河南省高一上学期数学期中考试试卷

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2023-2024学年河南省南阳市高一(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年河南省南阳市高一（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，则A∩B＝（）A．∅B．A C．B D．A∪B2．命题“方程x2﹣8x+15＝0有一个根是偶数”的否定是（）A．方程x2﹣8x+15＝0有一个根不是偶数B．方程x2﹣8x+15＝0至少有一个根不是偶数C．方程x2﹣8x+15＝0至多有一个根不是偶数D．方程x2﹣8x+15＝0的每一个根都不是偶数3．若函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f(x)=1e x+e−x B．f(x)=1e x−e−xC．f(x)=e x−e−xe x+e−x D．f(x)=ex+e−xe x−e−x4．我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表，他通过“对数积”求得ln2≈0.693，ln54≈0.223，由此可知ln5的近似值为（）A．1.519B．1.726C．1.609D．1.3165．已知a=243，b=425，c=2013，则（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b6．通过北师大版必修一教材57页的详细介绍，我们把y＝[x]称为取整函数．那么“[x]＝[y]”是“|x﹣y|＜1”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要7．若关于x的不等式1x−a ＞1x−b的解集是{x|1＜x＜3}，则下列式子中错误的是（）A．a﹣b＜0B．a+b＝4C．a＝1，b＝3D．a＝3，b＝18．已知函数f(x)={−2x 2+4x ，x ≤2，x−2x+1，x ＞2，若存在三个不相等的实数x 1，x 2，x 3使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则f （x 1+x 2+x 3）的取值范围是（） A ．(25，1)B ．(25，+∞)C ．(25，2)D ．（2，+∞）二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．满足函数f （x ）＝x 2﹣ax +1在区间[1，3]上不单调的实数a 的值可能是（） A ．3B ．4C ．5D ．610．下列函数中，具备奇偶性的函数是（） A ．f(x)=(√x)2B ．f(x)=1+22x−1C ．f(x)={−x ，x ＜−11，−1＜x ＜1，x ，x ＞1.D ．f(x)=√4−x 22−|x−2|11．已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 满足f （1+x ）＝f （1﹣x ），且对∀x 1，x 2∈（﹣∞，1），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，则下列结论正确的有（）A ．f （1.2）＞f （1.5）B ．2a +b ＝0C ．f(−√2)＜f(√3)D ．abc ＜012．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，则下列结论成立的是（） A ．1a +1b的最小值为4B ．1a +ab 的最小值为3C ．11−a+12−b的最小值为2D ．a +1b的最小值为1三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．幂函数f （x ）＝（a 2﹣2a +2）x b （a ＞0）的图像经过点（2，4），则a +b ＝． 14．若函数f （x ）的定义域是[2，5]，则函数y =f(2x−3)√x 2−2x−3的定义域是．15．已知f （x ）＝x 2+|x |+2；则不等式f （x +1）＜8的解集是．16．如图，已知等腰三角形中一腰上的中线长为√6，则该等腰三角形的面积最大值为．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）（1）已知x+x﹣1＝3，求是x 12+x−12值；（2）计算：2−12+2+(1−√2)−1−823+2lg5lg20+(lg2)2．18．（12分）已知函数f(x)=x+1x．（1）判断函数f（x）在[1+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明；（2）求函数g(x)=√x2+4x2+5的值域．19．（12分）已知集合A＝{x|x2+ax﹣a﹣1＜0，a∈R}，B＝{x|2＜x＜3}．（1）若0∈A且2∉A，求实数a的取值范围；（2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．20．（12分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件20元，出厂价为每件24元，每月的销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：y＝﹣10x+600．（1）设袁阳每月获得的利润为ω（单位：元），写出每月获得的利润ω与销售单价x的函数关系；（2）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于40元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少元？21．（12分）已知log a b+log b a=52，a b＝b a，其中a＞b＞1．（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）＝m•a x+b x+1在定义域[1，2]上为增函数，求实数m的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）的定义域为R．当x＞0时，f（x）＝2x+a，a∈R．（1）若函数f（x）为奇函数，求函数f（x）的表达式；（2）若函数f（x）是奇函数且在R上单调，求实数a的取值范围；（3）在（1）的条件下，若关于x的方程（（f（x）+2+a）（f（x）﹣a）＝0有三个不等的实数根，求实数a的取值范围．2023-2024学年河南省南阳市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，则A∩B＝（）A．∅B．A C．B D．A∪B解：集合A＝{x|1＜x＜3}，则B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}＝{y|1＜y＜5}，故A∩B＝A．故选：B．2．命题“方程x2﹣8x+15＝0有一个根是偶数”的否定是（）A．方程x2﹣8x+15＝0有一个根不是偶数B．方程x2﹣8x+15＝0至少有一个根不是偶数C．方程x2﹣8x+15＝0至多有一个根不是偶数D．方程x2﹣8x+15＝0的每一个根都不是偶数解：“方程x2﹣8x+15＝0有一个根是偶数”的否定是：方程x2﹣8x+15＝0的每一个根都不是偶数．故选：D．3．若函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f(x)=1e x+e−x B．f(x)=1e x−e−xC．f(x)=e x−e−xe x+e−x D．f(x)=ex+e−xe x−e−x解：对于A，f(0)=12，与图象不相符，故A错误；对于B，f（0）无意义，与图象不相符，故B错误；对于C，函数定义域为R，f（0）＝0，f(−x)=e−x−e xe−x+e x=−f(x)，函数为奇函数，符合图象，故C正确；对于D，f（0）无意义，与图象不相符，故D错误．故选：C．4．我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表，他通过“对数积”求得ln2≈0.693，ln 54≈0.223，由此可知ln 5的近似值为（）A ．1.519B ．1.726C ．1.609D ．1.316解：因为ln 2≈0.693，ln 54≈0.223=ln 5﹣2ln 2＝ln 5﹣1.386，由此可知ln 5≈1.609．故选：C ． 5．已知a =243，b=425，c=2013，则（）A ．b ＜a ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b解：∵a =243=√163，b =425=√165，c =2013=√203，y =x 13=√x 3是R 上的增函数，20＞16，∴√203＞√163，即c ＞a ．再根据√163＞√165，可得a ＞b ．综上可得，c ＞a ＞b ．故选：A ．6．通过北师大版必修一教材57页的详细介绍，我们把y ＝[x ]称为取整函数．那么“[x ]＝[y ]”是“|x ﹣y |＜1”的（）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要解：若[x ]＝[y ]，设[x ]＝[y ]＝m ，则x ＝m +a （0≤a ＜1），y ＝m +b （0≤b ＜1）， ∴x ﹣y ＝a ﹣b ∈（﹣1，1），∴|x ﹣y |＜1，反之，令x ＝1.1，y ＝0.9，则满足|x ﹣y |＝0.2＜1，但[x ]＝1，[y ]＝0，[x ]≠[y ]， ∴[x ]＝[y ]是|x ﹣y |＜1的充分不必要条件．故选：A ． 7．若关于x 的不等式1x−a＞1x−b的解集是{x |1＜x ＜3}，则下列式子中错误的是（）A ．a ﹣b ＜0B ．a +b ＝4C ．a ＝1，b ＝3D ．a ＝3，b ＝1解：由1x−a＞1x−b，得1x−a−1x−b＞0，化简得，a−b(x−a)(x−b)＞0，即（a ﹣b ）（x ﹣a ）（x ﹣b ）＞0，∵不等式1x ＞a＞1x−b的解集是{x |1＜x ＜3}，∴a ﹣b ＜0，且1和3是方程（x ﹣a ）（x ﹣b ）＝0的两个根， ∴a ＝1，b ＝3，∴a +b ＝4，故A 正确，B 正确，C 正确，D 错误．故选：D ．8．已知函数f(x)={−2x 2+4x ，x ≤2，x−2x+1，x ＞2，若存在三个不相等的实数x 1，x 2，x 3使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则f （x 1+x 2+x 3）的取值范围是（） A ．(25，1)B ．(25，+∞)C ．(25，2)D ．（2，+∞）解：函数f （x ）={−2x 2+4x ，x ≤2x−2x+1，x ＞2的图象如图所示：由f （x ）在（﹣∞，2]上关于x ＝1对称，且f max （x ）＝2，当x ∈（2，+∞）时，f （x ）=x−2x+1=1−3x+1是增函数，且f （x ）=x−2x+1=1−3x+1∈（0，1），所以x 1+x 2＝2，x 3∈（2，+∞），所以x 1+x 2+x 3∈（4，+∞），又f （4）=4−24+1=25，故f （x 1+x 2+x 3）∈（25，1）．故选：A ．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．满足函数f （x ）＝x 2﹣ax +1在区间[1，3]上不单调的实数a 的值可能是（） A ．3B ．4C ．5D ．6解：因为函数f （x ）＝x 2﹣ax +1在区间[1，3]上不单调，所以1＜12a ＜3，即2＜a ＜6．故选：ABC ．10．下列函数中，具备奇偶性的函数是（） A ．f(x)=(√x)2B ．f(x)=1+22x−1C ．f(x)={−x ，x ＜−11，−1＜x ＜1，x ，x ＞1.D ．f(x)=√4−x 22−|x−2|解：根据题意，依次分析选项：对于A ，f （x ）＝（√x ）2，其定义域为[0，+∞），不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数，不符合题意；对于B ，f （x ）＝1+22x−1，其定义域为R ，有f （﹣x ）+f （x ）＝1+22−x −1+1+22x −1=2+2⋅2x1−2x +22x−1=0，即f （﹣x ）＝﹣f （x ），则该函数为奇函数，符合题意；对于C ，f(x)={−x ，x ＜−11，−1＜x ＜1，x ，x ＞1.其定义域为{x |x ≠±1}，当x ＜﹣1时，﹣x ＞1，有f （﹣x ）＝f （x ）＝﹣x ，当﹣1＜x ＜1时，﹣1＜﹣x ＜1，有f （﹣x ）＝f （x ）＝1，当x ＞1时，﹣x ＜﹣1，有f （﹣x ）＝f （x ）＝x ，综合可得：∀x ∈{x |x ≠±1}，都有f （x ）＝f （﹣x ），则f （x ）为偶函数，符合题意；对于D ，f （x ）=√4−x 22−|x−2|，则有{4−x 2≥02−|x −2|≠0，解可得﹣2≤x ≤2且x ≠0，即函数的定义域为{x |﹣2≤x ≤2且x ≠0}，则f （x ）=√4−x 2x，则有f （﹣x ）=−√4−x 2x=−f （x ），则f （x ）为奇函数．故选：BCD ．11．已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 满足f （1+x ）＝f （1﹣x ），且对∀x 1，x 2∈（﹣∞，1），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，则下列结论正确的有（）A ．f （1.2）＞f （1.5）B ．2a +b ＝0C ．f(−√2)＜f(√3)D ．abc ＜0解：因为二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 满足f （1+x ）＝f （1﹣x ），即函数的图象关于x ＝1对称，故−b2a=1，所以b +2a ＝0，B 正确；对∀x 1，x 2∈（﹣∞，1），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，所以f （x ）在（﹣∞，1）上单调递增，所以a ＜0，b ＝﹣2a ＞0，但c 的正负无法确定，D 错误；根据函数的对称性可知，f （x ）在（1，+∞）上单调递减，则f （1.2）＞f （1.5），A 正确，又f （−√2）＝f （2+√2）＜f （√3），C 正确．故选：ABC ．12．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，则下列结论成立的是（）A ．1a +1b的最小值为4B ．1a +ab 的最小值为3C ．11−a+12−b的最小值为2D ．a +1b的最小值为1解：对于A ，1a +1b =(a +b)(1a +1b )=2+b a +a b ≥2+2√b a ⋅a b=4，当且仅当a ＝b =12时，取等号，故A 正确；对于B ，1a =a+b a =1+b a ，故1a +a b =1+b a +a b ≥1+2√b a ⋅a b=3，当且仅当a ＝b =12时，取等号，故B 正确；对于C ，由a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，可知（1﹣a ）+（2﹣b ）＝3﹣（a +b ）＝2，且1﹣a ＞0，2﹣b ＞0， 11−a+12−b=12[(1−a)+(2−b)](11−a+12−b)=12(2+2−b 1−a+1−a 2−b)≥12(2+√2−b 1−a ⋅1−a 2−b)=2，不等式取等号的条件是1﹣a ＝2﹣b ＝1，即a ＝0，b ＝1，与题设a +b ＝1矛盾，故11−a+12−b的最小值大于2，C 不正确；对于D ，a +1b −1=1b −b =1−b 2b =(1+b)(1−b)b ＞0，故a +1b＞1，最小值大于1，故D 不正确．故选：AB ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．幂函数f （x ）＝（a 2﹣2a +2）x b （a ＞0）的图像经过点（2，4），则a +b ＝ 3 ．解：幂函数f （x ）＝（a 2﹣2a +2）x b （a ＞0）的图像经过点（2，4）， ∴{a 2−2a +2=1f(2)=2b =4，解得a ＝1，b ＝2，则a +b ＝1+2＝3．故答案为：3．14．若函数f （x ）的定义域是[2，5]，则函数y =f(2x−3)√x 2−2x−3的定义域是（3，4] ．解：由题意得，{2≤2x −3≤5x 2−2x −3＞0，解得3＜x ≤4．故答案为：（3，4]．15．已知f （x ）＝x 2+|x |+2；则不等式f （x +1）＜8的解集是（﹣3，1）．解：对于f （x ）＝x 2+|x |+2，当x ≥0时，f （x ）＝x 2+x +2，当x ＜0时，f （x ）＝x 2﹣x +2，所以f(x)={x 2+x +2，x ≥0x 2−x +2，x ＜0，当x +1≥0时，即x ≥﹣1时，不等式f （x +1）＜8可化为（x +1）2+（x +1）+2＜8，即x2+3x﹣4＜0，解得﹣4＜x＜1，所以﹣1≤x＜1；当x+1＜0时，即x＜﹣1时，不等式f（x+1）＜8可化为（x+1）2﹣（x+1）+2＜8，即x2+x﹣6＜0，解得﹣3＜x＜2，所以﹣3＜x＜﹣1；综上，不等式f（x+1）＜8的解集为（﹣3，1）．故答案为：（﹣3，1）．16．如图，已知等腰三角形中一腰上的中线长为√6，则该等腰三角形的面积最大值为4．解：如图所示：作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，则AE＝EB，EF＝FB，设DF＝h，FB＝b，故AF＝3b，在△ADF中：6＝9b2+h2≥2√9b2×ℎ2=6bh，即bh≤1，当且仅当9b2＝h2，即h=√3，b=√33时等号成立，S△ABC＝2S△ABD＝4bh≤4．故答案为：4．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）（1）已知x+x﹣1＝3，求是x 12+x−12值；（2）计算：2−12+40√2+(1−√2)−1−823+2lg5lg20+(lg2)2．解：（1）由于(x 12+x12)2=x+x−1+2=5，又x 12+x−12＞0，故x12+x12=√5；（2）原式=√222−（√2+1）﹣4+2＝﹣3．18．（12分）已知函数f(x)=x+1x．（1）判断函数f（x）在[1+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明；（2）求函数g(x)=√x2+4x2+5的值域．解：（1）函数f（x）在[1+∞）上单调递增，证明如下：任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，x2x1＞1，则f(x2)−f(x1)=(x2+1x2)−(x1+1x1)=x2−x1+1x1=(x2−x1)(x2x1−1)x2x1＞0，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）是[1，+∞）上的增函数．（2）令t=√x2+4(t≥2)，则t2﹣4＝x2，于是g（x）的值域即为求ℎ(t)=tt2+1=1t+1t的值域，由（1）知函数y=t+1t(t≥2)在[2，+∞）是单调递增的，所以当t＝2时，即√x2+4=2，即x＝0处y取最小值y min=2+12=52，所以0＜1t+1t≤25，所以函数g(x)=√x2+4x2+5的值域为(0，25]．19．（12分）已知集合A＝{x|x2+ax﹣a﹣1＜0，a∈R}，B＝{x|2＜x＜3}．（1）若0∈A且2∉A，求实数a的取值范围；（2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解：（1）由0∈A且2∉A，得{−a−1＜0a+3≥0，∴a＞﹣1，∴a的取值范围为（﹣1，+∞）；（2）由p是q的必要不充分条件，∴B⫋A，∵x2+ax﹣a﹣1＝（x﹣1）（x+a+1）＜0，且B＝{x|2＜x＜3}，故A＝{x|1＜x＜﹣a﹣1}，∴{1＜−a−1−a−1≥3，∴a≤﹣4，∴a的取值范围为（﹣∞，﹣4]．20．（12分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件20元，出厂价为每件24元，每月的销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：y＝﹣10x+600．（1）设袁阳每月获得的利润为ω（单位：元），写出每月获得的利润ω与销售单价x 的函数关系；（2）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于40元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少元？解：（1）依题意可知每件的销售利润为（x ﹣20）元，每月的销售量为（﹣10x +600）件，所以每月获得的利润ω与销售单价x 的函数关系为ω＝（x ﹣20）（﹣10x +600）（20≤x ≤60）；（2）由每月获得的利润不小于3000元，即（x ﹣20）（﹣10x +600）≥3000，即x 2﹣80x +1500≤0，即（x ﹣30）（x ﹣50）≤0，解得30≤x ≤50，又因为这种节能灯的销售单价不得高于40元，所以30≤x ≤40，设政府每个月为他承担的总差价为p 元，则p ＝（24﹣20）（﹣10x +600）＝﹣40x +2400，由30≤x ≤40，得800≤p ≤1200，故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为[800，1200]元．21．（12分）已知log a b +log b a =52，a b ＝b a ，其中a ＞b ＞1．（1）求实数a ，b 的值；（2）若函数f （x ）＝m •a x +b x +1在定义域[1，2]上为增函数，求实数m 的取值范围．解：（1）设log b a ＝k ，则k ＞1，因为log a b +log b a =52，可得k +1k =52，所以k ＝2，则a ＝b 2．又a b ＝b a ，所以b 2b =b b 2，即2b ＝b 2，又a ＞b ＞1，解得b ＝2，a ＝4．（2）由（1）以及函数f （x ）＝m •a x +b x +1，得f （x ）＝m •4x +2x +1，令t ＝2x ，x ∈[1，2]，则y ＝mt 2+t +1，t ∈[2，4]．为使f （x ）在[1，2]上为增函数，则m ＝0或{m ＞0−12m ＜2或{m ＜0−12m≥4，解得m ＝0或m ＞0或−18≤m ＜0．综上，m 的取值范围为[−18，+∞)． 22．（12分）已知函数f （x ）的定义域为R ．当x ＞0时，f （x ）＝2x +a ，a ∈R ．（1）若函数f （x ）为奇函数，求函数f （x ）的表达式；（2）若函数f （x ）是奇函数且在R 上单调，求实数a 的取值范围；（3）在（1）的条件下，若关于x 的方程（（f （x ）+2+a ）（f （x ）﹣a ）＝0有三个不等的实数根，求实数a 的取值范围．解：（1）当x ＝0时，f （0）＝0；当x ＜0时，f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣（2﹣x +a ）＝﹣2﹣x ﹣a ；故f(x)={2x +a ，x ＞00，x =0−2−x −a ，x ＜0．（2）因为当x ＞0时，f （x ）＝2x +a 是单调增函数，所以若f （x ）在R 上单调，则f （x ）必为R 上的单调增函数，只须满足﹣20﹣a ≤0≤20+a ，得a ≥﹣1，实数a 的取值范围是[﹣1，+∞）；（3）由方程（f （x ）+2+a ）（f （x ）﹣a ）＝0⋯（*），可得f （x ）＝﹣2﹣a 或f （x ）＝a ，由题意可知，f （x ）不可能是单调函数，故a ＜﹣1，又因为方程（*）有三个不等的实数根，且a ＜1+a ，所以只须1+a ＜﹣2﹣a ＜﹣1﹣a 且﹣2﹣a ≠0，解得a ＜−32且a ≠﹣2，综上所述，a 的取值范围为(−∞，−2)∪(−2，−32)．。

