牛莱公式及简单定积分计算
牛莱公式与定积分计算
π
例4
求
2
0
sin 4
x
cos
xdx.
或 1e2x dx 0
解 令sin x t，则cos xdx dt，
当x 0时，t 0，当x π时，t 1，则 2
π
所以 2 sin4 x cos xdx 0
1 t 4dt
0
1 5
t
5
1 0
1. 5
π
π
方法二
2
0
sin4
x
cos
xdx
2
0
sin4
上述公式称为定积分的换元积分公式，简称换元公式.
注意：
(1)定积分的换元法在换元后，积分上，下限也要作相 应的变换，即“换元必换限”.
(2)在换元之后，按新的积分变量进行定积分运算，不 必再还原为原变量.
(3)新变元的积分限可能α>β，也可能α<β，但一定要求
满足 ( ) a,( ) b，即 t 对应于 x a ，t 对应于 x b .
1 0
201 et dt
2[e et
2e (e
1
]
0
1)
2.
练习：P120 3（11）
小结：牛—莱公式，定积分换元积 分法和分部积分法
作业：P120 3（1）、（9）、（10）
b a
f
( x)dx
F ( x)
b a
F(b) F(a).
上式称为牛顿-莱布尼茨公式.
牛顿－莱布尼茨公式揭示了定积分与不定积 分之间的内在联系,并提供了计算定积分的简便 的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积 函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在 区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可. 该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，.
定积分计算公式大全
定积分计算公式大全一、定积分的基本公式。
1. 牛顿 - 莱布尼茨公式（Fundamental Theorem of Calculus）- 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F(x)是f(x)的一个原函数，即F^′(x) = f(x)，那么∫_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)。
- 例如：计算∫_1^2x^2dx，因为F(x)=(1)/(3)x^3是f(x) = x^2的一个原函数，所以∫_1^2x^2dx=(1)/(3)x^3big_1^2=(1)/(3)×2^3-(1)/(3)×1^3=(8)/(3)-(1)/(3)=(7)/(3)。
2. 定积分的线性性质。
- ∫_a^b[k_1f(x)+k_2g(x)]dx = k_1∫_a^bf(x)dx + k_2∫_a^bg(x)dx，其中k_1,k_2为常数。
- 例如：计算∫_0^1(2x + 3x^2)dx，根据线性性质∫_0^1(2x+3x^2)dx =2∫_0^1xdx+3∫_0^1x^2dx。
- 因为∫_0^1xdx=(1)/(2)x^2big_0^1=(1)/(2)，∫_0^1x^2dx=(1)/(3)x^3big_0^1=(1)/(3)，所以∫_0^1(2x + 3x^2)dx=2×(1)/(2)+3×(1)/(3)=1 + 1=2。
二、定积分的换元积分法。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数x = φ(t)满足条件：1. φ(α)=a,φ(β)=b；2. φ(t)在[α,β]（或[β,α]）上具有连续导数，且其值域R_φ⊆[a,b]，则∫_a^bf(x)dx=∫_α^βf[φ(t)]φ^′(t)dt。
例如：计算∫_0^4(dx)/(1 + √(x))。
令t=√(x)，则x = t^2，dx = 2tdt。
当x = 0时，t = 0；当x = 4时，t=2。
所以∫_0^4(dx)/(1+√(x))=∫_0^2(2t)/(1 + t)dt=2∫_0^2(t + 1-1)/(1 + t)dt=2∫_0^2(1-(1)/(1 + t))dt=2<=ft[t-ln(1 + t)]big_0^2=2(2-ln3)三、定积分的分部积分法。
牛莱公式
n
1
i1 1 i
2
1 n
n
1 0
1
1 x
2
dx
[arctan x]10
lim
n
i
p
1
n i1 n n
1 x pdx 0
x p
p 1
1
10
1 p 1
arctan1
4
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另一方面, 质点从某时刻 a 到时刻 b 所经过的路
程记为 s(b)- s(a), 则 s(t) v(t), 于是
s
s(b)
s(a).
注意到路程函数 s(t) 是速度函数 v (t ) 的原函数,
因此把定积分与不定积分联系起来了, 这就是下
面的牛顿—莱布尼茨公式.
