足条件；②联立，得，△=，直线y=﹣x+1和椭圆有两个交点，满足条件；③联立，得7x2+24x+24=0，△=（24）2﹣4×7×24＜0，直线y=﹣x﹣3与椭圆无交点，故不满足条件；④联立，得x2+x﹣4=0，△=17＞0，直线y=x+1与椭圆有2个交点，故满足条件．∴“T型直线”是①②④．故选：B．点评：本题考查椭圆的定义、直线和椭圆的位置关系，体现了数学转化思想方法，问题转化为考查直线和椭圆有无交点问题，是中档题．二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分，请将答案填在答题卷相应位置）11．（5分）若双曲线的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则m的值为3．考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线的方程y2=8x可求得其焦点坐标，也是双曲线x2﹣=1的一个焦点，利用双曲线的几何性质即可求得m的值．解答：解：∵抛物线的方程y2=8x，∴其焦点坐标F（2，0），由题意可知，它也是双曲线x2﹣=1的一个焦点，∴c==2，∴m=3．故答案为：3．点评：本题考查抛物线的简单性质与双曲线的简单性质，求得抛物线的焦点是关键，属于中档题．12．（5分）已知集合A={x∈R|mx﹣4=0}，B={x∈R|x2+2x﹣3=0}，则A⊆B的一个充分不必要条件是m=0．（写出一个即可）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：求出集合A，B，根据集合关系以及充分条件和必要条件的定义进行求解即可．解答：解：B={x∈R|x2+2x﹣3=0}={1，﹣3}，A={x∈R|mx﹣4=0}={x|mx=4}，当m=0时，A=∅，符合A⊆B；当m≠0时，A={}，若A⊆B，则=1或=﹣3，解得m=4或m=﹣，综上m=4或m=﹣或m=0，即A⊆B的等价条件是{4，﹣，0}则A⊆B的一个充分不必要条件是m=0，故答案为：m=0 （答案不唯一）点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据集合关系求出A⊆B的等价条件是解决本题的关键．13．（5分）设f1（x）=sinx，定义f n+1（x）为f n（x）的导数，即f n+1（x）=f′n（x），n∈N+，若△ABC的内角满足f1（A）+f2（A）+…+f2015（A）=，则A=45°．考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：根据导数公式直接进行求导，得到函数f n（x）具备周期性，然后根据周期性将条件进行化简，即可得到结论．解答：解：∵f1（x）=sinx，f n+1（x）=f′n（x），∴f2（x）=f′1（x）=cosx，f3（x）=f′2（x）=﹣sinx，f4（x）=f'3（x）=﹣cosx，f5（x）=f′4（x）=sinx，f6（x）=f′5（x）=cosx，∴f n+1（x）=f′n（x），具备周期性，周期性为4．且f1（x）+f2（x）+f3（x）+f4（x）=cosx﹣sinx+sinx﹣cosx=0，∵f1（A）+f2（A）+…+f2015（A）=，∴f1（A）+f2（A）+f3（A）=cosA=∴A=45°故答案为：45°点评：本题主要考查导数的计算，利用条件得到函数具备周期性是解决本题的关键，属于中档题．14．（5分）已知点P是抛物线y2=4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是（4，a），则当|a|＞4时，|PA|+|PM|的最小值是．考点：抛物线的应用．专题：计算题．分析：先看当x=4时根据抛物线方程求得纵坐标的绝对值，而|a|＞4，明A（4，a）是在抛物线之外抛物线焦点和准线可求得，延长PM交L：x=﹣1于点N，必有：|PM|=|PN|﹣|MN|=|PN|﹣1根据抛物线的定义，可知：抛物线上的点P到准线x=﹣1的距离等于其到焦点F（1，0）的距离进而判断出|PA|+|PM|=|PF|+|PA|﹣1，只需求出|PF|+|PA|的最小值即可．由于A在抛物线之外，可由图象的几何位置判断出：AF必与抛物线交于一点，设此点为P'，看p和P'的重合与不重合两种情况分别求得最小值，最后综合可得答案．解答：解：首先，当x=4时，代入抛物线方程，求得|y|=4而|a|＞4，说明A（4，a）是在抛物线之外（也就是在抛物线位于第一象限的上半支的上方或是下半支的下方）抛物线焦点可求得是F（1，0），准线L：x=﹣1P在y轴上的射影是M，说明PM⊥y轴，延长PM交L：x=﹣1于点N，必有：|PM|=|PN|﹣|MN|=|PN|﹣1|PN|就是P到准线L：x=﹣1的距离！连接PF根据抛物线的定义，可知：抛物线上的点P到准线x=﹣1的距离等于其到焦点F（1，0）的距离！即：|PF|=|PN| ∴|PM|=|PF|﹣1|PA|+|PM|=|PF|+|PA|﹣1只需求出|PF|+|PA|的最小值即可：连接|AF|由于A在抛物线之外，可由图象的几何位置判断出：AF必与抛物线交于一点，设此点为P' 1°当P与P'不重合时：A，P，F三点必不共线，三点构成一个三角形APF，根据三角形“两边之和大于第三边”的性质，可得：|PF|+|PA|＞|AF|=^=2°当P与P'重合时，A，P（P'），F三点共线，根据几何关系有：|PF|+|PA|=|AF|=综合1°，2°两种情况可得：|PF|+|PA|≥∴（|PF|+|PA|）min=∴（|PA|+|PM|）min=﹣1点评：本题主要考查了抛物线的应用，以及抛物线定义的应用．考查了学生对抛物线定义的理解和应用．15．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是12．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由已知中的三视图，我们可以判断出这个几何体是一个六棱柱，根据已知中正视图中及俯视图中所标识的数据，我们可以确定出棱柱的高，并根据割补法可求出底面面积，代入棱柱体积公式，即可求出答案．解答：解：由已知中三视图可以判断该几何体是一个底面如正视图所示的六棱柱由俯视图可得棱柱的高h=2，由割被法，可得棱柱的底面面积S=2•3=6故棱柱的体积V=2•6=12故答案为：12点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图确定几何体的形状及棱长、高等关系几何量是解答本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．（12分）已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）当m为何值时，方程C表示圆．（2）若圆C与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且MN=，求m的值．考点：直线与圆相交的性质；二元二次方程表示圆的条件．专题：计算题．分析：（1）方程C可化为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，应有5﹣m＞0．（2）先求出圆心坐标和半径，圆心到直线的距离，利用弦长公式求出m的值．解答：解：（1）方程C可化为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，显然，当5﹣m＞0时，即m＜5时，方程C表示圆．（2）圆的方程化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，圆心C（1，2），半径，则圆心C（1，2）到直线l：x+2y﹣4=0 的距离为，∵，有，∴，解得 m=4．点评：本题考查圆的标准方程的特征，点到直线的距离公式、弦长公式的应用．17．（12分）给定两个命题，命题p：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立，命题q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．考点：命题的真假判断与应用；复合命题的真假；函数恒成立问题．专题：计算题．分析：根据二次函数恒成立的充要条件，我们可以求出命题p为真时，实数a的取值范围，根据二次函数有实根的充要条件，我们可以求出命题q为真时，实数a的取值范围，然后根据p∨q为真命题，p∧q为假命题，则命题p，q中一个为真一个为假，分类讨论后，即可得到实数a的取值范围．解答：解：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立⇔a=0或⇔0≤a＜4；（2分）关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根⇔△=1﹣4a≥0⇔a≤；…（4分）p∨q为真命题，p∧q为假命题，即p真q假，或p假q真，…（5分）如果p真q假，则有0≤a＜4，且a＞∴＜a＜4；…（6分）如果p假q真，则有a＜0，或a≥4，且a≤∴a＜0…（7分）所以实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪（，4）．…（8分）点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，复合命题的真假，函数恒成立问题，其中判断出命题p与命题q为真时，实数a的取值范围，是解答本题的关键．18．（12分）如图，已知ABCD为平行四边形，∠A=60°，AF=2FB，AB=6，点E在CD上，EF∥BC，BD⊥AD，BD与EF相交于N．现将四边形ADEF沿EF折起，使点D在平面BCEF上的射影恰在直线BC上．（Ⅰ）求证：BD⊥平面BCEF；（Ⅱ）求折后直线DE与平面BCEF所成角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：综合题．分析：（Ⅰ）要证BD⊥平面BCEF，只需证明D在平面BCEF上的射影为点B即可；（Ⅱ）连接BE，由BD⊥平面BCEF，得∠DEB即为直线DE与平面BCEF所成角，进而利用直角三角形，利用余弦函数即可求直线DE与平面BCEF所成角的余弦值．解答：解：（Ⅰ）∵EF⊥DN，EF⊥BN，DN∩BN=N∴EF⊥面DNB∵EF⊂平面BCEF，∴平面BDN⊥平面BCEF，∵BN=平面BDN∩平面BCEF，∴D在平面BCEF上的射影在直线BN上，∵D在平面BCEF上的射影在直线BC上，∴D在平面BCEF上的射影即为点B，∴BD⊥平面BCEF．（Ⅱ）连接BE，由BD⊥平面BCEF，得∠DEB即为直线DE与平面BCEF所成角．在原图中，由已知，可得折后，由BD⊥平面BCEF，知BD⊥BN则BD2=DN2﹣BN2=9，即BD=3则在Rt△DEB中，有BD=3，DE=4，则，故即折后直线DE与平面BCEF所成角的余弦值为．点评：本题考查直线与平面垂直的判定，线面角，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．19．（12分）已知P（x，y）为平面上的动点且x≥0，若P到y轴的距离比到点（1，0）的距离小1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）设过点M（m，0）的直线交曲线C于A、B两点，问是否存在这样的实数m，使得以线段AB为直径的圆恒过原点．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由题意得：，化简得：y2=4x（x≥0）．求得P的轨迹方程．（Ⅱ）分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线AB方程为y=k（x﹣m），A（x1，y1），B（x2，y2），直线和抛物线联立方程求解．当斜率不存在时，m=0或m=4．成立．解答：解：（Ⅰ）由题意得：，化简得：y2=4x（x≥0）．∴点P的轨迹方程为y2=4x（x≥0）．．（Ⅱ）①当斜率存在时，设直线AB方程为y=k（x﹣m），A（x1，y1），B（x2，y2），由，得ky2﹣4y﹣4km=0，∴，∵以线段AB为直径的圆恒过原点，∴OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0．即m2﹣4m=0∴m=0或m=4．②当斜率不存在时，m=0或m=4．∴存在m=0或m=4，使得以线段AB为直径的圆恒过原点．点评：本题主要考查轨迹方程的求解和直线与抛物线的综合应用，属于中档题，早2015届高考中经常涉及20．（13分）如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求证；AE∥平面BFD；（Ⅲ）求三棱锥C﹣BGF的体积．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题．分析：（1）先证明AE⊥BC，再证AE⊥BF，由线面垂直的判定定理证明结论．