必修五解三角形题型归纳
(完整版)必修五-解三角形-题型归纳
构成三角形个数问题1在 ABC 中，已知a x,b 2,B 45°，如果三角形有两解，则x 的取值范围是( )A.2 x 2\f2 B. X 2 血 C . V2 x 2 D. 0x22 •如果满足 ABC 60 , AC 12 , BC k 的厶ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是3.在 ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A* CJ = S J fr = 10^ A = 45" E ・ 口 = 60 r £* = S1 B = 6（T * C. a — 7 > £> = 5 ? A - &0=D ・ 口二 14# 6 - 20 , -4-45"心求边长问题A. 5 B5•在△ ABC 中, a 1,B 450, S ABC 2，则 b = _________________三. 求夹角问题6.在ABC中， ABC -, AB 2,BC 3，则 sin BAC （） 410 103 10 5 A. 10B 5C 10D57 .在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别a,b,C,S 为表示△ ABC 的面积，若4.在 ABC 中，角 A, B,C 所对边 a,b,c ，若 a 3,C1200,ABC的面积S15 3 41 2 2 2 acosB bcosA csinC, S -(b c a )，则/ B=()4A. 90° B . 60° C . 45° D . 30°四.求面积问题&已知△ ABC中，内角A，B, C所对的边长分别为a,b,c.若a 2bcosA, B -,c 1，则3 △ ABC的面积等于( )书书书书A B------B ■C iD i +118 6 4 2A9.锐角ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知cos2C j(i)求sinC的值；(n)当a 2, 2si nA si nC时，求b的长及| ABC的面积.10•如图，在四边形ABCD 中，AB 3,BC 7J3,CD 14, BD 7, BAD 120(1 )求AD边的长;(2)求ABC的面积.11.（本小题满分12分）已知ABC中，角A, B,C对边分别为a,b,c,已知c 2,C(1 )若ABC的面积等于3 ,求a,b(2)若si nC si n( B A) 2 si n2A,求ABC 的面积.12 .在ABC中，角A, B,C对边分别为a,b,c已知C 一 .3外接圆的面积；五.判定三角形形状问题若a 2,b 3，求ABC的13.在ABC中，a, b , c分别为角A, B , C所对边, a 2bcosC，则此三角形一定是（）A.等腰直角三角形B.C.等腰三角形D.直角三角形等腰或直角三角形1 1 114. ABC中三边上的高依次为丄，丄，丄，贝U ABC为（13 5 11A.锐角三角形 B •直角三角形 C •钝角三角形D）•不存在这样的三角形19.在锐角 ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且2asi nB ..3b . (1)求角A 的大小；(2 )若a 4,b c 8，求 ABC 的面积.15.在 ABC 中，若 0 tanA tanB A.锐角三角形B .钝角三角形那么 ABC 一定是 •直角三角形 D) .形状不确定16.在△ ABC 中, 2B a c cos ----------- 2 2c(a , b , c 分别为角A , B , C 的对边)，则△ ABC 勺形状 为 A.正三角形B .直角三角形()等腰三角形或直角三角形D •等腰直角三角形17•在 ABC 中，如果工一cosB.直角三角形A.等腰三角形bcosA'C则该三角形是.等腰或直角三角形D .以上答案均不正确六. 综合问题 18.在锐角厶ABC 中, a, b, c 是角 A , B , C 的对边，且，3a 2csin A .(1)求角C 的度数;(2)若 C .7，且△ ABC 的面积为3 3，求a b 的值。
必修5解三角形知识点归纳总结
第一章解三角形一.正弦定理: 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 —=—=—=2R （其中R 是三角形外接圆的半径） sin A sin B sinC a + b + c a b c = = = . sin A + sin B + sin Csin A sin B sin C 2）化边为角： a : b : c = sin A : sin B : sin C . a sin A b sin B a sin Ab sin B ，c sin C ，csin C 3）化边为角：a = 2R sin A , b = 2R sin B , c = 2R sin Csin A a sin B b sin A a • —— •sin B b ' sin C c ' sin C c 'abc sin A =——, sin B =——, sin C =—— 2 R 2 R 2 R3.利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题:①已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a,解法：由A+B+C=180o ,求角A,由正弦定理a =空A ;-=把B b sin B c sin C a sin A = ------- ;求出b 与c c sin C②已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理a =竺4求出角B,由A+B+C=180o 求出角C,再使用正 b sin B弦定理a = sn A 求出c 边 c sin C 4.△ABC 中，已知锐角A,边b,则①a < b sin A 时，B 无解;②a = b sin A 或a > b 时，B 有—个解③b sin A < a < b 时，B 有两个解。
2.变形：1） 4）化角为边: 5）化角为边:如：①已知A :60。
必修五-解三角形-题型归纳
一.构成三角形个数问题1.在AABC中，已知a二x,b二2,B=45°,如果三角形有两解，则x的取值范围是（）A2<x<2^2B x<2迈C近<x<2D.<x<22.如果满足ZABC二60，AC=12，BC=k的厶ABC恰有一个，那么k的取值范围是3.在AABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A.£?=Sj£i=10;A.=45^B.£?=60;i=S1；B=60=+-1C.a=l b=5?,4=8D=D.£7=14,h二20,卫二心二.求边长问题4.在A ABC中，角A,B,C所对边a,b,c，若a二3,C二1200，A ABC的面积S二，贝产=()4A.5B.6C.©39D.75.在△ABC中，a二1,B二45o,S二2，则b=A ABC三.求夹角问题6.在AABC中，ZABC二上,AB42BC二3，则sinZBAC=()v10<103帀A.10B.5C.10D.57.在△ABC中，角A,B，C所对的边分别a,b,c,S为表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC, S二(b2+c2-a2)，贝yZB=()4A.90°B.60°C.45D.30°四.求8.已知△ABC中，内角A,B,兀C所对的边长分别为a,b,c•若a=2b cosA,B=—△ABC的面积等于(A.—8B.—619.锐角AABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c,已知cos2C二—「4 (I)求sin C的值；(II)当a=2,2sin A=sin C时，求b的长及AABC的面积.10.如图，在(1)求AD边的长；(2)求AABC的面积.兀11.(本小题满分12分)已知A ABC中，角A,B,C对边分别为a,b,c,已知c=2,C=丁.(1)若AABC的面积等于j3，求a,b(2)若sinC+sin(B一A)=2sin2A，求AABC的面积.A.等腰直角三角形 C.等腰三角形B.直角三角形 D.等腰或直角三角形兀12.在AABC 中，角A,B,C 对边分别为a,b,c 已知C =-.若a=2,b =3,求AABC 的外接圆的面积;五．判定三角形形状问题13.在A ABC中，a，b，c分别为角A ，B ，C所对边，若a=2b cos C，则此三角形一定是（111 14.A A BC 中三边上的高依次为右，：，则A ABC 为（）13511A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不存在这样的三角形15.在AABC 中，若0<tan A-tan B <1，那么AABC 一定是（） A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.形状不确定Ba +c16. 在△ABC 中，cos 2二，（a,b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边），则△ABC 的形状为22c（）A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形word 格式-可编辑-感谢下载支持321.如图，在AABC 中,血Z B =一，AB =8，点D 在BC 边上，且CD =2cos Z ADC =1.7ab17.在AABC 中，如果=，则该三角形是cosBcosAA.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.以上答案均不正确六．综合问题18.在锐角厶ABC 中，a,b,c 是角A,B,C 的对边，且J3a =2csin A . (1)求角C 的度数；_.3：'3 (2)若c=、门，且△ABC 的面积为一-—，求a +b 的值。
必修五-解三角形-题型归纳
一．构成三角形个数问题1．在ABC 中，已知a x,b 2,B 45 ，如果三角形有两解，则x的取值范围是（）A．2 x 2 2 B. x 2 2 C ． 2 x 2 D. 0 x 22．如果满足ABC 60 ，AC 12 ，BC k 的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是__________．3．在ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）二．求边长问题4．在ABC 中，角A, B,C 所对边a,b,c ，若a3,C 1200 ，ABC 的面积15 3S ，4则c（）A．5 B ．6 C ．39 D ．75．在△ABC中，0a 1, B 45 ,S2，则b =_______________.ABC三．求夹角问题6．在ABC 中，ABC , 2, 3 ，则sin BAC （）AB BC 410 10 3 10 5 A．10 B ． 5 C ．10 D ．57 ．在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别a, b, c, S 为表示△ABC 的面积，若1 2 2 2a cos Bb cos Ac sin C, S (b c a ) ，则∠B=( )4A．90° B ．60° C ．45° D ．30°四．求面积问题8．已知△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a,b,c . 若 2 cos , , 1a b A B c ，则3 △ABC的面积等于（）9．锐角ABC 中，角A、B、C 的对边分别是a、b、c，已知（Ⅰ）求sin C 的值；1 cos2C .4（Ⅱ）当 a 2，2 sin A sin C 时，求 b 的长及ABC 的面积．10．如图，在四边形ABCD 中，AB 3, BC 7 3, CD 14, BD 7, BAD 120 ．（1）求AD 边的长；（2）求ABC 的面积．11．（本小题满分12 分）已知ABC 中, 角A, B,C 对边分别为a,b, c , 已知c 2,C ．3 （1）若ABC 的面积等于3, 求a,b（2）若sin C sin( B A) 2 sin 2A, 求ABC 的面积．12．在ABC 中，角A, B, C 对边分别为a,b,c 已知外接圆的面积；C ．若a 2,b 3，求ABC 的3五．判定三角形形状问题13．在ABC 中，a，b ，c分别为角A ，B ，C 所对边，若 a 2b cos C，则此三角形一定是（）A.等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形14．ABC 中三边上的高依次为1 1 1, ,13 5 11，则ABC 为（）A．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不存在这样的三角形15．在ABC 中，若0 tan A tan B 1，那么ABC 一定是（）A．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．形状不确定16．在△ABC 中， 2cos B a c2 2c，（a，b，c 分别为角A，B，C 的对边），则△ABC的形状为( )A．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形17．在ABC 中，如果a bcos B cos A，则该三角形是A．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰或直角三角形 D ．以上答案均不正确六．综合问题18．在锐角△ABC中，a,b,c 是角A，B，C的对边，且3a 2csin A .（1）求角C的度数；（2）若c7 ，且△A BC的面积为3 32，求a b 的值。
高一数学必修五解三角形基本知识点及练习
解三角形一、知识点复习1.正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径）12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（）sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C=== 3.余弦定理及其推论2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab+-=+-=+-= 5.常用的三角形面积公式（1）高底⨯⨯=∆21ABC S ； （2）B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆（两边夹一角）； 6.三角形中常用结论（1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）（2）sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）（3）在△ABC 中, A+B+C=π, 所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。
二、典型例题（1）用正、余弦定理解三角形例1.已知在练习：C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆（2）三角形解的个数1.知道3边、3角, 2角1边, 2边及其夹角时不会出现两解,2、两边及一边的对角时:A 为锐角A 为钝角或直角图形关系A<bsinA A=bsinA bsinA<a<b a ≥b a ≤b 解无解 一解 两解 一解 无解例1: 在 中, 分别根据下列条件解三角形, 其中有两解的是【 】A. , , ；B. , , ； C 、 , , ；D 、 , , 。
必修五第1章解三角形归纳整合
4． 解三角形应用题的基本思路 解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题 来解决．其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型 的问题(如：测量距离、高度、角度等)，然后依题意画出 示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已 知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化， 哪个定理求解，并进行作答．解题时还要注意近似计算的 要求．
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解；若方程有唯一正数解，则三角形一解；若方程有两不同 正数解，则三角形有两解． 三角形形状的判定方法 3． 判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦 定理，化边为角(如：a＝2Rsin A，a2＋b2－c2＝2abcos C等)， 利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注 意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系．如：
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【例2】 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满 足(2a－b)cos C＝c· cos B，△ABC的面积S＝10 3 ，c＝7. (1)求角C； (2)求a，b的值． 解 (1)∵(2a－b)cos C＝ccos B， ∴(2sin A－sin B)cos C＝sin Ccos B， 2sin Acos C－sin Bcos C＝cos Bsin C， 即2sin Acos C＝sin(B＋C)， ∴2sin Acos C＝sin A.