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1
lim
n
(1
1 )(1 n
2 )L n
(1
n n
)
n
elim n
an
e2ln21 4 .
e
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n n
例6 求
lim
n
i 1
n2
i2
例7.求
1p lim
n
2p n p1
np
( p 0)
lim
n
1
2
1 x2
2 0
arcsin
x
2 0
2
3
6
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例4
求 lim n
(十)牛莱公式
的面积 . 解: A= ∫ sin xdx
0
π
y
y =sin x
= −cos x
π
0
= − 1−1] = 2 o [−
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π x
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备用题
1. 设
1 2
求
解： 定积分为常数 , 故应用积分法定此常数 . 设
∫0
f (x)d x = a ,
∫0
f (x)d x = b , 则
定理2. 定理 函数 , 则
∫a f (x)dx = F(b) − F(a) ( 牛顿 - 莱布尼兹公式)
故
x a
b
证: 根据定理 1,
F(x) = ∫ f (x)dx +C
因此 得
记作
∫a f (x)dx = F(x) − F(a)
x
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例1. 计算
3 dx = arctan x 解: ∫ = arctan 3−arctan(−1 ) 2 − 1+ x 1 −1 π π 7 = −(− ) = π 3 4 12 例2. 计算正弦曲线
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例1. 计算 解: 令 x= asint , 则 dx = acost dt , 且
, 当x = 0时 t = 0; x = a 时 t = π . , 2
∴ 原式 =
2 2 2 a 0 cos tdt 2 π
∫πy源自y = a −x2
2
a 2 = ∫ (1+cos2t)dt 2 0
1 3 2 = ∫ (t +3)dt 21 3 1 13 = ( t +3t ) 2 3 1
牛顿莱布尼茨公式与积分运算
牛顿莱布尼茨公式与积分运算知识点：牛顿-莱布尼茨公式与积分运算一、牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是微积分基本定理的表述，它建立了微分学与积分学之间的联系。
公式如下：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且在区间(a, b)内可导，那么函数f(x)在区间[a, b]上的定积分可以表示为：∫(from a to b) f(x)dx = F(b) - F(a)其中，F(x)是f(x)的一个原函数，即F’(x) = f(x)。
二、积分运算的基本性质1.线性性质：设f(x)和g(x)是两个可积函数，α和β是两个常数，则有：∫(from a to b) (αf(x) + βg(x))dx = α∫(from a to b) f(x)dx + β∫(from a to b) g(x)dx2.保号性：如果f(x)在区间[a, b]上非负（非正），则∫(from a to b)f(x)dx非负（非正）。
3.可加性：如果f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，且它们的区间分界点相同，那么：∫(from a to b) f(x)dx + ∫(from a to b) g(x)dx = ∫(from a to b) (f(x) + g(x))dx4.换元积分法：设 Integration variable change : x = g(t)，dx = g’(t)dt，则有：∫(from a to b) f(x)dx = ∫(from g(a) to g(b)) f(g(t))g’(t)dt三、积分运算的基本公式1.幂函数的积分公式：∫(from a to b) x^n dx = (1/n+1)x^(n+1) + C，其中C为积分常数。
2.指数函数的积分公式：∫(fro m a to b) e^x dx = e^x + C。
3.对数函数的积分公式：∫(from a to b) ln|x| dx = ln|x| + C。
3牛顿-莱布尼兹公式
2
,
f ( x ) 0, ( x 0)
( x t ) f ( t ) 0,
F ( x ) 0 ( x 0).
0 f ( t )dt 0,
x
x
0 ( x t ) f ( t )dt 0,
故F ( x ) 在(0, ) 内为单调增加函数.
b
n
0
i 1
a
特殊和式的极限
定理1
定理2
f ( x ) 0, f ( x ) 0,
a f ( x )dx A b a f ( x )dx A
b
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积的负值
性质5 性质6 性质7 问题的提出: 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 设某物体作直线运动，已知速度v v ( t ) 是时 t 的一个连续函数，且v ( t ) 0 ， 间间隔[T1 , T2 ]上 求物体在这段时间内所经过的路程. 变速直线运动中路程为
定积分的定义 存在定理 定积分的几何 意义 性质1 性质2 性质3 性质4
lim f ( i )xi f ( x )dx
b
n
0
i 1
a
特殊和式的极限
定理1
定理2
f ( x ) 0, f ( x ) 0,
a f ( x )dx A b a f ( x )dx A
则 F ( x ) a ( x ) f ( t )dt 的导数F ( x ) 为
F ( x ) d b( x ) f ( t )dt f b( x )b( x ) f a( x )a( x ) a ( x ) dx
b( x )
例1
求
牛顿莱布尼兹公式
牛顿莱布尼兹公式牛顿-莱布尼兹公式是微积分中的一个重要公式，它用于计算定积分。
该公式是由英国科学家艾萨克·牛顿和德国数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼兹独立发现的。
牛顿-莱布尼兹公式可以用来计算定积分，其中定积分是指在给定区间上的函数曲线下的面积。
定积分表示了一个函数的积分，即该函数在区间上的所有小的面积之和。
假设$f(x)$是在闭区间$[a,b]$上连续的函数，那么牛顿-莱布尼兹公式可以写作：$$\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$$其中$F(x)$是$f(x)$的一个原函数。
原函数是指对于给定函数的导数。
为了更好地理解牛顿-莱布尼兹公式，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设我们想要计算函数$f(x)=2x$在区间$[1,3]$上的定积分。
根据牛顿-莱布尼兹公式，我们需要找到$f(x)$的原函数$F(x)$。
