湖北省武汉市部分重点中学(武汉开发区一中等联合体)2019-2020学年高一下学期期中考试答案
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武汉市部分重点中学 2019～2020 学年度下学期高一期中 数学试卷参考答案
一：选择题 ACDBB DDACB DB 二：填空题
13. ④⑤
14 . 2 （或120 ）
3
三，解答题
15. 1 2020
17．（1）
或
；（2）
【解析】
解：（1）设
，∵ ，
，∴
16. 3 3
，∴
，
∵
，∴
，∴
，即
，
∴
或
∴
或
列举出数列的前几项，找到数列的周期，由此求得 a2019 的值.
【详解】
依题意 a2
1
1 a1
的难点． 22．【详解】
（1）解：由已知 Sn
an
an2 2
，
所以 a1 1， a2 2 ， a3 3 ，
猜想 an n
证明（2）当 n
2 时， Sn
an
an2 2
， Sn1
an1
a2 n1
2
所以 an
Sn
Sn1
an
an2 2
an1
a2 n1
2
得 an an1 an an1 1 0 ，
值以及取最大值时 n 的值都可求.
【详解】
（1）设an 的公差为 d ，由 a3 10 可得 a1 2d 10 ，由 S11 11 可得11a1 55d 11 ，
所以
aa11
2d 5d
10 1
，所以
ad1
16 3
，
所以 an 16 (n 1)(3) 3n 19 ；
（2）由
aann13n3n191600
得 sinAcosB+sinAcosC=cosAsinB+cosAsinC，
即 sin（A﹣B）=sin（C﹣A），
则 A﹣B = C﹣A，即 2A=C+B，
即 A= ．. 3
（2）当 a=
3 时，∵B+C= 2 3
，∴C= 2 3
﹣B．由题意得
B＜ 2
0＜
2 3
B＜ 2
，
∴ ＜B＜ ．由 a b c =2，得 b=2sinB，c=2sinC，
（2）∵
∴
，∴ ，即
， ，
又∵
，
，
∴
，∴
，
∵
，
，∴
，
∵
，∴
.
18．（1） B 2 3
（2）
SABC
1 2
ac sin
B
3 4
3.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先由正弦定理将三角形的边角关系转化为角角关系，再利用两角和的正弦公
式和诱导公式进行求解；（Ⅱ）先利用余弦定理求出 ac 3 ，再利用三角形的面积公式进行求
3
19．（1） an 3n 19 ；（2）当 n 6 时， Sn 有最大值为 S6 51
【解析】 【分析】
（1）根据已知条件列出关于 a1, d 的方程组，求解出 a1, d 即可求出通项公式；
（2）利用 d 0 对应an 为递减等差数列，根据 aann1 00 确定出 n 的取值，从而 Sn 的最大
6
2
sinA sinB sinC
∴b2+c2=4 （sin2B+sin2C）=4+2sin（2B﹣ ）． 6
∵ ＜B＜ ，∴ 1 ＜sin（2B﹣ ）≤1，∴1≤2sin（2B﹣ ）≤2．
6
22
6
6
∴5＜b2+c2≤6．
故 b2 c2 的取值范围是 5, 6 .
【点睛】
本题考查三角函数的恒等变换，正弦定理的应用，其中判断 sin（2B﹣ ）的取值范围是本题 6
2x
3
x
0,
2
2x
3
3
,
4 3
cos
2x
3
1,
1 2
当2x 即x 时，f x 2
3
3
min
当2x 即x=0时，f x 1
33
max
21．(1) A ； (2) (5, 6] . 3
【解析】
【分析】
（1）利用两角和差的正弦公式进行化简即可，求角 A 的大小；
因为 an 0 n N* ，所以 an an1 1
数列an 为等差数列，又由（1） a1 1， a2 2
所以 an n n N*
n2 9n,1 n 5 （3） bn 10 2n ，Tn n2 9n 40, n 6
1-16 参考答案
1．A 【解析】 【分析】
，解得
16 3
n
19 3
，
所以当 n 6 时， Sn 有最大值，此时最大值为 S6 51 .
