§3[1].1__LTI离散系统的响应

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二、差分方程的经典解
y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m)
与微分方程经典解类似，y(k) = yh(k) + yp(k) 1.齐次解：
齐次方程
y(k) + an-1y(k-1) + … + a0y(k-n) = 0 特征方程
1 + an-1λ– 1 + … + a0λ– n = 0 ， 即
k r (Pmk m Pm1k m1 P1k P0 )(有r重为0的特征根）
Pak (a不等于特征根）
ak
（P1k P0 )ak (a等于特征单根）
（Prk r Pr1k r1 P0 )ak (a等于r重特征根）
cos k sin k P1 cos k P2 sin k(特征根不等于e j )
已知初始条件y(0)=0，y(1)= – 1；激励f(k)=2k，k≥0。
求方程的全解。
解： 特征方程为 λ2 + 4λ+ 4=0
可解得特征根λ1=λ2= – 2，其齐次解 yh(k)=(C1k +C2) (– 2)k
特解为 yp(k)=P (2)k , k≥0 代入差分方程得 P(2)k+4P(2)k –1+4P(2)k–2= f(k) = 2k ，
k 0 k 1
y0 C1 C2 2 y1 2C1 3C2 1
解出
C1 5, C2 3 yk 52k 33k
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差分方程齐次解重根例
求差分方程y(k) + 6y(k – 1) + 12y(k – 2) +8y(k – 3) = 0 的解。
解：特征方程 3 62 12 8 0 23 0
首先递推求出初始值yzi(0), yzi(1), yzi(k)= – 3yzi(k –1) –2yzi(k –2) yzi(0)= –3yzi(–1) –2yzi(–2)= –1 yzi(1)= –3yzi(0) –2yzi(–1)=3
特征根为λ1= –1 ，λ2= – 2
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解为
yzi(k)=Czi1(– 1)k+Czi2(–2)k
2f(k) = [f(k)] = [f(k) – f(k-1)] = f(k) – f(k-1)
= f(k)–f(k-1) –[f(k-1) –f(k-2)]= f(k) –2 f(k-1) +f(k-2) （5） m阶差分:
mf(k) = f(k) + b1f(k-1) +…+ bmf(k-m)
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①可分解性： y (·) =yzs(·) + yzi(·)
②零状态线性： T[{af1(t) +bf2(t) }, {0}] = aT[{ f1 (·) }, {0}] +bT[{ f2 (·) }, {0}] ③零输入线性： T[{0},{ax1(0) +bx2(0)} ]= aT[{0},{x1(0)}] +bT[{0},{x2(0)}]
所以y 2 5
4
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由初始状态确定C1，C2
以y1, y 2代入方程
y
zi
1
C1
21
C2 11
1 2
y
zi
2
C1
22
C2 12
5 4
解得
C1 3 C2 2
yzi k 3 2k 21k
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零输入零状态举例
例：系统方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k≥0，初始状态y(–1)=0, y(–2)=1/2, 求系统的零输入响应、零状态响应。
三重特征根 1,2,3 2
齐次解 yk (C2k 2 C1k C0 ) 2k
由初始条件定C1， C2 ， C3
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2.特解yp(k):
特解的形式与激励的形式类似 例
激励f(k)
F (常数)
响应y(k)的特解yp(k) P(常数)
km
Pmk m Pm1k m1 P1k P0 (特征根均不为0）
Biblioteka Baidu
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LTI连续系统的微分特性和积分特性
本课程重点讨论线性时不变系统 (Linear Time-Invariant)，简称LTI系统。
① 微分特性： 若 f (t) → yzs(t) ， 则 f ’(t) → y ’ zs (t) 1.6-11
② 积分特性：
t
t
若 f (t) → yzs(t) ， 则 f (x) d x yzs(x) d x
f1(·) +f2(·) →y1(·)+y2(·)
综合，线性性质：
af1(·) +bf2(·) →ay1(·)+by2(·)
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动态系统是线性系统的条件
动态系统不仅与激励{ f (·) }有关，而且与系统的 初始状态{x(0)}有关。 初始状态也称“内部激励”。
y (·) = T [{ f (·) }, {x(0)}]， yzs(·) = T [{ f (·) }, {0}]， yzi(·) = T [ {0}，{x(0)}]
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差分方程全解举例
例：系统方程 y(k)+ 4y(k – 1) + 4y(k – 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0，y(1)= – 1；激励f(k)=2k，k≥0。 求方程的全解。
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差分方程全解举例
例：系统方程 y(k)+ 4y(k – 1) + 4y(k – 2) = f(k)
第三章 离散系统的时域分析
§3.1 LTI离散系统的响应
注意离散系统与连续系统分析方法上的联系、 区别、对比，与连续系统有并行的相似性。
差分与差分方程 差分方程的经典解 零输入响应和零状态响应
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一、差分与差分方程
设有序列f(k)，则 …，f(k+2)，f(k+1)，…，f(k-1)，f(k-2)…等 称为f(k)的移位序列。
例
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差分方程齐次解单根例
求解二阶差分方程y(k) – 5y(k – 1) + 6y(k – 2) = 0 已知y(0) =2， y(1) =1，求y(k) 。
解：特征方程 2 5 6 0 2 3 0
特征根 1 2, 2 3
齐次解
yk C12k C2 3k
定C1， C2
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零输入响应举例