在这个例子中，$f(x)$的原函数$F(x)$可以是任何使得$F'(x)=2x$成立的函数。
我们知道，$x^2$是$f(x)$的一个原函数，因为它的导数是$2x$。
因此，我们可以将牛顿-莱布尼兹公式应用于此问题，从而计算得到：$$\int_{1}^{3} (2x) dx = x^2 \Big，_{1}^{3} = 9 - 1 = 8$$所以，函数$f(x)=2x$在区间$[1,3]$上的定积分是8牛顿-莱布尼兹公式的重要性在于它提供了计算定积分的一种直观方法。
它意味着我们只需要找到函数$f(x)$的一个原函数$F(x)$，然后通过求解原函数在给定区间上的差值来计算定积分。
这种方法比使用Riemann和或其他数值方法进行数值积分更为简便，特别是当给定函数的原函数可以表示为一般公式时。
值得注意的是，牛顿-莱布尼兹公式假定给定函数在指定区间上是连续的，且存在原函数。
如果给定函数并不满足这些要求，那么该公式将不再适用。
此外，当函数在一些点上非连续或不可导时，必须进行其他方法的考虑。
4 定积分概念及牛顿莱布尼茨公式[优质PPT]
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f
( x)dx
M
由闭区间上连续函数的介值定理知
在区间[a, b]上至少存在一个点 ，
使
f
()
b
1
a
b
a
f
(
x)dx,
即
b
a f ( x)dx
f ( )(b a).
(a b)
积分中值公式的几何解释：在区间[a, b]上至少存在一
y
个点 ，使得以区间[a,b]为
n
n
A Ai f (i )xi
i1
i1
4) 取极限. 当分割无限加细时，
则曲边梯形面积
n
A
lim
0
i1
Ai
n
lim
0
i1
f
( i
)xi
y o a x1 xi1 xi
i
实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动, 已知速度
且
求在运动时间内物体所经过的路程 s.
0
0
解 令 f (x) ex, g(x) x, x [2, 0]
当x[2,0]时，f (x) g(x)
0
2
f
(x)dx
0
2
g ( x)dx,
0 e xdx
0
xdx,
2
2
于是
2 e xdx
2
xdx.
0
0
性质5（估值性质）
设M 及m 分别是函数
第二换元积分法：(根式换元、三角换元）
(1) a2 x2 令x asin t; (2) a2 x2 令x a tant; (3) x2 a2 令x asec t.
牛顿布莱尼茨公式是什么推导过程有哪些
⽜顿布莱尼茨公式是什么推导过程有哪些⽜顿布莱尼茨公式通常也被称为微积分基本定理，揭⽰了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。
那么，⽜顿布莱尼茨公式是什么呢？下⾯⼩编整理了⼀些相关信息，供⼤家参考！⽜顿布莱尼茨公式⽜顿-莱布尼兹公式,⼜称为微积分基本定理,其内容是：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b]上可积,且从a到b的定积分（积分号下限为a上限为b）：∫f(x)dx=F(b)-F(a)其意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了⼀个完善、令⼈满意的⽅法.⽜顿布莱尼茨公式证明过程证明：设：F(x)在区间(a,b)上可导,将区间n等分,分点依次是x1,x2,…xi…x(n-1),记a=x0,b=xn,每个⼩区间的长度为Δx=(b-a)/n,则F(x)在区间[x(i-1),xi]上的变化为F(xi)-F(x(i-1))(i=1,2,3…)当Δx很⼩时,F(x1)-F(x0)=F’(x1)*ΔxF(x2)-F(x1)=F’(x2)*Δx……F(xn)-F(x(n-1))=F’(xn)*Δx所以,F(b)-F(a)=F’(x1)*Δx+ F’(x2)*Δx+…+ F’(xn)*Δx当n→+∞时,∫(a,b)F’(x)dx=F(b)-F(a)⽜顿布莱尼茨公式意义⽜顿-莱布尼茨公式的发现，使⼈们找到了解决曲线的长度，曲线围成的⾯积和曲⾯围成的体积这些问题的⼀般⽅法。
它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或⼀定精度的近似值。
⽜顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之⼀。
它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为⼀门真正的学科。
⽜顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主⼲，利⽤⽜顿⼀莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第⼀中值定理和积分型余项的泰勒公式。
定积分概念及牛顿莱布尼茨公式 ppt课件
ppt课件
7
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
ppt课件
8
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
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9
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
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10
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
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15
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
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16
解决步骤 :
1) 分割. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b 用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
在区间
上的定积分,
记作
b
a
f
(x)
dx
即
b a
f
(
x)
dx
lim
0
n
i1
f
(i
)
xi
o
a x1
i
x xi1xi b
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
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21
积分上限
[a , b] 称为积分区间
b
n
a
f
( x) dx
lim
0 i1
我们可以用大大小小的矩形 将图形不断填充，但闪烁部分永 远不可能恰好为矩形，这些“边 角余料”无外乎是右图所示的 “典型图形”（必要时可旋转）
“典型图形”面积的计算问题就产生了定积分
牛莱公式
1 sin 2xdx
2 1 2sin x cos xdx
0
2 0
sin x cos x
2
dx 2 sin x cos x dx
0
2 cos x sin x0 0 1 1 0 2
求
例1 解
0 (2 cos x sin x 1)dx .
