山东省自学考试线性代数(经管类)
最新全国自考04184线性代数(经管类)答案
2015年4月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（经管类）试题答案及评分参考（课程代码 04184）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分类，共10分）1.C2.A3.D4.C5.B二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）6. 97.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2315 8.⎪⎪⎭⎫⎝⎛--031111 9. 3 10. -2 11. 0 12. 2 13.()()T T 1,1,1311,1,131---或14. -1 15.a ＞1三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16.解 D=40200320115011315111141111121131------=- （5分） =74402032115=-- （9分） 17.解 由于21=A ，所以A 可逆，于是1*-=A A A （3分） 故11*12212)2(---+=+A A A A A （6分） =2923232112111=⎪⎭⎫ ⎝⎛==+----A A A A （9分） 18.解 由B AX X +=，化为()B X A E =-， （4分）而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-201101011A E 可逆，且()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--110123120311A E （7分） 故⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11021335021111012312031X （9分） 19.解 由于()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→00007510171101751075103121,,,4321αααα （5分） 所以向量组的秩为2，21,αα是一个极大线性无关组，并且有214213717,511αααααα-=+-= （9分）注：极大线性无关组不唯一。
20. 解 方程组的系数行列式 D=()()()b c a c a b c c b b a a ---=222111因为a,b,c 两两互不相同，所以0≠D ，故方程有唯一解。
自考《线性代数》(经管类)教学大纲
自考《线性代数》（经管类）教学大纲课程代码：04184 总学时：33学时一、课程的性质、目的、任务：《线性代数》是以变量的线性关系为主要研究对象的数学学科。
该课程介绍行列式，矩阵，线性方程组，二次型等有关的概念，理论及方法。
本课程不仅是许多后续相关学科的理论基础，同时也是科学技术和经济管理领域的重要数学工具。
内容的抽象性，逻辑的严密性是《线性代数》的基本特点，在教学过程中应特别注意对学生抽象思维，逻辑思维以及归纳推理能力的培养。
通过本课程的教学，要求学生对基本概念，基本理论和重要方法有正确的理解，并能比较熟练地掌握和应用。
通过本课程的学习，使学生获得线性代数的基本知识，培养学生的基本运算能力，增强学生处理问题的初步能力。
另外通过本课程的学习，为学生学习后续课程和进一步深造以及今后工作奠定必要的数学基础。
二、课程教学的基本要求：教学要求由低到高分三个层次，有关定义、定理、性质、特征概念的内容为“知道、了解、理解”；有关计算、解法、公式、法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握”。
三、教学内容第一章行列式学时：4学时（讲课3学时）本章讲授要点：行列式的概念和基本性质、行列式的计算、行列式按行（列）展开定理、克莱默法则。
重点：行列式的计算、克莱默法则难点：行列式的计算、克莱默法则。
教学内容：§1.1 二阶、三阶行列式§1.2 n阶行列式§1.3 行列式的性质§1.4 行列式按行（列）展开§1.5克莱默法则教学基本要求：1．理解行列式的定义，掌握行列式的性质，并会用行列式的性质证明和计算有关问题。
2．熟练掌握通过三角化计算行列式的方法。
3．理解子式，余子式，代数余子式的定义，熟练掌握按某行（或某列）展开行列式，会应用展开定理计算和处理行列式。
4．了解“克莱默”法则的条件和结论，掌握判别齐次方程组有非零解的条件。
第二章矩阵学时：6学时（讲课4学时）本章讲授要点：矩阵的概念，几种特殊矩阵，矩阵的运算，矩阵可逆的充分必要条件，求逆矩阵，矩阵的初等变换，矩阵的秩。
自考线性代数(经管类)第1-6章教案(已排版)
线性代数（经管类）第一章 行列式（一）行列式的定义行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数.1．二阶行列式由4个数)2,1,(=j i a ij 得到下列式子：11122122aa a a 称为一个二阶行列式，其运算规则为2112221122211211a a a a a a a a -=2．三阶行列式由9个数)3,2,1,(=j i a ij 得到下列式子：333231232221131211a a a a a a a a a称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.3．余子式及代数余子式设有三阶行列式 3332312322211312113a a a a a a a a a D =对任何一个元素ij a ，我们划去它所在的第i 行及第j 列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元素ij a 的余子式，记成ij M例如 3332232211a a a a M =，3332131221a a a a M =，2322131231a a a a M =再记 ij j i ij M A +-=)1( ，称ij A 为元素ij a 的代数余子式.例如 1111M A =，2121M A -=，3131M A = 那么 ，三阶行列式3D 定义为我们把它称为3D 按第一列的展开式，经常简写成∑∑=+=-==3111131113)1(i i i i i i i M a A a D4．n 阶行列式 一阶行列式 11111a a D ==n 阶行列式 1121211111212222111211n n nnn n n n n A a A a A a a a a a a a a a a D +++==其中(,1,2,,)ij A i j n =为元素ij a 的代数余子式. 5．特殊行列式上三角行列式111212221122000n n nn nn a a a a a a a a a =下三角行列式1122112212000nn n n nna a a a a a a a a =213131212111113332312322211312113A a A a A a a a a a a a a a a D ++==对角行列式112211220000nn nna a a a a a =（二）行列式的性质性质1 行列式和它的转置行列式相等，即T D D =性质2 用数k 乘行列式D 中某一行（列）的所行列式等于kD ，也就是说，行列式可以按行和列提出公因数.有元素所得到的性质3 互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号. 推论1 如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零.推论2 如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零.性质4 行列式可以按行（列）拆开.性质5 把行列式D 的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D.定理1（行列式展开定理）n 阶行列式n ij a D =等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即),,2,1(2211n i A a A a A a D in in i i i i =+++=或),,2,1(2211n j A a A a A a D nj nj j j j j =+++=前一式称为D 按第i 行的展开式，后一式称为D 按第j 列的展开式.本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值.定理2 n 阶行列式n ij a D =的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.即)(02211k i A a A a A a kn in k i k i ≠=+++或)(02211s j A a A a A a ns nj s j s j ≠=+++ （三）行列式的计算行列式的计算主要采用以下两种基本方法：（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时要注意的是，在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（－1），在按行或按列提取公因子k 时，必须在新的行列式前面乘上k.（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展开：例1 计算行列式 52072325121314124-=D解：观察到第二列第四行的元素为0，而且第二列第一行的元素是112=a ，利用这个元素可以把这一列其它两个非零元素化为0，然后按第二列展开.42141214156231212115062150********3(2)1725025********312251100813757375D -+⨯=---+-⨯+⨯=行行按第二列展开行行7 列列按第二行展开例2 计算行列式 ab b b b a b b b b a b bb b a D =4解：方法1 这个行列式的元素含有文字，在计算它的值时，切忌用文字作字母，因为文字可能取0值.要注意观察其特点，这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为b a 3+（我们把它称为行和相同行列式），我们可以先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因子b a 3+，再将后三行都减去第一行：3131(3)31311000(3)000000a b b b a b b b b b b bb a b b a b a b b a b ba b b b a b a b b a b b a b b b b aa b b b ab b ab b ba b a b a b a b++==+++-=+-- 3))(3(b a b a -+=方法2 观察到这个行列式每一行元素中有多个b ，我们采用“加边法”来计算，即是构造一个与4D 有相同值的五阶行列式11234541101000010000100001000b b b b b bb b a b b ba b b b a b b a b b D b a b b a b b b a bb b a b a b b b bab b b a a b⨯-+--===------行（），，，行 这样得到一个“箭形”行列式，如果b a =，则原行列式的值为零，故不妨假设b a ≠，即0≠-b a ，把后四列的ba -1倍加到第一列上，可以把第一列的（－1）化为零.4410000400001()(3)()00000bbbbb a b a b b a b a b a b a b a b a b a b3+--⎛⎫=-=+-=+- ⎪-⎝⎭-- 例3 三阶范德蒙德行列式))()((1112313122322213213x x x x x x x x x x x x V ---== （四）克拉默法则定理1（克拉默法则）设含有n 个方程的n 元线性方程组为11112211211222221122,,n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 如果其系数行列式0≠=n ij a D ，则方程组必有唯一解：n j DD x j j ,,2,1, ==其中j D 是把D 中第j 列换成常数项n b b b ,,,21 后得到的行列式. 