河南省南阳市六校2023-2024学年高一上学期期中考试数学含解析

2023—2024学年（上）南阳六校高一年级期中考试数学（答案在最后）考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}33,2A x x B x x =-<<=<-，则()A B =R ð（）A ．(]2,3-B ．[]2,3-C ．[)2,3-D ．()2,3-2．已知,a b ∈R ，则下列选项中，使0a b +<成立的一个充分不必要条件是（）A ．0a >且0b >B ．0a <且0b <C ．0a >且0b <D ．0a <且0b >3．若关于x 的不等式0ax b ->的解集是(),1-∞-，则关于x 的不等式20ax bx +>的解集为（）A ．()(),01,-∞+∞ B ．()(),10,-∞-+∞ C ．()1,0-D ．()0,14．已知幂函数()()21af x a a x =--在区间()0,+∞上单调递增，则函数()()11x ag x bb +=->的图象过定点（）A ．()2,0-B ．()0,2-C ．()2,0D ．()0,25．已知函数()f x 的定义域为(]0,4，则函数()()21xf g x x =-的定义域为（）A ．()(]0,11,2B ．(]1,16C ．()(],11,2-∞ D ．()(]0,11,166．设1231log 9,,23a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（）A ．c a b<<B ．a c b<<C ．b c a <<D ．c b a<<7．已知函数()2f x x x x =-+，则（）A ．()f x 是偶函数，且在区间(),1-∞-和()1,+∞上单调递减B ．()f x 是偶函数，且在区间()(),11,-∞-+∞ 上单调递减C ．()f x 是奇函数，且在区间()(),11,-∞-+∞ 上单调递减D ．()f x 是奇函数，且在区间(),1-∞-和()1,+∞上单调递减8．已知函数()12131xf x x+=-+，则使得()()21f x f x <+成立的x 的取值范围是（）A ．11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,1,3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭ D ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知0a b <<，则（）A ．22a b>B ．2ab b>C ．11a b<D ．11a b a>+10．下列各组中两个函数是同一函数的是（）A ．()f x =()2g x =B ．()f x x =和()g x =C ．()3112x f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭和()3112t g t +⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．()211x f x x -=+和()1g x x =-11．若函数2xy =的图象上存在不同的两点,A B 到直线l 的距离均为1，则l 的解析式可以是（）A ．2x =-B ．1y =C ．1y =-D ．y x=12．已知236ab==，则（）A ．ab a b=+B ．4a b +>C ．48a b<D ．22log log 2a b +>三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知集合(){}(){}22,,,,25A x y x y B x y xy =∈=+=N ，则A B 中元素的个数为______．14．已知函数()3212x f x x =-+在区间[]2023,2023-上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=______．15．若函数()11ax f x x -=-在区间()1,+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是______．16．已知函数()2,0,2,0,x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩则满足()()11f x f x +->的x 的取值范围是______．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）计算：（Ⅰ）20.5310910310.0122162716π--⎛⎫⎛⎫++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（Ⅱ）()223343log 48log 18log 2log 3log 16⨯+-+⨯．18．（12分）已知集合{}{}222760,210,0A x x x B x x x m m =-+≤≤=-+->．（Ⅰ）若1m =，求A B ；（Ⅱ）若x A ∈是x B ∈成立的充分不必要条件，求m 的取值范围．19．（12分）已知函数()(0xf x a a =>且1)a ≠的图象经过点()4,4．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）比较()2f -与()()22f m m m -∈R 的大小；（Ⅲ）求函数()()133x g x a x -=-≤≤的值域．20．（12分）（Ⅰ）若关于x 的不等式260mx mx m ++-<的解集非空，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若[]2,1x ∀∈-，不等式22mx mx m -<-+恒成立，求实数m 的取值范围．21．（12分）近年来，共享单车的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资200万元，每个城市都至少要投资70万元，由前期市场调研可知：在甲城市的收益P （单位：万元）与投入a （单位：万元）满足8P =-，在乙城市的收益Q （单位：万元）与投入a （单位：万元）满足134Q a =+．（Ⅰ）当在甲城市投资125万元时，求该公司的总收益；（Ⅱ）试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？22．（12分）已知定义域为R 的函数()133x x nf x m++=+是奇函数．（Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）判断()f x 的单调性并用定义证明；（Ⅲ）若当1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()2210f kxf x +->恒成立，求实数k 的取值范围．2023-2024学年（上）南阳六校高一年级期中考试数学・答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．答案C 命题意图本题考查集合的表示与运算．解析由题意可得{}2B x x =≥-R ð，所以(){}23A B x x =-≤<R ð．2．答案B 命题意图本题考查充分条件与必要条件的应用．解析选项A ，C ，D 都既不是充分条件也不是必要条件，对于B ，由0a <且0b <可得0a b +<，反过来推不出，所以B 符合条件．3．答案D 命题意图本题考查不等式的解法．解析由于关于x 的不等式0ax b ->的解集是(),1-∞-，所以0,0,a ab <⎧⎨--=⎩则有b a =-且0a <，则20ax bx +>等价于0b x x a ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，解得01x <<，即不等式20ax bx +>的解集为()0,1．4．答案A 命题意图本题考查幂函数和指数函数的性质．解析因为()()21a f x a a x =--是幂函数，所以211a a --=，解得2a =或1a =-．当2a =时，()2f x x=在()0,+∞上单调递增，当1a =-时，()1f x x=在()0,+∞上单调递减，故2a =．此时()21x g x b +=-，当2x =-时，()20g -=，即()g x 的图保过定点()2,0-．5．答案C 命题意图本题考查函数的定义域．解析要使函数()g x 有意义，则024,10,x x ⎧<≤⎨-≠⎩故1x <或12x <≤，所以()g x 的定义域为()(],11,2-∞ ．6．答案A 命题意图本题考查指数和对数的运算．解析因为1233123,2,log 92log 3232b c a -⎛⎫==>===== ⎪⎝⎭，所以c a b <<．7．答案D 命题意图本题考查函数的奇偶性和单调性．解析由题意得()222,0,2,0,x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩画出函数()f x 的大致图象，如图，观察图象可知，函数()f x 的图象关于原点对称，故函数()f x 为奇函数，单调递减区间是()(),1,1,-∞-+∞．8．答案C 命题意图本题考查偶函数的性质和不等式的解法．解析易知函数()f x 的定义域为R ，且()f x 为偶函数．当0x ≥时，()12131xf x x+=-+，易知此时()f x 单调递增，所以()()()()2121f x f x fx f x <+⇒<+，所以21x x <+，解得1x <-或13x >-．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．答案ABD 命题意图本题考查不等式的性质．解析由0a b <<，得a b >，则22a b >，A 成立；由a b <两边同时乘以b ，不等号反向，得2ab b >，B 成立；由a b <两边同时除以ab ，得11b a<，C 不成立；由0a b <<可得0a b a +<<，同除以()a b a +，可得11a b a>+，D 成立．10．答案BC 命题意图本题考查函数的概念．解析A ，D 中函数的定义域不同．11．答案AD 命题意图本题考查函数的图象与性质．解析分别作出相应的图象，如图：对于A ，容易看出2xy =的图象上存在两点13,8⎛⎫- ⎪⎝⎭与11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线2x =-的距离均为1，故A 正确；对于B ，2xy =的图象在直线1y =上方的部分仅存在一点()1,2到直线1y =的距离为1，在直线1y =下方的部分满足01y <<，到直线1y =的距离均小于1，故不存在符合条件的两点，故B 错误；对于C ，因为20xy =>，故其图象上所有点到直线1y =-的距离均大于1，故C 错误；对于D ，利用几何知识可以算得点()0,1到直线y x =的距离为212<，由指数函数的图象可知，在点()0,1的两边各存在一点到直线y x =的距离为1，故D 正确．12．答案ABD 命题意图本题考查指数的运算性质．解析对于A ，因为236ab==，所以()()26,36baabba ==，所以26,36ab b ab a ==，所以2366ab ab b a⋅=⋅，所以66aba b +=，所以ab a b =+，故A 正确；对于B ，因为2ab a b ab =+≥，又a b ≠，所以2ab ab >4ab >，所以4a b ab +=>，故B 正确；对于C ，因为23ab=，所以2242398aab b b ===>，故C 错误；对于D ，设()222log log log a b ab t +==，则24ab '=>，所以2t >，故D 正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．答案4命题意图本题考查集合的概念和运算．解析因为2222250534=+=+，所以满足2225x y +=的自然数对有()()()()0,5,5,0,3,4,4,3，即A B中的元素有4个．14．答案2-命题意图本题考查奇函数的概念．解析设函数()322x g x x =+，则()g x 的最大值为1M +，最小值为1m +，容易判断()g x 是奇函数，所以()()110M m +++=，所以2M m +=-．15．答案()1,+∞命题意图本题考查函数的单调性．解析函数()1111ax a f x a x x --==+--，由()1,x ∈+∞时，()f x 单调递减，得10a ->，解得1a >．16．答案()1,-+∞命题意图本题考查分段函数和不等式的解法．解析由题意知，当1x >时，1221xx -+>恒成立；当01x <≤时，2121x x +-+>恒成立；当0x ≤时，由2121x x ++-+>，解得1x >-，所以10x -<≤．综上，x 的取值范围是()1,-+∞．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．命题意图本题考查指数和对数的运算性质．解析（Ⅰ）原式12232516432160.012716-⎛⎫⎛⎫=++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭593100241616=++-+100=．（Ⅱ）原式()2232234318log 22log log 3log 42⎡⎤=⨯++⨯⎢⎥⎣⎦()82343log 2log 9log 32log 4=++⨯82212=++=．18．命题意图本题考查集合的运算、充分条件与必要条件的判断．解析由2760x x -+≤得16x ≤≤，故{}16A x x =≤≤，由22210x x m -+-=得121,1x m x m =-=+，因为0m >，故{}11m x m x B -≤≤+=．（Ⅰ）若1m =，则{}02B x x =≤≤，所以{}12A B x x =≤≤ ．（Ⅱ）若x A ∈是x B ∈成立的充分不必要条件，则A B Ü，则有11,16,m m -≤⎧⎨+≥⎩解得5m ≥，此时满足A B Ü，所以m 的取值范围是[)5,+∞．19．命题意图本题考查指数函数的性质，函数与不等式的综合．解析（Ⅰ）因为()xf x a =的图象经过点()4,4，所以44a =，又0a >且1a ≠，所以a =1>，所以()xf x =在R 上单调递增．又因为()2222(1)10m m m ---=-+>，所以222m m ->-，所以()()222f f m m -<-．（Ⅲ）当33x -≤≤时，014x ≤-≤，所以1042)x -≤≤，即114x -≤≤，所以()g x 的值域为[]1,4．20．命题意图本题考查一元二次不等式与二次函数．解析（Ⅰ）当0m =时，显然60-<，满足题意；若0m <，显然满足题意；若0m >，则需()2Δ460m m m =-->，解得08m <<．综上，实数m 的取值范围是(),8-∞．（Ⅱ）由题可知，当[]2,1x ∈-时，()2120m x x -+-<恒成立．因为22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以()2120m x x -+-<等价于221m x x <-+．因为222211324y x x x ==-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭在区间[]2,1-上的最小值为27，所以只需27m <即可，所以实数m 的取值范围是2,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．21．命题意图本题考查函数模型的应用和二次函数的性质．解析（Ⅰ）当在甲城市投资125万元时，在乙城市投资75万元，所以总收益为1875363.754-+⨯+=（万元）．（Ⅱ）设在甲城市投资x 万元，则在乙城市投资()200x -万元，总收益为()()11820034544f x x x =-+-+=-+，依题意得70,20070,x x ≥⎧⎨-≥⎩解得70130x ≤≤．故()()145701304f x x x =-++≤≤．令t =，则t ∈，所以2145,4y t t =-++∈，因为该二次函数的图象开口向下，且对称轴t =，所以当t =，即80x =时，y 取得最大值65，所以当在甲城市投资80万元，乙城市投资120万元时，总收益最大，且最大总收益为65万元．22．命题意图本题考查函数的综合问题．解析（Ⅰ）因为()f x 在定义域R 上是奇函数，所以()00f =，所以1n =-．又由()()11f f -=-，可得3m =，经检验知，当3,1m n ==-时，原函数是奇函数．（Ⅱ）由（I ）知()()131121,333331x x x f x f x +-==-⋅++在R 上是增函数．证明：任取12,x x ∈R ，设12x x <，则()()2112211211212113331333133131x x x x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-⋅--⋅=- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭()()211223333131x x x x ⎡⎤-⎢⎥=++⎢⎥⎣⎦，因为12x x <，所以21330x x ->，又()()1231310x x++>，所以()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，所以函数()f x 在R 上是增函数．（Ⅲ）因为()f x 是奇函数，所以不等式()()2210f kx f x +->等价于()()()22112f kx f x f x >--=-，因为()f x 在R 上是增函数，所以212kx x >-，即对任意1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有212xk x ->成立．设()2212112x g x x x x -⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭，令11,,32t t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则有()212,,32g t t t t ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，所以()max max ()()33g x g t g ===，。