（2）利用F、G为边长的中点证明FG∥AE，由线面平行的判定定理证明结论．（3）运用等体积法，先证FG⊥平面BCF，把原来的三棱锥的底换成面BCF，则高就是FG，代入体积公式求三棱锥的体积．解答：解：（Ⅰ）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC．又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF∴AE⊥平面BCE．（4分）（Ⅱ）证明：依题意可知：G是AC中点，∵BF⊥平面ACE，则CE⊥BF，而BC=BE，∴F是EC中点．（6分）在△AEC中，FG∥AE，∴AE∥平面BFD．（8分）（Ⅲ）解：∵AE∥平面BFD，∴AE∥FG，而AE⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCF，（10分）∵G是AC中点，∴F是CE中点，且，∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE．∴Rt△BCE中，．∴，（12分）∴（14分）点评：本题考查线面平行与垂直的证明方法，利用等体积法求三棱锥的体积．21．（14分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为、F2分别为椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与C相交于A、B两点，△F1AB的周长为．（I）求椭圆C的方程；（II）若椭圆C上存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）由离心率为得a=c，由△F1AB周长为4可求得a值，进而求得b值；（II）设点A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），易判断直线存在斜率，设直线l的方程为：y=k（x﹣1），与椭圆联立方程组消y得x的二次方程，∵四边形0APB为平行四边形，∴=+，根据韦达定理可把P点坐标用k表示出来，再代入椭圆方程即可求得k值；解答：解：（I）∵椭圆离心率为，∴=，∴a=c，又△F1AB周长为4，∴4a=4，解得a=，∴c=1，b=，∴椭圆C的标准方程为：；（II）设点A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），当斜率不存在时，这样的直线不满足题意，∴设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=k（x﹣1），将直线l的方程代入椭圆方程，整理得：（2+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣6=0，∴x1+x2=，故y1+y2=k（x1+x2）﹣2k=﹣2k=，∵四边形OAPB为平行四边形，∴=+，从而，，又P（x0，y0）在椭圆上，∴，整理得：，12k4+8k2=4+12k2+9k4，3k4﹣4k2﹣4=0，解得k=±，故所求直线l的方程为：y=±（x﹣1）．点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆标准方程，考查方程思想，考查学生解决问题的能力．。
安徽省合肥市第一六八中学2015年中考自主招生考试数学试题
- 1 -2015年学科素养考核数 学 卷【卷首语】亲爱的同学们，欢送参加一六八中学自主招生考核。
希望你们凝神静气，考出水平！开放的一六八中学热忱欢送你们！本学科总分值为150分，共21题；用时100分钟。
一、选择题〔本大题共8小题，每题5分,共40分〕 1．假设0a b <<〕A ．3a b -B.()3b a -C.a b -D.b a -126x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩的解的个数为〔 〕A. 1B. 2C. 3D. 4,a b 满足0ab >，则以下不等式恒成立的是〔 〕A. 222a b ab +> B. a b +≥C ．2b aa b +≥D.11a b +≥ABC ∆的三条边长分别为3、4、6，在ABC ∆所在平面内画一条直线，将ABC ∆分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画〔 〕A. 8 条B. 4条C. 6条D. 7条(),A m n 、(),B n m 、(),C m n n m --，则该图象经过〔 〕A. 第二、四象限B.第一、二、三象限C. 第二、三、四象限D.第一、三、四象限,x y 满足234x y -=，并且1x ≥-，2y <，现有k x y =-，则k 的取值范围为〔 〕A. 3k >-B. 13k ≤<C. 13k <≤D. 3k <7.如图，以BC 为直径的半圆中，A为弧BC 上一点，4,AC AB ==D 为BC 上一点，030CAD ∠=，则AD 的长为〔 〕- 2 -xy–112345–11234O第7题图BA. 95B.85C.75D.658.如图，某班13个同学围成一圈做游戏，规则是从某一个同学开始按顺时针方向数数，数到第13，该同学离开，这样继续下去，直到最后剩下一个同学.小明是1号，要使最后剩下的是小明自己，他应该建议从〔 〕同学开始数起. A.8号B.2号C.13号二、填空题〔本大题共7小题，每题5分，共35分〕12,xx 是方程220150x x --=的两个实数根，则()21231x x ++的 值是 ________.442222212a b a a b b +=-++，则22a b +=_________.11.如图，菱形ABCD 的对角线AC =4cm ，把它沿对角线AC 方向平移1cm 得到菱形EFGH .则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN 的面积之比为_________.12.如图甲，在梯形中，//AD BC ,90C ∠=︒,动点P 从点C 出发沿线段CD 向点D 运动，到达点D 即停止，假设E 、F 分别是AP 、BP 的中点，设CP x =，PEF ∆的面积为y ,则y 与x 的函数关系的图象如图乙所示，则梯形ABCD 的面积为_________.第7题图7题图 第8题图63第8题图- 3 -Bxy GFED C A O图甲P E FD CBA13.规定0x x =时，代数式221x x +的值记为0()f x .例如：1x =-时，22(1)1(1)1(1)2f --==+-，则1111(1)(2)(3)(168)()()()()234168f f f f f f f f +++++++++的值等于______.14.一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直地公路上朝同一方向匀速行驶.在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．．．.过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上客车；再过tt =______.15．如图，矩形AOBC 的顶点坐标分别为(0,3)A ，(0,0)O ,(4,0)B ,(4,3)C ，动点F 在边BC 上〔不与B ,C 重合〕，过点F 的反比例函数ky x=的图象与边AC 交于点E ，直线EF 分别于y 轴和x 轴交于点D 和G .给出以下命题： ①假设218k =，则点C 关于直线EF 的对称点在x 轴上； ②假设4k =，则OEF ∆的面积为83；③满足题设的k 的取值范围是012k <≤；④假设2512DE EG •=,则1k =.其中正确的命题的序号是___________〔写出所有正确命题的序号〕 三．解答题〔本大题共6小题，共75分〕 16.〔11分〕- 4 -GEFDCB A已知2410x x ++=，且42321222x tx x tx x++=++，求t 的值.17.〔12分〕1199++的值.18.〔12分〕某校高三学生要坐汽车去体检，要求每辆汽车乘坐的人数相等，假设每辆汽车乘28人，那么剩下1人未上车，如果减少一辆汽车，那么所有学生正好能平均分乘到其他各车上。
安徽省合肥市第一六八中学高二数学上学期开学考试试卷 文(含解析)
2015-2016学年安徽省合肥一六八中高二（上）开学考试数学试卷（文科）一、选择题（60分，每题5分）1．设M、N是两个非空集合，定义M与N的差集为M﹣N={x|x∈M且x∉N}，则M﹣（M﹣N）等于（）A．N B．M∩N C．M∪N D．M2．已知f（x）是定义在R上的函数，且f（x）=f（x+2）恒成立，当x∈（﹣2，0）时，f （x）=x2，则当x∈[2，3]时，函数f（x）的解析式为（）A．x2﹣4 B．x2+4 C．（x+4）2D．（x﹣4）23．已知函数f（x）=，则f（log23）=（）A．3 B．C．1 D．24．计算log2sin+log2cos的值为（）A．﹣4 B．4 C．2 D．﹣25．若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a6．奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．17．如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC=BD，AD=1，则等于（）A．B．C．D．8．已知正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5．若存在两项a m，a n使得，则的最小值为（）A．B．C．D．9．已知各项不为0的等差数列{a n}满足a4﹣2a72+3a8=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则b2b8b11等于（）A．1 B．2 C．4 D．810．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．3 B．4 C．5 D．811．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将f（x）的图象向左平移个长度单位，所得图象对应的函数解析式为（）A．f（x）=sin2x B．f（x）=﹣sin2x C．f（x）=sin（2x﹣）D．f（x）=sin （2x+）12．函数图象上关于坐标原点O对称的点有n对，则n=（）A．3 B．4 C．5 D．无数二、填空题（20分，每题5分）13．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为．14．设x，y满足的约束条件，则z=x+2y的最大值为．15．若非零向量，满足，则与的夹角余弦值为．16．给出四个命题：（1）若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；（2）若sinA=cosB，则△ABC为直角三角形；（3）若sin2A+sin2B+sin2C＜2，则△ABC为钝角三角形；（4）若cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，则△ABC为正三角形，以上正确命题的是．三、解答题：17．设函数f（x）=x2+|x﹣2|﹣1，x∈R．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）求函数f（x）的最小值．18．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且tanA+tanB=．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若+=3，求sinAsinC的值．19．设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a2a n=S2+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求a1，a2的值；（Ⅱ）设a1＞0，数列{lg}的前n项和为T n，当n为何值时，T n最大？并求出T n的最大值．21．设a≤2，求y=（x﹣2）|x|在[a，2]上的最大值和最小值．2015-2016学年安徽省合肥一六八中高二（上）开学考试数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（60分，每题5分）1．设M、N是两个非空集合，定义M与N的差集为M﹣N={x|x∈M且x∉N}，则M﹣（M﹣N）等于（）A．N B．M∩N C．M∪N D．M【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】本题为新定义问题，画出基本韦恩图求解即可【解答】解：M﹣N={x|x∈M且x∉N}是指图（1）中的阴影部分．同样M﹣（M﹣N）是指图（2）中的阴影部分．