2021届湖南省长郡中学高三月考理科数学试题Word版含答案

合集下载

湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期月考(七)数学试题Word版含答案

绝密★启用并使用完毕前长郡中学2021届高三月考试卷(七)数学本试卷共8页，22 小题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项:1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡-并交回。

一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={}{}(,)8,,,(,)1x y x y x y N B x y y x *+=∈=>+， B,则A B 中元素的个数为A. 2B.3C.4D.52.1943年19岁的曹火星在平西根据地进行抗日宣传工作，他以切身经历创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，后毛泽东主席将歌曲改名为《没有共产党就没有新中国》.2021年是中国共产党建党100周年，仅从逻辑学角度来看，“ 没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“有共产党”是“有新中国”的A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离.在复平面内，复数021a i z i+=+(i 是虚数单位，a ∈R)是纯虚数，其对应的点为Z 0，Z 为曲线z =1上的动点，则Z 0与Z 之间的最小距离为A.1B.2C. 12D. 324.已知定义在R 上的函数123()2,(log ),(ln3)x f x x a f b f c f =⋅==-=，则a ，b, c的大小关系为A. c>b>aB. b>c>aC. a>b>cD. c>a>b5.学校举行羽毛球混合双打比赛，每队由一男一女两名运动员组成.某班级从3名男生A 1, A 2，A 3和4名女生B 1，B 2，B 3，B 4中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则A 1和B 1两人组成一队参加比赛的概率为A. 118B. 29C. 16D. 496.骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆 A (前轮)，圆 D (后轮)△ABE ，△BEC ， △ECD 均是边长为4的等边三角形.设点P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AC BP 的最大值为A.36B.48C.24D.187.素数在密码学、生物学等方面应用广泛，下表为森德拉姆(Sundaram ， 1934) 素数筛法矩阵:其特点是每行每列的数均成等差数列，如果正整数n 出现在矩阵中，则2n+1一定是合数，反之如果正整数n 不在矩阵中，则2n+1一定是素数，下面结论中不正确的是A.第4行第10列的数为94B.第7行的数构成公差为15的等差数列C.592不会出现在此矩阵中D.第10列中前10行的数之和为12558.如图，已知正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面边长为1,侧棱长为2，点P ，Q 分别在半圆弧1C C ⌒，1A A ⌒(均不含端点)上，且C 1，P ， Q,，C 在球O 上，则A.当点Q 在1A A ⌒的三等分点处，球O 的表面积为(1133)π-B.当点P 在1C C ⌒的中点处，过C 1，P ， Q 三点的平面截正四棱柱所得的截面的形状都是四边形C.球O 的表面积的取值范围为(4π,8π)D.当点P 在1C C ⌒的中点处，三棱锥C 1- PQC 的体积为定值二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南省长沙市长郡中学2021届高三上学期第一次月考数学 (含答案)

$617)0846
"
"
t
"
"
,-)&
.-)0
!-)᎛$
/-)"
6!5!
"!7!
!"#$!%&' !"(!")!*#)"
$
"
-#!`a!-!#"(# )#*7#2$&ucHvw+'&(,. &2; &xy-!#"
+ " $
H+'&(,bFszt+/!'2$"&/!(2$",&C/F{s|}_
<2$*7$ ,-"&
,- "*) "$
"
03
"*) &*) .-) "*2 "$
03
"
"*) "*) "
!-) "*2 "$
"
03
"*) "*) /- &#; "
! " " &!`a!-!#"(#2*4+$#).&C)a!-!#"H &' bcHdM*_).+ $ "
"
!"&3"*F
"
,-e<-f,gh "
t!!!!! 1%FG(#)(*3+(&*5%$!FGHI/JKLM%NMOPQRS
TU!

湖南省长郡中学2021届高三月考试卷(二)数学(Word版)

长郡中学2021届高三月考试卷(二)数学本试卷共8页。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={}{}2340=28x x x x B x --≤>， ,那么集合AB=A. (3,)+∞B. [1,)-+∞C. [3,4]D. (3,4] 2.设i 是虚数单位,若cos sin z i θθ=+,且其对应的点位于复平面的第二象限,则θ位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.曲线3()3f x x x =-+在点P 处的切线平行于直线21y x =-,则点P 的坐标为 A. (1,3) B. (-1,3) C. (1,3)和(-1,3) D. (1,-3)4.如图,网格纸上的小正方形边长为1,粗线是一个棱锥的三视图,则此棱锥的体积为A.83 B. 43C. 3D. 35.下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是A. cos(2)2y x π=+B. sin(2)2y x π=+ C. sin 2cos 2y x x =+ D. sin cos y x x =+6.已知直三棱柱ABC- A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上,若AB=3,AC=4,AB ⊥AC,AA 1=12,则球O 的半径为 A.3172 B. 10 C. 132D. 3107.中华文化博大精深,我国古代算书《周髀算经》中介绍了用统计概率得到圆周率π的近似值的方法.古代数学家用体现“外圆内方”文化的钱币(如图1)做统计,现将其抽象成如图2所示的图形,其中圆的半径为2cm,正方形的边长为1 cm,在圆内随机取点,若统计得到此点取自阴影部分的概率是p,则圆周率π的近似值为A.41p - B. 11p - C. 114p - D. 14(1)p - 8.设n S 是数列{}n a 的前n 项和,满足212n n n a a S +=.且0n a >,则10S =A.10B. 11C. 10311-D.11二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分. 9.已知函数2()lg(1)f x x ax a =+--,给出下述论述,其中正确的是 A.当a =0时, ()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞B. ()f x 一定有最小值;C.当a =0时, ()f x 的值域为R;D.若()f x 在区间[2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是{}4a a ≥ 10.已知02παβ<<<，且tan ,tan αβ是方程220x kx -+=的两不等实根，则下列结论正确的是A. tan tan k αβ+=-B. tan()k αβ+=-C. 22k >D. tan 4k α+≥ 11.正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E 、F 、G 分别为BC ,，CC 1，BB 1的中点.则 A.直线D 1D 与直线AF 垂直 B.直线A 1G 与平面AEF 平行C.平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D.点C 与点G 到平面AEF 的距离相等12.已知函数3()sin f x x x ax =+-,则下列结论正确的是A. ()f x 是奇函数B.若()f x 是增函数,则a ≤1C.当3a =-时,函数()f x 恰有两个零点D.当3a =时,函数()f x 恰有两个极值点三、填空题:本题共4小题.每小题5分,共20分. 13.在71(3)x x-的展开式中，41x 的系数是_______ 14.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点,连接DE 并延长到点F ,使得DE=2EF,则AF BC ⋅的值为_______15.已知函数()sin(33)cos(22)f x x x ϕϕ=++，其中ϕπ<,若()f x 在区间2(,)63ππ上单调递减,则ϕ的最大值为___________。

湖南省长郡中学2021届高三下学期月考试卷(六)数学试题 Word版含答案

长郡中学2021届高三月考试卷（六）数学本试卷共8页。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}24M x x =≤，{}24x N x =<，则M N ⋂=（）A.{}2x x ≤-B.{}22x x -≤<C.{}22x x -≤≤D.{}02x x << ★2.已知复数z 满足(2)34z i i +=-（i 为虚数单位），则||z =（）C. D.5★3.已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（）★4.a 是21()log 3xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点，若00x a <<，则()0f x 的值满足（）A.()0f x 的符号不确定B.()00f x <C.()00f x = ()00f x >★5.在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，则AE EC ⋅=（）A.1225 B.2425C.125D.456.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线与圆22(4x y +-=相交于A ，B 两点，若2AB =，则C 的离心率为（）C.2D.4 7.已知函数()sin()f x x πϕ=+某个周期的图象如图所示，A ，B 分别是()f x 图象的最高点与最低点，C 是()f x 图象与x 轴的交点，则tan BAC ∠=（）A.12 B.47 8.概率论起源于博弈游戏.17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局。

双方约定，各出赌金48枚金币，先赢3局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.问这96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是（） A.甲48枚，乙48枚 B.甲64枚，乙32枚 C.甲72枚，乙24枚 D.甲80枚，乙16枚二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.★9.已知α，β是空间中两个不同的平面，m ，n 是空间中两条不同的直线，则给出的下列说法中，正确的是（）A.若m α⊥，n α⊥，则//m nB.若//m α，//m β，则//αβC.若αβ⊥，//m β，则m α⊥D.若//αβ，m α⊥，则m β⊥ ★10.若a ，b ，c 都是正数，且469a h c ==，那么（） A.2ab bc ac += B.ab bc ac += C.221c a b =+ D.121c b a=- ★11.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列结论正确的是（）A.从中任取3球，恰有一个白球的概率是35B.从中有放回地取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为43C.现从中不放回地取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25D.从中有放回地取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为262712.关于函数()1ln f x x x=+，下列说法正确的是（） A.()1f 是()f x 的极小值B.函数()y f x x =-有且只有1个零点C. ()f x 在()1-∞，上单调递减 D.设()()g x xf x =，则1e g g ⎛⎫< ⎪⎝⎭三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.()411x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为______.14.已知tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α=______.15.如图，某湖有一半径为100m 的半圆形岸边，现决定在圆心O 处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距200m 的点A 处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B 以及湖中的点C 处，再分别安装一套监测设备，且满足AB AC =，90BAC ∠=︒.定义：四边形OACB 及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；设AOB θ∠=.则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为______.16.已知两条抛物线2:2C y x =，2:2E y px =（0p >且1p ≠），M 为C 上一点（异于原点O ），直线OM 与E 的另一个交点为N .若过M 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且ABN △的面积是ABO △面积的3倍，则p =______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ★17.（本小题满分10分）已知等比数列{}n a 的公比为(1)q q >，前n 项和为n S ，若52472S S a -=，且342S a +=. （1）求n a ；（2）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：13111422n n n T +-≤≤-.18.（本小题满分12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，csin (2cos )A a B =+。

湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考数学试题

炎德·英才大联考长郡中学2021届高三月考试卷数学一、选择题(本题共8小题，每题5分，共40分)1. 设集合{}1,2,3,4A =，{},4B a =且{}1,2,3,4A B =，则实数a 的可能取值组成的集合是（）A. {}1,2,3B. {}2,3,4C. {}1,3,4D. {}1,2,42. 已知()312++=+a i i bi (,a b ∈R ，i 为虚数单位)，则实数+a b 的值为（） A. 3B. 5C. 6D. 83. 在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在坐标原点O ，以x 轴的正半轴为始边，其终边与单位圆交点为P ，P 的坐标是(),P x y ，若35x =-，则cos2=α（）A.1625B. 1625-C.725D. 725-4. 在5221⎛⎫- ⎪⎝⎭ax x 的展开式中，若含2x -项的系数为40-，则正实数a =（） A.12B. 2C. 3D. 45. 5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至2000，则C 大约增加了（） A. 10%B. 30%C. 50%D. 100%6. 若平面向量a ，b 满足2a b a b ==⋅=，则对于任意实数λ，()1a b λλ+-的最小值是（）A.B.C. 2D. 17. 为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度，通常采用人工攀登的方式进行，测量人员从山脚开始，直到到达山顶分段测量，最后将所有的高度差累加，得到珠峰的高度，在测量过程中，已知竖立在B 点处的测量觇标高10米，攀登者们在A 处测得到觇标底点B 和顶点C 的仰角分别为70︒，80︒，则A 、B 的高度差约为（）(参考数据：sin100.1736︒≈，sin700.9397︒≈，sin800.9848︒≈)A. 10米B. 9.66米C. 9.40米D. 8.66米8. 如图，过抛物线24y x =的焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，点M 是线段AB 的中点，过M 作y 轴的垂线交抛物线于P 点，记=AB FP λ，则λ的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9. 针对当下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数的35，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（）附表：()20P K k ≥ 0.050 0.0100k3.841 6.635附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++A. 25B. 45C. 60D. 4010. 已知1a >，01c b <<<，下列不等式成立的是（） A. b c a a >B.c c ab b a+>+ C. log log b c a a <D.b cb ac a>++ 11. 已知函数()()sin f x A x ωϕ=+，()0,0,0A ωϕπ>><<的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为12π和712π，图象在y 轴上的截距为3，给出下列四个结论，其中正确的结论是（）A. ()f x 的最小正周期为πB. ()f x 的最大值为2C. 14f π⎛⎫=⎪⎝⎭D. 3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭偶函数12. 已知球O 是正三棱锥(底面为正三角形，点在底面的射影为底面中心)A BCD -的外接球，3BC =，23AB =点E 在线段BD 上，且6BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆的面积可能是（） A. πB. 2πC. 3πD. 4π三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知直线3y x =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是________.14. 已知数列{}n a 的前n 项和()12+=n n n a S ，且11a=，则数列{}n a 的通项公式为________.15. 如图，大摆锤是一种大型游乐设备，常见于各大游乐园，游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险.座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动.2020年10月1日国庆节，小明去某游乐园玩“大摆锤”，他坐在点A 处，“大摆锤”启动后，主轴OB 在平面α内绕点O 左右摆动，平面α与水平地面垂直，OB 摆动的过程中，点A 在平面β内绕点B 作圆周运动，并且始终保持OB β⊥，B β∈.已知6OB AB =，在“大摆锤”启动后，直线OA 与平面α所成角的正弦值的最大值为________.16. 设直线1l ，2l 分别是函数()ln f x x =，()1x ≠图象上点1P ，2P 处的线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，PAB △的面积的取值范围是________.四、解答题(本题共6小题，共70分)17. 在①1c =，ABC的面积为34，②2b c =，③4A π=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求sin C 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在锐角ABC ，它的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且()3cos cos 2sin a C c A b B +=， ________.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，211n n n a S S ++=+.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()()121213n n n a n n a b a a +=-+，求数列{}n b的前n 项和nT . 19. 在如图所示的圆柱12O O 中，AB 为圆1O 的直径，,C D 是AB 的两个三等分点，EA ，FC ，GB 都是圆柱12O O 的母线．（1）求证：1//FO 平面ADE ；（2）设BC =1，已知直线AF 与平面ACB 所成的角为30°，求二面角A —FB —C 的余弦值．20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率12e =，31,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆上一点.(1)求椭圆C 的方程； (2)已知F 为椭圆C的右焦点，过点F 的直线l 交椭圆(异于椭圆顶点)于A 、B 两点，试判断11AF BF+是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 21. 设函数()()22ln f x x a x a x =---.(1)若)∈+∞x ，()()2≥-f x a x ，求实数a 的取值范围；(2)已知函数()y f x =存在两个不同零点1x ，2x ，求满足条件的最小正整数a 的值.22. 新冠抗疫期间，某大学应用数学专业的学生希望通过将所学的知识应用新冠抗疫，决定应用数学实验的方式探索新冠的传染和防控.实验设计如下：在不透明的小盒中放有大小质地相同的8个黑球和2个红球，从中随机取一球，若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则黑球替换该红球重新放回小盒中，此模型可以解释为“安全模型”，即若发现一个新冠患者，则移出将其隔离进行诊治.(注：考虑样本容量足够大和治愈率的可能性，用黑球代替红球)(1)记在第()2n n ≥次时，刚好抽到第二个红球，试用n 表示恰好第n 次抽到第二个红球的概率； (2)数学实验的方式约定：若抽到第2个红球则停止抽球，且无论第10次是否能够抽到红球或第二个红球，当进行到第10次时，即停止抽球；记停止抽球时已抽球总次数为X ，求X 的数学期望.(精确到小数点后1位)参考数据：119294 1.80105--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑k k k ，1110294 2.05105--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑k k k ，11929410.79105--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑k k k k ，111029413.32105--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑k k k k .炎德·英才大联考长郡中学2021届高三月考试卷数学参考答案三、填空题13. ()2,+∞ 14. ()*n a n n =∈N15.3716.()0,1四、解答题17. 【解】因为sin sin sin a b cA B C==，)cos cos 2sin a C c A b B +=，)2sin cos sin cos 2sin A C C A B +=，()22sin A C B +=22sin B B =，又sin 0B ≠所以sin 2B =，因为ABC 是锐角三角形，所以0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得3B π=.选择条件①：因为11sin 22ABCS ac B a ===所以1a =又因为1a c ==，3B π=，所以ABC 存在且等边三角形，所以3C π=，所以sin C =选择条件②：由正弦定理sin sin b cB C=及b =得sinsin sin c c BC bπ===.选择条件③：由4A π=得512C A B ππ=--=，所以得：51sin sin sin sin cos cos sin 1264646422224C πππππππ⎛⎫==+=+=⨯+= ⎪⎝⎭. 18.【解】(1)由211n n n a S S ++=+又有21n n n a S S -=+，()2n ≥，两式相减得()22112n n n n a a a a n ++-=+≥因为0n a >，所以()112n n a a n +-=≥又11a =，22121a a a a =++，解得22a =，满足11n n a a +-=因此数列{}n a 是等差数列，首项1a 为1，公差d 为1 所以()11n a a n d n =+-= (2)()()1121213n n n b n n +=⋅-+()()113111114212134213213n n n n n n n -⎡⎤⎛⎫=-⋅=-⎢⎥ ⎪-+-⋅+⋅⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以()()1201121111111111...41333433534213213n n n n T b b b n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅-⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎣⎦()1114213n n ⎡⎤=-⎢⎥+⋅⎣⎦. 19.【解】（1）连接11,O C O D ，因为C ，D 是半圆AB 的两个三等分点，所以11160AO D DO C CO B ∠=∠=∠=，又1111O A O B O C O D ===，所以111,,AO D CO D BO C ∆∆∆均为等边三角形. 所以11O A AD DC CO ===，所以四边形1ADCO 是平行四边形，所以1//CO AD ，又因为1CO ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以1//CO 平面ADE . 因为EA ，FC 都是圆柱12O O 的母线，所以EA //FC .又因为⊄FC 平面ADE ，EA ⊂平面ADE ，所以//FC 平面ADE . 又1,CO FC ⊂平面11FCO CO FC C ⋂=，且，所以平面1//FCO 平面ADE ，又1FO ⊂平面1FCO ，所以1//FO 平面ADE .（2）连接AC ，因为FC 是圆柱12O O 的母线，所以FC ⊥圆柱12O O 的底面，所以FAC ∠即为直线AF 与平面ACB 所成的角，即30FAC ∠= 因为AB 为圆1O 的直径，所以90ACB ∠=，在601Rt ABC ABC BC ∆∠==中，，，所以tan 603AC BC =⋅=tan301Rt FAC FC AC ∆==中，因为AC BC ⊥，又因为AC FC ⊥，所以AC ⊥平面FBC ，又FB ⊂平面FBC ，所以AC FB ⊥.在FBC ∆内，作CH FB ⊥于点H ，连接AH .因为,,AC CH C AC CH ⋂=⊂平面ACH ，所以FB ⊥平面ACH ，又AH ⊂平面ACH ，所以FB AH ⊥，所以AHC ∠就是二面角A FB C --的平面角. 在2FC BC Rt FBC CH FB ⋅∆=中，90Rt ACH ACH ∆∠=中，，所以22142AH AC CH =+=，所以7cos CH AHC AH ∠= 所以二面角A FB C --7. 20. 【解】(1)由已知22222191412a b c e a c a b⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎪⎩,解得231a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=(2)由(1)可知()1,0F依题意可知直线l 的斜率不为0，故可设直线l 的方程为1x my =+由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 整理得()2234690m y my ++-= 设()11,A x y ，()22,B x y则122634m y y m -+=+，122934y y m -=+ 不妨设10y >，20y <，11AF y y ====，同理22BF y y ==所以121111AF BF y y ⎫+=+=-⎪⎭211212y y y y -==24334m ==+ 即1143AF BF +=. 21.【解】(1)由()()2≥-f x a x 得2ln 0x a x-≥ 又)x ∈+∞ 所以1ln 02x ≥> 所以2ln x a x ≤令()2ln x g x x=所以()()()22ln 10ln x x g x x -'=≥所以函数()g x 在)+∞上单调递增所以()min 2g x ge ==所以2a e ≤，即实数a 的取值范围为(],2e -∞ (2)因为()()22ln f x x a x a x =---所以()()()()()()22221220x a x a x a x a f x x a x x x x----+'=---==> 若0a ≤，则()0f x '>，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，函数()f x 之多一个零点所以若函数()f x 有两个两点，则0a >当0a >时，函数()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增得()f x 的最小值02a f ⎛⎫<⎪⎝⎭，因此函数()f x 有两个零点则244ln02a a a a -+-< 又0a > 所以4ln 402a a +-> 令()4ln 42a h a a =+-，显然()h a 在()0,∞+上为增函数且()220h =-<，()38134ln1ln 10216h =-=-> 所以存在()02,3a ∈，()00h a =当0a a >时，()0h a >当00a a <<时，()0h a <所以满足条件的最小正整数3a =又当3a =时，()()332ln30f =->，()10f =所以3a =时，()f x 有两个零点综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为322.【解】(1)若第k （k n <）次是第一次取到红球，第n 次是第二次取到红球则对应地有：114191551010k n k P ---⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 则第n 次取球时2个红球都被取出的所有可能情况的概率和为：02311419141914191551010551010551010n n k n k -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 204191551010n -⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 利用等比数列求和公式即可得：102111141014191191419459410551010510555105159n n n n n n ------⎛⎫-⋅ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⋅⋅⋅⋅=⋅-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⋅ (2)由题意可知，X 的可能取值依次是2，3，…，9，10特别地，当10X =时，对应的()()()()()101239P X P X P X P X ==-=+=++= 由参考数据可得：()11 1.80.64510P X ≈-⨯≈= X 对应的数学期望为： ()2912911999444239239100.645101010555E X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⋅+⋅++⋅-⋅+⋅++⋅⎪+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由参考数据可得：()110.79100.648.65E X ≈⨯+⨯≈。

