七年级动点问题与绝对值有关的综合运用

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专题二绝对值的应用及动点问题

专题二绝对值的应用及动点问题一．知识应用知识点一利用绝对值求字母的取值范围例1下列各组判断中，正确的是（）A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞bC. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b|D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b)2.知识点二已知一个数的绝对值求这个数例2（易错题型）若 x = y ,且x =−3,则y =.例3 若 x −2 =3， y +2 =1，则 x +y 的值为.知识点三利用绝对值比较大小例4 若a <0,b >0, a > b ,试用“<”把a ,−a ,b ,−b 连起来.知识点四化简含字母的绝对值例5 已知a <0<c ,ab >0, b < c < a ,（1）在下面数轴上标出a ,b ,c 的大致位置.（2）化简 b − a +b + c −a + b +c .知识点五运用绝对值求最值问题例6 已知x 为有理数，则 x +3 + x −2 的最小值为.知识点六绝对值的非负性的运用例7 若 x −2 =2−x ，则x 的取值范围是.例8 已知 a −2 与 b +3 互为相反数，则a +b =.例9若abc ≠0，则||||||c c b b a a +++abc abc 的所有可能值. 知识点七绝对值的几何意义及动点问题例10数轴上A 、B 两点离原点的距离分别为2和3，则AB 间的距离是.例11数轴上表示x 和−2的两点间距离是；若 x +2 =5,则x =.二．专项训练1.化简：（1）−5; （2）−(+7); （3）−−8; （4）−−a(a<0);2.若−x=4,则x的值为（）A.4B.-4C.±4D.03.若x+2=6,则−x=（）A.4B.8C.4或8D.4或-84.（易错题）若x=−x,则x的取值范围是A.x>0B.x=0C.x<0D.x≤05.若a+b<0,则1−a−b=（）A.−1−a−bB.−1+a+bC. 1−a−bD. 1+a+b6.若x>2，则化简x−2−x+1的结果为（）A. −2x+1B. 2x+1C.2D.-37.把−−1,−23,− −45,0用“>”连接正确的是（）A.0>−−1>− −45>−23B. 0>−−1>−23>− −45C.−−1>0>−23>− −45D.−−1>0>− −45>−238.小明得到了一个如图所示的数轴草图，他想知道一些式子的符号，请你帮他完成.−a0,a+b0,a−b0,b−a0.（填“>”, “<”或“=”号）9.绝对值不大于3的所有整数为.10.数轴上表示x和−2的两点间距离是；若x+2=5,则x=.11.（易错题）已知x=5,y=7,且x−y=x−y,则x+y的值为.12.已知有理数在数轴上的对应点如图所示，化简：a+b−a−1+2+b+−a13.若点A 、B 表示的数分别是−2、6，则AB 的中点为；若点A 、B 表示的数分别是a ,b ，则AB 的中点.14.已知有理数a ，b ，c 满足1||||||=++c c b b a a ，求abcabc ||的值15.已知a 是非零有理数，求||||||3322a a a a a a ++的值.16. （易错题）化简： 11009−11008 + 11010−11009 + 11011−11010 +⋯+ 12019−12018 .17.已知数轴上三点M,O,N 表示的数分别是-3，0,1，点P 为数轴上任意一点，其表示的数为x .(1)如果点P 到点M,点N 的距离相等，那么x 的值是.(2)数轴上是否存在点P ，使点P 到点M,点N 的距离之和是5？若存在，请直接写出去x ，若不存在，请说明理由.(3)如果点P 以每分钟3个单位长度的速度从点O 向左运动时，点M ，点N 分别以每分钟1个单位长度和每分钟4个单位长度的速度向左运动，且三点同时出发，那么几分钟时点P 到点M ，点N 的距离相等？。

七年级数学期末压轴题专项复习：线段上的动点问题

0 ，即 ax + b = 0 ，解得 x = − ②当 c = 0 时，原方程变为 ax + b =
b ； a −c − b c−b c 或 ax + b = −c ，解得 x = ③当 c > 0 时，原方程变为 ax + b = 或x= ． a a
⑵形如 ax + b = cx + d ( ac ≠ 0 ) 型的绝对值方程的解法：
RN = r−n = −80 + t + 20 + 2t = −60 + 3t
MR=RN
第一级（上） ·动点问题·短期班·教师版
3
3 t 即 −60 + 3t = 2 40 3 【例题5】如图，A、B、C 是数轴上的三点，O 是原点，BO=3，AB=2BO，5AO=3CO．（1）写出数轴上点 A、C 表示的数；（2）点 P、Q 分别从 A、C 同时出发，点 P 以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点 Q 以每秒 6 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M 为线段 AP 的中点，点 N 2 在线段 CQ 上，且 CN= CQ．设运动的时间为 t（t＞0）秒． 3 ①数轴上点M、N表示的数分别是（用含t的式子表示）； ②t 为何值时，M、N 两点到原点 O 的距离相等？
【解析】
【例题3】
【解析】
的解．
3 3 ②当 x > − 时，原方程可化简为： 4 x + 3 = 2 x + 9 ， x = 3 在 x > − 的范围内，是方程的 4 4
解．综上所述 x = −2 和 x = 3 是方程的解．解法二：
9 依据绝对值的非负性可知 2 x + 9 ≥ 0 ，即 x ≥ − ．原绝对值方程可以转化为 2 ① 4 x + 3 = 2 x + 9 ，解得： x = 3 ，经检验符合题意． −(2 x + 9 ，解得 ) x = −2 ，经检验符合题意． ② 4x + 3 = 综合①②可知 x = −2 和 x = 3 是方程的解．