即M∩N，如果N为M的真子集，则M﹣（M﹣N）=N；若M与N的Venn图互不相交，则M﹣（M﹣N）=M．故选B．【点评】对新定义问题，正确理解定义是解题的关键．2．已知f（x）是定义在R上的函数，且f（x）=f（x+2）恒成立，当x∈（﹣2，0）时，f （x）=x2，则当x∈[2，3]时，函数f（x）的解析式为（）A．x2﹣4 B．x2+4 C．（x+4）2D．（x﹣4）2【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的周期性．【专题】计算题．【分析】根据f（x）=f（x+2）判断出函数的周期性，再根据周期性，把∈[2，3]的函数值变形到（﹣2，0）上来求．【解答】解：∵f（x）=f（x+2），∴f（x）是周期为2的周期函数，∵当x∈（﹣2，0）时，f（x）=x2，根据周期性，当x∈2，3]时，f（x）=f（x﹣4）=（x﹣4）2故选D【点评】本题考查了函数的周期性的判断与应用，是高考必考内容．3．已知函数f（x）=，则f（log23）=（）A．3 B．C．1 D．2【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【专题】计算题．【分析】先判定log23的取值范围，然后代入分段函数化简得f（log23）=f（log23﹣1），再判定log23﹣1的范围，代入解析式，利用指对数运算性质进行求解即可．【解答】解：∵2=log24＞log23＞log22=1∴f（log23）=f（log23﹣1）而log23﹣1＜1∴f（log23）=f（log23﹣1）==3×=故选B．【点评】本题主要考查了对数函数的运算性质，以及函数求值，同时考查了计算能力，属于基础题．4．计算log2sin+log2cos的值为（）A．﹣4 B．4 C．2 D．﹣2【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由于=．可得原式==，即可得出．【解答】解：∵ ==2﹣2．∴原式===﹣2．故选：D．【点评】本题考查了倍角公式、对数函数的运算性质，属于基础题．5．若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【考点】对数函数的单调区间；对数的运算性质．【分析】利用估值法知a大于1，b在0与1之间，c小于0．【解答】解：，由指对函数的图象可知：a＞1，0＜b＜1，c＜0，故选A【点评】估值法是比较大小的常用方法，属基本题．6．奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论．【解答】解：∵f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，∴设g（x）=f（x+2），则g（﹣x）=g（x），即f（﹣x+2）=f（x+2），∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x+2）=f（x+2）=﹣f（x﹣2），即f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=﹣f（x+4）=f（x），则f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，∴f（8）+f（9）=0+1=1，故选：D．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．7．如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC=BD，AD=1，则等于（）A．B．C．D．【考点】向量在几何中的应用．【专题】解三角形；平面向量及应用．【分析】利用平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，求解向量的数量积即可．【解答】解： =cos∠DAC，∵||=1，∴•=cos∠DAC=||•cos∠DAC，∵∠BAC=+∠DAC，∴cos∠DAC=sin∠BAC，•=cos∠DAC=||•cos∠DAC=||sin∠BAC，在△ABC中，由正弦定理得=变形得|AC|sin∠BAC=|BC|sinB，•=cos∠DAC=||•cos∠DAC=||sin∠BAC，=|BC|sinB=|BC|•=，故选：B．【点评】本题考查平面向量的数量积，向量在几何中的应用，平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题8．已知正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5．若存在两项a m，a n使得，则的最小值为（）A．B．C．D．【考点】等比数列的性质．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】根据a7=a6+2a5，求出公比的值，利用存在两项a m，a n使得，写出m，n之间的关系，结合基本不等式得到最小值．【解答】解：设等比数列的公比为q（q＞0），则∵a7=a6+2a5，∴a5q2=a5q+2a5，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2，∵存在两项a m，a n使得，∴a m a n=16a12，∴q m+n﹣2=16，∴m+n=6∴=（m+n）（）=（10+）m=1，n=5时， =；m=2，n=4时， =．∴的最小值为，故选B．【点评】本题考查等比数列的通项和基本不等式，实际上应用基本不等式是本题的重点和难点，关键注意当两个数字的和是定值，要求两个变量的倒数之和的最小值时，要乘以两个数字之和．9．已知各项不为0的等差数列{a n}满足a4﹣2a72+3a8=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则b2b8b11等于（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知方程结合等差数列的性质求解a7，再利用等比数列的性质求解答案．【解答】解：∵数列{a n}是各项不为0的等差数列，由a4﹣2+3a8=0，得，，，∴，解得：a7=2．则b7=a7=2．又数列{b n}是等比数列，则b2b8b11=．故选：D．【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了学生的计算能力，是中档题．10．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．3 B．4 C．5 D．8【考点】循环结构．【专题】计算题．【分析】列出循环中x，y的对应关系，不满足判断框结束循环，推出结果．【解答】解：由题意循环中x，y的对应关系如图：x 1 2 4 8y 1 2 3 4当x=8时不满足循环条件，退出循环，输出y=4．故选B．【点评】本题考查循环结构框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力．11．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将f（x）的图象向左平移个长度单位，所得图象对应的函数解析式为（）A．f（x）=sin2x B．f（x）=﹣sin2x C．f（x）=sin（2x﹣）D．f（x）=sin （2x+）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】依题意，知A=1，T=π，从而可求ω=2；再由ω+φ=2kπ+π（k∈Z），|φ|＜可求得φ，从而可得y=f（x）的解析式，最后利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可求得将f（x）的图象向左边平移个长度单位所得图象对应的函数解析式．【解答】解：依题意，知A=1， T=﹣=，∴T==π，ω=2；又ω+φ=2kπ+π（k∈Z），∴φ=2kπ+（k∈Z），又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），∴将f（x）的图象向左边平移个长度单位，得y=f（x+）=sin[2（x+）+]=sin（2x+π）=﹣sin2x，故选：B．【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象的解析式的确定及图象变换，考查分析运算能力，属于中档题．12．函数图象上关于坐标原点O对称的点有n对，则n=（）A．3 B．4 C．5 D．无数【考点】奇偶函数图象的对称性；分段函数的解析式求法及其图象的作法；对数函数的图象与性质．【专题】作图题；函数的性质及应用．【分析】要求函数图象上关于坐标原点对称，则有f（﹣x）=﹣f（x），转化为方程根的个数，再用数形结合法求解．【解答】解：当x＜0时，函数f（x）=cos，则关于原点对称的图象为y=﹣cos，x ＞0，作出函数的图象如图：当x=10时，y=lg11＞1，y=﹣cos=1，x＞0，则由图象可知两个图象的交点个有4个，故n=4，故选：B．【点评】本题主要通过分段函数来考查函数奇偶性的应用，同时还考查了学生作图和数形结合的能力．二、填空题（20分，每题5分）13．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为10 ．【考点】系统抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21，由451≤30n﹣21≤750 求得正整数n的个数，即为所求．【解答】解：由960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21．由451≤30n﹣21≤750 解得15.7≤n≤25.7．再由n为正整数可得16≤n≤25，且 n∈z，故做问卷B的人数为10，故答案为：10．【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题．14．设x，y满足的约束条件，则z=x+2y的最大值为7 ．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即B（3，2），此时z的最大值为z=1+2×3=1+6=7，故答案为：7．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．15．若非零向量，满足，则与的夹角余弦值为．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】先设出其夹角，根据已知条件整理出关于夹角的等式，解方程即可【解答】解：设向量、的夹角为θ；因为，∴||2=9||2=（）2=2；即42cosθ=0，||=，∴+||•||co sθ=0cosθ=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义以及计算能力，属于基础题，考察了基本的数学知识的掌握．16．给出四个命题：（1）若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；（2）若sinA=cosB，则△ABC为直角三角形；（3）若sin2A+sin2B+sin2C＜2，则△ABC为钝角三角形；（4）若cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，则△ABC为正三角形，以上正确命题的是（3）（4）．【考点】正弦定理．【专题】三角函数的图像与性质；简易逻辑．【分析】（1）由sin2A=sin2B，A，B∈（0，π），可得2A=2B，或2A+2B=π，即可判断出正误；（2）由sinA=cosB=，A，B∈（0，π），可得A=﹣B，或A+﹣B=π，即可判断出正误；（3）由sin2A+sin2B+sin2C＜2，利用倍角公式可得： ++＜2，化为cos2A+cos2B+cos2C＞﹣1，再利用倍角公式、和差公式化为cosAcosBcosC＜0，即可判断出正误；（4）由cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，利用余弦函数的值域，可得A﹣B=B﹣C=C ﹣A=0，即可判断出正误．【解答】解：（1）若sin2A=sin2B，∵A，B∈（0，π），∴2A=2B，或2A+2B=π，解得A=B，或A+B=，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，因此不正确；（2）若sinA=cosB=，∵A，B∈（0，π），∴A=﹣B，或A+﹣B=π，解得A+B=或，则△ABC为钝角三角形或直角三角形，因此不正确；（3）∵sin2A+sin2B+sin2C＜2，∴ ++＜2，化为cos2A+cos2B+cos2C＞﹣1，∴2cos2A+2cos（B+C）cos（B﹣C）＞0，∴cosA[﹣cos（B+C）﹣cos（B﹣C）]＞0，∴cosAcosBcosC＜0，因此△ABC为钝角三角形，正确；（4）若cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，∵cos（A﹣B）∈（﹣1，1]，cos（B﹣C）∈（﹣1，1]，cos（C﹣A）∈（﹣1，1]，可知：只有三个都等于1，又A，B，C∈（0，π），∴A﹣B=B﹣C=C﹣A=0，∴A=B=C，则△ABC为正三角形，正确．