几何计算题参考答案.

几何计算题

1.如图6，矩形纸片ABCD 的边长AB=4，AD=2．翻折矩形纸片，使点A 与点C 重合，折痕分别交AB 、CD 于点E 、F ，

（1）在图6中，用尺规作折痕EF 所在的直线（保留作图痕迹，不写作法），并求线段EF 的长；

（2）求∠EFC 的正弦值． 解：(1) 作图正确

∵矩形ABCD ，

∴90B ∠=，BC AD =. ∵在Rt △ABC 中，AB =4，AD =2

∴由勾股定理得：AC =设EF 与AC 相交与点O ，

由翻折可得

AO CO ==90AOE ∠=．

∵在Rt △ABC 中, tan 1BC

AB ∠=，

在Rt △AOE 中，tan 1EO

AO

∠=.

∴

EO BC

AO AB

=

，

∴2EO =.

同理：2FO =

. EF =. (2)过点E 作EH CD ⊥垂足为点H , 2EH BC ==

∴sin 5EH EFC EF ∠=

==

2、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE ． （1）求证：ABE △DFA ≌△；

（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值．

D

C

B A D

A B C E

F

3、如图7，△ABC 中，AB=AC ，

4

cos ∠(1)

求AB 的长；

(2) 求ADC ∠的正切值.

解：（1）过点

A 作AH ⊥BC ，垂足为 ∵AC A

B = ∴B

C HC BH 2

1==设x CD AC AB ===

∵6=BD ∴6+=x BC ， 2

6+=x BH

在Rt △AHB 中，AB

BH ABC =∠cos ，又5

4

cos =∠ABC

∴

5

426

=+x x 解得：10=x ，所以10=AB （2）82

1===BC HC BH

2810=-=-=CH CD DH

在Rt △AHB 中，222AB BH AH =+，又10=AB ，∴6=AH 在Rt △AHD 中，32

6tan ===∠DH

AH ADC

∴ADC ∠的正切值是3

4、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，已知∠D ＝30°.

（1）求∠A 的度数；

（2）若点F 在⊙O 上，CF ⊥AB ，垂足为E ，CF ＝34，求图中阴影部分的面积.

解：（1） 连结OC ，∵CD 切⊙O 于点C ，∴∠OCD ＝90°∵∠D ＝30°，∴∠COD ＝60°.

∵OA＝OC ，∴∠A＝∠ACO＝30°.

（2）∵CF ⊥直径AB ， CF ＝34，∴CE ＝ ∴在Rt △OCE 中，OE ＝2，OC ＝4. ∴2

BOC 6048

3603

S ππ⨯扇形＝

＝，EOC

1

22

S ⨯⨯＝∴EOC

BOC S S S

π阴影扇形8＝－＝－3

5、如图（1），在△ABC 和△EDC 中，AC ＝CE ＝CB ＝CD ，∠ACB ＝∠ECD ＝ 90，AB 与CE 交于F ，ED 与AB 、BC 分别交于M 、H ．

(1)求证:CF ＝CH ；

(2)如图(2)，△ABC 不动，将△EDC 绕点C 旋转到∠BCE = 45时，试判断四边形ACDM 是什么四边形？并证明你的结论．

解:(1) 证明:在△ACB 和△ECD 中

∵∠ACB =∠ECD = 90

∴∠1+∠ECB =∠2+∠ECB ,

∴ ∠1=∠2

又∵AC=CE=CB=CD ,

∴∠A =∠D = 45

∴△ACB ≌△ECD , ∴CF=CH

(2)答: 四边形ACDM 是菱形

证明: ∵∠ACB =∠ECD = 90, ∠BCE = 45

∴∠1= 45, ∠2= 45 又∵∠E =∠B = 45,

∴∠1=∠E , ∠2=∠B … ∴AC ∥MD , CD ∥AM ,

∴四边形ACDM 是平行四边形

又∵AC=CD , ∴四边形ACDM 是菱形

（图1） （图2） D

C

B E

A H

M F E

D C B

A F H M

6、等腰△ABC ，AB=AC=８，∠BAC=120°，P 为BC 的中点，小亮拿着300角的透明三角板，使300角的顶点落在点P ，三角板绕P 点旋转．

（1）如图a ，当三角板的两边分别交AB 、AC 于点E 、F 时．求证：△BPE ∽△CFP ； （2）操作：将三角板绕点P 旋转到图b 情形时，三角板的两边分别交BA 的延长线、边AC 于点E 、F ．

① 探究１：△BPE 与△CFP 还相似吗？

② 探究２：连结EF ，△BPE 与△PFE 是否相似？请说明理由； ③ 设EF=m ，△EPF 的面积为S ，试用m 的代数式表示S ．

解：（1）证明：EPC BEP B ∠=∠+∠ 而FPC EPF EPC ∠+∠=∠ ︒=∠=∠30EPF B 所以FPC BEP ∠=∠ 由︒=∠=∠30C B 可知 结论成立. （2）①相似

②相似

理由：由△BPE 与△CFP 相似可得 PF PE PC BE =即PF

PE

PB BE =

，而︒=∠=∠30EPF B 知结论成立 ③由△BPE 与△PFE 相似得EF

PE

PF BP =

，即m PF PE 34=⋅，过F 作PE 垂线可得 m PE PF S 321

21=⋅⋅=)0(>m

图a

B

C

P

B

P

B C P B

图a