系统的方程 yk 3yk 1 2yk 2 f k f k 1
f k 2k k y0 y1 0
求系统的零输入响应。 解：零输入响应yzi(k)，即当f(k)=0时的解。
yk 3yk 1 2yk 2 0
2 3 2 0 1 2, 2 1
yzi k C1 2k C2 1k
举例1
举例2
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•时不变系统：指满足时不变性质的系统。 • 时不变性（或移位不变性） ：
f(t ) → yzs(t )
f (t)
f(t - td) → yzs(t - td)
yzs (t)
O
T
f (t t0 )
k
k (k 1)
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定义差分
（1）一阶前向差分定义：f(k) = f(k+1) –f(k) （2）一阶后向差分定义：f(k) = f(k) –f(k –1) 式中，和称为差分算子，无原则区别。本书主要用 后向差分，简称为差分。 （3）差分的线性性质：
[af1(k) + bf2(k)] = a f1(k) + b f2(k) （4）二阶差分定义：
λ n + an-1λn– 1 + … + a0 = 0 其根λi( i = 1，2，…，n)称为差分方程的特征根。
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根据特征根，齐次解的两种情况 见表3-1
1.无重根 λ1 λ2 λn n阶方程
yh k C11k C2 2 k Cn n k
例
2.有重根 特征根λ为r重根时
yh k (Cr1k r1 Cr2k r2 C1k C0 )k
齐次解形式： Ck
C由初始状态定（相当于0-的条件）
2.零状态响应：初始状态为0，即
yzs1 yzs 2 0
经典法：齐次解+特解 例1
例 2
求解方法
卷积法
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零输入响应举例
系统的方程 yk 3yk 1 2yk 2 f k f k 1
f k 2k k y0 y1 0
求系统的零输入响应。
仿照微分运算，定义离散信号的差分运算。
1. 差分运算
d f (t) lim f (k) lim f (t t) f (t) lim f (t) f (t t)
dt
t0 t
t 0
t
t 0
t
离散信号的变化率有两种表示形式：
f (k) f (k 1) f (k)
k
(k 1) k
f (k) f (k) f (k 1)
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分别求出齐次解和特解，得
yzs(k) = Czs1(–1)k + Czs2(–2)k + yp(k) = Czs1(– 1)k + Czs2(– 2)k + (1/3)2k
代入初始值求得
Czs1= – 1/3 , Czs2=1 yzs(k)= – (– 1)k/3+ (– 2)k + (1/3)2k , k≥0
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求初始状态
题中y(0)=y(1)=0 ，是激励加上以后的，不能说明状态为 0，需迭代求出 y(-1)， y(-2) 。
n 1 y1 3y0 2y1 21 200
0 0 2 y1 2 1 1
所以y 1 1
2
n 0 y0 3y1 2y 2 200 211
0 3 y1 2 y 2 1
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2. 差分方程
包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差 分方程。
将差分展开为移位序列，得一般形式 y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m)
差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条 件和激励，利用迭代法可求得其数值解。
一般不易得到解析形式的(闭合)解。
解得
P=1/4
所以得特解： yp(k)=2k–2 , k≥0
故全解为 y(k)= yh+yp = (C1k +C2) (– 2)k + 2k–2 , k≥0
代入初始条件解得 C1=1 , C2= – 1/4
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三、零输入响应和零状态响应
y(k) = yzi(k) + yzs(k)
1.零输入响应：输入为零，差分方程为齐次
1.6-12
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4. 线性系统与非线性系统
• 线性系统：指满足线性性质的系统。f (·) 系统 y (·)
• 线性性质：齐次性和可加性
T
齐次性： f(·) →y(·)
a f(·) →a y(·)
y(·) = T[ f (·)] f (·) → y(·)
可加性：
f1(·) →y1(·) f2(·) →y2(·)
例 差分方程的迭代解法
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差分方程迭代解举例
例：若描述某系统的差分方程为 y(k) + 3y(k – 1) + 2y(k – 2) = f(k)
已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2kε(k), 求y(k)。
解： y(k) = – 3y(k – 1) – 2y(k – 2) + f(k) k=2 y(2)= – 3y(1) – 2y(0) + f(2) = – 2 k=3 y(3)= – 3y(2) – 2y(1) + f(3) = 10 k=4 y(4)= – 3y(3) – 2y(2) + f(4) = – 10 ……
将初始值代入 并解得 Czi1=1 , Czi2= – 2
yzi(k)=(– 1)k – 2(– 2)k , k≥0
（2）零状态响应yzs(k) 满足
yzs(k) + 3yzs(k –1) + 2yzs(k –2) = f(k) yzs(–1)= yzs(–2) = 0 递推求初始值 yzs(0), yzs(1)， yzs(k) = – 3yzs(k –1) – 2yzs(k –2) + 2k , k≥0 yzs(0) = – 3yzs(–1) – 2yzs(–2) + 1 = 1 yzs(1) = – 3yzs(0) – 2yzs(–1) + 2 = – 1
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零输入零状态举例
例：系统方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k≥0，初始状态y(–1)=0, y(–2)=1/2, 求系统的零输入响应、零状态响应。
解：（1）yzi(k)满足方程 yzi(k) + 3yzi(k –1)+ 2yzi(k –2)= 0 yzi(–1)= y(–1)= 0, yzi(–2) = y(–2) = 1/2