以上正确的命题是：（3）（4）．故答案为：（3）（4）．【点评】本题考查了三角函数的值域、三角形内角和定理、倍角公式与和差公式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：17．设函数f（x）=x2+|x﹣2|﹣1，x∈R．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）求函数f（x）的最小值．【考点】函数奇偶性的判断；函数的最值及其几何意义．【分析】本题第一问考查分段函数的奇偶性，用定义判断；第二问是求最值的题目：求最值时，先判断函数在相应定义域上的单调性，在根据单调性求出函数的最值．【解答】解：（1）f（x）=若f（x）奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）所以f（0）=﹣f（0），即f（0）=0．∵f（0）=1≠0，∴f（x）不是R上的奇函数．又∵f（1）=1，f（﹣1）=3，f（1）≠f（﹣1），∴f（x）不是偶函数．故f（x）是非奇非偶的函数．（2）当x≥2时，f（x）=x2+x﹣3，为二次函数，对称轴为直线x=，则f（x）为[2，+∞）上的增函数，此时f（x）min=f（2）=3．当x＜2时，f（x）=x2﹣x+1，为二次函数，对称轴为直线x=则f（x）在（﹣∞，）上为减函数，在[，2）上为增函数，此时f（x）min=f（）=．综上，f（x）min=．【点评】函数的奇偶性是高考常考的题目，而出的题目一般比较简单，常用定义法判断；函数的最值也是函数问题中常考的题目，一般先判断函数的单调性，在求最值，而学生往往忽略了判断单调性这一步．18．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且tanA+tanB=．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若+=3，求sinAsinC的值．【考点】同角三角函数基本关系的运用；正弦定理．【专题】三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）已知等式左边利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后根据sinC不为0求出cosB的值，即可确定出B的度数；（Ⅱ）已知等式去分母整理后得到关系式，利用余弦定理列出关系式，把得出关系式及cosB 的值代入，并利用正弦定理化简，即可求出siniAsinC的值．【解答】解：（Ⅰ）已知等式变形得： +=，去分母得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosB，即sin（A+B）=2sinCcosB=sinC，∵sinC≠0，∴cosB=，则B=60°；（Ⅱ）由+=3，整理得：a2+c2=3ac，∵cosB=，a2+c2=3ac，∴b2=a2+c2﹣2accosB=2ac，由正弦定理得：sin2B=2sinAsinC=，则sinAsinC=．【点评】此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，正弦、余弦定理，熟练掌握定理及基本关系是解本题的关键．19．设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；几何概型．【专题】计算题．【分析】首先分析一元二次方程有实根的条件，得到a≥b（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件可以通过列举得到结果数，满足条件的事件在前面列举的基础上得到结果数，求得概率．（2）本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，根据概率等于面积之比，得到概率．【解答】解：设事件A为“方程有实根”．当a＞0，b＞0时，方程有实根的充要条件为a≥b（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：（0，0）（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2）其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，∴事件A发生的概率为P==（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}∴所求的概率是【点评】本题考查古典概型及其概率公式，考查几何概型及其概率公式，本题把两种概率放在一个题目中进行对比，得到两种概率的共同之处和不同点．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a2a n=S2+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求a1，a2的值；（Ⅱ）设a1＞0，数列{lg}的前n项和为T n，当n为何值时，T n最大？并求出T n的最大值．【考点】数列递推式；数列的函数特性；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）由题意，n=2时，由已知可得，a2（a2﹣a1）=a2，分类讨论：由a2=0，及a2≠0，分别可求a1，a2（Ⅱ）由a1＞0，令，可知==，结合数列的单调性可求和的最大项【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a2a1=S2+S1=2a1+a2①当n=2时，得②②﹣①得，a2（a2﹣a1）=a2③若a2=0，则由①知a1=0，若a2≠0，则a2﹣a1=1④①④联立可得或综上可得，a1=0，a2=0或或（Ⅱ）当a1＞0，由（Ⅰ）可得当n≥2时，，∴∴（n≥2）∴=令由（Ⅰ）可知==∴{b n}是单调递减的等差数列，公差为﹣lg2∴b1＞b2＞…＞b7=当n≥8时，∴数列的前7项和最大， ==7﹣【点评】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大项，还考查了一定的逻辑运算与推理的能力．21．设a≤2，求y=（x﹣2）|x|在[a，2]上的最大值和最小值．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】分类讨论；函数的性质及应用．【分析】由绝对值的含义，去绝对值，再由二次函数的最值求法，对a讨论，结合单调性，即可得到最值．【解答】解：y=（x﹣2）|x|=，当x≤0，y=﹣（x﹣1）2+1，当x＞0，y=（x﹣1）2﹣1，当1≤a≤2时，函数在[a，2]递增，y min=a2﹣2a，y max=0；当1﹣≤a＜1时，在[a，0）递增，（0，1）递减，（1，2）递增，即有y min=1﹣2=﹣1，y max=0；当a＜1﹣时，在[a，0）递增，（0，1）递减，（1，2）递增，即有y min=（a﹣2）|a|=2a﹣a2，y max=0．【点评】本题考查含绝对值函数的最值的求法，注意分类讨论的思想方法，以及函数的单调性的运用，属于中档题．。
2015-2016学年安徽省合肥168中高一上学期期末数学试卷和解析
2015-2016学年安徽省合肥168中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5.00分）已知A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，则a的值是（）A．a=3 B．a=﹣3 C．a=±3 D．a=5或a=±32．（5.00分）函数的定义域为（）A． B．C．D．（，1）3．（5.00分）若方程x2﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，2） C．（4，+∞）D．（0，4）4．（5.00分）设a=0.5，b=0.8，c=log20.5，则a、b、c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c5．（5.00分）为了得到函数的图象，只需把函数y=sin3x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度6．（5.00分）给出下列各函数值：①sin100°；②cos（﹣100°）；③tan（﹣100°）；④．其中符号为负的是（）A．①B．②C．③D．④7．（5.00分）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．8．（5.00分）已知，则tan2α=（）A．B．C．D．9．（5.00分）设0＜a＜1，实数x，y满足，则y关于x的函数的图象形状大致是（）A．B．C．D．10．（5.00分）若函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0且a≠1）在区间（0，）内恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间为（）A．（﹣∞，） B．（﹣，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，﹣）11．（5.00分）已知函数，函数，其中b ∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．B． C． D．12．（5.00分）设向量，满足：||=3，||=4，•=0．以，，﹣的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5.00分）设MP和OM分别是角的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①MP＜OM＜0；②OM＜0＜MP；③OM＜MP＜0；④MP＜0＜OM，其中正确的是（把所有正确的序号都填上）．14．（5.00分）设函数，若用[m]表示不超过实数m的最大整数，则函数的值域为．15．（5.00分）在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1）和点B（﹣3，4），若点C在∠AOB的平分线上且||=2，则=．16．（5.00分）设函数f（x）=x2﹣ax+a+3，g（x）=x﹣a．若不存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（本题共8小题）17．（10.00分）已知，且．（1）求sinα，cosα的值；（2）若，求sinβ的值．18．（12.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（π，2）和（4π，﹣2）．（1）试求f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），然后再将新的图象向x轴正方向平移个单位，得到函数y=g（x）的图象．写出函数y=g（x）的解析式．19．（12.00分）如图在长方形ABCD中，是CD的中点，M是线段AB上的点，．（1）若M是AB的中点，求证：与共线；（2）在线段AB上是否存在点M，使得与垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M点的位置；（3）若动点P在长方形ABCD上运动，试求的最大值及取得最大值时P 点的位置．20．（12.00分）已知：函数f（x）=log2，g（x）=2ax+1﹣a，又h（x）=f（x）+g（x）．（1）当a=1时，求证：h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，并证明函数h（x）有两个零点；（2）若关于x的方程f（x）=log2g（x）有两个不相等实数根，求a的取值范围．21．设f（x）=x2﹣ax+2．当x∈[1，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．22．（12.00分）我国加入WTO后，根据达成的协议，若干年内某产品关税与市场供应量P的关系允许近似的满足：（其中t为关税的税率，且）．（x为市场价格，b、k为正常数），当t=时的市场供应量曲线如图（1）根据图象求k、b的值；（2）若市场需求量为Q，它近似满足．当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率t的最小值．23．