2
2
原式 2 sin x cos x x 0
3 . 2
例4. 计算
3 dx arctan x 解: arctan 3 arctan(1) 2 1 1 x 1 7 ( ) 3 4 12 例5. 计算正弦曲线
0 0
( sin x) 1 2e 2x
例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使
解: 原式 =
b 0.
c ≠0 , 故 a 1. 又由
～
c 1. ,得 2
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例3.
证明
只要证
在 证:
内为单调递增函数 .
F ( x) 0
x 0
x f ( x) f (t ) d t f ( x) t f (t ) d t
f [ ( x)] ( x) f [ ( x)] ( x)
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例1 求下列函数的导数
（1 ） 解
x e dt
x t2 a
x e
x2
（2）
解
sin t f x dt x t x sin t sin x x f dt x b t
牛顿莱布尼兹公式推导
牛顿莱布尼兹公式推导
牛顿-莱布尼兹公式，也称为莱布尼兹积分公式，是微积分中的一个重要公式，用于计算定积分。
这个公式的形式如下：\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) \]
其中，\( F(x) \) 是函数 \( f(x) \) 的一个原函数，\( a \) 和 \( b \) 分别是积分的下限和上限。
推导牛顿-莱布尼兹公式的基本思想是利用定积分的定义和导数的基本性质。
我们知道函数的导数是函数的变化率，那么如果我们有一个函数的导数，就可以通过对导数进行积分来得到原函数。
具体而言，设 \( F(x) \) 是函数 \( f(x) \) 的一个原函数，即 \( F'(x) = f(x) \)，那么根据牛顿-莱布尼兹公式的定义，我们有：
\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) \]
这个公式的意义在于，它将定积分与原函数联系起来，为我们提供了一种计算定积分的方法。
通过找到被积函数的原函数，我们可以避开直接计算积分，而是通过对原函数在积分区间两端的取值进行计算，从而得到定积分的值。
扩展说明：
牛顿-莱布尼兹公式是微积分中的基础公式之一，它为我们提供了计算定积分的一种便利的方法。
在实际应用中，牛顿-莱布尼兹公式常常用于计算不易通过初等函数积分得到的函数的定积分，同时
也为定积分的应用提供了数学工具。
此外，牛顿-莱布尼兹公式也为我们理解积分的几何意义提供了帮助，它可以用来计算曲线下的面积、物体的体积、质心、转动惯量等重要的物理量，因此在科学和工程领域具有广泛的应用。
牛-莱公式(12)
∫
b
a b
kf (x)dx = k∫ f (x)dx
a b a
b
线 性 性 质
(
∫ [ f (x) ± g(x)]dx= ∫
a c
f (x)dx ± ∫ g(x)dx
a
b
)
说明 可推广到有限多个函数代数和的情形. 可推广到有限多个函数代数和的情形. 性质3. 性质 有可 有可
b a c
性
∫
∫
b
a
b
f (x)dx =∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx
f (x)dx = F(x) = F(b) − F(a)
b a
求下列定积分． 求下列定积分．
1 2
例3
(1) ∫ ( x − 2 x + 3)dx
0
x (2) ∫ dx 0 1 + x2
1
2
(3) ∫
3 −1
2 − x dx
(1) 解：
∫
1 0
( x − 2 x + 3)dx
2
1 0
1 3 2 = ( x − x + 3 x) 3 1 =2 3
b
∫
a
f (x)dx ≤ ∫ g(x)dx
a
b b a
b
(不等性 不等性) 不等性
∫
a
f (x)dx ≤ ∫ f (x) dx (a < b).
