高三数学二轮复习汇编专题六函数与方程及函数的应用(无答案)(1)

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2024年新高考版数学专题1_3.5 函数与方程及函数的综合应用(分层集训)

A.2
B.3
答案 B
C.4
D.5
)
3.(2022南京师范大学附中期中,7)用二分法研究函数f(x)=x3+2x-1的零点
时,第一次计算,得f(0)<0,f(0.5)>0,第二次应计算f(x1),则x1等于 (
A.1
B.-1
答案 C
C.0.25
D.0.75
)
4.(多选)(2022湖南师大附中三模,11)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)=f(x
1.(2023届长春六中月考,7)若函数f(x)=ln x+x2+a-1在区间(1,e)内有零点,则
实数a的取值范围是 (
A.(-e2,0)
C.(1,e)
答案 A
B.(-e2,1)
D.(1,e2)
)
2.(2017课标Ⅲ,文12,理11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,
A型
0.4
3
B型
0.3
4
C型
0.5
3
D型
0.4
4
则保温效果最好的双层玻璃的型号是 (
A.A型
答案 D
B.B型
C.C型
D.D型
)
3.(2020课标Ⅲ理,4,5分)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行
病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数
I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=
1 e
K
0.23( t 53)
,其中K为最大确诊病例数.
当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3) (

高考数学二轮复习专题六函数与导数1.6.2函数与方程及函数的应用课件文

【解析】因为函数f(x)有3个零点,所以当x>0时,方程
ax-3=0有解,故a>0,所以当x≤0时,需满足

2 2a

0,
即0<a<1.综上,a的取值范围是(0,1).
4 4 a 0 ,
答案:(0,1)
热点题型2 函数与方程的综合应用【感悟经典】【典例】1.(2018·烟台一模)已知x1,x2(x1<x2)是函数 f(x)=ln x- 的两个零点,若a∈(x1,1),b∈(1,x2), 则( )
实根,则实数m的取x, x值范0, 围为 ( )
A.

x
2

x,x

0,B.
C.
D.
[ 1 ,1] 2
( 1 ,0) 4
[ 1 ,1 ) 2
( 1 ,0] 4
【解析】选C.作出函数y=f(x)的图象,如图所示.
当f(xx)>=0m时有,f三(x个)=不x2同-x的=(零x点12),2则-14,所<m以14<要0使,即函m数的取值范围
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数即为函数y=2x,y=2-x3在区间(0,1)内的图象的交点个数,作出图象(如图)即可知两个函数图象在区间 (0,1)内有1个交点,故原函数在区间(0,1)内的零点个数是1.
【提分备选】1.在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
4
( 1 ，1 ) 42
2.若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是____________.

高三数学二轮复习 2-5函数与方程、函数的应用

x2＋x＋2，x<0，－x)＝2，0≤x≤2，
x2－5x＋8，x>2，
作出该函数的图象
如图所示，由图可知，当74<b<2 时，直线 y＝b 与函数 y＝f(x)＋f(2－x)的图象有
4 个不同的交点，故函数 y＝f(x)－g(x)恰有 4 个零点时，b 的取值范围是74，2。
第22页
赢在微点无微不至
即 f(x)＝0 在区间[0,2]上有两个不同的实数根，其充要条件为
f0＝－a≤0， ff12＝＝llnn23＋－112－－aa≤>00，，
解得 ln3－1≤a<ln2＋12。所以方程 ln(x＋1)＝x2－32x
＋a 在区间[0,2]上有两个不同的实数根时，实数 a 的取值范围是ln3－1，ln2＋12。
考前顶层设计·数学文·二轮教案
答案 A
解析
令
f(x)
＝
ln(x
＋
1)
－
x2
＋
3 2
x
－
a
，
则
f′(x)
＝
1 x＋1
－
2x
＋
3 2
＝
－42x＋x＋51x－1。当 x∈[0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当 x∈(1,2]时，f′(x)<0，
f(x)单调递减。由于方程 ln(x＋1)＝x2－32x＋a 在区间[0,2]上有两个不同的实数根，
赢在微点无微不至
考前顶层设计·数学文·二轮教案
第二部分讲小题•通法＋技法
第1页
赢在微点无微不至
考前顶层设计·数学文·二轮教案
第五讲函数与方程、函数的应用学生用书P024