（全省班做）《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累计计算：某人一月份的工资为8660元，那么他当月应缴纳的个人所得税是多少元？24．（12.00分）已知函数f（x）=x|2a﹣x|+2x，a∈R．（1）若a=0，判断函数y=f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若存在实数a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．2015-2016学年安徽省合肥168中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5.00分）已知A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，则a的值是（）A．a=3 B．a=﹣3 C．a=±3 D．a=5或a=±3【解答】解：∵A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，∴2a﹣1=9或a2=9，当2a﹣1=9时，a=5，A∩B={4，9}，不符合题意；当a2=9时，a=±3，若a=3，集合B违背互异性；∴a=﹣3．故选：B．2．（5.00分）函数的定义域为（）A． B．C．D．（，1）【解答】解：要使原函数有意义，则log2（4x﹣1）＞0，即4x﹣1＞1，得x．∴函数的定义域为．故选：C．3．（5.00分）若方程x2﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，2） C．（4，+∞）D．（0，4）【解答】解：令f（x）=x2﹣mx+3，若方程x2﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，则f（1）=1﹣m+3＜0，解得：m∈（4，+∞），故选：C．4．（5.00分）设a=0.5，b=0.8，c=log20.5，则a、b、c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c【解答】解：∵a=0.5，b=0.8，∴0＜a＜b，∵c=log20.5＜0，∴c＜a＜b，故选：B．5．（5.00分）为了得到函数的图象，只需把函数y=sin3x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：把函数y=sin3x的图象向右平移个单位长度，可得y=sin3（x﹣）=sin（3x﹣）的图象，故选：A．6．（5.00分）给出下列各函数值：①sin100°；②cos（﹣100°）；③tan（﹣100°）；④．其中符号为负的是（）A．①B．②C．③D．④【解答】解：：①sin100°＞0，②cos（﹣100°）=cos100°＜0，③tan（﹣100°）=﹣tan100＞0，④∵sin＞0，cosπ=﹣1，tan＜0，∴＞0，其中符号为负的是②，故选：B．7．（5.00分）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．【解答】解：由已知得到如图由===；故选：A．8．（5.00分）已知，则tan2α=（）A．B．C．D．【解答】解：∵，又sin2α+cos2α=1，联立解得，或故tanα==，或tanα=3，代入可得tan2α===﹣，或tan2α===故选：C．9．（5.00分）设0＜a＜1，实数x，y满足，则y关于x的函数的图象形状大致是（）A．B．C．D．【解答】解：0＜a＜1，实数x，y满足，即y=，故函数y为偶函数，它的图象关于y轴对称，在（0，+∞）上单调递增，且函数的图象经过点（0，1），故选：A．10．（5.00分）若函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0且a≠1）在区间（0，）内恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间为（）A．（﹣∞，） B．（﹣，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，﹣）【解答】解：当x∈（0，）时，2x2+x∈（0，1），∴0＜a＜1，∵函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0，a≠1）由f（x）=log a t和t=2x2+x复合而成，0＜a＜1时，f（x）=log a t在（0，+∞）上是减函数，所以只要求t=2x2+x＞0的单调递减区间．t=2x2+x＞0的单调递减区间为（﹣∞，﹣），∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣），故选：D．11．（5.00分）已知函数，函数，其中b ∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．B． C． D．【解答】解：∵g（x）=﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣+f（2﹣x），由f（x）﹣+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，故当=时，h（x）=，有两个交点，当=2时，h（x）=，有无数个交点，由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h（x）=恰有4个根，则满足＜＜2，解得：b∈（，4），故选：D．12．（5.00分）设向量，满足：||=3，||=4，•=0．以，，﹣的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵向量a•b=0，∴此三角形为直角三角形，三边长分别为3，4，5，进而可知其内切圆半径为1，∵对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现．故选：B．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5.00分）设MP和OM分别是角的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①MP＜OM＜0；②OM＜0＜MP；③OM＜MP＜0；④MP＜0＜OM，其中正确的是②（把所有正确的序号都填上）．【解答】解：由MP，OM分别为角的正弦线、余弦线，如图，∵，∴OM＜0＜MP．故答案为：②．14．（5.00分）设函数，若用[m]表示不超过实数m的最大整数，则函数的值域为{0，1} ．【解答】解：=[﹣]+[+]=[﹣]+[+]，∵0＜＜1，∴﹣＜﹣＜，＜+＜，①当0＜＜时，0＜﹣＜，＜+＜1，故y=0；②当=时，﹣=0，+=1，故y=1；③＜＜1时，﹣＜﹣＜0，1＜+＜，故y=﹣1+1=0；故函数的值域为{0，1}．故答案为：{0，1}．15．（5.00分）在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1）和点B（﹣3，4），若点C在∠AOB的平分线上且||=2，则=（﹣，）．【解答】解：∵，，设OC与AB交于D（x，y）点则：AD：BD=1：5即D分有向线段AB所成的比为则解得：∴又∵||=2∴=（﹣，）故答案为：（﹣，）16．（5.00分）设函数f（x）=x2﹣ax+a+3，g（x）=x﹣a．若不存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，则实数a的取值范围是[﹣3，6] ．【解答】解：①若x≤a，则g（x）≤0，此时若不存在x0∈（﹣∞，a]，使得f （x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，需f（x）≥0在（﹣∞，a]上恒成立，即x2﹣ax+a+3≥0在（﹣∞，a]上恒成立，需或，即或解得：﹣3≤a≤6②若x＞a，则g（x）＞0恒成立，显然不存在x0∈（a，+∞），使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，此时a∈R综上所述，若不存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，实数a的取值范围是[﹣3，6]故答案为[﹣3，6]三、解答题（本题共8小题）17．（10.00分）已知，且．（1）求sinα，cosα的值；（2）若，求sinβ的值．【解答】解：（1）将sin+cos=两边平方得：（sin+cos）2=sin2+2sin cos+cos2=1+sinα=，∴sinα=，∵α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣；（2）∵α∈（，π），β∈（0，），∴α+β∈（，），∵sin（α+β）=﹣＜0，∴α+β∈（π，），∴cos（α+β）=﹣=﹣，则sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=﹣×（﹣）﹣（﹣）×=+=．18．（12.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（π，2）和（4π，﹣2）．（1）试求f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），然后再将新的图象向x轴正方向平移个单位，得到函数y=g（x）的图象．写出函数y=g（x）的解析式．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由题意知：A=2，…（1分）∵T=6π，∴=6π得ω=，…（3分）∴f（x）=2sin（x+φ），∵函数图象过（π，2），∴sin（+φ）=1，∵﹣＜φ+＜，∴φ+=，得φ=…（5分）∴A=2，ω=，φ=，∴f（x）=2sin（x+）．…（6分）（2）∵将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），可得函数y=2sin（x+）的图象，然后再将新的图象向x轴正方向平移个单位，得到函数g（x）=2sin[（x﹣）+]=2sin（﹣）的图象．故y=g（x）的解析式为：g（x）=2sin（﹣）．…（12分）19．（12.00分）如图在长方形ABCD中，是CD的中点，M是线段AB上的点，．（1）若M是AB的中点，求证：与共线；（2）在线段AB上是否存在点M，使得与垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M点的位置；（3）若动点P在长方形ABCD上运动，试求的最大值及取得最大值时P 点的位置．【解答】（1）证明：如图以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，当M是AB的中点时，A（0，0），N（1，1），C（2，1），M（1，0），，由，可得与共线；（2）解：假设线段AB上是否存在点M，使得与垂直，设M（t，0）（0≤t≤2），则B（2，0），D（0，1），M（t，0），，由=﹣2（t﹣2）﹣1=0，解得t=，∴线段AB上存在点，使得与垂直；（3）解：由图看出，当P在线段BC上时，在上的投影最大，则有最大值为4．20．（12.00分）已知：函数f（x）=log2，g（x）=2ax+1﹣a，又h（x）=f（x）+g（x）．（1）当a=1时，求证：h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，并证明函数h（x）有两个零点；（2）若关于x的方程f（x）=log2g（x）有两个不相等实数根，求a的取值范围．【解答】解：（1）证明：h（x）=f（x）+g（x）=log2+2x，=log2（1﹣）+2x；∵y=1﹣在（1，+∞）上是增函数，故y=log2（1﹣）在（1，+∞）上是增函数；又∵y=2x在（1，+∞）上是增函数；∴h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增；同理可证，h（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增；而h（1.1）=﹣log221+2.2＜0，h（2）=﹣log23+4＞0；故h（x）在（1，+∞）上有且仅有一个零点，同理可证h（x）在（﹣∞，﹣1）上有且仅有一个零点，故函数h（x）有两个零点；（2）由题意，关于x的方程f（x）=log2g（x）有两个不相等实数根可化为1﹣=2ax+1﹣a在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）上有两个不相等实数根；故a=；结合函数a=的图象可得，＜a＜0；即﹣1＜a＜0．21．设f（x）=x2﹣ax+2．当x∈[1，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：由f（x）≥0得f（x）=x2﹣ax+2≥0，即ax≤2+x2，∵x∈[1，+∞），∴a≤=x+，∵x+，当x=，即x=取等号，∴．