2019年IB课程数学HL试题及参考答案(2018年5月考试真题必备资料)
2018年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)
a 2018年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2018B1、设集合{}8,1,0,2=A ，集合{}A a a B ∈=|2，则集合B A 的所有元素之和是 ◆答案： 31★解析:易知{}16,2,0,4=B ，所以{}16,8,4,2,1,0=B A ，元素之和为31.2018B 2、已知圆锥的顶点为P ，底面半径长为2，高为1．在圆锥底面上取一点Q ，使得直线PQ 与底面所成角不大于045，则满足条件的点Q 所构成的区域的面积为 ◆答案： π3★解析:记圆锥的顶点P 在底面的投影为O ，则O 为底面中心，且1tan ≤=∠OQOPOQP ，即1≥OQ ，故所以区域的面积为πππ31222=⨯-⨯。
2018B 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是奇数的概率为 ◆答案：101 ★解析：由def abc +为奇数时，abc ，def 一奇一偶，①若abc 为奇数，则c b a ,,为5,3,1的排列，进而f e d ,,为6,4,2的排列，这样共有3666=⨯种；②若abc 为偶数，由对称性得，也有3666=⨯种，从而def abc +为奇数的概率为101!672=。
2018B 4、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 通过原点，)1,3(=n 是l 的一个法向量．已知数列{}n a 满足：对任意正整数n ，点),(1n n a a +均在l 上．若62=a ，则54321a a a a a 的值为 ◆答案： 32-★解析:易知直线l 的方程为x y 3-=，因此对任意正整数n ，有n n a a 311-=+，故{}n a 是以31-为a 公比的等比数列.于是23123-=-=a a ，由等比数列的性质知325354321-==a a a a a a2018B 5、设βα,满足3)3tan(-=+πα，5)6tan(=-πβ，则)tan(βα-的值为◆答案： 47-★解析:由两角差的正切公式可知7463tan =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+πβπα，即可得47)tan(-=-βα2018B 6、设抛物线x y C 2:2=的准线与x 轴交于点A ，过点)0,1(-B 作一直线l 与抛物线C 相切于点K ,过点A 作l 的平行线，与抛物线C 交于点N M ,，则KMN ∆的面积为为 ◆答案：21★解析:设直线l 与MN 的斜率为k ，:l 11-=y k x ，:MN 211-=y k x 分别联立抛物线方程得到：0222=+-y k y （*），和0122=+-y ky （**） 对（*）由0=∆得22±=k ；对（**）得2442=-=-k y y NM所以2121=-⋅⋅=-==∆∆∆∆N M KBAN BAM BMN KMN y y AB S S S S2018B 7、设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]2,1上严格递减，且满足1)(=πf ，0)2(=πf ，则不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤1)(010x f x 的解集为◆答案：[]ππ--4,62★解析：由)(x f 为偶函数及在区间[]2,1上严格递减知，)(x f 在[]1,2--上递增，结合周期性知，)(x f 在[]1,0上递增，又1)()4(==-ππf f ，0)2()62(==-ππf f ，所以不等式等价于)4()()62(ππ-≤≤-f x f f ，又14620<-<-<ππ，即不等式的解集为a[]ππ--4,622018B 8、已知复数321,,z z z 满足1321===z z z ，r z z z =++321，其中r 是给定的实数，则133221z z z z z z ++的实部是 （用含有r 的式子表示） ◆答案： 232-r★解析:记133221z z z z z z w ++=，由复数的模的性质可知：111z z =，221z z =，331z z =，因此 133221z z z z z z w ++=。
数学IB训练题(含详细解答)
1B 训练11．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos (0)a a ρθθ=>,过点P (-2，-4)的直线l 的参数方程为24x y =-=-⎧⎪⎨⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 相交于,A B 两点．（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （Ⅱ）若2PA PB AB =，求a 的值．2．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知直线l的参数方程为1222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=.（Ⅰ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB .3．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2(1x tt y t =+⎧⎨=+⎩为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下，曲线P 的方程为24cos 30ρρθ-+=.（1）求曲线C 的普通方程和曲线P 的直角坐标方程； （2）设曲线C 和曲线P 的交点为A 、B ，求||AB .4．已知函数()3+=x x f ,()112--=x m x g , 若()≥x f 2()4+x g 恒成立，实数m 的最大值为t .（1）求实数t .