高三数学复习函数与方程函数的应用

内蒙古伊图里河高级中学高三数学复习：函数与方程、函数的应用主干知识整合1．函数的零点方程的根与函数的零点的关系：由函数的零点的定义可知，函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标．所以，方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．2．二分法用二分法求函数零点的一般步骤：第一步：确定区间[a ，b ]，验证f (a )·f (b )<0，给定精确度ε；第二步：求区间[a ，b ]的中点c ；第三步：计算f (c )：(1)若f (c )＝0，则c 就是函数的零点；(2)若f (a )·f (c )<0，则令b ＝c (此时零点x 0∈(a ，c ))； (3)若f (c )·f (b )<0，则令a ＝c (此时零点x 0∈(c ，b ))； (4)判断是否达到精确度ε：即若|a －b |<ε，则得到零点近似值a (或b )；否则重复(2)～(4)．3．函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转译成实际问题作出解答．要点热点探究探究点一函数的零点和方程根的分布例1 (1)[2011·天津卷] 对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，32B ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，－34 ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ ∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ (2)[2011·山东卷] 已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a ＞0，且a ≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________.(1)B (2)2【解析】 (1)f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2，x 2－2－()x －x 2≤1，x －x 2，x 2－2－()x －x 2>1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤32，x －x 2，x <－1，或x >32，则f (x )的图象如图．∵y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点， ∴y ＝f (x )与y ＝c 的图象恰有两个公共点，由图象知c ≤－2，或－1<c <－34.(2)本题考查对数函数的单调性与函数零点定理的应用．因为2<a <3，所以log a 2<1＝log a a <log a 3，因为3<b <4，所以b －2>1>log a 2，b －3<1<log a 3，所以f (2)·f (3)＝(log a 2＋2－b )(log a 3＋3－b )<0，所以函数的零点在(2,3)上，所以n ＝2.【点评】函数的零点、方程的根，都可以转化为函数图象与x 轴的交点，数形结合法是解决函数零点、方程根的分布、零点个数、方程根的个数的一个有效方法．在解决函数零点问题时，既要注意利用函数的图象，也要注意根据函数的零点存在定理、函数的性质等进行相关的计算，把数与形紧密结合起来．变式题：已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R)．(1)若函数f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，求a ，b 的值； (2)讨论方程f (x )＝0解的个数，并说明理由．【解答】 (1)因为f ′(x )＝x －a x(x >0)，又f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ln2＝2＋b ，2－a2＝1，解得a ＝2，b ＝－2ln2.(2)当a ＝0时，f (x )在定义域(0，＋∞)上恒大于0，此时方程无解．当a <0时，f ′(x )＝x －ax>0在(0，＋∞)上恒成立，所以f (x )在定义域(0，＋∞)上为增函数．因为f (1)＝12>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 1a ＝12e 2a－1<0，所以方程有唯一解．当a >0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝x ＋a x －ax，因为当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，f (x )在(0，a )内为减函数；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(a ，＋∞)内为增函数．所以当x ＝a 时，有极小值，即最小值f (a )＝12a －a ln a ＝12a (1－ln a )，当a ∈(0，e)时，f (a )＝12a (1－ln a )>0，此方程无解；当a ＝e 时，f (a )＝12a (1－ln a )＝0.此方程有唯一解x ＝a ，当a ∈(e ，＋∞)时，f (a )＝12a (1－ln a )<0，因为f (1)＝12>0且1<a ，所以方程f (x )＝0在区间(0，a )上有唯一解，因为当x >1时，(x －ln x )′>0，所以x －ln x >1，所以x >ln x ，f (x )＝12x 2－a ln x >12x 2－ax .因为2a >a >1，所以f (2a )>12(2a )2－2a 2＝0，所以方程f (x )＝0在区间(a ，＋∞)上有唯一解．所以方程f (x )＝0在区间(0，＋∞)上有两解．综上所述：当a ∈[0，e )时，方程无解；当a <0或a ＝e 时，方程有唯一解；当a >e 时方程有两解．【点评】含有参数的方程根的个数问题，需要重点研究三个方面的问题：一是函数的单调性；二是函数极值点的值的正负；三是区间端点的值的正负．探究点二二分法求方程的近似解例2 用二分法求方程ln x ＝1x在[1,2]上的近似解，取中点c ＝，则下一个有根区间是________．【分析】只要计算三个点x ＝1,,2的函数值，然后根据函数零点的存在定理进行判断即可．[,2] 【解析】令f (x )＝ln x －1x，f (1)＝－1<0，f (2)＝ln2－12＝ln2e>ln1＝0，f ＝－23＝13－2)；因为＝，e 2>4>，故f ＝13－2)<13(lne 2－2)＝0，f ·f (2)<0，所以下一个有根区间是[,2]．【点评】用二分法求方程近似解时，每一次取中点后，下一个有根区间的判断原则是：若中点函数值为零，则这个中点就是方程的解，若中点函数值不等于零，则下一个有根区间是和这个中点函数值异号的区间．在用二分法求方程的近似解时，有时需要根据精确度确定近似解，如下面的变式．变式题：若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f (1)＝－2 f ＝ f ＝－ f ＝－ f ＝f ＝－那么方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似根(精确到为( )A ．B ．C ．D ．C 【解析】由于f ＝－<0，f ＝>0，精确到，所以函数的正数零点为x ＝≈，故选C.探究点三函数模型及其应用（含导数解决实际问题）例3 [2011·湖南卷] 如图3－1，长方体物体E 在雨中沿面P (面积为S )的垂直方向作匀速移动，速度为v (v >0)，雨速沿E 移动方向的分速度为c (c ∈R)．E 移动时单位时间．．．．内的淋雨量包括两部分：(1)P 或P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v －c |×S 成正比，比例系数为110；(2)其他面的淋雨量之和，其值为12.记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离d ＝100，面积S ＝32时，(1)写出y 的表达式；(2)设0<v ≤10,0<c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．图3－1【解答】 (1)由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为320|v －c |＋12，故y ＝100v ⎝ ⎛⎭⎪⎫320|v －c |＋12＝5v (3|v －c |＋10)．(2)由(1)知，当0<v ≤c 时，y ＝5v (3c －3v ＋10)＝53c ＋10v－15；当c <v ≤10时，y ＝5v (3v －3c ＋10)＝310－3c v＋15.故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧53c ＋10v－15，0<v ≤c ，510－3cv＋15，c <v ≤10.①当0<c ≤103时，y 是关于v 的减函数．故当v ＝10时，y min ＝20－3c2.②当103<c ≤5时，在(0，c ]上，y 是关于v 的减函数；在(c,10]上，y 是关于v 的增函数．故当v ＝c 时，y min ＝50c.【点评】本题考查函数建模、分段函数模拟的应用．解决函数建模问题，首要的问题是弄清楚实际问题的意义，其中变量是什么，求解目标是什么，为了表达求解目标需要解决什么问题，这些问题清楚了就可以把求解目标使用一个变量表达出来．在函数模型中，含有绝对值的函数本质上是分段函数，解决分段函数问题时，要先解决函数在各个段上的性质，然后把各段上的性质整合为函数在其整个定义域上的性质．例4 [2011·山东卷] 某企业拟建造如图3－2所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l ≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c (c ＞3)千元．设该容器的建造费用为y 千元．(1)写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r .图3－2【解答】 (1)设容器的容积为V ，由题意知V ＝πr 2l ＋43πr 3，又V ＝80π3，故l ＝V －43πr 3πr 2＝803r 2－43r ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r . 由于l ≥2r ，因此0<r ≤2.所以建造费用y ＝2πrl ×3＋4πr 2c ＝2πr ×43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r ×3＋4πr 2c ，因此y ＝4π(c －2)r 2＋160πr，0<r ≤2.(2)由(1)得y ′＝8π(c －2)r －160πr2＝8πc －2r 2⎝ ⎛⎭⎪⎫r 3－20c －2，0<r ≤2.由于c >3，所以c －2>0，当r 3－20c －2＝0时，r ＝320c －2.令320c －2＝m ，则m >0，所以y ′＝8πc －2r2(r －m )(r 2＋rm ＋m 2)． ① 当0<m <2即c >92时，当r ＝m 时，y ′＝0；当r ∈(0，m )时，y ′<0；当r ∈(m,2]时，y ′>0. 所以r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点．②当m ≥2即3<c ≤92时，当r ∈(0,2]时，y ′<0，函数单调递减，所以r ＝2是函数y 的最小值点．综上所述，当3<c ≤92时，建造费用最小时r ＝2；当c >92时，建造费用最小时r ＝320c －2.规律技巧提炼1．根据方程的解和函数零点的关系，可以把方程和函数联系起来，通过函数的零点研究方程根的分布以及采用逐步缩小方程根所在区间的方法求方程的近似解(二分法)，但在实际中我们一般是求方程解的个数、或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围，这时数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都是我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f (x )，g (x )，即把方程写成f (x )＝g (x )的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系．2．二分法求方程的近似解的依据是函数的零点存在定理，当把方程的一个根锁定在区间(a ，b )上时，取区间的中点x ＝a ＋b2，则下一个有根的区间就是根据函数的零点存在定理进行判断的，即在f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2的符号与f (a )，f (b )的值异号的区间内．3．函数模型是一种重要的数学模型，解决函数建模的关键是找到一个影响求解目标的变量，使用这个变量把求解目标需要的量表达出来，这样就建立起了函数模型，然后通过研究这个函数的性质(单调性、最值、特殊点的函数值)等，对实际问题作出解释，其中研究函数的性质可以采用导数的方法．在解决实际应用问题的函数建模时，要注意根据问题的实际意义确定函数的定义域．教师备用例题备选理由：例1虽然难度不大，但很容易出错，就是忽视了x ＝6也是函数的零点，选此题的目的是考查学习思维的缜密性；例2考查综合使用指数函数、对数函数图象分析问题的能力，以及综合使用函数、不等式的知识解决问题的能力；例3是建立一个分段函数模型，这是高考中重点考查的一类函数建模，从2011年高考情况看，函数的实际应用问题有成为命题热点的趋势，建议在二轮复习中加大函数建模和解模的训练．例1 [2011·山东卷] 已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9【解析】 B 当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ＝x (x 2－1)＝0，所以当0≤x <2时，f (x )与x 轴交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1.当2≤x <4时，0≤x －2<2，则f (x －2)＝(x －2)3－(x －2)，又周期为2，所以f (x －2)＝f (x )，所以f (x )＝(x －2)(x －1)(x －3)，所以当2≤x <4时，f (x )与x 轴交点的横坐标为x 3＝2，x 4＝3；同理当4≤x ≤6时，f (x )与x 轴交点的横坐标分别为x 5＝4，x 6＝5，x 7＝6，所以共有7个交点．例2 若a >1，设函数f (x )＝a x＋x －4的零点为m ，g (x )＝log a x ＋x －4的零点为n ，则1m＋1n的取值范围是( )A ．(1，＋∞) B．[1，＋∞) C ．(4，＋∞)【解析】 B 如图所示，函数f (x )＝a x ＋x －4的零点是函数y ＝a x与函数y ＝4－x 图象交点A 的横坐标，函数g (x )＝log a x ＋x －4的零点是函数y ＝log a x 与函数y ＝4－x 图象交点B 的横坐标，由于指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，直线y ＝4－x 与直线y ＝x 垂直，故直线y ＝4－x 与直线y ＝x 的交点为(2,2)，即是A ，B 的中点，所以m＋n ＝4，所以1m ＋1n ＝14(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋m n ＋n m ≥1，当且仅当m ＝n ＝2时等号成立，此时只要a ＝2即可．故所求式子的取值范围是[1，＋∞)．例3 某商场预计2011年1月份起前x 个月，顾客对某商品的需求总量p (x )(单位：件)与x 的关系近似地满足p (x )＝12x (x ＋1)·(39－2x )(x ∈N *，且x ≤12)．该商品第x 月的进货单价q (x )(单位：元)与x 的近似关系是q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧150＋2x x ∈N *，且1≤x ≤6，185－160x x ∈N *，且7≤x ≤12.(1)写出2011年第x 月的需求量f (x )(单位：件)与x 的函数关系式；(2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问商场2011年第几月销售该商品的月利润最大，最大月利润为多少元？【解答】 (1)当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37，当2≤x ≤12，且x ∈N *时，f (x )＝p (x )－p (x －1)＝12x (x ＋1)(39－2x )－12(x －1)x (41－2x )＝－3x 2＋40x .验证x ＝1符合，∴f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且1≤x ≤12)．(2)该商场预计第x 月销售该商品的月利润为g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x 2＋40x 35－2x x ∈N *，且1≤x ≤6，－3x 2＋40x ·160x x ∈N *，且7≤x ≤12，即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧6x 3－185x 2＋1400x x ∈N *，且1≤x ≤6，－480x ＋6400x ∈N ，且7≤x ≤12.当1≤x ≤6，且x ∈N *时，g ′(x )＝18x 2－370x ＋1400，令g ′(x )＝0，解得x ＝5或x ＝1409(舍去)．当1≤x <5时，g ′(x )>0，当5<x ≤6时，g ′(x )<0，∴当x ＝5时，g (x )max ＝g (5)＝3125(元)．当7≤x ≤12，且x ∈N *时，g (x )＝－480x ＋6400是减函数， ∴当x ＝7时，g (x )max ＝g (7)＝3040(元)．综上，商场2011年第5月份的月利润最大，最大利润为3125元．。