把这个法则应用于齐次线性方程组，则有定理2 设有含n 个方程的n 元齐次线性方程组1111221211222211220,0,0n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩如果其系数行列式0≠D ，则该方程组只有零解：021====n x x x换句话说，若齐次线性方程组有非零解，则必有0=D ，在教材第二章中，将要证明，n 个方程的n 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零.第二章 矩阵（一）矩阵的定义 1．矩阵的概念由n m ⨯个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==排成的一个m 行n 列的数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A212222111211 称为一个m 行n 列矩阵或n m ⨯矩阵当n m =时，称()n n ij a A ⨯=为n 阶矩阵或n 阶方阵 元素全为零的矩阵称为零矩阵，用n m O ⨯或O 表示 2．3个常用的特殊方阵：①n 阶对角矩阵是指形如 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn a a a A 0000002211的矩阵②n 阶单位方阵是指形如 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010001 n E 的矩阵③n 阶三角矩阵是指形如 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n nn n n a a a a a a a a a a a a2122211122*********,000的矩阵 3．矩阵与行列式的差异矩阵仅是一个数表，而n 阶行列式的最后结果为一个数，因而矩阵与行列式是两个完全不同的概念，只有一阶方阵是一个数，而且行列式记号“*”与矩阵记号“()*”也不同，不能用错.（二）矩阵的运算 1．矩阵的同型与相等设有矩阵n m ij a A ⨯=)(，λ⨯=k ij b B )(，若k m =，λ=n ，则说A 与B 是同型矩阵.若A 与B 同型,且对应元素相等，即ij ij b a =，则称矩阵A 与B 相等，记为B A =因而只有当两个矩阵从型号到元素全一样的矩阵，才能说相等. 2．矩阵的加、减法设n m ij a A ⨯=)(，n m ij b B ⨯=)(是两个同型矩阵则规定n m ij ij b a B A ⨯+=+)( n m ij ij b a B A ⨯-=-)(注意：只有A 与B 为同型矩阵，它们才可以相加或相减. 由于矩阵的相加体现为元素的相加，因而与普通数的加法运算有相同的运算律. 3．数乘运算设n m ij a A ⨯=)(，k 为任一个数，则规定n m ij ka kA ⨯=)(故数k 与矩阵A 的乘积就是A 中所有元素都乘以k ，要注意数k 与行列式D 的乘积，只是用k 乘行列式中某一行或某一列，这两种数乘截然不同.矩阵的数乘运算具有普通数的乘法所具有的运算律. 4．乘法运算设k m ij a A ⨯=)(，n k ij b B ⨯=)(，则规定n m ij c AB ⨯=)(其中kj ik j i j i ij b a b a b a c +++= 2211 ),,2,1;,,2,1(n j m i == 由此定义可知，只有当左矩阵A 的列数与右矩阵B 的行数相等时，AB 才有意义，而且矩阵AB 的行数为A 的行数，AB 的列数为B 的列数，而矩阵AB 中的元素是由左矩阵A 中某一行元素与右矩阵B 中某一列元素对应相乘再相加而得到.故矩阵乘法与普通数的乘法有所不同，一般地： ①不满足交换律，即BA AB ≠②在0=AB 时，不能推出0=A 或0=B ，因而也不满足消去律. 特别，若矩阵A 与B 满足BA AB =，则称A 与B 可交换，此时A 与B 必为同阶方阵.矩阵乘法满足结合律，分配律及与数乘的结合律. 5．方阵的乘幂与多项式方阵 设A 为n 阶方阵，则规定m A AA A =m 个特别E A =0又若1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++，则规定1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++++称)(A f 为A 的方阵多项式，它也是一个n 阶方阵 6．矩阵的转置设A 为一个n m ⨯矩阵，把A 中行与列互换，得到一个m n ⨯矩阵，称为A 的转置矩阵，记为T A ，转置运算满足以下运算律：A A T =T )(，T T TB A B A +=+)(，T T kA kA =)(，T T T A B AB =)(由转置运算给出对称矩阵，反对称矩阵的定义设A 为一个n 阶方阵，若A 满足A A T =，则称A 为对称矩阵，若A 满足A A T -=，则称A 为反对称矩阵.7．方阵的行列式矩阵与行列式是两个完全不同的概念，但对于n 阶方阵，有方阵的行列式的概念.设)(ij a A =为一个n 阶方阵，则由A 中元素构成一个n 阶行列式nij a ，称为方阵A 的行列式，记为A 方阵的行列式具有下列性质：设A ，B 为n 阶方阵，k 为数，则 ①A A T =； ②A k kA n = ③B A AB ⋅= （三）方阵的逆矩阵 1．可逆矩阵的概念与性质设A 为一个n 阶方阵，若存在另一个n 阶方阵B ，使满足E BA AB ==，则把B 称为A 的逆矩阵，且说A 为一个可逆矩阵，意指A 是一个可以存在逆矩阵的矩阵，把A 的逆矩阵B 记为1-A ，从而A 与1-A 首先必可交换，且乘积为单位方阵E.逆矩阵具有以下性质：设A ，B 为同阶可逆矩阵，0≠k 为常数，则①1-A 是可逆矩阵，且A A =--11)(；②AB 是可逆矩阵，且111)(---=A B AB ；③kA 是可逆矩阵，且111)(--=A kkA④T A 是可逆矩阵，且T T A A )()(11--=⑤可逆矩阵可从矩阵等式的同侧消去，即设P 为可逆矩阵，则B A PB PA =⇔= B A BP AP =⇔= 2．伴随矩阵设)(ij a A =为一个n 阶方阵，ij A 为A 的行列式nij a A =中元素ij a 的代数余子式，则矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn nn n n A A A A A A A A A 212221212111称为A 的伴随矩阵，记为*A （务必注意*A 中元素排列的特点）伴随矩阵必满足E A A A AA ==**1*-=n A A （n 为A 的阶数）3．n 阶阵可逆的条件与逆矩阵的求法定理：n 阶方阵A 可逆⇔0≠A ，且*11A AA =-推论：设A ，B 均为n 阶方阵，且满足E AB =，则A ，B 都可逆，且B A =-1，A B =-1例1 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A （1）求A 的伴随矩阵*A（2）a ，b ，c ，d 满足什么条件时，A 可逆？此时求1-A解：（1）对二阶方阵A ，求*A 的口诀为“主交换，次变号”即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a c b d A *（2）由bc ad d c b a A -==，故当0≠-bc ad 时，即0≠A ，A 为可逆矩阵 此时⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-a c b d bc ad A A A 11*1 (四)分块矩阵1.分块矩阵的概念与运算 对于行数和列数较高的矩阵，为了表示方便和运算简洁，常用一些贯穿于矩阵的横线和纵线把矩阵分割成若干小块，每个小块叫做矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵叫做分块矩阵.在作分块矩阵的运算时，加、减法，数乘及转置是完全类似的，特别在乘法时，要注意到应使左矩阵A 的列分块方式与右矩阵B 的行分块方式一致，然后把子块当作元素来看待，相乘时A 的各子块分别左乘B 的对应的子块.2．准对角矩阵的逆矩阵形如 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r A A A 21的分块矩阵称为准对角矩阵，其中r A A A ,,,21 均为方阵空白处都是零块.若r A A A ,,,21 都是可逆矩阵，则这个准对角矩阵也可逆，并且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----11211121r r A A A A A A ( 五)矩阵的初等变换与初等方阵1.初等变换对一个矩阵A 施行以下三种类型的变换，称为矩阵的初等行（列）变换，统称为初等变换，（1）交换A 的某两行（列）；（2）用一个非零数k 乘A 的某一行（列）；（3）把A 中某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上.注意：矩阵的初等变换与行列式计算有本质区别，行列式计算是求值过程，用等号连接，而对矩阵施行初等变换是变换过程用“→”连接前后矩阵.初等变换是矩阵理论中一个常用的运算，而且最常见的是利用矩阵的初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵，以至于化为行简化的阶梯形矩阵.2.初等方阵由单位方阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵. 由于初等变换有三种类型，相应的有三种类型的初等方阵，依次记为ij P ，)(k D i 和)(k T ij ，容易证明，初等方阵都是可逆矩阵，且它们的逆矩阵还是同一类的初等方阵.3．初等变换与初等方阵的关系设A 为任一个矩阵，当在A 的左边乘一个初等方阵的乘积相当于对A 作同类型的初等行变换；在A 的右边乘一个初等方阵的乘积相当于对A 作同类型的初等列变换.4．矩阵的等价与等价标准形若矩阵A 经过若干次初等变换变为B ，则称A 与B 等价，记为B A ≅ 对任一个n m ⨯矩阵A ，必与分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O O O E r 等价，称这个分块矩阵为A 的等价标准形.即对任一个n m ⨯矩阵A ，必存在n 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O O O E PAQ r 5．用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵设A 为任一个n 阶可逆矩阵，构造n n 2⨯矩阵（A ，E ）然后 ),(),(1-→A E E A注意：这里的初等变换必须是初等行变换.例2 求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=421412311A 的逆矩阵解：()()()122113211311213322113100113100(,)214010012210124001011101101110100421012210010412001311001311A E ⨯-+⨯+⨯+⨯-+⨯-+⨯+--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭行行行行行行行行行行行行 则 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-1132141241A例3 求解矩阵方程⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----213411421412311X解：令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=213411,421412311B A ，则矩阵方程为B AX =，这里A 即为例2中矩阵，是可逆的，在矩阵方程两边左乘1-A ，得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----==-2052032134111132141241B A X也能用初等行变换法，不用求出1A -，而直接求B A 1-),(201005201003001214213441211311),(1B A E B A -=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=则 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-2052031B A X（六）矩阵的秩1.