自动控制系统的数学模型
自动控制原理 控制系统的数学模型
3)
s(s
1)2 (s
3)
c2 t r 1et (r 1)!
1 tet 2
c1 3 et
(s 1)
4
c3 2
s
3
c4 1 e3t (s 3) 12
f (t) 2 1 et (t 3) 1 e3t
s j
F(s)化成下列因式分解形式：
F (s) B(s) k(s z1)(s z2 ) (s zm ) A(s) (s s1)(s s2 ) (s sn )
◆F(s)中具有单极点时，可展开为
F (s) c1 c2 cn
s s1 s s2
4）积分定理：
L[
f
(t )dt ]
1 s
F (s)
5）初值定理：
若函数 f(t) 及其一阶导数都是可拉氏变换的，则函数 f(t)
的初值为
f
(0
)
lim
t 0
f (t) lim sF (s) s
6）终值定理：
若函数 f(t) 及其一阶导数都是可拉氏变换的，sF(s)在包含虚
轴的右半平面内无极点，则函数 f(t) 的终值为
20
5.非线性元件(环节)微分方程的线性化
经典控制领域，主要研究线性定常控制系统
线性定常系统：描述系统的数学模型是线性常系数的微分 方程。可以应用叠加原理，即系统的总输出可以由若干个输入 引起的输出叠加得到。
对于非线性方程，可在工作点附近用泰勒级数展开，取
前面的线性项，得到等效的线性环节。
y
设具有连续变化的非线性函数:y=f(x)
输入（充分激励）
自动控制系统的数学模型
宇宙飞船控制系统就是时变控制的一个例子（宇宙飞船的质量随着燃料 的消耗而变化）。
[非线性系统]：如果不能应用叠加原理，则系统是非线性的。
下面是非线性系统的一些例子：
d2x dt 2
( dx)2 dt
x
Asin t,
d2x dt 2
(x2
1)
dx dt
x
0,
d2x dt 2
dx dt
x
x3
0
古典控制理论中（我们所正在学习的），采用的是单输入单输出描述方 法。主要是针对线性定常系统，对于非线性系统和时变系统，解决问题的能 力是极其有限的。
Tm
Ra J CeCm
分别称为电磁时间常数和机电时间常数
Ku
1 Ce
和
Km
Ra CeCm
分别是转速与电压传递系数和转速与负载
传递系数。这里已略去摩擦力和扭转弹性力。
3.线性系统微分方程的编写步骤：
⑴确定系统和各元部件的输入量和输出量。 ⑵对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物理的方程。
⑶对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小的次要因素， 对非线性元部件进行线性化等。
4、线性方程的求解：
研究控制系统在一定的输入作用下，输出量的变化 情况。方法有经典法，拉氏变换法和数字求解。 在自动系统理论中主要使用拉氏变换法。
[拉氏变换求微分方程解的步骤]： ①对微分方程两端进行拉氏变换，将时域方程转换为s域的代数方程。 ②求拉氏反变换，求得输出函数的时域解。
M c 上的负载转矩Mc，输出是转速
自动控制原理与系统第三章 自动控制系统的数学模型
④将该方程整理成标准形式。即把与输入量有关的 各项放在方程的右边，把与输出量有关的各项放在 方程的左边，各导数项按降幂排列，并将方程中的 系数化为具有一定物理意义的表示形式，如时间常
二、微分方程建立举例
[例3-1]直流电动机的微分方程。
1.直流电动机(Direct-Current Motor)各物理量间的 关系。
②在各环节功能框的基础上，首先确定系统的 给定量(输入量)和输出量，然后从给定量开始，由
左至右，根据相互作用的顺序，依次画出各个环节， 直至得出所需要的输出量，并使它们符合各作用量 间的关系。
③然后由内到外，画出各反馈环节，最后在图上标 明输入量、输出量、扰动量和各中间参变量。
④这样就可以得到整个控制系统的框图。
①列出直流电动机各个环节的微分方程［参见 式3-1～式3-4］，然后由微分方程→拉氏变换式→ 传递函数→功能框。今将直流电动机的各功能框列 于表3-1中。
②如今以电动机电枢电压作为输入量，以电动 机的角位移θ 为输出量。于是可由开始，按照电动 机的工作原理，由依次组合各环节的功能框，然后 再加上电势反馈功能框，如图3-15所示。
(或环节)的固有特性。它是系统的复数域模型，也 是自动控制系统最常用的数学模型。
3．对同一个系统，若选取不同的输出量或不同 的输入量，则其对应的微分方程表达式和传递函数 也不相同。