专题06 函数、导数与数列、不等式的综合应用【解析版】

第一章函数与导数专题06 函数、导数与数列、不等式的综合应用【压轴综述】纵观近几年的高考命题，应用导数研究函数的单调性、极（最）值问题，证明不等式、研究函数的零点等，是高考考查的“高频点”问题，常常出现在“压轴题”的位置.其中，函数、导数与数列、不等式的综合应用问题的主要命题角度有：函数与不等式的交汇、函数与数列的交汇、导数与数列不等式的交汇等.本专题就函数、导数与数列、不等式的综合应用问题，进行专题探讨，通过例题说明此类问题解答规律与方法.1.数列不等式问题，通过构造函数、应用函数的单调性或对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围.如2.涉及等差数列的求和公式问题，应用二次函数图象和性质求解.3.涉及数列的求和问题，往往要利用“错位相减法”、“裂项相消法”等，先求和、再构造函数.【压轴典例】例1.（2018·浙江高考真题）已知成等比数列，且．若，则A． B． C． D．【答案】B【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断.详解：令则，令得，所以当时，，当时，，因此，若公比，则，不合题意；若公比，则但，即，不合题意；因此，，选B.例2.（2019·全国高考真题（文））记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=－a 5．（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．【答案】（1）210n a n =-+；（2）110()n n N *≤≤∈. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据题意有111989(4)224a d a d a d ⨯⎧+=-+⎪⎨⎪+=⎩，解答182a d =⎧⎨=-⎩，所以8(1)(2)210n a n n =+-⨯-=-+，所以等差数列{}n a 的通项公式为210n a n =-+；（2）由条件95S a =-，得559a a =-，即50a =，因为10a >，所以0d <，并且有5140a a d =+=，所以有14a d =-，由n n S a ≥得11(1)(1)2n n na d a n d -+≥+-，整理得2(9)(210)n n d n d -≥-，因为0d <，所以有29210n n n -≤-，即211100n n -+≤，解得110n ≤≤，所以n 的取值范围是：110()n n N *≤≤∈例3.（2019·江苏高考真题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{a n }满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M－数列”；（2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }θ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．【答案】（1）见解析；（2）①b n =n ()*n ∈N ；②5.【解析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠．由1111,b S b ==得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n N ∈.②由①知，b k =k ，*k N ∈.因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1；当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-．设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x -=．令()0f 'x =，得x =e .列表如下：因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==．取q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k…，即k k q ≤，经检验知1k qk -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．例4.（2010·湖南高考真题）数列中，是函数的极小值点（Ⅰ）当a=0时，求通项；（Ⅱ）是否存在a ，使数列是等比数列？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）详见解析【解析】易知.令.（1）若，则当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增.故在取得极小值.由此猜测：当时，.下面先用数学归纳法证明：当时，.事实上，当时，由前面的讨论知结论成立.假设当时，成立，则由（2）知，，从而，所以.故当时，成立.于是由（2）知，当时，，而，因此.综上所述，当时，，，.（Ⅱ）存在，使数列是等比数列.事实上，由（2）知，若对任意的，都有，则.即数列是首项为，公比为3的等比数列，且.而要使，即对一切都成立，只需对一切都成立.记，则令，则.因此，当时，，从而函数当时，可得数列不是等比数列.综上所述，存在，使数列是等比数列，且的取值范围为.例5.（2017·浙江高考真题）已知数列{}n x 满足： ()()*1n n 1n 1x =1x x ln 1x n N ++=++∈，证明：当*n N ∈时（I ）n 1n 0x x +＜＜;（II ）n n 1n 1n x x 2x -x 2++≤； (III) n n 1n-211x 22-≤≤【答案】（I ）见解析；（II ）见解析；（Ⅲ）见解析. 【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明： 0n x >．当n =1时，x 1=1>0．假设n =k 时，x k >0，那么n =k +1时，若10k x +≤，则()110ln 10k k k x x x ++<=++≤，矛盾，故10k x +>．因此()*0n x n N >∈．所以()111ln 1n n n n x x x x +++=++>，因此()*10n n x x n N +<<∈．（Ⅱ）由()11ln 1n n n x x x ++=++得，()()21111114222ln 1n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++．记函数()()()()222ln 10f x x x x x x =-+++≥，()()22'ln 10(0)1x x f x x x x +=++>>+，函数f (x )在[0，+∞）上单调递增，所以()()0f x f ≥=0，因此()()()21111122ln 10n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥，故()*1122n n n n x x x x n N ++-≤∈．（Ⅲ）因为()11111ln 12n n n n n n x x x x x x +++++=++≤+=，所以112n n x -≥，由1122n n n n x x x x ++≥-，得111112022n n x x +⎛⎫-≥-> ⎪⎝⎭，所以1211111111222222n n n n x x x ---⎛⎫⎛⎫-≥-≥⋅⋅⋅≥-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故212n n x -≤．综上，()*121122n n n x n N --≤≤∈．例6.（2019·湖南高考模拟（理））设函数()ln(1)(0)f x x x =+≥，(1)()(0)1x x a g x x x ++=≥+.（1）证明：2()f x x x ≥-.（2）若()()f x x g x +≥恒成立，求a 的取值范围；（3）证明：当*n N ∈时，22121ln(32)49n n n n -++>+++. 【答案】（1）见解析；（2）(,1]-∞；（3）见解析. 【解析】（1）证明：令函数()()2h x ln x 1x x =+-+，[)x 0,∞∈+，()212x xh x 2x 101x 1x+=+=++'-≥，所以()h x 为单调递增函数，()()h x h 00≥=，故()2ln x 1x x +≥-.（2）()()f x x g x +≥，即为()axln x 11x+≥+，令()()axm x ln x 11x=+-+，即()m x 0≥恒成立， ()()()()22a 1x ax 1x 1a m x x 11x 1x +-+-=-=++'+，令()m x 0'>，即x 1a 0+->，得x a 1>-.当a 10-≤，即a 1≤时，()m x 在[)0,∞+上单调递增，()()m x m 00≥=，所以当a 1≤时，()m x 0≥在[)0,∞+上恒成立；当a 10->，即a 1>时，()m x 在()a 1,∞-+上单调递增，在[]0,a 1-上单调递减，所以()()()min m x m a 1m 00=-<=，所以()m x 0≥不恒成立.综上所述：a 的取值范围为(],1∞-. （3）证明：由（1）知()2ln x 1x x +≥-，令1x n=，*n N ∈，(]x 0,1∈， 2n 1n 1ln n n +->，即()2n 1ln n 1lnn n-+->，故有ln2ln10->，1ln3ln24->， …()2n 1ln n 1lnn n-+->，上述各式相加可得()212n 1ln n 149n-+>+++. 因为()()22n 3n 2n 1n 10++-+=+>，2n 3n 2n 1++>+，()()2ln n 3n 2ln n 1++>+，所以()2212n 1ln n 3n 249n-++>+++. 例7.（2018·福建省安溪第一中学高三期中（文））公差不为零的等差数列中，，，成等比数列，且该数列的前10项和为100，数列的前n 项和为，且满足．Ⅰ求数列，的通项公式；Ⅱ令，数列的前n 项和为，求的取值范围．【答案】（I ），；（II ）.【解析】Ⅰ依题意，等差数列的公差，，，成等比数列，，即，整理得：，即，又等差数列的前10项和为100，，即，整理得：，，；，，即，当时，，即，数列是首项为1、公比为2的等比数列，；Ⅱ由可知，记数列的前n项和为，数列的前n项和为，则，，，，，，记，则，故数列随着n的增大而减小，又，，．例8.（2019·江苏高考模拟）已知数列满足（），（）．（1）若，证明：是等比数列；（2）若存在，使得，，成等差数列．① 求数列的通项公式；② 证明：．【答案】（1）见解析；（2）①，②见解析【解析】（1）由，得，得，即，因为，所以，所以（），所以是以为首项，2为公比的等比数列．（2）① 设，由（1）知，，所以，即，所以．因为，，成等差数列，则，所以，所以，所以，即．② 要证，即证，即证．设，则，且，从而只需证，当时，．设（），则，所以在上单调递增，所以，即，因为，所以，所以，原不等式得证．【压轴训练】1．（黑龙江省哈尔滨三中高考模拟）已知1(1)32(1,2)n n n b b a b n b--+-=>≥，若对不小于4的自然数n ，恒有不等式1n n a a +>成立，则实数b 的取值范围是__________．【答案】3+∞（，）【解析】由题设可得1(1)(1)32(1)32n n n b b n b b b b-+-+--+->，即22(1)341n b b b ->-+，也即(1)31n b b ->-对一切4n ≥的正整数恒成立，则3141b b b -<≥-，即31444311b b b b -⇒---，所以3b >，应填答案(3,)+∞. 2.（2019·山东济南一中高三期中（理））（1）已知函数的图象经过点，如图所示，求的最小值；（2）已知对任意的正实数恒成立，求的取值范围.【答案】（1）最小值，当且仅当时等号成立；（2）【解析】⑴函数的图象经过点，当且仅当时取等号⑵①令，，当时，，递增当时，，递减代入时，②，令，，，综上所述，的取值范围为3.（2019·桃江县第一中学高三月考（理））已知都是定义在R上的函数，，，且，且，．若数列的前n项和大于62，求n的最小值.【答案】6【解析】∵，∴，∵，∴，即，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴数列为等比数列，∴，∴，即，所以n的最小值为6.4.（2019·福建省漳平第一中学高三月考（文））已知数列的首项，前项和满足，.（1）求数列通项公式；（2）设，求数列的前项为，并证明：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）当时，，得. 又由及得，数列是首项为，公比为的等比数列，所以.（2），①②①②得：，所以，又，故，令，则，故单调递减，又，所以恒成立，所以.5.（2019·江苏高考模拟（文））已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且218S =，490S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2115log 3n n b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 及n T 的最大值.【答案】（1）32nn a =⨯（2）22922n n nT =-+；最大值为105. 【解析】（1）设数列{}n a 的公比为(0)q q >，若1q =，有414S a =，212S a =，而4490236S S =≠=，故1q ≠，则()()()()21242211411811119011a q S q a q a q q S q q ⎧-⎪==-⎪⎨-+-⎪===⎪--⎩，解得162a q =⎧⎨=⎩.故数列{}n a 的通项公式为16232n nn a -=⨯=⨯. （2）由215log 215nn b n =-=-，则2(1415)29222n n n n n T +-==-+. 由二次函数22922x x y =-+的对称轴为292921222x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，故当14n =或15时n T 有最大值，其最大值为14151052⨯=. 6.（2019·黑龙江高三月考（理））已知数列的前n 项和为, 其中，数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)令，数列的前n 项和为，若对一切恒成立，求实数k 的最小值.