《精编》湖南省长郡中学高三数学第四次月考理新人教A版.doc

湖南长郡中学2021届高三第四次月数学试题〔理〕〔考试范围：集合与逻辑、算法与框图、函数、三角函数、平面向量、数列、推理与证明、不等式、计数原理、概率与统计、空间几何及空间向量、4—1、4—4、4—5〕本试题卷包括选择题、填空题和解答题三局部。

时间120分钟。

总分值150分。

一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1．集合{|},{|12},A x x a B x x R =<=<<表示实数集，且()U A C B R =，那么实数a 的取值范围是〔〕A ．2a ≤B ．1a <C ．2a ≥D ．2a >2．函数()22()x x f x P x R -=+∈为奇函数，那么以下结论正确的选项是〔〕A ．1,()P f x =为R 上的减函数B ．1,()P f x =-为R 上的减函数C ．P=1，f 〔x 〕为R 上的增函数D ．P=-1，f 〔x 〕为R 上的增函数3．函数2sin()cos()((0,))36y x x x πππ=--+∈，那么y〔〕A ．有最小值-1，无最大值B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值5-，最大值1D ．有最小值-1，最大值54．某企业三月中旬生产A 、B 、C 三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格。

由于不小心，表格中A 、C 产品的有关数据己被污染看不清楚，统计员记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10件，根据以上信息，可得C 产品的数量是〔〕A ．900件B ．800件C ．90件D ．80件5．如图，AC 为⊙O 的直径，BD AC ⊥于P 点，PC=2， AP=8，那么BC 的长为〔〕 A ．5 B ．3C ．4D ．256．,,l m n 是三条不重合的直线，,,αγβ是三具不重合的平面，给出以下四个命题：①假设,//,m m αβαβ⊥⊥则；②假设直线m ，n 与平面α所成的角相等，那么m//n ；③存在异面直线m ，n ，使得m//α，m//β，n//β，那么α//β； ④假设,,,//,l m n l αββγγαγ===则m//n ；A ．1B ．2C ．3D ．47．向量(,),(1,2),(,),//,a m n b c k t a b b ===且⊥c ，|a+c |=10,那么mt 的取值〔〕A ．(,1]-∞B ．(0,1]C ．[—1，1]D ．〔—1，1〕8．将正整数排成下表：1 2 3 4 4 56 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ……那么数表中的数2021出现在〔〕 A ．第44行第75列 B ．第45行第75列 C ．第44行第74列 D ．第45行第74列二、填空题：本大题共7小题，每题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。

(解析版)湖南省长沙市长郡中学高三第三次月考数学(理科)