（2）已知实数x y z 、、满足222236(0),x y z a a ++=>且x y z ++的最大值是20t ，求a 的值．5．（本大题9分）已知大于1的正数,,x y z满足x y z ++=（1）求证：2222323232x y z x y z y z x z x y ++≥++++++（2）求333333111log log log log log log x y y z z x+++++的最小值.6．已知对任意x R ∈，cos cos210a x b x ++≥恒成立（其中0b >），求a b +的最大值.答案1．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos (0)a a ρθθ=>,过点P (-2，-4)的直线l 的参数方程为24x y =-=-⎧⎪⎨⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 相交于,A B 两点．（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （Ⅱ）若2PA PB AB =，求a 的值．【答案】（Ⅰ）直角坐标方程为22(0)y ax a =>，普通方程为2y x =-；（Ⅱ）1a =.【解析】试题分析：（Ⅰ）由2sin 2cos (0)a a ρθθ=>得22sin 2cos (0)a a ρθρθ=>，极坐标方程sin cos y x ρθρθ=⎧⎨=⎩得22(0)y ax a =>，将参数方程中的参数t 消去可得l 的普通方程；（Ⅱ）将参数方程代入直角坐标方程化为关于t 的一元二次方程，结合条件利用韦达定理解出a .试题解析：(1) 由2sin 2cos (0)a a ρθθ=>得22sin 2cos (0)a a ρθρθ=>∴曲线C 的直角坐标方程为22(0)y ax a => 2分直线l 的普通方程为2y x =- 4分(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程22(0)y ax a =>中，得2)8(4)0t a t a -+++=设A B 、两点对应的参数分别为12t t 、则有1212),4t t a t t a +=+⋅=+ 6分 ∵2PA PB AB =∴21212()t t t t -=⋅ 即21212()5t t t t +=⋅ 8分∴22)]40(4),340a a a a +=+++-=解之得：1a =或4a =- (舍去)∴a 的值为1 10分考点：1.参数方程；2.极坐标方程；3.一元二次方程的解法.极轴.已知直线l的参数方程为1222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=.（Ⅰ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB . 【答案】(Ⅰ) 28y x =；（Ⅱ）32||3AB =. 【解析】 试题分析：本题考查坐标系和参数方程.考查学生的转化能力和计算能力.第一问利用互化公式将极坐标方程转化为普通方程；第二问，先将直线方程代入曲线中，整理，利用两根之和、两根之积求弦长.试题解析：（Ⅰ）由2sin 8cos ρθθ=，得22sin 8cos ρθρθ=，即曲线C 的直角坐标方程为28y x =．5分（Ⅱ）将直线l 的方程代入28y x =，并整理得，2316640t t --=，12163t t +=，12643t t =-．所以1232||||3AB t t =-==． 10分考点：1.极坐标方程与普通方程的互化；2.韦达定理. 3．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2(1x tt y t =+⎧⎨=+⎩为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下，曲线P 的方程为24cos 30ρρθ-+=.（1）求曲线C 的普通方程和曲线P 的直角坐标方程； （2）设曲线C 和曲线P 的交点为A 、B ，求||AB .【答案】(1) 01=--y x ,03422=+-+x y x ；(2) ||AB =【解析】试题分析：（1）换元将2t x =-代入1y t =+化简由参数方程化为普通方程；（2）由公式cos ,sin x y ρθρθ==，222x y ρ=+，化简得03422=+-+x y x .试题解析：（1）曲线C 的普通方程为01=--y x ，曲线P 的直角坐标方程为（2）曲线P 可化为1)2(22=+-y x ，表示圆心在)0,2(，半径=r 1的圆， 则圆心到直线C 的距离为2221==d ， 所以2222=-=d r AB ． 10分考点：1.参数方程与普通方程互化；2.极坐标与直角坐标互化.4．已知函数()3+=x x f ,()112--=x m x g , 若()≥x f 2()4+x g 恒成立，实数m 的最大值为t .（1）求实数t .（2）已知实数x y z 、、满足222236(0),x y z a a ++=>且x y z ++的最大值是20t ，求a 的值． 【答案】（Ⅰ）20；（Ⅱ）1. 【解析】试题分析：（Ⅰ）若()≥x f 2()4+x g 恒成立，代入函数利用绝对值不等式求m 得最大值；（Ⅱ）由柯西不等式求解.试题解析：（Ⅰ）函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，即,2()23(4)241127x R f x x g x m x m x ∀∈=+≥+=-+-=--， 1分从而有2(73)m x x ≤-++ ， 2分 由绝对值不等式的性质可知2(73)27(3)20x x x x -++≥--+=， 因此，实数m 的最大值20t =. 3分 （Ⅱ）由柯西不等式：2222222))))⎡⎤⎡⎤++++≥++⎢⎥⎣⎦⎣⎦，5分因为222236(0)x y z a a ++=>，所以2()a x y z ≥++，因为x y z ++的最大值是1，所以1a =，当236x y z ==时，x y z ++取最大值， 6分所以1a =. 7分 考点：1、绝对值不等式；2、柯西不等式.5．