数轴绝对值动点综合应用

数轴绝对值动点综合应用数轴是一个用于表示数值大小和相对位置的直线。

绝对值是一个数与零的距离，可以用来表示一个数的大小，而不考虑它的正负。

综合应用则是将数轴和绝对值的概念结合起来，应用到实际问题中。

本文将以数轴绝对值动点综合应用为主题，探讨数轴和绝对值在不同领域的应用。

一、数轴绝对值在数学中的应用1. 整数的比较：通过数轴上的点来表示不同整数，可以方便地进行整数的大小比较。

例如，-3和5在数轴上的位置可以清楚地表示出来，从而比较它们的大小。

2. 绝对值的性质：绝对值的定义是一个数与零的距离，但是绝对值也有一些特殊的性质。

例如，绝对值永远是非负数，而且一个数的绝对值等于它本身当它是非负数时，等于它的相反数当它是负数时。

3. 方程的解：通过数轴上的点来表示方程的解，可以帮助我们更好地理解和解决方程。

例如，对于方程|x-3|=2，我们可以在数轴上找到距离3的绝对值为2的点，从而找到方程的解为1和5。

二、数轴绝对值在物理中的应用1. 位移和速度：在物理中，数轴可以表示物体的位移和速度。

通过在数轴上标记物体在不同时刻的位置，我们可以计算出物体的位移和速度。

绝对值可以用来表示位移的大小，而正负号则表示位移的方向。

2. 温度计：温度的绝对值是绝对零度，表示最低的温度。

温度计通过测量物体与绝对零度之间的温度差，来表示物体的温度。

数轴可以帮助我们更直观地理解和比较不同温度之间的差异。

3. 力的大小：在物理中，力的大小可以用数轴上的长度表示。

例如，一个物体受到正方向力的作用，可以在数轴上表示为正数，而受到反方向力的作用则表示为负数。

绝对值可以表示力的大小，而正负号则表示力的方向。

三、数轴绝对值在经济学中的应用1. 收入和支出：在经济学中，数轴可以表示个人或企业的收入和支出。

通过在数轴上标记收入和支出的点，可以更直观地比较它们的差异。

绝对值可以表示收入和支出的大小，而正负号则表示收入和支出的方向。

2. 利润和亏损：利润和亏损是经济学中重要的概念，可以用数轴上的点来表示。

绝对值与数轴动点结合题型大全

绝对值与数轴动点结合题型大全
1. 在数轴上标出点A，使得A的绝对值等于3。

2. 在数轴上标出点B和点C，使得B的绝对值等于5，C的绝对值等于7，并且B在C的左边。

3. 在数轴上标出点D，使得D的绝对值等于0。

4. 在数轴上标出点E和点F，使得E的绝对值等于-2，F的绝对值等于4，并且E在F的右边。

5. 在数轴上标出点G和点H，使得G的绝对值等于-6，H的绝对值等于6，并且G在H的左边。

6. 在数轴上标出点I和点J，使得I的绝对值等于2.5，J的绝对值等于-2.5，并且I在J的左边。

7. 在数轴上标出点K和点L，使得K的绝对值等于3.8，L的绝对值等于-3.8，并且K在L的
左边。

8. 在数轴上标出点M和点N，使得M的绝对值等于4.9，N的绝对值等于-4.9，并且M在N
的右边。

9. 在数轴上标出点O和点P，使得O的绝对值等于-7.3，P的绝对值等于7.3，并且O在P的
左边。

10. 在数轴上标出点Q和点R，使得Q的绝对值等于-9.2，R的绝对值等于9.2，并且Q在R的
右边。

绝对值的性质与几何意义、数轴上动点问题(6种常考题型)

