各配分函数的计算共97页文档
08-4 配分函数的计算
e,0
kT
)[1
e,1 e,0
kT
电子能级间隔也很大， (e,1 e,0 ) 400 kJ mol-1 , 除F, Cl 少数元素外，方括号中第二项也可略去。虽然温度很高时，电 子也可能被激发，但往往电子尚未激发，分子就分解了。所以 通常电子总是处于基态，则：
1 (v ) v / T 2
qv
e
1 (v ) v / T 2
ev / 2T (1 ev / T )1
e vv / T (1 ev / T )
n0 基态分子分数 f 0 1 ev / T N
300 K 时
激发态 fex 1 f0 ev / T
物理化学II
7
统计热力学基础
配分函数的计算
2 h2 nx qt, x exp( 2) 8mkT a nx 1
exp( n )
nx 1 2 x
h (设 ） 2 8mkTa
2
因为 是一个很小的数值，所以求和号用积分号代替， 得：
2 qt,x exp( nx )dnx 0
配分函数的计算
配分函数的分离
t r q [ g t exp( )] [ g r exp( )] k BT k BT v e [ g v exp( )] [ g e exp( )] k BT k BT n [ g n exp( )] k BT
qt qr qv qe qn qt q内
平动, 转动,振动,电子,核运动
简并度 g i = gt •gr • gv • ge • gn
i / kBT
则
分子配分函数
0 ∞
= ∫ e −Θ r y / T dy
0
∞
T −Θ r y / T ∞ T T |0 = − =− ⋅e ⋅ (0 − 1) = Θr Θr Θr
T 8π 2 IkT ∴qr = = 2 Θr h
用欧拉-麦克劳林公式对 进行变换, 用欧拉 麦克劳林公式对qr进行变换 可以得到配分函数更精确 麦克劳林公式对 的表达式. 的表达式
∴ qt=(2πmkT/h2)3/2·a·b·c π
=(2πmkT/h2)3/2 ·V abc=V π
(7)
1.0
y=f(nx)
0
N
平动对热力学函数的贡献： 平动对热力学函数的贡献：
1. U： ： U=NkT2 [∂lnq/∂T]N,V =NkT2{∂/∂Tln[(2πmk/h2)3/2 ·V·(T)3/2]}N,V π = NkT2 · 3/2·1/T = 3/2nRT Um= 3/2RT (8) 2. CV,m: CV,m=(∂U/∂T)V=3/2R (9) 单原子分子只有平动, 单原子分子只有平动 CVm= 3/2R. 与统计力学推出的结果完全一致. 与统计力学推出的结果完全一致 3. F: F= -NkT·ln(eq/ N) (10) = -nRT·ln[(e/N)( 2πmkT /h2 )3/2·V] π
q = qn.qe.qt.qr.qv
形式对热力学函数贡献值的加和: 加和:
(1)
因为热力学函数与q的对数相关 因为热力学函数与 的对数相关, 故热力学函数值是各分运动 的对数相关 F=-NkT㏑q=-NkT㏑qn-NkT㏑qe-NkT㏑qt-NkT㏑qr-NkT㏑qv ㏑ ㏑ ㏑ ㏑ ㏑ ㏑
各配分函数的求法及其对热力学函数的贡献
号代替，得：
qt,x0exp(2nx2)dnx
引用积分公式： eax2dx 1 则上式得：
0
2a
24.10.2022
qt,x 1 2(2hm2kT)12a
10
q t , y 和 q t , z 有相同的表示式，只是把a换成 b或 c，故
qt 0exp(8m h kT 2a2nx 2)dnx 0exp(8mhkT 2b2ny2)dny
exp(i,r )
kT
J(J1)h2
(2J1)exp(
)
J0
82IkT
令r
h2
8 2Ik
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r称为转动特征温度,因等式右边 项具有温度的量纲，将r代入qr 表达式,得：
23
qr (2J1)e
J0
xpJ((J1)r） T
从转动惯量 I求 得r
除H2外,大多数分子的 r很小
在常温下 r ， 1,因此用积分号号 代替 T
A kkTT[[ggen,0,0eexxpp((kekT,0nT,)0])N]N
N k T ln (2m h k 3 T )32 N k T ln V N k T ln N N k T
(N n ,0 N e ,0 ) N k T ln g n ,0 g e ,0
(2m k T )3 2
kT
如将核基态能级能量选为零,则上式可简化为：
qn gn,0 2sn1
即原子核的配分函数等于基态的简并度,它来源
于核的自旋作用，式中 sn 是核的自旋量子数，
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3
对于多原子分子,核的总配分函数等于各原子的 核配分函数的乘积
q n ,总 2 s n 12 s n ' 12 s n '' 1
配分函数的分析与计算
2014届本科毕业论文配分函数的分析与计算姓名：张坤系别：物理与电气信息学院专业：物理学学号：100314025指导教师：王保玉2014年4月12日目录摘要 (I)0 引言 (1)1 配分函数的分析 (1)1.1 配分函数体现的粒子在各个能级上的分配性质 (1)1.2 配分函数表示的是所有的可能量子态相对的概率之和 (1)1.3 配分函数表示粒子离开基态的程度大小的量度 (2)1.4 配分函数是状态函数 (3)1.5 配分函数属于特性函数 (3)2 配分函数的计算 (4)2.1 统计系综的几率分布与配分函数 (5)2.2 近独立系统的配分函数 (6)2.2.1 近独立系统的经典统计 (6)2.2.2 近独立系统的量子统计 (6)结束语 (9)参考文献 (10)致谢 (10)配分函数的分析与计算摘要配分函数在统计物理中占有非常重要的地位,它是一个非常重要并且也比较难理解的物理量，本文将从配分函数的定义出发，阐述其物理意义，阐释其在统计物理中的重要作用，全面分析配分函数，进而研究了常见的各种系综的配分函数的相关计算，并讨论其应用。
关键词：配分函数；物理意义；作用；系统；系综Analysis and calculation of partition functionAbstractPartition function plays an important role in statistical physics, It is a very important and also difficult to understand the physical quantity. This article will begin with the definition of partition function, expatiate it’s physical meaning and illustrate the important role in statistical physics, then give a comprehensive analysis of the partition function. and then study Calculation of partition function in various common ensemble:Classical statistical and Quantum statistics in Near independent system, finally make a comprehensive study of the partition function.Key word: Partition function The physical significance System Ensemble0 引言热力学的宏观理论和微观理论统称为热现象的基本理论，即热力学和统计物理学。
§ 各配分函数的求法及其对热力学函数的贡献
原子核配分函数 电子配分函数
平动配分函数
单元子理想气体的热力学函数
转动配分函数
振动配分函数
20.03.2020
1
原子核配分函数
q ng n ,0e x p (k n T ,0) g n ,1e x p (k n T ,1)
g n ,0ex p (k n T ,0)[1g g n n ,,0 1ex p (n ,1 k Tn ,0) ]
kTlnkTkTlnp
对1 mol气体分子而言，各项均乘以阿伏伽
德罗常数 L, Lk R, 则1 mol气体化学势为
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19
（5）化学势
L(n,0e,0)RTlngn,0ge,0RTln(2m hk3T)32)
RTlnkTRTlnp
当处于标准态时，p p ，则：
L(n,0e,0)RTlngn,0ge,0RTln(2m hk3T)32)
2sn
1 i
i
由于核自旋配分函数与温度、体积无关，所以
对热力学能、焓和等容热容没有贡献。
但对熵、Helmholtz自由能和Gibbs自由能有相 应的贡献。
从化学反应的角度看，一般忽略核自旋配分函
数的贡献，仅在计算规定熵时会计算它的贡献。
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4
电子配分函数
q eg e ,0ex p (k e T ,0)g e ,1ex p (k e T ,1)
设分子作只有一种频率 的简谐振动，振
动是非简并的，g i ,v 1 ，其振动能为：
v(v1 2)h v0,1,2,
式中v为振动量子数，当v=0时， v , 0 称为零点振动能
§7.4 配分函数资料
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定位系统配分函数与热力学函数的关系 由上列公式可见，U，H 和CV的表达式在定 位和非定位系统中是一样的；
1 而A，S 和 G的表达式中，定位系统少了与 N!