【答案】（1），；（2）【解析】（1）由可得，两式相减得: ，又由可得，数列是首项为2，公比为4的等比数列，从而，于是.（2）由（1）知，于是，依题意对一切恒成立，令，则由于易知，即有，∴只需，从而所求k的最小值为.7.（2018·浙江高考模拟）已知数列满足，（）．（Ⅰ）证明数列为等差数列，并求的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，若数列满足，且对任意的恒成立，求的最小值．【答案】（Ⅰ）证明见解析，；（Ⅱ）.【解析】∵（n+1）a n+1﹣（n+2）a n=2，∴﹣==2（﹣），又∵=1，∴当n≥2时，=+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1+2（﹣+﹣+…+﹣）=，又∵=1满足上式，∴=，即a n=2n，∴数列{a n}是首项、公差均为2的等差数列；（Ⅱ）解：由（I）可知==n+1，∴b n=n•=n•，令f（x）=x•，则f′（x）=+x••ln，令f′（x）=0，即1+x•ln=0，解得：x0≈4.95，则f（x）在(0, x0)上单调递增，在(x0,+单调递减.∴0＜f（x）≤max{f（4），f（5），f（6）}，又∵b5=5•=，b4=4•=﹣，b6=6•=﹣，∴M的最小值为．8.（2018·浙江镇海中学高三期中）已知数列的前项和为，且，（1）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；（2）是否存在实数，对任意，不等式恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】（1）证明略；（2）【解析】证明：（1）已知数列{a n}的前n项和为S n，且，①当n=1时，，则：当n≥2时，，②①﹣②得：a n=2a n﹣2a n﹣1﹣+，整理得：，所以：，故：（常数），故：数列{a n}是以为首项，2为公比的等比数列．故：，所以：．由于：，所以：（常数）．故：数列{b n}为等比数列．（2）由（1）得：，所以：+（），=，=，假设存在实数λ，对任意m，n∈N*，不等式恒成立，即：，由于：，故当m=1时，，所以：，当n=1时，．故存在实数λ，且．9.（2019·宁夏银川一中高三月考（理））（1）当时，求证：；（2）求的单调区间；（3）设数列的通项,证明．【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）的定义域为，恒成立；所以函数在上单调递减，得时即：（2）由题可得，且.当时，当有，所以单调递减，当有，所以单调递增，当时，当有，所以单调递增，当有，所以单调递减，当时，当有，所以单调递增，当时，当有，所以单调递增，当有，所以单调递减，当时，当有，所以单调递减，当有，所以单调递增，（3）由题意知.由（1）知当时当时即令则，同理:令则.同理:令则以上各式两边分别相加可得：即所以：10.（2019·北京人大附中高考模拟（理））已知数列{a n}满足：a1+a2+a3+…+a n=n-a n，（n=1，2，3，…）（Ⅰ）求证：数列{a n-1}是等比数列；（Ⅱ）令b n=（2-n）（a n-1）（n=1，2，3，…），如果对任意n∈N*，都有b n+t≤t2，求实数t的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析. （Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由题可知：，①，②②-①可得.即：，又.所以数列是以为首项，以为公比的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，∴.由可得，由可得.所以，，故有最大值.所以，对任意，都有，等价于对任意，都有成立.所以，解得或.所以，实数的取值范围是.11.（2019·江苏高三月考）已知数列的各项均为正数，前项和为，首项为2．若对任意的正整数，恒成立．（1）求，，；（2）求证：是等比数列；（3）设数列满足，若数列，，…，（，）为等差数列，求的最大值．【答案】（1）,，；（2）详见解析；（3）3.【解析】（1）由，对任意的正整数，恒成立取，得，即，得.取，，得，取，，得，解得，.（2）取，得，取，得，两式相除，得，即，即.由于，所以对任意均成立，所以是首项为4，公比为2的等比数列，所以，即.时，，而也符合上式，所以.因为（常数），所以是等比数列.（3）由（2）知，.设，，成等差数列，则.即，整理得，.若，则，因为，所以只能为2或4，所以只能为1或2.若，则.因为，故矛盾.综上，只能是，，，成等差数列或，，成等差数列，其中为奇数.所以的最大值为3.12．（2019·上海高考模拟）已知平面直角坐标系xOy，在x轴的正半轴上，依次取点，，，，并在第一象限内的抛物线上依次取点，，，，，使得都为等边三角形，其中为坐标原点，设第n个三角形的边长为．⑴求，，并猜想不要求证明)；⑵令，记为数列中落在区间内的项的个数，设数列的前m项和为，试问是否存在实数，使得对任意恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；⑶已知数列满足：，数列满足：，求证：．【答案】⑴，,；⑵；⑶详见解析【解析】，猜想，由，，，，对任意恒成立⑶证明：，记，则，记，则，当时，可知：，13．（2019·广西高考模拟（理））已知函数2()2ln 1()f x ax x x a =--∈R .(1) 若1x e=时,函数()f x 取得极值,求函数()f x 的单调区间； (2) 证明：()*11111ln(21)3521221nn n n n +++⋯+>++∈-+N . 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）由题意可得，()'222(0,)f x ax lnx x a R =-->∈，由1x e =时，函数()f x 取得极值知12'220af e e ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，所以0a =．所以()()21,'22(0)f x xlnx f x lnx x =--=-->，所以10x e <<时，()'0f x >；1x e>时，()'0f x <；所以()f x 的单调增区间10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，单调减区间为1e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，. （2）当1a =时，()221f x x xlnx =--，所以()()'22221f x x lnx x lnx =--=--，令()ln 1g x x x =--，则()11'1x g x x x-=-=，当01x <<时，()'0g x <；当1x >时，()'0g x >，()g x 的单调减区间为()01，，单调增区间为()1+∞，，所以()()10g x g ≥=，所以()'0f x ≥，()f x 是增函数，所以1x >时，()()22ln 110f x x x x f =-->=，所以1x >时，12ln x x x->，令*211,21n x n N n +=>∈-，得2121212ln 212121n n n n n n +-+->-+- 即2221112ln 212121n n n n +⎛⎫+--> ⎪-+-⎝⎭ 所以1121111ln 2122122121n n n n n +⎛⎫>+- ⎪---+⎝⎭上式中123n =，，，…，n ，然后n 个不等式相加，得到()11111...ln 213521221nn n n ++++>++-+ 14.（2019·宁夏高考模拟（文））已知函数()()ln 1(0)f x ax x a =->．()1求函数()y f x =的单调递增区间；()2设函数()()316g x x f x =-，函数()()h x g x =' ．①若()0h x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；②证明：()22222ln(123)123.e n n n N +⨯⨯⨯⋯⨯<+++⋯+∈【答案】（1）单调递增区间为[)1,+∞．（2）①(]0,e ．②见证明【解析】()10a >，0x >．()()1'ln 1ln 0f x a x ax a x x=-+⋅=≥．解得1x ≥．∴函数()y f x =的单调递增区间为[)1,+∞．()2函数()()316g x x f x =-，函数()()21h =x ln 2x g x a x '=-．()'ah x x x=-①，0a ≤时，函数()h x 单调递增，不成立，舍去； 0a >时，()('x x a h x x xx+=-=，可得x =()h x 取得极小值即最小值，()11ln 022h x ha a a ∴≥=-≥，解得：0a e <≤． ∴实数a 的取值范围是(]0,e ．②证明：由①可得：a e =，1x ≥时满足：22ln x e x ≥，只有1x =时取等号．依次取x n =，相加可得：()222221232ln1ln2ln ln(12)en e n n +++⋯+>++⋯⋯+=⨯⨯⋯．因此()22222ln(123)123.e n n n N +⨯⨯⨯⋯⨯<+++⋯+∈15.（2019·黑龙江高考模拟（理））已知函数2()2ln 2(1)(0)a f x ax x a a x-=-+-+>. （1）若()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（2）证明：11113521n ++++>-*1ln(21)()221nn n N n ++∈+.【答案】（1）[1,)+∞；（2）证明见解析. 【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()2222222a ax x a f x a x x x--+-=--=' ()221a a x x a x -⎛⎫-- ⎪⎝⎭=. ①当01a <<时，21aa->，若21a x a -<<，则()0f x '<，()f x 在21,a a -⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是减函数，所以21,a x a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()10f x f <=，即()0f x ≥在[)1,+∞上不恒成立. ②当1a ≥时，21aa-≤，当1x >时，()0f x '>，()f x 在[)1,+∞上是增函数，又()10f =，所以()0f x ≥. 综上所述，所求a 的取值范围是[)1,+∞.（2）由（1）知当1a ≥时，()0f x ≥在[)1,+∞上恒成立.取1a =得12ln 0x x x --≥，所以12ln x x x-≥. 令21121n x n +=>-，*n N ∈，得2121212ln 212121n n n n n n +-+->-+-，即2221112ln 212121n n n n +⎛⎫+--> ⎪-+-⎝⎭，所以1121111ln 2122122121n n n n n +⎛⎫>+- ⎪---+⎝⎭. 上式中1,2,3,,n n =，然后n 个不等式相加，得到()11111ln 213521221nn n n ++++>++-+. 16.（2019·江苏高考模拟）已知数列{}n a ，12a =，且211n n n a a a +=-+对任意n N *∈恒成立．（1）求证：112211n n n n a a a a a a +--=+(n N *∈)；（2）求证：11nn a n +>+(n N *∈)．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）①当1n =时，2221112213a a a =-+=-+= 满足211a a =+成立.②假设当n k =时，结论成立.即：112211k k k k a a a a a a +--=+成立下证：当1n k =+时，112211k k k k a a a a a a +-+=+成立.因为()211211111k k k k k a a a a a +++++=-+-+=()()11221112211111k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +--+--=+=++-即：当1n k =+时，112211k k k k a a a a a a +-+=+成立由①、②可知，112211n n n n a a a a a a +--=+(n *N ∈)成立.（2）（ⅰ）当1n =时，221221311a >=-=++成立，当2n =时，()2322222172131112a a a a a =-+=-+=>⨯>++成立，（ⅱ）假设n k =时（3k ≥），结论正确，即：11kk a k +>+成立下证：当1n k =+时，()1211k k a k ++>++成立.因为()()2211112111111kkkk k k k k k a a a a a k k kk +++++-+==-+>++=++要证()1211k k a k ++>++，只需证()12111k k k k k k +++>++只需证：()121k k k k ++>，只需证：()12ln ln 1k k k k ++>即证：()()12l l n n 10k k k k -++>（3k ≥）记()()()2ln 11ln h x x x x x -++=∴()()()()2ln 1112ln 11ln ln x x x x h x +-++=-++⎡⎤⎦=⎣'21ln 1ln 12111x x x x ⎛⎫=+=++-+ ⎪++⎝⎭当12x +≥时，1111ln 121ln 221ln 1ln 10122x x e ⎛⎫⎛⎫++-+≥+-+=+>+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭所以()()()2ln 11ln h x x x x x -++=在[)1,+∞上递增，又()6423ln34ln3ln 34ln729ln2564l 0n h ⨯-=-=->=所以，当3x ≥时，()()30h x h ≥>恒成立. 即：当3k ≥时，()()30h k h ≥>成立.即：当3k ≥时，()()12l l n n 10k k k k -++>恒成立. 所以当3k ≥，()1211k k a k ++>++恒成立.由（ⅰ）（ⅱ）可得：对任意的正整数n *∈N ，不等式11nn a n +>+恒成立，命题得证.。