－2ab1＋cos
π ， 3
2
1 －2×40×1＋ . 2
∴a＋b＝13.② 由①②得 a＝8，b＝5 或 a＝5，b＝8.
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必修五第一章解三角形知识点总结及经典习题
必修五第一章解三角形知识点总结及经典习题(数学教研组)一、知识点总结1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C=== （R:外接圆半径） 或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =.结论：①定理：在三角形中，α、β为其内角，则α≤β⇔sin sin αβ≤，等号当且当α=β时成立。
②判断三角形大小关系时，可以利用如下原理：sin A ＞ sin B ⇔ A ＞ B ⇔ a ＞ bcos cos A B A B >⇔<⇔a < b③三角形的面积公式： ∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B 2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩. 3．利用正弦定理和余弦定理分别能解决的问题：（1）正弦定理：1、已知两角和一边（如A 、B 、c ），由A +B +C =π求C ，由正弦定理求a 、b .(ASA 或AAS)2、已知两边和其中一边的对角（如a 、b 、A ），应用正弦定理求B ，由A +B +C = π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况.(SSA)（2）余弦定理：1、已知三边a 、b 、c ，应余弦定理求A 、B ，再由A +B +C = π，求角C .(SSS)2、已知两边和夹角（如a 、b 、C ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A +B +C =π，求另一角.(SAS)主流思想：利用正、余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5．三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== 6. 求解三角形应用题的一般步骤：（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；（3）求解：正确运用正、余弦定理求解； （4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。
必修五解三角形常考题型
必修五解三角形常考题型1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理【典型题剖析】考察点1：利用正弦定理解三角形例1在ABC 中，已知A:B:C=1:2:3, 求a :b :c.例2在ABC 中，已知c= 2+ 6 ，C=30°，求a+b 的取值范围。
考察点2：利用正弦定理判断三角形形状例3 在△ABC中， 2a ·tanB=2b ·tanA ，判断三角形ABC的形状。
例 4 在△ABC中，如果lg a lgc lgsin B lg 2 ，并且B 为锐角，试判断此三角形的形状。
考察点 3：利用正弦定理证明三角恒等式 例 5 在△ABC 中，求证222222a b b c c acos A cos B cos B cos C cos C cos A0 .例 6 在△ABC 中，a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边， C=2B ，求证2 2c b ab .考察点 4：求三角形的面积例 7 在△ABC 中，a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边，若B 2 5a 2,C,cos , 求425△ABC 的面积 S.例 8已知△ ABC 中a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边，△ABC 的外接圆半径为 12，且求△ABC 的面积 S 的最大值。
C,3考察点5：与正弦定理有关的综合问题例9 已知△ABC的内角A,B 极其对边a,b 满足a b a cot A b c ot B, 求内角 C例10 在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a,b,c, 且c=10, 的内切圆半径。
c os A b 4cos B a 3，求a,b 及△ABC『易错疑难辨析』易错点利用正弦定理解题时，出现漏解或增解【易错点辨析】本节知识在理解与运用中常出现的错误有：（1）已知两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，出现漏解或增解；（2）在判断三角形的形状时，出现漏解的情况。
高中数学必修五三角函数知识点+练习题含答案解析(很详细)
高中数学必修五三角函数知识点+练习题含答案解析(很详细)第一部分必修五三角函数知识点整理第一章解三角形1、三角形的性质：①.A+B+C=π,? 222A B C π+=-?sin cos 22A B C += ②.在ABC ?中, a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ?sin A ＞sinB ...........................A ＞B ?cosA ＜cosB, a ＞b ? A ＞B③.若ABC ?为锐角?，则A B +＞2π,B+C ＞2π,A+C ＞2π; 22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b2、正弦定理与余弦定理：①.(2R 为ABC ?外接圆的直径)2s i n a R A =、2sin b R B =、2sin c R C =sin 2a A R =、 sin 2b B R =、 sin 2c C R= 面积公式：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?=== ②.余弦定理：2222cos a b c bc A =+-、2222cos b a c ac B =+-、2222cos c a b ab C =+-222cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac +-=、222cos 2a b c C ab+-= 补充：两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ --=+ ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin1ααααααα±=±+=±?⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+ ?落幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．第二部分必修五练习题含答案解析第一章解三角形1.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形解析：最大边AC 所对角为B ，则cosB ＝52＋62－822×5×6＝－320B>CB ．B>A>C C ．C>B>AD ．C>A>B解析由正弦定理a sinA ＝b sinB ，∴sinB ＝bsinA a ＝32.∵B 为锐角，∴B ＝60°，则C ＝90°，故C>B>A. 答案 C3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解:由A ＋B ＋C ＝180°，可求得A ＝45°，由正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝8×sin60°sin45°＝8×3222＝4 6. 答案 C4．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BA →·BC → 的值为( )A ．5B ．－5C ．15D ．－15解析在△ABC 中，由余弦定理得：cosB ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝25＋49－642×5×7＝17. ∴BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|cosB ＝5×7×17＝5. 答案 A5．若三角形三边长之比是1：3：2，则其所对角之比是( )A ．1：2：3B ．1：3：2C ．1：2： 3 D.2：3：2解析设三边长分不为a ，3a,2a ，设最大角为A ，则cosA ＝a 2＋3a 2－2a 22·a ·3a ＝0，∴A ＝90°.设最小角为B ，则cosB ＝2a 2＋3a 2－a 22·2a ·3a ＝32，∴B ＝30°，∴C ＝60°. 所以三角之比为1：2：3. 答案 A6．在△ABC 中，若a ＝6，b ＝9，A ＝45°，则此三角形有( )A ．无解B ．一解C ．两解D ．解的个数别确定解析由b sinB ＝a sinA ，得sinB ＝bsinA a ＝9×226＝3 24>1.∴此三角形无解．答案 A7．已知△ABC 的外接圆半径为R ，且2R(sin 2A －sin 2C)＝(2a －b)sinB(其中a ，b 分不为A ，B 的对边)，这么角C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析依照正弦定理，原式可化为2R ? ??a 24R 2－c 24R 2＝(2a －b)·b 2R ，∴a 2－c 2＝(2a －b)b ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab ，∴cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，∴C ＝45°. 答案 B8．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，且满脚ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3解析由a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝2R ，又sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，可得a 2＋b 2－ab ＝c 2.∴c osC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°，sinC ＝32. ∴S △ABC ＝12absinC ＝ 3. 答案 D9．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sinB sinC 的值为( ) A.85 B.58 C.53 D.35解析由余弦定理，得 cosA ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC，解得AC ＝3. 由正弦定理sinB sinC ＝AC AB ＝35. 答案 D10.在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( )A.2π3B.5π6C.3π4D.π3解析由余弦定理，得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴∠BAC ＝2π3. 答案 A11．有一长为1 km 的歪坡，它的倾歪角为20°，现要将倾歪角改为10°，则坡底要加长( )A ．0.5 kmB ．1 kmC ．1.5 km D.32km 解析如图，AC ＝AB ·sin20°＝sin20°，BC ＝AB ·cos20°＝cos20°，DC ＝AC tan10°＝2cos 210°，∴DB ＝DC －BC ＝2cos 210°－cos20°＝1.答案 B12．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分不为a ，b ，c.若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b 为( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3 D.6－ 2解析在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，∵a ＝c ，∴0＝b 2－2bccosA ＝b 2－2b(6＋2)cos75°，而cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝22? ????32－12＝14(6－2)，∴b 2－2b(6＋2)cos75°＝b 2－2b(6＋2)·14(6－2)＝b 2－2b ＝0，解得b ＝2，或b ＝0(舍去)．故选A. 答案 A 13．在△ABC 中，A ＝60°，C ＝45°，b ＝4，则此三角形的最小边是____________．解析由A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝75°，∴c 为最小边，由正弦定理，知c ＝bsinC sinB ＝4sin45°sin75°＝4(3－1)．答案 4(3－1)14．在△ABC 中，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝________.解析由B ＝A ＋60°，得 sinB ＝sin(A ＋60°)＝12sinA ＋32cosA. 又由b ＝2a ，知sinB ＝2sinA.∴2sinA ＝12sinA ＋32cosA. 即32sinA ＝32cosA.∵cosA ≠0，∴tanA ＝33.∵0°<A<180°，∴A ＝30°. 答案30° 15．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，BC ＝5，且△ABC 的面积为103，则B ＝_______，AB ＝_______.