信号与系统郑君里第二版第四章课件
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1.拉普拉斯变换的存在定理
若函数满足以下条件： (1) 在t≥0的任一有限区间上分段连续； (2) 在t→+∞时，f(t)的增长速度不超过某一指数 函数，即存在常数M >0及α≥0，使得下式成立
f (t) Met 0t
则称f(t)的增大是指数级的，其拉氏变换在Re|s|>α 的范围内一定存在
2.拉氏变换的收敛域
f( )lim f(t)lim s(F s)
t
s 0
4.3 拉普拉斯逆变换
1 查表法
例：已F知 (s)2ss2249ss188,求其拉氏反变换。 解： 将F(s)表示为常用信号变的换拉形氏式，即：
F(s)2(ss2)2222
查表得：
22(t)
所以：
(ss2 )2222 e2tco2tsu(t)
f( t) L 1 [F (s ) ] 2( t) e 2 tc2 o tu ( t s )
2 部分分式展开法
4.4 系统的复频域分析
4.4.1 微分方程的复频域分析法
➢ 首先对描述系统输入输出关系的微分方程进 行拉氏变换，得到一个代数方程
➢ 求出的响应象函数包含了零输入响应和零状 态响应
➢ 再经过拉氏反变换可以很方便地得到零输入 响应、零状态响应和全响应的时域解。
例 描述LTI系统的微分方程为：
若 f(t)F(s)
则 d f (t) sF(s) f (0) dt
f (n)(t) snF(s)sn1 f (0) sn2 f '(0) f n1(0)
4.2.5 积分特性
若 f(t)F(s)
则
t f ( )d F(s)
s
4.2.6 时间尺度变换特性
若 f(t)F(s)
则
f(a)t 1 aF(a s) a0
t
u(t)u(t)为 0<t<τ时间范围内的脉冲信号，欲
使上式成立，σ0 取 任 何 值 时 均 可 使 上 式 成 立 ， 故 收敛域为全s平面，写成σ0 >- ∞或Re(s)>- ∞
4.1.3 常用信号的单边拉氏变换
1பைடு நூலகம்单位跃阶信号
F(s)Lu(t) estd test 1
0
s 0 s
4.4.2 电路的复频域方程
1 电路元件的复频域模型 (1) 电阻
电阻元件的时域伏安关系为：
v(t)Ri(t)
对上式取拉氏变换，得：
V(s)RI(s)
(2) 电容元件
电容元件的时域伏安关系为：
t
vc
(t)
1 c
0 ic()d
或：
ic
(t)
c
dvc(t) dt
Vc (s)
1 c
Ic
(s)
s
ic
uL(s)LLi(0)sLLI(s) 或IL(s)iL(s0)s1LUL(s)
2 电路系统的s域分析
在对线性连续电路系统的复域分析中，一般步骤如下：
（1）根据换路前的电路（即 时的电路）求 时刻电感 的初始电流 和电容的初始电压 。 （2）求电路激励（电源）的拉氏变换（即像函数）。 （3）画出换路后电路（即 时的电路）的 域电路模型。 （4）应用节点法、回路法以及电路的各种等效变换、 电路定理，对 于电路模型列写方程组，并求解此方程 组，从而求得全响应解的像函数。 （5）对所求得的全响应解的像函数进行拉普拉斯反变 换，即得时域中的全响应解。
实践证明，若把积分变换从频域推广到 复频域，就能克服傅里叶变换的上述缺点。
4.1.1 拉普拉斯变换的定义
从第三章可知，当f(t)满足狄里赫利条 件时，便存在一对傅里叶变换式：
F() f (t)ejt dt -
f (t) 1 F()e jt d
2
4.1.2 拉普拉斯变换的存在定理与收敛性
第4章 连续信号与系统的复频 域分析
➢拉普拉斯变换 ➢拉普拉斯变换的性质 ➢拉普拉斯逆变换 ➢系统的复频域分析 ➢连续系统函数与系统特性 ➢利用MATLAB进行连续系统的 复频域分析
4.1拉普拉斯变换
从第三章可知，傅里叶变换分析法在信 号分析和处理等方面十分有效。但在应用时， 许多信号并不满足绝对可积条件，或者不存 在傅里叶变换，因此，傅里叶变换的运用受 到一定的限制。
4.2.7 时域卷积特性
若 f1(t) F 1(s)f,2(t) F 2(s)，则： f1(t)f2(t) F 1(s)F 2(s)
4.2.8 初值定理和终值定理
初值定理：
若f(t)F(s),且f(t)连续可导，则：
f(0)lim f(t)lis m F (s)
t 0
s
终值定理：