长郡中学2021届高三月测试卷〔数学〔理科〕第I卷〔共60分〕一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1 .集合｛y E N|y = -/十6〕E M｝的真子集的个数是〔〕A. 3B. 4C. 7D. 8【答案】C【解析】二函数y =-工之l•3KE^^ x = 0. 1,2时,y分别等于63 2在［0,十面上是减函数,,*二3 时,y ＜0, J. ｛y EN¥=-/+0K EN｝=｛工5,6｝一,该集合的所有真子集为@闭,⑸,⑹：口5｝#2,6*5⑹,,该集合的真子集个数为7,应选C.2 .变量X?■成负相关,且由观测数据算得样本平均数",y =3.5,那么由该观测数据算得的线性回归方程可能是〔〕A. y .1三B. .:,-'C. V - ；：D. ■■』■!【答案】C【解析】由变量x、y负相关,知A, B不正确,把代入C, D方程只有C满足,应选C.3.命题P：% E 〔y,0〕, 2%工3%,命题卬队E 〔o,|j, tanx ＞或ux,那么以下命题为真命题的个数是〔〕①口*q；②pv「q〕；③④pZF.A. 1个B. 2 个C. 3 个D. 4 个【答案】B2 靠【解析】•「当x＜.时,总有〔广1 ,即八命题P为假,从而不为真,■■■当匹吟|时,tanx-sinx --- ---------------- ＞.,即面ix＞Wnx.又命题q为真,二〔¥〕八9, pVq为真,真命题的个数cosx是工应选B.4 .复数工满足小1 = ।十］〔:为虚数单位〕,那么工的共轲复数工A. । - -B.C. T 十D. ।【解析】由于Z7 = l十］,所以(1+1)(-1) , gPz= 1-1, E的共轲复数』=1十i,应选A.5 .执行如下图的程序框图,那么输出的结果是( )A. 14B. 15C. 16D. 17【答案】C2 2 3【解析】第一次循环,S = log^,口= 2 ；第二次循环,S = log3- + = 3 ；第三次循环,J 3 45 = log3- ।匕g%- log2-Ji = <..,第n次需环,.234 , n , 2 2.一一.S = 10g3- + l0g2-卜iQg广1-- + ——一= ------ 浦=n + 1 ,令Wgr ------ < 一己,解得口> 1 5,八输出M 5 F + 1 F + 1 n- 1的结果是n十1 = 16,应选C.6 .f(x)为奇函数,函数［(X)与虱K)的图象关于直线丫=工十1对称,假设2⑴=4,那么£(-3)=( )A. -2B. 2C. -1D. 4【解析】解析：由题意设P〔1冉关于y = x+I的对称点Mo,那么,解之得二;那么｝』〔32〕在函数y = f〔x〕的图像上,故f〔3〕= 2,那么f〔-3〕= -2,应选答案B.7 .实数x;y满足|x| < y + I ,且T M y M I ,那么z = 2x十y的最大值〔〕A. 2B. 4C. 5D. 6jn11* ■:c、f y > X-1 T x > 0根据题意,约束条件为：y<-x-Lx<0 约束条件围成的图形如图 A.ABC ,,-1 <y< 1z = 2x + >化为y =-2x+z,平移予=-2x十乙当二;时,y =-六+ z在Y轴上的截距m取得最大值,z = 2x + y = 2x2+ 1 = 5,应选C.【方法点晴】此题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求〞：〔1〕作出可行域〔一定要注意是实线还是虚线〕；〔2〕找到目标函数对应的最优解对应点〔在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解〕；〔3〕将最优解坐标代入目标函数求出最值.8 .某空间几何体的三视图如下图,那么该几何体的体积为〔〕【解析】解析：由三视图中提供的数据信息和几何特征可知该几何体是一个四棱锥去掉以半圆锥的组合体,其体积型=,2小2E 应选答案B . 3 3 3「 3兀9 .假设函数 f(x) = sinsx 斗小CQSSK R E R),又®) = -2 , f(p)=.,且o.-fJ|的最小值为一,那么正数m 的值是()A. B. C. D.3 2 3 3【答案】D/ 7C\ 乳 7T 二(冗 5jt 【解析】f(x) = 2洞ox 4,由 f(o) = -2,得切口 । - =的兀一出 E Z ,口 = ------------- ,由 f(p) =.,3/ 3 2 co 6o) 3.工 2时,|a-p 取得最小值—,那么—=一,解得团=-,应选D.2<0 4 310.如图,正三棱柱AB .A[Bgi 的各条棱长均相等,D 为AA1的中点,M,N 分别是线段口蜕和线段CJ 上的动点(含端点),且满足BM = gN .当M,N 运动时,以下结论中不正确的选项是()A.平面DMN 1平面BCCBB. 三棱锥A 】DMS 的体积为定值C. ADMN 可能为直角三角形D. 平面DMN 与平面ABC 所成的锐二面角范围为(0,三【答案】C如图,当M,N 分别在上运动时,假设满足BM = C[N,那么线段MN 必过正方形BCCiE .的中央.,而D0 1平面BCCiB]/平面DMN1平面BCC|B 「A 正确；当MN 分别在 BBpCC]上运动时,AA 】DM 的面积不变,N 到平面A 】DM 的距离不变,的棱锥N-AQM 的体积不..,了： . . ； .|, 那么 a B _ 2<k r k ^ ,八」dR --------------- co71 2©4(k 「kr)兀 f2<o、kWZ ,变,即三棱维A 「DMN 的体积为定值,E 正确；假设为直角三角形,那么必是以 AfDN 为直角的直角三角形,但的最大值为BG ,而此时DMDX 的长大于BBp 二Z\DMN 不可能为直角三角形,C 错误；当M,N 分别为BBpCC ］中点时,平面DMN 与平面ABC 所成的角为0,当M 与B 重 7E合,N 与G 重合时,平面DMN 与平面ABC 所成的锐二面角最大,为 ,C|BC 等于j, ,•.平面DMN 与n 7Txf-1) sin ----- 1- 2dx E [组2tl + l\(nEN),假设数列｛4｝满足11 .i- i . 7CX(—1)“+ 2n + 2,x E [2n + l,2n - 2),a m = ^mXmEN*〕,数列｛鼠〔的前加项的和为兀,那么瓦通一与小〔〕A. 909B. 910C. 911D. 912 【答案】A7tx1(-l)nsin — + 2ax E [2n,2n + 1)【解析】函数f(x)=」,n E N ,数列k J 满足(—I/1 siny - 2口 ▼ 2,x E [2n 十[,2n 十 2)斗u = f ⑹(m EN"),二斯/一蹑二的7十%吕+…十%5 二.4M , 49JF . 52?c .. . “、人. sin,— । 2 x 48 + 2-sm ----- + 2 x 49 । ... । sm — । 2 乂 52 4 2 = 909 ,应选 A.2 2 2 12.函数f(、) = x + /F , g(x) = iMx 十2)-4 ,其中1c 为自然对数的底数,假设存在实数 4,使口与)-虱飞)=3成立,那么实数a 的值为( )A.B. In...C. .D. .【答案】B_ ___ , 一 , 1 K + 1 ,, 【解析】令 Rx 〕-g 〔K 〕=x-i e - ln 〔x -I 2〕'I 4e ,令丁 = x- ln 〔x + 2〕 y 1 = l -- -- ----- ,故x + 2 x + 2y =x-ln 〔x +2〕在上是减函数,〔-1,十◎上是增函数,故当K = T 时,y 有最小值-1-0 =-1 , 由根本不等式得『一〞十命一〞之4〔当且仅当= 4/一",即x = a 十足之时,等号成立〕；故f 〔x 〕-g〔x 〕=3〔当且仅当等号同时成立时,等号成立〕,故x=a 十ln2=-1,即a = Tn2-1,应选B.【方法点睛】此题主要考查利用导数求最值、根本不等式求最值以及转化与划归思想的应用, 属于难题.利用根本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正, 二定,三相等〞的内涵：平面ABC 所成的锐二面角范围为〔0,： D 正确,应选C.11.函数Rx 〕一正是,首先要判断参数是否为正；二定是,其次要看和或积是否为定值〔和定积最大,积定和最小〕；三相等是,最后一定要验证等号能否成立〔主要注意两点,一是相等时参数否在定义域内,二是屡次用3或•工时等号能否同时成立〕第n卷〔共90分〕二、填空题〔每题5分,总分值20分,将答案填在做题纸上〕13.抹展开式的常数项为15,贝।sin2x〕dx =., -a【答案】23 -—1 十_j- q【解析】由题意得：T _] = 〔96-『,〔_火〕『=〔_]〕『.产,c：• x之,令3i；r = 0,即r = X D a C「15,,a - --7=15, /.a4= 1. ■■ a> 0, = 1 ,2 乂1H 1 I I 1'JG1 + sin2x〕dx = Jjl -x2d x + J sin2xdx = 法,根据定积分的几何意义可得Jjl—x?dK-a -1 -1 -1 -1表示半径为I的半圆的面积,【方法点晴】此题主要考查二项展开式定理的通项与系数以及定积分的几何意义,属于中档题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一,关于二项式定理的命题方向比拟明确,主要从以下几个方面命题：〔1〕考查二项展开式的通项公式T『+i = C/LE ;〔可以考查某一项,也可考查某一项的系数〕〔2〕考查各项系数和和各项的二项式系数和；〔3〕二项展开式定理的应用.14 .向量满足：|a| = |b| = I ,且「E = L 假设c = xa十yl 其中x>0 , y >0且x+y = 2 ,那么|c 的最小值是.【答案】忑【解析】v|a| =|b| =1 ,且a -〔? = -,当c = xa 十?后时,c2= x2a3I 2xya - b I y气,,= x2+xy +/=〔x + y〕2-xy,又x>0,y > 0 且x i y = 2, - xy r< | = 1 ,当且仅当x = y = I 时取“=",二/ > 〔x r广笥丫= 231 = 3-、向的最小值是后,故答案为忑.15 .将正整数12分解成两个正整数的乘积有I第12, 2 乂6, 3三种,其中3,4是这三种分解中两数差的绝对值最小的,我们称3丈4为12的最正确分解.当P'q 〔PWq且p,qEN* 〕是正整数口的最正确分解时,我们定义函数f〔n〕= q—p,例如f〔12〕= 4-3 = I .数列/⑨?的前100项和为【解析】当口为偶数时,耳片=0;当n 为奇数时,丁〞、,' ' f(3n ) = 3 2 一3 二S1翼=2(3°-31+…十3勺=2 x --------- = 3,0-1,故答案为产7.3_1 16 .如图,正方体ABCD-AjBgiD]的棱长为3,在面对角线A 】D 上取点M,在面对角线CD 】上取点N ,使得MN II 平面AAgg ,当线段YN 长度取到最小值时,三棱锥 AI-MND]的体积为【答案】1【解析】试题分析：如以下图所示,建立空间直角坐标系,从而可设,Y(m0m) , NB ,n,3-n),• - XdN = (-m,n n 3_n m),而面•工CC-看的■个法向量是 n=( 1,1,0) , •1- XIN ■ n = O^m = n , 「• xfrj2 = 十 n* 十(3一口-m)* = 2m* 十I 9 = 6(m -])1 + 3 > 3 , 当且仅当m = 1时,等号成立,此时%%/加]=V N -AM D]乂 2" = ],故填：। .考点：立体几何中的最值问题.【思路点睛】立体几何的综合应用问题中常涉及最值问题,处理时常用如下两种方法：1 .结合条件与图形恰当分析取得最值的条件；2 .直接建系后,表示出最值函数,转化为求最值问题.三、解做题 (本大题共6小题,共70分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.)n-1 n-1口=2x3?,17.某高校在今年的自主招生测试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩,分为 5组制出频率分布直方图如下图〔1〕求4d 的值;〔2〕该校决定在成绩较好的 3、4、5组用分层抽样抽取 6名学生进行面试,那么每组应各抽多少名学生？〔3〕在〔2〕的前提下,面试有 4位考官,被抽到的 6名学生中有两名被指定甲考官面试,其余4名那么随机分配给3位考官中的一位对其进行面试,求这 4名学生分配到的考官个数X 的分布列和期望.【答案】〔1〕前,03, 20, 0.2; 〔2〕第三组应抽3人,第四组应抽2人,第五组应抽I 人；〔3〕 65 . 