解析由A ＋C ＝2B 及A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°.又S ＝12AB ·BC ·sinB ，∴10 3＝12AB ×5×sin60°，∴AB ＝8. 答案60° 816．在△ABC 中，已知(b ＋c)：(c ＋a)：(a ＋b)＝8：9：10，则sinA ：sinB ：sinC ＝________.解析设b ＋c ＝8k ，c ＋a ＝9k ，a ＋b ＝10k ，可得a ：b ：c ＝11：9：7.∴sinA ：sinB ：sinC ＝11：9：7.答案 11：9：717．在非等腰△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分不为a ，b ，c ，且a 2＝b(b ＋c)．(1)求证：A ＝2B ；(2)若a ＝XXX ，试推断△ABC 的形状．解 (1)证明：在△ABC 中，∵a 2＝b ·(b ＋c)＝b 2＋bc ，由余弦定理，得cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝bc ＋c 22ac ＝b ＋c 2a ＝a 2b ＝sinA 2sinB ，∴sinA ＝2sinBcosB ＝sin2B.则A ＝2B 或A ＋2B ＝π.若A ＋2B ＝π，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝C.这与已知相矛盾，故A ＝2B.(2)∵a ＝XXX ，由a 2＝b(b ＋c)，得XXX 2＝b 2＋bc ，∴c ＝2b.又a 2＋b 2＝4b 2＝c 2.故△ABC 为直角三角形．18．锐角三角形ABC 中，边a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A ，B 满脚2sin(A ＋B)－3＝0.求：(1)角C 的度数；(2)边c 的长度及△ABC 的面积．解 (1)由2sin(A ＋B)－3＝0，得sin(A ＋B)＝32. ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，∴∠C ＝60°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2－3ab ＝12－6＝6.∴c ＝ 6.S △ABC ＝12absinC ＝12×2×32＝32. 19.已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分不是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sinB ，sinA)，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．解 (1)证明：∵m ∥n ，∴asinA ＝bsinB.由正弦定得知，sinA ＝a 2R ，sinB ＝b 2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，代入上式，得a ·a 2R ＝b ·b 2R，∴a ＝b.故△ABC 为等腰三角形．(2)∵m ⊥p ，∴m ·p ＝0，∴a(b －2)＋b(a －2)＝0，∴a ＋b ＝ab.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 得4＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0. 解得ab＝4，ab＝－1(舍去)．∴△ABC的面积S＝12absinC＝12×4×sinπ3＝ 3.。
高中数学必修五__第一章___解三角形知识点归纳及测试题
第十二讲 解三角形1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C+++=== 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ． 5、正弦定理的变形公式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ．7、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A 等，变形： 222cos 2b c a bc+-A =等，8、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。
②已知三边求角） 9、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ． 10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =；②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >． 11、三角形的四心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1） 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等） 内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等）12．坡角和坡比坡角：坡面与水平面的夹角(如图④，角θ为坡角)．坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡比)．1. △ABC 中，45B =，60C =，1c =，则最短边的边长等于 （ ）A 63B 62C 12D 322. △ABC 中，cos cos cos a b cA B C ==，则△ABC 一定是 （ ）A 直角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形3.△ABC 中，若60A =，3a =，则sin sin sin a b cA B C +-+-等于 （ ）A 2B 12C 3D 324. △ABC 中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =（ ）A13 B 12 C 34D 0 5.在钝角△ABC 中，已知1a =，2b =，则最大边c 的取值范围是 。
必修五第一章解三角形知识点总结及经典习题
必修五第一章解三角形知识点总结及经典习题(数学教研组)一、知识点总结 1 •正弦定理：一 ab c2R (R:外接圆半径)sin A sin B sinC或变形： a: b :c sin A:sin B:sin C .结论：①定理：在三角形中，a 、B 为其内角，则a<p ② 判断三角形大小关系时，可以利用如下原理： sin A > sin B A > B a > bcos A cos B A B a < b111③ 三角形的面积公式： S = - absin C= - bcsin A= - acsin B2 2 2cosAa 2b 2c 22bccos A2. 余弦定理： b 2 a 2 c 2 2ac cosB 或 cosB2 2 2c b a 2ba cosCcosC3. 利用正弦定理和余弦定理分别能解决的问题：(1) 正弦定理：1、已知两角和一边(如 A 、B 、c)，由A+B+C= n 求C,由正弦定理求a 、b.(ASA 或 AAS)2 、已知两边和其中一边的对角(如 a 、b 、A),应用正弦定理求B,由A+B+C= n 求C,再由正弦定理或余弦定理求 c 边，要注意解可能有多种情况.(SSA) (2) 余弦定理：1、已知三边a 、b 、c,应余弦定理求 A B,再由A+B+C = n ，求角C.(SSS)2 、已知两边和夹角(如a 、b 、C),应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用 A+B+C= n ，求另一角.(SAS)主流思想：利用正、余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式 . 5.三角形中的基本关系： sin(A B) si nC, cos(A B)cosC, tan (A B) tanC,.A B C ABC+AB +C sin cos ,cossin ,ta ncot —2 2 2 2 2 26.求解三角形应用题的一般步骤： (1) 分析：分析题意，弄清已知和所求；(2) 建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图; (3) 求解：正确运用正、余弦定理求解；(4)检验：检验上述所求是否符合实际意义b 22c 2 a2bc2 a 2 c b 22ac222ba c sin sin ,等号当且当a =3时成立。
必修五解三角形常考题型
必修五解三角形常考题型1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理【典型题剖析】考察点1：利用正弦定理解三角形例1 在ABC 中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c.例2在ABC 中，已知，C=30°，求a+b 的取值范围。
考察点2：利用正弦定理判断三角形形状例3在△ABC 中，2a ·tanB=2b ·tanA ，判断三角形ABC 的形状。
例4在△ABC 中，如果lg lg lg sin a c B -==-，并且B 为锐角，试判断此三角形的形状。
考察点3：利用正弦定理证明三角恒等式例5在△ABC 中，求证2222220cos cos cos cos cos cos a b b c c a A B B C C A---++=+++.例6在△ABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边，C=2B ，求证22c b ab -=.考察点4：求三角形的面积例7在△ABC 中，a,b,c 分别是三个内角A,B,C 的对边，若2,,cos42B a C π===求△ABC 的面积S.例8已知△ABC 中a,b,c 分别是三个内角A,B,C 的对边，△ABC 的外接圆半径为12，且3C π=,求△ABC 的面积S 的最大值。
考察点5：与正弦定理有关的综合问题例9已知△ABC 的内角A,B 极其对边a,b 满足cot cot ,a b a A b B +=+求内角C例10在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,且c=10,cos 4cos 3A bB a ==，求a,b 及△ABC 的内切圆半径。
『易错疑难辨析』易错点 利用正弦定理解题时，出现漏解或增解【易错点辨析】本节知识在理解与运用中常出现的错误有：（1）已知两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，出现漏解或增解；（2）在判断三角形的形状时，出现漏解的情况。
例1（1） 在△ABC 中，6,30,;a b A B ===︒求（2） 在△ABC 中，2,60,;a b A B ===︒求易错点 忽略三角形本身的隐含条件致错【易错点解析】解题过程中，忽略三角形本身的隐含条件，如内角和为180°等造成的错误。
解三角形(总结+题+解析)
解三角形一．正弦定理：A a sin =B b sin =C csin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径.正弦定理的如下变形常在解题中用到1.(1) a=2RsinA(2) b=2RsinB(3) c=2RsinC2.(1) sinA=a/2R(2) sinB=b/2R(3) sinC=c/2R3.a ：b ：c=sinA ：sinB:sinC适用类型（1）AAS（2）SSA二．余弦定理：1. a^2 = b^2 + c^2 - 2·b ·c ·cosA2. b^2 = a^2 + c^2 - 2·a ·c ·cosB3. c^2 = a^2 + b^2 - 2·a ·b ·cosC余弦定理的如下变形常在解题中用到1. cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a ·b)2. cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a ·c)3. cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b ·c ）适用类型1.SSA2.SAS3.SSS三．余弦定理和正弦定理的面积公式S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB（常用类型：已知三角形两边及其夹角）判断解的个数判断三角形的形状有两种途径：（1）将已知的条件统一化成边的关系，用代数求和法求解（2）将已知的条件统一化成角的关系，用三角函数法求解三．解三角形的实际应用测量中相关的名称术语仰角：视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫做仰角。
俯角：视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫俯角方向角：从指定方向线到目标方向的水平角测距离的应用测高的应用(一)已知两角及一边解三角形例1已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.∠B=180°-30°-45°=105°a=10sin45°/sin30°=10√2sin105°=sin(60+45)=√2/2(√3/2+1/2)=(√6+√2)/41/sin105=√6-√2b=10sin45°/sin105°=5√2(√6-√2)=10(√3-1)（二）已知两边和其中一边对角解三角形例2在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，C，若a=2√3，b =√6，A=45°，求边长C由余弦定理，得b²+c²-2bccosA-a²=06+c²-2√3c-12=0c²-2√3c-6=0根据求根公式，得c=√3±3又c>0所以c=3+√3（三）已知两边及夹角，解三角形例3△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，角C和边a.解：由余弦定理得∴a2-9a+18=0，得a=3或6当a=3时，A=30°，∴C=120°当a=6时，由正弦定理∴A=90°∴C=60°。