（本大题9分）已知大于1的正数,,x y z 满足x y z ++=（1）求证：222x y z ++≥（2）求333333111log log log log log log x y y z z x+++++的最小值.【答案】（1）见解析；（2）3. 【解析】（1）根据柯西不等式证明即可. (2)333333333111111log log log log log log log ()log ()log ()x y y z z x xy yz zx ++=+++++然后再根据柯西不等式证明即可. 证明：（1）由柯西不等式得：2222()[(23)(23)(23)()27.232323x y z x y z y z x z x y x y z x y z y z x z x y++++++++++≥++=++++++得：2222323232x y z x y z y z x z x y ++≥++++++（2）333333333111111log log log log log log log ()log ()log ()x y y z z x xy yz zx ++=+++++ 由柯西不等式得：333333111()(log ()log ()log ())9log ()log ()log ()xy yz zx xy yz zx ++++≥ ，所以，333333311199()log ()log ()log ()(log ()log ()log ())2log ()xy yz zx xy yz zxxyz ++≥=++33x y z =++≥又xyz ∴≤33log .2xyz ∴≤得399232log 23xyz ≥⨯=所以，3333331113log log log log log log x y y z z x++≥+++当且仅当x y z ===时，等号成立.故所求的最小值是3.6．已知对任意x R ∈，cos cos210a x b x ++≥恒成立（其中0b >），求a b +的最大值.【答案】a b +的最大值为10. 【解析】试题分析：利用二倍角公式2cos 22cos 1x x =-，利用换元法()cos 11t x t =-≤≤，将原不等式转化为二次不等式2210bt at b ++-≥在区间[]1,1-上恒成立，利用二次函要对二次函数的对称轴4at b=-是否在区间[]1,1-进行分类讨论，再将问题转化为2288a b b ≤-的条件下，求a b +的最大值，试题解析：由题意知()22cos cos 21cos 2cos 112cos cos 1a x b x a x b x b x a x b ++=+-+=++-，令cos x t =，[]1,1t ∈-，则当()2210f t bt at b =++-≥，[]1,1t ∈-恒成立，开口向上，①当1b >时，()010f b =-<，不满足()2210f t bt at b =++-≥，[]1,1t ∈-恒成立，②当01b <≤时，则必有()()()110111101f a b a b a b f b a a b =++≥⎧⎧≥-+⎪⇒⇒≤+⎨⎨-=-+≥≤+⎪⎩⎩（1） 当对称轴[]1,14at b=-∉-时，即14a b ≥，也即4a b ≥时，有41b a b ≤≤+， 则13b ≤，413a b ≤+≤，则53a b +≤，当43a =，13b =时，()max 53a b +=.当对称轴[]1,14at b=-∈-时，即14a b ≤，也即4a b ≤时， 则必有()2810a b b ∆=--≤，即()228188a b b b b ≤-=-，又由（1）知()221a b ≤+， 则由于()()()2222188961310b b bbb b +--=-+=-≥，故只需2288a b b ≤-成立即可，问题转化为2288a b b ≤-的条件下，求a b +的最大值，然后利用代数式的结构特点或从题干中的式子出发，分别利用三角换元法、导数法以及柯西不等式法来求a b +的最大值.法一：（三角换元）把条件配方得：2214122a b ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，()cos 011sin 2a r rb θθ⎧=⎪≤≤⎨+=⎪⎩，所以()sin 13131cos sin 2222222r a b r r θθθϕ+=++=++≤+≤， ()max 2a b ∴+=；法二：（导数）令222(1)1,2a x x yb y =⎧∴+-≤⎨=⎩ 则即求函数的导数,椭圆的上半部分1421,433y y x y '===-⇒=∴=()max 2x y ∴+=；法三：（柯西不等式）由柯西不等式可知：222222111()[1)[8()][1]222a b a b a b +-=⋅+-≤+-+2219(88882)(1)84b b b b ≤-+-++=，当且仅当1)211b a -=,即18()2a b =-及2288a b b =-时等号成立.即当42,33a b ==时，a b +最大值为2.综上可知max ()2a b +=.考点：1.二倍角；2.换元法；3.二次不等式的恒成立问题；4.导数；5.柯西不等式。
ib数学的aahl试卷
选择题1. 若函数f(x) = x^3 - 3x + 2，那么极小值点的x坐标为：A) -1B) 0C) 1D) 无极值点2. 解不等式2x - 3 > 5，得到x的取值范围是：A) x > 1B) x > 4C) x < 1D) x < 43. 在复数中，若z = 3 - 4i，则z的复共轭是：A) 3 - 4iB) -3 + 4iC) 3 + 4iD) -3 - 4i4. 已知矩阵A为一个2x2的单位矩阵，即A=[1 0; 0 1]，则A的行列式det(A)等于：A) 0B) 1C) 2D) 无法确定5. 当抛物线y = ax^2 + bx + c的开口向下且顶点在x轴上时，判定系数b^2 - 4ac的值为：A) 大于0B) 等于0C) 小于0D) 不能确定填空题6. 若一个数列的前n项和S_n = 2n^2 + 3n，则该数列的第10项a_10是______。
7. 函数f(x) = e^x的导数f'(x)是______。
8. 直线y = mx + n与y轴的交点的坐标是______。
9. 一个长方体的长、宽、高分别是2m、3m、4m，它的对角线长度是______米。
10. 二项式展开式(1 + x)^8中x^5的系数是______。