27【解析】试题分析：〔1〕由频率分布直方图,求出成绩有 [85,90〕中的频率,由此根据频率与频数的关系能求出abc 的值；〔2〕组的学生数分别为3d20,10 ,由此能求出用分层抽样抽取6名学生进行面试,每组应各抽多少名学生；〔3〕由得X 的可能取值为123,分别求出相应的概率,由此能求出这 4名学生分配到的考官个数X 的分布列和期望. 试题解析：〔1〕由题意知 b = o.oe X 5 = 0.3 , a = 100 x 0.3 = 30 , d = I -0.05-035 -03-0.1 =0.2 c= 100x0.2=20 ..30〔2〕三个组共60人,所以第三组应抽人, 20 10第四组应抽6、二=1人,第五组应抽6乂二=1人.60 60 （3） X 的所有可以取的值分别为 1,2,3叱=】)=#=万/+ 14 -P(X = 2) =-------- ----- =—(或 P(X = 2) =27组号分组；粮教频率1 [75,80) 产30.05 2 [80,85) 350,353 [85,90) a4 [90,95) r d5[95JOO)100, 1C ■设一 2) 144 一P(X = 3)=——=-(或 P(X = 3) = IT 9 所以X 的分布列为:14 27所以X 的数学期望E 〔X 〕 = 1【方法点睛】此题主要考查直方图的应用以及离散型随机变量的分布列与数学期望,属于中档题.求解该类问题,首项要正确理解问题,其次要准确无误的随机变量的所以可能值,计算出相应的概率,写出随机变量的分布列,正确运用均值、方差的公式进行计算,也就是要过三关：〔1〕阅读理解关；〔2〕概率计算关；〔3〕公式应用关.就18.在3ABe 1中,内角A,B,C 所对的边分别为电b,c,.=2,〔3 = §. 〔1〕当 2sin2A ++ C 〕 = siriC 时,求 AABC 的面积；〔2〕求.AABC 周长的最大值.【答案】〔1〕亍；〔2〕6.【解析】试题分析：〔1〕由二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式化简可得23mAeosA = sinBcosA ,分类讨论先分别求出久,B ,再求出a,b 的值,利用三角形面积公式即可计算得解；〔2〕由余弦定理及条件可得：/十产rb = 4,利用根本不等式可得〔a + b 〕3 = 4 । 3册玉4 + 3史型-,解得a 『bW4,从而可求周长的最大值.由 2sm2A + sin(2B + C) = sinC得 241nAe 口SA = sinBeosA ,当时,sinB = 2sinA ,由正弦定理b = 2日,联立 2点4小解得b=?T,, 一,―…1 2小故二角形的面积为试题解析:a -+b - - ab = 4b = 2a〔2〕由余弦定理及条件可得：.由〔g+= 4十3处三4十3〔a；b〕得& ± b < 4 ,故AABC周长的最大值为6,当且仅当三角形为正三角形取到 .19.如下图,直三棱柱ABC-中,AB=AC = 2, 0为-G的中点,E为的中点.B 民〔1〕求证：C^ill 面ARD；〔2〕假设AB[J-面A]DB,求二面角B %D瓦的余弦值.【答案】〔1〕证实见解析；〔2〕—.4【解析】试题分析：〔1〕设AB1与AR交于F,连接DF.EF, •••EFIIBBJICC],那么EF与CQ平行且相等..♦・四边形EgDF为平行四边形,由线面平行的判定定理可得结果；〔2〕以BC的中点口为原点,分别以OE. OA方向为x轴和工轴正方向,以方向为y轴正方向,建立空间直角坐标系,分别求出平面与平面的一个法向量,根据空间向量夹角余弦公式,可得结果 ^试题解析：〔1〕设居1与交于F,连接DF、EF,••• EFII BB仲CC1?那么EF与C]D平行且相等..•・四边形EC]DF为平行四边形..CjE IDF,又DF 匚面A]DB, C】E仁面ARB ,,C]E II 面ARD.〔2〕以BC的中点.为原点,分别以OB、OA方向为x轴和工轴正方向,以CC]方向为y轴正方向, 建系如图,设8=K, AAj = y,那么有H〔xaO〕, A〔0A^4^'〕, E]〔xy0〕, 一冬〔.邛<777〕, D卜.•・班= 〔-2x:0〕,..叫=〔-居媪匚♦,,赢1 =〔x,y-J4.x方由AB[,面A]DB ,那么H；A ■ BAj = 0,E；A liD = 0.那么1尸.、解得门.所以面ARD的法向量为_0]=〔12.我,又设面ARD的法向量为S =〔a,b,c〕, 口云「QI.〕,A自=〔】.,我,A1B1n = O, DB1 n = O,所以隹.二;,令a =收那么s瑜」〕,J7.、下-5出击..•",•.・■1 - .S ,尽44所以二面角的余弦值为—.4【方法点晴】此题主要考查线面平行的判定定理、利用空间向量求二面角,属于难题.证实线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理,使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与直线平行的直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证实两直线平行.②利用面面平行的性质,即两平面平行,在其中一平面内的直线平行于另一平面.此题〔1〕是就是利用方法①证实的.20.数列kn｝满足为7, %+]=相1卜产1-4口〔武短〕.〔1〕是否能找到一个定义在因’的函数Rn〕=A,2n T I 〔4B、C1是常数〕使得数列｛日口一出口〕｝是公比为3的等比数列,假设存在,求出｛%｝的通项公式；假设不存在,说明理由；〔2〕ifiS1]=a l i-a2 iq 一। %,假设不等式'r?>p x非对任意“ E N〞都成立,求实数p的取值范围.【解析】试题分析：1「由即+1 = 3a n + 2n 1- 4n可得(n + 1) - 3f(n) = 2n-1 - 4n ,纪合f(n 4- 1) - 3f(n) = - A ' 2n 1 - 2Bn + (B - 20 ,对应项系数相等列不等式组求解即可；⑶ 先利用分组求和法求得£门二2n + r? + 2rv化简5n -n2> px 3rl可得p < \ ." +工口= 1,中II I 11 I ■3n试题解析：(1) 8n(口 + l)=地1r氏项,•.•%+[= 3% । Rn 7)-3f(n),所以只需.,■, i,■,二二匕1 '二,•二? ?.即::二T.‘‘」：・； 1 ・3〞一.：一•.7 ,,1 - 一.二"'' 「二n .(2 ：：.二：i- 3.•一：1：・；I ・二•••二：・二. ・n • .「' + ..：二,2 + 2n 2 - 2n=. ________2n-2n 2n- 4n + 2 2n-2(2n- I)当n"时,/=〔I + 1广十u/] 一…十黑；十C：；三2十五n- l〕= 2n>2n- I 二.n"时,％ + 产%.容易验证,当15W3时,% + ]三,,73一 ,O 1・•.p的取值范围为〔-叫\ 81 /21 .f(x) = e'(ax,- x 十］).〔1〕当aWO时,求证：f〔x〕< I ;〔2〕当a >0时,试讨论方程f〔x〕=］的解的个数.【答案】〔1〕证实见解析；〔2〕林」时,方程一个解；当林J且4.时,方程两个解.2 , 2【解析】试题分析：〔1〕f〔x〕三l=e*〞〔ax,十x十】〕01等价于e x - ax3 - X - I > 0 ,令h㈤= 利用导数研究函数的单调性求出h〔x〕En = h〔0〕= 0 ,即可得结论；〔2〕问题转化为函数h〔x〕= e x- ax2- x - 1的零点个数,通过两次求导,讨论三种情况,分别判断函数Mx〕单调性及最值情况,从而可得方程解的个数试题解析：〔1〕要证Rx〕三l=e*'〔ax"十犬十】〕三1 ,只要证e x- ax2- x - I > 0 (* )令h(x) =,- ax" - x - 1 ,贝U h(K)=/- - 1 ,而h"〔*〕=£-%>.,所以h&l在〔-8,十⑼上单调递增,又4〔0〕= 口, 所以Mx〕在上单调递减,在〔0,十⑼上单调递增,,h〔K〕min , h〔0〕= 0 ,即hg 至.,〔* 〕式成立所以原不等式成立.〔2〕问题转化为函数h〔x〕= e x-ax2-x - 1的零点个数.而h (x)=它*= 2ax - 1 , h (x) = e x- 2a.令h"(x) = O,解得x = ln2n所以h'〔x〕在「8血㈤上单调递减,在包十⑼上单调递增.所以h(x)mg = h (ln2a) = 2a - 2aln2a - 1 ,设m = 2a,, g(m) = m - mlnm - 1 ,而, 那么g〔x〕在〔L十刈上单调递减,在〔0,D上单调递增,所以虱m%«= gQ〕= Q,即成刈讪不.〔当m = l即l,时取等〕.1 1 ,1°当/=寸寸,h〔乂〕Mn =.,那么h〔x〕3.恒成立.所以Mx〕在R上单调递增,又h〔o〕= o,那么Mx〕有一个零点;2当时,ln2a > 0 , h(x) = h(In2a.) <0,、* n ■ LIIIJ, /有在। - 上单调递减,在(ln2a,十W上单调递增,且XT+ 馍时,h (x)=已、=2ax - 1 > 0那么存在乂1,()使得h(Kj = 0,又h"(0) = D这时M2在(-皿0)上单调递增,在(0明)上单调递减,h(x)在㈤)上单调递增所以卜的)之履0) = 0,又XT +M时,岭)=金一/.工.]>Q, h(0) = 0所以这时Mx)有两个零点；3 当时,hi2a <0, h(x)mjl]= h(ln2a)<0.有h&)在।-81n*i)上单调递减,在(In知十田上单调递增,且XT - 8时,h(x) =/- 2ax - 1 > 0,那么存在x z -「,)使得h(x2) = 0.又h(0) = 0 ,这时Mx)在(-qxj上单调递增,在(■与⑼上单调递减,Mx)在◎十⑼上单调递增.所以h(xj > h(0} = 0.又XT - 9时,h(x) = e x - ax^ - x - 1, < 0, h(0) = 0.所以这时h(x)有两个零点；,一 1 ,〜, 1 一 ,〜、〜〜…综上：H =-时,原方程一个斛；当：af-且时,原方程两个斛. 2 2请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,那么按所做的第一题记分.选彳4-4 :坐标系与参数方程22 .直线仃匕祟二(L为参数),圆黑e为参数),兀(1)当u=,时,求C]与％的交点坐标；(2)过坐标原点.作J的垂线,垂足为A, P为.A的中点,当M变化时,求P点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.【答案】(1) (Z0)；(2) ! x = giiTs 圆心为(I.]半径为’的圆.[y = -cosasina \2 / 2【解析】试题分析：(I )求得Ci. G的普通方程, 联立方程组堂]？,解之得正解；(x y(n)求得Cj的普通方程n A点坐标为Qsin%, - 2coscisina)P点轨迹的参数方程为[)]皿" (口为参数)=P点轨迹的普通方程为仅二『卜y2：=故P点是圆心为&口),半(y=- cos as in ci 2 4 2径为I的圆.2试题解析：(I)当Q =:时,Ci的普通方程为丫二击仅一),G的普通方程为xJ『= 4.联立方程组F；后厂2)解得％与Q的交点为口,一回,Q0)J [ x —v1 = 4(II) %的普通方程为xsma - ycosa -左inct= 0. A点坐标为Q出i%, - 2cosasina),故当以变化时, P点轨迹的参数方程为[x-suAi (也为参数)ly = - cosasmaP点轨迹的普通方程为(x ；故P点是圆心为?.),半径为；的圆.选彳4- 4-5 :不等式选讲23. (1)函数R X)=|K/1|十|x-2|-旨-冽.假设函数f(x)的图象恒在x轴上方,求实数n的取值范围.(2)f(x} = J]十长,a#b,求证：f(b)| < |Ei-b|.【答案】(1) sE(-lJ) ; (2)证实见解析.【解析】试题分析：(1)求出f(x)的最小值,根据函数f(x)的图象恒在x轴上方,可得3-方炉0,|a-b||a + b|即可求实数a的取值范围；(2)不等式的左边化简为一/=;,利用忖十b|W|a|十|b和Jl 十a - Jl + b右品乒3舟后,即可证得不等式成立.试题解析：(1) fM的最小值为3-|『-冽,由题设,得力卜3,解得aE(-IJ).(2)证实：.「.,|a2|a- b||a i-b|।Jl +) Jl + H 1Jl +b2又. ■..|a I b| 一, . ----------------------------- --- 1 ----------------------------- ----- ।v11 + a + J ।b 'a^b, ..|a-b|>0.。