秩的定义设A 为n m ⨯矩阵，把A 中非零子式的最高阶数称为A 的秩，记为秩)(A 或)(A r零矩阵的秩为0，因而{}n m A ,m in )(0≤≤秩，对n 阶方阵A ，若秩n A =)(，称A 为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵.1.秩的求法由于阶梯形矩阵的秩就是矩阵中非零行的行数，又矩阵初等变换不改变矩阵的秩.对任一个矩阵A ，只要用初等行变换把A 化成阶梯形矩阵T ，则秩(A)=秩(T)=T 中非零行的行数.3．与满秩矩阵等价的条件n 阶方阵A 满秩⇔A 可逆，即存在B ，使E BA AB ==⇔A 非奇异，即0≠A⇔A 的等价标准形为E⇔A 可以表示为有限个初等方阵的乘积⇔齐次线性方程组0=AX 只有零解⇔对任意非零列向量b ，非齐次线性方程组b AX =有唯一解⇔A 的行（列）向量组线性无关⇔A 的行（列）向量组为n R 的一个基⇔任意n 维行（列）向量均可以表示为A 的行（列）向量组的线性组合，且表示法唯一.⇔A 的特征值均不为零⇔A A T 为正定矩阵.（七）线性方程组的消元法.对任一个线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a22112222212111212111 可以表示成矩阵形式b AX =，其中n m ij a A ⨯=)(为系数矩阵，T m b b b b ),,,(21 =为常数列矩阵，T n x x x X ),,,(21 =为未知元列矩阵.从而线性方程组b AX =与增广矩阵),(b A A =一一对应.对于给定的线性方程组，可利用矩阵的初等行变换，把它的增广矩阵化成简化阶梯形矩阵，从而得到易于求解的同解线性方程组，然后求出方程组的解.第三章 向量空间（一）n 维向量的定义与向量组的线性组合1.n 维向量的定义与向量的线性运算由n 个数组成的一个有序数组称为一个n 维向量，若用一行表示，称为n 维行向量，即n ⨯1矩阵，若用一列表示，称为n 维列向量，即1⨯n 矩阵与矩阵线性运算类似，有向量的线性运算及运算律.2．向量的线性组合设m ααα,,,21 是一组n 维向量，m k k k ,,,21 是一组常数，则称m m k k k ααα+++ 2211为m ααα,,,21 的一个线性组合，常数m k k k ,,,21 称为组合系数.若一个向量β可以表示成m m k k k αααβ+++= 2211则称β是m ααα,,,21 的线性组合，或称β可用m ααα,,,21 线性表出.3．矩阵的行、列向量组设A 为一个n m ⨯矩阵，若把A 按列分块，可得一个m 维列向量组称之为A 的列向量组.若把A 按行分块，可得一个n 维行向量组称之为A 的行向量组.4．线性表示的判断及表出系数的求法.向量β能用m ααα,,,21 线性表出的充要条件是线性方程组βααα=+++m m x x x 2211有解，且每一个解就是一个组合系数. 例1 问T )5,1,1(-=β能否表示成T )3,2,1(1=α，T )4,1,0(2=α，T )6,3,2(3=α的线性组合？解：设线性方程组为 βααα=++332211x x x对方程组的增广矩阵作初等行变换：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==110020101001564313121201),,,(),(321βαααβA则方程组有唯一解1,2,1321-===x x x所以β可以唯一地表示成321,,ααα的线性组合，且3212αααβ-+=（一）向量组的线性相关与线性无关1.线性相关性概念设m ααα,,,21 是m 个n 维向量，如果存在m 个不全为零的数m k k k ,,,21 ，使得02211=+++m m k k k ααα ，则称向量组m ααα,,,21 线性相关，称m k k k ,,,21 为相关系数.否则，称向量m ααα,,,21 线性无关.由定义可知，m ααα,,,21 线性无关就是指向量等式02211=+++m m k k k ααα 当且仅当021====m k k k 时成立.特别 单个向量α线性相关⇔0=α；单个向量α线性无关⇔0≠α2．求相关系数的方法设m ααα,,,21 为m 个n 维列向量，则m ααα,,,21 线性相关⇔m 元齐次线性方程组02211=+++m m x x x ααα 有非零解，且每一个非零解就是一个相关系数⇔矩阵),,,(21m A ααα =的秩小于m例2 设向量组123(2,1,7),(1,4,11),(3,6,3)T T T ααα=-==-，试讨论其线性相关性.解：考虑方程组0332211=++αααx x x其系数矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==0001102013117641312),,(321αααA于是，秩32)(<=A ，所以向量组线性相关，与方程组同解的方程组为⎩⎨⎧=-=+0023231x x x x 令13=x ，得一个非零解为1,1,2321==-=x x x则02321=++-ααα3．线性相关性的若干基本定理定理1 n 维向量组m ααα,,,21 线性相关⇔至少有一个向量是其余向量的线性组合.即m ααα,,,21 线性无关⇔任一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.定理2 如果向量组m ααα,,,21 线性无关，又m αααβ,,,,21 线性相关，则β可以用m ααα,,,21 线性表出，且表示法是唯一的.定理3 若向量组中有部分组线性相关，则整体组也必相关，或者整体无关，部分必无关.定理4 无关组的接长向量组必无关.（三）向量组的极大无关组和向量组的秩1．向量组等价的概念若向量组S 可以由向量组R 线性表出，向量组R 也可以由向量组S 线性表出，则称这两个向量组等价.2．向量组的极大无关组设T 为一个向量组，若存在T 的一个部分组S ，它是线性无关的，且T 中任一个向量都能由S 线性表示，则称部分向量组S 为T 的一个极大无关组.显然，线性无关向量组的极大无关组就是其本身.对于线性相关的向量组，一般地，它的极大无关组不是唯一的，但有以下性质：定理1 向量组T 与它的任一个极大无关组等价，因而T 的任意两个极大无关组等价.定理2 向量组T 的任意两个极大无关组所含向量的个数相同.3．向量组的秩与矩阵的秩的关系把向量组T 的任意一个极大无关组中的所含向量的个数称为向量组T 的秩.把矩阵A 的行向量组的秩，称为A 的行秩，把A 的列向量组的秩称为A 的列秩.定理：对任一个矩阵A ，A 的列秩=A 的行秩=秩（A ）此定理说明，对于给定的向量组，可以按照列构造一个矩阵A ，然后用矩阵的初等行变换法来求出向量组的秩和极大无关组.例3 求出下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表出：)3,4,4,2(),3,4,1,2(),6,6,1,1(),9,2,,2,1(),7,2,1,1(54321==--=---=-=ααααα解：把所有的行向量都转置成列向量，构造一个54⨯矩阵，再用初等行变换把它化成简化阶梯形矩阵()B A TT T T T =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------==1000001100010100000133697446224112122111,,,,54321ααααα易见B 的秩为4，A 的秩为4，从而秩{}4,,,,54321=ααααα，而且B 中主元位于第一、二、三、五列，那么相应地5321,,,αααα为向量组的一个极大无关组，而且324ααα--=（四）向量空间1．向量空间及其子空间的定义定义1 n 维实列向量全体（或实行向量全体）构成的集合称为实n 维向量空间，记作n R定义2 设V 是n 维向量构成的非空集合，若V 对于向量的线性运算封闭，则称集合V 是n R 的子空间，也称为向量空间.1.向量空间的基与维数设V 为一个向量空间，它首先是一个向量组，把该向量组的任意一个极大无关组称为向量空间V 的一个基，把向量组的秩称为向量空间的维数.显然，n 维向量空间n R 的维数为n ，且n R 中任意n 个线性无关的向量都是n R 的一个基.3. 向量在某个基下的坐标设r ααα,,,21 是向量空间V 的一个基，则V 中任一个向量α都可以用r ααα,,,21 唯一地线性表出，由r 个表出系数组成的r 维列向量称为向量α在此基下的坐标.第四章 线性方程组（一）线性方程组关于解的结论定理1 设b AX =为n 元非齐次线性方程组，则它有解的充要条件是)(),(A r b A r =定理2 当n 元非齐次线性方程组b AX =有解时，即r A r b A r ==)(),(时，那么（1）b AX =有唯一解⇔n r =； （2）b AX =有无穷多解⇔n r <.定理3 n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解的充要条件是n r A r <=)(推论1 设A 为n 阶方阵，则n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解⇔0=A推论2 设A 为n m ⨯矩阵，且n m <，则n 元齐次线性方程组必有非零解（二）齐次线性方程组解的性质与解空间首先对任一个线性方程组，我们把它的任一个解用一个列向量表示，称为该方程组的解向量，也简称为方程组的解.考虑由齐次线性方程组0=AX 的解的全体所组成的向量集合{}0==ξξA V显然V 是非空的，因为V 中有零向量，即零解，而且容易证明V 对向量的加法运算及数乘运算封闭，即解向量的和仍为解，解向量的倍数仍为解，于是V 成为n 维列向量空间n R 的一个子空间，我们称V 为方程组0=AX 的解空间（三）齐次线性方程组的基础解系与通解把n 元齐次线性方程组0=AX 的解空间的任一个基，称为该齐次线性方程组的一个基础解系.当n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解时，即n r A r <=)(时，就一定存在基础解系，且基础解系中所含有线性无关解向量的个数为r n -求基础解系与通解的方法是：对方程组0=AX 先由消元法，求出一般解，再把一般解写成向量形式，即为方程组的通解，从中也能求出一个基础解系.例1 求⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+-+0022*********43214321x x x x x x x x x x x x 的通解解：对系数矩阵A ，作初等行变换化成简化阶梯形矩阵：12212310341034321211110145111111110000A ⨯⨯⨯⨯---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭行(-1)+2行行(-1)+3行3行(-1)+1行1行(-1)+2行 42)(<=A r ，有非零解，取43,x x 为自由未知量，可得一般解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+-=-=4433432431,54,43x x x x x x x x x x 写成向量形式，令13k x =，24k x =为任意常数，则通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1054014321k k X可见，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1054,014321ξξ为方程组的一个基础解系.（四） 非齐次线性方程组1.非齐次线性方程组与它对应的齐次线性方程组（即导出组）的解之间的关系设b AX =为一个n 元非齐次线性方程组，0=AX 为它的导出组，则它们的解之间有以下性质：性质1 如果21,ηη是b AX =的解，则21ηηξ-=是0=AX 的解 性质2 如果η是b AX =的解，ξ是0=AX 的解，则ηξ+是b AX =的解由这两个性质，可以得到b AX =的解的结构定理：定理 设A 是n m ⨯矩阵，且r A r b A r ==)(),(，则方程组b AX =的通解为r n r n k k k X --++++=ξξξη 2211*其中*η为b AX =的任一个解（称为特解）,r n -ξξξ,,,21 为导出组0=AX 的一个基础解系.2．求非齐次线性方程组的通解的方法对非齐次线性方程组b AX =，由消元法求出其一般解，再把一般解改写为向量形式，就得到方程组的通解.例2 当参数a ，b 为何值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=--+-=++=+++1232)3(122043214324324321ax x x x b x x a x x x x x x x x有唯一解？有无穷多解？无解？在有无穷多解时，求出通解. 解：对方程组的增广矩阵施行初等行变换，把它化成阶梯形矩阵：()()23424111110111100122101221(,)01320010132110123110111012210010100010A b a b a b a a a b a +⨯++⨯+⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪=→⎪⎪----+ ⎪⎪-----⎝⎭⎝⎭---⎛⎫⎪⎪→ ⎪-+ ⎪-⎝⎭行行１行-3行行行2行-1行当1≠a 时，4)(),(==A r b A r ，有唯一解； 当1,1≠=b a 时，3),(=b A r ，2)(=A r ，无解； 当1,1-==b a 时，2)(),(==A r b A r ，有无穷多解.此时，方程组的一般解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--=++-=44334324312211x x x x x x x x x x 令2413,k x k x ==为任意常数，故一般解为向量形式，得方程组通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10210121001121k k X第五章 特征值和特征向量I 考试大纲要求1、考试内容：矩阵的特征值和特征向量的概念、性质、计算方法和相似变换；矩阵的相似关系及性质；矩阵可对角化的判别及相似对角矩阵；实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。