4．典型环节的传递函数有
对一般的自动控制系统，应尽可能将它分解为 若干个典型的环节，以利于理解系统的构成和系统 的分析。
它还清楚地表明了各环节间的相互联系，因此它是 理解和分析系统的重要方法。
①全面了解系统的工作原理、结构组成和支配系统 工作的物理规律，并确定系统的输入量(给定量)和 输出量(被控量) ②将系统分解成若干个单元(或环节或部件)，然后 从被控量出发，由控制对象→执行环节→功率。
自控原理课件 第2章-自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
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第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
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第2章 自动控制系统的数学模型
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2．2．2 传递函数 建立数学模型的目的是为了对系统进行性能分析。分析 自动控制系统最直接的方法是求解微分方程，求得被控 量在动态过程中的时间函数，然后根据时间函数的曲线 对系统性能进行分析。求解的方法有经典法、拉氏变换 法等。 拉氏变换法是求解微分方程的简便方法，当采用这一方 法时。微分方程的求解就成为象函数的代数方程和查表 求解，使计算大为简化。更重要的是，采用拉氏变换法 能把以线性微分方程描述的数学模型转换成复数域中代 数形式的数学模型——传递函数。传递函数不仅可以表 征系统的性能，而且可以用来分析系统的结构和参数变 化对系统性能的影响。经典控制理论中应用最广泛的频 率特性法和根轨迹法就是以传递函数为基础建立起来的， 传递函数是经典控制理论中最基本最重要的概念。
解：(1)确定输入和输出量。网络的输入量为 电压ur(t)，输出量为电压uc(t) (2)根据电路理论，列出原始微分方程。
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
1．信号线 信号线是带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标 记信号的象函数，如图2．20(a)所示。 2．引出点 引出点表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号在 数值和性质上完全相同， 图2．20(b)所示。 3．比较点 比较点表示多个信号在此处叠加，输出量等于输入量的代数和。 因此在信号输入处要标明信号的极性，如图2．20(c)所示。 4．功能框 功能框表示一个相对独立的环节对信号的影响。框左边的箭头 处标以输人量的象函数，框右边的箭头处标以输出量的象函数， 框内为这一单元的传递函数。输出量等于输入量与传递函数的 乘积，即
自动控制系统的数学模型
第二章 自动控制系统的数学模型
编写微分方程是描述系统动态特性最基本的方法。 系统微分方程式的建立的基本步骤如下: ⑴ 明确要解决问题的目的和要求，确定系统的输入变量和输出变量； ⑵ 对问题进行适当的简化，抓住能代表系统运动规律的主要特征，舍去一些次要因素，必要时也
可进行一些合理的假设； ⑶ 根据系统所遵循的物理、化学定律，从输入端开始，按照信号传递顺序，依次列出组成系统各
第二章 自动控制系统的数学模型
数学模型的种类: ①经典:微分方程,差分方程,瞬态响应函数,传递函数,频率特性。 ②现代:状态方程,状态空间表达式。 本章重点以机理分析法为基础,介绍微分方程,瞬态响应函数和传递函数的建立。
第二章 自动控制系统的数学模型
2.1.1 动态微分方程式的编写 微分方程是描述自动控制系统动态特性的最基本数学模型。 建立微分方程的前提条件: ①给定发生变化或出现扰动瞬间之前,系统应处于平衡状态,被控量各阶段导数为零。(初始为零)； ②在任一瞬间,系统状态可用几个独立变量完全确定； ③被控量几个独立变量原始平衡状态下工作点确定后,当给定变化或有扰动时,它们在工作点附近
次数 一般不高于分母多项式的次数 ，且所有系数都为实数。 ⑶ 传递函数与系统的微分方程相联系，两者可以互相转换。 ⑷ 传递函数是系统单位脉冲响应的拉氏变换。 ⑸ 传递函数是与 平面上的零、极点图相对应。 ⑹ 传递函数只描述系统的输入—输出特性，而不能表征系统的物理结构及内部所有状况的特性。
