4线性方程组的直接解法.
求解线性方程组的直接解法
求解线性方程组的直接解法5.2LU分解① Gauss消去法实现了LU分解顺序消元结束时的上三角矩阵U和所用的乘数,严格下三角矩阵。
将下三角矩阵的对角元改成1,记为L,则有A=LU,这事实是一般的,我们不难从消去的第k个元素时的矩阵k行及k列元素的历史得到这一点.因为从消元的历史有u kj=a kj-m k1u1j- m k2u2j -…- m k,k-1u k-1,j, j=k,k+1,…,nm ik=(a ik-m i1u1k- m i2u2k -…-m i,k-1u k-1,k>/u kk i=k+1,k+2,…,n于是a kj=m k1u1j+m k2u2j+…+m k,k-1u k-1,j+u kj, j=k,k+1,…,na ik=m i1u1k+m i2u2k+…+m i,k-1u k-1,k+m ik u kk i=k+1,k+2,…,n从前面两个式子我们可以直接计算L和U(见下段>.将矩阵分解为单位下三角矩阵和上三角矩阵之积称为矩阵的LU分解.顺序消元实现了LU分解,同时还求出了g, Lg=b的解.②直接LU分解上段我们得到(l ij=m ij>u kj=a kj-l k1u1j-l k2u2j -…- l k,k-1u k-1,j, j=k,k+1,…,nl ik=(a ik-l i1u1k-l i2u2k -…-l i,k-1u k-1,k>/u kk i=k+1,k+2,…,n2诸元素对应乘积,只不过算L的元素时还要除以同列对角元.这一规律很容易记住.可写成算法(L和U可存放于A>:for k=1:n-1for j=k:nu kj=a kj-l k1u1j-l k2u2j -…- l k,k-1u k-1,jendfor i=k+1:nl ik=(a ik-l i1u1k-l i2u2k -…-l i,k-1u k-1,k>/u kkendend这一算法也叫Gauss消去法的紧凑格式,可一次算得L,U的元素,不需逐步计算存储.考察上面的表格会发现还可安排其它计算次序,只要在这一次序下每个元素左边的L的元素与上方的U的元素已计算在先。
数值分析第三章线性方程组解法
数值分析第三章线性方程组解法在数值分析中，线性方程组解法是一个重要的主题。
线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，其中未知数的次数只为一次。
线性方程组的解法包括直接解法和迭代解法两种方法。
一、直接解法1.1矩阵消元法矩阵消元法是求解线性方程组的一种常用方法。
这种方法将方程组转化为上三角矩阵，然后通过回代求解得到方程组的解。
1.2LU分解法LU分解法是将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，然后通过解两个三角方程组求解线性方程组。
这种方法可以减少计算量，提高计算效率。
1.3 Cholesky分解法Cholesky分解法是对称正定矩阵进行分解的一种方法。
它将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和它的转置的乘积，然后通过解两个三角方程组求解线性方程组。
Cholesky分解法适用于对称正定矩阵的求解，具有较高的精度和稳定性。
二、迭代解法2.1 Jacobi迭代法Jacobi迭代法是一种迭代求解线性方程组的方法。
它通过分解系数矩阵A为一个对角矩阵D和一个余项矩阵R，然后通过迭代更新未知数的值，直至达到一定精度要求为止。
Jacobi迭代法简单易懂，容易实现，但收敛速度较慢。
2.2 Gauss-Seidel迭代法Gauss-Seidel迭代法是一种改进的Jacobi迭代法。
它通过使用新计算出的未知数值代替旧的未知数值，达到加快收敛速度的目的。
Gauss-Seidel迭代法是一种逐步逼近法，每次更新的未知数值都会被用于下一次的计算，因此收敛速度较快。
2.3SOR迭代法SOR迭代法是一种相对于Jacobi和Gauss-Seidel迭代法更加快速的方法。
它引入了一个松弛因子，可以根据迭代的结果动态地调整未知数的值。
SOR迭代法在理论上可以收敛到线性方程组的解，而且收敛速度相对较快。
三、总结线性方程组解法是数值分析中的一个重要内容。
直接解法包括矩阵消元法、LU分解法和Cholesky分解法，可以得到线性方程组的精确解。
(整理)线性方程组的直接法
第二章线性方程组的直接法在近代数学数值计算和工程应用中，求解线性方程组是重要的课题。
例如，样条插值中形成的关系式，曲线拟合形成的法方程等，都落实到解一个元线性方程组，尤其是大型方程组的求解，即求线性方程组（2.1）的未知量的数值。
（2.1）其中ai j，bi为常数。
上式可写成矩阵形式Ax = b，即（2.2）其中，为系数矩阵，为解向量，为常数向量。
当detA=D0时，由线性代数中的克莱姆法则，方程组的解存在且惟一，且有为系数矩阵的第列元素以代替的矩阵的行列式的值。
克莱姆法则在建立线性方程组解的理论基础中功不可没，但是在实际计算中，我们难以承受它的计算量。
例如，解一个100阶的线性方程组，乘除法次数约为（101·100！·99），即使以每秒的运算速度，也需要近年的时间。
在石油勘探、天气预报等问题中常常出现成百上千阶的方程组，也就产生了各种形式方程组数值解法的需求。
研究大型方程组的解是目前计算数学中的一个重要方向和课题。
解方程组的方法可归纳为直接解法和迭代解法。
从理论上来说，直接法经过有限次四则运算，假定每一步运算过程中没有舍入误差，那么，最后得到方程组的解就是精确解。
但是，这只是理想化的假定，在计算过程中，完全杜绝舍入误差是不可能的，只能控制和约束由有限位算术运算带来的舍入误差的增长和危害，这样直接法得到的解也不一定是绝对精确的。
迭代法是将方程组的解看作某种极限过程的向量极限的值，像第2章中非线性方程求解一样，计算极限过程是用迭代过程完成的，只不过将迭代式中单变量换成向量而已。
在用迭代算法时，我们不可能将极限过程算到底，只能将迭代进行有限多次，得到满足一定精度要求的方程组的近似解。
在数值计算历史上，直接解法和迭代解法交替生辉。