绝对值的性质与几何意义、数轴上动点问题（6种常考题型）题型一利用绝对值的性质化简题型二绝对值非负性的应用题型三利用绝对值的性质求最值题型四绝对值几何意义题型五数轴上两点之间的距离题型六数轴上动点问题一．利用绝对值的性质化简（共15小题）1．已知表示有理数a ，b 的点在数轴上的位置如图所示，则a ba b+的值是（）A ．2-B ．1-C ．0D ．22．若0ab ≠，那么a ab b+的取值不可能是（）A ．2-B ．0C ．1D ．23．已知有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简1a b a +--的结果为（）A ．21a b -+B ．1b -+C ．1b --D ．21a b ---4．0a <，则化简a a aa aa++-的结果为（）A ．2-B ．1-C ．0D ．25．三个有理数a ，b ，c 在数轴上表示的位置如图所示，则化简a b c b a +--+的结果是（）A ．22a b +B ．22a b c+-C ．c-D ．2b c--6．有理数a ，b ，c ，d 使||1abcd abcd =-，则a b c d a b c d+++的最大值是．7．已知数a b c 、、位置如图所示，化简a b a c --+=．8．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图所示，则化简||2||a b a c --+的结果是．9．若12x <<，求代数式2121x x x x xx---+=--．10．若0a >，||a a=；若0a <，||a a =；①若0||||a b a b +=，则||ab ab=-；②若0abc <，则||||||a b ca b c ++=．11．有理数0a >，0b >，0c <，且a c b <<．(1)在数轴上将a ，b ，c 三个数在数轴上表示出来如图所示；(2)化简：2b c a b a c +--+-．12．已知有理数a b c d 、、、在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：a c b d c b++---13．a ，b 在数轴上的位置如图，化简b a a a b --++．14．已知有理数a 、b 、c 在数轴上位置如图所示，化简：|1|||||a c b a b c +---++．15．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示．(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：a b +______0，c a -______0，2b +______0．(2)化简：22a b c a b ++--+．二．绝对值非负性的应用（共11小题）1．如果21(2)0a b ++-=，则a b +的值为（）A ．1B ．3C ．1-D ．3-2．若()23a +与1b -互为相反数，则（）．A ．3,1a b =-=-B ．3,1a b =-=C ．3,1a b ==D ．3,1a b ==-3．若320x y -++=，则x y +的值是（）．A ．5B ．1C ．2D ．04．如果有理数x 、y 满足10x x y -++=，那么xy 的值是（）A ．1-B ．1±C ．1D ．25．若()22430||a b ++--=，则b =；a =．6．已知x 是非负数，且非负数中最小的数是0．(1)已知210a b -+-=，则a b +的值是_________；(2)当a =________时，12a -+有最小值，最小值是______．7．已知2(3)|24|0x y x +++-=，则y =．8．已知a ，b 是有理数，且满足|1||2|0a b -+-=，求a 与b 的值．9．已知230x y -++=．(1)求x y +的值．(2)求x y -的值．10．若|21||3|0x y -++=，求x 、y 的值．11．若201503b a --+=，求a ，b 的值．三．利用绝对值的性质求最值（共9小题）1．设n 个有理数12,,,n x x x ⋅⋅⋅满足1(1,2,,)i x i n <= ，且12x x +++ 1219n n x x x x =++++ ，则n 的最小值是（）A ．19B ．20C ．21D ．222．如果x 为有理数，式子20232x -+存在最大值，这个最大值是（）A ．2025B ．2024C ．2023D ．20223．若a 是有理数，则|1|2a -+的最小值是（）A ．0B ．1C ．2D ．34．（1）若6m -有最小值，则当m =时，取最小值，最小值为．（2）若260m n -+-=，则m =，n =．（3）5m -有最（填“大”或“小”）值，这个最（大）小值是．5．已知a 为有理数，则24a -+的最小值为．6．如果x 为有理数，式子20213x --存在最大值，那么这个式子有最值是，此x =7．已知，数轴上A ，B ，C 三点对应的有理数分别为a ，b ，c ．其中点A 在点B 左侧，A ，B 两点间的距离为4，且a ，b ，c 满足()220240a b c ++-=，则（1）c 的值为．（2）数轴上任意一点P ，点P 对应的数为x ，若存在x 使x a x b x c -+-+-的值最小，则x 的值为．8．阅读材料：x 的几何意义是数轴上数x 的对应点与原点之间的距离，即0x x =-，也可以说x 表示数轴上数x 与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为12x x -表示数轴上数1x 与数2x 对应点之间的距离，根据材料的说法，试求：(1)34x +=；(2)若x 为有理数，代数式32x -+有没有最大值？如果有，求出这个最大值及此时x 的值是多少？如果没有，请说明理由；(3)若x 为有理数，则13x x -+-有最______值（填“大”或“小”），其值为________．9．阅读下面的材料：点A B ，在数轴上分别表示有理数a b ，，A B ，两点之间的距离表示为AB ．当A B ，两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图①所示，AB OB b a b ===-；当A B ，两点都不在原点时，a ．如图②所示，点A B ，都在原点的右边，AB OB OA b a b a a b =-=-=-=-；b ．如图③所示，点A B ，都在原点的左边，()AB OB OA b a b a a b =-=-=---=-；c ．如图④所示，点A B ，在原点的两边，()AB OA OB a b a b a b =+=+=+-=-．综上，数轴上A B ，两点之间的距离AB a b =-．回答下列问题：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示2-和5-的两点之间的距离是，数轴上表示1和3-的两点之间的距离是；(2)数轴上表示x 和1-的两点A 和B 之间的距离是，如果2AB =，那么x 为；(3)当47x y ++-取最小值时，x =，y =．四．绝对值几何意义（共6小题）1．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：1x +的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数1-的点的距离，2x -的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数2的点的距离．当12x x ++-取得最小值时，x 的取值范围是（）A ．12x ≤≤B ．1x ≤-或2x ≥C ．12x -≤≤D ．12x ≤≤-2．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：1x +的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数1-的点的距离，2x -的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数2的点的距离．当12x x ++-取得最小值时，x 的取值范围是．3．阅读理解：对于有理数a 、b ，a 的几何意义为：数轴上表示数a 的点到原点的距离；|a -b |的几何意义为：数轴上表示数a 的点与表示数b 的点之间的距离．如：2x -的几何意义即数轴表示数x 的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题：(1)根据2x +的几何意义，若23x +=，那么x 的值是．(2)画数轴分析23x x +++的几何意义，并求出23x x +++的最小值是．(3)11232023x x x x x x +++-+-+-+⋯+-的最小值是多少？4．阅读下面的材料：根据绝对值的几何意义，我们知道53-表示5、3在数轴上对应的两点间的距离；535(3)+=--，所以53+表示5、3-在数轴上对应的两点之间的距离；550=-，所以5表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，那么A 、B 两点之间的距离可以表示为AB a b =-．回答下列问题：(1)数轴上表示6与9-的两点之间的距离是_________；数轴上表示x 与2的两点之间的距离是_______．(2)若33x -=，则x =_______．(3)满足235x x ++-=的整数x 有_______个．(4)当a =_______时，代数式12x a x ++-的最小值是3．5．阅读下列材料：经过有理数运算的学习，我们知道53-可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，()52--可以表示5与2-之差的绝对值，也可以表示5与2-两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究：(1)5x -表示数轴上有理数x 所对应的点到________所对应的点之间的距离；2x +表示数轴上有理数x 所对应的点到________所对应的点之间的距离．若25x +=，则x =________．(2)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x ，使得257x x ++-=．这样的整数x 有________________．（写出所有的整数x ）(3)利用绝对值的几何意义，求出123x x x -+++-的最小值，并说明理由．6．如图，已知数轴上点A 表示的数为8，B 是数轴上位于点A 左侧一点，且19AB =．(1)直接写出数轴上点B 表示的数；(2)53-表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如3x -的几何意义是数轴上表示有理数x 3的点之间的距离，试探索：①若82x -=，则x =（直接写出）；②118x x ++-的最小值为（直接写出）；(3)请直接写出所有满足37329a a ++-=的整数a 的值．五．数轴上两点之间的距离（共15小题）1．已A B 、两点在数轴上表示的数分别是3-和6-，若在数轴上找一点C ，使得A 和C 之间的距离是4，使得B D 、之的距离是1，则C D 、之间的距离不可能是（）A ．0B ．6C ．2D ．42．如图，一条数轴上有点A 、B 、C ，其中点A 、B 表示的数分别是14-，10，现以点C 为折点，将数轴向右对折，若点A 落在射线C 上且到点B 的距离为6，则C 点表示的数是（）A ．1B ．3-C ．1或5-D ．1或4-3．如图，已知A ，(B B 在A 的左侧)是数轴上的两点，点A 对应的数为12，且18AB =，动点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P 的运动过程中，M ，N 始终为AP ，BP 的中点，设运动时间为(0)t t >秒，则下列结论中正确的有()①B 对应的数是6-；②点P 到达点B 时，9t =；③2BP =时，6t =；④在点P 的运动过程中，线段MN 的长度会发生变化．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．在数轴上，点A ，B 在原点O 的两侧，分别表示数a ，2，将点A 向右平移2个单位长度，得到点C ．若点C 到A 、B 两个点的距离相等，则a 的值为（）A ．0B ．1-C ．2-D ．15．如图，小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数的和是（）．