【点睛】
本题考查等差数列通项公式以及前 n 项和的综合应用，难度较易.其中第二问还可以先将 Sn 的
表达式求解出来，然后根据二次函数的对称轴以及开口方向亦可确定出 Sn 的最大值以及取最
大值时 n 的值.
2 又 0 B π，所以 B 2π .
3
（Ⅱ）由余弦定理有 b2 a2 c2 2accosB a c2 2ac 2accos 2π ，解得
3
ac
3 ，所以 S
ABC
1 acsinB 2
33 4
点睛：在利用余弦定理进行求解时，往往利用整体思想，可减少计算量，若本题中的
b2 a2 c2 2accosB a c2 2ac 2accos 2π .
解.
试题解析：（Ⅰ）由 cosB b cosB sinB cosC 2a c cosC 2sinA sinC
2 s iAn c oBs cBo s Csi n B s i nC c o s
2 s iAn c oBs cBo s Cs i n B s i nC c o s
2 s iAn c oBs s iBn C 2sinAcosB sinA cosB 1
20．（1） a b cos2x, a b 2cosx （2） f x 2 ； f x 1
min
max
【解析】
试题分析：
(Ⅰ)由平面向量数量积的坐标运算法则可得： a b cos2x ， a b 2cosx .
(Ⅱ)首先化简函数的解析式，然后结合三角函数的性质可得
f
x min
2
；
f
x max
1.
试题解析：
（1）
a
b
cos
3x 2
cos
x 2
sin
3x 2
sin
x 2
cos2x
a b 2 2cos2x 4cos2x
x
0,
2
coຫໍສະໝຸດ Baidux 0
a b 2cosx
（2）由（1）知： f x cos2x
3 2cosx sinx
cos2x
3sin2x
2cos
（2）先求得
2
B+C=
，根据 B、C 都是锐角求出 B 的范围，由正弦定理得到 b=2sinB，c=2sinC，
3
根据 b2+c2=4+2sin（2B﹣ ） 及 B 的范围，得 1 ＜sin（2B﹣ ）≤1，从而得到 b2+c2 的范
6
2
6
围．
【详解】
（1）由 sinA = sinB sinC cosA cosB cosC
一：选择题 ACDBB DDACB DB 二：填空题
13. ④⑤
14 . 2 （或120 ）
3
三，解答题
15. 1 2020
17．（1）
或
；（2）
【解析】
解：（1）设
，∵ ，
，∴
16. 3 3
，∴
，
∵
，∴
，∴
，即
，
∴
或
∴
或
列举出数列的前几项，找到数列的周期，由此求得 a2019 的值.
【详解】
依题意 a2
1
1 a1
的难点． 22．【详解】
（1）解：由已知 Sn
an
an2 2
，
所以 a1 1， a2 2 ， a3 3 ，
猜想 an n
证明（2）当 n
2 时， Sn
an
an2 2
， Sn1
an1
a2 n1
2
所以 an
Sn
Sn1
an
an2 2
an1
a2 n1
2
得 an an1 an an1 1 0 ，
值以及取最大值时 n 的值都可求.
【详解】
（1）设an 的公差为 d ，由 a3 10 可得 a1 2d 10 ，由 S11 11 可得11a1 55d 11 ，
所以
aa11
2d 5d
10 1
，所以
ad1
16 3
，
所以 an 16 (n 1)(3) 3n 19 ；
（2）由
aann13n3n191600
得 sinAcosB+sinAcosC=cosAsinB+cosAsinC，
即 sin（A﹣B）=sin（C﹣A），
则 A﹣B = C﹣A，即 2A=C+B，
即 A= ．. 3
（2）当 a=
3 时，∵B+C= 2 3
，∴C= 2 3
﹣B．由题意得
B＜ 2
0＜
2 3
B＜ 2
，
∴ ＜B＜ ．由 a b c =2，得 b=2sinB，c=2sinC，
（2）∵
∴
，∴ ，即
， ，
又∵
，
，
∴
，∴
，
∵
，
，∴
，
∵
，∴
.