一种解法的兴旺与计算机的硬件环境和问题规模是密切相关的。
一般说来，对同等规模的线性方程组，直接法对计算机的要求高于迭代法。
对于中等规模的线性方程组，由于直接法的准确性和可靠性高，一般都用直接法求解。
数值分析-线性方程组的直接解法
算法 Gauss(A,a,b,n,x)
1. 消元 For k=1,2, … , n-1 1.1 if akk=0 , stop; 1.2 For i=k+1,k+2, …, n 1.2.1 l ik=aik /akk => aik 1.2.2 For j=k+1，k+2, … ,n ai j -aik ak j =>aij 1.2.3 bi -aik bk=> bi 2. 回代 2.1 bn / an=>xn; 2.2 For i=n-1,n-2, …, 2,1 2.2.1 bk => S 2.2.2 For j=k+1，k+2, … ,n S –akj xj =>S 2.2.3 S/ akk => xk a1 1 a1 2 a13 a2 1 a2 2 a23
线性方程组的直接解法
刘 斌
线性方程组的直接解法
§1 Gauss消去法 1.1 顺序Gauss消去法
1.2
§2 2.1 2.2 2.3
列主元Gauss消去法
Gauss消去法的矩阵运算 Doolittle分解法 平方根法
直接三角分解方法
2.4
追赶法
引入
在科学计算中，经常需要求解含有n个未知量 的n个方程构成的线性方程组 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 (1) an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
(1) a12 ( 2) a22 0
(1) (1) a13 a1 n ( 2) ( 2) a23 a2 n ( 3) ( 3) a33 a3 n
0
解线性方程组直接法
第三章 解线性方程组的直接法3.1 引言许多科学技术问题要归结为解含有多个未知量x 1, x 2, …, x n 的线性方程组。
例如，用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题，三次样条函数问题，解非线性方程组的问题，用差分法或有限元法解常微分方程、偏微分方程的边值等，最后都归结为求解线性代数方程组。
关于线性方程组的数值解法一般有两类：直接法和迭代法。
1. 直接法直接法就是经过有限步算术运算，可求得线性方程组精确解的方法（假设计算过程中没有舍 入误差）。
但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得线性方程组的近似解。
本章将阐述这类算法中最基本的高斯消去法及其某些变形。
2. 迭代法迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，迭代法需要的计算机存储 单元少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中不变，这些都是迭代法的优点；但是存在收敛性和收敛速度的问题。
迭代法适用于解大型的稀疏矩阵方程组。
为了讨论线性方程组的数值解法，需要复习一些基本的矩阵代数知识。
3.1.1 向量和矩阵 用nm ⨯R表示全部n m ⨯实矩阵的向量空间，nm C⨯表示全部n m ⨯复矩阵的向量空间。
此实数排成的矩形表，称为m 行n 列矩阵。
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⇔∈n n x x x 21x R x x 称为n 维列向量矩阵A 也可以写成其中 a i 为A 的第i 列。
同理 其中Ti b 为A 的第i 行。
矩阵的基本运算：（1） 矩阵加法 )( ,n m nm R C ,R B ,R A B A C ⨯⨯⨯∈∈∈+=+=n m ij ij ij b a c .（2） 矩阵与标量的乘法 ij j a ci αα== ,A C（3） 矩阵与矩阵乘法 p nk kj ikb acij ⨯⨯⨯=∈∈∈==∑m p n n m R C ,R B ,R A AB C ( ,1（4） 转置矩阵 ji ij T n m a c ==∈⨯ , ,A C R A （5） 单位矩阵 ()nn ⨯∈=Re ,,e ,e I n 21 ，其中()T k e 0,0,1,0,0 = k=1,2,…,n（6） 非奇异矩阵 设n n ⨯∈R A ，n n ⨯∈R B 。
数值分析小论文线性方程组的直接解法
数值分析小论文线性方程组的直接解法线性方程组的直接解法是指通过一系列的代数运算直接求解线性方程组的解。
线性方程组是数值分析中非常重要的问题，广泛应用于工程、科学、计算机图形学等领域。
在线性方程组的直接解法中，最常用的方法是高斯消元法，它是一种基于矩阵变换的方法。
高斯消元法将线性方程组表示为增广矩阵，并通过一系列的行变换将增广矩阵转化为行阶梯形矩阵，从而得到方程组的解。
高斯消元法的主要步骤包括消元、回代和得到方程组的解。
消元是高斯消元法的第一步，通过一系列的行变换将增广矩阵的元素转化为上三角形式。
在消元过程中，我们首先找到主元素，即矩阵的对角线元素，然后将其它行的元素通过消元操作转化为0，从而使得矩阵逐步变成上三角形矩阵。
回代是高斯消元法的第二步，通过一系列的回代操作求解线性方程组。
回代操作是从上三角形矩阵的最后一行开始，通过依次求解每个未知数的值，最终得到方程组的解。
高斯消元法的优点是算法简单易于实现，可以在有限的步骤内求解线性方程组，适用于一般的线性方程组问题。
但是高斯消元法也存在一些问题，例如当矩阵的主元素为0时，无法进行消元操作，此时需要通过行交换操作来避免这种情况。
另外，高斯消元法对病态矩阵的求解效果较差，容易引起舍入误差累积，导致解的精度下降。
在实际应用中，为了提高求解线性方程组的效率和精度，人们常常使用一些改进的直接解法，例如列主元高斯消元法和LU分解法。
列主元高斯消元法通过选择最大主元来避免主元为0的情况，进一步提高了求解线性方程组的精度。
LU分解法将矩阵表示为两个矩阵的乘积，从而将线性方程组的求解问题转化为两个三角形矩阵的求解问题，提高了求解效率。