有关的常数项，而这些在计算函数的变化值时是可 以消去的。 本章主要讨论非定位系统
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配分函数的分离
先讨论粒子数为N的非定位系统的热力学函数 （1）Helmholz自由能A
A非定位 kT ln
( g i e
i
i / kT
)
N
N!
N
q kT ln N!
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配分函数与热力学函数的关系
（2）熵 S
A ( )V , N S T
dA SdT pdV
i,t i,r i,v i,e i,n
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配分函数的分离
各不同的能量有相应的简并度
简并度的乘积，即：
gi,t , gi ,r , gi ,v , gi ,e , gi ,n 当总能量为 i 时，总简并度等于各种能量
gi gi,t gi,内
gi ,t gi ,r gi ,v gi ,e gi ,n
根据配分函数的定义将 i 和 gi 的表达式代入，得
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q gi exp(
i
i
i
kT
)
i ,t i ,r i ,v i ,e i ,n
kT )
gi ,t gi ,r gi ,v gi ,e gi ,n exp(
q 称为分子配分函数，或配分函数（partition function) 配分函数是量纲一的量，单位为1 求和项中
分子配分函数
转动配分函数可表达为:
qr (2J 1)eJ (J 1)r /T J 0
在通常条件下, 转动能级很密集, 加合可以积分代替:
令:
y=J2+J
dy=(2J+1)dJ
代入转动配分函数的表达式:
q r
(2J 1)e rJ(J1) / T dJ
0
e ry / T dy 0
pV=nRT p=nRT/V=NkT/V 此式与上式相等: NkT/V=N/(V) ∴ kT = 1 /β
∴ β= 1/kT
例：求298.15K，1Pθ下，Ar的Smθ。MAr =39.92
解：St,m = R(3/2lnM + 5/2lnT – lnP/Pθ–1.165) = 8.314(3/2ln39.92 + 5/2ln298.15 – ln1–1.165) = 154.7 J·K-1·mol-1
分子的运动形式除了平动, 转动和振动之外, 还有 内转动. 内转动是分子内部基团间绕某对称因素 的相互转动, 是一种介乎转动和振动之间运动形 式.
内转动一般存在于结构较复杂的有机分子.
如乙烷分子:
C2H6, 其分子结构如图:
乙烷分子的两甲基可以绕C-C单键旋转, 两甲基的位置 可相互转动, 当位置不同时, 内转动运动的能垒不同.
T r
ery / T
|0
T r
(0 1)
T r
T 82IkT qr r h2
用欧拉-麦克劳林公式对qr进行变换, 可以得到配分函数更精确 的表达式.
q r e0 3e 2r / T 5e 6r / T 7e 12r / T
∵ i>>kT ∴ e-i /kT ≈ 0
各配分函数的计算
3、统计体系的分类
（2）独立粒子体系和相依粒子体系：按粒子间有无作用力 独立粒子体系（assembly of independent particles） 粒子之间的相互作用非常微弱，因此可以忽略不计， 所以独立粒子体系严格讲应称为近独立粒子体系。这种体 系的总能量应等于各个粒子能量之和，即：
U n11 n22 nii
例如，某宏观体系的总微态数为 ，则每一种微观状
态 P出现的数学概率都相等，即：
P 1
7.2 Boltzmann 统计
1、定位体系的微态数和最概然分布 2、Boltzmann公式的讨论：非定位体系的最概然分布 3、Boltzmann公式的其它形式
4、熵和亥氏自由能的表达式
1、定位体系的微态数和最概然分布
i
-
1 kT
Ni* N
ei / kT ei / kT
i
max
N! Ni* !
i
2、非定位体系的最概然分布
(1)简并度（degeneration） 能量是量子化的，但每一个能级上可能有若干个不同
的量子状态存在，反映在光谱上就是代表某一能级的谱线 常常是由好几条非常接近的精细谱线所构成。
量子力学中把能级可能有的微观状态数称为该能级的
经典热力学是宏观方法，经典热力学具有高度的可靠性， 这对于推动生产和科研起到了很大作用。由于经典热力学不是从物质 微观结构来考虑问题，所以在处理热力学问题时不受人们对物质结构 认识的影响，这是它的优点。 但同时也表现了局限性。
1、经典热力学的优点与局限性
经典热力学的局限性：经典热力学不能给出系统的微观 性质与宏观性质之间的联系，统计热力学恰好在系统的 微观性质与宏观性质之间架起了联系的桥梁：
i
9-5粒子配分函数的计算
qr
gr,i e r,i kT
i
2J 1 exp
J0
JJ
1 h2 8 2IkT
qr
gr,i e r,i kT
i
2J
J0
1 exp
JJ
1 h2 8 2IkT
h2 r 8 2Ik
称为转动特征温度
qr
2J 1 exp J J 1 r / T
J0
(用积分近似上述加和)
qr (2J 1)eJ (J 1)Θr /T dJ
h2 8mkTc
2
nz2
qt, x
nx 1
exp
h2 nx2 8mkT a
2
A2
h2 8mkTa
2
对于粒子种类确定、系统温 度确定、容器形状一定的系统， A为常数。
qt,x
exp A2nx2
e dn A2n2x x
e dn A2n2x x
nx 1
1
0
e dn A2n2x x
U NkT 2 lnq TV
S Nk lnq U T
q
g ei /kT i
i
p NkT lnq VT
A,G, H
§9.6 粒子配分函数的计算
1. 配分函数的析因子性质 粒子的运动
独立的平动、转动、振动 电子运动和核子运动
i
t,i
r,i
v,i
e,i
n,i
平动 转动 振动电子运动 核子运动
统计权重
2
mkT h2
32
V
2.467 1026
每个平动自由度的配分函数为
ft
q
1 t
3
2.467 1026 1 3
6.272 108
§7.5-各配分函数的求法及其对热力学函数的贡献
2 mkT
h2
3/ 2
V
NkT
ln
NNkTStAt TV ,N
Nk
ln
2 mkT
h2
3/ 2
V
ln
N
5
2
Nk
ln
qt N
5 2
这就是Sackur-Tetrode公式，用来计算理想气
2体020/1的0/23平动熵
12
对于1 mol 理想气体，Sackur-Tetrode 公式为