高三数学二轮复习 1-1-3函数与方程及函数的实际应用课件理人教版

考情分析
• 在高考中一般以选择题或填空题的形式考查函数零点、二分法等知识点．函数的应用是高考考查的热点内容，每年高考必考．预计在2012年高考中将会出现依据题意选择恰当的函数模型或者是利用函数模型解决实际应用问题的题目．
要点串讲
• 1. 函数零点的求法： (1) 代数法：求方程 f(x) ＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点． • 2．如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数 f(x) 在区间 (a ， b) 内有零点，即存在 c∈(a，b)，使f(c)＝0.特别地：
高频考点
类型一【例1】函数的零点及其应用 (2011· 山东)已知函数f(x)＝logax＋x－
b(a>0，且a≠1)，当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈ (n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.
[解析] ∵f1＝loga1＋1－b＝1－b<0 f 2＝loga2＋2－b<0 f 3＝loga3＋3－b loga3>1，－1<3－b<0 ∴f3 >0 即f2 f 3<0 故x0∈2，3，即 n＝2.
• 3．由于函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，所以在研究方程的有关问题时，如比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等，都可以将方程问题转化为函数问题，借助函数的零点，结合函数的图象加以解决．
• 4．用二分法求函数零点的近似值时应注意以下几点： • (1)二分法是求图象连续不间断的函数的变号零点的一种算法，使用二分法求零点需满足：①y ＝f(x) 在闭区间 [a ， b] 上的图象连续不间断；② f(a)·f(b)<0 ，二分法不适合不变号零点的情况； • (2)在第一步中要使：①区间长度尽量小，②f(a)、f(b)的值比较容易计算且f(a)·f(b)<0；

