跃峰奥数PPT3组合数论6-2(多项式之二色链)
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【】 跃峰奥数PPT经典原创
奥数系列讲座——
组合数论6-2（多项式之二色链）
● 冯跃峰
本讲内容
本节为第3板块（组合数论）第6专题（多项式）的第小节2 （二色链） ，包含如下3个部分内容：
第一部分，概述问题涉及的知识方法体系； 第二部分，思维过程剖析。这是课件的核心部分，重在发掘 问题特征，分析如何找到解题方法。按照教师场景授课互动效 果设计，立足于启发思维； 第三部分，详细解答展示。提供笔者重新书写的解答（简称 “新写”），力求严谨、流畅、简练。【】 跃峰奥数PPT经典原创
1、利用“根”的定义，建立等式，转化为“研究等式”。 2、设出多项式的所有根，利用韦达定理。 3、由多项式的一个根导出其它根，考察多项式根的个数。 4、发现f（x）的根是另一个多项式g（x）的根，讨论f（x） 与g（x）的关系。 5、讨论根的存在范围。 6、估计根的个数。
跃峰奥数
本节介绍“研究等式（比较系数）”的相关例子■。
【数论6-2】设多项式p（x）满足p（x2）=p（x）2，求p（x）。
【设出表达式】设p（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0，则 p（x2）=anx2n+an-1x2n-2+…+a1x2+a0， p（x）2=an2x2n+…+a02。 【比较系数】比较上述两【式题中感最】高从次条项件与看常，数题项中，直得接an给2=出an，了a多02项=a式0。p（（*x））满足的 【分类处理】（1）若p等（式x）【1为】，常自数然，想令到p（设x出）其=c一，般则式c2=，c，然所后以比c较=0系或数1。。 此时，p（x）=0，因p（为xp）（=x1），2它的们展显开然式都比合较乎复条杂件，。只有首末两项相对确定【1】，可 （2）若p（x）是从非这常两数项的的多系项数式入，手则。可设an≠0，由（*）式可得an=1，a0=0或1。 此 p（时x，2）p=（x2xn）+a=n-x1xn+2能为na-2n+否简-1…x得化n-+1+a讨an…1=x论12++?，aa—10x可。—+a将需0，“先0处多理项a式n=”0的与情“形一。次多项式”合并讨论，此时
三、恒等定理1：两个多项式相等，等价于对应项的系数都相等。
恒等定理2：两但个由n于次常多常项涉式及在到n+不1个定不方同程点的处相的关值问相题等与，方则法两，个这多里项将式其归
恒等。
入数论的范畴。
四、爱森斯坦从判思别维法方：法若上存讲在，质这数也p，许使更p为|ai（恰i当=0。，1，…，n-1），但 p∤an，p2∤a0，则多项式f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a0在有理数域上不可约。
p（x）为常数。 注意p（x）有唯一一个确定了系数的项【1】，想到将p（x）2按二项 式展开，其中“xn”单独作为一项，其余的作为另一项■。
跃峰奥数
p（x）=xn+an-1xn-1+…+a1x+a0，p（x2）=x2n+an-1x2n-2+…+a1x2+a0。 p（x）2=[ xn+（an-1xn-1+…+a1x+a0）]2 =x2n+2xn（an-1xn-1+…+a1x+a0）+（an-1xn-1+…+a1x+a0）2。
跃峰奥数
对于本题，先猜想an-1=an-2=…=a0=0，然后用反证法证明， 并取极端非零对象即可■。
【极端假设】反设an-1，an-2，…，a0中存在一个不为0，可设ak是其中下标最小的一 个非零系数，那么，
p（x）=xn+akxk+…+a1x+a0（ak≠0，0≤k≤n-1）。【】 跃峰奥数PPT经典原创
【来自本知识结构】一、代数基本定理：任何非常数多项式至少有一个根。 推论（根数定理）：n次多项式恰有n个根。【】 跃峰奥数PPT经典原创
二、余式定理：x-a除以f（x）的余数是f（a），
即 f（x）=（x多-a项）式g（问x题），+f（一a般）看。作属于代数的范畴。