2020/10/23
7
平动配分函数
设质量为m的粒子在体积为 a bc 的立方体
内运动，根据波动方程解得平动能表示式为：
i ,t
h2 8m
(
nx2 a2
ny2 b2
nz2 c2
)
式中h是普朗克常数，nx , ny , nz 分别是 x, y, z轴上 的平动量子数，其数值为 1,2,, 的正整数。
exp(
nz 1
h2 8mkT
nz2 c2
)
qt,x
qt,y
qt,z
因为对所有量子数从 0 求和，包括了所有
状态，所以公式中不出现 gi,t 项。
在三个轴上的平动配分函数是类似的，只解其
中一个 qt,x ，其余类推。
2020/10/23
9
h2
qt,x
exp(
nx 1
8mkT
exp( 2 nx2 )
St,m
R ln
2 mkT
Lh3
3/ 2
Vm
5 2
R
根据 U A TS
Ut
NkT
2
ln qt T
V ,N
3 2
粒子配分函数的计算
ε0
qn0
=
gn,0
+
gn,1 exp(−
n ,1
kT
) +L
由于化学反应中，核总是处于基态，另外基态 与第一激发态之间的能级间隔很大，所以一般把方 括号中第二项及以后的所有项都忽略不计，则：
qv
= e q −εv,0 kT
0
v
=
−Θv
e 2T
q
0 v
− 2690K
= 1.0001× e 2×300K
= 0.0113
9.5.6 电子配分函数的计算 （Calculation of electron partition function）
∑ qe0 =
−
ε
0 e,i
ge,ie kT ≈ ge,0
q
0 v
=
1
−Θv
Θv ＝ h υ ／k
1−e T
表9.2振动特征温度
分子
H2 HD D2 N2 O2 Cl2 I2 CO
Θv／K
5987 5226 4307 3352 2239 798 307 3084
q
0 v
(300K)
1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.075 1.556 1.000
qn
=
g n,0
exp(− εn,0 ) +
kT
g
n,1
exp(−
ε n,1
kT
)
+
⋅
⋅
⋅
=
gn,0
exp(−
ε n,0
kT
)[1 +
g n,1 gn,0
exp(−
ε n,1 − ε n,0
excel常用函数对照表
2.5 datevalue返 回文本字符 串所代表的 日期序列号 29
2.6 year 返回某日期 对应的年份 31
2.7 month返回 某日期对应 的月份 33
2.8 day 返回某日期 对应当月的 天数 35
2.9 time 返回某一特 定时间的小 数值 37
2010 函数 与公 式速 查手 册
目录
基本信息 内容简介 目录 编辑本段 基本信息
作者： 起点文化 丛书 名： 速查手 册
出版 社：电子 工业出版 社
ISBN： 9787121125 546 上架时 间：2011-218 出版日 期：2011 年 2月 开本： 32开 页码： 707 版次： 1-1
5.10 subtotal返回 列表或数据 库中的分类 汇总 126
5.11 quotient返回 两数相除的 整数部分 129
5.12 mod返回两 数相除的余 数 131
5.13 sign返回数 值的符号 134
5.14 gcd返回参数 的最大公约 数 135
5.15 lcm返回参数 的最小公倍 数 136
6.10 lookup从数 组中返回一 个值（数组 形式） 219
6.11 hlookup在数 据表的首行 查找指定的 数值，并在 数据表中指 定行的同一 列中返回一 个数值 222
6.12 vlookup在数 据表的首列 查找指定的 值，并返回 数据表当前 行中指定列 的值 226
6.13 index返回指 定单元格或 单元格数组 的值（数组 形式） 231
4.15 isref引用值 判断 104
4.16 istext文本判 断 105
第 5章 数学和三角 函数 107
§7.4 配分函数
配分函数的分离
平动能约为 转动能约为 振动能约为
t 4.2 1021 J mol1
r (42 420) J mol 1 1 v (4.2 42) kJ mol
则更高
电子和核的能量 e , n
分子的总能量等于各种能量之和，即：
i i,t i,内
N
ln q S定位 Nk ln q NkT ( )V , N T U 或 S定位 Nk ln q T
U 定位
2014-4-27
ln q NkT ( )V , N T
2
9
定位系统配分函数与热力学函数的关系
A G定位 A pV A V ( )T , N V ln q N kT ln q NkTV ( )T , N V H定位 G TS U pV ln q ln q NkT ( )V , N NkTV ( )T , N T V 2 ln q CV ,定位 [ NkT ( )V , N ]V T T
2
2014-4-27 10
定位系统配分函数与热力学函数的关系 由上列公式可见，U，H 和CV的表达式在定 位和非定位系统中是一样的；
1 而A，S 和 G的表达式中，定位系统少了与 N!
有关的常数项，而这些在计算函数的变化值时是可 以消去的。 本章主要讨论非定位系统
2014-4-27 11
配分函数的分离
q 称为分子配分函数，或配分函数（partition function) 配分函数是量纲一的量，单位为1 求和项中
2014-4-27
e
i / kT
称为Boltzmann因子。
2
配分函数q是对系统中一个粒子的所有可能状态 的Boltzmann因子求和，因此q又称为状态和。 配分函数q是属于一个粒子的，与其余粒子无关， 故称为粒子的配分函数。 将q代入最概然分布公式，得：
第七章(c语言谭版)函数
调用a
调用b
}
}
}
例： 用弦截法求方程的根。
x3–5x2+16x–80=0 方法如下： (1) 取两个不同点x1、x2,如果f(x1)和f(x2)符号相反， 则(x1,x2)区间内必有一个根。如果f (x1)与f (x2)同 符号，则应改变x1、x2，直到f (x1)、f (x2)异号为 止。注意x1、x2的值不应差太大，以保证(x1, x2) 区间只有一根。
float x1, x2; { int i; float x, y, y1; y1=f(x1); do { x=xpoint(x1, x2);
y=f(x);
if (y*y1>0) /*f(x)与f(x1)同符号。*/ {y1=y; x1=x;} else x2=x; } while (fabs(y)>=0.0001); return (x); }
个return.