综上所述，线性方程组的直接解法是一种基于矩阵变换的方法，通过一系列的代数运算求解线性方程组的解。
高斯消元法是最常用的直接解法之一，它简单易于实现，适用于一般的线性方程组问题。
在实际应用中，可以通过改进的直接解法来进一步提高求解效率和精度。
线性方程组的直接解法程序设计
线性方程组的直接解法程序设计一、高斯消元法高斯消元法是解线性方程组最常用的方法之一、它通过消元和回代的方式，将线性方程组转化为上三角形式，进而求解未知数的值。
程序设计步骤如下：1.读入线性方程组的系数矩阵A和常数向量b；2.进行初等行变换，将系数矩阵A转化为上三角矩阵U，并同时对常数向量b进行相应的变换；3.判断是否有唯一解，如果主对角线上存在零元素，则方程组无解；如果主对角线上所有元素都非零，则方程组有唯一解；4.进行回代计算，求解未知数的值。
高斯消元法的优点是简单直观，容易理解和实现。
但是在一些情况下，会出现主对角线上有零元素的情况，此时需要进行行交换，增加了额外的计算量。
二、LU分解法LU分解法是另一种常用的线性方程组直接解法。
它将系数矩阵A分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积，即A=LU。
程序设计步骤如下：1.读入线性方程组的系数矩阵A和常数向量b；2.进行LU分解，找到下三角矩阵L和上三角矩阵U；3.解第一个方程Ly=b，先求解向前替代方程，计算出y的值；4.解第二个方程Ux=y，再求解向后替代方程，计算出x的值。
LU分解法的优点是可以在多次需要解线性方程组的情况下重复使用LU分解的结果，提高计算效率。
但是LU分解法需要找到L和U的值，增加了额外的计算量。
三、数学实验在进行数学实验时，需要注意以下几点：1.线性方程组的系数矩阵应该是满秩的，以保证方程组有唯一解；2.对于大规模的线性方程组，可以使用稀疏矩阵存储和计算，减少内存和计算时间的消耗；3.在求解过程中，需要判断方程组是否有解，并且考虑特殊情况的处理；4.通过数学实验可以验证直接解法的正确性和有效性，分析计算结果的误差和稳定性。
综上所述，线性方程组的直接解法程序设计在计算方法和数学实验中都是重要的研究内容。
高斯消元法和LU分解法是常用的直接解法，通过编写程序并进行数学实验，可以深入理解和应用这些方法。
这些方法的有效性和稳定性对于解决实际问题具有重要意义。
线性代数方程组的直接解法赖志柱
第二章线性代数方程组的直接解法教学目标：1.了解线性代数方程组的结构、基本理论以及相关解法的发展历程；2.掌握高斯消去法的原理和计算步骤，理解顺序消去法能够实现的条件，并在此基础上理解矩阵的三角分解（即LU分解），能应用高斯消去法熟练计算简单的线性代数方程组；3.在理解高斯消去法的缺点的基础上，掌握有换行步骤的高斯消去法，从而理解和掌握选主元素的高斯消去法，尤其是列主元素消去法的理论和计算步骤，并能灵活的应用于实际中。
教学重点：1. 高斯消去法的原理和计算步骤；2. 顺序消去法能够实现的条件；3. 矩阵的三角分解（即LU分解）；4. 列主元素消去法的理论和计算步骤。
教学难点：1. 高斯消去法的原理和计算步骤；2. 矩阵的三角分解（即LU分解）；3. 列主元素消去法的理论和计算步骤。
教学方法：教具：引言在自然科学和工程技术中，许多问题的解决常常归结为线性方程组的求解，有的问题的数学模型中虽不直接表现为线性方程组，但它的数值解法中将问题“离散化”或“线性化”为线性方程组。
例如，电学中的网络问题、船体数学放样中建立三次样条函数问题、最小二乘法用于求解实验数据的曲线拟合问题、求解非线性方程组问题、用差分法或有限元法求解常微分方程边值问题及偏微分方程的定解问题，都要导致求解一个或若干个线性方程组的问题。
目前，计算机上解线性方程组的数值方法尽管很多，但归纳起来，大致可以分为两大类：一类是直接法（也称精确解法）；另一类是迭代法。
例如线性代数中的Cramer法则就是一种直接法，但其对高阶方程组计算量太大，不是一种实用的算法。
实用的直接法中具有代表性的算法是高斯（Gauss）消元法，其它算法都是它的变形和应用。
在数值计算历史上，直接法和迭代法交替生辉。
一种解法的兴旺与计算机的硬件环境和问题规模是密切相关的。
一般说来，对同等规模的线性方程组，直接法对计算机的要求高于迭代法。
对于中、低阶（200n ）以及高阶带形的线性方程组，由于直接法的准确性和可靠性高，一般都用直接法求解。
线性方程组的直接解法
线性方程组的直接解法
线性方程组（linear equation system）是一类几何问题，也是解决线性系统和代数问题的重要方法，线性方程组由多个联立方程组成，这些方程中也可能含有未知量。
直接解法是把数学模型转换为数值模型，并给出实现其解题步骤的算法，它不同于间接求解的方法，既不做任何假设，也不处理不确定性问题，只是简单地直接求解线性方程组。
解线性方程组的直接解法主要分为三种，分别是高斯消元法、列主元消去法和列坐标变换法。
高斯消元法是一种比较常用的方法，主要是把线性方程组的未知量从左到右一步步求出来，其中用到的主要技术是把矩阵中部分元素消去为零，以便求解不定线性方程组的未知量。
而列主元消去法则是以一列为主元，去消除其他联立方程中出现的此列中的变量，从而最终求出其他未知变量的值。
最后，列坐标变换法是将线性方程组转换为一个更有利于求解的矩阵，其中未知量可以直接求得解答。
除了这三种常见方法外，还有一些更特殊的直接解法，比如要解常微分方程的未知函数，可以用拉格朗日方法和分部积分方法，再比如求解雅各比方程的根，可以通过主副方程互解求解，这种方法也叫作特征根法。
综上，解线性方程组的直接解法有高斯消元法、列主元消去法、列坐标变换法等；特殊问题可以采用拉格朗日方法、分部积
分法和特征根法等。
每种方法都有自己的优势，因此在使用时，可以根据问题的特点，选择适合的方法来解决。
计算方法第三章线性方程组的直接解法
5 3
3 1
r3
r1 6
6 1 18 2
1 0
4 5 1 3
3 1
r3 r225
1 0
4 1
5 3
3 1
0 25 48 16
0 0 27 9
林龙
计算方法
6
化原方程组为三角方程组的过程为消元过程. 解三角方程组的过程为回代过程.