河南省2022-2023学年高一上学期期中数学试题含解析

河南省2022-2023学年上期线上阶段性测试高一数学（答案在最后）一､单项选择题：本题共8题小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1.已知集合*51,N M x x x ⎧⎫=>∈⎨⎬⎩⎭，则M 的非空真子集的个数是（）A.6B.8C.14D.16【答案】C 【解析】【分析】解分式不等式求集合M ，并确定元素个数，根据元素个数与集合子集的数量关系求M 的非空真子集的个数.【详解】由题设，5510x x x->⇒<，即()50x x -<，可得05x <<，∴{1,2,3,4}M =共有4个元素，故M 的非空真子集的个数42214-=.故选：C2.下列命题是真命题的是（）A.若ac bc >.则a b >B.若22a b >，则a b>C.若a b >，则11a b< D.若c d >，a c b d ->-，则a b>【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的性质可判断选项A ，D ；通过举反例可判断选项B ，C.【详解】当0c <时，若ac bc >，则a b <，故选项A 错误；当5,1a b =-=时，满足22a b >，但a b <，故选项B 错误；当5,1a b ==-时，满足a b >，但11a b>，故选项C 错误；若c d >，a c b d ->-，则由不等式的可加性得a c c b d d -+>-+，即a b >，选项D 正确.故选：D.3.已知函数f （x ）定义域为（0，+∞），则函数F （x ）＝f （x +2）的定义域为（）A.（﹣2，3]B.[﹣2，3]C.（0，3]D.（2，3]【解析】【分析】根据题意列出不等式组，进而解出答案即可.【详解】由题意，20(2,3]30x x x +>⎧⇒∈-⎨-≥⎩.故选：A.4.若函数()()log a f x x b =+的大致图象如图，其中,a b 为常数，则函数()xg x a b =+的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】由函数()log ()a f x x b =+的图象可推得，01a <<，且01b <<，可得函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，从而可判断答案.【详解】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，再由图象的平移变换知，()log ()a f x x b =+的图象由()log a f x x =向左平移不超过一个单位，可知01b <<，故函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)12g b <=+<，则符合题意的只有B 中图象5.关于x 的不等式()260Z x x a a -+≤∈解集中有且仅有3个整数，则a 的取值不可能是（）A.6B.7C.8D.9【答案】D 【解析】【分析】根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可.【详解】因为x 的不等式()260Z x x a a -+≤∈有解，所以2(6)409a a ∆=--≥⇒≤，即该不等式的解集为：33x -≤≤+因为关于x 的不等式()260Z x x a a -+≤∈解集中有且仅有3个整数，所以1258a ≤<⇒<≤，显然选项ABC 都可能，故选：D6.已知函数()()343,1log ,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A.()2,4- B.[)2,4-C.(],2-∞- D.{}2-【答案】B 【解析】【分析】首先求函数在1x ≥时函数的值域，再根据函数的值域为R ，确定1x <时函数的单调性和端点值的范围，求实数a 的取值范围.【详解】1x ≥时，3log 0y x =≥，又()f x 的值域为R ，则1x <时，()()43f x a x a =-+的值域包含(),0∞-，()404130a a a ->⎧∴⎨-⋅+≥⎩，解得：24a -≤<.故选：B7.已知函数22()log f x x x =+，则不等式(1)(2)0f x f +-<的解集为A.(),111)3(,--- B.3,1-（） C.(,1)(3,)-∞-+∞ D.(1,1)(1,3)-U【解析】【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数的奇偶性和单调性将不等式进行转化求解.【详解】解：不等式f （x +1）﹣f （2）＜0等价为f （x +1）＜f （2），∵f （x ）＝x 2+log 2|x |，∴f （﹣x ）＝（﹣x ）2+log 2|﹣x |＝x 2+log 2|x |＝f （x ），则函数f （x ）是偶函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 2+log 2x 为增函数，则不等式f （x +1）＜f （2）等价为f （|x +1|）＜f （2），∴|x +1|＜2且x +1≠0，即﹣2＜x +1＜2且x ≠﹣1，则﹣3＜x ＜1且x ≠﹣1，∴不等式的解集为（﹣3，﹣1）∪（﹣1，1），故选A ．【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．8.已知4()f x x x=+，2()1g x x ax =-+，若对1[1,3]x ∀∈，2[1,3]x ∀∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（）A.[2,)-+∞B.[2,)+∞ C.(,2]-∞- D.(,2]-∞【答案】B 【解析】【分析】将对1[1,3]x ∀∈，2[1,3]x ∀∈，使得()()12f x g x ≥转化为214x ax -+≤对于任意[1,3]x ∈恒成立，利用分离参数法以及函数单调性即可求解.【详解】∵4()f x x x=+，[1,3]x ∈∴4()4f x x x =+≥=，当且仅当4x x =，即2x =时取等号.∴当[1,3]x ∈时，min ()4f x =.∴对1[1,3]x ∀∈，2[1,3]x ∀∈，使得()()12f x g x ≥等价于()4g x ≤对于任意[1,3]x ∈恒成立，即214x ax -+≤对于任意[1,3]x ∈恒成立∴3a x x≥-对任意[1,3]x ∈恒成立∵函数3y x x=-在[1,3]上为增函数∴max3312a x x ⎛⎫≥-=-= ⎪⎝⎭，即2a ≥.故选：B.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的得选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5得分，部分选对的得2分，有得选错的得0分.9.若“x k <或3x k >+”是“41x -<<”的必要不充分条件，则实数k 的值可以是（）A.8- B.5- C.1 D.4【答案】ACD 【解析】【分析】由题得34k +≤-或1k ≥，化简即得解.【详解】若“x k <或3x k >+”是“41x -<<”的必要不充分条件，所以34k +≤-或1k ≥，所以7k ≤-或1k ≥.故选：ACD10.下列选项中正确的有（）A.不等式a b +≥恒成立 B.()()()22,13M a a N a a =-=+-，则M N >C.()101y x x x =+>+的最小值为1 D.存在a ，使得不等式12a a+≤【答案】BD 【解析】【分析】根据基本不等式的条件即可判断A 、C 、D ；利用作差法即可判断B.【详解】对于A ，当1,0a b =-=时，1a b +=-，0a b =>+，故A 错误；对于B ，()()()()22221323120M N a a a a a a a -=--+-=-+=-+>，所以M N >，故B 正确；对于C ，11111111y x x x x =+=++-≥-=++，当且仅当111x x +=+，即0x =时，取等号，又因0x >，所以111y x x =+>+，故C 错误；对于D ，当1a =时，12a a +=，所以存在a ，使得不等式12a a+≤成立，故D 正确.故选：BD.11.如图是三个对数函数的图象，则（）A.1a >B.01b <<C.222b c a <<D.c b<【答案】ABC 【解析】【分析】根据对数函数的图象可判断出10a c b >>>>，再判断各选项即可得．【详解】由对数函数图象得1,0,1a b c ><<，令1y =，log log 1b c b c ==，由已知图象得b c <，b c a ∴<<；而2x y =是增函数，222b c a ∴<<.故选：ABC ．12.已知函数()e 2xf x x =+-，()ln 2g x x x =+-，且()()0f a g b ==，则下列结论错误的是（）A.a b >B.()()0g a f b <<C.2a b +=D.()()0g a f b >>【答案】AD 【解析】【分析】先利用基本函数的单调性判定函数的单调性，进而判定a 、b 的取值范围，再利用函数()f x 和()g x 的单调性及()()0f a g b ==判定()g a 和()f b 的大小，再利用指数函数和对数函数的图象的对称性判定2a b +=.【详解】因为e x y =、ln y x =、2y x =-在其定义域内都是增函数，所以()e 2xf x x =+-、()ln 2g x x x =+-在其定义域内都是增函数.因为()00e 0210f =+-=-<，()11e 12e 10f =+-=->，且()0f a =，所以01a <<，又()1ln11210g =+-=-<，()2ln 222ln 20g =+-=>，且()0g b =，所以12b <<，所以012a b <<<<，即选项A 错误；因为a b <，函数()f x 、()g x 在其定义域内均为增函数，所以()()()()0g a g b f a f b <==<，所以()()0g a f b <<，即选项B 正确，选项D 错误；令()e 20xf x x =+-=，()ln 20g x x x =+-=，则e 2x x =-，ln 2x x =-，由于e x y =，ln y x =的图象都和直线2y x =-相交（如图所示），且函数e x y =和函数ln y x =的图象关于直线y x =对称，直线2y x =-和直线y x =的交点为()1,1，所以12a b+=，即2a b +=，即选项C 正确.故选：AD.三､填空题：本题共4题小题，每小题5分，共20分.13.函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4∞-上递减，则实数a 的取值范围是___________．【答案】(],3-∞-【解析】【分析】根据题意分析出二次函数的对称轴()2142a x -=-≥，由此可求出实数a 的取值范围.【详解】因为函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4∞-上递减，所以()2142a --≥，解得3a ≤-.故答案为：(],3-∞-.14.设2()f x ax bx =+，且)12(1f -≤≤，2(1)4f ≤≤，则(2)f 的最大值为_________.【答案】14【解析】【分析】分别得出()()1,1f a b f a b -=-=+的范围，进而将()242f a b =+由,a b a b -+来表示，然后求得答案.【详解】由题意，1224a b a b ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩，而()242f a b =+，设()()()()42a b x a b y a b x y a y x b +=-++=++-，所以4123x y x y x y +==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，即()()()23f a b a b =-++，所以()2214314f ≤⨯+⨯=.即(2)f 的最大值为14.故答案为：14.15.已知常数m ∈R ，若函数()2x m f x -=反函数的图象经过点(4,2)，则m =________【答案】0【解析】【分析】根据题中条件，得到()2x m f x -=的图象经过点(2,4)，进而可求出结果.【详解】因为函数()2x m f x -=反函数的图象经过点(4,2)，所以()2x m f x -=的图象经过点(2,4)，则242m -=，所以0m =.故答案为：0.16.函数0.5()2log 1xf x x =-的零点个数为__________.【答案】2【解析】【分析】求函数()0.52log 1xf x x =-的零点个数⇔求对应方程0.52log 10xx -=即0.51|log |2x x =的根的个数⇔求函数0.5|log |y x =与函数1122xx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭的交点个数.在同一直角坐标系下画出函数0.5|log |y x =与函数1122xx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭的图象，确定交点个数，即可.【详解】令()0.52log 10xf x x =-=，即0.51|log |2xx =画函数0.5|log |y x =与函数1122xx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭的图象，如下图所示由图象可知，函数0.5|log |y x =与函数1122xx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭有2个交点所以函数()0.52log 1xf x x =-有2个零点.故答案为：2【点睛】关键点点睛：查函数的零点个数，利用数形结合思想以及转化与化归思想，将函数的零点转化对应方程的根，从而转化为两个函数的交点.属于中档题.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知集合{22}A xa x a =-≤≤+∣，{1B x x =≤∣或4}x ≥.（1）当3a =时，求R A B U ð；（2）若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{5}R x x A B =≤≤ ∣-1ð；（2）(),1a ∈-∞.【解析】【分析】（1）根据题意，结合数轴与补集的运算，即可求解；（2）根据题意，分类讨论A =∅和A ≠∅两种形式，再结合数轴即可求解.【详解】(1)当3a =时，{5}A xx =≤≤∣-1.由{1B xx =≤∣或4}x ≥，得{}14R B x x =<<ð，故{5}R x x A B =≤≤ ∣-1ð.(2)①当A =∅，即22a a ->+，也就是a<0时，A B ⋂=∅；②当A ≠∅，即0a ≥时，由A B ⋂=∅，得2124a a ->⎧⎨+<⎩，解得1a <，故10a >≥.综上，(),1a ∈-∞.18.计算下列各式的值（1）1220.5312220.0154--⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()()248525125log 125log 25log 5log 2log 4log 8++⋅++.【答案】（1）1615；（2）13.【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算性质进行求解即可；（2）根据对数的运算性质进行求解即可.【小问1详解】()10220.512220.52312220.13110221211431016;101545⎛⎫⨯- ⎪⎭⨯-⎝--⎛⎛⎫⎛⎫⎫=+⨯- ⎪⎝⎭=+⨯+⨯- ⎪-=⎪⎝⎭⎝⎭【小问2详解】()()()()24852512525555222log 125log 25log 5log 2log 4log 813log 5log 5log 5log 2log log 313log 53log 2313.22++⋅++⎛⎫=++⋅++ ⎪⎝⎭=⨯=19.已知函数()211mx f x x +=+是R 上的偶函数.（1）求实数m 的值；（2）判断函数()f x 在区间(],0-∞上的单调性，并用定义证明；（3）求函数()f x 在区间[]3,2-上的最大值与最小值.【答案】（1）0m =（2）单调递增，理由见解析；（3）()()max min 11,10f x f x ==.【解析】【分析】（1）根据偶函数的性质进行求解即可；（2）根据单调性的定义进行判断证明即可；（3）根据偶函数的性质，结合单调性进行求解即可.【小问1详解】因为函数()211mx f x x +=+是R 上的偶函数，所以有()()2211112011mx mx f x f x mx mx mx x x +-+=-⇒=⇒+=-+⇒=++，因为x ∈R ，所以0m =；【小问2详解】由（1）可知：0m =，即()211f x x =+，该函数单调递增，理由如下：设12,x x 是(],0-∞上任意两个实数，且12x x <，即120x x <≤，()()()()()()()()()22212121122222221212121111111111x x x x x x f x f x x x x x x x +++--=-==+++++-+，因为120x x <≤，所以()()()()()()()()212112122212011x x x x f x f x f x f x x x +--=<⇒<++，所以函数()f x 在区间(],0-∞上单调递增；【小问3详解】由（2）可知：函数()f x 在区间(],0-∞上单调递增，而函数()f x 是偶函数，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，因为[]3,2x ∈-，111(0)1,(2),(3)14510f f f ===-=+，所以()()max min 11,10f x f x ==.20.有一种新型的洗衣液，去污速度特别快，已知每投放k 个(14k ≤≤，且R k ∈)单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (分钟)变化的函数关系式近似为()y kf x =，其中()241,04817,4142x x f x x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩.若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验，当水中洗衣液浓度不低于4克/升时，它才能起到有效去污的作用.(1)若只投放一次k 个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升，求k 的值；(2)若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？(3)若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第12分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由.【答案】（1）1k =；（2）12分钟；（3）见详解.【解析】【分析】（1）由只投放一次k 个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升，根据已知可得，()3kf x =，代入可求出k 的值；（2）由只投放一次4个单位的洗衣液，可得964,048282,414x y x x x ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪-<≤⎩，分04x ≤≤、414x <≤两种情况解不等式4y ≥即可求解；（3）令12x =，由题意求出此时y 的值并与4比较大小即可.【详解】（1）因为()241,04817,4142x x f x x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩，当两分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升时，可得()3kf x =，即241382k ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭，解得1k =；（2）因为4k =，所以()964,0448282,414x y f x x x x ⎧-≤≤⎪==-⎨⎪-<≤⎩，当04x ≤≤时，96448x-≥-，将两式联立解之得04x ≤≤；当414x <≤时，2824x -≥，将两式联立解之得412x <≤，综上可得012x ≤≤，所以若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达12分钟；（3）当12x =时，由题意1242712115282y ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+⨯-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，因为54>，所以在第12分钟时洗衣液能起到有效去污的作用.【点睛】本题主要考查分段函数模型的选择和应用，其中解答本题的关键是正确理解水中洗衣液浓度不低于4克/升时，它才能起到有效去污的作用，属中等难度题.21.设函数()f x 的定义域是()0,∞+，且对任意正实数x ，y 都有()()()f xy f x f y =+恒成立，已知()21f =，且当1x >时，()0f x >.（1）求12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（2）判断()y f x =在区间()0,∞+内的单调性，并给出证明；（3）解不等式()()2861f x f x >--.【答案】（1）1-；（2）增函数，理由见解析；（3）3342|x x ⎧<<⎫⎨⎬⎩⎭.【解析】【分析】（1）利用赋值法，即可求得所求的函数值，得到答案；（2）首先判定函数为增函数，然后利用函数的单调性的定义和所给条件进行证明即可；（3）利用函数的单调性和所得函数值对应的自变量得到函数不等式，得出不等式组，即可求解.【小问1详解】由题意，函数()f x 对任意的正实数x ，y 都有()()()f xy f x f y =+恒成立，令1x y ==，可得(1)(1)(1)f f f =+，所以()10f =，令12,2x y ==，可得1(1)(2)(2f f f =+，即11()02f +=，解得1()12f =-；【小问2详解】函数()f x 为增函数，证明如下：设12,(0,)x x ∈+∞且12x x <，令211,x x x y x ==，根据题意，可得2121()()()x f x f f x x +=，即2211()()()x f x f x f x -=，又由1x >时，()0f x >，因为211x x >，可得21()0x f x >，即21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >，所以函数()y f x =在(0,)+∞上的单调递增；【小问3详解】由题意和（1）可得：11(86)1(86)()[(86)](43)22f x f x f f x f x --=-+=-=-，又由不等式(2)(86)1f x f x >--，即(2)(43)f x f x >-，可得243430x x x >-⎧⎨->⎩，解得3342x <<，即不等式(2)(86)1f x f x >--的解集为3342|x x ⎧<<⎫⎨⎬⎩⎭.【点睛】关键点睛：令211,x x x y x ==，构造大于1的实数是证明单调性的关键.22.已知函数()()()4log 41x f x kx k =++∈R 是偶函数.（1）求实数k 的值；（2）设()44log 23x g x a a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，若函数()f x 的图象与()44log 23x g x a a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭的图象有且仅有一个公共点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）12k =-；（2）{}()31,-⋃+∞.【解析】【分析】（1）根据偶函数的性质进行求解即可；（2）利用转化法，根据对数的运算性质，结合换元法分类讨论进行求解即可.【小问1详解】函数4()log (41)x f x kx =++定义域为R ，又()f x 是偶函数，即()()0f x f x --=，则44log (41)[log (41)]0x x kx kx -++-+-=，即有()()4444141log 20log 2020(12)041441x x x x x x kx kx x kx k x --+++=⇒+=⇒+=⇒+=++，因为x ∈R ，所以11202k k +=⇒=-；【小问2详解】因函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，则方程()()f x g x =有唯一解，由（1）知：444414414log (41)log (2)log log (2)2323x x x x x x a a a a ++-=⋅-⇒=⋅-，即方程142223x x x a ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭有且只有一个根，令20x t =>，则方程()241103a t at ---=有且只有一个正根，当1a =时，解得34t =-，此时4203x a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，而1202x x +>，不合题意；当1a >时，()24113y a t at =---开口向上，且过定点()0,1-，符合题意，当1a <时，()()24Δ410343021a a aa ⎧⎛⎫=-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎨-⎪->⎪-⎪⎩，解得3a=-，综上：实数a 的取值范围是{}()31,-⋃+∞.。

