高二数学试题

2009～2010学年度第一学期期末考试

高二数学试题

（考试时间：120分钟 总分160分）

注意事项：

1．所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效． 2．请考生注意选做题（分物理方向和历史方向）． 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）

1．连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面向上的概率是 ▲ ．

2．用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人．已知该校高二年级共有学生1200人，则该校总人数为 ▲ 人．

3．已知点F 、直线l 分别为椭圆13

42

2=+y x 的右焦点、右准线，椭圆上的点P 到直线l 的距离为3，则PF= ▲ ．

4． 已知某种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量分别为9．8，9．9，10．1，10，10．2，则该品种的样本方差为 ▲ ． 5．函数kx x x f +=

3

3

1)(在点P

（1,)1(f ）处的切线与直线2x -y =0平行，则k = ▲ ． 6．抛物线x y 42

-=上横坐标为2-的点到其焦点的距离是 ▲ ． 7．“b a >”是“b a 33log log >”成立的 ▲ 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、 “充要”、“既不充分也不必要”中选一个）

8．从11=，)21(41+-=-，321941++=+-，)4321(16941+++-=-+-，…，推广到第n 个等式为______▲_____．

9．武广高铁专线于2009年12月26日正式运营，列车开出车站一段时间内，速度v （m/s ）与行驶时间t （s ）之间的关系是2

17.02t t v +=，则5=t s 时列车运动的加速度是 ▲ m/s ２

．

10．某单位一科室共有4名成员，现有2张2010年上海世博会门票供分配，且每人至多分得一张票．则该科室中，甲、乙二人至少有一人分到门票的概率是 ▲ ． 11．函数x x y cos 2+=在区间]2

,

0[π

上的最大值是 ▲ ．

12．设e 1、e 2分别为两椭圆的离心率，则e 1+e 2>

2

3

的概率为 ▲ ．

13．关于x 的方程31

2=+x

ax 有且仅有一个实根，且根大于0，则实数a 的取值范围 是 ▲ ．

14．已知点)0,1(P ，过点P 的直线l 交抛物线2

x y =于A ，B 两点，且||||AB PA =，则直线l 的斜率是 ▲ ． 二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分14分)

某校高一年级开设了“校园植物”的校本课程，该班同学利用课余时间，对学校的树木底部直径d （单位：cm ）作了抽样调查，并将调查结果统计成下表：

（1）计算表中的x 、y 、z 的值；

（2）估计该学校树木底部直径小于25cm 的百分比；

（3）用各组区间的组中值估计该学校树木底部直径的平均值．

16． (本小题满分14分)

（1）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线042=--y x 上，求抛物线的标准方程；

（2）若双曲线经过点（6,3-），且它的两条渐近线方程是x y 3±=，求此双曲线的标准方程．

17．(本小题满分15分)

为了配合某项问卷调查，决定抽取 3个学生参加，且名额要从高二（1），（2），（3）

三个班学生中随机抽取．（说明：每个班的总人数均不少于3人）

（1）求抽取出来的3个学生全部来自同一个班级的概率； （2）求抽取出来的3个学生所在班级均不相同的概率； （3）至少有2人来自同一个班级的概率．

18．(本小题满分15分)

已知命题p ：函数x ax x f ln )(+=（0>x ）存在单调减区间；命题q ：函数

2

2)(2+-=

x a

x x g 在区间)1,0(上是增函数．若q p ∨是真命题，q p ∧是假命题，求实数

a 的取值范围．

19．(本小题满分16分)

如图，已知A ，B 是中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率2

1

=

e 的椭圆的左顶点和上顶点，1F ，2F 是左、右焦点，点P 在椭圆上，且在x 轴上方，2PF 垂直于x 轴，ABP

∆的面积为

)13(2

3

-． （1）求椭圆方程；

（2）我们把以O 为圆心，OA 为半径的圆称为“椭圆的大圆”．若直线m 是椭圆的左准线，Q 是直线m 上一动点，

以Q 为圆心，且经过2F 的圆与该椭圆的大圆相交于M ，N 两点，求证：直线MN 过一定点，并求出定点坐标；

（3）在（2）中，若将条件“直线m 是椭圆的左准线”改为“直线m 过A 点且平

行于椭圆的准线”，是否有类似的结论？根据你的推理，给出

一个更为一般的结论（无需证明）．

20．(本小题满分16分)

已知函数||)(3

a x ax x f -+=（R a ∈）．

（1）给出一个实数a ，使得函数)(x f 在]0,(-∞上单调减，在),0[+∞上单调增. （2）（物理方向考生做）若10<

2

=

a ，求函数)(x f 在]1,1[-上的最大值； （3）（物理方向考生做）求证：对任意的实数a ，存在0x ，恒有0)(0≠x f ，并求出符合该特征的0x 的取值范围．

（历史方向考生做）若4

)(x x g =，试求方程)()(x g x f =的解．

题图