必修五解三角形重难点题型归纳梳理非常完美
专题02 解三角形【重难点知识点网络】：【正弦定理】 2sin sin sin a b c R A B C===（R 为ABC ∆外接圆的半径）. 【正弦定理的变形】①2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===②2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C ++====++【三角形常用结论 】（1）B A B A B A b a cos cos sin sin <⇔>⇔>⇔>（2）在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. （3)面积公式： ①111222a b c S ah bh ch ===，②111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===. 【三角恒等变换公式】()()()()1.sin sinC,cos =-cos tan =-tan A B A B C A B C +=++，（其中,,A B C 是三角形的三个内角） ()()2.sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+()()3.sin -sin cos -cos sin αβαβαβ=()()4.sinx cosx ,tan b y a b x aϕϕ=+=+=其中 【内角和定理】三角形三角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.A>B a>b sinA>sinB ⇔⇔，60⇔A,B,C 成等差数列B=题型一：正余弦定理选择例1．（1）中，角所对的边分别为．若，则边【解析】，即，解得或（舍去）．（2）．在中，，，则的外接圆面积为【解析】因为在中，，，所以，又，设三角形外接圆半径为，则，因此的外接圆面积为. （3）．（2020·四川省都江堰中学高一期中）在ABC中，已知60,B b==sin sina bA B+=+（）.A．2 B．12C D．3【详解】由题意知60,B b==2sin sin60bB==根据正弦定理，可得2sin sina bA B===，所以2sin sin sina b aA B A+==+.故选：A.【变式训练】．（1）（2020·四川成都市·高一期末（理））在ABC中，若角π4B=，AC=AB=C=（）A．π6B．π3C．π6或5π6D．π3或2π3【详解】由正弦定理可得：sin sinAC ABB C=，则sinsin22AB BCAC===，ABC∆,,A B C,,a b c3,60a b A===︒c= 2222cosa cb cb A=+-213923cos60c c⇒=+-⨯⨯︒2340c c--=4c= 1c=-ABC c=75A=︒45B=︒ABCABC75A=︒45B=︒60C=︒2c=r21sincrC===ABC214S rππ==因为AC AB <，所以B C <， 故3C π=或23π.故选：D ． （2）已知分别为三个内角的对边且，则=____【解析】因为，所以，所以,,.故答案为. （3）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则此三角形的外接圆的面积为______.【解析】在中，由余弦定理可得：解得：；再由正弦定理可得：，解得， 由圆面积公式解得外接圆面积为：.故答案为：. 题型二：边角互换 例2．（1）（2020·全国高二课时练习）在ABC 中，若cos sin c A a C =，则角A 的值为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 【详解】cos sin sin cos sin sin c A a C C A A C =⇒=，0C π<<，sin 0C ∴≠，cos sin A A ∴=，0A π<<，且2A π≠，tan 1A ∴= ，4A π∴=，故选：B （2）（2021·四川成都市·高三月考（文））在ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ∠，C ∠的对边，如果sin sin sin A b c B C b a+=--，那么cos C 的值为（ ） A ．12 B ．2 C ．23 D ．2【详解】∵sin sin sin A b c B C b a +=--，由正弦定理可得a b c b c b a+=--，即：()()()a b a b c b c -=+- ,,a b c ABC ,,A B C 222b c a +=A ∠222b c a +-=222b c a +-=cos A =6A π∴=6πABC ∆A B C a b c 8b =3c =60A =︒ABC ∆222249a b c bccosA =+-=7a =2a R sinA =R =2493S R ππ==493π整理得：222c a b ab =+-，对照余弦定理可得1cos 2C =故选：A ． （3）中，分别是角对边,若,且，则的值为__ 【解析】在中，因为,且，由正弦定理得，因为，则，所以，即，解得， 由余弦定理得，即，解得． 【变式训练】．（1）（2020·四川成都市·树德怀远中学高一期中）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos 2b C c a +=，且3b c ==，则a =（ ）A ．1 BC． D ．4【详解】2cos 2,b C c a += 由正弦定理可得()2sin cos sin 2sin 2sin 2sin cos 2cos sin ,B C C A B C B C B C +==+=+sin 2cos sin ,sin 0,0,.3C B C C B B ππ∴=≠<<∴=由余弦定理可得2222cos ,13,3b a c ac B b c =+-== ，解得 4.a = 故选D（2）（2019·四川成都市·双流中学高二期中（文））在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2cos a C c A b B +=，且cos22sin sin 1B A C +=，则a cb +的值为（） A ．1B C D ．2 【详解】cos cos 2cos a C c A b B +=，由正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=，()sin 2sin cos sin A C B B B ∴+==，sin 0B ≠，1cos 2B ∴=， ABC ∆,,a b c ,,A B C sin cos 0b A B =2b ac =a c b +ABC ∆sin cos0b A B =2b ac =sin sin cos 0B A A B-=(0,)A π∈sin 0A>sin 0B B =tan B =3B π=222222222cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-()224b a c =+2a c b+=0B π<<，3B π∴=，cos22sin sin 1B A C +=，32sin sin 2A C ∴=， 232sin sin 34A A π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭23cos sin 2A A A +=，11sin 2cos 2222A A -=，sin 216A π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，3ABC π∴===， ∴ABC ∆为正三角形，则2a c b +=.故选：D（3）（2020·全国高一课时练习）在ABC ∆2sin b A =，则B 等于（ ）A ．30B ．60C ．30或150D ．60或120【详解】32sin a b A =2sin sin A A B =，0180A <<，sin 0A ∴>，可得sin B =，0180B <<，60B ∴=或120.故选：D. 题型三：三角形面积例3．（1）（2019·四川成都市·双流中学高三月考（文））在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且2,60,b B ABC ==︒∆a c +=( )A B ．4 C ．2 D ．4+【详解】因为ABC ∆中，2,60b B ==︒，所以ABC ∆的面积为11sin 222S ac B ac ==⋅=，则4ac =又2222cos b a c ac B =+-，即()()22224312a c ac a c ac a c =+-=+-=+-即()216a c +=，解得4a c +=，故选：B（2）（2020·四川宜宾市·高三二模（文））在ABC 中，角A 的平分线交边BC 于D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD △的面积是（ ）A B ． C ．1 D ．3【详解】()sin sin sin ADC ADB ADB π∠=-∠=∠，在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB BAD ADB=∠∠，同理可得sin sin CD AC CAD ADC =∠∠， 因为ABC 中，角A 的平分线交边BC 于D ，上述两个等式相除得BD AB CD AC =， 4AB =，8AC =，2BD =，8244AC BD CD AB ⋅⨯∴===，6BC ∴=.2222224681cos 22464AB BC AC B AB BC +-+-∴===-⋅⨯⨯，sin 4B ==. 1sin 2ABDS AB BD B ∴=⋅⋅=A ． （3）（2020·四川省成都市第十七中学高一期中）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，它的面积为2224a b c --，则角A 等于（ ） A ．30 B ．45︒ C ．60︒ D ．135︒ 【详解】因为2224a b c --12bcsinA =，且2222a b c bccosA =+-， 故可得sinA cosA =-，即1tanA =-，又因为()0,A π∈，故可得34A π=.故选：D. 【变式训练】．（1）（2021·全国高三专题练习（理））已知ABC 中，内角,,ABC 的对边分别为,,a b c ，若2,23A b π==，且ABC a 的值为（ ）A ．B ．8C ．2D ．12【详解】11sin 2222ABC S bc A c ==⨯⨯=，解得2c =，由余弦定理：22212cos 44222122a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，a ∴=故选：A.（2）中，，，，，则__________． 【解析】由题意，在中，， 所以的面积为，解得， 由余弦定理得，又由，所以. （3）在中，、、分别是角、、的对边，若，，则的面积为【解析】由余弦定理可得， 即，解得，因此，题型四：三角形形状判断例4．（1）（2020·成都市实验外国语学校（西区）高一期中）ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos sin sin B A C =，则ABC 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【详解】因为2cos sin sin B A C =，所以22222a c b a c ac+-⋅⋅=， 所以22a b =，所以a b =，所以三角形是等腰三角形，故选：B.（2）（2020·四川省泸县第四中学高一期中）在ABC 中，cos cos a b A B c ++=，则ABC 是（ ）A ．等腰直角三角形B ．等腰或直角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形ABC ∆AB =1AC =30B =ABC ∆C =ABC ∆01,30AB AC B ===ABC ∆111sin 222S AB BC B BC =⋅⋅=⨯=2BC =2221431cos 22142AC BC AB C AC BC +-+-===⋅⨯⨯0(0,180)C ∈60C =︒ABC ∆a b c A B C 2b c =a =3A π=ABC ∆2222212cos 4222a b c bc A c c c c =+-=+-⨯⨯⨯236c =c =2b c ==11sin 22ABC S bc A ∆==⨯=【详解】因为cos cos a b A B c ++=，sin sin sin a b A B c C++= 所以sin sin cos cos sin A B A B C++=，所以sin cos sin cos sin sin C A C B A B +=+ 因为A B C π++=，所以()()sin sin sin sin A B B C A C +=+++即()()sin cos sin cos sin sin C A C B B C A C +=+++所以sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin C A C B B C B C A C A C +=+++所以sin cos sin cos 0B C A C +=，因为sin sin 0B A +≠，所以cos 0C =因为()0,C π∈，所以2C π=，即ABC 是直角三角形，故选：D（3）（2020·四川成都市·成都外国语学校高一期中（文））△ABC 中，如果tan a A ＝tan b B ＝tan c C ，那么△ABC 是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形 【详解】因为tan a A ＝tan b B ＝tan c C ，所以由正弦定理可得sin sin sin tan tan tan A B C A B C ==， 所以cos cos cos A B C ==，又函数cos y x =在(0,)π上为递减函数，且(0,),(0,),(0,)A B C πππ∈∈∈，所以A B C ==，所以△ABC 为等边三角形，故选：B【变式训练】．