人教版数学必修五(文)学案：1.1.1正弦定理

1．1．1 正弦定理

【学习目标】

1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；

2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

【自主学习】

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c

=，sin b

B c =，又sin 1c

C c ==,则sin sin sin a

b

c

c A B C ===

从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c

A B C ==

思考：对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？给出你的证明.

(1) 当∆ABC 是锐角三角形时,

(2) 当∆ABC 是钝角三角形时,

正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，

即

【自主检测】

1.在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,1000===∆

2.在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆

【典型例题】

例1.C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆

例2. 已知△ABC ，B Ｄ为B 的平分线，求证：AB ∶BC ＝A Ｄ∶ＤC

【目标检测】

1.已知∆ABC 中， sin A : sin B : sin C =2: 3 : 4 ，则a : b : c =

2.已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，则 a ∶b ∶c 等于 .

3.在△ABC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为( ) A B 等腰直角三角形

C 等边三角形

D 等腰三角形 4*．在△ABC 中，若,sin sin B A >则A 一定大于B ，对吗？填_________（对或错）

【总结提升】（1）正弦定理的表示形式：=sin sin a b A B =sin c

C

；或sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =(0)k >（2）正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角；②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。应注意可能有两解的情形。