返回值类型为函数类型。 一般return中的返
回值类型应与函数定义时的类型一致， 不一致时,
以函数定义类型为准。
5. 调用函数应对被调用函数的返回值类型作出说 明:(函数名相当于一变量,但应有所区别)
类型符 函数名( );
它不同于函数的定义(功能定义) 例: 求二实数之和 main ( ) { float add( ); float a, b, c；
hanoi(n, one, two, three)
表示n个盘子从one塔借助于two塔(空)移至three塔。 调用时塔用字符常量'A' ,' B ', ' C '表示。
§7.5 数组作为函数参数
分为两种情况: 1. 数组元素作为实参
苏科版2024-2025学年九年级数学上册第一次月考模拟试卷(解析版)
2024-2025学年度第一学期第一次月考模拟试卷一、单选题1. 下列是一元二次方程的是（ ）A. 20ax bx c ++=B. 22x x −=C. ()222x x x −=−D. 11x x += 【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的识别．本题根据一元二次方程的定义解答．【详解】解：A 、当0a ≠时，20ax bx c ++=是一元二次方程，故本选项不符合题意； B 、22x x −=是一元二次方程，故本选项符合题意；C 、变形为22x =不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D 、11x x+=含有分式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B2. 一元二次方程2310x x −−=的根的情况为（ ）A. 无实数根B. 有一个实数根C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根【答案】D【解析】【分析】本题考查一元二次方程根的情况，涉及一元二次方程根的判别式，由题中一元二次方程得到判别式，即可判断答案，熟记一元二次方程根的情况与判别式符号关系是解决问题的关键．【详解】解：一元二次方程2310x x −−=， 3,1,1a b c ==−=−，()()21431∴∆−−××−112=+130=>，∴一元二次方程2310x x −−=的根的情况为有两个不相等的实数根，故选：D ．3. 一元二次方程2430x x −+=配方后变形为（ ）A. ()241x −=B. ()221x −=C. ()241x +=D. ()221x +=【答案】B【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，掌握配方法是解题的关键．先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方形式即可．【详解】解：2430x x −+=，∴243x x −=−，∴24434x x −+=−+，即()221x −=．故选：B4. 若关于x 的一元二次方程2690kx x −+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A. 1k >B. 0k ≠C. 1k <D. 1k <且0k ≠ 【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2690kx x −+=有两个不相等的实数根，∴()26490k ∆=−−×>，且0k ≠，解得：1k <且0k ≠，即k 的取值范围是1k <且0k ≠．故选：D5. 将抛物线2y x =先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线对应的函数解析式为（ ）A. ()223y x =−+B. ()232y x =−+ C. ()223y x =++ D. ()232y x =−− 【答案】B【解析】【分析】本题考查函数图象的平移，解题的关键是要熟练掌握函数的平移规律：“左加右减，上加下减”，根据函数图象平移规律即可得到答案．【详解】解：将抛物线2y x =先向上平移2个单位长度，得到22y x =+，再向右平移3个单位长度，得到()232y x =−+， 故选：B ．6. 若()()()1232,,1,,2,A y B y C y −是抛物线()221y x a =−+上三点，则123,,y y y 为的大小关系为（ ）A. 123y y y >>B. 132y y y >>C. 321y y y >>D. 312y y y >>【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握当抛物线开口方向向上时，离对称轴越远，函数值越大成为解题的关键．先确定抛物线的对称轴，再确定抛物线开口向上，此时离对称轴越远，函数值越大，据此即可解答．【详解】解：∵()221y x a =−+,∴抛物线的对称轴为直线1x =，开口向上，∴离对称轴越远，函数值越大，∵点()12,A y −离对称轴最远，点()21,B y 在对称轴上，∴132y y y >>．故选：B ．7. 若抛物线242y kx x =−−与x 轴有两个交点，则k 的取值范围为（ ）A. 2k >−B. 2k ≥−C. 2k >−且0k ≠D. 2k ≥−且0k ≠ 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的定义，二次函数与x 轴有两个交点，则与之对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，据此利用判别式求出k 的取值范围，再结合二次项系数不为0即可得到答案．【详解】解：∵抛物线242y kx x =−−与x 轴有两个交点， 的∴()()2Δ44200k k =−−×−⋅> ≠ ， ∴2k >−且0k ≠，故选：C ．8. 二次函数2y ax bx c =++图象上部分点的对应值如下表则使0y <的x 的取值范围为（ ） x 3− 2− 1− 01 2 3 4 y 60 4− 6− 6− 4− 0 6A. 0x <B. 12x >C. 23x −<<D. 2x <−或3x >【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，先求出二次函数的表达式，再根据与x 轴的交点即可求出0y <的x 的取值范围，解题的关键是求出二次函数2y ax bx c ++的表达式．【详解】解：由表格可知2y ax bx c ++经过()2,0−，()3,0，()0,6−，设解析式为()()23y a x x =+−∴()()02036a +−=−， 解得：1a =，∴抛物线解析式为()()2236y x x x x =+−=−−，∴抛物线图象开口向上，与x 轴的交点为()2,0−，()3,0，∴0y <时x 的取值范围是23x −<<，故选：C ．二、填空题9. 已知m 是方程2520x x −−=的一个根，则22101m m −−=______． 【答案】3【解析】【分析】本题考查一元二次方程的根的定义、代数式求值，根据一元二次方程的根的定义，将m 代入2520x x −−=，求出252m m −=，即可求出22101m m −−的值．【详解】解：∵m 是方程2520x x −−=的一个根，∴252m m −=，∴()2221012512213,m m m m −−=−−=×−=故答案为：3． 10. 一元二次方程()2110x k x +++=有两个相等的实数根，那么k 的值为_____． 【答案】1或3−【解析】【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=−有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．根据判别式的意义得到()2Δ1410k =+−×=，然后解关于k 的方程即可． 【详解】解：由题意得：()2Δ1410k =+−×=，即：()214k +=，解得：1k =或3−，故答案为：1或3−． 11. 若关于x 的一元二次方程()22240m x mx m −++−=有一个根是0，则m 的值为________ 【答案】2−【解析】【分析】此题考查了一元二次方程的定义及方程的解的定义，将0x =代入方程求出2m =±，再根据一元二次方程的定义求出2m ≠，由此得到答案，正确理解一元二次方程的定义及方程的解的定义是解题的关键．【详解】解：将0x =代入()22240m x mx m −++−=，得240m −=， 解得2m =±，∵20m −≠，∴2m ≠，∴2m =−，故答案为2−．12. 用一根长22cm 的铁丝围成面积是230cm 的矩形．假设矩形的一边长是cm x ，则可列出方程_____________________ 【答案】22=302x x −【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的运用，要掌握运用长方形的面积计算公式S ab =来解题的方法．本题可根据长方形的周长可以用x 表示另一边长的值，然后根据面积公式即可列出方程．【详解】解：一边长为 c m x ，则另一边长为22cm 2x −， 得22=302x x −． 故答案为：22=302x x −． 13. 如图，已知抛物线2y ax bx c ++与直线y kx m =+交于()3,1A −−、()0,3B 两点，则关于x 的不等式2ax bx c kx m ++≥+的解集是________．