应用题11. 一个学生从家走路到学校，前半段速度为4公里/小时，后半段速度为3公里/小时。
若整个路程是3.5公里，且用时1小时，求两段路各是多少公里？12. 某手机生产公司生产一批手机，成本价为每部2000元，市场售价为每部2500元。
问该公司至少需要卖出多少部手机才能保本？13. 小李计划在银行存款，年利率为4%，若希望3年后的本息合计能达到12000元，他最初至少需要存多少钱？14. 某商店进行打折促销，如果顾客购物满100元打9折，若一位顾客结账时原价共计150元，打折后应付多少钱？15. 假设一条小河流的流速为5公里/小时，小明划船速度比河水流速慢2公里/小时，当逆水行船时，小明每小时实际前进多少公里？。
西南大学2018级《高等数学IB》英文课程考核试卷B及答案
西南大学 计算机与信息科学学院《高等数学IB 》课程试题 【B 】卷阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，得分用阿拉伯数字写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在题号前写0；大题得分登录在对应的分数框内；统一命题的课程应集体阅卷，流水作业；阅卷后要进行复核，发现漏评、漏记或总分统计错误应及时更正；对评定分数或统分记录进行修改时，修改人必须签名。
PLEASE ANSWER IN CHINESE OR IN ENGLISH!!1. Fill the best answer in the blanks (3 points each ，15 points in all)(1) The general solution to the differential equation )0(112d d >-=+x xy x y x is __________ .(2) The sum of the series++++⋅+⋅+⋅)1(1431321211n n is _________________. (3) The angle between the planes 15263=--z y x and 522=-+z y x isarccos ___________.(4) If z =22),(y x y x y x f +-+=, then =)4,3(d z_________________.(5) Reversing the order of integration:=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎰⎰y x y x f y y d d ),(10_______ __ __ __.2. Choose the correspondingletter of the best answer that completes the特别提醒：学生必须遵守课程考核纪律，违规者将受到严肃处statements or answers the questions among A, B, C, and D, and fill in the blanks (3 points each ，15 points in all).(1) The tangent plane of the surface 922=++z y x at the point (1, 2, 4) is _____ ______. A ．1442=++z y x B ．1442=+-z y x C ．1442-=-+z y xD ．1442=--z y x(2) Let ⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(,0)0,0(),(,)sin(),(2243y x y x y x y x y x f . Then the partial derivative)0,0(y f ∂∂ ________.A ．does not existB ．equals 1C ．is equal to 0 D. is -1． (3) The interval of convergence of the power series ∑∞=--11)1(n nn nx is _____ ______. A ．)1,1(- B ．)1,1[- C ．]1,1[-D ．]1,1(-(4) The equation for the tangent to the ellipse 2422=+y x at the point (-2, 1) is ____ _____ . A. 12-=-y x B. 42-=-y x C. 42=-y x D. 42-=+y x (5) The surface integral with respect to area=⎰⎰S x Σd 2 ____ _____, where Σ i s the cone 10,222≤≤+=z y x z .A. 4π2 B. 3π2 C. 4π2- D. 3π2-3. Find the solutions for following problems by computing (8 points each ，40 points in all)(1) Find ()()115sin lim0,0,-+→xy x y y x .Solution(2) Integrate the surface integral⎰⎰++Sy x z z x y z y x d d d d d d downward the surface S :()h z y x z ≤≤+=0222.Solution(3) Evaluating the double integrals y x Ry d d e 2⎰⎰-，where R is the triangle region with vertices O (0, 0), A (1, 1), and B (0, 1). Solution(4) Use Stokes’ Theorem to e valuate the line integral ⎰++Cx z z y x x d d 4d e 22，whereC is curve determined by ⎪⎩⎪⎨⎧=+--=xy x y x z 242222counterclockwise as viewed from the positive z -axis direction.Solution (5)Applying Green’s Theorem toc alculate the line integral()()⎰-+-=Cy y y y x x xy I d cos e d 12e ，where C is the part of 2x y = from A (-1, 1) to B (1, 1).Solution4. Solve the following comprehensive problems (10 points each，30 points in all) (1) Find the shortest distance between 2xy=and 02=--yx.Solution(2) Find the sum of the series∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛11 21nn n.Solution(3) Let f (x ) has the continuous first-order derivative. Show that the line integral[]⎰-++Cy xy f y y x x y xy f y d 1)(d )(1222 is path independent in the upper half xy -plane ( y > 0), and compute the line integral from ⎪⎭⎫ ⎝⎛32,3 to (1, 2). Proof西南大学计算机与信息科学学院《高等数学》课程试题【B 】卷参考答案和评分标准 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，得分用阿拉伯数字写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在题号前写0；大题得分登录在对应的分数框内；统一命题的课程应集体阅卷，流水作业；阅卷后要进行复核，发现漏评、漏记或总分统计错误应及时更正；对评定分数或统分记录进行修改时，修改人必须签名。
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题(国际班,含解析)
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（国际班，含解析）一、选择题:在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，请将答案填在答题纸上。
1.一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积是（）A. 10B. 20C. 30D. 40【答案】B【解析】分析：要求圆柱的轴截面的面积，需先知道圆柱的轴截面是什么图形，圆柱的轴截面是矩形，由题意知该矩形的长、宽分别为，根据矩形面积公式可得结果.详解：因为圆柱的轴截面是矩形，由题意知该矩形的长是母线长，宽为底面圆的直径，所以轴截面的面积为，故选B.点睛：本题主要考查圆柱的性质以及圆柱轴截面的面积，属于简单题.2.经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作 ( )A. 1个或2个B. 0个或1个C. 1个D. 0个【答案】B【解析】若平面α外的两点所确定的直线与平面α平行，则过该直线与平面α平行的平面有且只有一个；若平面α外的两点所确定的直线与平面α相交，则过该直线的平面与平面α平行的平面不存在;故选B.3. 棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】三棱锥的表面积为四个边长为1的等边三角形的面积和，故。
选A。
4.已知直线平面，直线平面，下列四个命题中正确的是（）．（）（）（）（）A. （）与（）B. （）与（）C. （）与（）D. （）与（）【答案】D【解析】∵直线l⊥平面α，若α∥β，则直线l⊥平面β，又∵直线m⊂平面β，∴l⊥m，即(1)正确；∵直线l⊥平面α，若α⊥β，则l与m可能平行、异面也可能相交，故(2)错误；∵直线l⊥平面α，若l∥m，则m⊥平面α，∵直线m⊂平面β，∴α⊥β；故(3)正确；∵直线l⊥平面α，若l⊥m，则m∥α或m⊂α，则α与β平行或相交，故(4)错误；故选D.5.若平面∥平面，直线∥平面,则直线与平面的关系为( )A. ∥B.C. ∥或D.【答案】C【解析】【分析】利用空间几何体，发挥直观想象，易得直线与平面的位置关系.【详解】设平面为长方体的上底面，平面为长方体的下底面，因为直线∥平面，所以直线通过平移后，可能与平面平行，也可能平移到平面内，所以∥或.【点睛】空间中点、线、面位置关系问题，常可以借助长方体进行研究，考查直观想象能力.6.经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有( )A. 1个B. 2个C. 无数个D. 1个或无数个【答案】D【解析】【分析】讨论平面外一点和平面内一点连线，与平面垂直和不垂直两种情况.【详解】（1）设平面为平面，点为平面外一点，点为平面内一点，此时，直线垂直底面，过直线的平面有无数多个与底面垂直；（2）设平面为平面，点为平面外一点，点为平面内一点，此时，直线与底面不垂直，过直线的平面，只有平面垂直底面.综上，过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有1个或无数个，故选D.【点睛】借助长方体研究空间中线、面位置关系问题，能使问题直观化，降低问题的抽象性.7.如果直线与平面不垂直，那么在平面内（）A. 不存在与垂直直线B. 存在一条与垂直的直线C. 存在无数条与垂直的直线D. 任意一条都与垂直【答案】C【解析】【详解】因为直线l与平面不垂直，必然会有一条直线与其垂直，而所有与该直线平行直线也与其垂直，因此选C8.正四棱柱的高为3cm,体对角线长为cm,则正四棱柱的侧面积为( )A. 10B. 24C. 36D. 40【答案】B【解析】【分析】设正四棱柱，设底面边长为，由正四棱柱体对角线的平方等于从同一顶点出发的三条棱的平方和，可得关于的方程.【详解】如图，正四棱柱，设底面边长为，则，解得：，所以正四棱柱侧面积.【点睛】本题考查正棱柱的概念，即底面为正方形且侧棱垂直于底面的几何体，考查几何体的侧面积计算.二、填空题:请将答案填在答题纸上。