不同的物理系统可以有相同的传递函数。同一系统中，不同物理量之间对应的传递函数也不 相同。
元件的微分方程； ⑷ 消去中间变量，最后得到描述系统输出量与输入量的微分方程。 ⑸ 写出微分方程的规范形式，即所有与输出变量有关的项写在方程左边，所有与输入变量有关的
自动控制原理(数学模型)
Tm m m K m ur
Tmm m K m ur
Tm J m R /( R fm ce cm K m cm /( R fm ce cm )
)
电机时间常数 电机传递系数
例4 X-Y 记录仪
反馈口： u ur up 放大器： u K1u 电动机： Tmm m Kmu 减速器： 2 K3m 绳 轮： L K32 电 桥： up K4L
证明：左 e At f (t ) etsdt f (t ) e(s A)tdt
0
0
令 sA s
f (t ) estdt F (s) F(s A) 右 0
例7 例8
L
L
e at
e-3t
L
（2）微分定理 L f t s F s f 0
证明：左
f t estdt
estdf t
e-st f
t
0
f t dest
0
0
0
0-f 0 s f testdt sF s f 0 右
•建模方法
解析法（机理分析法）
根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程
实验法（系统辨识法）
给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用 适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性
§2.2 控制系统的数学模型—微分方程
线性定常系统微分方程的一般形式
d nc(t)
d n1c(t)
dc(t )
an dt n an1 dt n1 ... a1 dt a0c(t )
自动控制系统的数学模型
注：通常将微分方程写成标准形式，即将与输 入量有关的各项写在方程的右边，与输出量有 关的各项写在方程的左边。方程两边各导数项 均按降阶顺序排列。
2.1.1 机械系统
• 机械系统指的是存在机械运动的装置，它们遵循物理学的力 学定律。机械运动包括直线运动（相应的位移称为线位移） 和转动（相应的位移称为角位移）两种。
2.为什么要建立数学模型：对于控制系统的性能，只 是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不 够的，希望能够从理论上对系统的性能进行定量的分 析和计算。要做到这一点，首先要建立系统的数学模 型。它是分析和设计系统的依据。
另一个原因：许多表面上看来似乎毫无共同之 处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以 用一个运动方程来表示，我们可以不单独地去研 究具体系统而只分析其数学表达式，即可知其变 量间的关系，这种关系可代表数学表达式相同的 任何系统，因此需建立控制系统的数学模型。
黑盒
输出
但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称为灰盒， 可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方便地建立 系统的数学模型。
实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般情况 下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简化，但这就出现 了一对矛盾，简化与准确性。不能过于简化，而使数学模型 变得不准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过 于复杂。一般应在精度许可的前提下，尽量简化其数学模型。
TmddtKuuaKmM c
TmddtKuuaKmM c
如 果 取 电 动 机 的 转 角 θ （ rad ） 作 为 输 出 ， 电 枢 电 压 ua
md2xFf dxkx
dt2
自动控制原理：第二章--控制系统数学模型全
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式