3.4.2 牛顿－莱布尼兹公式 牛顿－ 在区间[ 上连续， 设函数f(x)在区间[a，b]上连续，F(x)是f(x)的 任一原函数， 任一原函数，则
∫
b a
解：
( x + 1) − 1 x (2) ∫ dx = ∫ dx 2 2 0 1+ x 0 1+ x
定积分牛顿莱布尼茨公式
定积分牛顿莱布尼茨公式定积分牛顿莱布尼茨公式是英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨共同提出的，为解决定积分题而提出的一个公式。
它的推导是基于不定积分的概念对定积分进行推广。
它具有简便、可行、易用的特点，在数学应用中得到广泛的应用。
定积分牛顿莱布尼茨公式可以将一个定积分表达式转换为定积分牛顿莱布尼茨公式，即：F（x）=∫a f（t)dt=F（a）+∑n [f（c_i）/N（x-a）]（x-a）/N其中，F（x）表示定积分的近似解，f（x）表示被积函数，c_i 表示各积分分段的中点，N表示各积分分段的划分个数，n表示定积分的分段数，a表示定积分的下限，x表示定积分的上限。
牛顿莱布尼茨公式的计算方法非常简单，可以将一个定积分表达式转换为一个牛顿莱布尼茨公式，只需要计算定积分分段的中点和划分个数。
牛顿莱布尼茨公式在解决定积分问题时的的优势具体体现在：1、可以实现较精确的求解：由于公式求得的定积分近似解是以定积分分段的中点和划分个数为基础，可以得到较高精度的解。
2、计算简便：牛顿莱布尼茨公式的计算过程简单易懂，只需要计算定积分分段的中点和划分个数，可大大简化定积分的求解过程。
3、实用性强：牛顿莱布尼茨公式的求解既可以在离散数据结果中应用，也可以在连续数据结果中应用，因此具有普遍的实用性和易用性。
定积分牛顿莱布尼茨公式自提出以来，便受到了学术界和专业界的普遍认可。
其应用范围广泛，可以用于许多不同领域，如统计学、经济学、信息学、物理学、力学等，扩大了定积分的求解范围。
另外，定积分牛顿莱布尼茨公式的教学价值也是非常重要的。
它的推导过程比较简单，可以帮助学生更好地理解定积分的概念，进一步提高学生利用定积分解决实际问题的能力。
定积分牛顿莱布尼茨公式代表了人类对定积分理解和应用的新高度，也标志着数学发展史上的一个里程碑。
它对数学研究、实际应用和数学教育都具有重要意义。
牛莱公式及简单定积分计算
.
四、简单定积分的计算----凑微法
例12
计算
2 cos5 x sin xdx.
0
解 t cos x, dt sin xdx, x t 0, x 0 t 1,
2
2 cos5 x sin xdx
0 t 5dt
t6 1 1.
0
1
66
例13 计算 0
sin 3
x
0
sin
即选项(B)正确.
五、综合题
(1) 求导数 例１已知函数 y y(x)由方程
y
1 t 2dt
x sin t 2dt
1
ln(1 x)dx 0
0
0
0
确定。求 y( x).
解 方程两边关于 x 求导数得
解得
1 y2 y sin x2 0 y sin x2
1 y2
例２ 已知 y y(x) 由参数方程
dx a
“ ” 中的表达式是一样的.
例1 求
d x sin tdt. dx a
解 根据上限函数求导数公式得
dx
dx a sin tdt sin x
定理 如果 f (t)连续，a( x)、b( x)可导，
则
F
(
x)
b( x)
a( x)
f
(t
)dt
的导数F (
x)
为
F( x) d b( x) f (t)dt f b( x)b( x) f a( x)a( x) dx a( x)
1 x2
dx
1 x
1 1
11 2
解 不正确. 被积函数在积分区间上为正,
但积分值是负的, 与积分性质矛盾.
因为
9.2牛顿-莱布尼茨公式
程记为 s(b)- s(a), 则 s(t) v(t), 于是
s
b
a
v(t )dt
s(b)
s(a).
注意到路程函数 s(t) 是速度函数 v (t ) 的原函数,
因此把定积分与不定积分联系起来了, 这就是下
面的牛顿—莱布尼茨公式.
定理9.1 (牛顿—莱布尼茨公式) 函数 f 在 [a, b] 上满足条件:
(i) f 在 [a, b] 上连续, (ii) f 在 [a, b] 上有原函数 F,
则
(1) f 在 [a, b] 上可积;
(2)
b
f
( x)dx
F(x)b
F (b)
F (a).
a
a
证 由定积分定义, 任给 0,要证存在 0,
n
当 T 时,有 f (i )xi F( b ) F( a ) .下面证 i1
J 2 dx 3 dx ln 2. 1 x 2 x1
注 这类问题的解题思想，是要把所求的极限转化为
某个函数f(x)在某一区间[a,b]上的积分和的极限，然后利用
牛顿—菜布尼茨公式计算 J
b
f ( x )dx的值.
a
思考. 用定积分表示下述极限 :
解:
I
dx x2
(
0
a
b
)；
4） sin xdx； 0
5）
2
x
4 x 2 dx .
