3.3.2 抛物线的简单几何性质

3.3.2抛物线的简单几何性质

基础过关练

题组一抛物线的几何性质及其运用

1.已知抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(-1,-1),则抛物线的焦点坐标为()

A.(-1,0)

B.(0,-1)

C.(1,0)

D.(0,1)

2.已知点P(6,y)在抛物线y2=2px(p>0)上,若点P到抛物线焦点F的距离等于8,则焦点F到抛物线准线的距离等于()

A.2

B.1

C.4

D.8

3.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为()

B.1

C.2

D.4

A.1

2

4.已知点A是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,O为坐标原点,当

|AF|=4时,∠OFA=120°,则抛物线的准线方程是()

A.x=-1

B.y=-1

C.x=-2

D.y=-2

5.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当

△FPM为等边三角形时,其面积为()

A.2√3

B.4

C.6

D.4√3

6.一条光线从抛物线y2=2px(p>0)的焦点F射出,经抛物线上一点B反射后,反射光线经过点A(5,4),若|AB|+|FB|=6,则抛物线的标准方程为.

题组二直线与抛物线的位置关系

7.已知直线l:y=x-1与抛物线C:y2=4x相交于A、B两点,则|AB|为()

A.5

B.6

C.7

D.8

8.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则()

A.直线与抛物线有一个公共点

B.直线与抛物线有两个公共点

C.直线与抛物线有一个或两个公共点

D.直线与抛物线可能没有公共点

9.过点(0,1)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有()

A.1条

B.2条

C.3条

D.0条

10.(2020山东菏泽高二上期末)已知斜率为k的直线l与抛物线C:y2=4x交于A、B 两点,线段AB的中点为M(2,1),则直线l的方程为()

A.2x-y-3=0

B.2x-y-5=0

C.x-2y=0

D.x-y-1=0

11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:y=x-2与抛物线C交于A,B两点.

(1)求弦AB的长;

(2)求△FAB的面积.

12.(2020海南中学高二上期中)已知抛物线y 2=-x 与直线y=k(x+1)相交于A,B 两点,O 是坐标原点. (1)求证:OA ⊥OB;

(2)当△OAB 的面积等于√10时,求k 的值.

题组三 抛物线的综合运用

13.在同一平面直角坐标系中,方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax+by 2=0(a>b>0)的曲线大致为( )

14.已知双曲线y 24

-x 2

=1的两条渐近线分别与抛物线y 2=2px(p>0)的准线交于

A,B 两

点,O 为坐标原点,若△OAB 的面积为1,则p 的值为( ) A.1 B.√2 C.2√2 D.4

15.抛物线y=-x 2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( ) A.43

B.75

C.85

D.3

16.过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 的直线与抛物线交于A,B 两点,若A,B 在准线上的射影分别为A 1,B 1,则∠A 1FB 1等于( ) A.90° B.45° C.60° D.120°

能力提升练

题组一 抛物线的几何性质及其运用 1.(

)设抛物线x 2=8y 的焦点为F,准线为l,P 为抛物线上一点,PA ⊥l,A 为垂足,如果

直线AF 的倾斜角等于60°,那么|PF|等于( ) A.2√3

B.4√3

C.83

D.3

2.(多选)(2020山东淄博一中高二上期中,

)设抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F.点M

在y 轴上,若线段FM 的中点B 在抛物线上,且点B 到抛物线准线的距离为3√2

4

,则点M 的坐标为( ) A.(0,-1) B.(0,-2) C.(0,2) D.(0,1)

3.(

)若抛物线y 2=2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为√3,则点M 到该抛物线

焦点的距离为 . 4.(2020北京通州高二上期末,

)已知双曲线x 2-y

23

=1,抛物线y 2=2px(p>0)的焦点与

双曲线的一个焦点相同,点P(x 0,y 0)为抛物线上一点. (1)求双曲线的焦点坐标;

(2)若点P 到抛物线的焦点的距离是5,求x 0的值.

题组二 直线与抛物线的位置关系 5.(2019黑龙江牡丹江一中高二上期中,

)已知直线l:y=k(x+2)(k>0)与抛物线

C:y 2=8x 相交于A 、B 两点,F 为C 的焦点,若|FA|=2|FB|,则k= ( ) A.13

B.√2

3

C.23

D.

2√2

3

6.(2019黑龙江大庆实验中学高二上期中,)已知y 2=x,点A,B 在该抛物线上且位

于x 轴的两侧,O 为坐标原点,若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12,则△AOB 面积的最小值为( ) A.6 B.8 C.10 D.12

7.(2020河南开封高二上期末联考,)已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,点

P(x 0,√2p)在抛物线C 上,且|PF|=3. (1)求抛物线C 的方程;

(2)过焦点F 的直线l 与抛物线分别交于A,B 两点,点A,B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),O 为坐标原点,若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-(x 1+x 2),求直线l 的方程.