2021届湖南省长郡中学高三月考理科数学试题Word版含答案

2021届湖南省长郡中学高三月考理科数学试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知i 是虚数单位，且集合*i -1|,N i 1n M z z n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭

，则集合M 的非空子集的个数为（ ） （A ）16 （B ）15 (C) 8 (D)7

（2）在正项等比数列{}n a 中，1321

,,22a a a 成等差数列，则91078

a a a a ++＝（ ） （A

）1 （B

）1

(C) 3+

(D)3-（3）已知命题()000:,0,34x x p x ∃∈-∞<；命题:0,,tan 2q x x x π⎛⎫∀∈> ⎪⎝⎭

.则下列命题中为真命题的是（ ） （A ）p q ∧ （B ）()p q ⌝∨ (C) ()p q ⌝∧ (D) ()p q ⌝

∧ （4）若tan 34πθ⎛⎫+=- ⎪⎝

⎭，则222sin cos θθ-＝（ ） （A ）65- （B ）75- (C) 65 (D)75

（5）已知+,R a b ∈，且直线60ax by +-=与直线2(3)50x b y +-+=互相平行，则23a b +的最小值为（ ）

（A ）12 （B ）25

(C) 13+

(D)12+

（6）对于常数k 定义()(),(),()k f x f x k f x k f x k

≥⎧=⎨<⎩，若()ln f x x x =-，则()()32f f e ＝（ ） （A ）3 （B ）e+1 (C)e (D)e-1

（7）已知椭圆22

:143

x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，椭圆C 上的点A 满足212AF F F ⊥.若点P 是椭圆C 上的动点，则12F P F A 的最大值为（ ）

（A

（B

(C) 94

(D)154 （8）已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的

正方形，如图所示，则该几何体的体积为（ ）

（A ）16 （B ）13

(C) 23 (D)56 （9）已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，

若圆俯视图侧视图正视图

C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则实数m 的取值范围是（ ）

（A ）[]5,7 （B ）[]4,6 (C) []4,7 (D)[]3,5

（10）已知实数,x y 满足约束条件()000x x y a x y a ≥⎧⎪-≤>⎨⎪+≤⎩，若z x ay =+的最大值为2，

则2m m +>的最小值为（ ）

（A

（B

）

(C) (D)6

（11）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos 2c B a b =+，若△ABC

ab 的最小值为（ ）

（A ）12 （B ）1

3 (C) 16 (D)3

（12）已知函数2ln ,0()41,0

x x f x x x x ⎧>⎪=⎨++≤⎪⎩，若关于x 的方程2()()0f x bf x c -+=(),R b c ∈有8个不同的实数根，则b c +的取值范围是（ ）

（A ）()1,3 （B ）()2,3 (C)()0,2 (D)()0,3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.

（13）在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且12AN NC =

，P 是BN 上的一点，若29AP mAB AC =+，则实数m 的值为_____________.

（14）设函数()y f x =在其图象上任意一点00(,)x y 处的切线方程为0y y -=()20036x x -()0

x x -，且(3)0f =，则不等式10()

x f x -≥的解集为_____________. （15）已知双曲线()2

22:410x C y a a

-=>

，抛物线2:2E y px =的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线1:4360l x y -+=和2:1l x =-的距离之和的最小值为_____________.

（16）已知()f n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，则(9)9f =；10的因数有1,2,5,10，则(10)5f =，那么()2016(1)(2)(3)21f f f f ++++-＝_____________.

三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分）

若函数()21()sin cos 02

f x ax ax ax a =->的图象与直线y b =相切，并且切点的横坐标依次成公差

为

2

π的等差数列. （I ）求,a b 的值； （II ）若00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且0x 是()y f x =的零点，求函数()f x 在区间00,2x x π⎡⎤+⎢⎥⎣

⎦上的单调递增区间.

（18）（本小题满分12分）

已知*N n ∈，数列{}n d 满足()

312n n d +-=，数列{}n a 满足1232n n a d d d d =++++；又在数列{}n b 中

12b =，且对*,N m n ∀∈，m n n

m b b =. （I ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；

（II ）将数列{}n b 中的第1a 项、第2a 项、第3a 项、…、第n a 项删去后，剩余的项按从小到大的顺序排列成新的数列{}n c ，求数列{}n c 的前2016项的和2016T .

（19）（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB AD ===,四边形ABCD 满足AB AD ⊥，//BC AD ，4BC =，点M 为PC 的中点，点E 为BC 上的动点，且

BE EC λ=. （I ）求证：平面ADM ⊥平面PBC ；

（II ）是否存在实数λ,使得二面角P DE B --的余弦值为

23？若存在，求出实数λ的值；若不存在，说明理由.

P M E D C

B A