0
解 其中1）—3）即为§1中的例题和习题，现在用 牛顿—菜布尼茨公式来计算就十分方便：
牛-莱公式
， F′( x ) = f ( x ) （或 dF( x ) = f ( x )dx ）
则称 F( x ) 为 f ( x ) 在 I 上的一个原函数 原函数。 原函数
牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数之间的内 牛顿—莱布尼兹公式 公式 在联系，它把定积分的计算问题转化为求原函数的问题， 从而给定积分的计算提供了一个简便而有效的方法。
也是 f ( x ) 的原函数。
另一方面，若 F( x ) 和 G ( x ) 都是 f ( x ) 的原函数，则
[G ( x ) − F( x )]′ = f ( x ) − f ( x ) = 0,
即 G ( x ) = F( x ) + C ，其中 C 是一个常数。由此可知，
，即 f ( x ) 的全体原函数可表示为 F( x ) + C （C 为任意常数）
（ 2） ∫ f ′( x ) dx = f ( x ) + C 或 ∫ df ( x ) = f ( x ) + C 。
（1）式表明，若先求积分，后求导数（或求微分） ，
则两者作用相互抵消。
（2）式表明，若先求导数（或求微分）后求积分，
则两者作用抵消后还留有积分常数 C。
性质 2
性质 3
∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx (K 为常数， k ≠ 0 )。 ∫ [f (x ) ± g(x )]dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g(x )dx 。
ax ( 6) d ( ) = a x dx, ln a
(1) ∫ 0dx = C ,
x α (2) ∫ x dx = + C (α ≠ −1), α +1 1 (3) ∫ dx = ln x + C , x
第5章定积分第2节牛莱公式
x
1
0
arctan1
4
13
230页8.(1) 用定积分的定义计算极限
lim
n
(
n
1 1 n1 n n2
1 ) n nn
lnim[
1 1
1
n
1 1 2
n
1 ] 1 1 n n n
1
1
1
d x 2 1 x 2 2 2
0 1 x
0
x n 1
)
f ( n )] 1 nn
1 f (x)d x
0
lim
n
(n2
n
12
n2
n
22
n) n2 n2
lnim[ 1
1 (
1
)2
1
1 (
2
)2
1
1 (
n
)2
]
1 n
n
n
n
x
1
xnn0n11
n
11xx2dxn1x1a0rct0an
y y f (x)
b
b
a f (x)d x a f (t)dt
( x)
oa x
是一个常数, 与积分变量的记号无关
x
x
b x是上(x)限 xa的f函( x数)d,与x积a分f变(t)量d t的记号无关
0 T1
t
T2 t
2
二、积分上限的函数及其导数
定理1.若 f ( x) 在[a,b] 上连续, 则变上限函数
x
cos x
[cos
0
cos0] 2
牛顿莱布尼茨公式计算定积分例题
牛顿莱布尼茨公式计算定积分例题【原创实用版】目录1.引言：牛顿 - 莱布尼茨公式的概述2.牛顿 - 莱布尼茨公式的公式表示3.定积分的计算方法4.例题解析：使用牛顿 - 莱布尼茨公式计算定积分5.结论：牛顿 - 莱布尼茨公式在定积分计算中的应用正文1.引言牛顿 - 莱布尼茨公式，又称为积分基本定理，是微积分领域的重要公式之一。
该公式阐述了定积分与原函数之间的关系，为定积分的计算提供了一种简便方法。
本篇文章将为大家介绍如何使用牛顿 - 莱布尼茨公式计算定积分，并通过例题进行解析。
2.牛顿 - 莱布尼茨公式的公式表示牛顿 - 莱布尼茨公式的公式表示如下：∫f(x)dx = F(x) + C其中，f(x) 为被积函数，F(x) 为 f(x) 的原函数，C 为积分常数。
3.定积分的计算方法定积分的计算方法主要有两种：一种是直接积分法，另一种是使用牛顿 - 莱布尼茨公式。
直接积分法适用于一些简单的被积函数，而牛顿 - 莱布尼茨公式则适用于更复杂的被积函数。
下面我们将通过一个例题，演示如何使用牛顿 - 莱布尼茨公式计算定积分。
4.例题解析：使用牛顿 - 莱布尼茨公式计算定积分例题：计算定积分∫(0, π) sin x dx解：首先，我们需要求出 sin x 的原函数。
我们知道，cos x 是 sin x 的一个原函数，即 d/dx (cos x) = -sin x。
因此，我们可以得到：∫sin x dx = -cos x + C接下来，我们根据定积分的定义，将上限和下限代入原函数，得到：∫(0, π) sin x dx = [-cos x] (π) - [-cos x] (0)将上限和下限代入，得到：∫(0, π) sin x dx = -cos π + cos 0最后，我们计算得到：∫(0, π) sin x dx = 25.结论通过以上例题，我们可以看到，使用牛顿 - 莱布尼茨公式计算定积分是一种简便且有效的方法。