22．（12.00分）我国加入WTO后，根据达成的协议，若干年内某产品关税与市场供应量P的关系允许近似的满足：（其中t为关税的税率，且）．（x为市场价格，b、k为正常数），当t=时的市场供应量曲线如图（1）根据图象求k、b的值；（2）若市场需求量为Q，它近似满足．当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率t的最小值．【解答】解：（1）由图可知，解得（2）当P=Q时，得解得：令，∵x≥9，∴m∈（0，]，则t=，∴对称轴m=∈（0，]，且开口向下；∴时，t取得最小值，此时x=9∴税率t的最小值为．23．（全省班做）《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累计计算：某人一月份的工资为8660元，那么他当月应缴纳的个人所得税是多少元？【解答】解：由题意，某人一月份的工资为8660元，那么他当月应缴纳的个人所得税是1500×3%+3000×10%+（8660﹣4500）×20%=1177元24．（12.00分）已知函数f（x）=x|2a﹣x|+2x，a∈R．（1）若a=0，判断函数y=f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若存在实数a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）函数y=f（x）为奇函数．当a=0时，f（x）=x|x|+2x，∴f（﹣x）=﹣x|x|﹣2x=﹣f（x），∴函数y=f（x）为奇函数；（2）f（x）=，当x≥2a时，f（x）的对称轴为：x=a﹣1；当x＜2a时，y=f（x）的对称轴为：x=a+1；∴当a﹣1≤2a≤a+1时，f（x）在R上是增函数，即﹣1≤a≤1时，函数f（x）在R上是增函数；（3）方程f（x）﹣tf（2a）=0的解即为方程f（x）=tf（2a）的解．①当﹣1≤a≤1时，函数f（x）在R上是增函数，∴关于x的方程f（x）=tf（2a）不可能有三个不相等的实数根；…（9分）②当a＞1时，即2a＞a+1＞a﹣1，∴f（x）在（﹣∞，a+1）上单调增，在（a+1，2a）上单调减，在（2a，+∞）上单调增，∴当f（2a）＜tf（2a）＜f（a+1）时，关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根；即4a＜t•4a＜（a+1）2，∵a＞1，∴．设，∵存在a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根，∴1＜t＜h（a）max，又可证在（1，2]上单调增∴＜h（a）max=，∴1＜t＜③当a＜﹣1时，即2a＜a﹣1＜a+1，∴f（x）在（﹣∞，2a）上单调增，在（2a，a﹣1）上单调减，在（a﹣1，+∞）上单调增，∴当f（a﹣1）＜tf（2a）＜f（2a）时，关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根；即﹣（a﹣1）2＜t•4a＜4a，∵a＜﹣1，∴，设，∵存在a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根，∴1＜t＜g（a）max，又可证在[﹣2，﹣1）上单调减，∴g（a）max=，∴1＜t＜；综上：1＜t＜．。
安徽省合肥168中2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试卷
2014-2015学年安徽省合肥168中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．两直线ax﹣y+2a=0和（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a=（）A． 1 B．﹣ C． 1或0 D．﹣或2．已知圆C：x2+2x+y2=0的一条斜率为1的切线为l1，且与l1垂直的直线l2平分该圆，则直线l2的方程为（）A． x﹣y+1=0 B． x﹣y﹣1=0 C． x+y﹣1=0 D． x+y+1=03．已知某空间几何体的正视图和侧视图相同，且如图所示，俯视图是两个同心圆，则它的表面积为（）A．π B．（12+4）π C．π D．（13+4）π4．下面说法正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，使得x2+x+1≥0”B．实数x＞y是x2＞y2成立的充要条件C．设p，q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则“￢p∧￢q”也为假命题D．命题“若cosα≠1，则α≠0”的逆否命题为真命题5．若α，β是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α．那么可以是α∥β的充分条件有（ C ）A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个6．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为2，若异面直线AB1与BC1所成的角为60°，则该三棱柱的侧棱长为（）A． 2或 B． C． D． 27．已知命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，命题q：q：不等式＜1+ax对一切正实数x均成立．如果，命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围为（）A． a＞1 B． 1≤a≤2 C． a＞2 D．无解8．已知抛物线y=x2﹣1上的一定点B（﹣1，0）和两个动点PQ、，当BP⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞） B． [﹣3，1]C．（﹣∞，﹣3]∪[1，）∪（，+∞） D． [1，+∞）9．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．10．过椭圆上一点H作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，过A，B的直线l 与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，则△POQ面积的最小值为（）A． B． C． 1 D．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置）11．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于．12．已知双曲线的方程为﹣x2=1，点A的坐标为（0，﹣），B是圆（x﹣）2+y2=1上的点，点M在双曲线的上支上，则|MA|+|MB|的最小值为．13．在一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，则正方体的棱长的最大值为•14．已知平面内一点P∈{（x，y）|（x﹣2cosα）2+（y﹣2sinα）2=16，α∈R}，则满足条件的点P在平面内所组成的图形的面积是．15．已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l 的距离，记作d（P，l）①若点P（1，1），线段l：x﹣y﹣3=0（3≤x≤5），则d（P，l）=；②设l是长为2的定线段，则集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的图形面积为4；③若A（1，3），B（1，0），C（﹣1，3），D（﹣1，0），线段l1：AB，l2：CD，则到线段l1，l2距离相等的点的集合D={P|d（P，l1）=d（P，l2）}={（x，y）|x=0}；④若A（﹣1，0），B（1，0），C（0，﹣1），D（0，1），线段l1：AB，l2：CD，则到线段l1，l2距离相等的点的集合D={P|d（P，l1）=d（P，l2）}={（x，y）|x2﹣y2=0}．其中正确的有．三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内）16．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求△ABC的面积．17．如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE∥平面BFD；（2）求三棱锥C﹣BGF的体积．18．已知圆O：x2+y2=4和点M（1，a）．（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求正数a的值，并求出切线方程；（2）若a=，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直．①求四边形ABCD面积的最大值；②求|AC|+|BD|的最大值．19．椭圆T的中心为坐标原点O，右焦点为F（2，0），且椭圆T过点E（2，）．△ABC的三个顶点都在椭圆T上，设三条边的中点分别为M，N，P．（1）求椭圆T的离心率；（2）设△ABC的三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且ki≠0，i=1，2，3．若直线OM，ON，OP的斜率之和为0，求证：++为定值．20．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，E为CD上一点，且DE=1，EC=2，现沿BE折叠使平面BCE⊥平面ABED，F为BE的中点．图2所示．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）能否在边AB上找到一点P使平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为？若存在，试确定点P的位置，若不存在请说明理由．21．椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（1）求椭圆E的方程；（2）已知直线l过点M（﹣，0）且与开口向上，顶点在原点的抛物线C切于第二象限的一点N，直线l与椭圆E交于A、B两点，与y轴交于D点，若=λ，=μ，且λ+μ=﹣4，求抛物线C的标准方程．2014-2015学年安徽省合肥168中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．两直线ax﹣y+2a=0和（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a=（）A． 1 B．﹣ C． 1或0 D．﹣或考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：利用直线与直线垂直，两直线中x、y的系数积之和为0的性质求解．解答：解：∵两直线ax﹣y+2a=0和（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，∴a（2a﹣1）﹣a=0，解得a=1或a=0．故选：C．点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要注意直线与直线垂直的性质的合理运用．2．已知圆C：x2+2x+y2=0的一条斜率为1的切线为l1，且与l1垂直的直线l2平分该圆，则直线l2的方程为（）A． x﹣y+1=0 B． x﹣y﹣1=0 C． x+y﹣1=0 D． x+y+1=0考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由与l1垂直的直线l2平分该圆，得到l2的斜率k=﹣1，且过圆心C（﹣1，0），由此能求出直线l2的方程．解答：解：∵圆C：x2+2x+y=0的一条斜率为1的切线为l1，且与l1垂直的直线l2平分该圆，∴l2的斜率k=﹣1，且过圆心C（﹣1，0），∴l2的方程为：y=﹣（x+1），整理，得x+y+1=0．故选：D．点评：本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．3．已知某空间几何体的正视图和侧视图相同，且如图所示，俯视图是两个同心圆，则它的表面积为（）A．π B．（12+4）π C．π D．（13+4）π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个圆柱和圆台的组合体，结合圆柱和圆台的相关面积公式，可得答案．解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个圆柱和圆台的组合体，圆台的上底面半径，即圆柱的底面半径为：，圆台的下底面半径为，圆柱的高为1，圆台的高为2，故圆台的母线长为：=，该几何体的表面积相当于圆台的表面积与圆柱侧面积的和，故S=+=π，故选：A．