2019年IB课程数学HL试题及参考答案(2018.5月考试真题概率与统计)
M17/5/MATHL/HP3/ENG/TZ0/SP
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【独家带详解答案】IGCSE2019年数学真题卷1(060612)_20200830123606
0606/12 May/June 2019
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ADDITIONAL MATHEMATICS Paper 1
2019年全国高中数学联合竞赛试卷(加试)(B卷)(附答案详解)
2019年全国高中数学联合竞赛试卷（加试）（B卷）一、解答题（本大题共4小题，共180.0分）(k= 1.设正实数a1，a2，⋯，a100满足a i≥a101−i(i=1,2,⋯,50).记x k=ka k+1a1+a2+⋯+a k 1,2,⋯,99).证明：x1x22⋯x9999≤1．2.求满足以下条件的所有正整数n：(1)n至少有4个正约数；(2)若d1<d2<⋯<d k是n的所有正约数，则d2−d1，d3−d2，…，d k−d k−1构成等比数列．3.如图，点A，B，C，D，E在一条直线上顺次排列，满足BC=CD=√AB⋅DE，点P在该直线外，满足PB=PD.点K，L分别在线段PB，PD上，满足KC平分∠BKE，LC平分∠ALD．4.将一个凸2019边形的每条边任意染为红、黄、蓝三种颜色之一，每种颜色的边各673条．证明：可作这个凸2019边形的2016条在内部互不相交的对角线将其剖分成2017个三角形，并将所作的每条对角线也染为红、黄、蓝三种颜色之一，使得每个三角形的三条边或者颜色全部相同，或者颜色互不相同．答案和解析1.【答案】证明：注意到a 1，a 2，⋅⋅⋅，a 100>0，对k =1，2，⋅⋅⋅，99， 由平均值不等式可得，0<(ka1+a 2+⋅⋅⋅+a k)k ≤1a1a 2⋅⋅⋅a k，从而有x 1x 22⋅⋅⋅x 9999=k =1π99a k+1k (ka1+a 2+⋅⋅⋅+a k)k≤k =1π99a k+1k a1a 2⋅⋅⋅a k，记①的右端为T ，则对任意i =1，2，⋅⋅⋅，100，a i 在T 的分子中的次数为i −1，在T 的分母中的次数为100−i ，从而T =i =1π100a i 2i−101=i =1π50a i 2i−101a 101−i 2(101−i)−101=i =1π50(a 101−i ai)101−2i ，又0<a 101−i ≤a i (i =1,2,⋅⋅⋅,50)，故T ≤1，结合①得，x 1x 22⋅⋅⋅x 9999≤T ≤1．【解析】略 略2.【答案】解：(1)由条件可知k ≥4，且d 3−d 2d 2−d 1=d k −dk−1d k−1−d k−2， 易知d 1=1，d k =n ，d k−1=n d 2，d k−2=nd 3，代入上式可得，d 3−d 2d 2−1=n−nd 2n d 2−n d 3，化简可得，(d 3−d 2)2=(d 2−1)2d 3，由此可知，d 3 是完全平方数，由于d 2=p 是n 的最小素因子，d 3 是平方数， 故只能d 3=p 2，从而系列d 2−d 1，d 3−d 2，⋅⋅⋅，d k −d k−1为p −1，p 2−p ，p 3−p 2，⋅⋅⋅，p k−1−p k−2， 即d 1，d 2，d 3，⋅⋅⋅，d k 为1，p ，p 2，⋅⋅⋅，p k−1，而此时相应的n 为p k−1， 综上所述，满足条件的n 为所有形如p a 的数，其中p 是素数，整数a ≥3．【解析】略 略3.【答案】证明：令AB =1，BC =CD =t(t >0)，由条件知DE =t 2，注意到∠BKE <∠ABK =∠PDE <180°−∠DEK ，可在CB延长线上取一点A′，使得∠A′KE=∠ABK=∠A′BK，此时有△A′BK∽△A′KE，故A′BA′K =A′KA′E=BKKE，又KC平分∠BKE，故BKKE =BCCE=tt+t2=11+t，于是有A′BA′E =A′BA′K⋅A′KA′E=(BKKE)2=11+2t+t2=ABAE，由上式两端减1，得BEA′E =BEAE，从而A′=A，因此∠AKE=∠A′KE=∠ABK，同理可得∠ALE=∠EDL，而∠ABK=∠EDL，所以∠AKE=∠ALE，因此A，K，L，E四点共圆．【解析】略．略．4.【答案】证明：我们对n≥5归纳证明加强的命题：如果将凸n边形的边染为三种颜色a，b，c，并且三种颜色的边均至少有一条，那么可作满足要求的三角形剖分．当n=5时，若三种颜色的边数为1，1，3，由对称性，只需考虑如下两种情形，分别可作图中所示的三角形剖分．若三种颜色的边数为1，2，2，由对称性，只需考虑如下三种情形，分别可作图中所示的三角形剖分．假设结论对n(n≥5)成立，考虑n+1的情形，将凸n+1边形记为A1A2⋯A n+1．情形1：有两种颁色的边各只有一条．不妨设a，b色边各只有一条．由于n+1≥6，故存在连续两条边均为c色，不妨设是A n A n+1，A n+1A1．作对尔线A1A n，并将A1A n染为c色，则三角形A n A n+1A1的三边全部同色．此时凸n边形A1A2⋯A n的三种颜色的边均至少在一条，由归纳假设，可对共作符合要求的三角形剖分．情形2：某种颜色的边只在一条，其余纹色的边均至少两条．不妨设a色边只有一条，于是可以选择两条相邻边均不是a色，不妨设A n A n+1，A n+1A1均不是a色，作对角线A1A n，则A1A n有唯一的染色方式，使得三你形A n A n+1A1的三边全部同色或互不同色．此时凸n边形A1A2⋯A n的三种颜色的边均至少有一条，由归纳假设，可对其作符合要求的三角形剖分．情形3：每种颜色的边均至少两条．作对角线A1A n，则A1A n有唯一的染色方式，使得三角形A n A n+1A1的三边全部同色或互不同色．此时凸n边形A1A2⋯A n的三种颜色的边均至少有一条，由归纳假设，可对其作符合要求的三角形剖分．综合以上3种情形，可知n+1的情形下结论也成立．由数学归纳法，结论获证．【解析】略．略．。
2018年IB数学HL试题及参考答案
4.