（（23））式消LuLCcdd中去(titd)i中2d是utRc间2(中Cti1)变间C1量iR变dCti量idd后udt，ct，(t它)u输r与u(入tc输)(输t)出出uu微rc((tt)分)有方如程下式关系
或
T1T2
d 2uc (t) dt 2
T2
duc (t) dt
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
线性(或线性化)定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 称为传递函数。
令线C性(s定)=常L[c系(t统)]，由R下(s)述=Ln阶[r(微t)]分，方在程初描始述条：件为零
时[[aab，nnmbssdmdn进mt+ndn+dt行acmmbn(tm拉-r1)-(s1t氏ns)-am1变n+-1b1+…m换dd…1t+，nndd+1a1t得mm1bcs1(11到+ts)r+a关(t0b)]于0C]的RD(sM的s的a(()分s1s(分))=代sdbd为母)t1子为数cd传d多(tt多传方)r递项(项t程递函)式a式0函数c。b(0数tr) (t)
自动控制原理-第二章 控制系统的数学模型
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
自动控制原理第二章数学模型
) （1）方程的系数 ai ( i 0 ,1 , n )、bj ( j 0,1, m为实常数。 （2）方程左端导数阶次高于方程右端。这是由于系统中含有 质量、惯性或滞后的储能元件。（n大于等于m）。 （3）方程两端各项的量纲是一致的。
相似系统——任何系统，只要他们的微分方程具有相同的形式 就是相似系统。在微分方程中占据相同位置的物 理量叫做相似量。
'
df x0 x kx ， 可得 y dx
简记为 y=kx
若非线性函数由两个自变量，如 y＝f（x1, x2）， 则在平衡点处可展成
f ( x10 , x20 ) f ( x10 , x20 ) y f ( x1 , x2 ) f ( x10 , x20 ) [ ( x1 x10 ) ( x2 x20 )] x1 x2 f ( x10 , x20 ) 1 2 f ( x10 , x20 ) 2 [ ( x x ) 2 ( x x10 )(x x20 ) 1 10 2 2! x1x2 x1 2 f ( x10 , x20 ) 2 ( x x ) ] 2 20 2 x2
dt
d 2 (t )
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§2.3 非线性微分方程的线性化
• 在实际工程中，构成系统的元件都具有不同程度的 非线性，如下图所示。
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§2.3 非线性微分方程的线性化
于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有 诸多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必 非线性元件微分方程的线性化 具有连续变化的非线性函数的线性化，可用切线法或 小偏差法。在一个小范围内，将非线性特性用一段直 线来代替。（分段定常系统） 一个变量的非线性函数 y=f(x) 在x0处连续可微，则可将它在该点附近用泰勒级数展开
自动控制原理控制系统的数学模型
自动控制原理控制系统的数学模型自动控制原理是现代控制工程学的基础，在控制系统的设计中起着至关重要的作用。
控制系统的数学模型是指通过数学方法对控制系统进行建模和描述，以便分析和设计控制系统的性能和稳定性。
控制系统的数学模型可以分为时域模型和频域模型两种形式。
一、时域模型时域模型是描述控制系统在时间域上动态行为的数学表达式。
时域模型是基于系统的差分方程或微分方程的。
1.线性时不变系统的时域模型对于线性时不变系统，可以通过系统的微分方程或差分方程来建立时域模型。
常见的时域模型包括：-一阶系统的时域模型：y(t)=K*(1-e^(-t/T))*u(t)-二阶系统的时域模型：y(t)=K*(1-e^(-t/T))*(1+t/Td)*u(t)2.非线性系统的时域模型对于非线性系统，时域模型可以通过系统的状态空间方程来建立。