点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．4．下面说法正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，使得x2+x+1≥0”B．实数x＞y是x2＞y2成立的充要条件C．设p，q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则“￢p∧￢q”也为假命题D．命题“若cosα≠1，则α≠0”的逆否命题为真命题考点：命题的真假判断与应用．专题：阅读型；简易逻辑．分析：由命题的否定的形式，即可判断A；运用充分必要条件的定义，即可判断B；运用复合命题的真假和真值表，即可判断C；运用原命题和逆否命题互为等价命题，即可判断D．解答：解：对于A．命题“∃x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，使得x2+x+1＜0”，则A错误；对于B．实数x＞y不能推出x2＞y2，反之，也不能推出，则为既不充分也不必要条件，则B 错误；对于C．设p，q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则p，q均为假命题，￢p，￢q均为真命题，￢p∧￢q”为真命题，则C错误；对于D．命题“若cosα≠1，则α≠0”的逆否命题为”“若α=0，则cosα=1”为真命题，则D正确．故选D．点评：本题考查命题的否定、充分必要条件的判断、复合命题的真假以及四种命题的关系，考查判断推理能力，属于基础题和易错题．5．若α，β是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α．那么可以是α∥β的充分条件有（ C ）A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个考点：平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：根据垂直于同一直线的两平面平行，判断①是否正确；根据垂直于同一平面的两平面位置关系部确定来判断②是否正确；借助图象，分别过两平行线中一条的二平面位置关系部确定，判断③的正确性；利用线线平行，线面平行，面面平行的转化关系，判断④是否正确．解答：解：当α、β不平行时，不存在直线a与α、β都垂直，∴a⊥α，a⊥β⇒α∥β，故①正确；对②，γ⊥α，γ⊥β，α、β可以相交也可以平行，∴②不正确；对③，∵a∥b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α时，α、β位置关系不确定，∴③不正确；对④，∵异面直线a，b．∴a过上一点作c∥b；过b上一点作d∥a，则 a与c相交；b与d相交，根据线线平行⇒线面平行⇒面面平行，∴④正确．故选C点评：本题考查面面平行的判定．通常利用线线、线面、面面平行关系的转化判定．6．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为2，若异面直线AB1与BC1所成的角为60°，则该三棱柱的侧棱长为（）A． 2或 B． C． D． 2考点：棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意画出图形，分别取AB，B1C1，A1B1，BB1的中点为E，F，G，H，设出正三棱柱的高，然后通过解三角形求得答案．解答：解：如图，分别取AB，B1C1，A1B1，BB1的中点为E，F，G，H，连接EF，EH，FH，EG，FG，设正三棱柱的高为2h，又底面边长为2，则，．在三角形EHF中，由余弦定理可得：EF2=EH2+FH2﹣2EH•FH•cos120°，则，解得：h=．∴正三棱柱的高为．故选：D．点评：本题考查了棱柱的结构特征，考查了异面直线所成角的概念，考查了余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．7．已知命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，命题q：q：不等式＜1+ax对一切正实数x均成立．如果，命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围为（）A． a＞1 B． 1≤a≤2 C． a＞2 D．无解考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：由于命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，可得命题p与q必然一真一假，解答：解：命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，当a=0时，函数f（x）的定义域不为R；当a≠0时，由题意可得：，解得a＞2．命题q：q：不等式＜1+ax对一切正实数x均成立，当a＞0时，可得x（a2x+2a﹣2）＞0，当a≥1时，上述不等式对一切正实数x均成立；当0＜a＜1时上述不等式不满足对一切正实数x均成立，舍去；同理当a≤0时，上述不等式不满足对一切正实数x均成立．可得：实数a的范围是a≥1．∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，∴命题p与q必然一真一假，∴或，解得1≤a≤2．则实数a的取值范围为1≤a≤2．故选：B．点评：本题考查了简易逻辑的判定、对数函数的定义域、一元二次不等式的解法、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．已知抛物线y=x2﹣1上的一定点B（﹣1，0）和两个动点PQ、，当BP⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞） B． [﹣3，1]C．（﹣∞，﹣3]∪[1，）∪（，+∞） D． [1，+∞）考点：抛物线的简单性质．专题：不等式的解法及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先设P，Q的坐标，利用BP⊥PQ，可得斜率之积为﹣1，从而可得方程，再利用方程根的判别式大于等于0，注意检验t=﹣1的情况，即可求得Q点的横坐标的取值范围．解答：解：设P（t，t2﹣1），Q（s，s2﹣1）∵BP⊥PQ，∴•=﹣1，即t2+（s﹣1）t﹣s+1=0，∵t∈R，P，Q是抛物线上两个不同的点，∴必须有△=（s﹣1）2+4（s﹣1）≥0．即s2+2s﹣3≥0，解得s≤﹣3或s≥1．由t=﹣1，代入t2+（s﹣1）t﹣s+1=0，可得t=，此时P，B重合，则有s≠．∴Q点的横坐标的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[1，）∪（，+∞）．故选C．点评：本题重点考查取值范围问题，解题的关键是利用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1构建方程，再利用方程根的判别式大于等于0进行求解．9．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分等腰三角形△F1F2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围．解答：解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以离心率e＞．当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P 这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）点评：本题给出椭圆的焦点三角形中，共有6个不同点P使得△F1F2P为等腰三角形，求椭圆离心率e的取值范围．着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．10．过椭圆上一点H作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，过A，B的直线l 与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，则△POQ面积的最小值为（）A． B． C． 1 D．考点：圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由点H在椭圆上，知H（3cosθ，2sinθ），由过椭圆上一点H（3cosθ，2sinθ）作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，知直线AB的方程为：（3cos θ）x+（2sinθ）y=2，由此能求出△POQ面积最小值．解答：解：∵点H在椭圆上，∴H（3cosθ，2sinθ），∵过椭圆上一点H（3cosθ，2sinθ）作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，∴直线AB的方程为：（3cosθ）x+（2sinθ）y=2，∵过A，B的直线l与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，∴P（，0），Q（0，），∴△POQ面积S==×，∵﹣1≤sin2θ≤1，∴当sin2θ=1时，△POQ面积取最小值．点评：本题考查三角形面积的最小值的求法，具体涉及到椭圆、圆、直线方程、三角函数、参数方程等基本知识点，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置）11．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于20π．考点：球内接多面体．专题：计算题；压轴题．分析：通过已知体积求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．解答：解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径，故此球的表面积为4πR2=20π故答案为：20π点评：本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．12．已知双曲线的方程为﹣x2=1，点A的坐标为（0，﹣），B是圆（x﹣）2+y2=1上的点，点M在双曲线的上支上，则|MA|+|MB|的最小值为+3 ．考点：双曲线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设点D的坐标为（0，），则点A，D是双曲线的焦点，利用双曲线的定义，可得|MA|﹣|MD|=2a=4．于是|MA|+|MB|=4+|MB|+|MD|≥4+|BD|，再利用|BD|≥|CD|﹣r即可．解答：解：设点D的坐标为（0，），则点A，D是双曲线的焦点，由双曲线的定义，得|MA|﹣|MD|=2a=4．∴|MA|+|MB|=4+|MB|+|MD|≥4+|BD|，又B是圆（x﹣）2+y2=1上的点，则圆的圆心为C（，0），半径为1，故|BD|≥|CD|﹣1=﹣1=﹣1，从而|MA|+|MB|≥4+|BD|≥+3，当点M，B在线段CD上时取等号，即|MA|+|MB|的最小值为+3．故答案为：+3．点评：熟练掌握双曲线的定义和性质及其圆外一点到圆上一点距离的最小值是解题的关键．13．在一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，则正方体的棱长的最大值为•考点：棱柱的结构特征．专题：计算题；转化思想．分析：在一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，说明正方体在正四面体的内切球内，求出内切球的直径，就是正方体的对角线的长，然后求出正方体的棱长．解答：解：设球的半径为r，由正四面体的体积得：，所以r=，设正方体的最大棱长为a，所以，，a=故答案为：点评：本题是中档题，考查正四面体的内接球的知识，球的内接正方体的棱长的求法，考查空间想象能力，转化思想，计算能力．14．已知平面内一点P∈{（x，y）|（x﹣2cosα）2+（y﹣2sinα）2=16，α∈R}，则满足条件的点P在平面内所组成的图形的面积是32π．考点：圆方程的综合应用．专题：计算题．分析：先根据圆的标准方程求出圆心和半径，然后研究圆心的轨迹，根据点P在平面内所组成的图形是一个环面进行求解即可．解答：解：（x﹣2cosα）2+（y﹣2sinα）2=16，则圆心为（2cosα，2sinα）半径为4∴圆心为以（0，0）为圆心，半径为2的圆上动点∴满足条件的点P在平面内所组成的图形的面积是以6为半径的圆的面积减去以2为半径的圆的面积即36π﹣4π=32π故答案为：32π点评：本题主要考查了圆的参数方程，题目比较新颖，正确理解题意是解题的关键，属于中档题．