湖南省长沙市长郡中学2021届高三第一学期月考数学试题(三)

长郡中学2021届高三月考试卷（三）
数学
一、选择题：本题共8小题，共40分。

1．集合A＝，B＝且A∪B＝，则实数a的可能取值组成的集合是（）
A. B. C. D.
2．已知a＋3i＝2＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则实数a＋b的值为（）
A. 3
B. 5
C. 6
D. 8
3．在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在坐标原点O，以x轴的正半轴为始边，其终边与单位圆
交点为P，P的坐标是P(x，y)，若x＝－，则cos 2α＝（）
A. B. － C. D. －
4．在的展开式中，若常数项为－40，则正实数a＝（）
A. B. 2 C. 3 D. 4
5．5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2.它表示：在受噪声干扰的信道
中，最大信息传递速率C(单位：bit/s)取决于信道带宽W(单位：HZ)、信道内信号的平均功率S(单位：dB)、信道内部的高斯噪声功率N(单位：dB)的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，若不改变
带宽W，而将信噪比从1000提升至2000，则C大约增加了（）
A. 10%
B. 30%
C. 50%
D. 100%
6．若平面向量，满足＝＝·＝2，则对于任意实数λ，|λ＋(1－λ)|的最小值
是（）
第4页共6页。

2021届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考(一)数学试题(解析版)

10．已知数列前项和为 .且，（为非零常数）测下列结论中正确的是（）
A．数列为等比数列B．时，
C．当时， D．
答案：AC
解：由和等比数列的定义，判断出A正确；利用等比数列的求和公式判断B错误；利用等比数列的通项公式计算得出C正确，D不正确．
解：
由，得 .
时，，相减可得，
又，数列为首项为，公比为的等比数列，故A正确；
因，
，
而，
，
所以数列前48项之和为 .
故答案为：1176.
点评：
本题主要考查了数列求和的问题.属于中档题.
四、解答题
17．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题
① ；② 的面积为；③ .
在中，角，，所对的边分别为，， .在已知，为钝角， .
（1）求边的长；
解：
由已知，，，因此，
∴ ，
所以，过点，
因此，，又，
所以，∴ ，
对A，图象关于原点对称，故A正确；
对B，当时，，故B正确；
对C，由，有，故C不正确；
对D，当时，，所以与函数有4个交点令横坐标为，，，，，故D正确.
故选：ABD.
点评：
本题考查根据正弦型函数的部分图象求函数的解析式，以及分析正弦型函数的性质，属于基础题.
解：
由，有，解得，
故，
故当时，取最小值 .
故选：A.
点评：
本题考查分式型三角函数的化简，以及关于二次型三角函数的最值问题，属于基础题.
8．设函数，若存在区间，使在，上的值域为，，则的取值范围是