若f(t)F(s),且f(t)连续可导，则：
0
s
s0
s0
0
所以：
Ltnu(t)nLtn1u(t) s
表4-1 常用信号的拉氏变换
4.2 拉普拉斯变换的性质
4.2.1 线性性质
若 f 1 ( t) F 1 ( s ),f2 ( t) F 2 ( s )
则对于a1 任 和 a2,有 意常数 a1f1(t)a2f2(t) a1F 1(s)a2F 2(s)
连续信号f(t)的拉普拉斯变换式F(s)是否存 在，取决于
limf(t)et 0
t
在s平面上满足上式的 的取值范围，称为
f(t)或F(s)的收敛域
j
收 敛 轴
0 0收
敛 坐 标
收敛域
图4-1 收敛域的划分
例：计算下列信号拉氏变换的收敛域
u(t)u(t)
解：
li[m u (t) u (t)e ] 0 t 0
4.2.2 延时特性
若 f(t)F(s) 则对于任t意 0,有实常数
f(tt0)u(tt0)F(s)es0t
4.2.2 延时特性
若 f(t)F(s) 则对于任t意 0,有实常数
f(tt0)u(tt0)F(s)es0t
4.2.3 复频移特性
若 f(t)F(s)
则
f(t)eatF(sa)
4.2.4 微分特性
( 1)
(0
)
s
Ic (s) vc (0 )
sc
s
或：I c ( s ) scV c ( s ) cv c ( 0 )
(3) 电感元件
电感元件的时域电路模型如图4-2所示，其时域的 伏安关系为：
uL(t)
LdiL(t) dt
或
iL(t)
iL(0)
1 L
t
0 uL()d
将上式两边取拉氏变换，得：
0 si ntes
td t
ejt ejt 0 2j
es
tdt
1 1 1 2jsjsjs22
即： sintu(t) s2 2
5.t的正幂信号
F(s)Ltnu(t)tnesd t t 0
利用分部积分法，得：
tne sd t ttne stn tn 1e sd t tn tn 1e sd t t
即：
u(t) 1 s
2.单位冲激信号
F (s) L(t) (t)e sd t t (t)d t1
0
0
即：
(t) 1
3.指数信号
F (s) Le au t(t) e ae t sd t t1
0
s a
即：
eatu(t) 1 sa
4.正弦信号
F(s)L
si ntu(t)
若函数满足以下条件： (1) 在t≥0的任一有限区间上分段连续； (2) 在t→+∞时，f(t)的增长速度不超过某一指数 函数，即存在常数M >0及α≥0，使得下式成立
f (t) Met 0t
则称f(t)的增大是指数级的，其拉氏变换在Re|s|>α 的范围内一定存在
2.拉氏变换的收敛域
f( )lim f(t)lim s(F s)
t
s 0
4.3 拉普拉斯逆变换
1 查表法
例：已F知 (s)2ss2249ss188,求其拉氏反变换。 解： 将F(s)表示为常用信号变的换拉形氏式，即：
F(s)2(ss2)2222
查表得：
22(t)
所以：
(ss2 )2222 e2tco2tsu(t)
f( t) L 1 [F (s ) ] 2( t) e 2 tc2 o tu ( t s )
2 部分分式展开法
4.4 系统的复频域分析
4.4.1 微分方程的复频域分析法
➢ 首先对描述系统输入输出关系的微分方程进 行拉氏变换，得到一个代数方程
➢ 求出的响应象函数包含了零输入响应和零状 态响应
➢ 再经过拉氏反变换可以很方便地得到零输入 响应、零状态响应和全响应的时域解。
例 描述LTI系统的微分方程为：
若 f(t)F(s)
则 d f (t) sF(s) f (0) dt
f (n)(t) snF(s)sn1 f (0) sn2 f '(0) f n1(0)
4.2.5 积分特性
若 f(t)F(s)
则
t f ( )d F(s)
s
4.2.6 时间尺度变换特性
若 f(t)F(s)
则
f(a)t 1 aF(a s) a0
t
u(t)u(t)为 0<t<τ时间范围内的脉冲信号，欲
使上式成立，σ0 取 任 何 值 时 均 可 使 上 式 成 立 ， 故 收敛域为全s平面，写成σ0 >- ∞或Re(s)>- ∞
4.1.3 常用信号的单边拉氏变换
1பைடு நூலகம்单位跃阶信号
F(s)Lu(t) estd test 1
0
s 0 s
4.4.2 电路的复频域方程
1 电路元件的复频域模型 (1) 电阻
电阻元件的时域伏安关系为：