A ．1-B ．0C ．1D ．26．数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2013厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点的个数是（）A ．2011或2012B ．2012或2013C ．2013或2014D ．2014或20157．在数轴上有若干个点，每相邻两个点之间的距离是1个单位长度，有理数a ，b ，c ，d 表示的点是这些点中的4个，且在数轴上的位置如图所示．已知343a b =-，则代数式5c d -的值是．8．如图，在数轴上，点A 表示的数是10，点B 表示的数为50，点P 是数轴上的动点．点P 沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点P 到点A 的距离与点P 到点B 的距离比是2:3时，点P 表示的数是．9．一把刻度尺的部分在数轴上的位置摆放如图所示，若刻度尺上的刻度“4cm ”和“1cm ”分别对应数轴上的0和2，现将该刻度尺沿数轴向右平移3个单位，则刻度尺上6.1cm 对应数轴上的数为．10．如图，边长为3的正方形ABCD 的边AB 在数轴上，数轴上的点A 表示的数为4-，将正方形ABCD 在数轴上水平移动，移动后的正方形记为A B C D ''''，点、、A B C 、D 的对应点分别为A B C D ''''、、、，点E 是线段AA '的中点，当BEC '△面积为9时，点A '表示的数为．11．如图，A ，B ，C 为数轴上的点，4AC =，点B 为AC 的中点，点P 为数轴上的任意一点，则2PA PB PC ++的最小值为．12．如图所示，观察数轴，请回答：(1)点C 与点D 的距离为，点B 与点D 的距离为；(2)点B 与点E 的距离为，点A 与点C 的距离为；发现：在数轴上，如果点M 与点N 分别表示数m ，n ，则他们之间的距离可表示为MN =（用m ，n 表示）13．同学们都知道，()73--表示7与3-之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与3-的两点之间的距离．试探索：(1)()73--=________；(2)找出所有符合条件的整数x ，使得415x x ++-=；(3)对于任何有理数x ，36x x -+-是否有最小值？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由；(4)若169x x ++-=时，求x 的值．14．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．(1)若1表示的点与1-表示的点重合，则2-表示的点与数表示的点重合；(2)若1-表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：①5表示的点与数表示的点重合；②若数轴上A 、B 两点之间的距离为2023（A 在B 的左侧），且A 、B 两点经折叠后重合，求A 、B 两点表示的数是多少？15．如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有三点、、A B C ，其中2AB =，1BC =，设点、、A B C 所对应的数的和是m ．(1)若B 为原点．则A 点对应的数是__________；点C 对应的数是__________，m =__________．(2)若原点O 在图中数轴上点C 的右边，且6CO =．求m ．六．数轴上动点问题（共12小题）1．正方形ABCD 在数轴上的位置如图所示，点D 、A 对应的数分别为1-和0，若正方形ABCD 绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B 所对应的数为1；则翻转2019次后，数轴上数2019所对应的点是（）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D2．一个电子跳蚤在一条数轴上从原点开始，第一次向右跳1个单位长度，紧接着第二次向左跳2个单位长度，第三次向右跳3个单位长度，第四次向左跳4个单位长度…以此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处距离原点（）个单位长度．A．0B．100C．50D．－503．如图，在数轴上点A、B表示的数分别为﹣2、4，若点M从A点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N从B点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M、N同时出发，运动时间为t秒，经过秒后，M、N两点间的距离为8个单位长度．4．如图，动点A，B，C分别从数轴－30，10，18的位置沿数轴正方向运动，速度分别为2个单位长度/秒，4个单位长度/秒，8个单位长度/秒，线段OA的中点为P，线段OB的中点为M，线段OC的中点为N，若⋅-为常数，则k为．k PM MN5．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点．例如：如图1，点A表示的数为1-，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点．-，点N所表示的数为2如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为7(1)点E，F，G表示的数分别是3-，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是_；写出【N，M】美好点H所表示的数是_．(2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？6．若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的好点．例如，如图1，点A表示的数为1-，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的好点，但点D是【B，A】的好点．知识运用：如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为2-，点N所表示的数为4．(1)数所表示的点是【M，N】的好点；-，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点(2)如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为20B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？、两点表示的数是互为相反数；7．如图，数轴上的单位长度为1，A B(1)点A表示的数是______，点B表示的数______．(2)数轴上一个动点P先向左移动2个单位长度，再向右移动5个单位到达点M，若点M表示的数是1，则点P所表示的数是______．(3)在数轴上，点O 为坐标原点，若点A 、点B 分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度向右运动，当两点同时运动时，设运动时间为t 秒()0t >．①点A 表示的数为______；点B 表示的数为______．（用含t 的式子表示）②当t 为何值时，点A 、点B 、点O 三点之间恰好有一个点到其他两个点的距离相等？8．如图，已知点A 、B 、C 是数轴上三点，O 为原点．点C 对应的数为3，2BC =，6AB =．(1)则点A 对应的数是，点B 对应的数是；(2)动点P 、Q 分别同时从A 、C 出发，分别以每秒8个单位和4个单位的速度沿数轴正方向运动．M 在线段AP 上，且AM MP =，N 在线段CQ 上，且14CN CQ =，设运动时间为()0t t >．①求点M 、N 对应的数（用含t 的式子表示）②猜想MQ 的长度是否与t 的大小有关？如果有关请你写出用t 表示的代数式；如果无关请你求出MQ 的长度．9．阅读下面的材料：如图1，在数轴上A 点所示的数为a ，B 点表示的数为b ，则点A 到点B 的距离记为AB ，线段AB 的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB b a =-．请用上面的知识解答下面的问题：如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2cm到达A点，再向左移动3cm到达B点，然后向右移动9cm到达C点，用1个单位长度表示1cm．(1)请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置：(2)点C到点A的距离CA=______cm；若数轴上有一点D，且5AD=，则点D表示的数为_________；x，则移动后的点表示的数为_____；（用代数式表示）(3)若将点A向右移动cm(4)若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动，设移动时间-的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．为t秒，试探索：AC AB-、10，动点P从A出发，以每秒1个单位10．已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数24-、10长度的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．若用PA，PB，PC分别表示点P与点A、点B、点C的距离，试回答以下问题．(1)当点P运动10秒时，PA=______，PB=______，PC=______；(2)当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示P到点A、点B、点C的距离：PA=______，PB=______，PC=______；(3)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？(4)当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能否为4个单位长度？如果能，请直接写出点P表示的数；如果不能，请说明理由．11．定义：数轴上A 、B 两点的距离为a 个单位记作AB a =，根据定义完成下列各题．两个长方形ABCD 和EFGH 的宽都是3个单位长度，长方形ABCD 的长AD 是6个单位长度，长方形EFGH 的长EH 是10个单位长度，其中点A 、D 、E 、H 在数轴上（如图），点E 在数轴上表示的数是5，且E 、D 两点之间的距离为14，原点记为0．(1)求数轴上点H 、A 所表示的数？(2)若长方形ABCD 以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形EFGH 以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M 、N 两点，其中点M 在A 、D 两点之间，且12AM AD =，其中点N 在E 、H 两点之间，且15EN EH =，设运动时间为x 秒．①经过x 秒后，M 点表示的数是，N 点表示的数是（用含x 的式子表示，结果需化简）．②求MN （用含x 的式子表示，结果需化简）．(3)若长方形ABCD 以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形EFGH 固定不动，设长方形ABCD 运动的时间为()0t t >秒，两个长方形重叠部分的面积为S ，当12S =时，求此时t 的值．12．阅读下面材料：若点A B 、在数轴上分别表示实数a b 、，则A B 、两点之间的距离表示为AB ，且AB a b =-；回答下列问题：(1)①数轴上表示x 和2的两点A 和B 之间的距离是；②在①的情况下，如果3AB =，那么x 为；(2)代数式12x x ++-取最小值时，相应的x 的取值范围是．(3)若点、、A B C 在数轴上分别表示数a b c 、、，a 是最大的负整数，且2(5)0-++=c a b ，①直接写出a b c 、、的值．A B C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分②点、、别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．。