河南省南阳市2023-2024学年高一上学期期终质量评估数学试题

河南省南阳市2023-2024学年高一上学期期终质量评估数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
A．B．
C ．
D ．
1
二、多选题
9．下列情境适合用古典概型来描述的是（）
A ．向一条线段内随机地投射一个点，观察点落在线段上不同位置
B ．五个人站一排，观察甲乙两人相邻的情况
C ．从一副扑克牌（去掉大、小王共52张）中随机选取1张，这张牌是红色牌
D ．某同学随机地向靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环，命中1环和脱靶
10．已知函数()22,2
log ,2
x a x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩，若()f x 存在最小值，则实数a 的可能取值为（）
四、解答题
(2)若()22x
f x m >+恒成立，求实数m 的取值范围.。

河南省商丘开封名校联考2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

A． m2 + n2 ³ 2
B．
1 m
+
1 n
³
2
C．
m
£
23 3
D． m3 + n3 £ 2
三、填空题 12．命题“ "x > 2 ， x3 - 4x > 0 ”的否定是
13．已知 f ( x) 满足 f ( x + y) = f ( x) + f ( y) + 2 ，且 f (2) = 2 ，则 f (3) = .
【详解】因为 a + 5b = 2 (2a + b) - 3(a - b) ，又 -3 £ 2a + b £ 4 ， -1 £ a - b £ 2 ，所以 -6 £ 2(2a + b) £ 8 ， -6 £ -3(a - b) £ 3 ，所以 -12 £ 2(2a + b) - 3(a - b) £ 11 ，即 a + 5b
为
f
(
x)
的一个“倒域
区间”.已知定义在[-2,2] 上的奇函数 g ( x) ，当 x Î[0, 2] 时， g ( x) = -x2 + 2x . (1)求 g ( x) 的解析式；
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(2)若关于 x 的方程 g ( x) = -mx - m 在 (0, 2) 上恰有两个不相等的根，求 m 的取值范围； (3)求函数 g ( x) 在定义域内的所有“倒域区间”.
f (-x) = - f ( x) ，设 g ( x) = xf ( x) ，则 g (-x) = (-x) f (-x) = xf ( x) = g ( x) ，所以函数
g ( x) 为偶函数，故选 B．

2023-2024学年河南省濮阳市、周口市等八地市高一(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年河南省濮阳市、周口市等八地市高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符1．函数f(x)=√x−2023+√2024−x的定义域为（）A．[2023，2024]B．（2023，2024）C．[0，2024]D．[2023，+∞）2．若命题p：∃x＞0，x2﹣2x+1＜0，则￢p为（）A．∃x＞0，x2﹣2x+1≥0B．∀x＞0，x2﹣2x+1≥0C．∃x≤0，x2﹣2x+1＞0D．∀x≤0，x2﹣2x+1＞03．已知集合M＝{（x，y）|y＝3x+4}，N＝{（x，y）|y＝x2}，则M∩N＝（）A．{﹣1，4}B．{1，4}C．{（﹣1，1），（4，16）}D．（﹣1，1），（4，16）4．若幂函数f（x）＝x m的图象过点（2，√2），则实数m＝（）A．2B．3C．﹣1D．1 25．已知﹣1＜a＜2，﹣2＜b＜3，则下列不等式错误的是（）A．﹣3＜a+b＜5B．﹣4＜a﹣b＜4C．2＜ab＜6D．a2+b2＜13 6．已知U为全集，集合A，B为U的两个子集，则“A⊆∁U B”的充要条件是（）A．B⊆∁U A B．A⊆B C．B⊆A D．∁U A⊆B 7．已知a＞b＞c，a﹣c＝5，则（a﹣b）2+（b﹣c）2的最小值为（）A．25B．252C．5D．528．下列说法正确的是（）A．若一次函数f（x）＝x+1，则f（x﹣1）＝x﹣2B．函数y＝x2的图象与直线y＝1有1个交点C．若函数f（x﹣2）的定义域为[﹣4，5]，则函数f（x+3）的定义域为[﹣6，3]D．函数f（x）＝2|x|与函数g(x)=√4x2是同一个函数二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。

9．已知a+1＞b＞2a＞0，则下列选项可以成立的是（）A．a＝2B．a＝1C．b＝1D．ab＝110．某种商品单价为50元时，每月可销售此种商品300件，若将单价降低x （x ∈N *）元，则月销售量增加10x 件，要使此种商品的月销售额不低于15950元，则x 的取值可能为（）A ．9B ．7C ．13D ．1111．已知函数f(x)=√x 2−2x +m （m ∈R ）的定义域为P ，值域为Q ，则下列说法正确的是（）A ．若m ＝0，则P ＝RB ．若m ＝2，则P ＝RC ．若m ＝0，则Q ＝[0，+∞）D ．若m ＝2，则Q ＝[2，+∞）12．已知函数f(x)=x +4x，则下列说法正确的是（） A ．在（0，+∞）上，f （x ）的最小值为4 B ．在（0，2）上，f （x ）单调递减C ．f （x ）为奇函数D ．在（﹣∞，﹣1）上，f （x ）单调递增三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