[Maximum mark: 11] The weights of male students in a college are modelled by a normal distribution with mean 80 kg and standard deviation 7 kg. The weights of female students in the college are modelled by a normal distribution with mean 54 kg and standard deviation 5 kg. (a) Find the probability that the weight of a randomly chosen male student is more than twice the weight of a randomly chosen female student.
[6]
The college has a lift installed with a recommended maximum load of 550 kg. One morning, the lift contains 3 male students and 6 female students. You may assume that the 9 students are randomly chosen. (b) Determine the probability that their combined weight exceeds the recommended maximum.
5.41 5.22 5.54 5.58 5.20 5.57 5.23 5.32 5.46 5.37
You may assume that the weights of this breed of bird are normally distributed. (a) (b) State suitable hypotheses for testing the above claim using a two-tailed test. Calculate unbiased estimates of the mean and the variance of the weights of this breed of bird. (i) (ii) Determine the p-value of the above data. State whether or not the claim is supported by the data, using a significance level of 5 %. [1]
IB数学相关习题及答案
三立教育
IB数学相关习题及答案
IB课程分配在六个基础学科领域里，学生既要学习科学科目，又要学习人文科目。
所有参加文凭项目的学生，必须在这六个学科组中每组选一门课程进行学习。
1.曲线y=arctanx在点（1，0.25п）处的法线方程为（2x=y=2+0.25п）。
2.设f(x)在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则在（a，b）内至少存在一点ε，使得f(b) -f(a)=( fˊ(ε)(b-a) )
3.如果，就说β与α是（等价无穷小）。
29设A=(-∞,-5) ∪(5,+ ∞) ,B=(-10,3)，则A∩B=( [-10,-5) )。
4.函数的定义域用区间表示为( (- ∞, 0 ) )。
5.函数的定义域为( x=2kЛ (k= 0, ) ，它以(2Л)为周期。
6.函数f(x)=arctanx-x的单调性是（单调减少）。
7.椭圆4x2+y2=4在点（0，2）处的曲率为（k=2 ）
8.(1）设A,B是两个集合，所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的（并集）
（2）设A,B是两个集合，所有既属于A又属于B元素组成的集合称为A与B的（交集）
9.曲线xy+lny=1在点M(1,1)处的切线方程为（x+2y=3 ），法线方程为（2x-y=1）。
以上为大家介绍的IB数学中的习题及答案，感兴趣的人可以了解，希望能够对大家学习IB数学有帮助。
IB课程试题及答案
IB课程试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在IB课程中，以下哪项不是核心组成部分？A. 知识理论（TOK）B. 创造、行动与服务（CAS）C. 扩展论文（EE）D. 语言习得2. 以下哪个学科不属于IB课程的六个学科组？A. 语言文学B. 人文科学C. 科学D. 体育教育3. 学生在IB课程中选择的高级水平（HL）课程最多可以有几门？A. 2门B. 3门C. 4门D. 5门4. 以下哪个选项是IB课程的评估标准？A. 百分制B. 等级制C. 积分制D. 排名制5. 学生在IB课程中完成的扩展论文（EE）通常需要多少字？A. 3000-4000字B. 4000-5000字C. 5000-6000字D. 6000-7000字6. 以下哪个不是IB课程中知识理论（TOK）的评估方式？A. 口头报告B. 书面论文C. 个人项目D. 团队展示7. 学生在IB课程中，CAS活动需要满足哪些条件？A. 至少参与100小时B. 至少参与200小时C. 至少参与300小时D. 至少参与400小时8. 以下哪个不是IB课程的评估目标？A. 知识与理解B. 应用与分析C. 记忆与重复D. 综合与评估9. 学生在IB课程中，以下哪个学科组是必选的？A. 第二语言B. 艺术C. 数学D. 计算机科学10. 学生在IB课程中，以下哪个选项不是CAS活动的特点？A. 创造性B. 活动性C. 服务性D. 竞争性答案：1-5 DCBDC6-10 DABCD二、简答题（每题5分，共30分）11. 请简述IB课程的核心组成部分及其目的。
答：IB课程的核心组成部分包括知识理论（TOK）、创造、行动与服务（CAS）和扩展论文（EE）。
知识理论（TOK）旨在培养学生的批判性思维能力，鼓励学生反思知识的本质和知识获取的过程。
创造、行动与服务（CAS）鼓励学生参与创造性活动、体育活动和社区服务，以促进个人成长和社会责任感。
扩展论文（EE）要求学生进行独立研究，撰写一篇4000字的论文，以培养研究能力和学术写作技巧。
2018-2019学年高二数学5月试题理(含解析)
2018-2019学年高二数学5月试题理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数（）A. 1+2iB. 1-2iC. -1+2iD. -1-2i【答案】A【解析】试题分析：考点：复数运算2.甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为，，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解。