专题02 数轴与绝对值的综合应用(解析版)

专题02 数轴上的四种动点问题【知识点梳理】1.数轴上两点间的距离数轴上A 、B 两点表示的数为分别为a 、b ，则A 与B 间的距离AB=|a －b|；2.数轴上点移动规律数轴上点向右移动则数变大（增加），向左移动数变小（减小）；当数a 表示的点向右移动b 个单位长度后到达点表示的数为a+b ；向左移动b 个单位长度后到达点表示的数为a －b.类型一、求动点运动的时间例.如图，已知数轴上有A 、B 、C 三点，点O 为原点，点A 、点B 在原点的右侧，点C 在原点左侧，点A 表示的数为a ，点B 表示的数为b ，且a 与b 满足()24100a b -+-=，24AC =．(1)直接写出a 、b 的值，=a ___________，b =___________；(2)动点P 从点C 出发，以每秒6个单位的速度沿数轴的正方向运动，同时动点Q 从点B 出发，以每秒3个单位的速度沿数轴的正方向运动，设运动时间为()0t t >秒，请用含t 的式子表示线段PQ 的长度；(3)在（2）的条件下，若点M 为AP 的中点，点R 为PQ 的中点，求t 为何值时，满足2MO MR =．【答案】(1)4；10；(2)330PQ t =-+；(3)当2615t =或389时，满足2MO MR =【解析】(1)解：∵()24100a b -+-=，∴40,100a b -=-=，解得：4,10a b ==；故答案为4；10；(2)解：∵24AC =，且点A 表示的数为4，∴点C 所表示的数为-20，由题意可得：6,3CP t BQ t ==，则有点P 在数轴上所表示的数为206t -+，点Q 在数轴上所表示的数为103t +，∴103206330PQ t t t =++-=-+；(3)解：由（1）（2）可得：点P 在数轴上所表示的数为206t -+，点Q 在数轴上所表示的数为103t +，点A表示的数为4，点B 表示的数为10，点C 表示的数为-20，∴246PA t =-，330PQ t =-+，∵点M 为AP 的中点，点R 为PQ 的中点，∴1124622PM PA t ==-，1133022PR PQ t ==-+，①当点P 、M 都在点O 的左侧时，可得：803t <£，如图所示：∴()20612383OM OP PM t t t =-=---=-，3315123322MR PR PM t t t =-=-+-+=+，∵2MO MR =，∴()328332t t -=+，解得：2615t =；②当点P 、M 都在点O 的右侧且在点A 的左侧，即843t <£，如图所示：∴()620123932OM OP PM t t t =+=---=-，3315123322MR PR PM t t t =-=-+-+=+，∵2MO MR =，∴()3293232t t -=+，解得：13433t =（不符合题意，舍去）；③当点P 、M 都在点A 的右侧且在点P 、Q 没有重合，即410t <£，如图所示：∴()62031238OM OP PM t t t =-=---=-，3315123322MR PR PM t t t =+=-+-+=+，∵2MO MR =，∴()323832t t -=+，解得：389t =；④当点P 在点Q 的右侧时，显然是不符合2MO MR =；∴综上所述：当2MO MR =，2615t =或389．【变式训练1】如图，已知数轴上的点A 、B 对应的数分别是－5和1．(1)若P 到点A 、B 的距离相等，求点P 对应的数；(2)动点P 从点A 出发，以2个长度单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t 秒，问：是否存在某个时刻t ，恰好使得P 到点A 的距离是点P 到点B 的距离的2倍？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由；(3)若动点P 从点A 出发向点B 运动，同时，动点Q 从点B 出发向点A 运动，经过2秒相遇；若动点P 从点A 出发向点B 运动，同时，动点Q 从点B 出发与点P 同向运动，经过6秒相遇，试求P 点与Q 点的运动速度（长度单位/秒）【答案】(1)2-；(2)存在；2或6；(3)2单位长度/秒；1单位长度/秒【解析】(1)点A 、B 对应的数分别是-5和1，设点P 对应的数为x ，则5PA x =+，1PB x =-，∵PA PB =，∴51x x +=-，解得：2x =-，∴点P 对应的数为-2；(2)P 对应的数为52t -+，∴2PA t =，52126PB t t =-+-=-，∵2PA PB =，∴2226t t =-，当26t t =-时，6t =，当260t t +-=时，2t =，答：当2t =或6时，恰好使得P 到点A 的距离是点P 到点B 的距离的2倍；(3)设P 点的运动速度m 单位长度/秒，Q 点的运动速度n 单位长度/秒，根据题意得，226666m n m n +=ìí--=î，解得：21m n =ìí=î，答：P 点的运动速度2单位长度/秒，Q 点的运动速度1单位长度/秒．【变式训练2】如图一，已知数轴上，点A 表示的数为6-，点B 表示的数为8，动点P 从A 出发，以3个单位每秒的速度沿射线AB 的方向向右运动，运动时间为t 秒()0t >(1)线段AB =__________．(2)当点P 运动到AB 的延长线时BP =_________．（用含t 的代数式表示）(3)如图二，当3t =秒时，点M 是AP 的中点，点N 是BP 的中点，求此时MN 的长度．(4)当点P 从A 出发时，另一个动点Q 同时从B 点出发，以1个单位每秒的速度沿射线向右运动，①点P 表示的数为：_________（用含t 的代数式表示），点Q 表示的数为：__________（用含t 的代数式表示）．②存在这样的t 值，使B 、P 、Q 三点有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点，请直接写出t 值．______________．【答案】(1)14；(2)314-t ；(3)7；(4)①36t -；8t + ②72秒或285秒或7秒或14秒【解析】(1)解：∵在数轴上，点A 表示的数为－6，点B 表示的数为8，∴()8614=--=AB ．故答案为：14(2)∵在数轴上，点A 表示的数为6-，点B 表示的数为8，动点P 从A 点出发时，以3个单位每秒的速度沿射线AB 的方向向右运动，运动时间为t 秒，∴3AP t =，∴314=-=-BP AP AB t ．故答案为：314-t (3)∵点A 表示的数为6-，点B 表示的数为8，动点P 从A 点出发时，以3个单位每秒的速度沿射线AB 的方向向右运动，当3t =秒时，3339==´=AP t ，∴1495=-=-=BP AB AP ，又∵点M 是AP 的中点，点N 是BP 的中点，∴1922==PM AP ，1522==PN BP ，∴95722=+=+=MN PM PN ．∴此时MN 的长度为7．