18．（1） B 2 3
（2）
SABC
1 2
ac sin
B
3 4
3.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先由正弦定理将三角形的边角关系转化为角角关系，再利用两角和的正弦公
式和诱导公式进行求解；（Ⅱ）先利用余弦定理求出 ac 3 ，再利用三角形的面积公式进行求
3
19．（1） an 3n 19 ；（2）当 n 6 时， Sn 有最大值为 S6 51
【解析】 【分析】
（1）根据已知条件列出关于 a1, d 的方程组，求解出 a1, d 即可求出通项公式；
（2）利用 d 0 对应an 为递减等差数列，根据 aann1 00 确定出 n 的取值，从而 Sn 的最大
6
2
sinA sinB sinC
∴b2+c2=4 （sin2B+sin2C）=4+2sin（2B﹣ ）． 6
∵ ＜B＜ ，∴ 1 ＜sin（2B﹣ ）≤1，∴1≤2sin（2B﹣ ）≤2．
6
22
6
6
∴5＜b2+c2≤6．
故 b2 c2 的取值范围是 5, 6 .
【点睛】
本题考查三角函数的恒等变换，正弦定理的应用，其中判断 sin（2B﹣ ）的取值范围是本题 6
2x
3
x
0,
2
2x
3
3
,
4 3
cos
2x
3
1,
1 2
当2x 即x 时，f x 2
3
3
min
当2x 即x=0时，f x 1
33
max
21．(1) A ； (2) (5, 6] . 3
【解析】
【分析】
（1）利用两角和差的正弦公式进行化简即可，求角 A 的大小；
因为 an 0 n N* ，所以 an an1 1
数列an 为等差数列，又由（1） a1 1， a2 2
所以 an n n N*
n2 9n,1 n 5 （3） bn 10 2n ，Tn n2 9n 40, n 6
1-16 参考答案
1．A 【解析】 【分析】
，解得
16 3
n
19 3
，
所以当 n 6 时， Sn 有最大值，此时最大值为 S6 51 .
【点睛】
本题考查等差数列通项公式以及前 n 项和的综合应用，难度较易.其中第二问还可以先将 Sn 的
表达式求解出来，然后根据二次函数的对称轴以及开口方向亦可确定出 Sn 的最大值以及取最
大值时 n 的值.
2 又 0 B π，所以 B 2π .
3
（Ⅱ）由余弦定理有 b2 a2 c2 2accosB a c2 2ac 2accos 2π ，解得
3
ac
3 ，所以 S
ABC
1 acsinB 2
33 4
点睛：在利用余弦定理进行求解时，往往利用整体思想，可减少计算量，若本题中的
b2 a2 c2 2accosB a c2 2ac 2accos 2π .
解.
试题解析：（Ⅰ）由 cosB b cosB sinB cosC 2a c cosC 2sinA sinC
2 s iAn c oBs cBo s Csi n B s i nC c o s
2 s iAn c oBs cBo s Cs i n B s i nC c o s
2 s iAn c oBs s iBn C 2sinAcosB sinA cosB 1
20．（1） a b cos2x, a b 2cosx （2） f x 2 ； f x 1
min
max
【解析】
试题分析：
(Ⅰ)由平面向量数量积的坐标运算法则可得： a b cos2x ， a b 2cosx .
(Ⅱ)首先化简函数的解析式，然后结合三角函数的性质可得
f
x min
2
；
f
x max
1.
试题解析：
（1）
a
b
cos
3x 2
cos
x 2
sin
3x 2
sin
x 2
cos2x
a b 2 2cos2x 4cos2x
x
0,
2
coຫໍສະໝຸດ Baidux 0
a b 2cosx
（2）由（1）知： f x cos2x
3 2cosx sinx
cos2x
3sin2x
2cos
（2）先求得
2
B+C=
，根据 B、C 都是锐角求出 B 的范围，由正弦定理得到 b=2sinB，c=2sinC，
3
根据 b2+c2=4+2sin（2B﹣ ） 及 B 的范围，得 1 ＜sin（2B﹣ ）≤1，从而得到 b2+c2 的范
6
2
6
围．
【详解】
（1）由 sinA = sinB sinC cosA cosB cosC