4月全国自考线性代数(经管类)试题及答案解析
1全国2018年4月自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184一、单项选择题(本大题共20小题，每小题1分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=( )A.m-nB.n-mC.m+nD.-(m+n )2.设A , B , C 均为n 阶方阵，AB=BA ，AC=CA ，则ABC=（ ） A.ACB B.CAB C.CBAD.BCA3.设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵,且行列式|A |=1，|B |=-2，则行列式||B |A |之值为( ) A.-8 B.-2 C.2D.84.已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a ，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211333a a a a a a a a a ，P =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100030001，Q =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100013001，则B =（ ）A.P AB.APC.QAD.AQ5.已知A 是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（ ） A.若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩（A ）=2 B.若A 中存在2阶子式不为0，则秩（A ）=2 C.若秩（A ）=2，则A 中所有3阶子式都为0 D.若秩（A ）=2，则A 中所有2阶子式都不为06.下列命题中错误．．的是（ ） A.只含有一个零向量的向量组线性相关2B.由3个2维向量组成的向量组线性相关C.由一个非零向量组成的向量组线性相关D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关7.已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3，β线性相关，则（ ） A.α1必能由α2,α3，β线性表出 B.α2必能由α1,α3，β线性表出 C.α3必能由α1,α2，β线性表出D.β必能由α1,α2,α3线性表出 8.设A 为m ×n 矩阵，m ≠n ,则齐次线性方程组Ax =0只有零解的充分必要条件是A 的秩（ ）A.小于mB.等于mC.小于nD.等于n9.设A 为可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵为（ ） A.A T B.A 2 C.A -1D.A *10.二次型f (x 1,x 2,x 3)=212322212x x x x x +++的正惯性指数为（ ） A.0 B.1 C.2D.3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
自考线性代数(经管类)试题及答案
高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．3阶行列式011101110||---=ij a 中元素21a 的代数余子式=21A （ C ）A ．2-B ．1-C ．1D ．22．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211a aa a A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=121112221121a a a a a a B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01101P ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11012P ，则必有（ A ） A ．B A P P =21B ．B A P P =12C ．B P AP =21D ．B P AP =123．设n 阶可逆矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=B （ D ）A ．11--C AB ．11--A CC ．ACD ．CA4．设3阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000100A ，则2A 的秩为（B ）A ．0B ．1C ．2D ．343214321法惟一，则向量组4321,,,αααα的秩为（ C ） A ．1B ．2C ．3D ．44321A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合7．设321,,ααα是齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（ B ） A ．2121,,αααα+ B ．133221,,αααααα+++ C ．2121,,αααα-D ．133221,,αααααα---8．若2阶矩阵A 相似于矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3202B ，E 为2阶单位矩阵，则与矩阵A E -相似的矩阵是（ C ）A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛4101B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--4101C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--4201D ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛---42019．设实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎝--=120240A ，则3元二次型Ax x x x x f T =),,(321的规范形为（ D ）A ．232221z z z ++B ．232221z z z -+C ．2221z z +D ．2221z z -ij A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．已知3阶行列式696364232333231232221131211=a a a a a a a a a ，则=333231232221131211a a a a a a a a a _______________．3=3D _______________．13．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=01A ，则=+-E A A 22_______________．14．设A 为2阶矩阵，将A 的第2列的（2-）倍加到第1列得到矩阵B ．若⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321B ，则=A _______________．15．设3阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333220A ，则=-1A _______________．16．设向量组)1,1,(1a =α，)1,2,1(2-=α，)2,1,1(3-=α线性相关，则数=a ___________．17．已知x )1,0,1(1-=，x )5,4,3(2=是3元非齐次线性方程组b Ax =的两个解向量，则对应齐次线性方程组0=Ax 有一个非零解向量=ξ_______________． 18．设2阶实对称矩阵A 的特征值为2,1，它们对应的特征向量分别为)1,1(1=α，T k ),1(2=α，则数=k ______________．20．二次型3221321)()(),,(x x x x x x x f -+-=的矩阵=A _______________．21．已知3阶行列式=||ij a 4150231-x x 中元素12a 的代数余子式812=A ，求元素21a 的代数余子式21A 的值． 解：由8445012=-=-=x x A ，得2-=x ，所以5)38(413221=+--=---=A ．22．已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0111A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2011B ，矩阵X 满足X B AX =+，求X ．解：由X B AX =+，得B X A E =-)(，于是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=--13/113/1313131201121113120111112)(11B A E X ．23．求向量组T )3,1,1,1(1=α，T )1,5,3,1(2--=α，T )4,1,2,3(3-=α，T )2,10,6,2(4--=α的一个极大无关组，并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表出．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----24131015162312311→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------85401246041202311→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------0700070041202311 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------0000070041202311→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----0000010041202311→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000010040202011 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000010020102011→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000001002010001， 321,,ααα是一个极大线性无关组，=4α321020ααα⋅++⋅．24．