【再次比较系数】比较p（x2）、p（x）2表达式中x2n-1的系数，有an-1=0。 此时，p（x）=x因n+为an-p2x（n-2x+）…2的+a展1x+开a0式。仍然比较复杂，只有首项是确定的【1】。 【平行推理】如此下去，有an-1=an-2=…=a0=0，得p（x）=xn。 颜异【色【色二之二，色一色其链）链中概，性a优i与念若质以化ap这】】a1上假（同1，但因项对设解设x色a由稍 为 ） 的序a答技2；1，，于作（系2列中巧的也…ap思数aa，“22（n必1，，如-n，考入1则x-存a…1此na）即手n-次可21不在，，+下的可。项…使全j…a去（表发n只+解同是，”1a达现可这≤答1色一xaj式，n≤+能一无中，条na减还0-在段懈的则2）1少色）有2不可项 称2x的了链，一n甚击2a（最1一，-使项严，染。a高个则na的密a色-j1与2次x非必，系，（na-项零1存…数j若++每1…不项在异，也利个+超【i色a比用（项an1是1过】，较x“1染，+≤一2其简2ai且n≤可0色条-中）单n2只继-次链21a中：色染j）续+【”1出链给与1，上】的现。定a，使述思n【同的所a工1想i】与色两以作，，a。种i。可+采1 从用 【二色链思想】其思想就是取“极端对象”。对前者，取ai+1是与a1异色的最小下 标项；对后者，取aj是与an异色的最大下标项。
比如多项式：x2+2px+p。
跃峰奥数
【两种典型方法】
方法1：研究“等式”（分为三个主要环节） 一般式【】 跃峰奥数PPT经典原创
设出 表达式
分解式 带余式
赋值 对应比较
建立
因数分析、模分析
等式【2】 不等式控制
导出 结论【2】
插值式
跃峰奥数
【两种典型方法】 方法2：研究“根” （有6种主要方式）
奥数系列讲座——
温馨提示
为了设计教学场景互动效果的需要，课件中采用 了大量“播放后隐藏”的文本，从而导致预览模式下 出现诸多文本重叠，影响阅读。但在放映模式下，这 些现象都不会出现。
另外，课件中的图像均不是一次性形成，而是展 现了“尝试-修改-成形”等发生过程，这可能导致预 览模式下出现诸多乱码，但在放映模式下，图形则非 常生动、美观。
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组合数论6-2（多项式之二色链）
● 冯跃峰
本讲内容
本节为第3板块（组合数论）第6专题（多项式）的第小节2 （二色链） ，包含如下3个部分内容：
第一部分，概述问题涉及的知识方法体系； 第二部分，思维过程剖析。这是课件的核心部分，重在发掘 问题特征，分析如何找到解题方法。按照教师场景授课互动效 果设计，立足于启发思维； 第三部分，详细解答展示。提供笔者重新书写的解答（简称 “新写”），力求严谨、流畅、简练。【】 跃峰奥数PPT经典原创
1、利用“根”的定义，建立等式，转化为“研究等式”。 2、设出多项式的所有根，利用韦达定理。 3、由多项式的一个根导出其它根，考察多项式根的个数。 4、发现f（x）的根是另一个多项式g（x）的根，讨论f（x） 与g（x）的关系。 5、讨论根的存在范围。 6、估计根的个数。
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本节介绍“研究等式（比较系数）”的相关例子■。
【数论6-2】设多项式p（x）满足p（x2）=p（x）2，求p（x）。
【设出表达式】设p（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0，则 p（x2）=anx2n+an-1x2n-2+…+a1x2+a0， p（x）2=an2x2n+…+a02。 【比较系数】比较上述两【式题中感最】高从次条项件与看常，数题项中，直得接an给2=出an，了a多02项=a式0。p（（*x））满足的 【分类处理】（1）若p等（式x）【1为】，常自数然，想令到p（设x出）其=c一，般则式c2=，c，然所后以比c较=0系或数1。。 此时，p（x）=0，因p（为xp）（=x1），2它的们展显开然式都比合较乎复条杂件，。只有首末两项相对确定【1】，可 （2）若p（x）是从非这常两数项的的多系项数式入，手则。可设an≠0，由（*）式可得an=1，a0=0或1。 此 p（时x，2）p=（x2xn）+a=n-x1xn+2能为na-2n+否简-1…x得化n-+1+a讨an…1=x论12++?，aa—10x可。—+a将需0，“先0处多理项a式n=”0的与情“形一。次多项式”合并讨论，此时
三、恒等定理1：两个多项式相等，等价于对应项的系数都相等。