（1）（2020·四川成都市·双流中学高一开学考试）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos b c A =，则ABC 的形状为（ ）．A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形【详解】因为cos b c A =且222cos 2b c a A bc+-=，所以222222cos 22b c a b c a b c A c bc b +-+-==⨯=， 即有222c a b =+，所以可判断ABC 为直角三角形，故选：B（2）（2020·绵阳市·四川省绵阳江油中学高一月考）在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC 的形状一定是（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形 【详解】已知：cos cos a A b B =，利用正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===， 解得：sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，所以：22A B =或21802A B =︒-， 解得：A B =或90A B +=︒，所以：ABC 的形状一定是等腰或直角三角形，故选：D ．（3）（2020·四川省宜宾市第四中学校高一期中）已知ABC 中，()()sin sin sin 2B A B A A ++-=，则ABC 的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．无法确定.【详解】因为()()sin sin sin 2B A B A A ++-=，由两角和差的正弦公式可得2sin cos sin 2B A A =，所以sin cos sin cos B A A A =，若cos =0A ，即2=A π时，此时ABC 是直角三角形；若cos 0A ≠，即sin sin B A =，所以A B =，所以ABC 是等腰三角形；综上，ABC 是等腰三角形或直角三角形；故选：C.题型五：三角形个数例5．（1）（2020·四川成都市·成都外国语学校高一期末（理））满足60ABC ∠=︒，12AC =，BC k =的ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（ ）A．k = B ．012k <≤ C ．12k ≥ D ．012k <≤或k =【详解】由题意得，sin6012k ︒=或012k <≤时，满足的三角形恰有一个，解得12sin 60k ===︒012k <≤，故选：D （2）（2020·遂宁市·高一期末）已知ABC中，4a b B π===，那么满足条件的ABC（ ）A ．有一个解B ．有两个解C ．不能确定D ．无解【详解】由题可知：4a b B π===，sin 2==a B <=<b a 所以可知ABC 有两个解，故选：B（3）．8．（2020·四川成都市·成都外国语学校高一期末（理））满足60ABC ∠=︒，12AC =，BC k =的ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（ ）A ．k =B ．012k <≤C ．12k ≥D ．012k <≤或k =【详解】如图，由题意得，sin6012k ︒=或012k <≤时，满足的三角形恰故选：D【变式训练】．（1）（2020·四川成都市·高一期中（理））在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b，c ，已知60A =︒，b =a 满足的条件是（ ）A ．0a <<B ．0<<3aC ．3a <<D ．a ≥3a =【详解】C 到AB 的距离d=bsinA=3，∴当3＜a ＜2时，符合条件的三角形有两个，故选C ．（2）（2019·四川成都市·成都外国语学校高一期中（文））在ABC ∆中，已知,45,1,2 ===B c b 则此三角形有几个解 ( )A ．0B ．1C ．2D ．不确定【解析】因为sin 12c B b ⋅=<<=，所以三角形只有一个解，故选B. （3）（2020·重庆市黔江新华中学校高一期中）已知满足30C =，4AB =，AC b =的ABC ∆恰有一个，那么b 的取值范围是_________. 【详解】根据正弦定理，sin sin 8b C bB c ==，若三角形有一解，即B 仅有一个解，所以0sin sin B C <≤ 或sin 1B =，即0b c <≤或18b=，解得(]{}0,48b ∈⋃.因此，b 的取值范围是(]{}0,48⋃.题型六：取值范围例6．（1）（2020·全国高三专题练习）在锐角．．ABC 中， 2,2a B A ==，则b 的取值范围是（ ）A ．(2, B ．C ．4) D ．【详解】由题得3C B A A ππ=--=-，因为三角形是锐角三角形，所以0202,,cos 26422032A B A A A C A ππππππ⎧<<⎪⎪⎪<=<∴<<<<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩. 由正弦定理得22,,4cos sin sin sin 22sin cos sin b b b b A B A A A A A=∴==∴=.所以b ∈.选：B. （2）．（2020·四川省绵阳南山中学高二开学考试）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，2B A =，则b 的取值范围为（ ）A ．(0,4)B．(2,C．D．4)【详解】在锐角三角形中， 022A π<<，即04A π<<，且3B A A +=，则32A ππ<<，即63A ππ<<，综上64A ππ<<，则cos 22A <<，因为2a =，2B A =， 所以由正弦定理得sin sin 2sin cos a b b A B A A ==，得4cos b A =，因为cos 22A <<，所以4cos A <<b <<b的取值范围为.故选：C.【变式训练】．（1）在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a 2ab +b 2＝1，c ＝1，a ﹣b 的取值范围为_____．【解析】因为，，所以.. 因为，所以.又因为，所以，，.因为，所以.，所以（3）在中，，，则角的取值范围是（ ）A ．B．C ．D ．【解析】，∴，∴，因，必为锐角，故题型七：射影定理221a b +=1c =222a b c +-=222cos 2a b c C ab +-===02C <<π6C π=12sin sin sin 6a b A B π===2sin a A =2sin bB =56B A π=-2sin b A B -=-52sin()6A A π=--552(sin cos cos sin )66A A A ππ=--cos 2sin()6A A A π=-=-025062A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩32A ππ<<663A πππ<-<1sin()262A π<-<b -∈ABC ∆1AB =2BC =C 0,6π⎛⎤⎥⎝⎦,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭sin sin AB BC C A =1sin sin 2C A =10sin 2C <≤AB BC <C 0,6C π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦例7.（2020·四川省广元市八二一中学高一期中）在ABC ∆中，角A B C ，，所对应的边分别为a b c ，，．已知cos cos 2b C c B b +=，则ba=______ ． 【详解】将cos cos 2b C c B b +=，利用正弦定理可得：sin cos sin cos 2sin B C C B B +=， 即()sin 2sin B C B +=，∵()sin sin B C A +=，∴sin 2sin A B =，可得：2a b =，则12b a =，故答案为12． 【变式训练】．（2020·四川眉山市·仁寿一中高二开学考试）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边长分别为a ，b ，c，且cos 3C =，cos cos 2b A a B +=，则ABC ∆的外接圆面积为__________． 【详解】由正弦定理知：cos cos 2sin cos 2sin cos 2b A a B R B A R A B +=⋅⋅+⋅=，即()1sin sin A B C R +==，cos 3C =，1sin 3C =，即3R =.故29S R ππ==.故答案为9π 题型八：解析几何中运用例8．（1）如图,在,已知点在边上,,,,则的长为【解析】由题意， ∴，．（2）的两边长分别为1，第三边上的中线长为1，则其外接圆的直径为【解析】，设，在中，，即，①ABC ∆D BC AD AC ⊥sin 3BAC ∠=AB =3AD =BD sin()cos 23BAD BAD π∠+==∠2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠2232333=+-⨯⨯=BD =ABC ∆1,1AB AC AD ===BD CD x ==ABD ∆2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠2112cos x x ADB =+-∠在中，同理可得，②，①+②得，为等边三角形，，的外接圆直径为 .（3）（2020·全国高三专题练习）在ABC ∆中，5AB =，BAC ∠的平分线交边BC 于D .若45ADC ∠=.BD sin C =___________.【详解】ABD ∆中，由正弦定理可得，5sin sin135BAD =∠，所以sin 10BAD ∠=AD 为BAC ∠的平分线即sin sin BAD CAD ∠=∠=，()10sin sin45C DAC ∴=∠+∠==.【变式训练】．（1）如图，，，，为平面四边形的四个内角，若，，，，，则四边形面积是______．【解析】连接BD ，在中，， 在中，，所以=ACD ∆2312cos x x ADC =+-∠,cos cos 0ADB ADC ADB ADC π∠+∠=∠+∠=2422,1,x x ABD =+=∆3Bπ=ABC ∆2sin BCB==A B C D ABCD 180A C +=︒6AB =4BC =5CD =5AD =ABCD ABD ∆2222cos 6060cos BD AB AD AB AD A A =+-⋅=-BCD ∆2222cos 4141cos BD BC CD BC CD C C =+-⋅=-6060cos A -，因为，所以，所以，则， 所以四边形面积（2）四边形中，，，，，，则的长为______【解析】连接AC ,设,则，故在中，，， 又在中由余弦定理有,解得即.（3）在中，已知，是边上一点，如图，，则__________．【解析】，根据余弦定理，，，，根据正弦定理，则4141cos C -180A C +=︒cos cos A C =-1cos 5A =sin 5A =ABCD 11sin sin 22ABD BCD S S S AB AD A BC CD C ∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯1165452525=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=ABCD 4AB =5BC =3CD =90ABC ∠=︒120BCD ∠=︒AD ACB θ∠=120ACD θ∠=-Rt ABC ∆sin θθ==()11cos 120cos sin 2222θθθ-=-+=-+=ACD ∆()2223cos 120AD θ+--==265AD =-AD =ABC ∆45B =︒D BC 75,1,BAD DC AC ∠=︒==AB =0120ADC ∠=22202cos120AC AD DC AD DC =+-⋅⋅260AD AD +-=2AD =060ADC ∠=00sin 60sin 45AB AD=. 考点八：综合运用例8．（1）在中，，向量 在上的投影的数量为，则 【解析】∵向量 在上的投影的数量为，∴．①∵，∴，∴．② 由①②得，∵为的内角，∴，∴． 在中，由余弦定理得，∴（2）（2020·四川省成都市盐道街中学高一期中）已知A 、B 、C 为ABC 的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若cos (2)cos 0a C c b A ++=．（1）求A ．（2）若a =4b c +=，求ABC 的面积．【详解】（1）cos (2)cos 0a C c b A ++=，由正弦定理可得：sin cos (sin 2sin )cos 0A C C B A ++=，sin cos sin cos 2sin cos 0A C C A B A ++=，sin()2sin cos 0A C B A ++=，sin 2sin cos 0B B A +=，sin 0B ≠，1cos 2A ∴=-，(0,)A π∈，23A π∴=． （2）由a =4b c +=，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，2212()22cos3b c bc bc π∴=+--，即有1216bc =-，4bc ∴=， 故ABC 的面积为112sin 4sin 223S bc A π==⨯⨯= 02sin 60sin 45AD AB ===ABC ∆3AC =AB AC 2,3ABC S ∆-=BC =AB AC 2-||cos 2AB A =-3ABC S ∆=13||||sin ||sin 322AB AC A AB A ==||sin 2AB A =tan 1A =-A ABC ∆34A π=2||3sin 4AB π==ABC ∆2222232cos323(294BC AB AC AB AC π=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯=BC =（3）（2020·四川成都市·树德中学高一月考）已知向量(sin ,1)m x =，1(3cos ,)2n x =，函数()()f x m n m =+⋅.