设3元齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321ax x x x ax x x x ax ，（1）确定当a 为何值时，方程组有非零解；（2）当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解．解：（1）100010111)2(1111111)2(1212112111111||--+=+=+++==a a a a a a a a a a a a a a A2)1)(2(-+=a a ，2-=a 或1=a 时，方程组有非零解；（2）2-=a 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→000330211A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→000110211⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→000110101，⎪⎩⎪⎨⎧===333231x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111，全部解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111k ，k 为任意实数；1=a 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→000000111A ，⎪⎩⎪⎨⎧==--=3322321x x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101，全部解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10101121k k ，21,k k 为任意实数． 25．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=504313102B ，（1）判定B 是否可与对角矩阵相似，说明理由；（2）若B 可与对角矩阵相似，求对角矩阵Λ和可逆矩阵P ，使Λ=-BP P 1．解：（1）)67)(1(5412)1(504313102||2+--=-----=-------=-λλλλλλλλλλB E)6()1(2--=λλ，特征值121==λλ，63=λ．对于121==λλ，解齐次线性方程组0)(=-x B E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-000000101404303101B E λ，⎪⎩⎪⎨⎧==-=332231x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0101p ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1012p ；对于63=λ，解齐次线性方程组0)(=-x B E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-0004/3104/101104353104B E λ，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===3332314341x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=14/34/13p ．3阶矩阵B 有3个线性无关的特征向量，所以B 相似于对角阵；（2）令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ600010001，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1104/3014/110P ，则P 是可逆矩阵，使得Λ=-BP P 1．26．设3元二次型3221232221321222),,(x x x x x x x x x x f --++=，求正交变换Py x =，将二次型化为标准形．解：二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=110121011A ．111121011111201110121011||--=--=---=-λλλλλλλλλλλλA E )3)(1(1101)3(101131001--=--=--=λλλλλλλλλ，特征值01=λ，12=λ，33=λ．对于01=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-000110101110121011A E λ，⎪⎩⎪⎨⎧===333231x x x x x x ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111α，单位化为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3/13/13/11p ； 对于12=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-000010101010111010A E λ，⎪⎩⎪⎨⎧==-=332310x x x x x ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1012α，单位化为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2/102/12p ； 对于33=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-000210101210111012A E λ，⎪⎩⎪⎨⎧=-==3332312x x x x x x ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1213α，单位化为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=6/16/26/13p ．令⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=6/12/13/16/203/16/12/13/1P ，则P 是正交矩阵，使得=AP P T ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300010000，经正交变换Py x =后，原二次型化为标准形23222130y y y f ++⋅=． 四、证明题（本题6分）27．已知A 是n 阶矩阵，且满足方程022=+A A ，证明A 的特征值只能是0或2-． 证：设λ是A 的特征值，则满足方程022=+λλ，只能是0=λ或2-=λ．。
《线性代数(经管类)》历年真题及参考答案
20XX年10月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（经管类）试卷(课程代码 04184)一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设3阶方阵A的行列式为2，则= 【】A．-1 B．-C． D．12．设，则方程的根的个数为【】A．0 B．1C．2 D．33．设A为n阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到方阵B，若|A|≠|B|，则必有A．|A|=0 B．|A+B|≠0C．|A|≠0 D．|A-B|≠04. 设A、B是任意的n阶方阵，下列命题中正确的是【】A． B．C． D．5．设A= ，其中，则矩阵A的秩为【】A．0 B．1C．2 D．36.设6的阶方阵A的秩为4，则A的伴随矩阵的秩为【】A．0 B．2C．3 D．47.设向量a=（1，-2，3），与=（2，k，6）A．-10 B．-4C．4 D．108．已知线性方程组无解，则数a= 【】A．- B．0C． D．19．设3阶方阵A的特征多项式为，则|A|= 【】10．若3阶实对称矩阵A=( )是正定矩阵，则4的3个特征值可能为【】二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.设行列式D=,其第三行各元素的代数余子式之和为．12设A=，B=,则AB：．13设A是4x3矩阵且r（A）=2，B=，则r（AB）．14.向量组（1,2），（2,3），（3,4）的秩为15设线性无关的向量组可由向量组线性表示，则r与s的关系为16．设方程组有非零解，且数，则= ．17．设4元线性方程组Ax=b的三个解，已知，．则方程组的通解是．19．设矩阵有一个特征值=2，对应的特征向量为，则数20．设实二次型，已知A的特征值为-1，1，2，则该二次型的规范形为三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)21．设矩阵，，其中口，均为3维列向量，且 |A|=18，|B|=2．求|A-B|．22．解矩阵方程23．设向量组，，问P为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大无关组．24．设3元线性方程组(1)确定当取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解?(2)当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)25.已知2阶方阵A的特征值为，方阵．(1)求B的特征值；(2)求B的行列式．。
自考本科线性代数(经管类)知识汇总
自考高数线性代数笔记第一章行列式1.1 行列式的定义（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义（1）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。
注意：在线性代数中，符号不是绝对值。
例如，且；（2）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。
（主对角线减次对角线的乘积）例如（3）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为例如=0三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。
我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。
例如：（1）=1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0（2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如例1 a 为何值时，[答疑编号10010101：针对该题提问]解因为所以8-3a=0，时例2 当x 取何值时，[答疑编号10010102：针对该题提问]解：.解得0<x<9所以当0<x<9 时，所给行列式大于0。
（二）n 阶行列式符号：它由n 行、n 列元素（共个元素）组成，称之为n 阶行列式。
其中，每一个数称为行列式的一个元素，它的前一个下标i 称为行标，它表示这个数在第i 行上；后一个下标j 称为列标，它表示这个数在第j 列上。
所以在行列式的第i 行和第j 列的交叉位置上。
自考线性代数(经管类)重点考点