也可将上边的增广矩阵进一步化简.
1 4 5 3
1 0 7 1
xi
Di D
(i
1, 2,3,
)，由于方程含有n 1个
行列式.如对每个行列式按展开定理来计算.
用克莱姆法则求解,所需要的乘除运算量为
n!(n2 1) n次,若n 20用每秒一千万次的
计算机要三百万年,所以并不是凡直接法都
可以用来做实际运算.
林龙
计算方法
4
设有
§3.1直接法
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2
解 : 10
7
0
7
r1 r2
5 1 5 6
林龙
计算方法
16
10 3 5
7 2 1
0 6 5
7 4 6
r2
3 10
r1
r3
5 10
r1
10
0
0
7 0.1 2.5
0 7 6 6.1 5 2.5
r2 r3
r3
1 25
r2
10 7 0 7 x3 1
0
2.5
5
2.5
x2
2.5 5x
nn
a11 a12 .... a1n 1 0 0
a21
a22
第3章 线性方程组求解的直接解法
线性方程组求解的直接法5.2线性方程组直接解法概述直接解法就是利用一系列公式进行有限步计算，直接得到方程组的精确解的方法．当然，实际计算结果仍有误差，譬如舍入误差，而且舍入误差的积累有时甚至会严重影响解的精度．这是一个众所周知的古老方法，但用在计算机上仍然十分有效．求解线性方程组最基本的一种直接法是消去法．消去法的基本思想是，通过将一个方程乘以或除以某个常数，以及将两个方程相加减这两种手段，逐步减少方程中的变元的数目，最终使每个方程仅含一个变元，从而得出所求的解．高斯（Gauss ）消去法是其中广泛应用的方法，其求解过程分为消元过程和回代过程两个环节．消元过程将所给的方程组加工成上三角方程组，所归结的方程组再通过回代过程得出它的解．Gauss 消去法由于添加了回代的过程，算法结构稍复杂，但这种改进的算法明显减少了计算量．直接法比较适用于中小型方程组．对高阶方程组，即使系数矩阵是稀疏的，但在运算中很难保持稀疏性，因而有存储量大，程序复杂等不足．5.3直接解法5.3.1Gauss 消去法Gauss 消去法是一个古老的求解线性方程组的方法，由它改进而来的选主元法是目前计算机上常用的有效的求解低阶稠密矩阵线性方程组的方法．例5.1用Gauss 消去法解方程组1231231232221(5.3.1)1324 (5.3.2)2539(5.3.3)2x x x x x x x x x ⎧++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩解〖JP4〗第1步，式35.3.12⨯-（）（）加到式(5.3.2)上，式()15.3.1()2⨯-加到式(5.3.3)上，得到等价方程组123232322211(5.4.4)282(5.4.5)x x x x x x x ⎧++=⎪⎪-+=-⎨⎪⎪+=⎩第2步，式()2⨯5.3.4加到式(5.3.5)上得等价的方程组12323322211100(5.3.6)x x x x x x ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=⎩第3步，回代法求解方程组(5.3.6)，即可求得该方程组的解为32110,1,.2x x x ===-.用矩阵描述其约化过程即为233(2)22221011100100r r r ⨯+⇒⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦→[]122133(1)3()21()222212221,3241/201111395/20282r r r r r r A b ⨯-+⇒⨯-+⇒⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦→.这种求解过程称为具有回代的Gauss 消去法．由此例可见，Gauss 消去法的基本思想是：用矩阵的初等行变换将系数矩阵A 化为具有简单形式的矩阵（如上三角阵、单位矩阵等），而三角形方程组是很容易回代求解的．一般地，设有n 个未知数的线性方程组为11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪++=⎩L L MM M L (5.3.7)1212)(,,)(,,)T T ij n n n n A a X x x x b b b b ⨯===L L （，，，则方程组(5.3.7)化为AX b =.方便起见，记()(1)det 0A AA ==≠，(1)b b =，且()1A的元素记为()()11,ij a b ，的元素记为()1i b ，则消去法的步骤如下：第1步：1110a≠（），，计算(1)11(1)11(2,3,4),i i a m i n a ==L 用()1i m -乘方程组(5.3.7)中的第1个方程加到第i个方程中()2,3,i n =L ，即进行行初等变换()112,3,i i i R m R R i n -⋅→=L ，消去第2个到第n个方程中的未知数1,x ,得等价方程组111121(2)(2)(2)22222(2)(2)(2)2inn n n nn n x a a b x a a b ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦LMM LM M L (5.3.8)记为(2)(2)A X b =，其中(2)(1)(1)(2)(1)(1)1111(,2,3),2,3,ij ij i j i i i a a m a i j n b b m b i n =-==-=L L ，，第k 步()1,2,1k n =-L：继续上述消元过程．第1步到第1k -步计算已完成，且得到与原方程组等价的方程组(1)(1)(1)(1)1112111(2)(2)(2)222223()()()()()()nn k k k kkkn k n k k k nk nn n a a a b x a a b xx aa b x a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦L L LLOM L M MMM L(5.3.9)记为()(()K k A X b =，进行第k 步消元：设()0k kka≠，计算乘数()()(1,)k ikk ik kka m k k n a ==+L ，用ik m -乘方程组(5.3.9)中第k 个方程加到第i 1)i k n =+L （，，，个方程上消去方程组(5.3.9)中第i 1)i k n =+L （，，个方程的未知数k x ，得到与原方程组等价的方程组：(1)()()(1)()()(1)(1)()(,1,)( 1.)k k k ij ij ik kj k k k i i ik k k