统计检验分析-第五章

~ x11~1 ~1 2 ~2 12xx1 12 3 ~ ~3 25.73
x 1 2 1 ~ 1 1 ~ 1 ~ 2 2 1 ~ 2 2 1 ~ x 1 2 1 3 .9 2x 9 1[1 x1,2 x1]35 .7[0 3 ,3 ][0 ,1.1 7]8
同样估计缺损的另外两个数对统计量的影响，预测出 T1和T2：
置信域由样本数据决定，用R(X)表示，如 果样本被抽取前有下式成立，则称区域 R(X)为θ 的100(1-α)%的置信域。
1. 一元统计中 2. 多元统计中
1. 一元统计中
例如，给定一个样本：样本均值和方 差分别为10和2，样本大小为11（自由 度为10）。
则根据下式和查表
2. 多元统计中
1
~
2 1
1
4 1
1
3
4 2 4
5
615
4. 利用初始的均值和协方差估计值预测缺
1
3 4
5 2
损值对充分统计量T1和T2的贡献
~[ ~ ~ ~ 1 3 2] ~ ~((1 2)) ,
~ ~ ~ 1 12 1 ~ 13
~
12
~
22
~
23
~ ~ ~ 1 3 2 3 3 3 ~ ~1 21 1 ~ ~1 2 2 2
03
6
7 X [
2
6 ]
~ [ 1 ]
512
4
5
603
726
X [
]
512
615
1
~
2 1
1
4 1
1
3
4 2 4
1
3 4
5 2
预测与估计一直迭代，直到估计值的元素基本不变化
七、多元观察中由时间相依性造成 的困难
当时间相依性可以由一阶多元自回归模型 （AR(1)）来刻画时，有：
X t (X t 1)t
似然比统计量 的计算如下式，当该值太小时，拒绝零假设
2. T2和Λ分布的关系 设X1,…Xn是来自均值为μ，协方差矩阵为Σ的联 合分布的一个随机样本，服从Np(μ, Σ)分布有 小的Λ或大的T2， 拒绝零假设。
三、置信域和均值分量的联合比较
假设θ是未知的总体分布的参数向量，Θ 是所有可能的θ的集合，置信域是可能的θ 组成的集合，与一元的置信区间类似。
1. 均值控制图（一元） 2. 椭圆控制图（二元） 3. T2控制图（多元）
1. 均值控制图（一元） 按时间顺序对各个观察值或样本均值作
标绘 画出所有观察值的样本均值的中心线 按照如下公式计算并画出控制限 控制上限UCL：x+3*标准差 控制下限LCL：x-3*标准差
2. 椭圆控制图（二元） 按散布图进行标绘 按照如下不等式计算95%的置信椭圆，并
即T2分布与（系数*F）同分布 在一定概率水平下，如果下式成立则拒绝零假设
二、霍特林T2与似然比检验
1. 构造似然比 2. T2和Λ分布的关系 多元正态似然函数的最大值为：
极大似然估计量：
1. 构造似然比 2. 在零假设条件下(μ=μ0)，最大正态似然值为：
其中 将两种最大似然值进行比较得到 的比值为似然比统计量：
T~1x~x1121xx2221xx3321~x~x441224.43.103 x13x23x33x43 16.00
T~2xx12111 x1x2221 x2x1x32212xx42311x32x41x42
x122x222x322x422
x11x13x21x23x31x33x41x43 x12x13x22x23x32x33x42x43
2 2
f(F ) ( 1(/2 1 ) 2(2 2)/2)1 1/2 22/2(1F F vv 2 2 1) (1 1 2)/2
第5章 关于均值向量的推断
一、μ0作为正态总体均值的似真性 二、霍特林T2与似然比检验 三、置信域和均值分量的联合比较 四、总体均值向量的大样本推断 五、多元质量控制图 六、观测值缺损时均值向量的推断 七、多元观察中由时间相依性造成的困难
p=2时置信域为一椭圆
四、总体均值向量的大样本推断
当样本量很大时，不需要总体的正态性假 定就可以构造均值的假设检验及置信域；
当n-p很大时，有下式成立：
则在α的置信水平下拒绝零假设
五、多元质量控制图
控制图的目的是为了识别是否出现了引 起变动的特殊原因，这些原因来自外部， 表明需要对数据进行修正或改进。
卡方分布(χ2 distribution)
u ~ N(0,1) 2u1 2u2 2Lun 2
2(x 2x)2(n 12)s2
s2
