变换的定义与收敛域()

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第八章-Z变换与离散系统z域分析

第八章：Z 变换§8.1 定义、收敛域（《信号与系统》第二版（郑君里）8.1，8.2，8.3）定义（Z 变换）： ♦序列()x n 的双边Z 变换：()(){}()nn X z x n x n z+∞-=-∞∑Z（8-1）♦序列()x n 的单边Z 变换：()(){}()0n n X z x n x n z +∞-=∑Z（8-2）注：1）双边：()()()()10nnn n n n X z x n zx n zx n z +∞-∞+∞---=-∞=-===+∑∑∑（8-3）为Laurent 级数，其中，()1nn x n z-∞-=-∑是Laurent 级数的正则部，()0nn x n z+∞-=∑是主部。

2）z 是复平面上的一点图8-13）对因果序列：单边Z 变换=双边Z 变换。

♦定义（逆Z 变换）：对双边Z 变换()()nn X z x n z+∞-=-∞=∑()1C1d 2j m z X z z π-⎰(1C 12j m n z x π+∞-=-∞⎡=⎢⎣∑⎰ ()C 12j m n x n z π+∞=-∞⎡=⎢⎣∑⎰由Cauchy 定理，有1C d 0,2j m n z z m nπ--=⎨≠⎩⎰ （8-4）其中，C 为包围原点的闭曲线，()()1C1d 2j m x m z X z z π-∴=⎰上式= 定义：()()(){}11C1d 2j n x n z X z z X z π--==⎰Z（8-5）注：（8-4）的求解：j z re θ=，j d j d z r e θθ=，则有()()21110C 2011d 2j 2j 1102j m n m n m n j j m n m n z z r e rje d m n r e d m nπθθπθθππθπ--------==⎧==⎨≠⎩⎰⎰⎰，，图8-2 柯西定理证明示意图收敛域： ♦定义（收敛域）：对有界()x n ，使()()nn X z x n z+∞-=-∞=<∞∑一致的z 的集合。

4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域

∫
∞
s
a s s π ds = arctan = − arctan 2 2 s +a as 2 a
21
四、延时（时域平移）延时（时域平移）
若LT [ f (t )] = F ( s ), 则当t0 > 0时, 有 : LT [ f (t − t0 )u (t − t0 )] = e
− st0
F ( s)
1 (18) (1 − e − at ) t
−3t
∫ ∫
∞
s
1 1 s ( − )ds = ln s s+a s+a
∞
s
s = − ln s+a
∞
(19)
e
−e t
−5t
∞
s
1 1 s+3 s+5 ( − )ds = ln = ln s+3 s+5 s+5 s s+3
∞
sin( at) ( 20) t
11
例4 − 1 求f (t ) = sin( ωt )的拉氏变换F ( s).
1 jωt − jω t f (t ) = sin(ωt ) = (e − e ) 2j
e j ω t − e − jω t F ( s ) = LT [sin(ωt )] = LT [ ] 2j 1 1 1 1 jω t − jω t = − ( LT [e ] − LT [e ]) = [ ] 2j 2 j s − jω s + j ω
18
三、时域积分与复频域积分特性 1、时域积分特性
若LT [ f (t )] = F ( s ), 则LT [ ∫ 其中 : f
( −1) t −∞

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换 1、基本定义： ⎰∞∞--=dt e t x s X st )()(2、收敛域：（1）右边信号：−→−=<0)(0t x t t 时，极点右侧（2）左边信号：−→−=>0)(0t x t t 时，极点左侧（3）双边信号：占有整个时间域的信号−→−带状区域（4）时限信号：有限长信号，只在某一个时间区间不等于0，在其他所有时间内全为0−→−整个s 区域（意味着变换式中没有极点）4、拉式变换的主要性质：)()()()()()(11s X t x s X t x s X t x LLL−→←−→←−→← ROC: 21R R R5、用拉普拉斯变换分析与表征LTI 系统一个LTI 系统输入和输出的拉普拉斯变换是通过乘以系统单位冲激响应的拉普拉斯变换联系起来的，即)()()(s X s H s Y =当ωj s =时，)(s H 就是这个LTI 系统的频率响应；在拉普拉斯变换范畴内，一般称)(s H 为系统函数或转移函数（1）因果性（2）稳定性6、由线性常系数微分方程表征的LTI 系统见504P7、系统函数的代数属性与方框图表示两系统级联：单位冲激响应 )()()(21t h t h t h *=→)()()(21s H s H s H=两系统并联：单位冲激响应 )()()()()()(2121s H s H s H t h t h t h +=→+=两LTI 系统的反馈互联：)()(1)()()()(211s H s H s H s H s X s Y +==−→−+)(t x )(t y8、单边拉式变换：重要价值在于求解非零状态下的系统响应⎪⎩⎪⎨⎧==⎰⎰+-∞-ωσωσπj j st st ds e s X t x dte t x s X )(21)()()(0 收敛域：要么在极点的右半平面，要么是整个s 平面（1）单边拉普拉斯变换性质（2）利用单边拉普拉斯变换求解微分方程见518P。