【答案】30x −≤≤【解析】【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象上方时，自变量x 的取值范围．根据图象，写出抛物线在直线上方部分的x 的取值范围即可．【详解】∵抛物线2y ax bx c ++与直线y kx m =+交于()3,1A −−、()0,3B 两点， ∴由函数图象可得，不等式2ax bx c kx m ++≥+的解集是30x ≤≤﹣，故答案为：30x −≤≤．14. 抛物线()232y x =−−−的顶点坐标是________ ．【答案】()3,2−【解析】【分析】本题考查了二次函数2()y a x h k =−+(a ，h ，k 为常数，0a ≠)性质，2()y a x h k =−+是抛物线的顶点式，a 决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是(,)h k ，对称轴是直线x h =．【详解】解：物线()232y x =−−−的顶点坐标是()3,2−． 故答案为：()3,2−．15. 已知二次函数()214y x =+−，当02x ≤≤时，函数值y 的取值范围为__________【答案】35y −≤≤##53x ≥≥−【解析】【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据题意得当1x >−时，y 随x 的增大而增大，求得当0x =时，=3y −；2x =时，5y =，即可求解．【详解】解：由题意得，10a =>，对称轴1x =−，∴当1x >−时，y 随x 增大而增大，∵当0x =时，=3y −；2x =时，5y =，∴当02x ≤≤时，函数值y 的取值范围为35y −≤≤，故答案为：35y −≤≤．16. 飞机着陆后滑行的距离(米)关于滑行时间(秒)的函数解析式为260 1.5s t t =−，则飞机着陆后滑行_________秒才停下来．【答案】20【解析】【分析】本题主要考查二次函数的应用，飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s 最大时对应的t 值，根据顶点坐标的实际意义可得答案．【详解】∵()2260 1.5 1.520600s t t t =−=−−+，∴当20t =时，s 取得最大值600，∴飞机着陆后滑行20秒才停下来．的的故答案：20．17. 如图所示，,A B 分别为22(2)1y x =−−图象上的两点，且直线AB 垂直于y 轴，若2AB =，则点B 的纵坐标为________．【答案】1【解析】【分析】本题主要考查二次函数图象的对称性，能够熟练运用对称轴求点的横坐标是解题关键．求出对称轴后根据对称性求点B 横坐标，再代入解析式即可解答．【详解】解：∵()2221y x =−−，∴抛物线对称轴为直线2x =，∵2AB =，∴点B 横坐标为213+=，将3x =代入()2221y x =−−得1y =，∴点B 的纵坐标为1．故答案为：118. 如图，横截面为抛物线的山洞，山洞底部宽为8米，最高处高163米，现要水平放置横截面为正方形的箱子，其中两个顶点在抛物线上的大箱子，在大箱子的两侧各放置一个横截面为正方形的小箱子，则小箱子正方形的最大边长为______米．【解析】为【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，先建立解析中坐标系，则()4,0A ，设大小正方形的边长分别为2m ，n ，则点B 、C 的坐标分别为：()(),2,m m m n n +，，利用待定系数法求出抛物线解析式为211633y x =−+，再把B 、C 坐标代入求解即可． 【详解】解：建立如下平面直角坐标系，则点()4,0A ，设大小正方形的边长分别为2m ，n ，则点B 、C 的坐标分别为：()(),2,m m m n n +，、 设抛物线的表达式为：()21603y ax a =+≠， 将点A 的坐标代入上式得：160163a =+，解得13a =−，∴抛物线的表达式为：213y x =− 将点B 、C 的坐标代入上式得：()2211623311633m m n m n =−+ =−++①②， 由①得1228m m ==−，(舍去），解得：2m n = =或2m n = = （舍去），米．． 三、解答题19. 商场销售某种拖把，已知这种拖把的进价为80元/套，售价为120元/套，商场每天可销售20套、国庆假期临近，该商场决定采取适当的降价措施，经调查：这种拖把的售价每降价1元，平均每天可多售出2套，设这种拖把每套降价x 元．（1）降价后每套拖把盈利______元，平均每天可销售______套（用含x 的代数式表示）；（2）为扩大销售量，尽快减少库存，当每套拖把降价多少元时，该商场销售这种拖把平均每天能盈利1242元？（3）该商场销售这种拖把平均每天的盈利能否达到1400元？若能，求出x 的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）()40x −，2x（2）每套拖把降价17元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1242元；（3）不能，理由见解析【解析】【分析】此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．（1）设每套拖把降价x 元，根据题意列出代数式即可；（2）设每套拖把降价x 元，则每套的销售利润为()40x −元，平均每天的销售量为()202x +套，根据题意列出一元二次方程求解即可；（3）设每套拖把降价y 元，则每套的销售利润为()12080y −−元，平均每天的销售量为()202y +套，根据题意列出一元二次方程，然后依据判别式求解即可.【小问1详解】解：设每套拖把降价x 元，则每天销售量增加2x 套，即每天销售()202x +套，每套拖把盈利()1208040x x −−=−元．故答案为：()40x −，()202x +；【小问2详解】解：设每套拖把降价x 元，则每套的销售利润为()40x −元，平均每天的销售量为()202x +套，依题意得：()()402021242x x −+=， 整理得：2302210x x −+=，解得：121317x x ==，． 又∵需要尽快减少库存，∴17x =．答：每套拖把降价17元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1242元； 【小问3详解】解：商家不能达到平均每天盈利1400元，理由如下：设每套拖把降价y 元，则每套的销售利润为()12080y −−元，平均每天的销售量为()202y +套，依题意得：()()120802021400y y −−+=， 整理得：2303000y y −+=． ∵()22Δ43041300300<0b ac =−=−−××=−， ∴此方程无实数解， 即不可能每天盈利1400元． 20. 解方程：（1）2(2x 1)9+=； （2）2x 2﹣4x ＝1（配方法）； （3）22x 5x 10−+=；（4） ()2(x 3)4x 3x 0−−−=【答案】（1）121,2x x ==−；（2）1211x x ；（3）12x x ；（4）1233,5x x == 【解析】【分析】（1）直接开平方法解方程即可；（2）先方程两边除以2，将二次项系数化为1，再在方程两边同时加上1，配方开平方即可解答； （3）确定a 、b 、c ，求出△值，当判断方程有解时，带入公式求解即可； （4）整理方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）2(2x 1)9+= 开平方，得：2x 13+=±， 解得：121,2x x ==−； （2）22x 41x −=，二次项系数化为1，得：21x 22x −=， 配方，得：21x 2112x −+=+， 即23(x 1)2−=，开方，得：1x −=解得：1211x x （3）22x 5x 10−+= ∵a=2，b=﹣5，c=1,∴△=224(5)42117b ac −=−−××=﹥0,∴x =，解得：12x x =（4）()2(x 3)4x 3x 0−−−= ()2(x 3)4x 30x +−−=(3)(53)0x x −−=∴30x −=或530x −=，解得：1233,5x x ==． 【点睛】本题考查解一元二次方程的方法，熟练掌握一元二次方程的各种解法的步骤和注意点，灵活选用解法是解答的关键．21. 随着科技的发展，某省正加快布局以5G 等为代表的新兴产业．据统计，目前该省5G 基站数量约为1.5万座，计划到今年底，全省5G 基站数是目前的4倍；到后年底，全省5G 基站数量将达到17.34万座．（1）计划在今年底，全省5G 基站数量是多少万座？（2）按照计划，从今年底到后年底，全省5G 基站数量的年平均增长率为多少？ 【答案】（1）6万座 （2）70% 【解析】【分析】本题考查有理数乘法的应用，一元二次方程的实际应用：（1）根据计划到今年底，全省5G 基站数是目前的4倍，列出算式计算即可；（2）设全省5G 基站数量的年平均增长率为x ，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可 【小问1详解】解：由题意得：1.546×=（万座）； 答：计划在今年底，全省5G 基站数量是6万座． 【小问2详解】解：设全省5G 基站数量的年平均增长率为x ，由题意得：()26117.34x +=，解得：120.7, 2.7x x ==−（不符合题意，舍去）； 答：全省5G 基站数量的年平均增长率为70%．