15．已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l 的距离，记作d（P，l）①若点P（1，1），线段l：x﹣y﹣3=0（3≤x≤5），则d（P， l）=；②设l是长为2的定线段，则集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的图形面积为4；③若A（1，3），B（1，0），C（﹣1，3），D（﹣1，0），线段l1：AB，l2：CD，则到线段l1，l2距离相等的点的集合D={P|d（P，l1）=d（P，l2）}={（x，y）|x=0}；④若A（﹣1，0），B（1，0），C（0，﹣1），D（0，1），线段l1：AB，l2：CD，则到线段l1，l2距离相等的点的集合D={P|d（P，l1）=d（P，l2）}={（x，y）|x2﹣y2=0}．其中正确的有①③④．考点：集合的表示法．专题：综合题；集合．分析：①根据所给的是一条线段，点到线段的距离不一定使用点到直线的距离公式得到，二是需要观察过点做垂线，垂足是否落到线段上，结果不是落到线段上，所以用两点之间的距离公式．②由题意知集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，做出面积．③④根据所给的四个点的坐标，写出两条直线的方程，从直线方程中看出这两条直线之间的平行关系，得到要求的结果．解答：解：①点P（1，1）到线段l：x﹣y﹣3=0（3≤x≤5）的距离d（P，l）是点P到（3，0）的距离，d（P，l）=，故①正确；②由题意知集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，∴S=22+π=4+π，故②错误；③A（1，3），B（1，0），C（﹣1，3），D（﹣1，0）．利用两点式写出两条直线的方程，AB：x=1，CD：x=﹣1，到两条线段l1，l2距离相等的点的集合Ω={P|d（P，l1）=d（P，l2）}，根据两条直线的方程可知两条直线之间的关系是平行，∴到两条直线距离相等的点的集合是y轴，故③正确．④A（﹣1，0），B（1，0），C（0，﹣1），D（0，1），线段l1：y=0，l2：x=0，则到线段l1，l2距离相等的点的集合D={P|d（P，l1）=d（P，l2）}={（x，y）|x2﹣y2=0}，故④正确．故答案为：①③④．点评：本题考查点到直线的距离公式，考查两点之间的距离公式，考查利用两点式写直线的方程，考查点到线段的距离，本题是一个综合题目．三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内）16．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求△ABC的面积．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由方程组，得顶点A（﹣1，0），从而AC所在的直线方程为y=﹣（x+1），BC所在的直线方程为y﹣2=﹣2（x﹣1），进而求出顶点C的坐标为（5，﹣6）和点A到直线BC的距离，由此能求出△ABC的面积．解答：解：由方程组，解得顶点A（﹣1，0）．…（2分）又AB的斜率为k AB=1，且x轴是∠A的平分线，故直线AC的斜率为﹣1，AC所在的直线方程为y=﹣（x+1）．…（6分）已知BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，故BC的斜率为﹣2，BC所在的直线方程为y﹣2=﹣2（x﹣1）．…（8分）解方程组，得顶点C的坐标为（5，﹣6）．…（10分）∴|BC|=4，点A到直线BC的距离d==，∴．…（12分）点评：本题考查三角形面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线方程的性质的合理运用．17．如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE∥平面BFD；（2）求三棱锥C﹣BGF的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由题意可得G为AC中点，再由已知可得F是EC中点，连接FG，由三角形中位线性质可得FG∥AE，再由线面平行的判定得答案；（2）把三棱锥C﹣BGF的体积转化为G﹣BFC的体积，然后通过解三角形求得三棱锥G﹣BFC 的底面积和高，则三棱锥的体积可求．解答：（1）证明：如图，由题意可得G是AC的中点，连接FG，∵BF⊥平面ACE，则CE⊥BF，而BC=BE，∴F是EC中点，在△AEC中，FG∥AE，∴AE∥平面BFD；（2）解：∵AE∥平面BFD，∴AE∥FG，由题可得AE⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCE．∵G是AC的中点，F是CE中点，∴AE∥FG且FG=，∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE，∴Rt△BCE中，BF=，∴，∴=．点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．18．已知圆O：x2+y2=4和点M（1，a）．（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求正数a的值，并求出切线方程；（2）若a=，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直．①求四边形ABCD面积的最大值；②求|AC|+|BD|的最大值．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（1）代入M，解方程可得a，由切线的性质，可得切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；（2）①运用弦长公式，由四边形的面积公式可得S ABCD=|AC|•|BD|，结合重要不等式，即可得到最大值；②运用弦长公式可得|AC|+|BD|，平方后结合基本不等式，即可得到最大值．解答：解：（1）由条件知点M在圆O上，所以1+a2=4，则a=，由a＞0，则a=，点M为（1，），k OM=，切线的斜率为﹣，此时切线方程为y﹣=﹣（x﹣1），即x+y﹣4=0；（2）设O到直线AC，BD的距离分别为d1，d2，则d12+d22=|OM|2=3，于是|AC|=2，|BD|=2，①S ABCD=|AC|•|BD|=2•≤4﹣d12+4﹣d22=8﹣3=5，当且仅当d1=d2=时取等号，即四边形ABCD面积的最大值为5；②|AC|+|BD|=2+2，则（|AC|+|BD|）2=4（4﹣d12+4﹣d22+2•）=4（5+2）=4（5+2）因为2d1d2≤d12+d22=3，所以d12d22≤，当且仅当d1=d2=时取等号，所以≤，所以（|AC|+|BD|）2≤4（5+2×）=40，所以|AC|+|BD|≤2，即|AC|+|BD|的最大值为2．点评：本题考查直线和圆相交的性质，主要考查弦长公式的运用，同时考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．19．椭圆T的中心为坐标原点O，右焦点为F（2，0），且椭圆T过点E（2，）．△ABC 的三个顶点都在椭圆T上，设三条边的中点分别为M，N，P．（1）求椭圆T的离心率；（2）设△ABC的三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且ki≠0，i=1，2，3．若直线OM，ON，OP的斜率之和为0，求证：++为定值．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设出椭圆T的方程，由椭圆定义求得a，则椭圆的离心率可求；（2）由（1）求出椭圆T的方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），M（s1，t1），N（s2，t2），P（s3，t3），由A，B在椭圆上，把A，B坐标代入椭圆方程，两式相减得到，同理，，作和后证得答案．解答：（1）解：设椭圆T的方程为，由题意知：左焦点为F′（﹣2，0），∴2a=|EF|+|EF′|=，解得：．故椭圆T的离心率为；（2）证明：由（1）知椭圆T的方程为．设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），M（s1，t1），N（s2，t2），P（s3，t3），由：，，两式相减，得到（x1﹣x2）（x1+x2）+2（y1﹣y2）（y1+y2）=0．∴，即，同理，．∴，又∵直线OM、ON、OP的斜率之和为0，∴++=0为定值．点评：本题主要考查圆锥曲线的定义的应用，试题在平面几何中的三角形中位线定理、初中代数中的等比定理和圆锥曲线的定义之间进行了充分的交汇，在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口，是中档题．20．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，E为CD上一点，且DE=1，EC=2，现沿BE折叠使平面BCE⊥平面ABED，F为BE的中点．图2所示．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）能否在边AB上找到一点P使平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为？若存在，试确定点P的位置，若不存在请说明理由．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）根据线面垂直的判定定理即可证明AE⊥平面BCE；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程关系即可得到结论．解答：（1）证明：在直角梯形ABCD中易求得AB=2，AE=，BE=…（2分）∴AE2+BE2=AB2，故AE⊥BE，且折叠后AE与BE位置关系不变…（4分）又∵面BCE⊥面ABED，且面BCE∩面ABED=BE，∴AE⊥面BCE…（6分）（2）解：∵在△BCE中，BC=CE=2，F为BE的中点∴CF⊥BE又∵面BCE⊥面ABED，且面BCE∩面ABED=BE，∴CF⊥面ABED，故可以F为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系则A（，，0），C（0，0，），E（0，，0），易求得面ACE的法向量为=（0，，1）…（8分）假设在AB上存在一点P使平面ACE与平面PCF，所成角的余弦值为，且，（λ∈R），∵B（0，，0），∴=（﹣，，0），故=（﹣λ，λ，0），又=（，，﹣），∴=（（1﹣λ），（2λ﹣1），﹣），又=（0，0，），设面PCF的法向量为=（x，y，z），∴，即，令x=2λ﹣1得=（2λ﹣1，（λ﹣1），0）…（10分）∴|cos＜＞|=||==，解得…（12分）因此存在点P且P为线段AB上靠近点B的三等分点时使得平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为．…（13分）点评：本题主要考查空间线面垂直的判定以及空间二面角的计算和应用，建立空间坐标系利用向量法是解决本题的关键．21．椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（1）求椭圆E的方程；（2）已知直线l过点M（﹣，0）且与开口向上，顶点在原点的抛物线C切于第二象限的一点N，直线l与椭圆E交于A、B两点，与y轴交于D点，若=λ，=μ，且λ+μ=﹣4，求抛物线C的标准方程．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用离心率计算公式、以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切，求出a，b，即可求椭圆E的方程；（2）设抛物线C的方程为y=ax2（a＞0），直线与抛物线C切点为N（x0，ax02）．利用导数的几何意义可得切线的斜率，进而得到切线方程，即可得到切点N，进一步简化切线方程，把直线l的方程与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，再利用已知向量关系式=λ，=μ，且λ+μ=﹣4，即可得到a及抛物线C的标准方程．解答：解：（1）由题意知e==，，即a=b…（1分）又以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切，∴b==1，…（2分）∴a=，故椭圆的方程为…（4分）（2）设抛物线C的方程为y=ax2（a＞0），直线l与抛物线的切点为N（x0，ax02）∵y′=2ax，∴切线l的斜率为2ax0，∴切线方程为y﹣ax02=2ax0（x﹣x0），∵直线l过点M（﹣，0），。