k k k a a m a i j k n b b m b i k n A A k b b k ++++⎧=-=+⎪=-=+⎨⎪⎩L L （）与前行元素相同，与前个元素相同 (5.3.10) 记为(1)(1)k k A X b ++=其中(1)(1,k k A b ++）中元素计算公式为(1)()()(1)()()(1)(1)()(,1,)( 1.)k k k ij ij ik kj k k k i i ik k k k k k a a m a i j k n b b m b i k n A A k b b k ++++⎧=-=+⎪=-=+⎨⎪⎩L L （）与前行元素相同，与前个元素相同 (5.3.11)重复上述过程，且设()0(1,2,1)k kk a k n ≠=-L ，共完成1n -步消元计算，得到与方程组(5.3.7)等价的三角形方程组1111211(2)(2)(2)22222()()n n n n n nn n x a a b x a b ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦LMOM M (5.3.12)再用回代法求方程组(5.3.12)的解，计算公式为()()()()1()(),(1,2,1)n n n nn n i i i ij j j i i i ii b x a b a x x i n n a =+⎧=⎪⎪⎨-⎪==--⎪⎩∑L (5.3.13)元素()k kka 称为约化的主元素．将方程组(5.3.7)化为方程组(5.3.12)的过程称为消元过程．方程组(5.3.12)的求解过程(5.3.13)称为回代过程．由消元过程和回代过程求解线性方程组的方法称为Gauss 消去法．定理5.1（Gauss 消去法）设AX b =。
线性方程组的直接解法迭代解法
广东金融学院实验报告课程名称：数值分析实验目的及要求实验目的：题一：通过数值实验，从中体会解线性方程组选主元的必要性和LU分解法的优点，以及方程组系数矩阵和右端向最的微小变化对解向最的影响。
比较各种直接接法在解线性方程组中的效果；题二：认识齐种迭代法收敛的含义、影响齐迭代法收敛速度的因素。
实验要求：题一：(1)在MATLAB中编写程序用列主元高斯消去法和LU分解求解上述方程组，输出曲b中矩阵A 及向量b和A二LU分解中的L及U, detA及解向量X.(2)将方程组中的2. 099999改为2. 1, 5. 900001改为5. 9,用列主元高斯消去法求解变换后的方程组，输出解向最x及detA,并与(1)中的结果比较。
(3)用MATLAB的内部函数inv求出系数矩阵的逆矩阵，再输入命令x=inv(A)*b,即可求出方程组的解。
请与列主元高斯消公法和LU分解法求出的解进行比较，体会选主元的方法具有良好的数值稳定性。
用MATLAB的内部曲数det求出系数行列式的值，并与(1)、(2)中输出的系数行列式的值进行比较。
(4)比较以上各种直接解法在解线性方程组中的效果。
题二：(1)选取不同的初始向M：X(0)及右端向最b,给泄迭代误差要求，用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解，观察得到的序列是否收敛？若收敛，记录迭代次数，分析计算结果并得出你的结论。
列岀算法清单。
(2)用SOR迭代法求上述方程组的解，松弛系数血取1<69<2的不同的三个值，在< 10"5时停止迭代，记录迭代次数，分析计算结呆与松弛系数血的关系并得出你的结论。
(3)用MATLAB的内部函数inv求出系数矩阵的逆矩阵.再输入命令^inv(A)*b>即可求出上述各个方程组的解.并与上述三种方法求出的解进行比较。
请将比较结果列入卜表。
方程组的解X1 Xr■迭代次数误差楮确解Jacibi解法Gause・seidel 解法SOR 解法00= 60= 60=实验环境及相关情况（包含使用软件、实验设备、主要仪器及材料等）1. Win72. Mat lab 7.0实验内容及步骤（包含简要的实验步骤流程） 实验内容：题一：解卜列线性方程组'10 -7‘X 】、(8、-3 2.099999 62Xr5.9000015-1 5 -15、12> 0< 1 >题二研究解线性方程组 做=b 迭代法的收敛性、收敛速度以及SOR 方法中/佳松弛因子的选取问题, 用迭代法求解做二b,其中・4 -1r■7 A=4 -81 ,b =-21-2 ■1515实验结果（包括程序或图表、结论陈述.数据记录及分析等，可附页）题一：直接解法解线性方程组（1）列主兀高斯消去法与LU 分解求解列主元高斯消去法:编写matalab 程序（见附录gaosi.m ）,输出矩阵10.000 -7.000 0.000= 0.000 2.5000-5.000一 0.000 0.0006.0000020.000 0.000 0.000向量8 b =1 8.300 L5.0800J解向量:X = （0 ・-1 , 1 r I ）7 其中系数行列式的值det （A ）=762.00009LU 分解求解：编J matalab 程序（见附录zhjLU. m 和LU ・m ）,执行输出：-1.5 2.300 5.080-3.0001.000000.00000.5000 -25000001.0000 0.2000 -24000000.9600 10.0000 -7.0000 0.0000 1.0000n = 0.0000-0.0000010.0000 2.3000 —0.0000 0.000015000000 57500000.0000 0.0000 0.0000 5.0800在matlab 命令窗II 输入L*U ,可以得到A 二L*U ，即分解结果正确。
线性方程组直接解法实验
实验一 线性方程组直接解法实验一、实验目的1.运用matlab 软件完成线性方程组的直接实验；2.通过实验,了解Doolittle 分解方法和列主元消去法解方程组的过程，并比较两种方法的优点。
二、实验题目分别用Doolittle 分解方法和列主元消去法解方程组123410-7018-3 2.09999962 5.9000015-15-1521021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x x x x . 输出A ，b ；Doolittle 分解方法的L 和U ；解向量x,det A ;列主元方法的行交换次序，解向量x,det A ；比较两种方法所得的结果。
三、实验原理1) Doolittle 分解方法的原理算法原理：应用高斯消去法解n 阶线性方程Ax b =经过1n -步消去后得出一个等价的上三角形方程组()()n n A x b =，对上三角形方程组用逐步回代就可以求出解来。
这个过程也可通过矩阵分解来实现。