（1）求函数()f x 单调递增区间；（2）已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，a =3c =，且5()2f A =，求角C. 【详解】（1）231cos23()()sin cos 222x f x m n m x x x -=+⋅=+⋅+=++cos 22sin(2)226x x π=-+=-+ 由222()26263k x k k x k k Z πππππππππ-≤-≤+⇒-≤≤+∈，所以单调递增区间是[,]()63k k k Z ππππ-+∈（2）由（1）知，51()sin(2)2sin(2)6262f A A A ππ=-+=⇒-=， a c <，(0,)2A π∴∈52(,)666A πππ∴-∈-，266A ππ∴-=，6A π∴=，于是，由正弦定理，3sin sin sin sin 2a c C A C C =⇒=⇒=，3sin 2c A a c ⨯=<<，∴两个解均成立，3C π∴=或23π 【变式训练】．（1）（2020·四川成都市·（理））在ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足tan 2sin a C c A =． （1）求C∠的大小；（2）若2c a b ==，求ABC 的面积．【详解】（1）由tan 2sin a C c A =得sin 2sin cos a CA c C⋅=， 由正弦定理得sin sin 2sin sin cos A CA C C⋅=，又(0,),sin 0A A π∈≠, ∴1cos 2C =,∵0C π<<, ∴3C π=（2）∵2222cos c a b ab C =+-，且2a b =．∴2222142232b b b b b =+-⋅⋅⋅=，∴2b =，∴4a =，∴1sin 2ABCSab C ==（2）（2020·沙坪坝区·重庆南开中学高三月考（理））已知函数()()()cos sin f x x x x x =∈R .（1）求()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若22B f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，6b =，求ABC 的面积的取值范围.【详解】（1）()211cos2cos sin sin 222xf x x x x x +==1sin 22sin 223x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴()f x 的周期T π=， 由222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 所以()f x 的单调递增区间是5,1212k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭，k Z ∈.（2）∵sin 2322B f B π⎛⎫⎛⎫=--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin 03B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又(0,)B π∈，∴3B π=，由正弦定理有6sin sin sin sin 3a cb A C B π====∴11sin sin sin 22ABC S ac B A C B A C ==⋅⋅=△221sin (sin )18sin cos 322A A A A A A A Aπ⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭1cos29sin 2226A A A π-⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭∵203A π<<，∴72666A πππ-<-<，∴(ABC S ∈△ （3）（2020·四川成都市·高一期末（理））在ABC 中，三角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且cos 5A =，sin B C =． （1）求tan C 的值；（2）若a =ABC 的面积．【详解】在ABC 中，A B C π++=，0A π<<，sin 0A >，因为cos A =，得sin 5A ===①．（1()()sin sin sin sin cos cos sin C B A C A C A C A C π==-+=+=+⎡⎤⎣⎦，C C C =+．所以sin 3cos C C =②． 如果cos 0C =，则sin 0C =与22sin cos 1C C +=③矛盾，所以cos 0C ≠．所以sin tan 3cos CC C==． （2）因为0C π<<，由tan 30C =>，得02C <<π，则sin 0C >，cos 0C >．将（1）中②代入（1）中③解得：sin10C=，cos10C=．于是sin102B C===．将a=1）①代入正弦定理sin sina cA C==3c=．所以ABC的面积11sin33222S ac B==⨯⨯=．课后训练1.（2020·宜宾市叙州区第二中学校高二开学考试（理））在ABC∆中，若sin cosA Ba b=，则角B为（）A．6πB．4πC．3πD．2π【解析】因为sin cosA Ba b=,所以cos sin,tan1,4B BB Bb bπ=∴=∴=.2.（2020·四川成都市·成都七中高三开学考试（理））设ABC∆的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且22cosb cBa+=，则A∠的大小为（）A．30B．60︒C．120︒D．150︒【详解】根据题意,由正弦定理可得：sin2sin2cossinB CBA+=，即sin2sin2cos sinB C B A+=，因为()C A Bπ=-+,∴sin2sin()sin2sin cos2cos sin2cos sinB A B B A B A B B A++=++=，sin2cos sin0B A B∴+=，sin0B ≠，12cos0A∴+=，解得1cos2A=-，(0,180)A∈︒︒，120A∴=︒.故选：C3.（2020·四川省成都市盐道街中学高一期中）在ABC中，60B=︒，1a=，ABCABC 外接圆面积为（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．3π【详解】在ABC 中，11sin 1sin 60222S ac B c ==⨯⨯⨯︒=，则2c =， 根据余弦定理：2222cos b a c ac B =+-2212212cos603=+-⨯⨯⨯︒=，则b =2sin sin 60b R B ==︒，则1R =， ∴外接圆面积221S R πππ==⨯=．故选：C4.（2020·四川眉山市·高一期末）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2cos a B b Ac C ，2CB =CB 在CA 方向上的投影为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【详解】因为cos cos 2cos a B b A c C ，所以sin cos sin cos sin cos A B B A C C += ，即()sin cos A B C C +=， 即sin sin cos C C C =， 因为()0,C π∈，所以sin 0C ≠，所以cos C =，所以CB 在CA 方向上的投影为：cos 451BC C ⋅=︒=． 故选：A ． 5.（2020·四川成都市·双流中学高三月考（理））ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(2)cos cos a b C c B -=，则内角C =（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【详解】∵(2)cos cos a b C c B -=，由正弦定理可得(2sin sin )cos sin cos A B C C B -=，∴2sin cos sin cos sin cos sin()sin A C B C C B B C A =+=+=，三角形中sin 0A ≠，∴1cos 2C =，∴3C π=．故选：C ． 6.（2019·四川成都市·树德中学高二开学考试）如果满足条件：3ABC π∠=，12AC =，BC k =的ABC ∆恰有两个，那么实数k 的取值范围是（ ）A ．012k <≤B ．12k ≥C ．12k <<D ．012k <≤或k = 【详解】要使满足条件的ABC ∆恰有两个，只需满足sin 12k ABC k ∠<<，即12k k <<，所以12k <<C 7.（2020·四川绵阳市·三台中学实验学校高一开学考试）在ABC 中，内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，若cos cos B Ab a=，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形【详解】因为cos cos B A b a=，由正弦定理得cos cos sin sin B AB A =， 所以sin cos cos sin A B A B =，即sin cos cos sin 0A B A B -=，所以in 0()s A B -=，又,(0,)A B π∈，所以0A B -=，即A B =，所以ABC 为等腰三角形，故选：A8.（2020·四川省成都市第十七中学高一期中）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2a =，2A B =，则cos B =( )A ．3B C D ．6【解析】∵在ABC 中a =，∴由正弦定理可得sin A B =①，又∵2A B =，∴sin sin22sin cos A B B B ==②，由①②可得2sin cos B B B =，可得cos B =，故选B.9.（2020·四川成都市·高一期末）我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为ABCS =△7a =，8b =，9c =，则ABC 的内切圆半径为（ ）A BCD【详解】由已知条件可知：ABCS =△7a =，8b =，9c =，所以ABCS ==△()12ABC S a b c r =++⨯△，则()17892r ++⨯=r =故选：D. 10.（2020·四川成都市·棠湖中学高一月考）如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km ，速度为1000km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30︒，经过1 min 后又看到山顶的俯角为75︒，则山顶的海拔高度为（精确到0.1 km 1.732≈）A ．11.4 kmB ．6.6 kmC ．6.5 kmD ．5.6 km【详解】在ABC ∆中，15030,753045.1000603o o o oBAC ACB AB ∠=∠=-==⨯=根据正弦定理，503sin 45sin 30o o BC BC =∴=,sin 75sin(4530)11.5oo o BC ∴=+≈ 所以：山顶的海拔高度为18-11.5=6.5 km .故选：C11.（2020·四川成都市·成都外国语学校高一期末（理））如图，在ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB AD =，2AB =，2BC DB =，则sin C 的值为（ ）AB．6CD．6【详解】设AB x =，则,,AD x BD x BC x ===， 在ABD △中，由余弦定理可得，2222224213cos 223x x AB AD BD A AB AD x -+-===⋅， 所以sin =A ，在ABD △中，由正弦定理得，sin sin AB BD ADB A=∠，则sin sin 233AB x ADB A x BD ∠==⨯=，所以sin BDC ∠=在BDC 中，由正弦定理得sin sin BD BC C BDC =∠，则sin sin x BD BDC C BC ⋅∠===D11.（2020·广西南宁市·南宁三中高三其他模拟（理））已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1cos 3A =，23b c =，且ABC ∆，a =___________.【详解】1cos 3A =，sin 3A ∴==，23b c =，且ABC ∆1sin 2ABC S bc A ∆∴=，12233c c =⨯⨯，2c ∴=，b =由余弦定理得2229192cos 222322a b c bc A =+-=+-=，2a ∴=.故答案为2． 12.（2019·四川省成都市第八中学校高二期中（理））已知ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1c =，π3C =，若()sin sin C A B +-=sin 2B ，则ABC 的面积为______． 【详解】∵在ABC 中，()sin sin sin 2C A B B +-=，则()()sin sin 2sin cos B A A B A B ++-=，∴2sin cos 2sin cos A B B B =，故有sin sin A B =或cos 0B =．