自考线性代数（经管类）重点考点线性代数（经管类）考点逐个击破第一章行列式（一）行列式的定义行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数.1．二阶行列式由4个数aij(i,j1,2)得到下列式子：a11a12a21a22称为一个二阶行列式，其运算规则为a11a12a21a22a11a22a12a212．三阶行列式a11a12a13由9个数aij(i,j1,2,3)得到下列式子：a21a22a23 a31a32a33称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.3．余子式及代数余子式a11a12a13设有三阶行列式D3a21a22a23a31a32a33对任何一个元素aij，我们划去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元素aij的余子式，记成Mij例如M11a22a23a32a33ij，M21a12a13a32a33，M31a12a13a22a23再记Aij(1)Mij，称Aij为元素aij的代数余子式.例如A11M11，A21M21，A31M31那么，三阶行列式D3定义为a11a12a13D3a21a22a23a11A11a21A21a31A31a31a32a33简写成D3我们把它称为D3按第一列的展开式，经常ai13i1Ai1(1)i1ai1Mi1i134．n阶行列式一阶行列式D1a11a11a11a12a1nn阶行列式Dna21a22a2nan1an2anna11A11a21A21an1An1其中Aij(i,j1,2,,n)为元素aij的代数余子式.5．特殊行列式a11上三角行列式a12a1na22a2n00ann00a11a22anna11a22ann00a11a21an1a1100下三角行列式a22an2ann000a220对角行列式anna11a22ann（二）行列式的性质性质1行列式和它的转置行列式相等，即DDT性质2用数k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD，也就是说，行列式可以按行和列提出公因数.性质3互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号.推论1如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零.推论2如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零.性质4行列式可以按行（列）拆开.性质5把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D.定理1（行列式展开定理）n阶行列式Daijn等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即Dai1Ai1ai2Ai2ainAin(i1,2,,n)或Da1jA1ja2jA2janjAnj(j1,2,,n)前一式称为D按第i行的展开式，后一式称为D按第j列的展开式.本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值.定理2n阶行列式Daij的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.n即ai1Ak1ai2Ak2ainAkn0(ik)或a1jA1a2jA2anjAn0(j)（三）行列式的计算行列式的计算主要采用以下两种基本方法：（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时要注意的是，在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（－1），在按行或按列提取公因子k时，必须在新的行列式前面乘上k.（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展开：2141例1计算行列式D4312152327025解：观察到第二列第四行的元素为0，而且第二列第一行的元素是a121，利用这个元素可以把这一列其它两个非零元素化为0，然后按第二列展开.2141D4312170255312列251列1021412行11行506270250按第二行展开31237581562按第二列展开15072552323行(2)1行10507375abbb例2计算行列式D4babbbbabbbba解：方法1这个行列式的元素含有文字，在计算它的值时，切忌用文字作字母，因为文字可能取0值.要注意观察其特点，这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为a3b（我们把它称为行和相同行列式），我们可以先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因子a3b，再将后三行都减去第一行：abbbbabbbbabbbbaa3bbbba3babba3bbaba3bbba1b00b00b00ab00(a3b)1 bbb1abb1bab1bba(a3b)ab0ab(a3b)(ab)3方法2观察到这个行列式每一行元素中有多个b，我们采用“加边法”来计算，即是构造一个与D4有相同值的五阶行列式：abbbD4babbbbabbbba1bbbb0abbb0babb0bbab0bbba1行（1）2，3，4，行51111b000bb0b001ab000ab0ab00ab这样得到一个“箭形”行列式，如果ab，则原行列式的值为零，故不妨假设ab，即ab0，把后四列的1倍加到第一列上，可以把第一列的（－1）化为零.ab4b1bbbbab0ab0004b400ab001(ab)(a3b)(ab)ab000ab00000ab1例3三阶范德蒙德行列式V3某11某221某3(某2某1)(某3某1)(某3某2)2某1某2某32（四）克拉默法则定理1（克拉默法则）设含有n个方程的n元线性方程组为a11某1a12某2a1n某nb1,a某a某a某b,2112222nn2an1某1an2某2ann某nbn如果其系数行列式Daijn0，则方程组必有唯一解：某jDjD,j1,2,,n其中Dj是把D中第j列换成常数项b1,b2,,bn后得到的行列式.把这个法则应用于齐次线性方程组，则有定理2设有含n个方程的n元齐次线性方程组a11某1a12某2a1n某n0,a某a某a某0,2112222nnan1某1an2某2ann某n0如果其系数行列式D0，则该方程组只有零解：某1某2某n0换句话说，若齐次线性方程组有非零解，则必有D0，在教材第二章中，将要证明，n个方程的n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零.第二章矩阵（一）矩阵的定义1．矩阵的概念由mn个数aij(i1,2,,m;j1,2,,n)排成的一个m行n列的数表a11a12a1na21a22a2nAam1am2amn称为一个m行n列矩阵或mn矩阵当mn时，称Aaijnn为n阶矩阵或n阶方阵元素全为零的矩阵称为零矩阵，用Omn或O表示2．3个常用的特殊方阵：a11000a022①n阶对角矩阵是指形如A的矩阵00ann100010②n阶单位方阵是指形如En的矩阵001a11a12a1na11000a22a2na21a220③n阶三角矩阵是指形如的矩阵,00aaaan2nnnnn13．矩阵与行列式的差异矩阵仅是一个数表，而n阶行列式的最后结果为一个数，因而矩阵与行列式是两个完全不同的概念，只有一阶方阵是一个数，而且行列式记号“某”与矩阵记号“某”也不同，不能用错.（二）矩阵的运算1．矩阵的同型与相等设有矩阵A(aij)mn，B(bij)k，若mk，n，则说A与B是同型矩阵.若A与B同型,且对应元素相等，即aijbij，则称矩阵A与B相等，记为AB 因而只有当两个矩阵从型号到元素全一样的矩阵，才能说相等.2．矩阵的加、减法设A(aij)mn，B(bij)mn是两个同型矩阵则规定AB(aijbij)mnAB(aijbij)mn注意：只有A与B为同型矩阵，它们才可以相加或相减.由于矩阵的相加体现为元素的相加，因而与普通数的加法运算有相同的运算律.3．数乘运算。
山财自考37线性代数考核作业(已填好答案)
线性代数（经管类）综合试题一（课程代码 4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设D==M≠0，则D1==( B )．A.－2MB.2MC.－6MD.6M2.设A、B、C为同阶方阵，若由AB=AC必能推出B= C，则A应满足( D )．A. A≠ OB. A = OC.|A|= 0D. |A|≠03.设A，B均为n阶方阵，则( A)．A.|A+AB|=0，则|A|=0或|E+B|=0B.(A+B)2=A2+2AB+B2C.当AB=O时，有A=O或B=OD.(AB)-1=B-1A-14.二阶矩阵A，|A|=1，则A-1= ( B)．A. B. C. D.则下列说法正确的是( B )．A.若两向量组等价，则s = t .B.若两向量组等价，则r()= r()C.若s = t，则两向量组等价.D.若r()=r()，则两向量组等价.6.向量组线性相关的充分必要条件是( C )．A.中至少有一个零向量B.中至少有两个向量对应分量成比例C.中至少有一个向量可由其余向量线性表示D.可由线性表示7.设向量组有两个极大无关组与，则下列成立的是( C )．A. r与s未必相等B. r + s = mC. r = sD. r + s > m8.对方程组Ax = b与其导出组Ax = o，下列命题正确的是( D )．A. Ax = o有解时，Ax = b必有解.B. Ax = o有无穷多解时，Ax = b有无穷多解.C. Ax = b无解时，Ax = o也无解.D. Ax = b有惟一解时，Ax = o只有零解.9.设方程组有非零解，则k = ( D)．A. 2B. 3C. -1D. 110.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是( D )．A. |A|>0B.存在n阶方阵C使A=C T CC.负惯性指标为零D.各阶顺序主子式均为正数二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
自考线性代数(经管类)各章考核重点解析
自考线性代数（经管类）各章考核重点解析第一章行列式（一）考核知识点1.行列式定义。
2.行列式的性质与计算。
3.克拉默（Cramer）法则。
（二）自学要求学习本章，要确切了解行列式的定义；理解行列式的性质；熟练掌握行列式的计（特别是低阶的数字行列式和具有特殊形状的文字或数字行列式），会计算简单的行式；理解克拉默法则在线性方程组求解理论中的重要性。
本章的重点；行列式的性质与计算。
难点；n阶行列式的计算（三）考核要求1.行列式的定义。
要求达到“识记”层次。
1.1熟练计算二阶与三阶行列式。
1.2清楚行列式中元素的余子式和代数余子式的定义。
1.3了解行列式的按其第一列展开的递归定义。
1.4熟记三角行列式的计算公式。
2.行列式的性质与计算。
要求达到“简单应用”层次。
2.1掌握并会熟练运用行列式的性质。
2.2掌握行列式的基本方法。
2.3回计算具有特殊形状的数字和文字行列式以及简单的n阶行列式。
2.4低阶范德蒙德行列式的计算。
3.克拉默法则。
要求达到“简单应用”层次。
3.1知道克拉默法则。
3.2会用克拉默法则求解简单的线性方程组。
第二章矩阵（一）考核知识点1.矩阵的各种运算的定义及其运算律。
重点是矩阵的乘法。
2. 分快矩阵的定义及其运算。
3.逆矩阵的定义与性质，伴随矩阵，方阵可逆的判别条件。
4.矩阵的初等变换和初等矩阵。
5.可逆矩阵的逆矩阵的求法。
6.矩阵的秩的定义与求法。
（二）自学要求学习本章，要求掌握矩阵的各种运算及其运算法则；知道方阵可逆的充分必要条件；会求可逆矩阵的逆矩阵；熟练掌握矩阵的初等变换；理解矩阵的秩定义，会求矩阵的秩。
本章的重点；矩阵运算及其矩阵的求法，矩阵的初等变换。
难点；逆矩阵的求法及矩阵的概念。
（三）考核要求1.矩阵的定义。
要求达到“识记”层次。
1.1理解矩阵的定义。
1.2知道三角矩阵、对角矩阵、单位矩阵和零矩阵的定义。
1.3清楚矩阵与行列式是两个有本质区别的概念，清楚矩阵与行列式符号的区别。
线性代数(经管类)试题及答案解析(试卷+答案+解析) (1)