常见的非线性系统时域模型包括：- Van der Pol方程： d^2x/dt^2 - μ(1 - x^2) * dx/dt + x = 0 - Lorenz方程：dx/dt = σ * (y - x), dy/dt = rx - y - xz, dz/dt = xy - βz二、频域模型频域模型是描述控制系统在频域上动态行为的数学表达式。
频域模型是基于系统的传递函数或频率响应函数的。
1.传递函数模型传递函数是系统的输入和输出之间的关系，是频域模型的核心。
传递函数可以通过系统的拉普拉斯变换或Z变换得到。
常见的传递函数模型包括：-一阶系统的传递函数模型：G(s)=K/(T*s+1)-二阶系统的传递函数模型：G(s)=K/(T^2*s^2+2ξ*T*s+1)2.频率响应模型频率响应函数是系统在不同频率下的输出和输入之间的关系。
频率响应函数可以通过系统的传递函数模型进行计算。
常见的频率响应模型包括：-幅频特性：描述系统在不同频率下的增益变化-相频特性：描述系统在不同频率下的相位变化控制系统的数学模型是对系统动态行为的数学描述，通过对控制系统进行数学建模和分析，可以有效地设计和优化控制系统，提高系统的性能和稳定性。
第二章自动控制系统的数学模型
第二章自动控制系统的数学模型本章要点系统的数学模型是对系统进行定量分析的基础和出发点。
本章主要介绍从微分方程、传递函数和系统框图去建立自动控制系统的数学模型。
内容包括系统微分方程的建立步骤、传递函数的定义与性质、系统框图的建立、等效变换及化简、系统各种传递函数的求取以及典型环节的数学模型。
为了对自动控制系统性能进行深入的分析和设计，须定量计算系统的动、静态性能指标。
而要完成此项任务，就必须掌握其变化规律，用一个反映其运动状态的数学表达式描述系统的动态过程。
这种描述系统各变量之间关系的数学表达式称为系统的数学模型。
系统数学模型的建立主要有解析法和实验法。
解析法是从系统元件所遵循的一些基本规律出发去推导系统的数学模型。
如果不了解系统的结构和运动规律，则应采用实验法建立数学模型，即在系统的输入端加上测试信号，在根据测试出的输出响应信号建立其数学模型。
系统的数学模型有多种，经典控制理论中常用的数学模型有：微分方程（时域数学模型）、传递函数（复域数学模型）、频率特性（频域数学模型）和动态结构图(几何模型)。
第一节系统的微分方程微分方程是描述系统的输入量和输出量之间关系最直接的方法。
当系统的输入量和输出量都是时间t的函数时，其微分方程可以确切描述系统的运动过程。
一、系统微分方程的建立步骤1．根据系统的组成结构、工作原理和运动规律，确定系统的输入量和输出量。
2．从输入端开始，根据各环节所遵循的运动规律，依次列写微分方程。
联立方程，消去中间变量，求取一个只包含系统输入量和输出量的微分方程。
3．将方程整理成标准形式。
即把含输出量的各项放在方程的左边，把含输入量的各项放在方程的右边，方程两边各导数按降幂排列，并将有关系数化为具有一定物理意义的表示形式，如时间常数等。
二、举例说明例2-1求图2-1所示RC网络的微分方程。
解：由图可知，输入量为u i(t) , 输出量为u o(t) ，根据电路遵循的基尔霍夫电压定律，有dtt du Ct i t u R t i t u o o i )()()()()(=+=消去上式中的中间变量i(t) ，得)()()(t u dtt du RCt u o o i += 整理得 ()()()o o i du t RCu t u t dt+= 例2-2 求直流电动机的微分方程。
自动控制原理：第2章-控制系统的数学模型可编辑全文
*
上式表明，三个环节的串联可以用一个等效环节来代替。这种情况可以推广到有限个环节串联（各环节之间无负载效应）的情况，等效环节的传递函数等于各个串联环节的传递函数的乘积，如有n个环节串联则等效传递函数可表示为：
*
2. 环节的并联
环节并联的特点是各环节的输入信号相同，输出信号相加（或相减）。
2.7 闭环系统的传递函数
一.闭环系统
*
(3)开环传递函数： 假设N(s)=0，主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比。
(2)反馈回路传递函数：假设N(s)=0，主反馈信号B(s)与输出信号C(s)之比。
*
(4)闭环传递函数 Closed-loop Transfer Function 假设N(s)=0 输出信号C(s)与输入信号R(s)之比。
复习拉普拉斯变换有关内容（6）
（3）积分定理
零初始条件下有：
进一步有：
例4 求 L[t]=?