河南省郑州市十所省级示范性高中2024-2025学年高一上学期期中联考数学试卷含答案

2024-2025学年上期高一年级期中联考试题数学学科（答案在最后）命题人：考试时间：120分钟分值：150分注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分.考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡）.在试题卷上作答无效.一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,0,1,2,3M =-，{}|114N x x =-<-≤，则M N = （）A.{}2,0,1,2,3- B.{}2,0,1- C.{}0,1,2,3 D.{}20-，【答案】B 【解析】【分析】利用集合交集的定义求解即可．【详解】因为{}2,0,1,2,3M =-，{}|32N x x =-≤<，所以{}2,0,1M N ⋂=-.故选：B 2.函数0()(3)f x x =+的定义域是（）A.(,3)(3,)-∞-⋃+∞B.(,3)(3,3)-∞-- C.(,3)-∞- D.(,3)-∞【答案】B 【解析】【分析】根据函数解析式，只需解析式有意义，即3030x x ->⎧⎨+≠⎩，解不等式即可求解.【详解】由0()(3)f x x =+，则3030x x ->⎧⎨+≠⎩，解得3x <且3x ≠-，所以函数的定义域为(,3)(3,3)-∞-- 故选：B3.已知p ：223x x +=，q ：2x =，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】解方程223x x +=和2x =，根据充分条件、必要条件即可求解.【详解】由223x x +=，得1x =-或3x =，由2x =，得3x =或0x =，因为1x =-或3x =成立推不出3x =或0x =成立，反之也不成立，所以p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件.故选：D4.若()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且()()3xf xg x +=，则()f x 的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性可得()()3xf xg x --=，即可求解()f x 解析式，通过排除可得答案．【详解】解：由()()3xf xg x +=得：()()3xf xg x --+-=，即()()3xf xg x --=，由()()()()33xx f x g x f x g x -⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得：()332x x f x -+=，由33122x x -+≥=，排除BC ．由指数函数的性质（指数爆炸性）排除D ．故选：A5.函数y =）A.5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.(),1-∞ C.[)4,+∞ D.5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据复合函数的单调性即可求解.【详解】2540x x -+≥，即(4)(1)0x x --≥，解得4x ≥或1x ≤，令254t x x -=+，则254t x x -=+的对称轴为5522x -=-=，254t x x ∴=-+在(,1)-∞上单调递减，在[4,)+∞上单调递增，又y =是增函数，y ∴=在(,1)-∞上单调递减，在[4,)+∞上单调递增.故选：B.6.若函数()2,142,12x ax x f x a x x ⎧+>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为（）A.(2,)-+∞B.(2,8)- C.10,83⎛⎫⎪⎝⎭D.10,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】根据条件，要使函数是R 上的增函数，每一段函数在其定义域内必须为增函数且左端的最大值小于等于右端的最小值，列出不等式组求解即可.【详解】因为函数2,1()(4)2,12x ax x f x ax x ⎧+>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的增函数，所以1240214+22aaa a ⎧-≤⎪⎪⎪->⎨⎪⎪+≥-⎪⎩，解得：1083a ≤<，故选：D .7.已知()f x 的定义域为()0,∞+，且满足()41f =，对任意()12,0,x x ∈+∞，都有()()()1212f x x f x f x ⋅=+，当()0,1x ∈时，()0f x <.则()()31263f x f x ++-≤的解集为（）A.(]0,4 B.(]3,5 C.()3,6 D.[)4,5【答案】B 【解析】【分析】利用单调性定义可判断函数为增函数，再结合单调性可求不等式的解.【详解】设()34,0,x x ∞∈+且34x x <，对任意(),0,x y ∈+∞，都有()()()f xy f x f y =+即()()()f xy f x f y -=，∴()()3344x f x f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,340x x << ，3401x x ∴<<，又当()0,1x ∈时,()0f x <，()()33440x f x f x f x ⎛⎫-=<⎪⎝⎭,()f x \在()0,∞+上是增函数，令124x x ==,则()()()16442f f f =+=,令14x =,216x =，则()()()644163f f f =+=，()()()3126364f x f x f ∴++-≤=，结合()f x 的定义域为()0,∞+，且在()0,∞+上是增函数，又()()()1212f x x f x f x ⋅=+恒成立，()()()312664f x x f ⎡⎤∴+⋅-≤⎣⎦，()()310260312664x x x x +>⎧⎪->∴⎨⎪+-≤⎩(]3,5x ∴∈，∴不等式的解集为(]3,5，故选：B .8.已知函数()f x 是R 上的奇函数，对任意的()12,,0x x ∞∈-，()()()211212120,x f x x f x x x x x ->≠-，设()1523,,1325a f b f c f ⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c >>B.c a b>> C.c b a>> D.b c a>>【答案】A 【解析】【分析】确定数()()f x g x x=在(),0-∞上单调递增，()g x 是()(),00,-∞+∞ 上的偶数，变换得到13a g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，25b g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1c g =-，根据单调性得到答案.【详解】()()()211212120,x f x x f x x x x x ->≠-，即()()()121212120,f x f x x x x x x x ->≠-，故函数()()f x g x x=在(),0-∞上单调递增，()f x 是R 上的奇函数，故()g x 是()(),00,-∞+∞ 上的偶数，1113333a f g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，522255b f g ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()111c f g g ===-.12135->->-，故a b c >>.故选：A二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.至少有一个实数x ，使210x +=B.“0a b >>”是“11a b<”的充分不必要条件C.命题“21,04x x x ∃∈-+<R ”的否定是假命题D.“集合{}210A x ax x =++=”中只有一个元素是“14a =”的必要不充分条件【答案】BD 【解析】【分析】由在实数范围内，20x >可得A 错误；举反例可得必要性不成立，可得B 正确；由全称与特称命题的性质和二次函数的性质可得C 错误；由集合A 中只有一个元素可得0a =或14，再由必要性可得D 正确；【详解】对于A ，在实数范围内，20x >，210x +>，故A 错误；对于B ，若0a b >>，则11a b<，充分性成立，若11a b<，如1,2a b =-=-，此时0a b >>，必要性不成立，所以“0a b >>”是“11a b<”的充分不必要条件，故B 正确；对于C ，命题“21,04x x x ∃∈-+<R ”的否定是21,04x x x ∀∈-+≥R ，由二次函数的性质可得()214f x x x =-+开口向上，0∆=，所以()0f x ≥恒成立，故C 错误；对于D ，若集合{}210A x ax x =++=中只有一个元素，当0a =时，1x =-；当0a ≠时，可得11404a a D =-=Þ=，所以必要性成立，故D 正确；故选：BD.10.已知正实数,x y 满足22x y +=，则下列说法不正确的是（）A.3x y +的最大值为174B.42x y +的最小值为2C.2xy 的最大值为2D.211x y+的最小值为2【答案】AC 【解析】【分析】直接利用基本不等式即可求解BC ，利用乘“1“法即可判断D ，利用二次函数的性质可求解A.【详解】对于A ，因为22x y +=，所以22x y =-，因为,x y 为正实数，所以220y ->，解得：0<<y ，2231732324x y y y y ⎛⎫+=-+=--+ ⎪⎝⎭，由二次函数的性质可知3x y +的无最大值，故A 错误；对于B ，22422(22x y x y ++≥⨯=，当且仅当21x y ==时取等号，故B 正确；对于C ，22212x y xy ⎛⎫+≤= ⎪⎝⎭，当且仅当21x y ==时取等号，所以2xy 的最大值为1，故C 错误；对于D ，因为22x y +=，所以2122x y +=，222222111111=1=12222x y y xx y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅+⋅+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111222≥+=+⨯=，当且仅当2222y xx y=，即21x y ==时取等，故D 正确.故选：AC .11.给出定义：若()1122m x m m -<≤+∈Z ，则称m 为离实数x 最近的整数，记作{}x m =.在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个结论，其中正确的是（）A.函数()y f x =值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.函数()y f x =是偶函数C.函数()y f x =在11,22⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增D.函数()y f x =图象关于直线()2kx k =∈Z 对称【答案】ABD 【解析】【分析】根据{}x 的定义，画出函数的图象，根据图象判定即可.【详解】根据{}x 的定义知函数()y f x =的定义域为R ,又{}x m =，则{}{}11,22x x x -<≤+即{}11,22x x -<-≤所以{}10,2x x ≤-≤故函数()y f x =值域为10,2⎡⎤⎢⎣⎦，A 正确；函数()y f x =的图象如下图所示，有图可知函数()y f x =是偶函数，B 正确；函数()y f x =在11,22⎡⎤-⎢⎣⎦上有增有减，C 错误；由图可知()y f x =的图象关于()2kx k =∈Z 对称，D 正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()()222,22,2x x x f x f x x ⎧-++≤⎪=⎨->⎪⎩，则()5f =__________.【答案】3【解析】【分析】将5x =代入分段函数中即可得出答案.【详解】因为()()222,22,2x x x f x f x x ⎧-++≤⎪=⎨->⎪⎩，所以()()()()()55233211223f f f f f =-==-==-++=.故答案为：3.13.已知函数()1f x xx=+，计算()()()()1111122024202420232f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭_________．【答案】2024【解析】【分析】先求出1()()f x f x+，再观察所求，倒序相加即可得解.【详解】由()1xf x x=+，得111()()111111x x x f x f x x x x x+=+=+=++++，所以111()()()(1)(1)(2)(2024)202420232f f f f f f f ++++++++ 111[((2024)][()(2023)][()(2)][(1)(1)]202420232f f f f f f f f =++++++++ 11112024=++++= .故答案为：2024.14.下列结论中，正确的结论有__________（填序号）.①若1x <-，则11x x ++的最大值为2-②当0x ≥时，函数21244x y x x +=++的最大值为1③若正数,x y 满足23x y xy +=，则2x y +的最小值为83④若,a b 为不相等的正实数，满足11a b a b +=+，则118a b a b++≥+【答案】③④【解析】【分析】对①：借助基本不等式计算可得；对②：借助整体思想可得()12211y x x =+++，再利用基本不等式计算即可得；对③：由23x y xy +=可得12133y x+=，再借助基本不等式中“1”的活用计算即可得；对④：由11a b a b+=+可得1ab =，再通分后借助基本不等式计算即可得.【详解】对①：由1x <-，则10x -->，故()()11111311x x x x +=---+-≤-=-+---当且仅当()111x x --=--，即2x =-时，等号成立，即11x x ++的最大值为3-，故①错误；对②：()()22111122444212211x x y x x x x x ++===≤+++++++，当且仅当0x =时，等号成立，故函数21244x y x x +=++的最大值为14，故②错误；对③：由23x y xy +=，故2121333x y xy y x+=+=，又,x y 为正数，故()12224482233333333x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当423x y ==时，等号成立，故2x y +的最小值为83，故③正确；对④：若,a b 为不相等的正实数，满足11a b a b +=+，则118a b a b++≥+由11a b a b +=+，则11a b a b b a ab--=-=，又,a b 为不相等的正实数，故1ab =，则11888a b a b a b a b ab a b a b+++=+=++≥+++当且仅当1a =+，1b =-或1a =-，1b =+时，等号成立，故④正确.故答案为：③④.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及验算步骤.15.（1）求值：110340.064(π)(16)--++；（2）已知()112230a aa -+=>，求值：12222a a a a --++++.【答案】（1）8π5-；（2）949【解析】【分析】（1）根据题意，由指数幂的运算即可得到结果；（2）由()112230a aa -+=>平方可得1a a -+的值，再对1a a -+平方可得22a a -+的值，代入即可得出答案.【详解】（1）110340.064(π)(16)--++()1313442123π5⎡⎤⎛⎫=-++-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦212π35=-++-8π5=-（2）()112230a a a -+=> ，21112227,a a a a --⎛⎫∴+=+-= ⎪⎝⎭()2221247,a a a a --+=+-=12229.249a a a a --++∴=++16.设全集U =R ，集合{}{}02,123A x x B x a x a =<≤=-<<+.（1）若2a =时，求(),U A B A B ⋃⋂ð；（2）若A B B = ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}07A B x x ⋃=<<，(){}01U A B x x ⋂=<≤ð（2）(],4-∞-【解析】【分析】（1）得到集合B 后，结合并集定义即可得A B ，结合交集与补集定义即可得()U A B ⋂ð；（2）由A B B = 可得B A ⊆，分B =∅及B ≠∅计算即可得解.【小问1详解】当2a =时，{}17B x x =<<，则{}07A B x x ⋃=<<，{1U B x x =≤ð或}7x ≥，故(){}01U A B x x ⋂=<≤ð；【小问2详解】因为A B B = ，所以B A ⊆，若B =∅，则231a a +≤-，即4a ≤-，若B ≠∅，则232410a a a +≤⎧⎪>-⎨⎪-≥⎩，无解；综上，当A B B = 时，a 的取值范围是(,4ù-¥-û.17.已知函数2()()2f x x a b x a =-++.（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为{|12}x x <<，求,a b 的值；（2）当2b =时，（i ）若函数()f x 在[2,1]-上为单调递增函数，求实数a 的取值范围；（ii ）解关于x 的不等式()0f x >.【答案】（1）12a b =⎧⎨=⎩（2）（i ）6a ≤-；（ii ）答案见解析【解析】【分析】(1)根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系，借助韦达定理列式计算即得.(2)把2b =代入，利用二次函数的单调性列出不等式即可得解；分类讨论解一元二次不等式即可作答.【小问1详解】依题意，关于x 的方程2()20x a b x a -++=的两个根为1和2，于是得322a b a +=⎧⎨=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩，所以12a b =⎧⎨=⎩.【小问2详解】当2b =时，2()(2)2f x x a x a =-++，（i ）函数()f x 的对称轴为22a x +=，因函数()f x 在[2,1]-上为单调递增函数，则222a +≤-，解得6a ≤-，所以实数a 的取值范围是6a ≤-；（ii ）不等式为2(2)20x a x a -++>，即()(2)0x a x -->，当2a <时，解得x a <或2x >，当2a =时，解得2x ≠，当2a >时，解得2x <或x a >，综上可知，当2a <时，不等式的解集为(,)(2,)a -∞⋃+∞，当2a =时，不等式的解集为(2)(2,)-∞⋃+∞，，当2a >时，不等式的解集为(2)(,)a -∞⋃+∞，.18.在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备x 万台且全部售完，每万台的销售收入()G x （万元）与年产量x （万台）满足如下关系式：()()180,0202000800070,201x x G x x x x x -<≤⎧⎪=⎨+->⎪-⎩.（1）写出年利润()W x （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式（利润=销售收入-成本）（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润．【答案】（1）()()25090,0208000201950,201x x x W x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨-+->⎪-⎩（2）20，1350【解析】【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式；（2）分别求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论.【小问1详解】因为()()180,0202000800070,201x x G x x x x x -<≤⎧⎪=⎨+->⎪-⎩，所以()()()25090,02050908000201950,201x x x W x G x x x x x x ⎧-+-<≤⎪=--=⎨-+->⎪-⎩；【小问2详解】当020x <≤时，()()225090451975W x x x x =-+-=--+，由函数性质可知当45x ≤时单调递增，所以当20x =时，()max 1350W x =，当20x >时，()()()8000400201950201193011W x x x x x ⎡⎤=-+-=--++⎢⎥--⎣⎦，由不等式性质可知()()4002011930202193011301W x x x ⎡⎤=--++≤-⨯⨯=⎢⎥-⎣⎦，当且仅当40011x x -=-，即21x =时，等号成立，所以()max 1130W x =，综上当20x =时，()max 1350W x =.19.已知函数()()2210g x ax ax b a =-++>在区间[]2,3上有最大值4和最小值1．设()()g x f x x =．（1）求,a b 的值;（2）若不等式()220x x f k -⋅≥在[]1,1x ∈-上有解,求实数k 的取值范围;（3）若()2213021x x f k k -+⋅-=-有三个不同的实数解,求实数k 的取值范围．【答案】（1）1,0a b ==（2）(],1-∞（3）()0,∞+【解析】【分析】(1)根据()g x 的函数性质,即可判断()g x 在[]2,3上单调性,即有()()21,34g g ==,解出,a b 即可;(2)根据(1)中结论,代入题中,先对式子全分离,再用换元求出其最值即可得出结果;(3)将(1)中结论,代入题中式子,令()21xh x t =-=,根据图像变换画出函数图象,根据()()2213221210x x k k --+⋅-++=有三个不同的根及()h x 图象性质可知,只需()()232210t k t k -+++=有两个不同的实数解1t 、2t ,且有101t <<,21t >,或101t <<,21t =成立即可,根据二次函数根的分布问题,分别列出不等式解出即可.【小问1详解】解:由题知()()211g x a x b a =-++-,因为0a >,所以()g x 为开口向上的抛物线,且有对称轴为1x =,所以()g x 在区间[]2,3上是单调增函数,则()()2134g g ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即11414a b a a b a ++-=⎧⎨++-=⎩,解得1,0a b ==;【小问2详解】由(1)得()221g x x x =-+,则()12f x x x =+-,因为()220x x f k -⋅≥在[]1,1x ∈-上有解,即[]1,1x ∃∈-,使得12222x x x k +-≥⋅成立,因为20x >,所以有2111222x x k ⎛⎫+-⋅≥ ⎪⎝⎭成立,令12x t =,因为[]1,1x ∈-,所以1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,即1,22t ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦,使得221k t t ≤-+成立,只需()2max 21k t t ≤-+即可,记()()22211h t t t t =-+=-,因为1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,得()()max 21h t h ==,所以k 的取值范围是(],1-∞;【小问3详解】因为()2213021x x f k k -+⋅-=-有三个不同实数解,即()()2213221210x x k k --+⋅-++=有三个不同的根,令()21x h x t =-=,则()0,t ∈+∞,则()h x 图象是由2x y =图象先向下平移一个单位,再将x 轴下方图像翻折到x 轴上方,画出函数图象如下:根据图像可知,一个()h x 的函数值,最多对应两个x 值,要使()()2213221210x x k k --+⋅-++=有三个不同的根,则需()()232210t k t k -+++=有两个不同的实数解1t 、2t ,且有101t <<,21t >,或101t <<,21t =,记()()()23221m t t k t k =-+++,当101t <<,21t >时,只需()()021010m k m k ⎧=+>⎪⎨=-<⎪⎩,解得0k >,当101t <<,21t =,只需()()021********m k m k k ⎧⎪=+>⎪=-=⎨⎪+⎪<<⎩,解得不存在,故舍去,综上:实数k 的取值范围是()0,∞+.【点睛】方法点睛:本题考查函数与方程的综合问题,属于中难题,关于方程根的个数问题的思路有:(1)对方程进行整体换元;(2)根据换元的对象,由图像变换,画出其图象;(3)根据方程根的个数,分析函数值的取值范围及二次方程根的个数;(4)利用二次函数根的分布问题进行解决即可.。

2024-2025学年河南省郑州市高一上学期期中数学质量检测试卷(含解析)