高中数学二轮专题归纳总结

高中数学二轮专题归纳总结高中数学是一门重要的学科，它不仅培养学生的逻辑思维能力，还有助于学生的科学素养和解决实际问题的能力。

在高中数学学习的过程中，掌握各种基础知识是非常重要的。

本文将对高中数学二轮专题进行归纳总结，帮助学生更好地复习和掌握这些知识点。

一、函数与方程1. 函数的基本概念与性质- 函数的定义：函数是一种映射关系，根据自变量的不同取值，得到相应的函数值。

- 函数的性质：奇偶性、周期性、单调性等。

2. 二次函数- 二次函数的基本形式：$f(x)=ax^2+bx+c$。

- 二次函数的图像与性质：顶点、对称轴、最值等。

3. 指数与对数- 指数函数与对数函数的定义与性质。

- 指数与对数的运算性质与应用。

4. 三角函数- 常用三角函数的定义与性质。

- 三角函数的图像与变换。

二、数列与数列求和1. 等差数列- 等差数列的定义与性质。

- 等差数列的求和公式。

2. 等比数列- 等比数列的定义与性质。

- 等比数列的求和公式。

3. 递推数列- 递推数列的定义与性质。

- 递推数列的通项公式与求和公式。

三、空间几何与立体几何1. 空间向量- 空间向量的基本概念与性质。

- 向量的加减运算与数量积。

2. 空间中的基本几何元素- 点、线、面的基本概念与性质。

- 垂直、平行等关系的判定准则。

3. 空间中的位置关系- 点到直线、点到平面的距离与投影。

- 直线与平面的位置关系。

4. 立体几何的基本概念- 立体的基本元素：点、线、面、体。

- 空间几何体的计算公式。

四、概率与统计1. 随机事件与概率- 随机事件的概念与性质。

- 概率计算的基本方法：古典概型、几何概型、排列组合等。

2. 条件概率与独立性- 条件概率的定义与性质。

- 事件的独立性与相关性。

3. 随机变量与概率分布- 随机变量的概念与分类。

- 离散型随机变量与连续型随机变量的概率分布。

4. 统计与抽样- 统计的基本概念与性质。

- 抽样调查的方法与误差估计。

当然，以上只是高中数学二轮专题的一些基本内容归纳总结，实际的学习内容还有更多。

高考数学专题：函数与方程、函数的应用

高考数学专题：函数与方程、函数的应用最新考纲 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；3.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.知识梳理1.函数的零点(1)函数零点的概念对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系(x，0)，3.(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0).(2)反比例函数模型：y＝kx(k≠0).(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0).(4)指数函数模型：y＝a·b x＋c(b>0，b≠1，a≠0).(5)对数函数模型：y＝m log a x＋n(a>0，a≠1，m≠0).4.指数、对数、幂函数模型性质比较诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)函数f(x)＝lg x的零点是(1，0).()(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)⊆D内有零点，则f(a)·f(b)<0.()(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点.()(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)<f(x)<g(x).()解析(1)f(x)＝lg x的零点是1，故(1)错.(2)f(a)·f (b)＜0是连续函数y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错.答案(1)×(2)×(3)√(4)√2.(必修1P88例1改编)函数f(x)＝e x＋3x的零点个数是()A.0B.1C.2D.3解析由已知得f′(x)＝e x＋3＞0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝1e－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点.答案 B3.（·安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A.y＝cos xB.y＝sin xC.y＝ln xD.y＝x2＋1解析由函数是偶函数，排除选项B、C，又选项D中函数没有零点，排除D，y＝cos x为偶函数且有零点. 答案 A4.已知某种动物繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到( ) A.100只B.200只C.300只D.400只解析由题意知100＝a log 3(2＋1)，∴a ＝100，∴y ＝100log 3(x ＋1)，当x ＝8时，y ＝100log 39＝200. 答案 B5.函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________. 解析因为函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1，1)上是单调函数，所以若f (x )在区间(－1，1)上存在一个零点，则满足f (－1)f (1)＜0，即(－3a ＋1)·(1－a )<0，解得13<a <1.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1考点一函数零点所在区间的判断【例1】 (1)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( ) A.(a ，b )和(b ，c )内 B.(－∞，a )和(a ，b )内 C.(b ，c )和(c ，＋∞)内D.(－∞，a )和(c ，＋∞)内(2)设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)解析 (1)∵a <b <c ，∴f (a )＝(a －b )(a －c )>0， f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0，由函数零点存在性定理可知：在区间(a ，b )，(b ，c )内分别存在零点，又函数f (x )是二次函数，最多有两个零点；因此函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )，(b ，c )内，故选A. (2)法一函数f (x )的零点所在的区间可转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的取值范围.作图如下：可知f (x )的零点所在的区间为(1，2).法二易知f (x )＝ln x ＋x －2在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝1－2＝－1<0，f (2)＝ln 2>0.所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1，2)内函数存在零点. 答案 (1)A (2)B规律方法确定函数f (x )的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断. 【训练1】已知函数f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( )A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)解析 ∵f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2在(0，＋∞)上是增函数，又f (1)＝ln 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝ln 1－2<0，f (2)＝ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3－12>0.故f (x )的零点x 0∈(2，3). 答案 C考点二函数零点个数的判断【例2】 (1)函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________.(2)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A.1B.2C.3D.4解析 (1)当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍).所以在(－∞，0]上有一个零点.当x >0时，f ′(x )＝2＋1x >0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数.又因为f (2)＝－2＋ln 2<0，f (3)＝ln 3>0，所以f (x )在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f (x )的零点个数为2.(2)令f (x )＝2x|log 0，5x |－1＝0，得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象(如图).由图象知，两函数的图象有两个交点，因此函数f (x )有2个零点. 答案 (1)2 (2)B规律方法函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f (x )＝0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数. 【训练2】（·湖北卷)f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________.解析 f (x )＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2，则函数的零点即为函数y ＝sin 2x 与函数y ＝x 2图象的交点，如图所示，两图象有2个交点，则函数有2个零点.答案 2考点三函数零点的应用【例3】（·昆明调研)已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x －4)＝f (x )，且在区间[0，2]上f (x )＝x ，若关于x 的方程f (x )＝log a x 有三个不同的实根，求a 的取值范围. 解由f (x －4)＝f (x )知，函数的周期T ＝4. 又f (x )为偶函数， ∴f (x )＝f (－x )＝f (4－x )，因此函数y ＝f (x )的图象关于x ＝2对称. 又f (2)＝f (6)＝f (10)＝2.要使方程f (x )＝log a x 有三个不同的实根.由函数的图象(如图)，必须有⎩⎨⎧f （6）<2，f （10）>2，a >1.即⎩⎨⎧log a 6<2，log a 10>2，a >1.解之得6<a <10.故a 的取值范围是(6，10).规律方法已知函数有零点(方根有根)求参数值常用的方法：(1)直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解. 【训练3】 (1)（·贵阳一中检测)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ＋a ，x ≤0，3x －1，x >0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( ) A.(－∞，－1) B.(－∞，0) C.(－1，0)D.[－1，0)(2)（·山东卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________.解析 (1)当x >0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝13. 因此当x ≤0时，f (x )＝e x ＋a ＝0只有一个实根， ∴a ＝－e x (x ≤0)，则－1≤a <0.(2)在同一坐标系中，作y ＝f (x )与y ＝b 的图象.当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3. 答案 (1)D (2)(3，＋∞)考点四构建函数模型解决实际问题(易错警示)【例4】 (1)（·四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( ) A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年(2)（·河南省实验中学期中)为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.①求k 的值及f (x )的表达式；②隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小？并求最小值.(1)解析设2015年后的第n 年该公司投入的研发资金为y 万元，则y ＝130(1＋12%)n . 依题意130(1＋12%)n >200，得1.12n >2013. 两边取对数，得n ·lg1.12>lg 2－lg 1.3∴n >lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n ≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元. 答案 B(2)解 ①当x ＝0时，C ＝8，∴k ＝40， ∴C (x )＝403x ＋5(0≤x ≤10)， ∴f (x )＝6x ＋20×403x ＋5＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10).②由①得f (x )＝2(3x ＋5)＋8003x ＋5－10. 令3x ＋5＝t ，t ∈[5，35]，则y ＝2t ＋800t －10，∴y ′＝2－800t 2，当5≤t <20时，y ′<0，y ＝2t ＋800t －10为减函数；当20<t ≤35时，y ′>0，y ＝2t ＋800t －10为增函数.∴函数y ＝2t ＋800t －10在t ＝20时取得最小值，此时x ＝5，因此f (x )的最小值为70.∴隔热层修建5 cm 厚时，总费用f (x )达到最小，最小值为70万元. 规律方法 (1)构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法： ①构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解. ②构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法.③构建f (x )＝x ＋ax (a >0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解. (2)解函数应用题的程序是：①审题；②建模；③解模；④还原. 易错警示求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制.【训练4】 (1)（·成都调研)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时. (2)某旅游景点预计2017年1月份起前x 个月的旅游人数的和p (x )(单位：万人)与x 的关系近似地满足p (x )＝12x (x ＋1)(39－2x )(x ∈N *，且x ≤12).