22
~
22
f(2)2(/2 2)(/2/12)exp(122)
n1 v
F分布( F distribution, RA Fisher,
F
1923) s
2 1
s
值与协方差矩阵，n=4，p=3，某些 值缺损。
1.对样本均值做初始估计：
03
726
X [
]
512
5
百度文库
~1
75 2
6
~2
0211 3
~3
36254 4
2.用样本均值代替缺损值 3. 估计协方差矩阵
603
726
X [
]
512
615
~ 1 1(6 6 )2 (7 6 )2 4 (5 6 )2 (6 6 )2 1 2
所有 t独立同分布，， 均协 值方 为差 零为
的特征值1均 和1之 值间；
则 C o(X v t,X t r) x,
x j j j 0
第5章习题
利用计算机程序实现EM算法。
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这个统计分布为自由度为 n-1的学生t分布
学生t-分布（Student's tdistribution）应用在当对呈正态分 布的母群体的均值进行估计。它是 对两个样本均值差异进行显著性测 试的学生t测定的基础。
如果计算的t的绝对值较大，则拒绝零假设 上式也等同于当t的平方较大时，拒绝零假设， 即μ0不是总体均值的似真值。
六、观测值缺损时均值向量的推断
如何处理不完全观测值？ 登普斯特（Dempster）提出一种从不完
全数据出发，计算其极大似然估计的一 般方法，称为EM算法。 EM算法： 1. 预测，预测任何缺损值对充分统计量的 贡献； 2. 估计，计算修正后的极大似然估计值。
EM算法具体步骤：
1. 利用不全数据X计算各个变量的均值，缺损 值不计入，用这些估计的均值代替缺损值；
画出椭圆控制限（α=0.05或0.01，p=2）
<
. ....
.
.
..
3. T2控制图（多元） 对第j个点计算T2统计量 把计算结果画在时间轴上，LCL为零，
UCL为α=0.05或0.01的卡方值.
99%限制
95%限制
T2
学生t分布(1)
f (t)
2
(1t2)21
(/2)
P(|t|t0)2t0 f(t)dt
~22
12,~33
5 2
~ 1 2 ( 6 6 ) 0 ( 1 ) ( 7 6 ) 2 ( 1 ) 4 ( 5 6 ) 1 1 ( ) ( 6 6 ) 1 1 ( ) 1 4
~23 43,~131
03
726
X [
]
512
6
603
~ [ 1 ]
7 X [
2
6 ]
4
512
2. 利用估计的上述数据估计协方差；
3. 把有缺损的数据和正常数据进行分块处理， 按照公式估计缺损值、缺损值的平方、缺损 值与其它观测值的乘积；
4. 计算充分统计量T1和T2的估计值； 5. 利用T1和T2估计均值和协方差； 再重复预测与估计，直到估计出的均值和协
方差中的元素基本保持不变为止。
例题，用下面数据估计正态总体均
第5章 关于均值向量的推断
一、μ0作为正态总体均值的似真性 二、霍特林T2与似然比检验 三、置信域和均值分量的联合比较 四、总体均值向量的大样本推断 五、多元质量控制图 六、观测值缺损时均值向量的推断 七、多元观察中由时间相依性造成的困难
一、μ0作为正态总体均值的似真性
本章将讨论关于总体均值向量及其分量的 统计推断问题。 判断μ0是否为总体均值的似真值？ 一元统计中：t分布
14.08527 .2710.118 27 .07 6.97 20 .50
10.11820 .50 74 .00
x123x223x323x423
5. 求出修正估计
6.03
~
1 n
T~1
1.08
4.00
0.61 0.33 1.17
~1nT~2~~0.33 0.59 0.83
1.17 0.83 2.50
t2为样本均值到μ0的距离的平方
多元统计中 p*1的μ0向量是否为多元正态分布均值的似 真值？ 从一元推广到多元平方距离：
•T2为样本均值到μ0的距 离的平方，如果距离太 远，则拒绝零假设； •T2以研究者霍特林命名， 称为霍特林统计量
其中
T2分布的性质： 设X1,…Xn是来自均值为μ，协方差矩阵为Σ 的联合分布的一个随机样本，服从Np(μ, Σ) 分布，