2021届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考(二)数学试题

绝密★启用前2021届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考（二）数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}2340A x x x =--≤，{}28xB x =>，那么集合A B =（）A ．()3,+∞B ．[)1,-+∞C ．[3，4]D ．(]3,4答案：D解题思路：解不等式确定集合,A B 后再由交集定义计算．解：{}2340{|14}A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}283x B x x x =>=，∴{|34}AB x x =<≤．故选：D ．点评：本题考查集合的交集运算，考查解一元二次不等式和指数不等式，掌握指数函数性质是解题关键． 2．设i 是虚数单位，若cos sin z i θθ=+，且其对应的点位于复平面的第二象限，则θ位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B解题思路：根据复数的几何意义列出不等式，求出θ的范围，可得结论．解：∵cos sin z i θθ=+对应的点位于复平面的第二象限，∴cos 0sin 0θθ<⎧⎨>⎩，∴θ在第二象限．故选：B ．点评：本题考查复数的几何意义，考查三角函数的定义，属于基础题．3．曲线()33f x x x =-+在点P 处的切线平行于直线21y x =-，则P 点的坐标为（）A ．()1,3B ．()1,3-C ．()1,3和()1,3-D ．()1,3-答案：C解题思路：求导，令()'2f x =，故23121x x -=⇒=或1-，经检验可得P 点的坐标. 解：因()2'31f x x =-，令()'2f x =，故23121x x -=⇒=或1-，所以()1,3P 或()1,3-，经检验，点()1,3，()1,3-均不在直线21y x =-上，故选C ．点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，属于基础题．4．如图，网格上纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为（）A ．43B ．43C ．83D ．23答案：C 解题思路：解：【分析】试题分析：该棱锥如图，E ABCD -，它可以看作是从正方体中截出的一部分，其体积为3111822222323V =⨯-⨯⨯⨯⨯=．故选C ．【考点】三视图，体积．【名师点睛】象这种画在方格纸中的三视图，常常可以看作是由基本几何体（如正方体、长方体）切割出的几何体的三视图，因此由这样的三视图作直观图时，可以画出正方体（或长方体），在此基础上切割并想象三视图得到所需几何体的直观图．5．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（） A ．cos 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．sin2cos2y x x =+D ．sin cos y x x =+答案：A解题思路：求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．解：解：y ＝cos （2x 2π+）＝﹣sin2x ，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A 正确 y ＝sin （2x 2π+）＝cos2x ，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B 不正确；y ＝sin2x+cos2x =（2x 4π+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C 不正确；y ＝sinx+cosx =（x 4π+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D 不正确；故选A ．【考点】三角函数的性质. 6．已知直三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为()A B ．C ．132D ．答案：C解题思路：因为直三棱柱中，AB ＝3，AC ＝4，AA 1＝12，AB ⊥AC ，所以BC ＝5，且BC 为过底面ABC 的截面圆的直径．取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面BCC 1B 1内，矩形BCC 1B 1的对角线长即为球直径，所以2R ＝13，即R ＝1327．中华文化博大精深，我国古代算书《周髀算经》中介绍了用统计概率得到圆周率π的近似值的方法．古代数学家用体现“外圆内方”文化的钱币（如图1）做统计，现将其抽象成如图2所示的图形，其中圆的半径为2cm ，正方形的边长为1cm ，在圆内随机取点，若统计得到此点取自阴影部分的概率是P ，则圆周率π的近似值为（）A ．14(1)p -B ．11p- C ．114p-D ．41p- 答案：A解题思路：根据几何概型的方法分析阴影部分占总面积的比值,列式求解π的表达式即可. 解：圆形钱币的半径为2cm,面积为S 圆＝π•22＝4π；正方形边长为1cm,面积为S ＝12＝1．在圆形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率是P ＝114π-,则14(1)p π=-．故选：A ．点评：本题主要考查了几何概型的方法,需要求解阴影部分面积占总面积的比值,属于基础题型.8．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，满足212n n n a a S +=，且0n a >，则100S =（）A ．10B ．311C ．10311-D ．11答案：A解题思路：根据和项与通项关系将条件转化为2211n n S S --=,再根据等差数列定义以及通项公式解得2n S ，即可得到结果.解：222111111212101n n n n a a S a a S a a a +=∴+=∴=>∴= 221112()12(),(2)n n n n n n n n a a S S S S S S n --+=∴-+=-≥2211,(2)n n S S n -∴-=≥因此数列2{}n S 为等差数列，首项为1，公差为1，即21(1)100n n n n S n na S S n =+-⋅=>∴>∴=10010S ∴=故选：A点评：本题考查和项与通项关系、等差数列定义以及通项公式，考查综合分析判断与求解能力，属中档题. 二、多选题9．已知函数()2()lg 1f x x ax a =+--，给出下述论述，其中正确的是（） A ．当0a =时，()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞B ．()f x 一定有最小值；C ．当0a =时，()f x 的值域为R ；D ．若()f x 在区间[2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是{4}∣aa ≥- 答案：AC解题思路：对A ，当0a =时，求出函数()f x 的定义域，可判选项A ；当0a =时，函数()f x 的值域为R ，可判选项B ，C ；根据复合函数单调性可知，内函数21y x ax a =+--递增且0y >可求出a 的取值范围，可判断选项D. 解：对A ，当0a =时，解210x ->有(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞，故A 正确；对B ，当0a =时，2()lg(1)f x x =-，此时(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞，21(0,)x -∈+∞，此时2()lg(1)f x x =-值域为R ，故B 错误；对C ，同B ，故C 正确；对D ，若()f x 在区间[2,)+∞上单调递增，此时21y x ax a =+--在[2,)+∞上单调递增，所以对称轴22ax =-≤，解得4a ≥-，但当4a =-时，2()lg(43)f x x x =-+在2x =处无定义，故D 错误. 故选：AC 点评：本题主要考查了对数型复合函数的定义域、值域、最值、单调性，对于复合函数的单调性问题，可先将函数(())y f g x =分解成()y f t =和()t g x =，再讨论这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断或求解. 10．已知02παβ<<<，且tan α，tan β是方程220x kx -+=的两不等实根，则下列结论正确的是（）A ．tan tan k αβ+=-B ．tan()k αβ+=-C ．22k >D ．tan 4k α+≥答案：BCD解题思路：根据题意可得tan tan k αβ+=，tan tan 2αβ⋅=，再利用两角和的正切公式可判断B ，利用基本不等式可判断C 、D 解：由tan α，tan β是方程220x kx -+=的两不等实根，所以tan tan k αβ+=，tan tan 2αβ⋅=，tan tan tan()1tan tan 1kk αβαβαβ++===--⋅-，由02παβ<<<，tan α，tan β均为正数，则tan tan 2tan tan 22k αβαβ+=≥⋅=，当且仅当tan α=tan β取等号，等号不成立tan 2tan tan 22tan tan 4k ααβαβ+=+≥⋅=，当且仅当2tan α=tan β取等号，故选：BCD 点评：本题考查了韦达定理、两角和的正切公式、基本不等式的应用，注意验证等号成立的条件，属于基础题.11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，1CC ，1BB 的中点，则（）A ．直线1DD 与直线AF 垂直B ．直线1A G 与平面AEF 平行C ．点C 与点G 到平面AEF 的距离相等D ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98答案：BD解题思路：取1DD 中点M ，通过AM 与1DD 不垂直可判断选项A ；取11B C 中点N ，连接1A N ，GN ，通过平面1//A GN 平面AEF 可判断选项B ；利用反证法可判断选项C ；根据平面性质得出截面图形，计算出面积可判断选项D. 解：对于A ，取1DD 中点M ，则AM 为AF 在平面11AA D D 上的射影，AM 与1DD 不垂直，AF ∴与1DD 不垂直，故A 错；对于B ，取11B C 中点N ，连接1A N ，GN ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1//,//A N AE NG EF ，1A N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，所以1//A N 平面AEF ，同理可证//NG 平面AEF ，1A N NG N =，所以平面1//A GN 平面AEF ，1AG ⊂平面1A GN ，所以1//AG 平面AEF ，故B 正确；对于C ，假设C 与G 到平面AEF 的距离相等，即平面AEF 将CG 平分，则平面AEF 必过CG 的中点，连接CG 交EF 于H ，而H 不是CG 中点，则假设不成立，故C 错；对于D ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1//AD EF ，把截面AEF 补形为四边形1AEFD ，由等腰梯形计算其面积98S =，故D 正确.故选：BD. 点评：本题考查空间中的位置关系的判断，考查平面的性质，属于中档题. 12．已知函数()3sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是()A ．()f x 是奇函数B ．若()f x 是增函数，则1a ≤C ．当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点答案：ABD解题思路：对A,根据奇函数的定义判定即可. 对B,求导后利用恒成立问题分析即可. 对C,根据单调性分析即可.对D,求导后令导函数等于0画图分析交点个数即可. 解：对A,()3sin f x x x ax =+-的定义域为R ,且()()()3sin f x x x ax -=-+-+3sin ()x x ax f x =--+=-.故A 正确.对B,()2'cos 3f x x x a =+-,因为()f x 是增函数故2cos 30x x a +-≥恒成立.即2cos 3a x x ≤+恒成立.令2()cos 3g x x x =+,则'()6sin g x x x =-, 因为''()6cos 0g x x =->,故'()6sin g x x x =-单调递增,又'(0)0g =,故当0x <时)'(0g x <,当0x >时'()0g x >.故2()cos 3g x x x =+最小值为(0)1g =.故1a ≤.故B 正确.对C,当3a =-时由B 选项知,()f x 是增函数,故不可能有2个零点.故C 错误.对D,当3a =时()3sin 3f x x x x =+-,()2'cos 33f x x x =+-,令2cos 330x x +-=则有2cos 33x x =-.作出2cos ,33y x y x ==-的图像易得有两个交点,且交点左右的函数值大小不同.故函数()f x 恰有两个极值点.故D 正确.故选：ABD 点评：本题主要考查了利用导数分析函数的单调性与极值点等问题,属于中档题. 三、填空题13．在713⎛⎫- ⎪⎝⎭x x 的展开式中，41x 的系数是______．答案：189-解题思路：由二项式定理得出二项展开式的通项公式，令x 的指数为4-求得项数后可得所求系数．解：展开式通项公式为737721771(3)(1)3rrrrr r r r T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令7342r-=-，得=5r ． ∴41x的系数为5257(1)3189C -⨯=-．故答案为：189- 点评：本题考查二项式定理，掌握二项展开式通项公式是解题关键．14．如图，已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连结DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为________答案：18解题思路：先由题意，得到3324DF DE AC ==，推出1324=+=+AF AD DF AB AC ，再由BC AC AB =-，根据向量的数量积运算，结合题中条件，直接计算，即可得出结果.解：因为2DE EF =，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，所以3324DF DE AC ==，因此1324=+=+AF AD DF AB AC ，又BC AC AB =-，ABC ∆是边长为1的等边三角形，所以()221313124244⎛⎫⋅=+⋅-=-+-⋅ ⎪⎝⎭AF BC AB AC AC AB AB AC AC AB 1311311cos602442488︒=-+-⋅=-+-=AC AB .故答案为：18点评：本题主要考查向量的数量积运算，熟记向量数量积的运算法则，以及平面向量基本定理即可，属于常考题型.15．已知函数()()()()sin 332sin cos 22f x x x x ϕϕϕ=+-++，其中ϕπ<，若()f x 在区间2,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则ϕ的最大值为__________．答案：56π 解题思路：()()()()()()sin 222sin cos 22sin f x x x x x x ϕϕϕϕϕ⎡⎤=+++-++=+⎣⎦，由π3π2π2π22k x k ϕ+≤+≤+，解得π3π2π2π22k x k ϕϕ+-≤≤+-，π2π63x <<是其子集，故ππ2π26{3π2π2π23k k ϕϕ+-≤+-≥，解得π2π3{5π2π6k k ϕϕ+≤+≥，由于πϕ<，故令0k =可求得ϕ的最大值为5π6.16．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为______．123234134521221nn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ++++-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 答案：10102021解题思路：每行都是等差数列，分别求和（注意用第一行的n S 表示），然后求出n b ，对nnb 裂项后可求得和2020S ．解：由题意，设数列{}n a 的前n 项和为n S ． ∵数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，∴数列{}n a 是以4为首项，2为公差的等差数列． ∴第1行的所有项的和即为：()21214232n n n n a a a S n n n -++⋅⋅⋅+==+⋅=+．则第2行的所有项的和为：()()()23112n n n a a a a d a d a d S nd +++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅++=+；第3行的所有项的和为：()()()342122222n n n a a a a d a d a d S nd +++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅++=+；…第n 行的所有项的和为：()()1211211n n n a a a a n d a n d +-++⋅⋅⋅+=+-++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()11n n a n d S n nd +⋅⋅⋅++-=+-⎡⎤⎣⎦；∴()()12231n n n b a a a a a a +=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()342121n n n n a a a a a a ++-+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+()()()21n n n n S S nd S nd S n nd =+++++⋅⋅⋅++-⎡⎤⎣⎦ ()121n nS n nd =+++⋅⋅⋅+-⋅⎡⎤⎣⎦()()21322n n n n n n -=++⋅⋅()221n n =+．