考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章～第三章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2024-2025学年河南省郑州市高一上学期期中数学质量检测试卷.1. 已知(){}(){},3,,1A x y x y B x y x y =+==-=∣∣，则A B = （）A. 2,1x y ==B. ()2,1 C.(){}2,1 D. {}2,1【答案】C 【解析】【分析】利用交集定义即可求得A B⋂【详解】由31x y x y +=⎧⎨-=⎩，可得21x y =⎧⎨=⎩则A B =(){}(){},3,1x y x y x y x y +=⋂-=∣∣()(){}3=,=2,11x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭∣故选：C2. 已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列说法正确的是（）A. 若a b >，c d >，则a c b d +>+ B. 若a b >，c d >，则a c b d ->-C. 若a b >，c d >，则ac bd > D. 若ac bc >，则a b>【答案】A 【解析】【分析】根据不等式的性质，结合举反例的方法，可得答案.【详解】对于A ，根据同向不等式具有可加性可知A 正确；对于B ，21a b =>=，24c d =->=-，但45a c b d -=<-=，故B 错误；对于C ，21a b =>=，24c d =->=-，但44ac bd =-==-，故C 错误；对于D ，当0c <时，由ac bc >，得a b <，故D 错误．故选：A ．3. 下列函数中，与函数2y x =+是同一函数的是（）A. 22y =+B. 2y =+C. 22x y x=+ D.y =【答案】B 【解析】【分析】通过两个函数三要素的对比可得答案.【详解】2y x =+的定义域为R ．对于A ，22y =+的定义域为[)0,+∞，与2y x =+的定义域不同，不是同一函数；对于B ，22y x =+=+定义域为R ，与2y x =+的定义域相同，对应关系相同，是同一函数；对于C ，22x y x=+的定义域为{}0x x ≠，与2y x =+的定义域不同，不是同一函数；对于D，2,2,22,2x x y x x x +≥-⎧==+=⎨--<-⎩与2y x =+对应关系不同，不是同一函数．故选：B ．4. 已知p ：0a b >> q ：2211a b<，则p 是q 的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据0a b >>与2211a b <的互相推出情况判断出属于何种条件.【详解】当0a b >>时，220a b >>，所以2211a b<，所以充分性满足，当2211a b<时，取2,1a b =-=，此时0a b >>不满足，所以必要性不满足，所以p 是q 的充分不必要条件，的故选：A.5. 已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，则()()03f f +等于（）A. 3- B. 1- C. 1D. 3【答案】C 【解析】【分析】根据(3)f (3)f =--以及(0)0f =可求出结果.【详解】因为函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，所以()()()33321f f =--=--+=．而()00f =，∴()()031f f +=．故选：C ．6. 若0x <，则1x x+（）A 有最小值―2B. 有最大值―2C. 有最小值2D. 有最大值2【答案】B 【解析】【分析】运用基本不等式求解即可.【详解】因为0x <，则0x ->，所以1()()2x x -+≥=-，当且仅当1x x -=-即：=1x -时取等号.所以12x x+≤-，当且仅当=1x -时取等号.故选：B.7. 已知函数()f x 的图象由如图所示的两条曲线组成，则（）A. ()()35ff -= B. ()f x 是单调增函数.C. ()f x 的定义域是(][],02,3∞-⋃D. ()f x 的值域是[]1,5【答案】D 【解析】【分析】根据函数的图象，结合函数求值、函数单调性、定义域与值域，可得答案.【详解】对于选项A ，由图象可得()32f -=，所以()()()321ff f -==，A 错误；对于选项B ，()04f =，()21f =，()()02f f >，故()f x 不是单调增函数，B 错误；对于选项C ，由图象可得()f x 的定义域为[][]3,02,3-⋃，C 错误；对于选项D ，由图象可得()f x 的值域为[]1,5，D 正确．故选：D ．8. 若定义域为R 的奇函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()20f =，则满足20)(x f x x≥的x 的取值范围是（）A. [][)2,02,-⋃+∞ B. ][3,10,1⎡⎤--⋃⎣⎦C. [)[)2,02,-⋃+∞ D. [)(]2,00,2-U 【答案】D 【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，由20)(x f x x≥可得()0xf x ≥且0x ≠可得020x x <⎧⎨-≤<⎩或002x x >⎧⎨<≤⎩解得20x -≤<或02x <≤，所以满足20)(x f x x≥的x 的取值范围是[)(]2,00,2-U ，故选：D .二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列函数既是偶函数，又在()0,∞+上单调递增的是（）A. y =B. 2y x =C. yD. 1y x=【答案】BC 【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性逐项分析判断.【详解】对A ：=y =在定义域内为奇函数，又∵y =在R 上单调递增，5u x =在R 上单调递增，则y =在R 上单调递增，A 错误；对B ：∵()22x x -=，则2y x =在定义域内为偶函数，且在()0,∞+内单调递增，B 正确；对C ：y又∵当()0,x ∈+∞，y 在()0,∞+内单调递增，C 正确；对A ：∵11=--x x ，则1y x =在定义域内为奇函数，且1y x=在()0,∞+内单调递减，D 错误；故选：BC.10. 下列关于幂函数y x α=的说法正确的是（）A. 幂函数的图象都过点()0,0，()1,1B. 当1,3,1α=-时，幂函数的图象都经过第一、三象限C. 当1,3,1α=-时，幂函数是增函数D. 若0α<，则幂函数的图象不过点()0,0【答案】BD 【解析】【分析】由幂函数的性质逐个判断即可.【详解】对于A ，当0α<时，幂函数的图象不通过点()0,0，A 错误；对于B ，幂指数1,3,1α=-时，幂函数分别为y x =，3y x =，1y x -=，三者皆为奇函数，图象都经过第一、三象限，故B 正确；对于C ，当1α=-时，幂函数1y x -=在(),0∞-，(0,+∞)上皆单调递减，C 错误；对于D ，若0α<，则函数图象不通过点()0,0，D 正确．故选：BD ．11. 下列结论正确的是（）A. 函数21x y x+=的最小值是2B. 若0ab >，则2b a a b+≥C. 若x ∈R ，则22122x x +++的最小值为2D. 若0,0a b >>22a b ++≥【答案】BD 【解析】【分析】根据题意，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，当0x <时，可得0y <，所以A 错误；对于B 中，因0ab >，则2b a a b +≥=，当且仅当b a a b =时，即a b =时，等号成立，所以B 正确；对于C中，由221222x x ++≥=+，当且仅当22122x x +=+时，此时方程无解，即等号不成立，所以C 错误；对于D 中，因为0,0a b >>22a b ++≥≥，当且仅当a b =时，等号成立，所以D 正确.故选BD ．12. 已知函数()f x 的定义域为A ，若对任意x A ∈，存在正数M ，使得()f x M ≤成立，则称函数为()f x 是定义在A 上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（）A. 3()4x f x x+=- B. ()f x =C. 25()22f x x x =-+ D. ()f x 【答案】BCD 【解析】【分析】“有界函数”值域需要有界，化简各函数，并求出函数的值域，然后进行判断.【详解】对于A ，3(4)77()1444x x f x x x x+--+===-+---，由于704x ≠-，所以()1f x ≠-，所以()[)0,f x ∈+∞，故不存在正数M ，使得()f x M ≤成立.对于B ，令21u x =-，则[]0,1u ∈，()f x =，所以()[]0,1f x ∈，故存在正数1，使得()1f x ≤成立.对于C ，令2222(1)1u x x x =-+=-+，则()5f x u=，易得1u ≥.所以()5051f x <≤=，即()(]0,5∈f x ，故存在正数5，使得()5f x ≤成立.对于D ，令t =[]0,2t ∈，24x t =-，则[]()22117()40,224f x t t t t ⎛⎫=-++=--+∈ ⎪⎝⎭，易得()1724f x ≤≤，所以()172,4f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故存在正数174，使得()174f x ≤成立.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知命题p ：x ∀∈Q ，x N ∈，则p ⌝为______．【答案】x ∃∈Q ，x ∉N 【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.【详解】因为p ：x ∀∈Q ，x ∈N ，所以p ⌝为x ∃∈Q ，x ∉N ．故答案为：x ∃∈Q ，x ∉N .14. 函数()1f x x=+的定义域为_____________.【答案】()(],00,1-∞⋃【解析】【分析】由题意列不等式组即可求得.【详解】要使函数()1f x x=有意义，只需10,0,x x -≥⎧⎨≠⎩解得：1x ≤且0x ≠，从而()f x 的定义域为()(],00,1-∞⋃.故答案为：()(],00,1-∞⋃15. 已知函数()f x 满足下列3个条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②函数()f x 在()0,∞+上单调递增；③函数()f x 无最值．请写出一个满足题意的函数()f x 的解析式：______．【答案】()21f x x=-（答案不唯一）【解析】【分析】结合函数的对称性、单调性及常见函数即可求解.【详解】由()f x 的图象关于y 轴对称知()f x 为偶函数，()f x 在(0,+∞)上单调递增，()f x 无最值，根据幂函数性质可知满足题意的一个函数为()21f x x=-.故答案为：()21f x x =-（答案不唯一）16. 已知函数()21x f x x=+，则不等式()211f x -<的解集是____________.【答案】()0,1【解析】【分析】由题可得()f x 为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，后利用()()f x f x =可得答案.【详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数.的又当0x >时，()21x f x x =+2222211x x x+-==-++单调递增.因为()f x 是偶函数，所以()f x 在(),1-∞单调递减，又因为()11f =，所以()211f x -<()()211f x f ⇔-<211121101x x x ⇔-<⇒-<-<⇒<<.故答案为：()0,1.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设全集U =R ，集合{}2680A x x x =-+=，31B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭．（1）求()U A B ⋃ð；（2）设集合(){}233,C x x a a x a =+=+∈Z ，若A C 恰有2个子集，求a 的值．【答案】（1）(){03U A B x x ⋃=≤≤ð或}4x = （2）2或4．【解析】【分析】（1）解方程和不等式求出集合,A B ，再由补集、并集运算即可求解；（2）解方程求出集合C ,再通过a 的讨论即可求解.【小问1详解】2680x x -+=，解得2x =或4，则{}2,4A =；由31x<，解得0x <或3x >，则{0B x x =<或}3x >；所以{}03U B x x =≤≤ð，(){03U A B x x ⋃=≤≤ð或}4x =．【小问2详解】因为A C 恰有2个子集，所以A C 仅有一个元素．()()()23330x a a x x x a +=+⇒--=，当3a =时，{}3C =，A C ⋂=∅，不满足题意；当2a =时，{}2,3C =，{}2A C ⋂=，满足题意；当4a =时，{}4,3C =，{}4A C ⋂=，满足题意．综上，a 的值为2或4．18. 已知函数()1f x x x=+．（1）求证：()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；（2）当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 值域．【答案】（1）证明见解析（2）52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义，结合作差法，可得答案；（2）根据（1）的单调性，求得给定区间上的最值，可得答案.【小问1详解】证明：()12,0,1x x ∀∈，且12x x <，有()()()121221212121212121121211111x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=+-+=-+-=-+=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由()12,0,1x x ∀∈，且12x x <，得210x x ->，1210x x -<，120x x >，所以()12211210x x x x x x --⋅<，即()()21f x f x <．所以()f x 在()0,1上单调递减．同理，当()12,1,x x ∈+∞，且12x x <，有()()()1221211210x x f x f x x x x x --=-⋅>．故()f x 在()1,+∞上单调递增．【小问2详解】由（1）得()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；在[]1,2上单调递增．()12f =，()15222f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()52,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故函数()f x 的值域为52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．的19. 设函数()223y ax b x =+-+.（1）若关于x 的不等式0y >的解集为{}13x x -<<，求4y ≥的解集；（2）若1x =时，2,0,0y a b =>>，求14a b+的最小值.【答案】（1）{}1（2）9【解析】【分析】（1）根据不等式的解集得到方程的根，代入求出,a b ，从而解不等式求出解集；（2）先得到1a b +=，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【小问1详解】由题知()2230ax b x +-+=的两个根分别是1-，3，则23093630a b a b +-+=⎧⎨+-+=⎩，解得1,4.a b =-⎧⎨=⎩故()2223234y ax b x x x =+-+=-++≥，2210x x -+≤，解得1x =.所求解集为{}1.【小问2详解】1x =时，2y =，即12++=a b ，所以有1a b +=，那么()1414a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭41459b a a b=+++≥+=，当且仅当41b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即1,323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，取等号.故14a b+的最小值为9.20. 已知集合(){}40A x x x =-≥，{}121B x a x a =+<<-．（1）若x A ∀∈，均有x B ∉，求实数a 的取值范围；（2）若2a >，设p ：x B ∃∈，x A ∉，求证：p 成立的充要条件为23a <<．【答案】（1）5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据二次不等式，解得集合的元素，利用分类讨论思想，可得答案；（2）根据充要条件的定义，利用集合之间的包含关系，可得答案.【小问1详解】(){}(][)40,04,A x x x ∞∞=-≥=-⋃+．因为x A ∀∈，均有x B ∉，所以A B =∅ ．当2a ≤时，B =∅，满足题意；当2a >时，10214a a +≥⎧⎨-≤⎩，解得512a -≤≤，所以522a <≤．综上，52a ≤，即a 的取值范围是5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【小问2详解】证明：若p ：x B ∃∈，x A ∉为真命题，则p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为假命题．先求p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为真命题时a 的范围，因为2a >，所以B ≠∅，由p ⌝：x B ∀∈，x A ∈，得B A ⊆．则210a -≤或14a +≥，解得12a ≤或3a ≥，所以3a ≥．因为p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为假命题，所以23a <<.综上，若2a >，则p 成立的充要条件为23a <<．21. 某市财政下拨专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数1y （单位：百万元）：12710x y x =+，处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数2y （单位：百万元）：20.3y x =.设分配给植绿护绿项目的资金为x （单位：百万元），两个生态项目五年内带来的生态收益总和为y （单位：百万元）.（1）将y 表示成关于x 的函数；（2）为使生态收益总和y 最大，对两个生态项目的投资分别为多少？【答案】（1）27330(0100)1010x x y x x =-+≤≤+ （2）分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元【解析】【分析】（1）由题意列式化简即可；（2）将原式变形构造成对勾函数，利用对勾函数的性质求最值即可.【小问1详解】若分配给植绿护绿项目的资金为x 百万元，则分配给处理污染项目的资金为()100x -百万元，∴272730.3(100)30(0100)101010x x x y x x x x =+-=-+≤≤++.【小问2详解】由（1）得27(10)2703(1010)2703(10)306010101010x x x y x x +-+-+⎡⎤=-+=-+⎢⎥++⎣⎦6042≤-=（当且仅当2703(10)1010x x +=+，即20x =时取等号），∴分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元，生态收益总和y 最大.22. 设函数()()2*1488,,N f x mx m mn x m m n =+-++∈ .（1）若()f x 为偶函数，求n 的值；（2）若对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，求m 的最大值.【答案】（1）2. （2）2.【解析】【分析】（1）根据函数为偶函数可得到14880m mn -+=，变形为714n m=+，结合*,1,N m n m ∈≥，即可确定答案.（2）根据对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，可得22(1488)40m mn m ∆=-+-≥恒成立，结合二次不等式的解法，讨论n 取值，即可确定答案.【小问1详解】根据题意，函数()()2*1488,R,,N f x mx m mn x m x m n =+-++∈∈为偶函数，即满足()()f x f x -=，即()()22()1488()1488m x m mn x m mx m mn x m -+-+-+=+-++，R x ∈，则14880m mn -+=变形可得：714n m =+ ，又由*,1,N m n m ∈≥ ，则 101m<≤ ，故77111711,44444n m <+≤<≤∴ ，又N n *∈ ，则2n = ；【小问2详解】根据题意，若对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，由于*,N 0m m ∈>，则22(1488)416[(32)2][(42)2]0m mn m m n m n ∆=-+-=-+-+≥恒成立，当1n = 时，32(2)(1)0m m ∆=++≥ ，对*N m ∀∈都成立，当2n =时，32(2)0m ∆=-+≥，解得2m ≤ ，又*N m ∈，则12m ≤≤ ，当3n ≥时，21232n n <-- ，则223m n ≤- 或 12m n ≥-,当 223m n ≤- 时，又由1m ≥，则n 只能取2，不符合题意，舍去，当 12m n ≥- 时，又由1m ≥，从3n =开始讨论:令1()2g n n =-,由于1()2g n n =-单调递减，故只需1(3)132m g ≥==-，此时m 的取值范围为[1,2] ；综上所述，m 的最大值为2.。

2023-2024学年河南省开封市五县联考高一(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年河南省开封市五县联考高一（上）期中数学试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2≤0}，B ＝{x |x （3﹣x ）＞0}，则A ∩B ＝（） A ．[0，2]B ．（0，2]C ．[﹣1，3）D ．[﹣1，3]2．已知a ，b 为实数，则“a ＞√b ”是“a ＞b ”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若a ＞b ＞c ，则下列不等式恒成立的是（） A ．ab ＞acB ．a 2＞c 2C ．（a ﹣b ）|c ﹣b |＞0D ．a |c |＞b |c |4．已知f （x ）是R 上的奇函数，则函数g （x ）＝f （x +1）﹣2的图象恒过点（） A ．（1，﹣2）B ．（1，2）C ．（﹣1，2）D ．（﹣1，﹣2）5．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约经过N 年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14原有初始质量为Q ，该生物体内碳14所剩质量y 与死亡年数x 的函数关系为（） A ．y =Q ⋅xNB ．y =Q(1−xN)C ．y =Q(1−1N)x 2D ．y =Q(12)x N6．已知函数f （x ）的定义域为（0，+∞），且满足f(x)+2f(1x )=6x +4x，则f （x ）的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．837．若a ，b ，c ＞0且a （a +b +c ）+bc ＝4，则2a +b +c 的最小值是（） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知函数f(x)={−x 2+2ax ，x ≤2a −x +42−x ，x ＞2的最大值为1，则实数a 的值为（） A ．a ＝±1B ．a =54C ．a ＝7D ．a =54或a ＝7二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023—2024学年河南省新乡市高一上学期期中测试数学试卷

2023—2024学年河南省新乡市高一上学期期中测试数学试卷一、单选题1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．2. 命题“”的否定是（）A．B．C．D．3. “”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4. 已知，则下列选项错误的是（）A．B．C．D．5. 函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．6. 已知正数，满足，则的最小值为（）A．25B．5C．10D．1007. 已知函数满足，当时，，则（）A．3B．6C．12D．248. 体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球．已知该校至少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有（）A．6种B．7种C．8种D．5种二、多选题9. 下列各组函数中，表示同一函数的有（）A．与B．与C．与D．与10. 下列有关命题的说法正确的是（）A．“菱形都是轴对称图形”是全称量词命题B．命题“任意一个幂函数的图象都经过原点”是真命题C．命题“”是真命题D．若是的充分不必要条件，是的充要条件，则是的必要不充分条件11. 已知函数满足，且，则（）A．B．是偶函数C．D．12. 已知，且不等式恒成立，则的值可以是（）A．2B．3C．4D．5三、填空题13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为________ .14. 某商场为了了解顾客对该商场产品质量和商场服务人员的服务态度的满意情况，随机采访了50名顾客，其中对商场产品质量满意的顾客有42名，对商场服务人员的服务态度满意的顾客有38名，对该商场产品质量和商场服务人员的服务态度都不满意的顾客有6名，则对该商场产品质量和商场服务人员的服务态度都满意的顾客有 ______ 名.15. 已知关于的不等式对任意的实数恒成立，则的最大值是________ .16. 已知是定义在上的增函数，则的取值范围是 ______ ．四、解答题17. 已知集合，.(1)若，求的值；(2)若，求的取值范围.18. 已知幂函数，且在上单调递增．(1)求m的值；(2)设函数，求在上的值域．19. 已知函数为奇函数.(1)求的值；(2)试判断在上的单调性，并用单调性的定义证明；(3)若，且，求的最小值.20. 某地居民用电采用阶梯电价，其标准如下：每户每月用电不超过120度，每度0.6元；超过120度，但不超过300度的部分，每度0.8元；超过300度，但不超过500度的部分，每度1元；超过500度的部分，每度1.2元.某月A，B 两户共交电费y元，已知A，B两户该月用电量分别为度、度.(1)求关于的函数关系式；(2)若A，B两户该月共交电费486元，求A，B两户的用电量.21. 已知关于的不等式.(1)若原不等式的解集为或，求的值；(2)若，且原不等式的解集中恰有7个质数元素，求的取值范围.22. 已知函数，且，．(1)求的解析式；(2)若函数，求在上的最小值．。

河南省部分学校2023-2024学年高一上学期期中大联考数学试题(含答案解析)

20．2023 年 9 月 23 日，第 19 届亚运会开幕式在杭州举行，完美展现了“绿色”与“科技”
的融合.已知某种绿色科技产品在亚运会开幕式后的 30 天内（包括第 30 天），第 x(x N*)
天每件的销售价格
M
（单位：元）满足
M
x
x
80,1 x 20, x 120, 20 x
第 30,
因为 f x 在区间 0,5 上单调递减，所以 f 2 f 3 f 4 ，即 f 8 f 3 f 4 .
故选：A 7．D
【分析】通过 f x f x 可得 a 的值，判断出 f x 的单调性，列出关于 m 的方程解出即
可.
【详解】由题可知 f x f x ，即 x2 ax 3 x2 ax 3 ，
x4 ) ，
则下列说法正确的有（）
A． f x 在区间 , 1 和 0,1 上单调递减
B．直线 y a a 1 与 f x 的图象总有 3 个不同的公共点
C． x1 x2 2
D． x3 x4 2
试卷第 2页，共 4页
三、填空题
13．函数 f x bx1 3 （ b 0 且 b 1）的图象过的定点坐标为
4．“ a 1 ”是“函数 f x ax a （ a 0 且 a 1）的图象经过第三象限”的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．函数
f
x
1 x
x
的大致图象是（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知函数 f x 在区间 0,5 上单调递减，且 f x 5 f x 5 ，则（）
【分析】对于 A ，令 x y 1 ，可得 f 1 0 ， f x x3 不满足，所以 A 错误；对于 B ，