解.
例5 求
解.
复习拉普拉斯变换有关内容（7）
（4）实位移定理
证明：
例6
解：
令
复习拉普拉斯变换有关内容（8）
（5）复位移定理
证明：
令
例7
例8
例9
复习拉普拉斯变换有关内容（9）
负反馈：反馈信号与给定输入信号符号相反的反馈。
正反馈：反馈信号与给定输入信号符号相同的反馈。
*
上述三种基本变换是进行方框图等效变换的基础。对于较复杂的系统,例如当系统具有信号交叉或反馈环交叉时,仅靠这三种方法是不够的。
（二）信号相加点和信号分支点的等效变换
对于一般系统的方框图，系统中常常出现信号或反馈环相互交叉的现象，此时可将信号相加点（汇合点）或信号分支点（引出点）作适当的等效移动，先消除各种形式的交叉，再进行等效变换即可。
自动控制系统的数学模型的种类
自动控制系统的数学模型的种类
自动控制系统的数学模型是描述系统各变量之间关系的数学表达式。
这些模型对于理解和分析控制系统的行为至关重要，因此被广泛应用于控制理论、计算机科学和工程领域。
自动控制系统的数学模型可以分为静态模型和动态模型。
静态模型通常以代数方程的形式表示，描述变量之间的静态关系，即在特定条件下，变量各阶导数为零的情况。
动态模型，如微分方程、差分方程和状态方程，则用于描述变量之间的关系以及系统的动态行为。
其中，微分方程是控制系统中最常用的数学模型之一，它可以描述系统的动态行为。
差分方程和状态方程则分别适用于描述离散系统和包含多个状态变量的系统。
要构建一个控制系统的数学模型，通常需要遵循以下几个步骤：首先，确定系统中的输入量和输出量，这通常是根据系统的工作原理和功能来决定的；其次，分析系统内部元件的工作原理，并应用相关的物理或化学规律，推导出描述元件行为的微分方程或差分方程；最后，对推导出的方程进行化简和整理，以得到输出量与输入量之间关系的微分方程，这即是元件的数学模型。
综上所述，自动控制系统的数学模型是描述系统行为和特性的重要工具，对于分析和设计控制系统具有重要意义。
在实际应用中，需要根据系统的具体需求和工作原理来选择合适的数学模
型，以实现对系统的精确描述和控制。
自动控制原理的数学模型
自动控制原理的数学模型自动控制是一种通过控制器、执行器和传感器等组件来改变系统特性以实现预期目标的过程。
自动控制原理的数学模型是描述该过程的数学方程组，用于定量地分析和设计控制系统。
实际上，自动控制原理的数学模型可以通过一些基本的物理规律和方程来构建。
下面将介绍几种常见的自动控制原理的数学模型。
1.线性系统模型线性系统是指系统的输出与输入之间的关系是线性的。
在自动控制领域中，线性系统模型是最常见和基础的数学模型。
线性系统的数学模型可以通过常微分方程或差分方程来描述。
常见的线性系统模型有传递函数模型、差分方程模型和状态空间模型等。
传递函数模型是一种常见的线性系统模型，将系统的输入和输出之间的关系表示为一个分子多项式与一个分母多项式的比值。
传递函数模型可以通过系统的拉普拉斯变换或者离散时间系统的Z变换得到。
2.非线性系统模型除了线性系统以外，许多现实中的控制系统是非线性的。
非线性系统的数学模型可以通过非线性方程组来描述。
非线性系统的模型可能难以分析和求解，因为非线性方程组通常没有解析解。
3.离散系统模型离散系统是指系统的输入和输出是在离散时间上进行的。
离散系统的数学模型可以通过差分方程来描述。
差分方程是描述离散时间系统的常用数学工具，可以通过差分方程求解得到系统的时间响应。
4.状态空间模型状态空间模型是一种描述线性动态系统的数学模型。
状态空间模型将系统的状态用向量表示，以描述系统在不同时间点的状态和状态之间的相互关系。
状态空间模型适用于揭示系统的内部细节和进行控制系统设计。
为了应用自动控制原理的数学模型，需要进行系统的建模和参数辨识。
系统的建模是根据系统的特性和运行规律，建立数学模型的过程。
参数辨识是根据实际测量数据和实验结果，确定数学模型中的参数值的过程。
总结起来，自动控制原理的数学模型是用于描述控制系统的数学方程组，常见的数学模型包括线性系统模型、非线性系统模型、离散系统模型和状态空间模型等。
建立和辨识数学模型是应用自动控制原理的重要步骤，可以通过物理规律和系统运行数据等来完成。
自动控制原理(数学模型)精选全文完整版
t 0
s
证明：由微分定理 df (t) estdt s F (s) f (0)
0 dt
lim df (t) estdt lim s F (s) f (0)
s 0 dt
s
左 df (t) limestdt 0 0 dt s
lim
s
s F(s)
f (0 )
0
f
二、非线性系统微分方程的线性化