将非奇异阵分解成一个下三角阵L 和上三角阵U 的乘积称为对矩阵A 的三角分解，又称LU 分解。
根据LU 分解,将Ax b =分解为Ly bUx y =⎧⎨=⎩形式,简化了求解问题。
程序框图：变量说明：ij a 为系数矩阵元素，i b 为常数矩阵系数，,ij ij l u 分别为下、上三角矩阵元素。
2)列主元消去法解方程组的原理算法原理：列选主元是当变换到第k步时，从k列的kk a及以下的各元素中选取绝对值a的位置上，然后再进行消元过程。
交换系数矩阵中最大的元素，通过行交换将其交换到kk的两行（包括常数项），相当于两个方程的位置交换了。
程序框图：Array变量说明：k表示消元到a为消元第k步时第k步，kk主对角线元素3)四、实验过程及结果1)Doolittle分解方法的输出结果----------计算实习题----------Page64 第1题用Doolittle分解方法解方程组A =10.0000 -7.0000 0 1.0000-3.0000 2.1000 6.0000 2.00005.0000 -1.0000 5.0000 -1.00002.0000 1.0000 0 2.0000b =8.00005.90005.00001.0000L =1.0e+006 *0.0000 0 0 0-0.0000 0.0000 0 00.0000 -2.5000 0.0000 00.0000 -2.4000 0.0000 0.0000 U =1.0e+007 *0.0000 -0.0000 0 0.00000 -0.0000 0.0000 0.00000 0 1.5000 0.57500 0 0 0.0000 X =-0.0000-1.00001.00001.0000det(A)值为-762.00009000----------输出完毕----------2)列主元消去法输出结果----------计算实习题----------Page64 第1题列主元消去法解方程组A =10.0000 -7.0000 0 1.0000-3.0000 2.1000 6.0000 2.00005.0000 -1.0000 5.0000 -1.00002.0000 1.0000 0 2.0000b =8.00005.90005.00001.0000X =0.0000-1.00001.00001.0000detA值为-762.00009000----------输出完毕----------五、实验分析1.运用LU分解法可以成批地解方程组,且速度快.若c先求LU=A3,再解(LU)x=b,则要重新计算,计算量增加;如果按照上述方法计算,能够减少运算次数,加快运算速度.3. ⑴无论当n=10、n=100、n=1000时,x1与x2的值都相等,且随着n的增大,变化的只是解的中间部分数字,头、前后几位数都没有变化.⑵高斯消去法应用于三对角方程组得到的就是所谓的“追赶法”.追赶法不需要对零元素计算，只有6n-5次乘除法计算量，求解速度快.且当系数矩阵对角占优时数值稳定，是解三对角方程组的优秀解法.⑶用LU分解法解此方程组速度慢.顺序高斯消去法实际上就是将方程组的系数矩阵分解成单位下三角矩阵与上三角矩阵的乘积.顺序高斯消去法的消元过程相当于LU分解过程和Ly=b的求解,回代过程则相当于解线性方程组Ux=y,故其求解速度慢.六、附原程序1)Doolittle分解方法原程序fprintf('----------计算实习题----------\n')fprintf('Page64 第1题用Doolittle分解方法解方程组\n')A=[10 -7 0 1 ; -3 2.099999 6 2 ;5 -1 5 -1 ; 2 1 0 2];b=[8;5.900001;5;1];n=length(A);U=zeros(n,n);L=eye(n,n);U(1,:)=A(1,:);L(2:n,1)=A(2:n,1)/U(1,1);for i=2:n;U(i,i:n)=A(i,i:n)-L(i,1:i-1)*U(1:i-1,i:n);L(i+1:n,i)=(A(i+1:n,i)-L(i+1:n,1:i-1)*U(1:i-1,i))/U(i,i); endY=zeros(n);Y(1)=b(1);for i=2:nY(i)=b(i)-L(i,1:i-1)*Y(1:i-1,1);endX=zeros(n,1);if det(U)==0;X=0;elseX(n)=Y(n)/U(n,n);for i=n-1:-1:1X(i)=(Y(i)-U(i,i+1:n)*X(i+1:n,1))/U(i,i);endendAbLUXfprintf('det(A)值为%9.8f\n',det(A))fprintf('----------输出完毕 ----------\n')2)列主元消去法原程序fprintf('----------计算实习题----------\n')fprintf('Page64 第1题列主元消去法解方程组\n')A=[10 -7 0 1 ; -3 2.099999 6 2 ;5 -1 5 -1 ; 2 1 0 2];b=[8;5.900001;5;1];C=[A b];n=length(A);D=zeros(n,n+1);l=zeros(n,1);for i=1:nD=C;k=min(find(C(i:n,i)==max(C(i:n,i))));C(i,i:n+1)=D(k+i-1,i:n+1);C(k+i-1,i:n+1)=D(i,i:n+1);l(i+1:n,1)=C(i+1:n,i)/C(i,i);C(i+1:n,i:n+1)= C(i+1:n,i:n+1)- l(i+1:n,1)*C(i,i:n+1); endX=zeros(n,1);X(n)=C(n,n+1)/C(n,n);for i=n-1:-1:1X(i)=(C(i,n+1)-C(i,i+1:n)*X(i+1:n,1))/C(i,i); endAbXfprintf('detA值为%9.8f\n',det(A))fprintf('----------输出完毕----------\n')。
第4章线性方程组的数值解法(直接法)
为了减少计算过程中的舍入误差对解的影响， 应选择 绝对值尽可能大的主元作除数， 基于这种思想导出了选主 元消去法。
2. Gauss 列主元消去法 基本思想： 在第 k 步消元前，从 A( k ) 的第 k 列 n-k+1
准确到小数点后第9位的解为 x1 2.000010000, x2 0.999989999.
如果计算过程用四位十进制浮点数（仿机器实际计算） , 用第一个方程消去第二个方程中的, 得 10 4 0.1000 x1 10 0.2000 x2 10 0.2000 6 6 10 0.2000 x2 10 0.2000 由此解得 x2 1, x1 0, 显然它不是原方程的解.