河南省洛阳市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

河南省洛阳市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．设命题:p R ²20x x x ∃∈+≥，，则p 的否定为（）A ．²20x x x ∀∈+≥R ，B ．²20x x x ∀∈+<R ，C ．²20x x x ∃∈+<R ，D ．R ²20x x x ∃∈+≤，2．已知集合{}21,9,A a a a =++，若6A ∈，则a =（）A ．2-或3B ．3-或2C ．2D ．3-3．函数()12f x x =+）A ．[)()3,22,--⋃-+∞B ．()3,2--C ．[)3,-+∞D ．()2,-+∞4．“ 0a b +>”是“ 0ab >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知全集{}{}{N|7}12341346U x x M N =∈<==,,,,，,,,则集合()U M N ð的真子集个数为（）A ．16B ．15C ．8D ．76．函数1xy x =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．7．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基人之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，如：[][]1.21, 1.22=-=-.则不等式[][]22730x x -+≤的解集为（）A ．132x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭B ．{}14x x ≤≤C ．142x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭D ．{}14x x ≤<8．设()()221121 1.x a x x x f x a x --⎧<⎪-=⎨⎪-≥⎩，，，若函数=op 是单调递增函数，则实数a 的取值范围是（）A ．45,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．43,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,52⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题9．下列各组函数中，不是相同函数的是（）A ．() f x x x =与()2200x x g x x x ⎧≥=⎨-<⎩，，，B ．()f x x =与()g x =C ．()f x =与()g x =D ．()f x =2x +与()242x g x x -=-10．下列大小关系正确的是（）A ．34232233⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．13253152⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．12552253⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11223524--⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．已知 0 0x y >>,且24x y +=则（）A ．xy 的最小值是2B ．2214x y +的最小值是2C211x y++的最小值是D ．24x y x y++的最小值是6三、填空题12．已知点(3,9)在幂函数()f x x α=的图象上，则(2)f -=.13．已知函数 ()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()31xf x =-，则((1))f f -=.14．已知函数()()()()()11211211010121010x x x x f x x x +----=+-+--，则满足()0f x >的实数x 的取值范围为.四、解答题15．已知集合{}21|2150|326.4A x x x B x m x m ⎧⎫=--≤=-≤≤-⎨⎬⎩⎭，(1)若8m =，求.A B (2)若A B B = ，求实数m 的取值范围.16．已知函数()133.2x x f x x +=--≤<（）(1)用分段函数的形式表示该函数；(2)画出该函数的图象；(3)写出该函数的单调区间（指明增减）、值域.17．（1）计算:100.52372023162723;92024258-⎛⎫⎫⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭（2）已知1003x <<，求210 3y x x =-（）的最大值.18．已知函数()248.f x x kx =--(1)若函数()f x 是偶函数，求实数k 的值；(2)若不等式()0f x ≤的解集为{|12}x x -≤≤，求实数k 的值；(3)求函数()f x 在[]1,2上的最小值.19．党的十八大以来，习近平总书记对加强水污染防治和整治城市黑臭水体、加快城镇污水处理等提出了明确要求，污水的治理提升了居民的生活环境质量，促进了水资源的循环利用.已知某污水处理厂的月处理成本y （万元）与月处理量x （万吨）之间的函数关系可近似地表示为2110360y x bx =++，其中60180x ≤≤.当月处理量为72万吨时，月处理成本为32.4万元.该厂处理1万吨污水收取费用为1万元.(1)该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低?(2)请写出该厂每月获利W （万元）与月处理量x （万吨）之间的函数关系式，并求出每月获利的最大值.20．已知函数()()2.21xf x a a R =-∈+(1)判断函数()f x 的单调性并证明；(2)求实数a ，使函数()f x 为奇函数;(3)在（2）条件下，设()1232221x x ϕ-=-+，若不等式()()212320242025202520252025bf x f x ϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭对任意x ∈R 恒成立，求实数b 的取值范围.。

河南省高一上学期期中考试数学试题(解析版)

一、单选题1．若集合中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（）{},,M a b c =A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【答案】D【分析】根据集合元素的互异性即可判断.【详解】由题可知，集合中的元素是的三边长，{},,M a b c =ABC A 则，所以一定不是等腰三角形．a b c ≠≠ABC A 故选：D ．2．已知集合，，若，则实数a 的值为 {}1,2A ={}2,B a a ={1}A B ⋂=A ．1B ．C ．D ．-11±【答案】B 【分析】根据集合元素的互异性和交集的定义，可得方程组或即可得答案；2212,1,a a a =⎧⎪≠⎨⎪≠⎩，212,1,a a a ⎧=⎪≠⎨⎪≠⎩，【详解】由题意可得或2212,1,a a a =⎧⎪≠⎨⎪≠⎩，212,1,a a a ⎧=⎪≠⎨⎪≠⎩，，∴1a =-故选：B.【点睛】本题考查根据交集的结果求参数，考查运算求解能力，求解时注意集合元素的互异性. 3．已知集合，，，则（）{}|5U x x =∈≤N {}1,2,4A ={}0,3,4B =()U A B = ðA ．B ．C ．D ．{}2,4{}2,5{}1,2{}0,2,4【答案】C【分析】根据交集与补集的定义求解.【详解】，{}{}|50,1,2,3,4,5U x x =∈≤=N ，， {}1,2,5U B ∴=ð(){}1,2U A B ∴= ð故选：C.4．已知,下列不等式中正确的是0a b >>A ． B ． C ． D ． c c a b >2ab b <2a ab -<-1111a b <--【答案】C【解析】利用作差法证明，或举出反例推翻选项.【详解】A 选项：当时，选项不成立；0c =B 选项：，所以选项不正确；()20ab b b a b -=->C 选项：，所以，该选项正确；()()20a ab a a b ---=--<2a ab -<-D 选项：当时，，选项不正确. 12,2a b ==111,211a b ==---故选：C 【点睛】此题考查不等式的性质的应用，常用作差法比较大小，或举出反例推翻命题.5．已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最()f x [0,1]()f x [0,1]()f x [0,1]大值为”的（）(1)f A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，()f x []0,1()f x []0,1()1f 若在上的最大值为， ()f x []0,1()1f 比如， ()213f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭但在为减函数，在为增函数， ()213f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦故在上的最大值为推不出在上单调递增，()f x []0,1()1f ()f x []0,1故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件， ()f x []0,1()f x []0,1()1f 故选：A.6．若关于的不等式的解集为，则等于（）x 2320x ax -+>(,1)(,)m -∞⋃+∞a m +A ．B ．1C ．2D ．31-【答案】D【分析】由题可得和是方程的两个根，利用根与系数关系解出，进而得答1m 2320x ax -+=,a m 案．【详解】解：由题意知，和是方程的两个根， 1m 2320x ax -+=则由根与系数的关系，得， 1312m a m +=⎧⎨⨯=⎩解得， 12a m =⎧⎨=⎩所以．3a m +=故选D ．【点睛】本题考查不等式以及根与系数关系，属于简单题．7．已知命题，；命题若，则．则对命题，的真假判断正:p x ∃∈R 210x x -+≥:q 22a b <a b <p q 确的是A ．真真B ．真假 p q p qC ．假真D ．假假p q p q 【答案】B【分析】利用配方法可知为真命题，利用反例可知题为假命题，从而可得正确的选项. p q 【详解】∵，∴命题为真命题． 22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭p 当时，不一定有，如，但，故命题为假命题，故选B ． 22a b <a b <()2235<-35>-q 【点睛】本题考查命题真假的判断，说明一个命题为真，需给出证明，而说明一个命题为假，只需给出一个反例即可.8．下列各组函数中表示同一个函数的是（）A ．B ． ()()21,1x f x x g x x=-=-()()42,f x x g x ==C ． D ． ()()2,x f x g x x x ==()()()222,1x x f x g x x x-==-【答案】D【解析】分别判断四个答案中与的定义域是否相同，并比较化简后的解析式是否一致，()f x ()g x 即可得到答案.【详解】对于选项A ：的定义域为，的定义域为，()f x R ()g x {}0x x ≠两个函数的定义域不同，不是同一个函数；对于选项B ：的定义域为，的定义域为，()f x R ()g x {}0x x ≥两个函数的定义域不同，不是同一个函数；对于选项C ：的定义域为，的定义域为，()f x {}0x x ≠()g x R两个函数的定义域不同，不是同一个函数；对于选项D ：，的定义域均为，对应法则相同，故两个函数是同一个函数； ()f x ()g x {}0x x ≠故选：D.【点睛】本题主要考查了判断两个函数是否为同一函数.属于容易题.二、多选题9．已知一次函数满足，且点在的图象上，其中1()(0)3f x x b b =-+≠2((0))f f b =()Q m n ,()f x 0m >，，则下列各式正确的是（）0n >A ． B ． C ． D ． 43b =32m n +=13mn ≤1123m n+≥【答案】BCD【分析】根据求出b 判断A,根据点在函数图象上判断B ，由均值不等式判断CD.2((0))f f b =【详解】， 21((0))()3f f f b b b b ==-+= ， 23b ∴=即，故A 不正确； 12()33f x x =-+由在函数图象上可得，即，故B 正确；()Q m n ,23m n -+=32m n +=由均值不等式可得，故C 正确； 32m n +=≥13mn ≤因为， 11111131(3)(2)22323232n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝所以D 正确.故选：BCD10．若，则下列选项成立的是（）,(0,)a b ∈+∞A ．B ．若，则 (6)9a a -≤3ab a b =++9ab ≥C ．的最小值为D ．若，则2243a a ++12a b +=1232a b +≥【答案】ABD【解析】A. 利用怍差法判断；B.由判断；C.利用对勾函数的性质判断；D.33ab a b =++≥由，利用“1”的代换结合基本不等式判断.2a b +=【详解】A. 因为，故正确； ()229(6)6930a a a a a --=-+=-≥B.因为，所以，所以，当且仅当33ab a b =++≥+230-≥3≥9ab ≥取等号，故正确；3a b ==C. 因为，，则由对勾函数的性质得在2222443333a a a a +=++-++233a +>224333t a a =++-+上递增，所以其最小值为，故错误； ()3,+∞43D.因为，则，当且仅当2a b +=()121122333221122b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=+++≥+=⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝+=，即时，取等号，故正确； 22a b b a a b+=⎧⎪⎨=⎪⎩)(21,22a b =-=故选：ABD 11．已知，函数，下列表述正确的（）x ∈R ()2f x x x =-A ．为奇函数 B ．在单调递增 ()y f x =()y f x =()1∞-，C ．的单调递减区间为D ．最大值为 ()y f x =()12，()y f x =1【答案】BC【分析】分类讨论，写出解析式，画出图像，分析选项可得答案.()f x ()f x 【详解】由题可得，画出图像如下. ()222222x x x f x x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，，()f x 对于A 选项，由图可知为非奇非偶函数.，故A 错误.()f x 对于B 选项，由图可知，在上单调递增.故B正确. ()f x ()1∞-，对于C 选项，由图可知，的单调递减区间为.故C 正确. ()f x ()12，对于D 选项，由图可知，无最大值.故D 错误.()f x 故选：BC12．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定张阿姨.和李阿姨是邻居，经常结伴去买菜张阿姨喜欢用第一种方式买猪肉，李阿姨喜欢用第二种方式买.猪肉，已知两次买猪肉的单价分别为每斤元和元，则下列选项正确的是（） X Y ()X Y ≠A ．张阿姨两次买猪肉的平均单价为每斤元； 2X Y +B ．李阿姨两次买猪肉的平均单价为每斤元； 211X Y+C ．张阿姨的购买方式更实惠；D ．李阿姨的购买方式更实惠．【答案】ABD【分析】设第一种方式购买物品为，第二种所花的钱为.求出两次的单价即可判断A 、B ；两式a b 作差可判断C 、D.【详解】设用第一种方式买猪肉时，每次购买这种物品的数量为，用第二种方式买猪肉a ()0a >时，每次购买这种物品所花的钱数为.b ()0b >对于A 项，张阿姨两次买猪肉的平均单价为每斤为，故A 项正确； 2aX aY X Y a a ++=+对于B 项，李阿姨两次买猪肉的平均单价为每斤，故B 项正确； 2211b b XY b b X Y X Y X Y+==+++对于C 项，因为，又，，，所以有()()24222X Y XY X Y XY X Y X Y +-+-=++()()22X Y X Y -=+0X >0Y >X Y ≠，所以，故C 项错误； 202X Y XY X Y +->+22X Y XY X Y+>+对于D 项，由C 解析知，，故D 项正确. 22X Y XY X Y+>+故选：ABD.三、填空题13．命题“，或”的否定是____________．x ∃∈R 1x <2x ≥【答案】，x ∀∈R 12x ≤<【分析】由特称命题的否定形式可直接得到结果.【详解】由特称命题的否定知：原命题的否定为，.x ∀∈R 12x ≤<故答案为：，.x ∀∈R 12x ≤<14．函数___________. y 【答案】[2,0)-【分析】利用根式、分式的性质求函数定义域即可.【详解】由解析式知：，则，可得， 240||0x x x ⎧-≥⎨-≠⎩220x x -≤≤⎧⎨<⎩20x -≤<∴函数的定义域为.[2,0)-故答案为：.[2,0)-15．已知，，且满足，则的最小值为___________． 0m >0n >1m n +=1211m n ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】 8+【分析】根据“1”的代换可得，进而展开根据基本不等式即可求得1221123n m m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭最小值.【详解】因为，所以有，， 1m n +=1112m n n m m m ++=+=+()222113m n m n n n++=+=+又，， 0m >0n >所以， 1221123n m m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭348n m m n =++8≥8=当且仅当，且，，， 34n m m n=0m >0n >1m n +=即，时，等号成立.3m =4n =-所以，的最小值为. 1211m n ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭8故答案为：.816．若关于的不等式恰有1个正整数解，则的取值范围是___________.x ()2220x a x a -++->a 【答案】()(],13,4-∞ 【分析】先解带有参数的一元二次不等式，再对进行分类讨论，使得恰有1个正整数解，最后求a 出的取值范围a 【详解】不等式等价于.令，解得()2220x a x a -++->()2220x a x a -++<()2220x a x a -++=或.2x =x a =当时，不等式的解集为，要想恰有1个正整数解，则；2a >()2220x a x a -++<()2,a 34a <…当时，不等式无解，所以不符合题意；2a =()2220x a x a -++<2a =当时，不等式的解集为，则.2a <()2220x a x a -++<(),2a 1a <综上，的取值范围是.a ()(],13,4-∞ 故答案为：()(],13,4-∞四、解答题17．已知集合．{}()(){}1,2,|10A B x x x a =-=+-=(1)若，求；3a =A B ⋂(2)若，求实数的取值集合．A B A ⋃=a 【答案】(1){}1-(2){}1,2-【分析】（1）根据交集的知识求得正确答案.（2）根据对进行分类讨论，从而求得的取值范围.A B A ⋃=a a 【详解】（1）依题意，{}1,2A =-当时，，3a =()(){}{}|1301,3B x x x =+-==-所以.{}1A B ⋂=-（2）由解得，，()()10x x a +-=11x =-2x a =若，则，，符合题意.1a =-{}1B =-A B A ⋃=若，由于，所以.1a ≠-A B A ⋃=2a =综上所述，实数的取值集合为.a {}1,2-18．已知集合，． 611A x x ⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭{}220B x x x m =--<(1)当时，求；3m =()R A B ð(2)若，求实数的值．{}14A B x x ⋂=-<<m 【答案】(1){|35}x x ≤≤(2)8m =【分析】（1）化简集合，根据补集和交集的概念运算可得结果；,A B （2）由求出，再求出，然后根据列式可求出结果.B ≠∅1m >-B {}14A B x x ⋂=-<<【详解】（1）由得，得， 611≥+x 016x <+≤15x -<≤所以，{|15}A x x =-<≤当时，由，得，3m =2230x x --<13x -<<所以，{|13}B x x =-<<所以或，{|1B x x =≤-R ð3}x ≥所以.()R A B ð{|35}x x =≤≤（2）因为，{}14A B x x ⋂=-<<所以，B ≠∅所以，即，440m ∆=+>1m >-由得，得，，220x x m --<2(1)1x m -<+11x <<+所以，{|11B x x =<<因为，所以，，{}14A B x x ⋂=-<<14=11≤-解得.8m =19．已知，，，为正常数，且． 0x >0y >a b 1a b x y+=(1)若，，求的最小值；1a =9b =x y +(2)若，的最小值为.求，的值.10a b +=x y +18a b 【答案】(1)16；(2)答案见解析.【分析】（1）由题意可知，，展开后根据基本不等式即可求出最小值； ()19x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭（2）由题意可知，，展开后根据基本不等式即可求出最小值为，()a b x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭10根据题意可得.又，联立即可解出，的值.16ab =10a b +=a b【详解】（1）解：由已知可得，， 191x y+=又，，0x >0y >所以， ()19x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭091y x x y =++1016≥=当且仅当，，，，即，时等号成立. 9y x x y =0x >0y >191x y+=4x =12y =所以，的最小值为.x y +16（2）解：由已知， 1a b x y+=又，，，为正常数，0x >0y >a b 10a b +=所以 ()a b x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ay bx a b x y =+++. 10ay bx x y =++10≥10=当且仅当且时，等号成立，此时的最小值为， ay bx x y=1a b x y +=x y +10又的最小值为，所以，.x y +181018=16ab =联立，解得或. 1016a b ab +=⎧⎨=⎩28a b =⎧⎨=⎩82a b =⎧⎨=⎩20．自2020新冠疫情爆发以来，直播电商迅猛发展，以信息流为代表的各大社交平台也相继入场，平台用短视频和直播的形式，激发起用户情感与场景的共鸣，让用户在大脑中不知不觉间自我说服，然后引起消费行动.某厂家往年不与直播平台合作时，每年都举行多次大型线下促销活动，经测算，只进行线下促销活动时总促销费用为24万元.为响应当地政府防疫政策，决定采用线上（直播促销）线下同时进行的促销模式，与某直播平台达成一个为期4年的合作协议，直播费用（单位：万元）只与4年的总直播时长x （单位：小时）成正比，比例系数为0.12.已知与直播平台合作后该厂家每年所需的线下促销费C （单位：万元）与总直播时长x （单位：小时）之间的关系为（，k 为常数）.记该厂家线上促销费用与4年线下促销费用之和为y （单位：万50k C x =+0x …元）. (1)写出y 关于x 的函数关系式；(2)该厂家直播时长x 为多少时，可使y 最小？并求出y 的最小值.【答案】(1) 48003(0)5025x y x x =++…(2)线上直播x=150小时可使y 最小为42万元【分析】（1）通过求出系数，即可得结果；0x =k （2）直接根据基本不等式即可得结果.【详解】（1）由题得，当时，，则， 0x =2450k C ==1200k =故该厂家4年促销费用与线上直播费用之和为 12004800340.12(0)505025x y x x x x =⨯+=+++…（2）由（1）知， 48003(50)66425025y x x =++-≥=+当且仅当，即时等号成立， 48003(50)5025x x =++150x =即线上直播150小时可使y 最小为42万元.21．已知函数，其中.()()()11f x x ax =-+R a ∈(1)若不等式的解集为，求的值；()0f x >{}12x x <<a (2)求解关于的不等式.x ()0f x <【答案】(1) 12-(2)答案见解析【分析】（1）分析可知的两根分别为、，可求得的值；()0f x =12a （2）对实数的取值进行分类讨论，利用一次不等式与二次不等式的解法解原不等式，即可得解.a 【详解】（1）解：由题意可知，方程的两根分别为、且，()0f x =12a<0则，解得，合乎题意. ()2210f a =+=12a =-（2）解：当时，由可得；0a =()10f x x =-<1x <当时，由可得； 0a >()()()110f x ax x =+-<11x a -<<当时，，由可得或； 10a -<<11a ->()()()110f x ax x =+-<1x <1x a>-当时，由可得；1a =-()()210f x x =--<1x ≠当时，，由可得或. 1a <-101a <-<()()()110f x ax x =+-<1x a<-1x >综上所述，当时，原不等式的解集为或； 1a <-1x x a ⎧<-⎨⎩}1x >当时，原不等式的解集为；1a =-{}1x x ≠当时，原不等式的解集为或； 10a -<<{1x x <1x a ⎫>-⎬⎭当时，原不等式的解集为；0a ={}1x x <当时，原不等式的解集为. 0a >11x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭22．已知函数是定义在上的奇函数，且 ()21ax b f x x +=+()1,1-1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)求的解析式()f x (2)用定义证明在上是增函数()f x ()1,1-(3)解不等式()()10f t f t -+<【答案】(1) ()21x f x x =+(2)证明见解析 (3) 102t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】（1）根据奇函数的性质和所给的条件，代入函数解析式即可；（2）不妨假设，判断的符号即可；()1212,1,1,x x x x ∈-＜()()12f x f x -（3）根据是奇函数，并是增函数的特点，根据函数定义域即可求出t 的范围.()f x 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，得，即，()f x ()1,1-()00f =0b =又∵，解得， 2112225112a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭1a =∴； ()21x f x x =+（2）设，，且，1x ∀()21,1x ∈-12x x <则， ()()()()()()()()()()22122121121212222222121212111111111x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++∵，，，，210x x ->1210x x -<2110x +>2210x +>∴，即，()()120f x f x -<()()12f x f x <∴在上是增函数；()f x ()1,1-（3）由为上的奇函数，如等价于．()f x ()1,1-()()10f t f t -+<()()1f t f t -<-则由在上是增函数，可得，()f x ()1,1-111111t t t t -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩解得， 102t <<即不等式的解集为； ()()10f t f t -+<102t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭综上，，的解集为. ()21x f x x =+()()10f t f t -+<102t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭。