例5 已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。
y( x ) E0 cos[x(t )]
解. 在工作点(x0, y0)处展开泰勒级数
y( x)
y(x0)
y( x0 )( x
x0 )
1 2!
y( x0 )( x
x0 )2
取一次近似，且令
y(x) y(x) y(x0) E 0 sin x0 ( x x0 )
1
s(s a)( s b)
f
lim
s0
s
ss
1
as
b
1 ab
例12
Fs
s2
ω ω2
f sinωt t
lim s
s0
s2
ω ω2
0
3 用拉氏变换方法解微分方程
系统微分方程
y(t) a1 y(t) a2 y(t) 1(t)
y(0) y(0) 0
L变换
(s2
a1s
a2 )Y (s)
0
1 1
1 1 2 j
2j
s
j
s
j
2j
s2
2
s2
2
2 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质 La f1(t) b f2(t) a F1(s) b F2(s)
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注：通常将微分方程写成标准形式，即将与输 入量有关的各项写在方程的右边，与输出量有 关的各项写在方程的左边。方程两边各导数项 均按降阶顺序排列。
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2.1.1 机械系统
• 机械系统指的是存在机械运动的装置，它们遵循物理学的力 学定律。机械运动包括直线运动（相应的位移称为线位移） 和转动（相应的位移称为角位移）两种。
本章只讨论解析法建立系统的数学模型
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2.1 控制系统微分方程的建立
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第2章第8页
2.1 控制系统微分方程的建立
一般步骤
（1）分析元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输入 量和输出量（必要时还要考虑扰动量），并根据需要引进一些中间 变量。
（2）根据各元件在工作过程中所遵循的物理或化学定律，按工 作条件忽略一些次要因素，并考虑相邻元件的彼此影响，列出微分 方程。常用的定律有：电路系统的基尔霍夫定律、力学系统的牛顿 定律和热力学定律等等。
大器等元件组成的电路，又称电气网络。仅由电阻、电感、 电容(无源器件)组成的电气网络称为无源网络。如果电气网 络中包含运算放大器(有源器件)，就称为有源网络。
例 由电阻R、电感L
L
和电容C组成无源网 +
络。ui输入，uo 求微分方程。
输
出， ui(t)
－
R C
i(t)
+ uo(t)
－
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2.为什么要建立数学模型：对于控制系统的性能，只 是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不 够的，希望能够从理论上对系统的性能进行定量的分 析和计算。要做到这一点，首先要建立系统的数学模 型。它是分析和设计系统的依据。
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另一个原因：许多表面上看来似乎毫无共同之 处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以 用一个运动方程来表示，我们可以不单独地去研 究具体系统而只分析其数学表达式，即可知其变 量间的关系，这种关系可代表数学表达式相同的 任何系统，因此需建立控制系统的数学模型。
比如机械平移系统和RLC电路就可以用同一 个数学表达式分析，具有相同的数学模型（可以 进行仿真研究）。
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3.表示形式 （经典控制理论中最常用的）
a.微分方程；b.传递函数； c.频率特性
三种数学模型之间的关系
线性系统
微分方程
拉氏 变换
传递函数
傅氏 变换
频率特性
同一个系统，可以选用不同的数学模型， 如研究时域响应时可以用传递函数， 研究频域响应时则要用频率特性。
d2x
dx
m Ff kx
dt2
dt
d2x(t) d(tx)
md2t f
k(x t)F(t) dt
