2020年湖南省湘潭市高三第一次模拟考试(理)

2020年湖南省湘潭市高三第一次模拟考试

数学试题（理科）

本试卷分第I 卷（选择题、填空题）和第II 卷（解答题）两部分，共150分，考试时量120分钟。

第Ⅰ卷（选择题40分、填空题35分，共75分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的，将正确答案的代号填入第II 卷解答题前的答题卡内） 1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4，5}，则集合)(B A C U =（ ）

A ．{3}

B ．{4，5}

C ．{3，4，5}

D ．{1，2，4，5} 2．函数x

x x f 1

lg )( 的零点所在的区间是

（ ）

A ．（0，1）

B ．（1，10）

C ．（10，100）

D ．（100，+∞）

3．若

011 b a ，则下列不等式：①ab b a ；②||||b a ；③b a ；④2 b

a

a b 中，正确的不等式是 （ ）

A ．①④

B ．②③

C ．①②

D ．③④ 4．设P 是△ABC 所在平面内的一点，2 ，则

（ ） A ． B ．

C ．

D ．

5．下图是一个几何体的三视国科，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）

A ． 5

B ． 6

C ． 7

D ． 8

6．设 则均为钝角,10

10

3cos ,55sin ,,=

（ ）

A ． 4

7

B ． 4

5

C ． 43

D ． 45或 4

7

7．用c b a c b a ,,},,m in{表示三个数中的最小值，设)0}(10,2,2m in{)( x x x x f x

，

则)(x f 的最大值为

（ ）

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

8．已知函数)(x f y 的定义域为R ，当1)(,0 x f x 时，且对任意的实数R y x ,，等

式)()

2(1

)(),0(}{.)()()(*11N n a f a f f a a y x f y f x f n n n 且满足若数列成立，

则2009a 的值为 （ ）

A ．4016

B ．4017

C ．4018

D ．4019

二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分。请将答案填入第II 卷解答题前的答

题卡内）

9．在等比数列11

2

9

119753,243,}{a a a a a a a a n 则若中 的值为 。

10．定义在R 上的函数)(x f 满足)3(,0

),2()1(0),

4(log )(2f x x f x f x x x f 则

的值为 。

11．经过圆0,022

2

y x C y x x 且与直线的圆心垂直的直线方程是 。 12．已知函数)12

7(

,)sin(2)(

f x x f 则的图像如图所示 = 。

13．若实数y

x z x y x y x y x 24,0001,

则满足的最大值是 。

14．某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：

下图是统计该6名队员在最近三场中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应

填 ，输出的s = 。

15．函数)(x f 的定义域为D ，若对于任意)()(,,,212121x f x f x x D x x 都有时当，则

称函数)(x f 在D 上为非减函数，设函数)(x f 在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：

①0)0( f ；②)(2

1

)3

(x f x

f

；③).(1)1(x f x f 则 )31(f ， )8

1

(f 。

三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答题应写出必要的文字说明、证明过程及演算

步骤）

16．（本题满分12分） △ABC

中内角

A 、

B 、C

的对边分别为

a 、

b 、

c ，向量

B

B B //)12

cos 2,2(cos ),3,sin 2(2

且 （I ）求锐角B 的大小；

（II ）如果b=2，求△ABC 的面积S △A ＢＣ的最大值。 17．已知关于x 的一元二次函数.14)(2

bx ax x f

（I ）设集合P={1，2，3}和Q={—1，1，2，3，4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数

作为a 和b ，求函数 ,1)(在区间x f y 上是增函数的概率；

（II ）设点

0008),(y x y x b a 是区域内的随机点，求函数)(x f y 在区间 ,1上是

增函数的概率。

18．（本题满分12分）

如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在

AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知|AB|=3米，|AD|=2米。

（I ）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内？ （II ）当AN 的长度是多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值． 19．（本题满分13分）

设数列}{;22,}{n n n n n a S b S n b 数列且项和为的前 为等差数列，且a 5=14，a 7=20。 （I ）求数列}{n b 的通项公式；

（II ）若.2

7

:,}{),3,2,1( n n n n n n T n c T n b a c 求证项和的前为数列 20．（本题满分13分）

如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，AD=PA=2，CD=22，E 、F 分别是AB 、PD 的中点。

（I ）求证：AF//平面PCE ； （II ）求证：平面PCE ⊥平面PCD ； （III ）求四面体PEFC 的体积。 21．（本题满分13分）

已知函数.1,ln )(2

a a x x a x f x

（I ）求证函数),0()( 在x f 上单调递增；

（II ）函数1|)(| t x f y 有三个零点，求t 的值；

（III ）对a e x f x f x x 求与成立,1|)()(|],1,1[,2121 的取值范围。