v(t)Ri(t)
对上式取拉氏变换，得：
V(s)RI(s)
(2) 电容元件
电容元件的时域伏安关系为：
t
vc
(t)
1 c
0 ic()d
或：
ic
(t)
c
dvc(t) dt
Vc (s)
1 c
Ic
(s)
s
ic
uL(s)LLi(0)sLLI(s) 或IL(s)iL(s0)s1LUL(s)
2 电路系统的s域分析
在对线性连续电路系统的复域分析中，一般步骤如下：
（1）根据换路前的电路（即 时的电路）求 时刻电感 的初始电流 和电容的初始电压 。 （2）求电路激励（电源）的拉氏变换（即像函数）。 （3）画出换路后电路（即 时的电路）的 域电路模型。 （4）应用节点法、回路法以及电路的各种等效变换、 电路定理，对 于电路模型列写方程组，并求解此方程 组，从而求得全响应解的像函数。 （5）对所求得的全响应解的像函数进行拉普拉斯反变 换，即得时域中的全响应解。
实践证明，若把积分变换从频域推广到 复频域，就能克服傅里叶变换的上述缺点。
4.1.1 拉普拉斯变换的定义
从第三章可知，当f(t)满足狄里赫利条 件时，便存在一对傅里叶变换式：
F() f (t)ejt dt -
f (t) 1 F()e jt d
2
4.1.2 拉普拉斯变换的存在定理与收敛性
第4章 连续信号与系统的复频 域分析
➢拉普拉斯变换 ➢拉普拉斯变换的性质 ➢拉普拉斯逆变换 ➢系统的复频域分析 ➢连续系统函数与系统特性 ➢利用MATLAB进行连续系统的 复频域分析
4.1拉普拉斯变换
从第三章可知，傅里叶变换分析法在信 号分析和处理等方面十分有效。但在应用时， 许多信号并不满足绝对可积条件，或者不存 在傅里叶变换，因此，傅里叶变换的运用受 到一定的限制。
4.2.7 时域卷积特性
若 f1(t) F 1(s)f,2(t) F 2(s)，则： f1(t)f2(t) F 1(s)F 2(s)
4.2.8 初值定理和终值定理
初值定理：
若f(t)F(s),且f(t)连续可导，则：
f(0)lim f(t)lis m F (s)
t 0
s
终值定理：
若f(t)F(s),且f(t)连续可导，则：
0
s
s0
s0
0
所以：
Ltnu(t)nLtn1u(t) s
表4-1 常用信号的拉氏变换
4.2 拉普拉斯变换的性质
4.2.1 线性性质
若 f 1 ( t) F 1 ( s ),f2 ( t) F 2 ( s )
则对于a1 任 和 a2,有 意常数 a1f1(t)a2f2(t) a1F 1(s)a2F 2(s)
连续信号f(t)的拉普拉斯变换式F(s)是否存 在，取决于
limf(t)et 0
t
在s平面上满足上式的 的取值范围，称为
f(t)或F(s)的收敛域
j
收 敛 轴
0 0收
敛 坐 标
收敛域
图4-1 收敛域的划分
例：计算下列信号拉氏变换的收敛域
u(t)u(t)
解：
li[m u (t) u (t)e ] 0 t 0
4.2.2 延时特性
若 f(t)F(s) 则对于任t意 0,有实常数
f(tt0)u(tt0)F(s)es0t
4.2.2 延时特性
若 f(t)F(s) 则对于任t意 0,有实常数
f(tt0)u(tt0)F(s)es0t
4.2.3 复频移特性
若 f(t)F(s)
则
f(t)eatF(sa)
4.2.4 微分特性
( 1)
(0
)
s
Ic (s) vc (0 )
sc
s
或：I c ( s ) scV c ( s ) cv c ( 0 )
(3) 电感元件
电感元件的时域电路模型如图4-2所示，其时域的 伏安关系为：
uL(t)
LdiL(t) dt
或
iL(t)
iL(0)
1 L
t
0 uL()d
将上式两边取拉氏变换，得：
0 si ntes
td t
ejt ejt 0 2j
es
tdt
1 1 1 2jsjsjs22
即： sintu(t) s2 2
5.t的正幂信号
F(s)Ltnu(t)tnesd t t 0
利用分部积分法，得：
tne sd t ttne stn tn 1e sd t tn tn 1e sd t t
即：
u(t) 1 s
2.单位冲激信号
F (s) L(t) (t)e sd t t (t)d t1
0
0
即：
(t) 1
3.指数信号
F (s) Le au t(t) e ae t sd t t1
0
s a
即：
eatu(t) 1 sa
4.正弦信号
F(s)L
si ntu(t)