F
k
m
x
k和f分别为弹簧的弹性系数和阻尼器的粘性摩擦系数。 负号表示弹簧力的方向和位移的方向相反； 粘性摩擦力的方向和பைடு நூலகம்度的方向相反。
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2.1.2 电气系统
电气系统中最常见的装置是由电阻、电感、电容、运算放
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第2章第5页
4.建立方法
a.分析计算法 分析计算法是根据支配系统的内在运动规律以及系统的
结构和参数，推导出输入量和输出量之间的数学表达式，从 而建立数学模型——适用于简单的系统。 b.工程实验法
工程实验法是利用系统的输入--输出信号来建立数学模 型的方法。通常在对系统一无所知的情况下，采用这种建模 方法。
输入
黑盒
输出
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但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称为灰盒， 可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方便地建立 系统的数学模型。
实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般情况 下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简化，但这就出现 了一对矛盾，简化与准确性。不能过于简化，而使数学模型 变得不准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过 于复杂。一般应在精度许可的前提下，尽量简化其数学模型。
L
R
+
+
ui(t)
C i(t)
uo(t)
－
－
解 设回路电流为 i ( t ) 如图所示。由基尔霍夫电压定律可得到
di(t) L dt Ri(t)uo(t)ui(t)
式中i ( t )是中间变量。i ( t )和u o( t )的关系为
i(t) C duo (t) dt
消去中间变量i (t )，可得
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2.1.3 机电系统
图示为一他激直流电动机。 +
图中，ω为电动机角速度
（ rad/s ） ， Mc 为 折 算 到 电 ua 动机轴上的总负载力矩 _
例 一个由弹簧-质量-阻尼器组成 的机械平移系统如图所示。m为物 体质量，k为弹簧系数，f 为粘性 阻尼系数，外力F(t)为输入量，位 移x(t)为输出量。列写系统的运动 方程。
F
k
m x
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解 在物体受外力F的作用下，质量m相对于初始状态的位移、速 度、加速度分别为x、dx/dt、d2x/dt2 。设外作用力F为输入量，位 移 x 为输出量。根据弹簧、质量、阻尼器上力与位移、速度的关 系和牛顿第二定律，可列出作用在上的力和加速度之间的关系为
第2章 自动控制系统的数学模型
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2.1 控制系统微分方程的建立 2.2 非线性系统微分方程的线性化 2.3 传递函数 2.4 控制系统的结构图及其等效变换 2.5 自动控制系统的传递函数 2.6 信号流图 2.7 脉冲响应函数
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数学模型
1.定义：描述系统的输入、输出变量以及系统内部各 个变量之间关系的数学表达式就称为控制系统的数学 模型。
Ld C 2 d uo 2 (tt)Rd C d o(u t)tuo(t)ui(t)
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Ld C 2 d uo 2 (tt)Rd C d o(u t)tuo(t)ui(t)
mdd 2x2 (tt)fdd(tx)tk(x t)F(t)
比较上面两个例子可见，虽然它们为两种不同的物理系 统，但它们的数学模型的形式却是相同的，我们把具有相同 数学模型的不同物理系统称为相似系统，例如上述RLC串联 网络系统和弹簧-质量-阻尼器系统即为一对相似系统，故可 用电子线路来模拟机械平移系统。在相似系统中，占据相应 位置的物理量称为相似量。