定积分计算法Word版
1、牛顿—莱布尼)()(x F dx x f b aba==⎰2、定积分的换元法：设10 )('),(t t ϕϕ在[,βα 20 b a ==)(,)(βϕαϕ 30 )]([t f ϕ在[],βα则⎰⎰=βαϕf dx x f ba[)( 注：条件3值域不超出],[b a 来代替。
实际上代换)(t ϕ的值域可以超出],[b a ，如上图。
3、定积分的分部积分法：⎰⎰-=bababavdu uv udv ][注意事项：1、被积函数含绝对值记号。
例1：dx x ee ⎰1ln解：当x x x x eln |ln |,0ln ,11-=<<<时；当 x x x e x ln |ln |,0ln ,1=≥<≤时。
edx x dx x dx x eeee22ln )ln (ln 1111-=+-=∴⎰⎰⎰（分界点x=1处0ln =x ） 例2：⎰-4|3|dx x解：5)3()3(|3|4334=-+-=-⎰⎰⎰dx x dx x dx x例3：⎰-π53sin sin dx x x解：⎰⎰=-ππ23053|cos |sin sin sin dx x x dx x x⎰⎰=-+=πππ223202354)cos (sin cos sin dx x x xdx x 2、广义积分有推广的牛顿－莱布尼兹公式（1）如果)(x f 在),[b a 上连续，∞=-)0(b f ,原函数)(x F 在],[b a 上连续，则仍有⎰--==-bab a a F b F x F dx x f )()0()()(0（2）如果)(x f 在),[+∞a 上连续，)(x f 的原函数)(x F 适合)(lim x F x +∞→存在记为)(+∞F 则仍有⎰+∞∞+-+∞==aa a F F x F dx x f )()()()(。
例1：计算⎰≤≤-=aa x x dx a I 12)31(|2|)(解：① 当21<<a 时，在),1[a 上2222x x x x -=-，⎰-=-=-=aaa x xx dx a I 112)1arcsin()1arcsin(2)(。
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1 x2
dx
1 x
1 1
11 2
解 不正确. 被积函数在积分区间上为正,
但积分值是负的, 与积分性质矛盾.
因为
1 x2
在[1,1]
上不可积.
使用牛莱公式时,一定要注意被积函数在
积分区间上的可积性.
例 解
7
计算
2
1
2
1
cos
x22d1xc1os22xd2xco. 1s2
x
dx
tan
x 2
由积分中值定理得 F f ( )x [x, x x],
由极限性质知, lim F lim f ( )x 0
x0
x0
由连续函数定义知,
[a,b] 上连续.
函数F( x)
x
a
f
(t)dt 在
定理6.2.2 (连续函数的原函数存在定理）
如果 f ( x)在[a,b]上连续，则积分上限的函数
F
(
x
1,
则( )
x0
x 0,
F(x)
x
0
f
( t ) dt ,
x0
(A)F(x)在 x 0 点不连续. (B)F(x)在 (,)内连续, 在 x 0点不可导 (C)F( x)在(, ) 内可导, 且满足F(x) f (x) (D)F(x)在 (,)内可导, 但不一定满足
F( x) f ( x)
. 6
例15 设函数f (x)为连续的奇函数, 且已知
1 f (t)dt a,
0
求积分
1
0
f
( x ) dx x
的值.
解
1 f (
x)
1
dx 2 f (
x )d
1
x 2 f ( x )d
x
0
x
0
0
1
20 f (u)du 2a
例16 (030204)
设
tan x
x
I 1
4 0
x
dx,
练习：02 x x 1 dx
1
x(1 x)dx
0
2
x( x 1)dx 1
1
注意:当被积函数带有绝对值时,先去绝对值.
例11 求
2 max{x, x2 }dx.
2
x2
2 x0
解
f
(
x)
max{
x,
x
2
}
x
0 x1
原式
02 x2dx
01
x
2
xdx 12
1 x x2dx
2
11 2
证明 F(x)
0
b( x)
f (t)dt
a(x) 0
b( x)
a( x)
0 f (t)dt 0 f (t)dt,
F( x) f b( x)b( x) f a( x)a( x)
例 2 已知 F ( x) x2 etdt, 求F( x). 0
解 由上限函数的求导公式的
F ( x) e x2 ( x2 ) 2 xe x2
例6求
lim
n
n[ n2
1
12
n2
1
22
n2
1
n2 ]
解
原式 lim 1[
n n
1 12
1 22
1 n2
]
1 n2 1 n2
n2
11
0 1 x2 dx
arctan1 4
(4) 证明单调性、方程的根
例 7 设 f ( x)在(,)内连续，且 f ( x) 0.
