中考数学24题几何证明

重庆中考数学第24题专题训练

【典题1】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC 交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点，且∠BEH=∠HEG．

（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；

（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．

（1）证明：∵HE=HG，

∴∠HEG=∠HGE，

∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，

∴∠BEH=∠FGC，

∵G是HC的中点，

∴HG=GC，

∴HE=GC，

∵∠HBE=∠CFG=90°．

∴△EBH≌△GFC；

（2）解：过点H作HI⊥EG于I，

∵G为CH的中点，

∴HG=GC，

∵EF⊥DC，

HI⊥EF，

∴∠HIG=∠GFC=90°，

∠FGC=∠HGI，

∴△GIH≌△GFC，

∵△EBH≌△EIH（AAS），

∴FC=HI=BH=1，

∴AD=4-1=3．

【典题2】已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向形外作等边△ABD和等边△ACE．

（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD；

（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点．

证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形，

∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，

∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，

在△DAC和△BAE中，

AC=AE ∠DAC=∠BAE AD=AB ，

∴△DAC≌△BAE（SAS），

∴DC=BE；

（2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，

由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，

∴∠DGF=∠FAE=90°，

又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，

∴∠ABC=60°，

又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB，

∴∠DBG=∠ABC=60°，

在△DGB和△ACB中，

∠DGB=∠ACB ∠DBG=∠ABC DB=AB ，

∴△DGB≌△ACB（AAS），

∴DG=AC，

又∵△AEC为等边三角形，∴AE=AC，

∴DG=AE，

在△DGF和△EAF中，

∠DGF=∠EAF ∠DFG=∠EFA DG=EA ，

∴△DGF≌△EAF（AAS），

∴DF=EF，即F为DE中点．

【典题3】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD的中点，EF∥AB交BC于点F （1）求证：BF=AD+CF；

（2）当AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC时，求EF的长．

（1）证明：如图（1），延长AD交FE的延长线于N

∵∠NDE=∠FCE=90°

∠DEN=∠FEC

DE=EC

∴△NDE≌△FCE

∴DN=CF

∵AB∥FN，AN∥BF∴四边形ABFN是平行四边形

∴BF=AD+DN=AD+FC

（2）解：∵AB∥EF，

∴∠ABN=∠EFC，即∠1+∠2=∠3，

又∵∠2+∠BEF=∠3，

∴∠1=∠BEF，∴BF=EF，

∵∠1=∠2，∴∠BEF=∠2，

∴EF=BF，

又∵ BC+AD=7+1

∴ BF+CF+AD=8

而由（1）知CF+AD=BF

∴ BF+BF=8

∴2BF=8，

∴BF=4，∴BF=EF=4

【典题4】在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD,∠ABC=60°,延长AD到E,使DE=AD,延长DC到F，使DC=CF,连接BE、BF和EF.

⑴求证：△ABE≌△CFB;

⑵如果AD=6,tan∠EBC的值.

解：（1）证明：连结CE，

在△BAE与△FCB中，

∵ BA=FC，∠A=∠BCF，， AE=BC，

∴△BAE≌△FCB；

（2）延长BC交EF于点G，作AH⊥BG于H，作AM⊥BG，∵△BAE≌△FCB，

∴∠AEB=∠FBG，BE=BF，

∴△BEF为等腰三角形，

又∵AE∥BC，

∴∠AEB=∠EBG，

∴∠EBG=∠FBG，

∴BG⊥EF，

∵∠AMG=∠EGM=∠AEG=90°，

∴四边形AMGE为矩形，

∴AM=EG，

在Rt△ABM中，A

B D

E

C

F

AM=AB •sin60°=6× 23 =33 ， ∴EG=AM=33，

BG=BM+MG=6×2+6×cos60°=15，

∴tan ∠EBC=531533==BG

EG

【典题5】已知：AC 是矩形ABCD 的对角线，延长CB 至E ，使CE=CA ，F 是AE 的中点，连接DF 、CF 分别交AB 于G 、H 点（1）求证：FG=FH ；（2）若∠E=60°，且AE=8时，求梯形AECD 的面积．

（1）证明：连接BF

∵ABCD 为矩形

∴AB ⊥BC AB ⊥AD AD=BC

∴△ABE 为直角三角形

∵F 是AE 的中点

∴AF=BF=BE

∴∠FAB=∠FBA

∴∠DAF=∠CBF

∵ AD=BC, ∠DAF=∠CBF ,AF=BF ,

∴△DAF ≌△CBF

∴∠ADF=∠BCF

∴∠FDC=∠FCD

∴∠FGH=∠FHG

∴FG=FH ；

（2）解：∵AC=CE ∠E=60°

∴△ACE 为等边三角形

∴CE=AE=8

∵AB ⊥BC

∴BC=BE=CE

21=4

∴根据勾股定理AB=34

∴梯形AECD 的面积=21×(AD+CE)×CD=21

×(4+8)×34=324

【典题6】如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD=90°，且CD=2AD ，tan ∠ABC=2，过点D 作DE ∥