已知第x 个月的人均消费额q (x )(单位：元)与x 的近似关系是q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧35－2x （x ∈N *，且1≤x ≤6），160x（x ∈N *，且7≤x ≤12）. ①写出2017年第x 个月的旅游人数f (x )(单位：万人)与x 的函数关系式； ②试问2017年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？ (1)解析由已知条件，得192＝e b 又48＝e 22k ＋b ＝e b ·(e 11k )2 ∴e 11k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4819212＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1412＝12，设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e 33k ＋b＝192 e 33k＝192(e 11k )3＝192×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝24.答案 24(2)解 ①当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37，当2≤x ≤12，且x ∈N *时，f (x )＝p (x )－p (x －1)＝12x (x ＋1)(39－2x )－12(x －1)x (41－2x )＝－3x 2＋40x ，验证x ＝1也满足此式，所以f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且1≤x ≤12).②第x 个月旅游消费总额为g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（－3x 2＋40x ）（35－2x ）（x ∈N *，且1≤x ≤6），（－3x 2＋40x ）·160x （x ∈N *，且7≤x ≤12），即g (x )＝⎩⎨⎧6x 3－185x 2＋1 400x （x ∈N *，且1≤x ≤6），－480x ＋6 400 （x ∈N *，且7≤x ≤12）.(ⅰ)当1≤x ≤6，且x ∈N *时， g ′(x )＝18x 2－370x ＋1 400，令g ′(x )＝0，解得x ＝5或x ＝1409(舍去). 当1≤x <5时，g ′(x )>0，当5<x ≤6时，g ′(x )<0，∴当x ＝5时，g (x )max ＝g (5)＝3 125(万元). (ⅱ)当7≤x ≤12，且x ∈N *时， g (x )＝－480x ＋6 400是减函数， ∴当x ＝7时，g (x )max ＝g (7)＝3 040(万元).综上，2017年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3 125万元.[思想方法]1.转化思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.2.判断函数零点个数的常用方法 (1)通过解方程来判断.(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断.(3)将函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数转化为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象公共点的个数来判断. 3.求解函数应用问题的步骤：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题. [易错防范]1.函数的零点不是点，是方程f (x )＝0的实根.2.函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.3.函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型.并根据实际问题，合理确定函数的定义域.4.注意问题反馈.在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.（·赣中南五校联考)函数f (x )＝3x －x 2的零点所在区间是( ) A.(0，1)B.(1，2)C.(－2，－1)D.(－1，0)解析由于f (－1)＝－23<0，f (0)＝30－0＝1>0， ∴f (－1)·f (0)<0.则f (x )在(－1，0)内有零点. 答案 D2.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0B.－2，0C.12D.0解析当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解.综上函数f (x )的零点只有0. 答案 D3.函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( ) A.(1，3) B.(1，2) C.(0，3) D.(0，2)解析因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1，2)上单调递增，又函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则有f (1)·f (2)<0，所以(－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，所以0<a <3. 答案 C4.（·德阳一诊)将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a 4 L ，则m的值为( )A.5B.8C.9D.10解析 ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f (t )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 5，因此，当k min 后甲桶中的水只有a 4 L 时，f (k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14， ∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5.答案 A5.（·湖北七校联考)已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A.14B.18C.－78D.－38解析令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.答案 C二、填空题6.（·浙江卷)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝________，b ＝________.解析 ∵f (x )＝x 3＋3x 2＋1，则f (a )＝a 3＋3a 2＋1，∴f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2＝(x －b )(x 2－2ax ＋a 2)＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2.由此可得⎩⎨⎧2a＋b ＝－3，①a 2＋2ab ＝0，②a 3＋3a 2＝a 2b .③∵a ≠0，∴由②得a ＝－2b ，代入①式得b ＝1，a ＝－2.答案－2 17.某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.4771).解析设过滤n 次才能达到市场要求，则2%⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ≤0.1%，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤120，所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8.答案 88.（·安徽卷)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________.解析函数y ＝|x －a |－1的图象如图所示，因为直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，故2a ＝－1，解得a ＝－12.答案－12三、解答题9.已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a ，(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1，0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围. 解 (1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题.依题意，f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根，因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根.(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1，0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （0）<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <34. 故实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪12<a <34. 10.（·山东实验中学月考)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋b log 3Q 10(其中a 、b 是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a 、b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故有a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎨⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，即－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧0，x ≤0，e x ，x >0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( ) A.[0，1) B.(－∞，1)C.(－∞，1]∪(2，＋∞)D.(－∞，0]∪(1，＋∞)解析函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＋x ＝m 的根，画出h (x )＝f (x )＋x ＝⎩⎨⎧x ，x ≤0，e x ＋x ，x >0的大致图象(图略).观察它与直线y ＝m 的交点，得知当m ≤0或m >1时，有交点，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点.答案 D12.（·石家庄质检)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图3记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟解析根据图表，把(t ，p )的三组数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得⎩⎨⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎨⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎨⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－152t ＋22516＋4516－2＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1542＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟.答案 B13.（·湖南卷)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________. 解析由f (x )＝|2x －2|－b ＝0，得|2x －2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示.则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点.答案 (0，2)14.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0). (1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b 的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围.解 (1)如图所示.(2)∵f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x－1，x ∈（0，1]，1－1x ，x ∈（1，＋∞），故f (x )在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数.由0<a <b 且f (a )＝f (b )，得0<a <1<b ，且1a －1＝1－1b ，∴1a ＋1b ＝2.(3)由函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，函数f (x )的图象与直线y ＝m 有两个不同的交点，即方程f (x )＝m 有两个不相等的正根。

高中总复习二轮理科数学精品课件第二部分 2.2 函数与方程及函数的应用

时,f(x)=-x2+1,
画出图象,易得函数y=f(x)与y=-lg x的图象有6个交点.故选C.
(2)方程log3x=-x+3的解就是函数m(x)=log3x+x-3的零点.
因为函数m(x)=log3x+x-3单调递增且连续,
m(x)=log3x+x-3在区间(1,2)内满足m(1)m(2)>0,
交点.
在同一平面直角坐标系下作出函数f(x)与g(x)
的图象,如图所示.
由图可知,当 g(x)的图象过点
1
0,- 2
1
和(1,0)时,k=2,此
时函数 f(x)与 g(x)的图象恰有 3 个交点.
当 g(x)的图象与 y=ln x(x>1)的图象相切时,设切点为(a,ln a),因为
1
2
ln +
ln, > 1,
数 k 的取值范围是( C )
1
A.( ,
2
e)
1 e
C.(2 , e )
1
B.[ ,
2
e)
1 e
D.(2 , e ]
解析: 由
设
1
y=f(x)-kx+2有
1
g(x)=kx-2,可知
4 个零点,可知
g(x)的图象恒过点
1
f(x)=kx-2有
1
0,- 2
4 个根.
,所以函数 f(x)与 g(x)的图象有 4 个
b
11k 3
b
=(e ) ·
e =(e ) ·
e=
所以该食品在 33 ℃的保鲜时间是 24 h.
1 3
2
×192=24(h).