①sin sin A B =，则有a b =，又1c =，π3C =． 在ABC 中，由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，代入整理可得，21a =即1a b ==，此时，1sin 24ABC S ab C ==△．②cos 0B =即π2B =，ABC 为直角三角形，又1c =，π3C =，∴3a =，3b =，此时11236ABC S =⨯⨯=△．故答案为：413．（2020·四川成都市·高一期中（理））已知函数()2cos(2)2cos 213f x x x π=+-+，若ABC 为锐角三角形且()0f A =，则b c的取值范围为_____.【详解】()2cos 2cos2sin 2sin2cos 2133f x x x x ππ=⋅-⋅-+2cos 212sin 216x x x π⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭()2sin 2106f A A π⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭，即1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，02A π<<，72666A πππ∴<+<则5266A ππ+=，3A π=，1sin sin sin 1322sin sin sin 2tan 2C C C b B c C C C C π⎛⎫++ ⎪⎝⎭====+ 62C ππ<<，tan C ⎫∴∈+∞⎪⎪⎝⎭，则302<<，11,222⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 即bc 的取值范围为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为：1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭14.（2020·成都市·四川电子科大实验中学高一期中）如图，海上某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75︒，距离为A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30，距离为A 处行驶到D 处时，若灯塔B 在方位角120︒的方向上，则灯塔C 与D 处之间的距离为_______海里.【详解】在ABD∆中,75,60,45AB DAB ADB ABD =∠=∠=∠=由正弦定理可得sin sin AB AD ADB ABD =∠∠,代入可得sin 60sin 45AD=解得sin 4524sin 60AD ==在ACD ∆中AC =,由余弦定理可得2222cos CD AC AD AC AD CAD =+-⋅∠代入可得21925762242CD =+-⨯⨯2192CD = 所以CD=:15.（2020·四川省泸县第一中学高一月考）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2cos cos cos a C b C c B =+.（1）求角C ；（2）若8b =，4c a =+，求ABC 的面积. 【详解】（1）在ABC 中，根据正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 由2cos cos cos a C b C c B =+，可得2sin cos sin cos sin cos A C B C C B =+， 所以()2sin cos sin sin A C B C A =+=，因为A 为ABC 内角，所以sin 0A >，所以1cos 2C =因为C 为ABC 内角，所以3C π=， （2）在ABC 中，8b =，4c a =+，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-()2224828cos3a a a π+=+-⨯⨯,解得3a =，所以11sin 38sin 223ABCSab C π==⨯⨯⨯=. 16.（2020·四川成都市·高一期末）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且角C 是锐角，若ABC的外接圆半径为R ，c =.（1）求角C ；（2）若4ABC S =△，求ABC 的周长.【详解】（1）由题知：2sin c R C =，所以sin =C解得1sin 2C =，又角C 是锐角，所以6C π=.（2）因为1sin 26△π==ABC S ab ，所以ab =.又因为2222cos 6c a b ab π=+-，所以()22232=+=+-a b a b ab ，即()(22123+=+=a b ，3+=+a b所以ABC 的周长为3a b c ++=+17.在中，，，分别为角，，所对边，若. （1）求角的大小.（2）若，求周长的取值范围.【解析】（1）由正弦定理知：，即由余弦定理知：，因此（2）由正弦定理知：，则，故，则，故，因此18.（2020·宜宾市叙州区第一中学校高一月考）在ABC∆中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知满足(2)cos cosa c Bb C-=.（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若2b=，求ABC∆的面积的取值范围．【详解】（Ⅰ）()2cos cosa c Bb C-=，由正弦定理得：()2sin sin cos sin cosA CB B C-=()2sin cos sin cos sincos sin sinA B C B B C B C A∴=+=+=()0,Aπ∈，sin0A∴≠，1cos2B∴=，()0,Bπ∈，3Bπ∴=（Ⅱ）由正弦定理得：sinsinb AaB=，a A∴==，同理：c C=ABC∆a b c A B C(sin sin)sin sina A B c Cb B+=-C c=ABC∆22()a abc b+=-222a b c ab+-=-2221cos22a b cCab+-==-23Cπ=4sin sin sina b cA B C====4sina A=4sinb B=4sin4sinABCC a b c A B∆=++=++24sin4sin()4sin4sin3A A C A Aπ⎛⎫=+++=+++⎪⎝⎭2sin4sin3A A Aπ⎛⎫=++=++⎪⎝⎭0,3Aπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2,333Aπππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭sin3Aπ⎫⎛⎫+∈⎪⎪⎝⎭⎝⎭ABCC∆∈+1sin 1s in sin 233in 223ABC A C A ac C S B ∆=⨯⨯=∴=⨯21sin sin sin 32C C C C C π⎫⎛⎫=-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1112cos 2sin 24462C C C π⎫⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭203C π<<，72666C πππ∴-<-<，1sin 2126C π⎛⎫∴-<-≤ ⎪⎝⎭10sin 2362C π⎫⎛⎫∴<-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ABC ∆∴的面积的取值范围为：(19．（2020·四川成都市·棠湖中学高一月考）如图，在平面四边形ABCD 中，已知A ＝2π，B ＝23π，AB ＝6.在AB 边上取点E ，使得BE ＝1，连接EC ，ED .若∠CED ＝23π，EC .(1)求sin ∠BCE 的值；(2)求CD 的长.【详解】(1)在△BEC 中，由正弦定理，知sin BE BCE ∠＝sin CE B，因为B ＝23π，BE ＝1，CE ，所以sin ∠BCE ＝sin BE B CE ⋅＝14.(2)因为∠CED ＝B ＝23π，所以∠DEA ＝∠BCE ，所以cos ∠DEA ＝14.因为2A π=，所以△AED 为直角三角形，又AE ＝5，所以ED ＝cos AEDEA∠.在△CED 中，CD 2＝CE 2＋DE 2－2CE ·DE ·cos ∠CED ＝7＋28－2××12⎛⎫-⎪⎝⎭＝49.所以CD ＝7.20.（2020·四川成都市·高一期末（文））如图，在ABC ∆中，30B ∠=，AC =D 是边AB 上一点．（1）求ABC ∆的面积的最大值；（2）若2,CD ACD =∆的面积为4，ACD ∠为锐角，求BC 的长．【详解】（1）因为在ABC ∆中，30,B AC D ∠==是边AB 上一点， 所以由余弦定理得：(22222202cos 2AC AB BC AB BC ABC AB BC BC AB BC ==+-⋅∠=+-⋅≥⋅所以(202AB BC ⋅≤=+，所以(1sinB 522ABCS AB BC =⋅≤+所以ABC ∆的面积的最大值为5(2+ （2）设ACD θ∠=，在ACD ∆中，因为2,CD ACD =∆的面积为4，ACD ∠为锐角，所以11sin 2sin 422ABC S AC CD θθ=⋅=⨯=，所以255sin ,cos θθ，由余弦定理，得，2222cos 204816AD AC CD AC CD θ=+-⋅=+-=所以4=AD ，由正弦定理，得sin sin AD CD A θ=，所以42sin sin A θ=，所以sin A =， 此时sin sin BC AC A B=，所以sin 4sin AC A BC B ==．所以BC 的长为4 21.（2020·四川成都市·双流中学高一开学考试）如图，在平面四边形ABCD 中，23D π∠=，CD =ACD ∆的面积为2．⑴求AC 的长；⑵若AB AD ⊥，4B π∠=，求BC 的长．【详解】⑴∵23D π∠=，CD =ACD ∆∴11sin 22ACD S AD CD D AD ∆=⋅⋅=⨯=,∴AD =∴由余弦定理得22212cos 6626()182AC AD CD AD CD D =+-⋅⋅=+-⨯⨯-=，∴AC =⑵由（1）知ACD ∆中AD =CD =23D π∠=∴6DAC ,∵AB AD ⊥,∴3BAC π∠=,又∵4B π∠= ，AC =∴在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin BC AC BAC B =∠,2=,∴BC =。
必修五解三角形章节总结范文与题型
必修五解三角形章节总结范文与题型章末整合提升知识梳理abc1.正弦定理：inA=inB=inC=2R，其中R是三角形外接圆半径.b2c2a22222222bc.2.余弦定理：a=b+c-2bccoA,b=a+c-2accoB,coA=111abcS(Sa)(Sb)(Sc)23.S△ABC=2abinC=2bcinA=2acinB,S△==Sr(S=,r为abc内切圆半径)=4R(R为外接圆半径).4.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcoC+ccoB,b=acoC+ccoA,c=acoB+bcoA.6.三角形内角的诱导公式CCABAB(1)in(A+B)=inC,co(A+B)=-coC,tanC=-tan(A+B),co2=in2,in2=co2在△ABC中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC;(2)A、B、C成等差数列的充要条件是B=60°；(3)△ABC是正三角形的充要条件是A、B、C成等差数列且a、b、c成等比数列.7.解三角形常见的四种类型abc(1)已知两角A、B与一边a,由A+B+C=180°及inA=inB=inC，可求出角C，再求b、c.(2)已知两边b、c与其夹角A，由a=b+c-2bccoA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C.(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C. 222ab(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理inA=inB，求出另一边b的对角B，acab由C=π-(A+B)，求出c，再由inA=inC求出C，而通过inA=inB求B时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：9.三角形的分类或形状判断的思路，主要从边或角两方面入手.专题一：正、余弦定理的应用1．正弦定理主要有两个方面的应用：(1)已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的第三个角，由正弦定理可以计算出三角形的另两边；(2)已知三角形的任意两边和其中一边的对角，应用正弦定理，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角．2．余弦定理有两方面的应用：(1)已知三角形的两边和它们的夹角可以由余弦定理求出第三边，进而求出其他两角；(2)已知三角形的三边，利用余弦定理求出一个角，进而求出其他两角．例1．在ABC中，已知a，c，B60，求b及A；222bac2accoB解析：（1）∵=222COS4502121)=8=∴b求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：b2c2a22221,解法一：∵coA∴A600.a0AinBin45,解法二：∵in2.41.43.8,∴a＜＜21.83.6,c，即00＜A＜900,A60.∴针对练习：1．（2022上海文数）18.若△ABC的三个内角满足inA:inB:inC5:11:13，则△ABC（A）一定是锐角三角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.解析：由inA:inB:inC5:11:13及正弦定理得a:b:c=5:11:13521121320，所以角C为钝角由余弦定理得coc25112．