全国2011年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题（课程代码：04184）说明：本卷中，A T表示方阵A的转置钜阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1. 设101350041A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则TAA=（）A. -49B. -7C. 7D. 492. 设A为3阶方阵，且4A=，则2A-=（）A. -32B. -8C. 8D. 323. 设A，B为n阶方阵，且A T=-A，B T=B，则下列命题正确的是（）A. （A+B）T=A+BB. （AB）T=-ABC. A2是对称矩阵D. B2+A是对称阵4. 设A，B，X，Y都是n阶方阵，则下面等式正确的是（）A. 若A2=0，则A=0B. （AB）2=A2B2C. 若AX=AY，则X=YD. 若A+X=B，则X=B-A5. 设矩阵A =11310214000500⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则秩（A ）=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 46. 若方程组02020kx z x ky z kx y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩仅有零解，则k ≠（ ）A. -2B. -1C. 0D. 27. 实数向量空间V={（x 1，x 2，x 3）|x 1 +x 3=0}的维数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2D. 38. 若方程组12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩有无穷多解，则λ=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 49. 设A =100010002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则下列矩阵中与A 相似的是（ ）A. 100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ B. 110010002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C. 10001102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦D. 10102001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦10. 设实二次型2212323(,,)f x xx x x =-，则f （ ）A. 正定B. 不定C. 负定D. 半正定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
《线性代数(经管类)》(课程代码04184)校考试题答案
《线性代数(经管类)》(课程代码04184)第一大题：单项选择题1、设行列式=1 , =2, 则= ( D )•错误!未找到引用源。
A.—3•错误!未找到引用源。
B.—1•错误!未找到引用源。
C.1•错误!未找到引用源。
D.32、设A为3阶方阵，且已知|-2A|=2，则|A|=（ B ）•错误!未找到引用源。
A.—1•错误!未找到引用源。
B.•错误!未找到引用源。
C.•错误!未找到引用源。
D.13、设矩阵A，B，C为同阶方阵，则=__B__•错误!未找到引用源。
A.•错误!未找到引用源。
B.•错误!未找到引用源。
C.•错误!未找到引用源。
D.4、设A为2阶可逆矩阵，且已知= ，则A=（ D ）•错误!未找到引用源。
A.•错误!未找到引用源。
B.•错误!未找到引用源。
C.•错误!未找到引用源。
D.5、设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组=0仅有零解的充分必要条件是（ A ）•错误!未找到引用源。
A.A的列向量组线性无关•错误!未找到引用源。
B.A的列向量组线性相关•错误!未找到引用源。
C.A的行向量组线性无关•错误!未找到引用源。
D.A的行向量组线性相关6、已知，是非齐次线性方程组=b的两个不同的解，，是其导出组=0的一个基础解系，，为任意常数，则方程组=b的通解可以表为（ A ）•错误!未找到引用源。
A.•错误!未找到引用源。
B.•错误!未找到引用源。
C.•错误!未找到引用源。
D.7、设3阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为2，2，3 则 ||= ( A )•错误!未找到引用源。
A.•错误!未找到引用源。
B.•错误!未找到引用源。
C.7•错误!未找到引用源。
D.128、设A为3阶矩阵，且已知|3A+2E|=0，则A必有一个特征值为（ A ）•错误!未找到引用源。
A.•错误!未找到引用源。
B.•错误!未找到引用源。
C.•错误!未找到引用源。
D.9、二次型的矩阵为（ C ）•错误!未找到引用源。
(完整版)线性代数(经管类)试题及答案
全国高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明：本卷中，A T 表示方阵A 的转置钜阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设101350041A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则T AA =（ ） A ．-49B ．-7C ．7D ．492．设A 为3阶方阵，且4A =，则2A -=（ ）A ．-32B ．-8C ．8D ．323．设A ，B 为n 阶方阵，且A T =-A ，B T =B ，则下列命题正确的是（ ）A ．（A +B ）T =A +BB ．（AB ）T =-ABC ．A 2是对称矩阵D ．B 2+A 是对称阵4．设A ，B ，X ，Y 都是n 阶方阵，则下面等式正确的是（ ）A ．若A 2=0，则A =0B ．（AB ）2=A 2B 2C ．若AX =AY ，则X =YD ．若A +X =B ，则X =B -A5．设矩阵A =1131021400050000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则秩（A ）=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 6．若方程组02020kx z x ky z kx y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩仅有零解，则k =（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．27．实数向量空间V={（x 1，x 2，x 3）|x 1 +x 3=0}的维数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38．若方程组12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩有无穷多解，则λ=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．设A =100010002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则下列矩阵中与A 相似的是（ ） A ．100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ．110010002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C ．100011002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦D ．101020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦10．设实二次型2212323(,,)f x x x x x =-，则f （ ）A ．正定B ．不定C ．负定D ．半正定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。
04184 线性代数(经管类)习题集及答案
西华大学自学考试省考课程习题集课程名称：《线性代数》课程代码：04184专业名称：工商企业管理专业代码：Y020202目录第一部分习题一、选择题 3二、填空题8三、计算题11四、证明题15第二部分标准答案一、选择题16二、填空题16三、计算题16四、证明题31第一部分 习题 一、选择题1、若n 阶方阵A 的秩为r ，则结论（ ）成立。
A. 0||≠A B. 0||=A C. r >n D. n r ≤2、下列结论正确的是( )A. 若AB=0,则A=0或B=0.B. 若AB=AC,则B=CC.两个同阶对角矩阵是可交换的.D. AB=BA 3、下列结论错误的是( )A. n+1个n 维向量一定线性相关.B. n 个n+1维向量一定线性相关C. n 个n 维列向量n ααα,,,21 线性相关,则021=n αααD. n 个n 维列向量n ααα,,,21 ,若021=n ααα 则n ααα,,,21 线性相关,4、若m c c c b b b a a a =321321321，则=321321321333222c c c b b b a a a ( ) A. 6m B.-6m C. m 3332 D. m 3332- 5、设A,B,C 均为n 阶方阵,AB=BA,AC=CA,则ABC=( ) A. ACB B. CAB C. CBA D. BCA6、二次型3221222132124),,(x x x x x x x x x f -++=的秩为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3 7、若A 、B 为n 阶方阵，下列说法正确的是（ ） A 、若A ，B 都是可逆的，则A+B 是可逆的 B 、若A ，B 都是可逆的，则AB 是可逆的 C 、若A+B 是可逆的，则A-B 是可逆的 D 、若A+B 是可逆的，则A ，B 都是可逆的8、设2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A ，则=*A （ ） A 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b d B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b c dC 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b dD 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b c d 9、关于初等矩阵下列结论成立的是（ )A. 都是可逆阵B. 所对应的行列式的值为1C. 相乘仍为初等矩阵D. 相加仍为初等矩阵10、设2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321A ，则=*A （ ）A 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1324 B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1234 C 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1324 D 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1234 11、设21,ββ是非齐次线性方程组β=AX 的两个解，则下列向量中仍为方程组β=AX 解的是（ ）A 、21ββ+B 、21ββ-C 、3221ββ+ D 、32321ββ- 12、向量组)2(,,,21≥m m ααα 线性相关的充要条件是（ ） A 、m ααα,,,21 中至少有一个是零向量 B 、m ααα,,,21 中至少有一个向量可以由其余向量线性表示 C 、m ααα,,,21 中有两个向量成比例 D 、m ααα,,,21 中任何部分组都线性相关13、向量组)2(,,,21≥m m ααα 线性相关的充要条件是（ ） A 、m ααα,,,21 中至少有一个是零向量 B 、m ααα,,,21 中至少有一个向量可以由其余向量线性表示 C 、m ααα,,,21 中有两个向量成比例 D 、m ααα,,,21 中任何部分组都线性相关14、0=AX 是非齐次方程组β=AX 的对应齐次线性方程组，则有（ ） A 、0=AX 有零解，则β=AX 有唯一解 B 、0=AX 有非零解，则β=AX 有无穷多解 C 、β=AX 有唯一解，则0=AX 只有零解 D 、β=AX 有无穷多解，则0=AX 只有零解15、设A ，B ，C 均为二阶方阵，且AC AB =，则当（ ）时，可以推出B=CA 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0101AB 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011AC 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110AD 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111A16、若m c c c b b b a a a =321321321，则=231231231333222c c c b b b a a a ( )A. 6mB.-6mC. m 3332D. m 3332- 17、如果矩阵A 的秩等于r ，则（ ）。