适宜于求解大型(n 1000)稀疏的(零元素较多)线性方程组。
主要方法有：
1). 雅可比（Jacobi）迭代法 2). 高斯 — 赛德尔（Guass Seidel）法
是G S方法的加速 3). 超松弛（SOR）法： 优点：速度高，计算机存储量小，程序设计简单； 缺点：有误差，需要事先确定迭代算法的收敛性及收敛速度。
(1) a12 (2) a22
(1) a1 k (2) a2 k (k ) akk
(1) a1, k 1 (2) a2, k 1 (k ) ak ,k 1
(1) a1 n (2) a2 n
0 0 0
(k ) akn
0 0
( k 1) ( k 1) ak a 1,k 1 k 1,n
3). 改进的Gauss消去法： 实际计算中常用的有效方法。
如：列（行）主元法， 全主元法， LU分解法， 平方根法， 追赶法等
（2）迭代法： 利用不动点理论将方程组变形为某种等价的迭代公式，
四个方程四个未知数快速解法
四个方程四个未知数快速解法
在代数学中，当我们有四个方程和四个未知数时，我们可以使用不同的方法来快速求解这个方程组。
以下是两种常见的解法：
1. 高斯消元法：
高斯消元法是一种常用的求解线性方程组的方法。
它的基本思想是通过矩阵的行变换将方程组化为简化行阶梯形式，从而求解出未知数的值。
具体步骤如下：- 将方程组写成增广矩阵的形式，其中矩阵左侧是系数矩阵，右侧是常数矩阵。
- 通过行变换将矩阵化为简化行阶梯形式，即将矩阵的每一行化为只有一个非零元素的行，并且每个非零元素都在上一行非零元素右边。
- 根据简化行阶梯形式的矩阵，可以直接得到未知数的值。
2. 矩阵求逆法：
如果我们将四个方程和四个未知数的方程组表示为矩阵形式，可以使用矩阵求逆的方法来求解。
具体步骤如下：
- 将方程组的系数矩阵表示为A，未知数的矩阵表示为X，常数矩阵表示为B。
- 如果A是可逆矩阵（即行列式不为零），则可以使用逆矩阵的方法求解，即X = A^(-1) * B。
这两种方法都可以快速求解四个方程四个未知数的问题，但需要注意的是，解的存在与唯一性取决于方程组的性质。
有时方程组可能无解或有无穷多解。
因此，
在使用这些方法之前，我们需要先对方程组进行适当的分析和判断。
数值分析线性代数方程组的直接解法公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
Step2 Step4 Step6
u1n Step1 u2n Step3 u3n Step5
unn Step2n-1
Step2(n-1)
对方程组求解,只要得到了系数矩阵三角分解形式,再利 用前代算法和回代算法解两个三角方程组即得.
第22页
例1：用Gauss消去 6 x1 2 x2 x3 x4 6
a (1) 11
0
A(1)
a (1) 11
c1
r1T A1
高斯变换
a (1) 11 0
r1T
第15页
取 L1 I l1e1T l1 (0, l21, , ln1 )T
其中
li1
a (1) i1
a (1) 11
i 2,3,
,n
记 A(2) L11 A(1)
1
A( 2 )
c1
a (1) 11
L11 I l1e1T
0
a (1) 11
r1T
I
n1
c1
A1
第16页
A( 2 )
a1(11) 0
A1
r1T c1r1T
a (1) 11
(ai(j2)
)
a(2) ij
a (1) ij
a a (1) (1) i1 1 j
a (1) 11
i, j 2,3,
,n
第12页
三、 三角分解计算
➢ Gauss消去法
设给定矩阵
1 4 7
A 2 5
8
取Gauss变换矩阵 3 6 10
1 0 0 L1 2 1 0
3 0 1
1 4 7
则有 L1A 0
3
6
线性方程组直接法
练习 利用LU分解法求解方程组
1 2 3 x1 2 1 3 5 x2 4. 1 3 6 x3 5
1001 2 3 2 1 答L： U 110 01 2 ， y 2 ,x 0 .
111 001 1 1
二、解三对角方程组的追赶法
在数值求解常微分方程边值问题、热传导方程和建立
二、向量和矩阵的范数
定义1 ( 向量范数) x 和 y 是 Rn 中的任意向量 , 向量范数‖•‖是定义
在 Rn上的实值函数, 它满足:
(1) ‖ x ‖≥0, 并且当且仅当 x=0 时, ‖ x ‖=0;
(2) ‖k x ‖=|k| ‖ x ‖, k 是一个实数;
(3) ‖ x + y ‖≤ ‖ x ‖+ ‖ y ‖
1 0 01 2 3
A 2 3
1 5
0 0 1 0
1 0
4
24
LU
3=-72/-24; 2=[-10+4*3]/1;
求解
1=[14-(2*2+3*3)]/1]
Ly (14, 18, 20)T , 得y (14, 10,72)T 同理当 ukk 0或 Ux (14, 10, 72)T , 得x (1, 2, 3)T 很小时，可用
子式 Di 0(i 1,2,,k)，即
a11 Di
ai1
a1i
aii
0aa1i((i1i1))
0 Di
Di1 0
由于高斯消去法过在程消中元可能ak(出 kk) 现 0的情况， 这时消去法将无；法即进使行主a元 k(kk) 素0但很小时， 用其作除数，会他导元致素其数量级的长严和重舍增
入误差的扩散，使最得后计也算的解不可靠。
线性方程组直接解法实验
实验一 线性方程组直接解法实验一、实验目的1.运用matlab 软件完成线性方程组的直接实验；2.通过实验,了解Doolittle 分解方法和列主元消去法解方程组的过程，并比较两种方法的优点。
二、实验题目分别用Doolittle 分解方法和列主元消去法解方程组123410-7018-3 2.09999962 5.9000015-15-1521021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x x x x . 输出A ，b ；Doolittle 分解方法的L 和U ；解向量x,det A ;列主元方法的行交换次序，解向量x,det A ；比较两种方法所得的结果。
三、实验原理1) Doolittle 分解方法的原理算法原理：应用高斯消去法解n 阶线性方程Ax b =经过1n -步消去后得出一个等价的上三角形方程组()()n n A x b =，对上三角形方程组用逐步回代就可以求出解来。
这个过程也可通过矩阵分解来实现。
将非奇异阵分解成一个下三角阵L 和上三角阵U 的乘积A LU =称为对矩阵A 的三角分解，又称LU 分解。
根据LU 分解,将Ax b =分解为Ly bUx y=⎧⎨=⎩形式,简化了求解问题。