（2022湖南文数）7.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=a，则A.a＞bB.a＜bC.a＝bD.a与b的大小关系不能确定【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题例2．.（2022北京理）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,B3，4coA,b（Ⅰ）求inC的值；（Ⅱ）求ABC的面积.5【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力．解（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且B∴C3,coA4，523A,inA，35∴inCin12.AAinA323,inC5（Ⅱ）由（Ⅰ）知inA又∵B,bABC中，由正弦定理，得3binA6.∴ainB5∴△ABC的面积S针对练习：3．设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acoB＝3，binA＝4.(1)求边长a；(2)若△ABC的面积S＝10，求△ABC的周长l.解：(1)将acoB＝3与binA＝4两式相除，得116336abinC.22510503acoBacoBbcoB1＝＝·＝·＝.4binAinAbinBbtanB又由acoB＝3知coB>0，34∴coB＝，inB＝，即a＝5.551(2)由S＝acinB，得c＝5.2a2＋c2－b2由coB＝，解得b＝25.2ac∴l＝a＋b＋c＝10＋25.理解并掌握正弦定理与三角形面积计算公式的结合．要掌握面积与角或边的转换方法．4．（2022天津理数）（7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若a2b2，inCB，则A=（A）30（B）60（C）120（D）15000【答案】A【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。
必修五解三角形整理+例题+练习+答案
第一章 解三角形一、知识点总结 1．正弦定理:()2,sin sin sin a b cC R R A B ===为三角形外接圆的半径变形：例（1）(2012·广东高考)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( )A ．4 3B ．2 3 C. 3 D.322.余弦定理：例（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值_（3）2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________．3.面积公式例（4）△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 4.射影定理（了解）：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA5.三角形中的常用结论：2sin ,2sin ,2sin sin =,sin ,sin 222::sin :sin :sin ++=2sin sin sin sin +sin +sin sin sin sin A B C a b a R A b R B c R C a b cA B C R R R a b c A B Ca b c a b cR A B A B C C C A B c >===⎫⎪⎬==>⇔>>⇔>>⎪⎭====边角互化（大角对大边：）①②③④2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩222222222cos 2cos 2cos 2⎧+-=⎪⎪+-⎪⇒=⎨⎪⎪+-=⎪⎩b c a A bc a c b B ac b a c C ab 111222∆===ABC a b c S ah bh ch 111sin sin sin =2224ABC abc S ab C bc A ac B R ∆===或(1),(+>-<a b c a b c 即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）二、常见题型 1、解三角形利用正弦定理：①已知两角和任意一边(AAS 、ASA )，求其他的两边及一角（只有一解） ②已知两边和其中一边的对角(SSA )，求其他边角（无解，一解，两解） 利用余弦定理：①已知三边(SSS )求三角（只有一解）②已知两边及夹角(SAS )，求第三边和其他两角（只有一解）③已知两边和其中一边的对角(SSA )，求其他边角（无解，一解，两解） 已知“SSA ”利用正弦定理与余弦定理求解的区别：(2)sin sin cos cos ∆>⇔>⇔>⇔<ABC A B a b A B A B在中，(3)222sin()sin ,cos()cos tan()tan ,sin cos ,cos sin ,2222A B CA B C A B C A B C A B C A B C A B A B C C πππ+++=⇒⇒=-+=+=-+=-+=-++==三角形中的诱导公式：，A.32或 3B.32或34C.3或34D. 32、判断三角形形状或求值方法一：确定最大角（只要知道三边的关系，就可以利用余弦定理的推论求出角） 方法二：边化角（统一化成角）方法三：角化边（统一化成边）❖常见的形式：例（6）ABC ∆中，若C B A B A 22222sin sin cos cos sin =-，判断ABC ∆的形状例 (7) 在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ＝43，试判断三角形的形状．3、构成三角形三边的问题2222222sin ,2sin ,2sin ,2cos sin sin sin 2sin sin cos a R A b R B c R C a b c bc A A B C B C A====+-⇒=+-⋅①常用公式：222222222sin ,sin ,sin ,222cos ,cos ,cos ,222a b cA B C R R R b c a a c b a b c A B C bc ac ab ===+-+-+-===①常用公式：sin =sin ()(sin sin +22)sin 2=sin 2()()2A B A B k k A B A B A B αβαβπαπβππ⇒=⎫⎪=⇔==-+⎬⇒=+=⎪⎭②常见结论：等腰三角形原理：或等腰三角形或直角三角形2222222222222229090a b c A a b c A a b c b a c c a b>+⇒>=+⇒=⎧<+⎪<+⇒⎨⎪<+⎩②常见结论：(钝角三角形)(直角三角形)锐角三角形cos cos ()()cos cos cos cos ()sin 2sin cos ())()3,sin 2sin cos ()a Ab B a bc A B C b a C A B C a b c b c a bc A B C =====+++-==①等腰三角形或直角三角形②等边三角形③直角三角形④等腰三角形⑤（且等边三角形21,,1()2.a a a a +-【例8】设为钝角三角形的三边，求实数考虑最大角为钝角和两边之和大于取值范围第三边的4、周长面积问题（记得同时利用两个公式：余弦定理和完全平方公式）5、正、余弦定理的综合应用【例11】在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c，a =tan tan 4,22A B C++= 2sin cos sin B C A =，求,A B 及,b c特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意A B C π++=这个特殊性：,sin()sin ,sincos 22A B CA B C A B C π++=-+==；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。
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一. 构成三角形个数问题
1在ABC中，已知a x,b 2,B 45°，如果三角形有两解，则x的取值范围是（
）
A. 2 x 2 2
B. x 2,2 C . 2 x 2 D. 0x2
2 •如果满足ABC 60 , AC 12 , BC k的厶ABC恰有一个，那么k的取值范围是
3.在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）
A* CJ =S J =J = 45=B. a = 60 ；b -= 81；
B =
= 60°+J
C” a —7 > b —5j八眇 D ・。
二14 , b
-
20, "4亍二. 求边长问题
4.在ABC 中，角A, B,C所对边a,b,c，若a 3,C1200,ABC的面积S 15血4
则c()
A. 5 B
.6
C . V39D7
5.在△ ABC 中，a1,B 450,S ABC 2，则b =
三. 求夹角冋题
6.在ABC中，ABC -,AB4V2, BC 3，则sin BAC( )
v'10V103^10<5 A. 10 B5 C . 10D5
7
.在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别a,b,C,S 为表示△ ABC 的面积，若
1 2 2 2 bcosA csinC, S (b c a )，则/ B=(
4
B . 60°
C . 45°
D . 30°
四. 求面积问题
&已知△ ABC 中，内角A , B, C 所对的边长分别为
a,b,c .若
a
ZbcosAB -，
c 1
，则
△ ABC 的面积等于 ( )
g
6 4 2
9.锐角
ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、
1
c ,已知 cos2C
-
4
([)求
sinC 的值；
(□)当
a 2, 2si nA si nC 时，求
b 的长及 ABC 的面积.
10•如图，在四边形 ABCD 中，AB 3,BC 7.3,CD 14, BD 7, BAD 120
a cosB A. 90°
(1 )求AD 边的长； (2)求ABC 的面积.
3 11.（本小题满分12分）已知ABC中，角A, B,C对边分别为a,b,c,已知c 2,C
(1 )若ABC的面积等于.3,求a,b
(2)若si nC si n( B A) 2 si n2A,求ABC 的面积.
12 .在ABC中，角A, B,C对边分别为a,b,c已知C 一.
3
外接圆的面积；
五. 判定三角形形状问题
若a 2,b 3，求ABC的
13.在ABC 中,a, b , c分别为角A, B , C所对边, a 2b cosC，则此三角形
一定是（）
A.等腰直角三角形
B.
C.等腰三角形
D.直角三角形
等腰或直角三角形
14. ABC中三边上的高依次为
1 1 1
丄，丄，丄，则ABC为（
A.锐角三角形 B •直角三角形 C •钝角三角形D
）
•不存在这样的三角形
a
b
17.在 ABC 中，如果 ，则该三角形是
cosB cosA
A.等腰三角形
B •直角三角形
C •等腰或直角三角形
D •以上答案均不正确
六.综合问题
18.在锐角厶ABC 中, a, b, c 是角A , B , C 的对边，且'、3a 2csi nA .
(1) 求角C 的度数； (2)
若c .7，且△ ABC 的面积为辽，求a b 的值。
2
19.在锐角 ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且2asi nB ,3b .
(1)求角A 的大小；
(2 )若a 4,b c 8，求 ABC 的面积.
15.在 ABC 中，若 A.锐角三角形
0 tan A tan B
.钝角三角形
那么 ABC 一定是 •直角三角形 D
) .形状不确定
16.在△ ABC 中, 2
B a c cos -
2 2c
(a , b , c 分别为角A , B , C 的对边)，则△ ABC 勺形状
为
A.正三角形 B .直角三角形
()
等腰三角形或直角三角形
D •等腰直角三角形
20.在VABC 中，角A, B,C 对边分别是a,b,c ，且满足 2c b cos A a sin 一 B
2
(1) 求角A 的大小；
(2) 若a 2，且VABC 的面积为 3，求b,c .
1
21•如图，在 ABC 中，B 二一，AB 8，点 D 在 BC 边上，且 CD 2，cos ADC -
3 7
22•在VABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边，已知3 b 2 c 2 3a 2 2bc .
(1) 求 sin A 的值； (2) 若a 2,VABC 的面积S
c ，求b 和c 的值.
(II )求 BD, AC 的长.
(I )求 sin BAD ；
23. (12 分)在厶ABC中，a, b, c 分别是角A, B, C 的对边，且2cosAcosC+1=2sinAsinC .
(I)求B的大小；
(n)若a c ^^,b .3求厶ABC的面积.
2
24.(本小题满分12分)已知在ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c .且
cos A 2cosC 2c a
cosB b .
(I)求邑匹的值；
sin A
1
(n)若cosB , b 2，求ABC的面积s。
4
25 .(本题满分15分)在ABC中，内角A B, C 所对的边长分别为a, b, c ,
丄AB’ C 4、3
tan tan
2 2 3
(I)求角C的大小；
(n)已知ABC不是钝角三角形，且c 2、、3 , sinC sin(B A) 2sin2A,求ABC
的面积•
26.（本题满分13分）在ABC中,内角A, B, C所对的边分别为a, b,c .
bsin A . 6a sin C , c 1 .
(i)求a的值和ABC的面积;
(n)求sin(2A )的值.
3 sinB 亠, 2 6。