22. 如图，老李想用长为70m 的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD ，并在边BC 上留一个2m 宽的门（建在EF 处，另用其他材料）．（1）当羊圈的边AB 的长为多少米时，能围成一个面积为2640m 的羊圈？（2）羊圈的面积能达到2650m 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）当羊圈的边AB 的长为16m 或20m 时，能围成一个面积为2640m 的羊圈 （2）羊圈的面积不能达到2650m ，理由见解析 【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． （1）设羊圈的边AB 的长为m x ，则边BC 的长为()722m x －根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；（2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【小问1详解】解：设羊圈的边AB 的长为m x ，则边BC 的长为()722m x －，根据题意，得()722640x x −=，化简，得2363200x x −+=，解方程，得116x =，220x =，当116x =时，72240x −=， 当220x =时，72232x −=．答：当羊圈的边AB 的长为16m 或20m 时，能围成一个面积为2640m 的羊圈． 【小问2详解】不能，理由如下：根据题意，得()722650x x −=， 化简，得2363250x x −+=，()22436432540b ac −=−×=−−< ， ∴该方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到2650m 23. 已知函数()214y x =−−+．（1）当x =____________时，抛物线有最大值，是____________． （2）当x ____________时，y 随x 的增大而增大．（3）该函数可以由函数2y x =−的图象经过怎样的平移得到？（4）该抛物线与x 轴交于点，与y 轴交于点____________．（写坐标） （5）在下面的坐标系中画出该抛物线的图象．【答案】（1）1；4 （2）1<（3）见解析 （4）(1,0)−和(3,0)；(0,3) （5）见解析 【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质、抛物线与x 轴的交点坐标、二次函数图象与几何变换以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）根据二次函数的顶点式找出抛物线的顶点坐标，再根据二次项系数为1−得出抛物线开口向下，由此即可得出结论；（2）根据抛物线开口方向结合抛物线的对称轴，即可找出单增区间；（3）找出函数2y x =−的顶点坐标，结合函数2(1)4y x =−−+的顶点坐标，即可找出平移的方法； （4）令0y =可得出关于x 的一元二次方程，解方程求出x 值，由此得出抛物线与x 轴的交点坐标；令0x =求出y 值，由此即可得出抛物线与y 轴的交点坐标；（5）列表，描点，连线即可画出该抛物线的图象． 【小问1详解】解： 函数解析式为2(1)4y x =−−+，∴抛物线的开口向下，顶点坐标为(1,4)． ∴当1x =时，抛物线有最大值，是4．故答案为：1；4； 【小问2详解】解： 抛物线的开口向下，对称轴为1x =，∴当1x <时，y 随x 的增大而增大．故答案为：1<； 【小问3详解】解： 函数2y x =−的顶点坐标为(0,0)，∴将函数2y x =−的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得出函数2(1)4y x =−−+的图象．【小问4详解】解：令0y =，则有2(1)40x −−+=， 解得：11x =−，23x =，∴该抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0)−和(3,0)．当0x =时，2(01)43y =−−+=， ∴该抛物线与y 轴的交点坐标为(0,3)．故答案为：(1,0)−和(3,0)；(0,3)． 【小问5详解】 解：列表：x 1−0 1 2 3 y343描点，连线，该抛物线的图象如图：．24. 已知图象的顶点坐标是()2,1，且与x 轴的一个交点坐标是()3,0，求此二次函数的解析式． 【答案】()221y x =−−+ 【解析】【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，先把解析式设顶点式，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设此二次函数解析式为()()2210y a x a =−+≠，把()3,0代入()()2210y a x a =−+≠中得：()20321a =−+，解得1a =−，∴此二次函数解析式为()221y x =−−+． 25. 已知：二次函数()221y x m x m =−++−．（1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点；（2）设抛物线与x 轴的两个交点是A B 、（A 在原点左边，B 在原点右边），且3AB =，求此时抛物线的解析式．【答案】（1）见解析 （2）2y x x 2−− 【解析】【分析】（1）根据()()22Δ2418m m m =+−−=+的符号，即可求解，为（2）由根与系数关系，列出()()2224A B A B A B AB x x x x x x =−=+−⋅，即可求解，本题考查了根的判别式，根据系数关系，解题的关键是：熟练掌握根的判别式，根据系数关系． 【小问1详解】 证明：()()22Δ2418m m m =+−−=+，20m ≥ ，2Δ880m ∴=+≥>，故抛物线与x 轴一定有两个交点， 【小问2详解】解：令0y =，得()2210x m x m −++−=， 由（1）知Δ0>，2A B x x m ∴+=+，1A B x x m ⋅=−，()()()()22224241A B A B A B AB x x x x x x m m =−=+−⋅=+−−，()()22419m m ∴+−−=，解得1m =±，A 在原点左边，B 在原点右边，10A B x x m ∴⋅=−<，1m ∴<，1m ∴=−，故抛物线的表达式为：2y x x 2−−．26. 若直线5y x =−与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点A ，点B ，且与x 轴交于点()1,0C −．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P 为直线AB 下方抛物线上一点，连接PA ，PB ，求ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标； 【答案】（1）245y x x =−− （2）当52x =时，ABP S 最大，最大为1258，这时点P 的坐标为535,24−【解析】【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握的图像和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可；（2）过点P 作PQ x ⊥轴交AAAA 于点Q ，设点P 的坐标为()2,45x x x −−，则点Q 的坐标为(),5x x −，则25PQ x x =−+，然后根据ABPS PQ OB =⋅ 计算即可． 【小问1详解】解：当xx =0时，5y =−， ∴点A 的坐标为()0,5−，当0y =时，50x −=，解得5x =， ∴点B 的坐标为()5,0，设抛物线的解析式为()()51y a x x =−+，代入()0,5−得：55a −=−，解得：1a =，∴二次函数的解析式为()()25145y x x x x =−+=−−；【小问2详解】解：过点P 作PQ x ⊥轴交AAAA 于点Q ，设点P 的坐标为()2,45x x x −−，则点Q 的坐标为(),5x x −，∴225(45)5PQ x x x x x =−−−−=−+， ∴()2211551255522228ABPS PQ OB x x x =⋅=×−+×==−−+， 当52x =时，ABP S 最大，最大为1258，这时点P 的坐标为535,24 − ．。
常用EXCEL函数详解及应用实例(分类汇总版4)——文本函数
例5 将中英文合并，并将中英文分开换行显示 中文 英文1 合并 换行显示 公式 苹果 苹果 苹果 =A42&CHAR(10)&B42 apple apple apple 香蕉 注：char(10)换行,同时在单元格格式中设置自 香蕉 香蕉banana banana banana 狮子 狮子 狮子lion 动换行) lion lion 老虎 老虎 老虎 tiger tiger tiger
例1
全角字符 学习ＥＸＣＥＬ函数 直接输入ＡＳＣ函数
2.CHAR 对应于数字代码的字符