河南省2023-2024学年高一上学期学业质量监测期中考试数学试卷

D． 1,1 ， 4,16
3．若幂函数 f x xm 的图象过点 2, 2 ，则实数 m （）
A．2
B．3
C． 1
4．已知 1 a 2 ， 2 b 3 ，则下列不等式错误的是（）
A． 3 a b 5
B． 4 a b 4
C． 2 ab 6
D． a2 b2 13
D．
(2)证明： f x 在0, 上单调递增；
(3)求 y f 2x mf xm R 在0,1上的最小值．
试卷第 3页，共 3页
c
21．已知 f x x2 bx c b, c R ，f
x x
0
பைடு நூலகம்
有两个不同的根
x 1
，
x
2
，且
x1 1x2 1 5 ．
(1)若 x1 x2 4 ，求 b 的值；
(2)求 x12 x22 的取值范围．
22．已知函数 f x a x a x a 1 ，且 f 1 3 ．
(1)求 f 2 的值；
（）
A．9
B．7
C．13
D．11
11．已知函数 f x x2 2x m m R 的定义域为 P，值域为 Q，则下列说法正确的
是（） A．若 m 0 ，则 P R
C．若 m 0 ，则 Q 0,
B．若 m 2 ，则 P R
D．若 m 2 ，则 Q 2,
12．已知函数 f x 3 x 3 x ，则下列说法正确的是（）
1 2
5．已知
a
3 2
0.1
，
b
3 2
0.2
，
c
9 4
0.04
，则
a，b，c
之间的大小关系为（

河南省信阳市2023-2024学年高一上学期期中数学试题

(2)求证 f x 在 R 上是增函数；
(3)若 f 1 2 ，解关于 x 的不等式 f x2 x f 1 2x 8 .
22．已知函数 f x x 2 x ， g x x 2 x ．
(1)求函数 f x 的定义域和值域；
(2)已知 a 为非零实数，记函数 h x f x ag x 的最大值为 m a ，求 m a ．
次所加的油量固定．若规定平均单价越低，则该加油方案越实惠，不考虑其他因素影响，
则（）
A．甲方案实惠
B．乙方案实惠
C．哪种方案实惠需由两次油价决定 6．函数 y | x | x 的图象是（）
x
D．两种方案一样实惠
试卷第 1页，共 4页
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
f
x
x 2
2x 3, x m,x2 x
y
af
x
，其中
f
x
1171xxx, 2
x 0,5 , x 5,11
，若多次投放，则某一
时刻水中的治污试剂浓度为每次投放的治污试剂在相应时刻所释放的浓度之和，根据试
验，当水中治污试剂的浓度不低于 4（克/升）时，它才能治污有效．
(1)若只投放一次 4 个单位的治污试剂，则有效时间最多可能持续几天？
(2)若先投放 2 个单位的治污试剂，6 天后再投放 m 个单位的治污试剂，要使接下来的 5
天中，治污试剂能够持续有效，试求 m 的最小值．
21．已知定义在 R 上的函数 f x 满足 f x y f x f y 2 ，且当 x 0 时，
f x 2 .
(1)求 f 0 的值，并证明 f (x) 2 为奇函数；
2
，若函数

河南省信阳市息县三校联考2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

河南省信阳市息县三校联考2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．若函数()()()2225311f x a a x a x =++++-的定义域､值域都为R ,则实数a 满足A ．1a =-或32a =-B ．1319a -<<-C ．1a ≠-且32a ≠-D ．32a =-2．已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =A ．（–1，1）B ．（1，2）C ．（–1，+∞）D ．（1，+∞）3．已知234a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，322b =，34log 913c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b<<D ．c b a<<4．已知()22f x x x =-，对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，则m 的取值范围是（）A ．[]0,3B ．[]0,4C ．{}3D ．{}45．设全集U =R ，集合{}|2A x x =<，{}|1B x x =<，则集合()U A B ⋃=ð（）A ．(),2∞-B ．[)2,∞+C ．()1,2D ．()[),12,∞∞-⋃+6．设,a b 是向量，“a ab =+”是“0b =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知集合{}1P x R x =∈≥，{}1,2Q =，则下列关系中正确的是（）A ．P Q=B ．QPC ．PQD ．P Q R= 8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，若(2)3f =，则满足(1)3f x +<的x 的取值范围是（）A ．(,2)(0,2)-∞-⋃B ．(2,2)-C ．(,3)(0,1)-∞-⋃D ．(3,1)-9．若()4sin π5α-=，则cos 2α＝（）A ．－2425B ．725C ．－725D ．242510．下列命题正确的是（）A ．1a a+的最小值是2B ．221a a +的最小值是2C ．1a a+的最大值是2D ．221a a +的最大值是211．已知集合{N1},{04}A x x B x x =∈>=<<∣∣，则A B = （）A ．{14}xx <<∣B ．{0}xx >∣C ．{}2,3D ．{}1,2,312．函数()f x =）A ．(0,)+∞B ．[1,)+∞C ．(1,)+∞D ．[0,)+∞二、填空题13．函数()f x 满足()11f x x-=，则()2f 等于.14．已知扇形圆心角60,αα= 所对的弧长6πl =，则该扇形面积为.15．已知若函数()20,01,93,1x f x x x <≤⎧⎪=⎨-->⎪⎩，()ln g x x =，若函数()()(0y f x g x m x =+->)恰有两个不相等的零点，则实数m 的取值范围为.16．已知函数()f x 满足：x≥4,则()f x ＝12x⎛⎫⎪⎝⎭；当x ＜4时()f x ＝()1f x +，则()22log 3f +＝三、解答题17．已知函数f (t 17()cos (sin )sin (cos ),(,).12g x x f x x f x x ππ=⋅+⋅∈（Ⅰ）将函数g(x )化简成Asin(ωx +φ)+B （A ＞0，ω＞0，φ∈[0，2π]）的形式；（Ⅱ）求函数g(x )的值域．18．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)．若以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程为sin 4aπρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程（2）点P 为曲线C 上任意一点，点P 到直线l a 的值．19．如图，A 、B 是一矩形OEFG 边界上不同的两点，且∠AOB ＝45°，OE ＝1，EF设∠AOE ＝α.（1）写出△AOB 的面积关于α的函数关系式()f α；（2）求（1）中函数()f α的值域.20．已知函数sin()0,0,||2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象过点,012P π⎛⎫⎪⎝⎭，图象与P 点最近的一个最高点坐标为,53π⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求该函数的解析式；(2)求该函数的单调递增区间；(3)求使0y ≤的x 的取值集合.21．武威“天马之眼”摩天轮，于2014年5月建成运营．夜间的“天马之眼”摩天轮美轮美奂，绚丽多彩，气势宏大，震撼人心，是武威一颗耀眼的明珠．该摩天轮直径为120米，摩天轮的最高点距地面128米，摩天轮匀速转动，每转动一圈需要t 分钟，若小夏同学从摩天轮的最低点处登上摩天轮，从小夏登上摩天轮的时刻开始计时．(1)求小夏与地面的距离y（米）与时间x（分钟）的函数关系式；(2)在摩天轮转动一圈的过程中，小夏的高度在距地面不低于98米的时间不少253分钟，求t的最小值．。

河南省南阳市六校2024-2025学年高一上学期10月期中考试数学试题

河南省南阳市六校2024-2025学年高一上学期10月期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________三、填空题【分析】分别求出f(x )值域为[]2,18时的定义域，从而可求解.【详解】由函数()()2223122f x x x x =-+=-+³，所以当x =1时，f(x )有最小值()12f =，当()18f x =时，即22318x x -+=，解得3x =-或5x =，又因为[)3,1x Î-时，f(x )单调递减，(]1,5x Î时，f(x )单调递增，所以n 的最大值为5，m 的最小值为3-，所以n m -的最大值为538+=.故选：D.8．B【分析】根据函数f(x )为偶函数且在(],0-¥上单调递减，则()()110f f =-=，且f(x )在()0,+¥上单调递增，然后对x 分情况讨论，从而可求解.【详解】由函数f(x )为偶函数且在(],0-¥上单调递减，且()10f =，所以()()110f f =-=，且f(x )在()0,+¥上单调递增，当1x £-时，12x -£-，则()10f x ->，所以()10xf x -<；当10x -<£时，211x -£-£-，则()10f x -³，所以()10xf x -£；当01x <<时，110x -<-<，则()10f x -<，所以()10xf x -<；当12x ££时，011x £-£，则()10f x -£，所以()10xf x -£；当x >2时，11x ->，则()10f x ->，所以()10xf x ->.。

河南省开封市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

河南省开封市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （）A ．{1,0}-B ．{2,3}C ．{3,1,0}--D ．{1,0,2}-2．下列函数中，在区间()0,∞+上单调递减的是（）A．y =B ．1y x-=C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．3y x =3．已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（）A ．p 和q 都是真命题B ．p ⌝和q 都是真命题C ．p 和q ⌝都是真命题D ．p ⌝和q ⌝都是真命题4．已知 3.112a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，123.1b =， 3.113c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c a b <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．a b c <<5．已知p ：220x x -<，那么命题p 的一个必要不充分条件是（）A ．01x <<B ．12x -<<C ．13x <<D ．02x <<6．设函数()f x 定义域为R ，满足()()0f x f x +-=，且()20f -=，若()f x 在()0,∞+上单调递增，则不等式()0x f x ⋅<的解集为（）A ．()(),22,∞∞--⋃+B ．()()2,00,2-⋃C ．()(),20,2-∞- D ．()()2,02,-+∞ 7．已知函数()()1,2121,2xa x f x a x x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是（）A．21,22⎛⎤⎥⎝⎦B．⎫+∞⎪⎪⎣⎭C．⎫⎪⎪⎣⎭D．⎛ ⎝⎦8．某厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润210031x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭元，要使生产100千克该产品获得的利润最大，该厂应选取的生产速度是（）A ．2千克/小时B ．3千克/小时C ．4千克/小时D ．6千克/小时二、多选题9．下列命题中正确的是（）A ．命题：“0x ∀≥，20x ≥”的否定是“0x ∃<，20x <”B ．函数()41x f x a -=+（0a >且1a ≠）恒过定点()4,2C ．已知函数()21f x +的定义域为[]1,1-，则函数()f x 的定义域为[]1,3-D ．若函数)1=-fx ，则()()221f x x x x =--≥-10．已知定义在R 上的函数()f x 在(],2-∞上单调递增，且()2f x +为偶函数，则（）A ．直线2x =是()f x 的对称轴B ．()2,0是()f x 的对称中心C ．()()14f f ->D ．不等式()()34f x f x +>的解集为()1,1,5⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ 11．已知函数()3131-=+x x f x ，有如下四个结论：①函数()f x 在其定义域内单调递减；②函数()f x 的值域为()0,1；③函数()f x 的图象是中心对称图形；④方程()1f x x =-+有且只有一个实根.其中所有正确结论的序号是（）A ．①B ．②C ．③D ．④三、填空题12．设函数()f x 的定义域为I ，如果x I ∀∈，都有x I -∈，且()()f x f x -=，已知函数()f x 的最大值为2，则()f x 可以是．13．已知正数m ，n 满足m n mn +=，则m n +的最小值是.14．已知函数()23,0,2,0,x x f x x x ≤⎧=⎨>⎩若()(1)1f x f x +->-，则x 的取值范围为.四、解答题15．分别求解下面两个问题.(1)()230.125-+(2)函数()y f x =为偶函数，当0x >时，()21xf x x =+-，求：当0x <时，()f x 的解析式.16．已知函数()()220f x ax ax b a =-+>在区间[]1,4-上的最小值为1，最大值为10.(1)求a ，b 的值；(2)设()()f x g x x=，利用定义证明：函数()g x 在)+∞上是增函数.17．某商场经营一批进价为30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x （单位：元）与日销售量y （单位：件）之间有如下表所示的关系.x …30404550…y…603015…（1）根据表中提供的数据描出实数对()x y ，的对应点，根据画出的点猜想y 与x 之间的函数关系，并写出一个函数解析式；（2）设经营此商品的日销售利润为P （单位：元），根据上述关系，写出P 关于x 的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？18．已知函数()42x xa f x +=为偶函数.(1)求出a 的值，并写出单调区间；(2)若存在[]0,1x ∈使得不等式()()21bf x f x +≥成立，求实数b 的取值范围.19．对于函数()f x ，若存在0R x ∈，使()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点．已知函数2()(1)8(0)f x mx n x n m =+-+-≠．(1)若对任意实数n ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求实数m 的取值范围；(2)若()f x 的两个不动点为12,x x ，且()()122mf x f x m +=-+，当13m <<时，求实数n 的取值范围．。