第二章Z变换

2n－
1 3
(0.5)n
u
(
n
)
由已知的收敛域知道是因果序列
n0 n0
16
２、长除法
x(n)的z变换定义为z-1的幂级数，即
X (z )x ( n )z n x ( 1 )z x ( 0 ) x ( 1 )z 1 x ( 2 )z 2 n
因此只要在给定的收敛域内将X(z)展成幂级数，则级数的系数就是序列x(n)。一般情况下，X(z)是一个有理分式，分子分母都是z的多项式，则可直接用分子多项式除以分母多项式，得到幂级数展开式，从而得到x(n)。
[ x ( n ) ] X ( z ) R x |z | R x
[y (n ) ] Y (z ) R y |z| R y
则 [ a ( n ) b x ( n ) y a ] ( z ) b X ( z )Y R |z | R 其中RmaRx x,[Ry]，RmiR nx,[Ry]，即线性组合后的
zb
| z||b|
如果a=b，则此例与上例中右边序列的Z变换表达式完全一样，所以只给出Z变换的闭合表达式是不够的，不能正确得到原序列，必须同时给出收敛域范围，才能惟一确定一个序列，这就说明了研究收敛域的
重要性。
10
４、双边序列
一个双边序列可以看做一个左边序列和一个右边序列之和，因此双边序列Z变换的收敛域就应该是这两个序列Z变换的公共收敛区间。
0 |z| , n 20
ROC
0
Re[z]
有限长序列的收敛域
5
例：矩形序列是一个有限长序列，x(n)=RＮ(n)，求其 X(z)。
解：
X(z)n x(n)znN n 0 1zn1 1 zz N 1

序列Z变换与反变换

ROC 包含 Rx1 Rx2
注：若线性组合过程中出现某些零点和极点相互抵消时，收敛域会扩大！
例：已知 x(n) cos(0n)u(n) 求其z变换。
cos(0n)u(n)
1 2
[e
j0n
e
j0n
]u(n)
Z
[anu(n)]
1
1 az1
,
z
a
Z[e
j0nu(n)]
1
e
1
j0
z 1
,
z
e j0
若n2 0 : 0 < z < R
Im z
ROC R x+ Re z
几种不同序列z变换的ROC
(4) 双边序列
X (z)
x(n)zn
n
ROC R < z < R
R
x-
Im z ROC
Re z R
x+
z反变换
x(n) 1 X (z)zn1dz 2πj c
C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线
4
4 15
Z反变换
2）当n≤-2时，X(z)zn-1在z=0处有多重极点。因此C内有极点：z=1/4(一阶), z=0为(n+1)阶极点；而在C外的无穷远处没有极点，仅有 z=4这个一阶极点；且此时分母中z的次数大于分子中z的次数二次以上:
x(n)
-
Res[ zn1
/(4
z )( z
1 4
)]z
1
2 j
X (z)zn1dz
c
Res[ X (z)zn1]zzk
k
1
2 j
X (z)zn1dz
c
Res[ X (z)zn1]zzm

z变换的定义和收敛域PPT课件

——电子信息工程
第二章离散系统的变换域分析
——电子信息工程
u( t ) 0
f
t
——电子信息工程
主要内容： • z变换及其收敛域 • 部分分式展开法求z反变换 • z变换的主要性质 • 离散系统的系统函数和频率响应 • 系统函数与差分方程的关系 • 线性时不变系统的基本结构
——电子信息工程
2.1 z变换与z逆变换
n0
n
若有 | a || b |
X(z) z z za zb
| a || z || b |
——电子信息工程
3.典型序列z变换
(1) x(n) (n) 1, 任意z
(2)
x(n)
u(n)
1
1 z 1
,
|z|1
(3)
x(n)
u(n
1)
1
1 z 1
,
|z|1
(4)
x(n)
a n u(n)
x(n) 0
——电子信息工程
例：求序列 x(n) bnu(n 1) 的 z 变换及收敛域
1
解： X (z) x(n)zn bnzn bnzn 1 bnzn
n
n
n1
n0
当 | z |时1，级数 b
收b 敛n z n
n0
X (z)
1
n0
bnzn
1
1 1 b1z
z zb
| z || b |
注意：左边序列和右边序列具有相同的z变换形式，但收敛域不同。
——电子信息工程
（4）.双边序列
双边序列是指n为任意值时x(n)皆有值的序列。
1
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn

习题课-拉氏变换

1 1 1 F ( s) = F δ( t) + f3 ( 0− ) = ∴ 3 s s s 这是应用微分性质应特别注意的问题。这是应用微分性质应特别注意的问题。
12
(3)
f1′( t) =3 ( t) δ
t
f 2′ ( t ) = δ ( t )
( 1) o
f 3′ ( t ) = δ ( t )
x3 (t ) 1
o 1 2 3
t
14
解：Y( s) =Y ( s) +Y ( s) =Y ( s) +H( s) F( s) x f x
Y ( s) =Y ( s) +Y f ( s) =Y ( s) +H( s) X1 ( s) 1 x 1 x 1 =Y ( s) +H( s) =1+ x s +1 Y2 ( s ) = Yx ( s ) + Y2 f ( s ) = Yx ( s ) + H ( s ) X 2 ( s )
f (t )
1
o
ROC：整个s平面：整个平面
1
2
6t
方法三：方法三：利用微分性质求解信号的波形仅由直线组成，信号的波形仅由直线组成，信号导数的拉氏变换容易求得，或者信号经过几次微分后出现原信号，容易求得，或者信号经过几次微分后出现原信号，这时利用微分性质比较简单。时利用微分性质比较简单。微分两次，所得波形如图9-2（）所示。将 f ( t)微分两次，所得波形如图（b）所示。
1
2
2
1 −s 1 −s 1 2 −2s −s 1 −2s −s 1 −2s 1 −s =− e + e − − ( e −e ) + 2e −e + e − e s s s s s s s 1 −s 2 = 2 (1−e ) 5 ROC：整个平面：整个s平面 s

信号的拉普拉斯变换和z变换

⎰∞∞--=t e t f s F st b d )()(⎰∞--=0def d e )()(t t f s F st)(d e )(j 21)(j j deft s s F t f st επσσ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰∞+∞-第三章信号的拉普拉斯变换和z 变换一、拉普拉斯变换的定义1.双边拉普拉斯变换只有选择适当的σ值才能使积分收敛，信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。

※象函数相同，但收敛域不同。

双边拉氏变换必须标出收敛域。

2.单边拉氏变换3.常见函数的拉普拉斯变换及其⎰∞+∞-=j j d e )(j21)(σσπs s F t f st b Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为Fb(s)的双边拉氏逆变换（或原函数）。

从0-开始收敛域二、拉普拉斯变换性质线性性质尺度变换证明：[]⎰∞--=de)()(tatfatf L st，则令atτ=时移特性与尺度变换相结合复频移（s域平移）特性时域的微分特性（微分定理）若f(t)←→F(s),Re[s]>σ0,则f’(t)←→sF(s)–f(0-)证明：()()()())(deedessFfttsft ftt f ststst+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--='--∞-∞---∞-⎰⎰推广：()()[])0()0()()0(d)(d22----'--='--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡fsfsFsffsF sttfL∑-=----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1)(1)0()(d)(d nrrrnnnfssFsttfL若f1(t)←→F1(s)Re[s]>σ1,f2(t)←→F2(s)Re[s]>σ2则a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s)Re[s]>max(σ1,σ2)若f(t)←→F(s),Re[s]>σ0，且有实数a>0，则f(at)←→)(1asFa若f(t)<----->F(s),Re[s]>σ0,且有实常数t0>0,则f(t-t0)ε(t-t0)<----->e-st0F(s),Re[s]>σ0若f(t)←→F(s),Re[s]>σ0,且有复常数s a=σa+jΩa,则f(t)e s a t←→F(s-s a),Re[s]>σ0+σas-→2：?)(sin ←→t t t ε=三、拉普拉斯逆变换三种方法：（1）查表（2）利用性质（3）部分分式展开-----结合∴......,,321为不同的实数根，n p p p p nn p s K p s K p s K s F -++-+-= 2211)(ip s i i s F p s K =-=)()()(e ]1[1t p s L t p i i ε=--若象函数F(s)是s 的有理分式，可写为1110111.......)(a s a s a s b s b s b s b s F n n n m m m m ++++++++=----若m ≥n （假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。