程序框图：变量说明：ij a 为系数矩阵元素，i b 为常数矩阵系数，,ij ij l u 分别为下、上三角矩阵元素。
开始输入a ij ,b ii,j=1,2,…,na i1=l i1=a i1/a 11i=2,3,…,nk=2akj=ukj=akj-∑l ktj=k,…,nk=n?k=k+1y 1=b 1,y i =b i -∑l ij y ji=2,…,n x n =y n /u nnx i =(y i -∑u ij x j )/u iii=n-1,…2,1是否a kj =l jk =(a jk -∑l it u tk )/u kkj=k,…,n2)列主元消去法解方程组的原理算法原理：列选主元是当变换到第k步时，从k列的kk a及以下的各元素中选取绝对值最大的元素，通过行交换将其交换到kka的位置上，然后再进行消元过程。
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a
n
ik
xk ) / aii
步骤： 1. bn / a nn x n 2. For i n 1, n 2, ,1
k i 1
2.1 (bi
a
n
ik
x k ) / aii xi
下三角方程组的一般形式为： a11 x1 a21 x1 a22 x2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn 其中aii 0, i 1, 2, , n 下三角形方程组可以参照上三角形方程组的解法来求解， 下三角形方程组的求解顺序是从第一个方程开始，按照从上到下 的顺序，依次解出：x1 , x2 , , xn , 其计算公式为： b1 b2
构成一个含 n 个未知量的线性方程组,称为 n 阶线性方程组。 其中,系数a11,„,a1n,a21, „,a2n, „,an1, „,ann 是给定的常 数;b1, „,bn 也是给定的常数,通常称为常数项,或称为方程组 的右端. 方程组(1)也常用矩阵的形式表示,写为
Ax=b
其中,A是由系数按次序排列构成的一个n阶矩阵，称为方程组 的系数矩阵，x和b都是n维向量，称为方程组的右端向量。
x1 b1 / a11 i 1 xi (bi aik xk ) / aii (i 2, 3, , n) k 1 如上解三角形方程组的方法称为回代法。
例
1 、用回代法求解线性方程组 2 2 x1 2 x1 x2 3x 2 x 4 x 9 2 3 1
a11 a A 21 . a n1
a12 a 22 an 2
a1n a2n a nn
b1 b b 2 bn
x1 x x 2 xn
使方程组(1)中每一个方程都成立的一组数x1*,x2*, …,xn* 称为式(1)的解，把它记为向量的形式，称为解向量。
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(二)求解线性方程组的消元法
消(元)去法是求解线性方程组
Ax=b
(2)
和满秩矩阵的逆阵A-1的一种直接方法.尽管它比较古老,但它具 有演算步骤,推算公式都系统化的特点(对其中选主元消去法, 还可以证明是稳定的).因此,它至今仍然是求解方程组的一种 有效的方法.
消去法可以引出几种计算方法,下面按三角形方程 组和一般线性方程组的顺序来讨论。
解:
x1 2 / 2 1 x2 (2 1) /1 1 x3 (9 3 1 2 1) / 4 1 所以，解为 （x1 , x2 , x3 ) (1,1,1) 求解一个三角形方程组需n个除法与 1 1 2 （i 1) n(n 1) n 次加法与乘法。 2 2 i 1
我们总是希望方程组有解,且有唯一解.由线性代数的克莱 姆(cramer)规则可知,如果方程组(1)的系数矩阵A的行列式(一 般记为D=ⅠAⅠ)不等于零,那么,这个方程组有唯一解,而且它 们可以表示为 xi=Di/D (i=1,…,n) 这里,Di是指D中第i列元素用右端b1,… bn代替构成的行列式. 如果方程组(1)有唯一解,我们按上面的等式求解,就必须 计算n+1个n阶行列式.由行列式的定义,n阶行列式包含有n!项, 每一项含有n个因子,计算一个n阶行列式就需要做(n-1)n!次乘 法.而我们一共要计算n+1个n阶行列式,共需做(n2-1)n!次乘法. 此外,还要做n次除法才能算出xi(i=1,… n).也就是说,用这个 办法求解就要做
1.三角形方程组的解法
三角形方程组包括上三角形方程组和下三角 形方程组，是最简单的线性方程组之一，实际上 消元法就是通过简化一般线性方程组为三角形方 程组后再求解的。上三角方程组的一般形式是：
a11x1 a12 x2 .......... .......... .......... a1n xn b1 a22 x2 .......... .......... ......... a2 n xn b2 .......... .......... .......... ......... .. an1n1 xn1 an1n xn bn1 ann xn bn 其中aii 0 (i 1,2,......, n )
N=(n2-1)n!+n
次乘除法运算,这个计算量是大得惊人的.例如,当n=10(即求解 一个含10个未知量的方程组),乘除法的运算次数共为32659210 次;
当n=40，乘除法运算次数可达3.181049次。对于上百个未知 量的方程组，次数运算量就更大了。因此可莱姆规则在理论上 尽管是完善的，但在实际计算中却没有什么实用价值。我们将 重点讨论求解线性方程组的一种有效的数值方法。
计算方法
北京科技大学数理学院 卫宏儒 weihr@
第4章:线性方程组的直接解法
高斯消元法与主元消元法
高斯消元法是一个古老的直接法,由它改进得到的 选主元的消元法,是目前计算机上常用于求低阶稠密矩 阵方程组的有效方法,其特点就是通过消元将一般线性 方程组的求解问题转化为三角方程组的求解问题
关键词： 高斯消元法 主元消元法
(一)引言 为便于以下讨论,把涉及到的有关名词及
问题的引出暂介绍如下:
如果未知量的个数为 n ,而且关于这些未知量 x1,x2, „ ,xn 的幂次都是一次的(线性的),那么, n 个方 程
a11x1+a12x2+ „ +a1nxn=b1 ┆ ┆ ┆ an1x1+an2x2+ „ +annxn=bn (1)
为求解上面的上三角方程组，从最后一 个方程开始，先解出xn bn / ann , 然后按方程 从后向前的顺序，用已求出的xk 值，从方程 中依次解出xn 1 , xn 2 ,...., x1。这样就完成了上三 角方程组的求解过程。这个过程的计算公式为： xn bn / ann xi (bi