函数定义： 使用格式： 格式简义： 参数定义： 注意事项： 返回对应于数字代码的字符.函数CHAR可将其他类型计算机文件中的代码转换为字符. CHAR(number) CHAR(目标单元格) Number 是用于转换的字符代码,介于1到255之间.使用的是当前计算机字符集中的字符. 操作环境：Macintosh、Windows；字符集：Macintosh字符集、ANSI. (2)英文小写字母（横向）： =CHAR(ROW()+56) A B C 或=CHAR（ROW（A65）） =CHAR(COLUMN(A1)+64)
7.EXACT 检查两文本是否完全相同 109 110 函数定义： 测试两个字符串是否完全相同.如果它们完全相同,则返回TRUE；否则,返回FALSE. 111 使用格式： EXACT(text1,text2) 112 格式简义： EXACT(目标单元格或文本1,目标单元格或文本2) 113 参数定义： Text1 待比较的第一个字符串. 114 Text2 待比较的第二个字符串. 115 注意事项： 函数EXACT能区分大小写,但忽略格式上的差异.利用函数EXACT可以测试输入文档内的文本 116 字符串2 117 例11 字符串1 对比结果 公式显示 118 人民共和国 人民共和国 TRUE 两文本完全相同 =EXACT(B118,C118) 119 MNMNJJSHG Mnmnjjshg FALSE 字母分大小字 =EXACT(B123,"人民共和国") 120 中国人民 人民中国 文本内容分前后次序 FALSE 121 中国人民 中国 人民 FALSE 文本内容中的空格也算字符 122 中国人民 中国人民 文本内容的格式与文本本身无关. TRUE 123 人民共和国 公式中输入的文本也能与单元格中的文本对比. TRUE 124 人民共和国 人民共和 两文本字符数不同 FALSE 8.FIND[FINDB] 检索字符位置(区分大小写)[按字节检索字符位置] 125 126 官方说明： FIND用于查找其他文本字符串内的文本字符串,并从首字符开始返回起始位置编号; FINDB基于每个字符所使用的字节数从首字符开始返回起始位置编号,此函数用于双字节字符 127 128 使用格式： FIND(find_text,within_text,start_num) 129 格式简义： FIND(要查找的内容加引号或单元格,查找区域(单元格),从几个字开始查找) 130 参数定义： Find_text 是要查找的文本. 131 Within_text Within_text是包含要查找文本的文本. 132 Start_num 指定开始进行查找的字符.within_text中的首字符是编号为1的字符.如果 133 忽略start_num,则假设其为1. 使用start_num可跳过指定数目的字符.如假定使用文本字符串“AYF0093.YoungMensApparel”, 134 要点： 如果要查找文本字符串中说明部分的第一个“Y”的编号,则可将start_num设置为8,这样就不会 135 查找文本的序列号部分.FIND将从第8个字符开始查找,而在下一个字符处即可找到find_text,于 136 是返回编号9.FIND总是从within_text的起始处返回字符编号,如果start_num大于1,也会对跳过 137 的字符进行计数. 138 139 注意事项： 1.如果是空文本(""),则FIND会匹配搜索串中的首字符(即：编号为start_num或1的字符). 140 2.Find_text中不能包含通配符. 141 3.如果within_text中没有find_text,则FIND和FINDB返回错误值#VALUE!. 142 4.如果start_num不大于0,则FIND和FINDB返回错误值#VALUE!. 143 5.如果start_num大于within_text的长度,则FIND和FINDB返回错误值#VALUE!. 6.也可使用SEARCH查找其他文本字符串中的某个文本字符串,但是,FIND和SEARCH不同,FIND区 144 分大小写并且不允许使用通配符. 145 146 147 例12 查找位置 公式显示 字符串 148 函数公式 1 =FIND("函数",B148)(第三个参数省略,表示从第一个字开始) 149 EXCEL函数 6 =FIND("函数",B149,1)(1:表示从表示从第一个字开始) 150 函数名函数定义 4 =FIND("函数",B150,3)(3:表示从表示从第三个字开始) 151 函数a与函数A 7 =FIND("A",B151)(从A开始查，说明区分大小写) 152 函数a与函数A 3 =FIND("a",B152)(从a开始查，说明区分大小写) 153 154 例13 将256*18258*122并分别显示三段数字(256.18526.122) 155 结果 公式 字符串 156 256*18258*122 256 =LEFT(B156,FIND("*",B156)-1) 157 256*18258*123 122 =RIGHT(B156,LEN(B156)-FIND("*",B156,FIND("*",B156)+1)) 158 256*18258*124 18258 =MID(B156,FIND("*",B156)+1, 159 FIND("*",B156,FIND("*",B156)+1)-1-FIND("*",B156)) 160 例14 分别提取邮箱用户名和域名 公式 161 邮箱地址 用户名 域名 162 fxy@163.con fxy 163.con =LEFT(B162,FIND("@",B162)-1)(用户名)
常温下空气配分函数的计算
常温下空气配分函数的计算马大柱;赵杨华【摘要】给出常温范围内空气的配分函数及其计算方法．考虑到常温范围内空气主要成分为氧气和氮气，从两种气体的平动配分函数及其内部配分函数出发，将氧气和氮气的内部总配分函数拟合成一个关于温度r的四阶多项式，并求出5个系数，根据5个系数可准确求出氧氮分子在常温范围内任意温度时刻下的内部总配分函数．最后通过混合理想气体体系配分函数表达式获得理想空气的配分函数．%The partition function of the air and its calculation method are given at normal temperature. As the main part of the air is nearly made up of oxygen and nitrogen, we start at their translation and internal partition functions. The internal partition sums of oxygen and nitrogen molecules are fit for four-order polynamial expression with T at normal temperature, and the coefficient is evaluated in the five temperature regions. This model provides a rapid and accurate calculation of the total internal partition functions at normal temperature. Finally, the calculation result of partition function of the air was given with the parti- tion function expression of the mixed air.【期刊名称】《湖北民族学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(000)002【总页数】3页(P200-202)【关键词】理想空气;氧氮分子;配分函数;多项式拟合【作者】马大柱;赵杨华【作者单位】湖北民族学院理学院,湖北恩施445000;湖北民族学院理学院,湖北恩施445000【正文语种】中文【中图分类】O414.2配分函数是联系宏观和微观的桥梁，在定域或离域的经典粒子组成的体系中，配分函数起着特性函数的作用，所有热力学函数都可以由配分函数表示出来.在射流的宏观气动声场中，声在空气中的传播的微观性质要涉及其配分函数的计算问题[1].空气中21%的氧气与78%的氮气，混合在一起组成空气体积的99%.因此研究空气的配分函数，可以归结为研究氧、氮分子的配分函数.研究空气配分函数的文献已经有很多，但获得一种简洁的近似方法并达到很高的精度是不容易的.基于文献[1]采用统计方法和基于密度泛函理论(DFT)的量子计算方法计算了氧氮分子的配分函数.本文利用Gamache等的研究方法计算氧氮分子的配分函数，从而获得空气的配分函数.1 几种配分函数的计算1.1 分子平动配分函数在经典极限条件下，气体遵从玻尔兹曼分布，氧气和氮气分子的平动配分函数为[3]：(1)其中:m表示分子的实际质量，h为普朗克常数，V是气体的体积.用上式可计算出298.15 K温度下氧气和氮气的平动配分函数，计算结果如下：q(O2)=4.2821×1030,qt(N2)=3.5048×1030.1.2 振动配分函数在一定近似下，双原子的相对振动可以看成线性谐振子[3].振动能级为εv=(n+1)hv(n=0,1,2,…).