第三章拉普拉斯变换

f (0+ ) = f0 (0+ ) = limsF (s) 0
s→∞
下面证明上式的正确性设对于F(s)长除后有
F(s) = Kmsm + Km−1sm−1 +⋯+ K0 + F (s) 0
式中F0(s)是真分式.对上式取逆变换
f (t) = Kmδ (t) + Km−1δ
m
m−1
(t) +⋯+ K0δ (t) + f0 (t)
第三章拉普拉斯变换
§3.1 拉普拉斯变换
一拉普拉斯变换的定义及收敛域 ①定义双边拉普拉斯变换对
∞ F(s) = ∫ f (t)e−st dt −∞ σ + j∞ 1 F(s)est ds f (t) = 2 j ∫ − j∞ π σ
其中， = σ + jω 称为复频率，s平面为复平面。 s
−a < Re(s) < a
由上式可以看出，X(s)没有零点，在 s=a 和 s=-a 处有两个极点，如下图
-a
a
如果 a<0， 1）式和（2）式的收敛域不重叠，没有公共的（收敛域，因此，x(t)的拉氏变换不存在。
§3.2 拉氏变换的基本性质
• 线性
a1 f1(t) + a2 f2 (t) ⇒ a1F (s) + a2F2 (s) 1
• 尺寸变换 • 时间平移 • 频率平移
f (t)es0t ⇒ F(s − s0 )
1 f (at) ⇒ F(s / a) a
f (t − t0 )u(t − t0 ) ⇒ F(s)e−st0
• 时域微分
df (t)/ dt ⇒ sF(s) − f (0− )

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换基本要求拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。

能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。

能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。

理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。

会判定系统的稳定性。

知识要点1. 拉普拉斯变换的定义及定义域（1）定义单边拉普拉斯变换：正变换0[()]()()stf t F s f t dt e ζ∞--==⎰逆变换1[()]()()2j stj F s f t F s ds j e σσζπ+∞-∞==⎰双边拉普拉斯变换：正变换()()stB s f t dt e F ∞--∞=⎰逆变换1()()2j stB j f t s ds j e F σσπ+∞-∞=⎰（2）定义域若0σσ>时，lim ()0tt f t eσ-→∞=则()tf t eσ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()stf t dte +∞--⎰存在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。

0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。

0σ与函数()f t 的性质有关。

2. 拉普拉斯变换的性质（1）线性性若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时，则11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+（2）原函数微分若[()]()f t F s ζ=则()[]()(0)df t sF s f dtζ-=- 式中()(0)r f-是r 阶导数()r rd f t dt在0-时刻的取值。

（3）原函数积分若[()]()f t F s ζ=，则(1)(0)()[()]tf F s f t dt s sζ---∞=+⎰式中0(1)(0)()ff t dt ---∞=⎰（4）延时性若[()]()f t F s ζ=，则000[()()]()st f t t u t t e F s ζ---=（5） s 域平移若[()]()f t F s ζ=，则[()]()atf t e F s a ζ-=+（6）尺度变换若[()]()f t F s ζ=，则1[()]()sf at F a aζ=（a >0）（7）初值定理lim()(0)lim ()t o s f t f sF s ++→→∞==（8）终值定理lim ()lim ()t s f t sF s →+∞→∞=（9）卷积定理若11[()]()f t F s ζ=，22[()]()f t F s ζ=，则有1212[()()]()()f t f t F s F s ζ*=12121[()()][()()]2f t f t F s F s jζπ=*=121()()2j j F p F s p dp j σσπ+∞-∞-⎰3. 拉普拉斯逆变换（1）部分分式展开法首先应用海维赛展开定理将()F s 展开成部分分式，然后将各部分分式逐项进行逆变换，最后叠加起来即得到原函数()f t 。