恒等定理2：两但个由n于次常多常项涉式及在到n+不1个定不方同程点的处相的关值问相题等与，方则法两，个这多里项将式其归
恒等。
入数论的范畴。
四、爱森斯坦从判思别维法方：法若上存讲在，质这数也p，许使更p为|ai（恰i当=0。，1，…，n-1），但 p∤an，p2∤a0，则多项式f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a0在有理数域上不可约。
p（x）为常数。 注意p（x）有唯一一个确定了系数的项【1】，想到将p（x）2按二项 式展开，其中“xn”单独作为一项，其余的作为另一项■。
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p（x）=xn+an-1xn-1+…+a1x+a0，p（x2）=x2n+an-1x2n-2+…+a1x2+a0。 p（x）2=[ xn+（an-1xn-1+…+a1x+a0）]2 =x2n+2xn（an-1xn-1+…+a1x+a0）+（an-1xn-1+…+a1x+a0）2。
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对于本题，先猜想an-1=an-2=…=a0=0，然后用反证法证明， 并取极端非零对象即可■。
【极端假设】反设an-1，an-2，…，a0中存在一个不为0，可设ak是其中下标最小的一 个非零系数，那么，
p（x）=xn+akxk+…+a1x+a0（ak≠0，0≤k≤n-1）。【】 跃峰奥数PPT经典原创
【来自本知识结构】一、代数基本定理：任何非常数多项式至少有一个根。 推论（根数定理）：n次多项式恰有n个根。【】 跃峰奥数PPT经典原创
二、余式定理：x-a除以f（x）的余数是f（a），
即 f（x）=（x多-a项）式g（问x题），+f（一a般）看。作属于代数的范畴。
【再次比较系数】比较p（x2）、p（x）2表达式中x2n-1的系数，有an-1=0。 此时，p（x）=x因n+为an-p2x（n-2x+）…2的+a展1x+开a0式。仍然比较复杂，只有首项是确定的【1】。 【平行推理】如此下去，有an-1=an-2=…=a0=0，得p（x）=xn。 颜异【色【色二之二，色一色其链）链中概，性a优i与念若质以化ap这】】a1上假（同1，但因项对设解设x色a由稍 为 ） 的序a答技2；1，，于作（系2列中巧的也…ap思数aa，“22（n必1，，如-n，考入1则x-存a…1此na）即手n-次可21不在，，+下的可。项…使全j…a去（表发n只+解同是，”1a达现可这≤答1色一xaj式，n≤+能一无中，条na减还0-在段懈的则2）1少色）有2不可项 称2x的了链，一n甚击2a（最1一，-使项严，染。a高个则na的密a色-j1与2次x非必，系，（na-项零1存…数j若++每1…不项在异，也利个+超【i色a比用（项an1是1过】，较x“1染，+≤一2其简2ai且n≤可0色条-中）单n2只继-次链21a中：色染j）续+【”1出链给与1，上】的现。定a，使述思n【同的所a工1想i】与色两以作，，a。种i。可+采1 从用 【二色链思想】其思想就是取“极端对象”。对前者，取ai+1是与a1异色的最小下 标项；对后者，取aj是与an异色的最大下标项。
比如多项式：x2+2px+p。
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【两种典型方法】
方法1：研究“等式”（分为三个主要环节） 一般式【】 跃峰奥数PPT经典原创
设出 表达式
分解式 带余式
赋值 对应比较
建立
因数分析、模分析
等式【2】 不等式控制
导出 结论【2】
插值式
跃峰奥数
【两种典型方法】 方法2：研究“根” （有6种主要方式）
奥数系列讲座——
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为了设计教学场景互动效果的需要，课件中采用 了大量“播放后隐藏”的文本，从而导致预览模式下 出现诸多文本重叠，影响阅读。但在放映模式下，这 些现象都不会出现。
另外，课件中的图像均不是一次性形成，而是展 现了“尝试-修改-成形”等发生过程，这可能导致预 览模式下出现诸多乱码，但在放映模式下，图形则非 常生动、美观。