()()21111212121n n n b n n n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭． ∴数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为12202012202011111111122223220202021b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111=122232020202122021⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1010=2021．故答案为：10102021．点评：本题考查等差数列的前n 项和，考查裂项相消法求和．解题关键是正确认识n b ，计算出n b ．四、解答题17．在递增的等比数列{}n a 中，1632a a ⋅=，2518a a +=，其中*N n ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记21log n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 答案：（1）12n na ；（2）2212nn n+-+.解题思路：试题分析：（1）由251632a a a a ⋅=⋅=及2518a a +=得22a =，516a =，进而的q ，可得通项公式；（2）12n n b n -=+利用分组求和即可，一个等差数列和一个等比数列.试题解析：（1）设数列{}n a 的公比为q ，则251632a a a a ⋅=⋅=，又2518a a +=，∴22a =，516a =或216a =，52a =（舍）. ∴3528a q a ==，即2q =. 故2122n n n a a q--==（*N n ∈）. （2）由（1）得，12n n b n -=+.∴12n n T b b b =+++()()211222123n n -=+++++++++()112122n n n+-=+- 2212nn n+=-+.18．现在给出三个条件：①a ＝2；②B 4π=；③c =试从中选出两个条件，补充在下面的问题中，使其能够确定△ABC ，并以此为依据，求△ABC 的面积.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足2b cosA =（），求△ABC 的面积（选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答记分）答案：选①③；S △ABC =解题思路：由题目条件，化边为角即可求出3A π=，再根据解三角形“知三求三”（至少知一边），所以搭配①③或①②，都可确定三角形△ABC ，求得其面积．解：如选①③因为(2)b cosA =，由正弦定理可得，2sinBcosA ==，因为sinB ≠0，所以cosA =又因为a ＝2，c =，由余弦定理可得，22323b=，解得，b ＝2，c ＝23，故S △ABC 1112233222bcsinA ==⨯⨯⨯=. 点评：本题主要考查补全题目条件解三角形，涉及正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题． 19．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如下表1：年份x20112012 2013 20142015储蓄存款y （千亿元）567810为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，2010,5t x z y =-=-得到下表2：时间代号t 1 2 3 4 5 z1235（Ⅰ）求z 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？（附：对于线性回归方程ˆˆˆybx a =+，其中1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx yb ay bx xnx ==-⋅==--∑∑）答案：（Ⅰ） 1.2 1.4=-z t （Ⅱ）预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15．6千亿元解题思路：试题分析：（Ⅰ）由表中的数据分别计算x ，y 的平均数，利用回归直线必过样本中心点即可写出线性回归方程；（Ⅱ）t=x ﹣2010，z=y ﹣5，代入z=1.2t ﹣1.4得到：y ﹣5=1.2（x ﹣2010）﹣1.4，即y=1.2x ﹣2408.4，计算x=2020时，的值即可．试题解析：（Ⅰ）4553 2.2 1.255ˆ59b -⨯⨯==-⨯， 2.23 1.21ˆ.4a z bt =-=-⨯=-（Ⅱ）2010,5t x z y =-=-，代入得到：()5 1.22010 1.4y x -=--，即 1.22408.4y x =-1.220202408.415.6y ∴=⨯-=，∴预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15．6千亿元点睛：求解回归方程问题的三个易误点：（1）易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．（2）回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(x ，y )点，可能所有的样本数据点都不在直线上．（3）利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．20．已知四棱柱ABCD A B C D '='''中，底面ABCD 为菱形，2460AB AA BAD '==∠=,,，E 为BC 中点，C '在平面ABCD 上的投影H 为直线AE 与DC 的交点.（1）求证：BD A H '⊥；（2）求二面角D BB C '-'-的正弦值. 答案：（1）证明见详解（2）45解题思路：（1）连接',',A C AC A B BH '，，先证明''A C BH 为平行四边形，因此'A B ⊥平面ABCD ，继而证明BD ⊥平面',A BH 即得证.（2）如图建立空间直角坐标系，计算平面''D BB ，平面'CBB 的法向量，利用二面角的向量计算公式，即得解. 解：（1）连接',',A C AC A B BH '，，由于E 为BC 中点，且//HC AB ，故E 为AH 中点，CHE ABE CH AB ∴∆≅∆∴= 故四边形CBHA 为平行四边形,//AC BH由于四棱柱'//'ABCD A B C D AA CC =∴''''且''AA CC = 故四边形''A C AC 为平行四边形,//''//AC A C AC BH ∴由于底面ABCD 为菱形，故BD AC ⊥，且//AC BH ，BD BH ∴⊥由于''//,''A C BH A C BH =，故四边形''A C BH 为平行四边形，所以'//'BA HC 故：'A B ∴⊥平面ABCD 'A B BD ∴⊥ 又'A B ⊂平面',A BH BH ⊂平面',A BH 故BD ⊥平面',A BH 'A H ⊂平面',A BHBD A H ∴⊥'（2）由（1）BH ，BD ，'BA 两两垂直，以B 为原点如图建立空间直角坐标系.(0,0,0),3,1,0),'(3,1,3),3,1,3)B C D B ∴-''(0,2,0),'(3,1,23),'(0,2,23),(3,1,0)D B D B CB CB ∴==---=-=--设平面''D BB 的法向量为(,,)n x y z =，故''20'30n D B y n D B y ⎧⋅==⎪⎨⋅=---=⎪⎩，令21x z =∴=-，故(2,0,1)n =- 设平面'CBB 的法向量为(,,)m x y z =，故'2030n CBy n CB y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令1,1y x z ==-=，故(m =- 由图像得二面角D BB C '-'-为锐角，故3cos |cos ,|||5||||D C m n m n n BB m -⋅''<>=<>=-=故4sin 5D BB C ''-<>=- 点评：本题考查了立体几何和空间向量综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算能力，属于中档题.21．已知函数()ln (1)1x af x ex x a x -=----，R a ∈，e 2.718=为自然对数的底数.（1）若1a =，证明：(1)()0x f x -≥；（2）讨论()f x 的极值点个数.答案：（1）证明见解析；（2）答案见解析.解题思路：（1）由1a =，则1()ln 1x f x e x x -=--，1()ln 1x f x e x -'=--(0)x >，令1()x g x e x -=-，用导数法得到1x e x -≥，从而得到()f x 在(0)+∞，上单调递增，结合(1)0f =，得到(0,1)x ∈时，()0f x <；(1,)x ∈+∞时，()0f x >证明；（2）求导()ln x af x e x a -'=--(0)x >，令()()h x f x '=，分1a ≤和1a >结合零点存在定理求解. 解：（1）若1a =，则1()ln 1x f x e x x -=--，1()ln 1x f x e x -'=--(0)x >令1()x g x ex -=-，则1()1x g x e -'=-当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 在(0,1)上单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上单调递增；因此()(1)0g x g ≥=，即1x e x -≥；也有1ln (0)x x x -≥>，所以当1a =时，1()ln 1(1)10x f x e x x x -'=--≥---=，所以()f x 在(0)+∞，上单调递增；又因为(1)0f =，所以，当(0,1)x ∈时，()0f x <；当(1,)x ∈+∞时，()0f x >；所以(1)()0x f x -≥.（2）由题意知()ln x af x e x a -'=--(0)x >，令()()h x f x '=，则1()x ah x e x-'=-，当1a ≤时，11()()ln ln ln 10x ax x h x f x ex a e x a e x ---'==--≥--≥--≥，所以()f x 在(0)+∞，上单调递增，()f x 无极值点；当1a >时，11(1)10,()10ah eh a a-''=-<=->，且()h x '在(0)+∞，上单调递增，故存在0(1,)x a ∈满足0001()0x ah x ex -'=-=，因此00001ln x aea x x x -==+；，当0(0,)x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在0(0,)x 上单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，()0h x '>，所以()h x 在0(,)x +∞上单调递增；所以0000001()()ln 2ln x ah x h x ex a x x x -≥=--=--，再令000001()2ln ,(1,)x x x x a x ϕ=--∈，020012()10x x x ϕ'=---<，所以0()x ϕ在(1,)a 上单调递减，且()(1)0a ϕϕ<=，即0()0h x <，因为()0aa e ah e e ---=>，又知1x e x -≥，1ln (0)x x x -≥>，所以2(3)ln 321ln 31ln ln 32ln 30ah a ea a a a a a a =-->+--=+-->->，所以存在10(,)ax e x -∈，20(,3)x x a ∈满足12()()0h x h x ==，所以当1(0,)x x ∈时，()()0f x h x '=>，()f x 在1(0,)x 上单调递增；当12(,)x x x ∈时，()()0f x h x '=<，()f x 在12(,)x x 上单调递减；当2(,)x x ∈+∞时，()()0f x h x '=>，()f x 在2(,)x +∞上单调递增；所以，当1a >时，()f x 存在两个极值点12,x x 综上可知：当1a ≤时，()f x 不存在极值点；当1a >时，()f x 存在两个极值点，点评：本题主要考查导数与不等式的证明，导数与函数极值点，还考查了分类讨论的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于难题.22．随着5G 商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕5G 用户的争夺越来越激烈，5G 手机也频频降价飞入寻常百姓家．某科技公司为了打开市场，计划先在公司进行“抽奖免费送5G 手机”优惠活动方案的内部测试，测试成功后将在全市进行推广．（1）公司内部测试的活动方案设置了第()i i N +∈次抽奖中奖的名额为32i +，抽中的用户退出活动，同时补充新的用户，补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额少2个．若某次抽奖，剩余全部用户均中奖，则活动结束．参加本次内部测试第一次抽奖的有15人，甲、乙均在其中． ①请求甲在第一次中奖和乙在第二次中奖的概率分别是多少? ②请求甲参加抽奖活动次数的分布列和期望?（2）由于该活动方案在公司内部的测试非常顺利，现将在全市进行推广．报名参加第一次抽奖活动的有20万用户，该公司设置了第()i i N +∈次抽奖中奖的概率为()9140iip +-=，每次中奖的用户退出活动，同时补充相同人数的新用户，抽奖活动共进行()2n n N +∈次．已知用户丙参加了第一次抽奖，并在这2n 次抽奖活动中中奖了，在此条件下，求证：用户丙参加抽奖活动次数的均值小于92．答案：（1）①甲在第一次中奖的概率为13，乙在第二次中奖的概率为1639；②分布列见解析，()25=13E X ；（2）证明见解析．解题思路：（1）①确定参与抽奖人数和中奖人数，可得概率，其中乙第二次中奖，是在第一次不中奖的基础上才能第二次抽中奖，由条件概率公式计算；②设甲参加抽奖活动的次数为X ，则1,2,3X =，注意第2次中奖是在第一次未中奖的条件下才发生，同样第3次中奖是在前2次都未中奖的条件下才可能发生．由条件概率公式计算出概率得分布列，由期望公式可计算期望；（2）丙在第奇数次中奖的概率为15，在第偶数次中奖的概率为14．“丙中奖”为事件A ，则()43311545nnP A ⎛⎫⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设丙参加抽奖活动的次数为Y ，求出丙在第2m 和21m -次中奖的概率(2)P Y m =和(21)P Y m =-，这两个概率相等，这样在丙中奖这个条件下可得第21m -次和第2m 次中奖的概率(21)()P Y m P A =-和(2)()P Y m P A =，由期望公式计算出期望()E Y ，用错位相减法求得分子的和，得()E Y 化简后可证结论．解：（1）①甲在第一次中奖的概率为151153p ==，乙在第二次中奖的概率为210816151339p =⨯=． ②设甲参加抽奖活动的次数为X ，则1,2,3X =，()511P X ===；()108162P X ==⨯=；()1051031P X ==⨯⨯=， ∴()1233393913E X =⨯+⨯+⨯=．（2）证明：丙在第奇数次中奖的概率为15，在第偶数次中奖的概率为14．设丙参加抽奖活动的次数为Y ，“丙中奖”为事件A ，则()43311545n nP A ⎛⎫⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令*,m n m N ≤∈，则丙在第21m -次中奖的概率()1312155m P Y m -⎛⎫=-=⨯ ⎪⎝⎭ 在第2m 次中奖的概率()1134131255455m m P Y m --⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()13121255m P Y m P Y m -⎛⎫=-===⨯ ⎪⎝⎭，在丙中奖的条件下，在第21m -，2m 次中奖的概率为()11355m P A -⎛⎫⎪⎝⎭，则丙参加活动次数的均值为()()()()()()2113331234562125555n E Y n n P A -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++++⋅⋅⋅+-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，设()21333371141555n S n -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()213333337454155555n n S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴()2123333344155555n n S n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 14512273225n n S -+⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，所以()145122732253515n n n E Y -+⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭453331102255995223315155nn n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-<⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．点评：本题考查条件概率，考查随机事件的概率分布列和数学期望，难点是理解中奖规则，得出(21)P Y m =-和(2)P Y m =，考查了数据处理能力，运算求解能力，属于难题．。