【详解】由于甲、乙考试达到优秀的概率分别为，，则甲、乙考试未达到优秀的概率分别为0.4，0.3，由于两人考试相互独立，所以甲、乙两人都未达到优秀的概率为：故答案选D【点睛】本题考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，考查对独立事件的理解和掌握程度，属于基础题。
3.的展开式中各项的二项式系数之和为（）A. B. 512 C. D. 1【答案】B【解析】【分析】展开式中所有项的二项系数和为【详解】展开式中所有项的二项系数和为.的展开式中各项的二项式系数之和为故答案选B【点睛】本题考查了二项系数和，属于基础题型.4.用反证法证明命题“已知，，，则,中至多有一个不小于0”时，假设正确的是（）A. 假设,都不大于0B. 假设,至多有一个大于0C. 假设,都小于0D. 假设,都不小于0【答案】D【解析】【分析】利用反证法的定义写出命题结论的否定即可.【详解】根据反证法的概念，假设应是所证命题结论的否定，所以假设应为：“假设，都不小于0”，故选：D【点睛】反证法的适用范围是:（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．5.下表是离散型随机变量X的分布列，则常数的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用概率和为1解得答案.【详解】，解得.故答案选C【点睛】本题考查了分布列概率和为1，属于简单题.6.已知函数，且，则（）A. B. C. 3 D.【答案】B【解析】【分析】求导，带入导函数解得答案.【详解】因为，所以，解得.故答案选B【点睛】本题考查了导数的计算，意在考查学生的计算能力.7.设，则（）A. 2B.C.D.【答案】C【解析】【分析】取，得到，取，得到，得到答案.【详解】令，则原式化为令，得，所以.【点睛】本题考查了二项式定理，分别取是解题的关键.8.将A，B，C，D，E，F这6个宇母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满足A，B，C三个字母连在一起，且B在A与C之间的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将A，B，C三个字捆在一起，利用捆绑法得到答案.【详解】由捆绑法可得所求概率为.故答案为C【点睛】本题考查了概率的计算，利用捆绑法可以简化运算.9.某导弹发射的事故率为，若发射次，记出事故的次数为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意知本题是在相同的条件下发生的试验，发射的事故率都为0.001，实验的结果只有发生和不发生两种结果，故本题符合独立重复试验，由独立重复试验的方差公式得到结果．【详解】由于每次发射导弹是相互独立的，且重复了10次，所以可以认为是10次独立重复试验，故服从二项分布，.故选B.【点睛】解决离散型随机变量分布列和期望、方差问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多．10.已知函数在上不单调，则m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求导，函数不单调，解得答案.【详解】.因为在上不单调，所以，故.故答案为A【点睛】本题考查了函数的单调性，意在考查学生的计算能力.11.我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2～3艘驱逐舰，1～2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同组建方法种数为（）A. 30 B. 60C. 90D. 120【答案】D【解析】【分析】将5艘驱逐舰和3艘核潜艇分两类求解即可得到答案.【详解】由题意得2艘驱逐舰和1艘核潜艇，3艘驱逐舰和2艘核潜艇的组建方法种数为，2艘驱逐舰和2艘核潜艇，3艘驱逐舰和1艘核潜艇的组建方法种数为共60+60=120种，故选：D【点睛】本题考查排列组合的简单应用，属于基础题.12.已知函数，.直线与曲线和分别相交于两点，且曲线在A处的切线与曲线在B处的切线斜率相等，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别求导，根据题意，在上有解，方程在上有解转化为函数与函数的图象在上有交点，计算得到答案.【详解】函数的定义域为，，.因为曲线在A处的切线与在B处的切线斜率相等，所以在上有解，即方程在上有解.方程在上有解转化为函数与函数的图象在上有交点，令过原点且与函数的图象相切的直线的斜率为k，只须，令切点为，则，又，所以，解得，于是，所以.故答案选A【点睛】本题考查了曲线的切线问题，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.二、填空题：把答案填在答题卡中的横线上.13.设，则________.【答案】【解析】【分析】先利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可求出.【详解】，则，故答案为：。
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1. [Maximum mark: 5]
2019 年 IB 课程精编题库
Mathematics HL
说明
HL 数学几大板块相对于 SL 来说，每一块的深度和广度提高到了更高的层次，具体 每一块都增加了以下内容：1. 代数（Algebra）部分增加了数学归纳法证明和复数 相关内容，复数的运算、复平面、极坐标、棣莫弗定理及其运用、共轭复数及在多 项式中的运用。
2. 函数（Function）部分增加了奇偶函数、绝对值函数、导数函数，高次函 数图像、因数和余数定理、韦达定理，分式函数部分增加了高次除以高次函数。
3. 三角函数（Trigonometry）增加了复合角公式、反三角函数及其图像、三 角函数实际应用。
4. 向量（Vector）增加了向量的叉乘，利用叉乘求三角形面积，平面的向量 表示形式，直线与平面夹角、平面与平面夹角及三个平面间的位置关系。
5. 概率统计(Statistic and probability)部分增加了计数原理与排列组合问 题，概率密度函数及其在平均数和方差中的应用，常用分布增加了泊松分布。
6. 微积分（Calculus）增加了隐函数求导导数的应用和分部积分等积分方法。
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the
term
independent
Байду номын сангаас
of
x
in
the
binomial
expansion
of
2
x
2
+
1 2x3
10
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