证明函数
F
(
x)
x
0
x
tf
) x f (t)dt 在
a
F( x)
d
x
f
dx a
[a, b] 可导，且它的导数为
(t)dt f ( x) (a x b)
定理的重要意义：
(1)肯定了连续函数的原函数是存在的.
(2)初步揭示了积分学中的定积分与原函数
之间的联系.
证明 由定理6.2.1的证明知,
x x
F F( x x) F( x) f (t)dt, x
限的函数 F
证明 因为 f
x
((xx))在[aaf,
(t)dt 在 [a,b] 上连续. b]上可积，则 f ( x在) [a,
b]有界.
x x
F ( x x) a f (t)dt
F F( x x) F( x)
x x
f (t)dt
x
f (t)dt
a
a
x x
f (t)dt, x
d 1 et2 dt d cos x et2 dt,
dx cos x
dx 1
ecos2 x (cos x) sin x ecos2 x ,
lim
x0
1 et2 dt
cos x
x2
sin x 2e
(3) 利用牛顿莱布尼兹公式及定积分定 义求和式极限
解
当
x
0 时,
F(x)
x
0
f
(t )dt
x
0
(
1)dt
x
当 x 0时, 显然 F(0) 0;
当 x 0时,
F ( x)
x
0
f
(t )dt
x
0
1
dt
x
lim F ( x) lim F ( x) F(0)
x0
x00
F( x)在 x 0处连续
当 x 0时, F( x) 1 当 x 0时, F( x) 1 F(x)在 x 0处不可导. 故B正确
F( x)
0 x
0 2
0 f (t)dt
x
f ( x) ( x t) f (t)dt
0
x
2
,
0 f (t)dt
x
f ( x) 0, ( x 0) 0 f (t)dt 0,
( x t) f (t) 0,
x
0 ( x t) f (t)dt
0
F ( x) 0 ( x 0).
由函数 f (x) 的连续性和积分中值定理得
F f ( )x [x, x x],
F f ( ),
F
lim lim f ( )
x
x0 x x0
x 0, x F( x) f ( x).
证毕.
对区间端点的情况用单侧导数说明即可.
求上限函数的导数应注意:
( x) d
x
f (t)dt f ( x)
2 sin
25
x2
4.
5
05
5
2
例14 计算
3
解
原式
e4
e
3
e4
dx
e x
. ln x(1 ln x)
3
d(ln x)
e4
d(ln x)
ln x(1 ln x) e ln x (1 ln x)
3
3
e4
2 e
d ln x 2 arcsin( 1 ( ln x)2
ln x)
e4 e
dx a
“ ” 中的表达式是一样的.
例1 求
d x sin tdt. dx a
解 根据上限函数求导数公式得
dx
dx a sin tdt sin x
定理 如果 f (t)连续，a( x)、b( x)可导，
则
F
(
x)
b( x)
a( x)
f
(t
)dt
的导数F (
x)
为
F( x) d b( x) f (t)dt f b( x)b( x) f a( x)a( x) dx a( x)
第2节 牛莱公式与简单定 积分计算
一、 问题的提出 二、 积分上限函数及其导数
三、牛顿—莱布尼茨公式
四、凑微法简单积分计算
五、小结
二、积分上限函数及其导数
设函数f ( x)在区间[a,b]上连续,x [a,b]
称 F(x) 性质：
x
a
f
(t )dt
为积分上限函数.
定理6.2.1 如果 f ( x)在[a,b]上可积，则积分上
c(c
0).
解 因为 x 0 时 ax sin x 0, 且
ax sin x
lim x0
x ln(1
b
t
t3) dt
0
故
lim x0
x
b
ln(1 t
t
3
)
dt
0(*)
若 b 0, 则在 (0,b]内 ln(1 t 3 ) 0;
5
xdx.
解
f (x)
3
sin3 x sin5 x cos x sin x2
sin3 x sin5 xdx
cos
x
sin
x
3
2
dx
0
3
2 cos xsin x2 dx
0
0
cos
xsin
x
3
2
dx
3
2 sin x2 d sin x
0
2
sin
x
3
2
d
sin
x
2
sin
5
x 2
2
I 2
4 0
tan
dx x
, 则(
)
( A) I I 1
1
2
(B)1 I I
1
2
(C ) I I 1
(D)1 I I
2
1
2
1