高考数学二轮复习课件2.2.2 函数与方程及函数的应用精选ppt课件

(2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润；
(3)如何决定投资可使年利润最大．
[自主解答] (1)y1＝(10－a)x－20(1≤x≤200，x∈N*)， y2＝－0.05x2＋10x－40(1≤x≤120，x∈N*)． (2)∵10－a>0，故 y1 为增函数， ∴当 x＝200 时，y1 取得最大值 1 980－200a，即投资生产甲产品的最大年利润为(1 980－200a)万美元． y2＝－0.05(x－100)2＋460(1≤x≤120，x∈N*)， ∴当 x＝100 时，y2 取得最大值 460，即投资生产乙产品的最大年利润为 460 万美元．
(2)①利用解析式直接求解得 g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2. ②令 f(x)＝t，则原方程化为 g(t)＝a，易知方程 f(x)＝t 在 t∈(－∞， 1)内有 2 个不同的解，则原方程有 4 个解等价于函数 y＝g(t)(t<1)与 y ＝a 的图象有 2 个不同的交点，作出函数 y＝g(t)(t<1)的图象，由图象可知，当 1≤a<54时，函数 y＝g(t)(t<1)与 y＝a 有 2 个不同的交点，即
年固定每件产品每件产品每年可最多
成本的成本的销售价生产的件数
甲产品 20
a
10
200
乙产品 40
8
18
120
其中年固定成本与年生产的件数无关，a 为常数，且 6≤a≤8.另外，
当年销售 x 件乙产品时需上交 0.05x2 万美元的特别关税，假设所生产的
产品均可售出．
(1)写出该集团分别投资生产甲、乙两种产品的年利润 y1、y2 与生产相应产品的件数 x(x∈N*)之间的函数关系式；

高三数学二轮复习 2.3函数与方程及函数的实际应用课件

1．结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系．
2．根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．
3．(1)了解指数函数、对数函数以及幂函数增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．
(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
(3)要使企业不亏本，即要求 0≤x≤5 －12x2＋4.75x－0.5≥0 ① 或x1>25－0.25x≥0 ② 解①得5≥x≥4.75－ 21.5625≈0.1(百台)；解②得5<x≤48(百台)，即10(台)<x≤4800(台)．所以企业年产量在10台到4800台之间时，企业不亏本．
[评析] ①分段函数的最大值：分段函数的最值应分段求出 y的最值(或范围)进行比较，取较大者，如本题第(2)问；
(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20) 的函数表达式；
(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．
[解析]
(1)y＝g(t)·f(t)＝(80－2t)·(20－
1 2
|t－10|)＝(40
－t)(40－|t－10|)
＝3400＋－tt4500－－tt，，
0≤t<10， 10≤t≤20.
[例2] (2011·浙江五校模拟)已知函数f(x)＝lnx＋2x－6. (1)证明f(x)在其定义域上是增函数； (2)证明f(x)有且只有一个零点； (3)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过14.
[分析] (1)利用导数法证明函数的单调性． (2)利用函数在某一区间内存在零点的条件证明其存在性，利用函数的单调性说明其唯一性．
25 天的日销售金额最大．

高考数学二轮专题复习训练：专题第讲函数与方程及函数的应用

第3讲函数与方程及函数的应用(推荐时间：60分钟)一、填空题1．(2011·福建改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值为________．2．(2011·陕西)设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数．．根的充要条件是n ＝________.3．函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则a 的取值范围是________．4．方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为________．5．函数f (x )对一切实数x 都满足f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，并且方程f (x )＝0有三个实根，则这三个实根的和为________．6．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________万件． 7．若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈(－1,1]时f (x )＝|x |，则方程f (x )＝lg|x |的解的个数为______．8．设a >1，函数y ＝|log a x |的定义域为[m ，n ] (m <n )，值域为[0,1]，定义“区间[m ，n ]的长度等于n －m ”，若区间[m ，n ]长度的最小值为56，则实数a 的值为________． 9．(2011·北京)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≥2，(x －1)3， x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．10．已知函数f (x )＝ln x －x ＋2有一个零点所在的区间为(k ，k ＋1) (k ∈N *)，则k 的值为________．11．设m ∈N ，若函数f (x )＝2x －m 10－x －m ＋10存在整数零点，则m 的取值集合为____________．二、解答题12．经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足f (t )＝20－12|t －10|(元)． (1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．13.某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．(1)设一次订购x 件，服装的实际出厂单价为p 元，写出函数p ＝f (x )的表达式；(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？14．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A ，B 及CD 的中点P 处，已知AB ＝20 km ，CB ＝10 km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上(含边界)，且与A ，B 等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO ，BO ，OP ，设排污管道的总长为y km.(1)按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO ＝θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式；②设OP ＝x (km)，将y 表示成x 的函数关系式．(2)请你选用(1)中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．答案1．－3 2．3或4 3．a >15或a <－1 4．2 5. 326．9 7．18 8．6 9．(0,1) 10．3 11．{0,3,14,30}12．解 (1)y ＝g (t )·f (t )＝(80－2t )·(20－12|t －10|) ＝(40－t )(40－|t －10|)＝⎩⎪⎨⎪⎧(30＋t )(40－t )， 0≤t <10，(40－t )(50－t )， 10≤t ≤20. (2)当0≤t <10时，y 的取值范围是[1 200,1 225]，在t ＝5时，y 取得最大值为1 225；当10≤t ≤20时，y 的取值范围是[600,1 200]，在t ＝20时，y 取得最小值为600.答总之，第5天日销售额y 取得最大值为1 225元；第20天日销售额y 取得最小值为600元．13．解 (1)当0<x ≤100时，p ＝60；当100<x ≤600时，p ＝60－(x －100)×0.02＝62－0.02x .∴p ＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0<x ≤100，62－0.02x ， 100<x ≤600. (2)设利润为y 元，则当0<x ≤100时，y ＝60x －40x ＝20x ；当100<x ≤600时，y ＝(62－0.02x )x －40x ＝22x －0.02x 2. ∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ， 0<x ≤100，22x －0.02x 2， 100<x ≤600.当0<x ≤100时，y ＝20x 是单调增函数，当x ＝100时，y 最大，此时y ＝20×100＝2 000；当100<x ≤600时，y ＝22x －0.02x 2＝－0.02(x －550)2＋6 050，∴当x ＝550时，y 最大，此时y ＝6 050.显然6 050>2 000.所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元．14．解 (1)延长PO 交AB 于Q ，①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO ＝θ(rad)，则OA ＝AQ cos ∠BAO ＝10cos θ，所以OB ＝10cos θ. 又OP ＝10－10tan θ，所以y ＝OA ＋OB ＋OP＝10cos θ＋10cos θ＋10－10tan θ，故所求函数关系式为y ＝20－10sin θcos θ＋10 ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π4. ②若OP ＝x (km)，则OQ ＝(10－x ) (km)，所以OA ＝OB ＝(10－x )2＋102＝x 2－20x ＋200. 故所求函数关系式为y ＝x ＋2x 2－20x ＋200 (0≤x ≤10)．(2)选择函数模型①， y ′＝－10cos θ·cos θ－(20－10sin θ)(－sin θ)cos 2θ＝10(2sin θ－1)cos 2θ，令y ′＝0，得sin θ＝12，因为0≤θ≤π4，所以θ＝π6. 当θ∈⎣⎡⎭⎫0，π6时，y ′<0，y 是θ的减函数；当θ∈⎝⎛⎦⎤π6，π4时，y ′>0，y 是θ的增函数，所以当θ＝π6时，y min ＝20－10×1232＋10＝(103＋10) (km)．这时点O 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边1033km 处．。

高三数学二轮复习汇编专题六函数与方程及函数的应用

卜人入州八九几市潮王学校专题六函数与方程及函数的应用1.[2021·模拟]假设一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，那么燃烧剩下的高度h(cm与燃烧时间是t(小时)的函数关系用图象表示为()2.[2021·模拟]某消费厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，那么使该消费厂家获取最大年利润的年产量为()A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件3.[2021·模拟]某汽车销售公司在A、B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y12，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．假设该公司在两地一共销售16辆这种品牌汽车，那么能获得的最大利润是()万元 B.11万元C.43万元4.[2021·模拟]某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间是内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，那么该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况5.[2021·模拟]国家规定个人稿费纳税方法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过局部的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税．假设某人一共纳税420元，那么这个人的稿费为()A.3000元B.3800元C.3818元D.5600元6．某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利() A．25元C．15元7．[2021·五校模拟]台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向挪动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城B在A的正东40千米处，B城处于危险区内的时间是为()A．0.5小时B．1小时C．小时D．2小时8．[2021·月考]某电信公司推出两种收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间是t(分钟)与费s(元)的函数关系如下列图，当通话150分钟时，这两种方式费相差() A．10元B．20元C．30元 D.元9．[2021·高三质检]某厂去年的产值为1，假设方案在今后五年内每年的产值比上年增长10%，那么从今年起到第五年这五年内，这个厂的总产值约为________．(保存一位小数，取5≈1.6)。