振动配分函数为[3]：qv=1/(1-exp(-hv/kT))，(2)1.3 转动配分函数考虑O2和N2为刚性线性分子，其配分函数为[4]：qr=8π2IkT/(ah2)，(3)其中a是分子的对称数，对于氧气和氮气，a=2.1.4 分子内部配分函数分子内部配分函数还要考虑到原子核和电子的贡献，O2和N2的核配分函数和电子配分函数分别为：对于O2，核配分函数qn=1，电子配分函数qe=3，对于N2，核配分函数qn=9，电子配分函数qe=1，实际上分子内部配分函数可表示为qin=qvqrqeqn[5].下面给出三种温度下几种常见方法得到的氧气和氮气的配分函数，结果见表1和表2.表1 氧气的配分函数Tab.1 Partition function of Oxygen molecule温度qtqνqrqnqeqin=qvqrqeqn296K4．2359×1030171．2213213．66298．15K 4．2821×1030171．7413215．22300K4．3220×1030172．1813216．54表2 氮气的配分函数Tab.2 Partition function of Nitrogen molecule温度qtqνqrqnqeqin=qvqrqeqn296K3．4670×1030151．4991463．41298．15K 3．5048×1030151．8691466．74300K3．5375×1030152．1991469．71表3 氧气分子内部配分函数的拟合系数Tab.3 The coefficient of the total partition function of Oxygen molecule系数abcde273．15-320K-1．1529×1041．5694×102-7．9289×10-11．7867×10-3-1．5082×10-6 表4 氮气分子内部配分函数的拟合系数Tab.4 The coefficient of the total partition function of Nitrogen molecule系数abcde273．15-320K-5．6995×1037．8958×101-3．9365×10-18．8897×10-4-7．5200×10-72 分子内部配分函数的多项式拟合在计算氧氮分子的总配分函数时，利用Gamache[6]等的研究方法，在常温范围内用一个温度T的多项式来表达其总配分函数.这里利用的是温度T的四阶多项式：qin(T)=a+bT+cT2+dT3+eT4.(4)用该式对常温范围的氧氮分子配分函数进行拟合，可得到5个拟合系数，然后利用这5个拟合系数可方便、简洁的算出常温范围的氧氮分子内部总配分函数. 273.15-320 K范围内氧气分子的总配分函数拟合的系数见表3，氮气分子的总配分函数拟合的系数见表4.在296、298.15和300 K温度下利用上式计算出的氧氮分子的内部总配分函数与相关文献作比较，见表5、图1、2.表5 本文计算的氧氮分子内部总配分函数与相关文献的比较Tab.5 Comparison several of the total internal partition function of Oxygen and Nitrogen molecules温度氧气分子的内部总配分函数拟合结果表1文献[2]文献[3]文献[8]文献[9]氮气分子的内部总配分函数拟合结果表2文献[2]文献[3]296K213．8166213．66213．82215．77463．6033463．41461．51465．98298．15K215．3793215．22466．9754466．74300K216．7300216．5 5216．72218．85218．675469．8799469．72467．75图1 氧气分子内部总配分函数与相关文献的比较图2 氮气分子内部总配分函数与相关文献的比较Fig.1 Compare the total internal partition function of the Oxygen molecule with some of ReferencesFig.2 Compare the total internal partition function of the Nitrogen molecule with several of References多项式拟合给出的是氧气、氮气分子内部配分函数，可以求出298.15 K温度下1 mol氧气和1 mol氮气的完全配分函数.依据配分函数的分解定理可以知道：q=qinqt(5)将表1和表2的平动函数值和表5的内部配分函数值代入式(5)可得：q(O2)=9.2227×1032,q(N2)=1.6367×1033.3 空气配分函数理想混合混合气体体系配分函数与各分子配分函数qA、qB的关系为[7]：Φ=Ωexp(-E/kT)=(/N!)·(/M!)(6)式中:Ω表示总的微观状态，A、B表示混合气体中的粒子，N、M分别表示粒子A、B的粒子数.1 mol空气中氧气和氮气有0.99 mol，所以O2和N2的粒子数分别为：N(O2)=(0.21/0.99)×6.0221×1023=1.2774×1023,M(N2)=(0.78/0.99)×6.0221×1023=4.7447×1023.取式(6)的自然对数：lnΦ=Nln(qAe/N)+Mln(qBe/M).298.15 K温度下，1 mol空气配分函数可表达为：lnΦ=Nln(qO2e/N)+Mln(qN2e/M)=1.392 2×1025.4 结论本文讨论了氧气和氮气在常温范围内的的配分函数，给出了内部配分函数计算的一般方法.利用Gamache等的研究结果，在常温范围内用一个温度T的四阶多项式来模拟氧氮分子的内部总配分函数，得到的拟合系数可以方便、准确的求出常温范围任意温度下的氧氮分子的总配分函数.文中计算出来的内部总配分函数与文献[2-3，8-9]吻合比较好,这说明采用的方法来处理该类结构分子的配分函数比较可靠. 参考文献:[1] 黄雪芬,薛永飞,涂运冲,等.理想空气配分函数的研究[J].现代物理,2012,23(1)：66-71.[2] Fischer J,Gamache R R,Goldman A,et al.Total internal partition sums for molecular species in the 2000 edition of the HITRAN database[J].Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer,2003,82(1/4):401-412.[3] 汪志成.热力学·统计物理[M].北京:高等教育出版社,2008.[4] 黄山福.多原子分子配分函数的近似计算[J].科技信息，2010，23(2)：819-830.[5] B.J.英克莱兰.统计热力学[M].龚少明译.上海:上海科学技术出版社,1980:36-38,62-66.[6] Gamache R R,Hawkins R L,Rothman L S.Total internal partition sums in the temperature range 70-3000 K:Atmospheric linear molecules[J].J Mol Spectrosc,1990,142:205-212.[7] 高执棣,郭国霖.统计热力学导论[M].北京:北京大学出版社,2004:134-168,216-219.[8] Gamache R R,Kennedy S,Hawkins R L,et al.Total internal partition sums for molecules in the terrestrial atmosphere[J].Journal of Molecular Structure,2000,517/518:407-425.[9] Goldman A,Gamache R R,Perrin A,et al.HITRAN partition functions andweighted transition-moments squared[J].Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer,2000,66(5):455-486.。
子的配分函数及其计算
h2 8π 2 I
(34-16)
式中 I = μ re ，是转动惯量， J 是转动量子数，其值只能取 0,1,2…。此外，转动角动量在空 间可有 2 J + 1 个取向，即 g r , j = 2 J + 1 。将它们代入子的配分函数的定义式(34-1)，则得
qr =
∑
j
g r, j e
−ε r , j / kT
2 2
x
(34-12)
同理，
∑e
ny
−
h2ny
2
2
8 ml y kT
⎛ 2π m kT ⎞ ≈ ly ⎜ ⎟ 2 ⎝ h ⎠ ⎛ 2π m kT ⎞ ≈ lz ⎜ ⎟ 2 ⎝ h ⎠
1/ 2
(34-13)
∑
nz
e
−
h 2 nz 2 8 ml z kT
2Hale Waihona Puke 1/ 2(34-14)
将式(34-12),( 34-13)和(34-14)代入式(34-9)，便得
*
Tolman R C. The principles of Statistical Mechanics. Oxford University Press,1938,p.532. 唐有祺. 统计力学及其在物理化学中的应用. 北京: 科学出版社,1977, p.40 *** Gasser R P H;Richards W G. 熵与能级. 曾实译. 北京: 人民教育出版社,1981,p.25
，则因子的平动、转动和振动基态能级都是非简并的 ( g 0 = 1) ，可得
处在基态能级上的子数：
N0 =
或者
N q0 q0 = N N0
(34-3) (34-4)