Z变换定义与性质

z sin0
z2 2z cos0 1
尺度变换性质
如果： f (n) F (z)
则： a n f (n) F ( z )
a
若 a = -1： (1)n f (n) F (z)
a0
a可为实数或复数
例2
f (n) an (n)
(n) z
z 1
an (n)
z
a z 1
z za
a
尺度变换性质
Z变换的性质
线性性质尺度变换性质时移性质 z域微分特性卷积和特性
线性性质
如果： f1(n) F1(z)
f2 (n) F2 (z)
则： af1(n) bf2 (n) aF1(z) bF2 (z)
例1：
Z sin(0n) (n)
1 2 j
z z e j0
z z e j0
故
F(z) z za
za
图1 右边序列的收敛域
右边序列的收敛域是Z平面以原点为圆心，
以 a 为半径的圆外区域。
z变换定义和收敛域
。
例2 已知 f (n) bn(n 1),求其双边Z变换及收敛域
解
1
F(z) bn zn (b1z)n 1 (b1z)n
n
n1
n0
1
lim
n
1 (b1z)n 1 b1z
n0
记为： F (z) Z f (n)
称为序列f (n) 的双边z变换
称为序列f (n) 的单边z变换
原函数
Z反变换的定义
Ñ f (n) 1
F (z)zn1dz
2π j c
z变换对： f (n) Z -1 F ( z)
简记为： f (n) F(z)

Z变换和差分方程

04
离散系统稳定性分析与判断
离散系统稳定性概念及意义
稳定性定义
离散系统的稳定性是指系统在受到外部扰动后，能够恢复到原平衡状态的能力。
VS
稳定性意义
稳定性是离散系统正常工作的前提，不稳定的系统可能导致输出失控、性能恶化甚至损坏。
基于差分方程稳定性分析方法
差分方程
描述离散系统动态行为的数学模型，通过求解差分方程可得到系统输出。
若$x[n]$的Z变换为$X(z)$ ，则$x[n]e^{jomega n}$ 的Z变换为 $X(ze^{ jomega})$。证明过程基于复指数函数的性质和Z变换的定义。
若$x_1[n]$和$x_2[n]$的Z 变换分别为$X_1(z)$和 $X_2(z)$，则它们的卷积 $x_1[n]*x_2[n]$的Z变换为 $X_1(z)X_2(z)$。证明过程利用卷积的定义和Z变换的性质进行推导。
系统函数与稳定性分析
系统函数是描述系统频率响应特性的重要工具，可通过Z变换求得。同时，利用系统函数可进行系统稳定性分析，如判断系统是否稳定等。
Z变换和差分方程在其他领域应用前景探讨
数字信号处理
Z变换和差分方程在数字信号处理领域具有广泛应用，如滤波器设计、信号压缩与重构等。
控制系统分析
在控制系统中，Z变换和差分方程可用于分析系统稳定性、设计控制器等。
收敛域
Z变换的收敛域是指使得级数 $sum_{n=-infty}^{infty} |x[n]z^{n}|$收敛的所有$z$的集合。收敛域对于Z变换的分析和性质至关重要。
常见函数Z变换表
单位样值信号
$delta[n]$的Z变换为$1$，收敛域为整个复平面。
单位阶跃信号

2第二章-z变换

p0 p1e j p2 e j 2 pM e jM H ( e j ) d 0 d1e j d 2 e j 2 d N e jN
调用： num [ p0 , p1 , p2 , , pM ]
den [d 0 , d1 , d 2 , , d N ] H freqz(num, den, )
ˆ X a ( s)
X (z )
思考练习
?
X a (s)
2. Z变换与傅里叶变换
s j 的拉普拉斯变换即为傅里叶变换，
ze e
sT
jT
映射为z平面的单位圆
jT
X ( z ) z e jT X (e
ˆ ) X a ( j)
抽样序列在单位圆上的z变换，等于其理想抽样信号的傅里叶变换。

c
c
| H (e j ) |2 d
c
Parseval定理
序列的傅立叶变换是从频域对离散时间信号和系
统进行分析。它是用{ 变换用{
jt
e
j n
}作为基函数对序
列进行正交展开，这与连续时间信号中的傅立叶
e
}对模拟信号进行展开相似。
4. 序列傅立叶变换的对称性
• 序列的共轭对称性质
xe (n) xe (n) 若序列 xe (n)满足
则称 xe (n)为共轭对称序列
若序列xo (n)满足 xo (n) x
o
( n)
则称 xo (n)为共轭反对称序列
任何序列 x(n)均可表示成上述两种序列之和，
即x(n) xe (n) xo (n) 1 xe ( n) {x( n) x ( n)} 2 其中 1 xo ( n) {x( n) x ( n)} 2