(4)①设运动时间为t ，当点P 从A 点出发时，以3个单位每秒的速度沿射线AB 的方向向右运动，另一个动点Q 同时从B 点出发，以1个单位每秒的速度沿射线向右运动，∴3AP t =，BQ t =，∴点P 所表示的数为：36t -，点Q 所表示的数为：8t +，故答案为：36t -；8t +②结合①的结论和点B 所表示的数，可知：点B 表示的数为8，点P 所表示的数为：36t -，点Q 所表示的数为：8t +，分以下三种情况：若点B 为中点，则BP BQ =，∴36888--=+-t t ，解得：72t =或7t =；若点P 为中点，则BP PQ =，∴()368836--=+--t t t ，解得：285t =；若点Q 为中点，则BQ PQ =，∴()88368+-=--+t t t ，解得：14t =．综上所述，当t 为72秒或285秒或7秒或14秒时，B 、P 、Q 三点中有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点．【变式训练3】如图，单位长度为1的数轴上有三个点A 、B 、C ，其中A 、C 点表示的数互为相反数．(1)点B 表示的数是________；(2)若线段AB 向左以每秒1单位运动，点C 向左每秒2单位运动，那么经过几秒点C 到A 、B 两点的距离相等？(3)若点P 从点A 开始以每秒1个单位向点C 运动，点Q 从点C 开始以每秒4个单位在A 、C 之间做往返运动．当点P 到达点C 时，两个点同时停止运动，请问经过几秒P ，Q 两点相遇．【答案】(1)-1；(2)6.5秒；(3)经过1.6秒或83秒或4.8秒8秒后，P 、Q 两点相遇．【解析】(1)解：A 、C 点表示的数互为相反数．8AC =，A \、C 点表示的数为4-，4，\点B 表示的数是431-+=-，故答案为：1-；(2)解：设经过t 秒点C 到A 、B 两点的距离相等，由题意得：1(42)42(4)t t t t ----=----，解得 6.5t =，答：经过6.5秒点C 到A 、B 两点的距离相等；(3)解：设经过x 秒P 、Q 两点相遇，①当点Q 第一次从点C 到点A 的过程中，48x x +=解得 1.6x =秒；②当点Q 第一次从点A 到点C 的过程中，48x x -=，解得83x =秒；③当点Q 第二次从点C 到点A 的过程中，4168x x -+=解得 4.8x =秒；④当点Q 第一次从点A 到点C 的过程中，424x x -=解得8x =秒；答：经过1.6秒或83秒或4.8秒8秒后，P 、Q 两点相遇．【变式训练4】如图，数轴上线段2AB =（单位长度），4CD =（单位长度），点A 在数轴上表示的数是-8，点C 在数轴上表示的数是10，若线段AB 以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD 以1个单位长度/秒的速度也向右匀速运动．(1)线段AB 与线段CD 从开始相遇到完全离开共经过多长时间；(2)问运动多少秒时2BC =（单位长度）；(3)设线段AB ，CD 开始运动后的运动时间为t 秒，当t 为何值时，恰好满足2AD BC =．【答案】(1)3t =秒；(2)①B 、C 相遇之前：7t =秒，②B 、C 相遇之后：9t =秒(3)当t 为5秒或9秒后恰好满足2AD BC =【解析】(1)解：B 、C 相遇后到A 点完全离开：(6)(8)(1410)243312AB CD AB CD t V V +---+-+====--秒(2)解：①B 、C 相遇之前：210(6)2147312AB CD BC t V V ----====--秒②B 、C 相遇之后：210(6)2189312AB CD BC t V V +--+====--秒(3)由题可得，t 秒后A ，B ，C ，D 可分别表示为：A ：83t -+，B ：63t -+，C ：10t +，D ：14t +．则：()1483222AD t t t =+--+=-，()1063162BC t t t =+--+=-，①B 、C 相遇之前，由题可得：()2222162t t -=-，210t =，5t =②B 、C 相遇之后，由题可得：()2222216t t -=-，654t -=-，9t =综上所述：当t 为5秒或9秒后恰好满足2AD BC =．类型二、定值问题例1．点A 、B 在数轴上对应的数分别为a 、b ，且a 、b 满足2130a b ++-=．(1)如图1，求线段AB 的长；(2)若点C 在数轴上对应的数为x ，且x 是方程12122x x +=-的根，在数轴上是否存在点P 使PA PB BC +=，若存在，求出点P 对应的数，若不存在，说明理由；(3)如图2，点P 在B 点右侧，PA 的中点为M ，N 为PB 靠近于B 点的四等分点，当P 在B 的右侧运动时，有两个结论：①2PM BN -的值不变；②23PM BN -的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并直接写出该值．【答案】(1)4；(2)存在，当点P 表示的数为-1.5或3.5时，PA PB BC +=；理由见解析(3)结论①正确，2PM BN -=2【解析】(1)解：∵|a +1|+（b -3）2=0，∴a +1=0，b -3=0，∴a =-1，b =3，∴AB =|-1-3|=4．答：AB 的长为4；(2)解：存在，∵12122x x +=-，∴x =-2，∴BC =23--=5．设点P 在数轴上对应的数是m ，∵PA PB BC +=，∴|m +1|+|m -3|=5，令m +1=0，m -3=0，∴m =-1或m =3．①当m ≤-1时，-m -1+3-m =5，m =-1.5；②当-1＜m ≤3时，m +1+3-m =5，（舍去）；③当m ＞3时，m +1+m -3=5，m =3.5．∴当点P 表示的数为-1.5或3.5时，PA PB BC +=；(3)解：设P 点所表示的数为n ，∴PA =n +1，PB =n -3．∵PA 的中点为M ，∴PM =12PA =12n +．∵N 为PB 的四等分点且靠近于B 点，∴BN =14PB =34n -，∴①PM -2BN =12n +-2×34n -=2（不变），②PM +23BN =12n ++23×34n -=23n （随点P 的变化而变化），∴正确的结论为①，且PM -2BN =2．例2.如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动3cm 到达A 点，再向右移动4cm 到达B 点，然后再向右移动72cm 到达C 点，数轴上一个单位长度表示1cm ．(1)请你在数轴上表示出A ，B ，C 三点的位置；(2)把点C 到点A 的距离记为CA ，则CA =______cm ．(3)若点A 沿数轴以每秒3cm 匀速向右运动，经过多少秒后点A 到点C 的距离为3cm ？(4)若点A 以每秒1cm 的速度匀速向左移动，同时点B 、点C 分别以每秒4cm 、9cm 的速度匀速向右移动．设移动时间为t 秒，试探索：BA CB -的值是否会随着t 的变化而改变？若变化，请说明理由，若无变化，请直接写出BA CB -的值．