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线性代数（经管类）综合试题一（课程代码 4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设D==M≠0，则D1==( B )．A.－2MB.2MC.－6MD.6M2.设A、B、C为同阶方阵，若由AB = AC必能推出B = C，则A应满足( D )．A. A≠ OB. A = OC.|A|= 0D. |A|≠03.设A，B均为n阶方阵，则( A )．A.|A+AB|=0，则|A|=0或|E+B|=0B.(A+B)2=A2+2AB+B2C.当AB=O时，有A=O或B=OD.(AB)-1=B-1A-14.二阶矩阵A，|A|=1，则A-1= ( B )．A. B. C. D.，则下列说法正确的是( B )．A.若两向量组等价，则s = t .B.若两向量组等价，则r()= r()C.若s = t，则两向量组等价.D.若r()=r()，则两向量组等价.6.向量组线性相关的充分必要条件是( C )．A.中至少有一个零向量B.中至少有两个向量对应分量成比例C.中至少有一个向量可由其余向量线性表示D.可由线性表示7.设向量组有两个极大无关组与，则下列成立的是( C )．A. r与s未必相等B. r + s = mC. r = sD. r + s > m8.对方程组Ax = b与其导出组Ax = o，下列命题正确的是( D )．A. Ax = o有解时，Ax = b必有解.B. Ax = o有无穷多解时，Ax = b有无穷多解.C. Ax = b无解时，Ax = o也无解.D. Ax = b有惟一解时，Ax = o只有零解.9.设方程组有非零解，则k = ( D )．A. 2B. 3C. -1D. 110.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是( D )．A. |A |>0B.存在n 阶方阵C 使A =C T CC.负惯性指标为零D.各阶顺序主子式均为正数 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.四阶行列式D 中第3列元素依次为 -1，2，0，1，它们的余子式的值依次为5，3，-7，4，则D = -15 ． 12.若方阵A 满足A 2 = A ，且A ≠E ，则|A |= 0 . 13.若A 为3阶方阵，且，则|2A |= 4 ．14.设矩阵的秩为2，则t = -3 ．15.设向量＝(6，8，0)，=(4，–3，5)，则(,)= 0 ．16.设n 元齐次线性方程组A x = o ，r (A )= r < n ，则基础解系含有解向量的个数为 n -r 个. 17.设＝(1，1，0)，＝(0，1，1)，=(0，0，1)是R 3的基，则=(1，2，3)在此基下的坐标为 (1,1,2) .18.设A 为三阶方阵，其特征值为1，-1，2，则A 2的特征值为1,1,4 .19.二次型的矩阵A =220231011-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭.20.若矩阵A 与B =相似，则A 的特征值为 1,2,3 .三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.求行列式的值.解：1111111111111111xx y y+-+-=1+1110011110x x x y yy--+--2210000001100110000110000110011x x xyxyx y y y +-==+.22.解矩阵方程：.解：令A =111211111-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，B=236⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.因为111100111100()211010031210111001002101AE --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭11111100003333111111010,236236111100102222A -⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪→= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以. 由11103321111=33.2366211022AX B X A B -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭得： 23.求向量组=( 1, 1, 2, 3 )，=(－1,－1, 1, 1 )，=(1, 3, 3,5 )，=(4,－2, 5, 6 )的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.1234111411141132002621350313********r r r ra a a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪---⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪-⎪⎪-⎝⎭⎝⎭1114002601130026-⎛⎫ ⎪-⎪- ⎪- ⎪-⎝⎭1114100701130100.0013001300000000-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪→→⎪ ⎪--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，1234123413()3,;73.r a a a a a a a a a a ==-极大无关组为24.a 取何值时，方程组有解？并求其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）. 解：对方程组的增广矩阵施以初等行变换：2111112142=12142053731741105372A a a --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭121420537300005a -⎛⎫ ⎪→--- ⎪ ⎪-⎝⎭. 若方程组有解，则()()r A r A =，故a =5.当a =5时，继续施以初等行变换得：164105553730155500000A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪→-⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，原方程组的同解方程组为：134234416555,337555x x x x x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩3,4x x 为自由未知量，令34x x ==0，得原方程组的一个特解：453.500⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与导出组同解的方程组为：34341655,3755x x x x x x⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩34,x x 为自由未知量，令341001x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭分别取，，得到导出组的基础解系：165537551001⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，所以，方程组的全部解为：21,21,,416555337,55510.0001v c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中为任意常数 25.已知,求A 的特征值及特征向量，并判断A能否对角化，若能，求可逆矩阵P ，使P –1AP =Λ（对角形矩阵）．解：矩阵A 的特征多项式为：220121(2)(1)11E A λλλλλλ--=--=----,所以，A 的特征值为：1232, 1.λλλ===对于122λλ==，求齐次线性方程组(2)E A x o -=的基础解系，0001012101000,101000E A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭得基础解系:011,001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,从而矩阵A 的对应于特征值122λλ==的全部特征向量为:12120110,,.01C C C C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不全为零 对于3=1λ，求齐次线性方程组()E A o -=的基础解系,101100111011,100000E A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭得基础解系:011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,从而矩阵A 的对应于特征值31λ=的全部特征向量为:01(0).1c c ⎛⎫ ⎪≠ ⎪ ⎪⎝⎭ 因为三阶矩阵A 有三个线性无关的特征向量010101011⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，， 所以，A 相似于对角矩阵，且010200=101=020.011001P A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，26.用配方法将下列二次型化为标准形：解：()2231231231213232444f x x x x x x x x x x x x =+-+--=()22222211232323233234()4()4224x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤+-+---+---⎣⎦=()222123223322245x x x x x x x +--+-=()()22221232233322223x x x x x x x x +---+-()()222123233=2223.x x x x x x +----令11231122232233333222,,y x x x x y y y x x x y y y x x y ⎧=+-=-⎧⎪⎪=-=+⎨⎨⎪⎪==⎩⎩即 得二次型的标准形为：22212323.y y y -- 四、证明题（本大题共6分） 27.设向量，证明向量组是R 3空间中的一个基.证：因为110110110=020=20111001-≠，所以123a a a ，，线性无关， 所以向量组1233,.,R a a a 是空间中的一个基线性代数（经管类）综合试题二（课程代码 4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.若三阶行列式=0, 则k = (C ).A．1 B．0 C．-1D．-22.设A、B为n阶方阵,则成立的充要条件是 ( D ).A．A可逆B．B可逆C．|A|=|B|D．AB=BA3.设A是n阶可逆矩阵,A*是A的伴随矩阵, 则 ( A ).A．B．C．D．4.矩阵的秩为2，则λ = ( B ).A．2 B．1 C．0 D．5.设3×4矩阵A的秩r(A)=1，是齐次线性方程组Ax=o的三个线性无关的解向量，则方程组的基础解系为(D ).A．B．C．D．6.向量线性相关,则( C ).A．k =-4 B．k = 4 C．k =-3 D．k = 37.设u1, u2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解, 若是其导出组Ax=o的解, 则有( B ).A．c1+c2 =1 B．c1= c2C．c1+ c2 = 0 D．c1= 2c28.设A为n(n≥2)阶方阵，且A2=E，则必有( B ).A．A的行列式等于1 B．A的秩等于nC．A的逆矩阵等于E D．A的特征值均为19.设三阶矩阵A的特征值为2, 1, 1，则A-1的特征值为( D ).A．1, 2 B．2, 1, 1C．, 1 D．, 1, 110.二次型是( A ).A．正定的B．半正定的C．负定的D．不定的二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。