z变换的收敛域

所谓比值判定法就是说若有一个正项级数
n=∞
∑ a ，令它的后项与前项的比值等于 ρ ，即
∞ n
an+1 lim =ρ n→∞ a n
ρ <1,级数收敛。 ρ >1,级数发散。 ρ =1,不能肯定。
2) 根值判定法
根等于 ρ 所谓根值判定法，是令正项级数一般项的n次所谓根值判定法，
lim n an = ρ
n=∞
x(n)zn ∑
∞
已知两序列分别为x u(n)， (n)=例1：已知两序列分别为x1(n)=anu(n)，x2(n)=u(- 1)，分别求它们的z变换， anu(-n-1)，分别求它们的z变换，并确定它们的收敛域。的收敛域。解： X1(z) = ZT(x1(n)) = ∑an zn
n=0 ∞
ρ <1,级数收敛。 ρ >1,级数发散。 ρ =1,不能肯定。
n→∞
下面利用上述判定法讨论几类序列的z变换收敛域问题下面利用上述判定法讨论几类序列的z
三、几类序列的收敛域
有限长序列（有始有终序列） 1、有限长序列（有始有终序列）这类序列只在有限的区间具有非零的有限值 (n1 ≤ n ≤ n2 ) 此 n 时z变换为 X (z) = x(n)zn n ≤n≤n
根据级数的理论，根据级数的理论，级数收敛的充要条件是满足绝对可和条件，足绝对可和条件，即要求
n=∞
∑| x(n)z
∞
n
|< ∞
可以用两种方法求级数的收敛域——比值判定可以用两种方法求级数的收敛域——比值判定 —— 法和根值判定法。法和根值判定法。
二、两种正项级数收敛性的判别方法
1）比值判定法
n
X (z) =

Z变换的定义与收敛域

c)零点、极点和增益常数表示
H ( z ) = kz
( N M )
( z z (1))( z z (2) ( z z ( M )) ( z p(1))( z p (2)) ( z p ( N ))
L
d) 2阶因子表示
H ( z) = ∏
k =1
b0 k + b1k z 1 + b2 k z 2 1 2 a0 k + a1k z + a2 k z
单位圆 Im(z) Re(z)
单位圆
Im(z) Re(z)
稳定因果系统
非稳定非因果系统
单位圆
Im(z) Re(z)
稳定非因果系统
系统函数
对LTI系统:
y[k]=x [k]*h[k]
由z变换的性质：Y(z)=H(z)X(z) H(z)称为离散LTI系统的系统函数当的H(z) ROC包含单位圆时
H ( e j ) = H ( z ) z = e j
(1) m! 1 = (m 1)! ( z a) 2+ m 1
m 1
= ma ( m +1) = (k + 1) a k
z =0
k
x[k ] = (k + 1)a u[k 1]
系统的稳定性和H(z) 系统的稳定性和
LTI系统稳定的充要条件：
∑ k = ∞
∞
h[k ] < ∞
H(z)的收敛域包含单位圆
留数法求Z反变换留数法求反变换
1 k 1 x[k ] = ∫c X ( z ) z dz 2πj
l
C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线
= ∑ Re s{ X ( z ) z k 1 } z = p

§4.12 双边拉氏变换

例:4-28 (请自学)
右图电路, 右图电路,∞ < t < 0时,开关 S 位于" "端,当 = 0时,从" " 位于" 1 t S 1 转至" 2 v 波形. 转至" "端,求 c (t )波形. e(t ) = Eu( t ) 解: 取双边拉式变换, 取双边拉式变换,注明收敛域 E E(s) = S 系统函数 1
, z变换的关系. 全面理解傅式变换拉氏变换和变换的关系. 收敛域: 收敛域: F 在给出某函数的双边拉式变换式 B (s)时,必须注明其
. 收敛域
二.双边拉氏变换的收敛域
全时域信号
eβ t ep t = α t e t <0 t >0 (α, β为实数) 为实数)
从时域看,只要 pt 乘以收敛因子后,在→ ±∞时,乘积从时域看, e 乘以收敛因子后, t 函数皆为零即可. 函数皆为零即可. limeβ t eσ t = 0
§4.12 双边拉氏变换
定义定义双边拉氏变换的收敛域双边拉氏变换的收敛域
一.定义
优点: 优点:
FB(s) = ∫ f (t ) estd t
∞ ∞
t , 在某些情况下, 信号不必限在 > 0范围内在某些情况下,把所研究作统一考虑, 更清楚. 的问题从时间为 ∞到+ ∞作统一考虑,可使概念更清楚. 变换的联系更密切, 于双边拉氏变换与傅里叶变换的联系更密切,便
t
O
jω
双边拉氏变换及收敛域解(1)确定收敛域 )
O
1
σ
f3 (t )
∫∞
∞
f (t )eσt dt = ∫ e(1σ )t dt + ∫ eσt dt