【答案】(1)见解析；(2)152；(3)经过32或72秒后点A 到点C 的距离为3cm(4)BA CB -的值不会随着t 的变化而变化，12BA CB -=【解析】(1)解：由题意得：A 点对应的数为3-，B 点对应的数为1，点C 对应的数为92，点A ，B ，C 在数轴上表示如图：(2)解：设原点为O ，如图，∴3OA =，92OC =，∴152AC OA OC =+=．故答案为：152．(3)解：①当点A 在点C 的左侧时，设经过x 秒后点A 到点C 的距离为3cm ，由题意得：15332x -=，解得：32x =．②当点A 在点C 的右侧时，设经过x 秒后点A 到点C 的距离为3cm ，由题意得：15332x -=，解得：72x =．综上，经过32或72秒后点A 到点C 的距离为3cm ．(4)解：BA CB -的值不会随着t 的变化而变化，12BA CB -=．由题意：4AB cm =，72CB cm =，∵移动t 秒后，()4445AB t t t cm =++=+，7794522CB t t t cm æö=-+=+ç÷èø，∴()7145522BA CB t t æö-=+-+=ç÷èø．∴BA CB -的值不会随着t 的变化而变化，12BA CB -=．【变式训练1】如图，在数轴上点A 表示的数为a ，点B 表示的数为b ，且a ，b 满足()2250a b ++-=，O 为原点，若动点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t （秒）．(1)求a ，b 的值．(2)当点P 运动到线段OB 上时，分别取OB 和AP 的中点E ，F ，试探究下列结论：①AB OPEF-的值为定值；②AB OPEF+的值为定值，其中有且只有一个是正确的，请将正确的选出来并求出该值．(3)当点P 从点A 出发运动到点O 时，另一动点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度在OB 间往返运动，当PQ ＝1时，求动点P 运动的时间t 的值．【答案】(1)25a b =-ìí=î；(2)①正确，该定值为2；(3)P 运动的时间103t =或t ＝4或t ＝6或223=t 【解析】(1)由题得()2250a b ++-=，∵20+³a ，()250b -³，∴20a +=，()250b -=，∴a +2＝0，b －5＝0，∴25a b =-ìí=î．(2)设P 点对应的数为x ，则05x ££，∵OB 与AP 的中点分别为E 、F ，则E 点对应的数为52，F 点对应的数为22x -，则AB ＝7，OP ＝x ，72xEF -=，对于①有7272AB OP x EF x--==-为定值，对于②有()777772x AB OP x EF x x +++==--不为定值．∴①正确，该定值为2．(3)当点P 运动到6对应的点时t ＝8，此后PB >1恒成立，由于Q 在OB 间往返运动．则PQ ＝1不会再成立，当点P 运动到O 时，t ＝2，∴28t ££，且由题得P 点对应的数为t －2，点Q 第一次到达O 时，59222t =+=，点Q 第一次到达B 时，95722t =+=，点Q 第二次到达O 时，519722t =+=，∴①922t £<时，Q 点对应的数为()52292t t --=-．则1131PQ t =-=，I ． 11－3t ＝1，103t =，II ． 11－3t ＝－1，t ＝4．②972t £<时，Q 点对应的数为()92292t t -=-，()()29271PQ t t t =---=-=，I ．t －7＝1，t ＝8（舍），II ．t －7＝－1，t ＝6．③78t ££时，Q 点对应的数为()527192t t --=-，2131PQ t =-=，I ． 21－3t ＝1，203t =（舍），II ． 21－3t ＝－1，223=t ．综上P 运动的时间103t =或t ＝4或t ＝6或223=t ．【变式训练2】如图，直线l 上有两条可以左右移动的线段AB 和CD ，线段AB 在线段CD 的左边，AB m =，CD n =，且2|8|(16)0m n -+-=，运动过程中，点M 、N 始终分别是线段AB 、CD 的中点．(1)求线段m ，n 的值；(2)若线段AB 以每秒4个单位长度的速度向右运动，同时，线段CD 以每秒1个单位长度的速度也向右运动，且线段AB 运动6秒时，4MN =，求运动前点B 、C 之间的距离；(3)设24BC =，且线段CD 不动，将线段AB 以每秒4个单位长度的速度向右运动．在AB 向右运动的某一个时间段内，是否存在MN AD +的值为定值，若存在，请直接写出这个定值，并直接写出这个时间段；若不存，请说明理由．【答案】(1)m ＝8，n ＝16；(2)运动前点B 、C 之间的距离为10或2；(3)当9≤t ≤12时，MN ＋AD ＝12为定值．【解析】(1)∵|m −8|＋（n −16）2＝0，∴m −8＝0，n −16＝0，解得：m ＝8，n ＝16；(2)由（1）可得：AB ＝8，CD ＝16，∵点M 、N 始终分别是线段AB 、CD 的中点，∴AM ＝BM ＝12AB ＝4，CN ＝DN ＝12CD ＝8，①若6秒后，M ′在点N ′左边时，由MN ＋NN ′＝MM ′＋M ′N ′，即4＋8＋BC ＋6×1＝6×4＋4，解得：BC ＝10，②若6秒后，M′在点N′右边时，则MM′＝MN＋NN′＋M′N′，即6×4＝4＋BC＋8＋6×1＋4，解得BC＝2，综上，运动前点B、C之间的距离为10或2；(3)存在．运动t秒后：MN＝|36−4t|，AD＝|48−4t|，当0≤t＜9时，MN＋AD＝84−8t，当9≤t≤12时，MN＋AD＝12，当t＞12时，MN＋AD＝8t−84，∴当9≤t≤12时，MN＋AD＝12为定值．【变式训练3】如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+8|=-（b-6）2．(1)A，B两点对应的数分别为a＝______，b＝______．(2)若点A，B分别以4个单位/秒和2个单位/秒的速度相向而行，则几秒后A，B两点相距2个单位长度？(3)若点A，B以（2）中的速度同时向右运动，同时点P从原点O以7个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，请问：在运动过程中，AP+2OB-OP的值是否会发生变化？若变化，请用t表示这个值；若不变，请求出这个定值．【答案】(1)-8；6；(2)2秒或83秒；(3)不变，20【解析】(1)解：∵a，b满足|a+8|=-（b-6）2，∴a+8=0，b-6=0，∴a=-8，b=6．故答案为：-8；6；(2)解：当运动时间为x秒时，点A表示的数为4x-8，点B表示的数为-2x+6．依题意得：|-2x+6-（4x-8）|=2，即14-6x=2或6x-14=2，解得：x=2或x=83．答：经过2秒或83秒后，A，B两点相距2个单位长度；(3)解：在运动过程中，AP+2OB-OP的值不会发生变化．当运动时间为t秒时，点A表示的数为4t-8，点B表示的数为2t+6，点P表示的数为7t，∴AP=7t-（4t-8）=3t+8，OB=2t+6，OP=7t，∴AP+2OB-OP=（3t+8）+2（2t+6）-7t=3t+8+12+4t-7t=20．∴在运动过程中，AP+2OB-OP的值不会发生变化，该定值为20．。

