几何最值之将军饮马(知识点总结)

几何最值之将军饮马

一、将军饮马问题背景

诗中隐含着一个有趣的数学问题，如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出

1.两点之间线段最短

2.垂线段最短

通常在求最值的时候我们会借助于几何三大变化，轴对称、平移、旋转变换进行线段的转移，从而转化成两大核心原理进行最值求解。

二、 将军饮马问题题型 1. 将军饮马--单动点求最值

问题1：如图，在直线l 上找一点P ，使得PA PB +的值最小？

问题解决：如下图，由两点之间线段最短可知，当点A P B 、、三点共线时，PA PB +最小，即线段AB 的长度。

问题2：如图，A B 、两点在直线l 上方，在直线l 上找一点P ，使得PA PB +的值最小？

问题解决：当A B 、两点在直线l 同侧时，PA PB +的长度是一条折线，要求PA PB +的最小值必须通过一定方法化折为直。如下图，作点B 关于直线l 的对称点'B 。PA PB +的长度转化为'PA PB +的长度。

故点'A P B 、、三点共线时，PA PB +最小，即线段'AB 的长度。

问题3：如图，A B 、两点在直线l 上方，在直线l 上找一点P ，使得||PA PB -的值最大？

问题解决：||PA PB -的值最大如何求，可以联想到三角形三边关系。利用两边之差小于第三边可知，||PA PB AB -≤。如下图，故点A B P 、、三点共线时，||PA PB AB -=，此时取到最大值，即线段AB 的长度。

问题4：如图，A B 、两点在直线l 的异侧，在直线l 上找一点P ，使得||PA PB -的值最大？

问题解决：这种情况||PA PB -的最大值和之前的解决方案是一样的，如下图，通过作点B 关于直线l 的对称点'B ，将||PA PB -转化成|'|PA PB -。

由问题3可知，当点'A B P 、、三点共线时，|'|=||PA PB PA PB --取到最大值，即线段'AB 的长度。

问题5：如图，A B 、两点在直线l 的同侧，在直线l 上找一点P ，使得||PA PB -的值最小？

问题解决：我们知道绝对只是有最小值的，那就是0。所以||PA PB -的最小值如何求，其实就是找一点P ，使得||=0PA PB -，即PA PB =。如下图，故作线段AB 的垂直平分线与直线l 的交点，即为所求点P 。

当A B 、两点在直线l 的异侧时，只需按照之前做对称点的思路求解即可，故不再赘述。