绝对值的性质与几何意义、数轴上动点问题(6种常考题型(解析版)

绝对值的性质与几何意义、数轴上动点问题（6种常考题型）题型一利用绝对值的性质化简题型二绝对值非负性的应用题型三利用绝对值的性质求最值题型四绝对值几何意义题型五数轴上两点之间的距离题型六数轴上动点问题一．利用绝对值的性质化简（共15小题）1．已知表示有理数a ，b 的点在数轴上的位置如图所示，则a b a b +的值是（）2．若0ab ≠，那么a ab b +的取值不可能是（）A ．2-B ．0C ．1D ．2【答案】C【分析】本题考查了绝对值的意义，由0ab ≠，可得：①0a >，0b >，②0a <，0b <，③0a >，0b <，④0a <，0b >；分别计算即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键．【详解】解：∵0ab ≠，，3．已知有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简1a b a +--的结果为（）4．0a <，则化简a a a a a a ++-的结果为（）5．三个有理数a ，b ，c 在数轴上表示的位置如图所示，则化简a b c b a +--+的结果是（）A ．22a b+B ．22a b c +-C ．c -D ．2b c--【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减和去绝对值，根据数轴分别判断0a b +<，0c b ->的正负，然后去掉绝对值即可，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负．6．有理数a ，b ，c ，d 使||1abcd abcd =-，则a b c d a b c d +++的最大值是．7．已知数a b c 、、位置如图所示，化简a b a c --+=．的结果是．【答案】32a b c-+【分析】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．先根据各点在数轴上的位置判断出a 、b 、c 的符号及大小，再去绝对值符号，合并同类项即可．【详解】解：由图可知，0b a c <<<，||a c >，0a b ∴->，0a c +<，∴原式()22232a b a c a b a c a b c =-++=-++=-+．故答案为：32a b c -+．9．若12x <<，求代数式21x x x ---+=．10．若0a >，a=；若0a <，||a =；①若0||||a b a b +=，则||ab ab=-；②若0abc <，则||||||a b c a b c ++=．1111||||||a b c a b c ++=-++=，当a 、b 、c 中有三个负数时，1113||||||a b c a b c ++=---=-，故答案为：1或3-．11．有理数0a >，0b >，0c <，且a c b <<．(1)在数轴上将a ，b ，c 三个数在数轴上表示出来如图所示；(2)化简：2b c a b a c +--+-．【答案】(1)见详解(2)3a【分析】（1）根据所给的范围确定数在数轴上的位置即可；（2）由题意可知0b c +>，0a b -<，0a c ->，再化简即可．本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的意义是解题的关键．【详解】（1）解：依题意，有理数0a >，0b >，0c <，且a c b<<∴如图所示：（2）解：0a > ，0b >，0c <，且a c b <<，0b c ∴+>，0a b -<，0a c ->，|||||2|b c a b a c ∴+--+-()(2)b c b a a c =+--+-2b c b a a c=+-++-3=a ．12．已知有理数a b c d 、、、在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：a c b d c b++---【答案】2a c d--+【分析】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，熟练掌握以上知识是解题的关键．先观察数轴，得到0a b c d <<<<，从而得到0a c +<，0b d -<，0c b ->，然后根据绝对值的性质进行化简即可．【详解】解：由数轴可知，0a b c d <<<<，∴0a c +<，0b d -<，0c b ->，∴2a c b d c b a c b d c b a c d++---=---+-+=--+13．a ，b 在数轴上的位置如图，化简b a a a b --++．b ，．【答案】21b -【分析】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据数轴可以判断a 、b 、c 的正负和绝对值的大小，从而可以化简题目中的式子．【详解】解：根据数轴，得10,0,0a c b a b c +<->++<，|1|(1),||,||()a a c b c b a b c a b c ∴+=-+-=-++=-++，|1|||||a cb a bc ∴+---++(1)()()a cb a bc =-+--+++1a c b a b c=---++++21b =-．15．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示．(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：a b +______0，c a -______0，2b +______0．(2)化简：22a b c a b ++--+．二．绝对值非负性的应用（共11小题）1．如果21(2)0a b ++-=，则a b +的值为（）2．若()23a +与1b -互为相反数，则（）．3,1a b =-=-3．若320x y -++=，则x y +的值是（）．4．如果有理数x 、y 满足10x x y -++=，那么xy 的值是（）5．若()22430||a b ++--=，则b =；a =．【答案】32【分析】根据有理数的非负性解答即可．本题考查了有理数的非负性，熟练掌握性质是解题的关键．【详解】解：∵()22430||a b ++--=，∴20,30a b +=-=-，解得：3,2b a ==．故答案为：3，2．6．已知x 是非负数，且非负数中最小的数是0．(1)已知210a b -+-=，则a b +的值是_________；(2)当a =________时，12a -+有最小值，最小值是______．故答案为：1，2．2y =8．已知，b 是有理数，且满足，求与b 的值．【答案】1a =，2b =【分析】本题考查了绝对值非负的性质．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值．【详解】解：|1||2|0a b -+-= ，10a ∴-=，20b -=，1a ∴=，2b =，故答案为：1a =，2b =．9．已知230x y -++=．(1)求x y +的值．x y -的值．，求、的值．11．若201503b a --+=，求a ，b 的值．【答案】3a =，2015b =根据绝对值的性质去绝对值是解题的关键．三．利用绝对值的性质求最值（共9小题）1．设n 个有理数12,,,n x x x ⋅⋅⋅满足1(1,2,,)i x i n <= ，且12x x +++ 1219n n x x x x =++++ ，则n 的最小值是（）2．如果x 为有理数，式子20232x -+存在最大值，这个最大值是（）的最小值是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】根据绝对值的非负性即可求解．【详解】解：∵a 是有理数∴1a -可为正数、负数、零由绝对值的非负性可知：|1|0a -≥∴2|12|a -+≥即：|1|2a -+的最小值是2故选：C【点睛】本题考查绝对值的非负性．熟记相关结论即可．4．（1）若6m -有最小值，则当m =时，取最小值，最小值为．（2）若260m n -+-=，则m =，n =．（3）5m -有最（填“大”或“小”）值，这个最（大）小值是．5．已知a 为有理数，则24a -+的最小值为．【答案】4【分析】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，6．如果x 为有理数，式子20213x --存在最大值，那么这个式子有最值是，此x =a ，b ，c 满足()220240a b c ++-=，则（1）c 的值为．（2）数轴上任意一点P ，点P 对应的数为x ，若存在x 使x a x b x c -+-+-的值最小，则x 的值为．8．阅读材料：x 的几何意义是数轴上数x 的对应点与原点之间的距离，即0x x =-，也可以说x 表示数轴上数x 与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为12x x -表示数轴上数1x 与数2x 对应点之间的距离，根据材料的说法，试求：(1)34x +=；(2)若x 为有理数，代数式32x -+有没有最大值？如果有，求出这个最大值及此时x 的值是多少？如果没有，请说明理由；(3)若x 为有理数，则13x x -+-有最______值（填“大”或“小”），其值为________．点A B ，在数轴上分别表示有理数a b ，，A B ，两点之间的距离表示为AB ．当A B ，两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图①所示，AB OB b a b ===-；当A B ，两点都不在原点时，a ．如图②所示，点A B ，都在原点的右边，AB OB OA b a b a a b =-=-=-=-；b ．如图③所示，点A B ，都在原点的左边，()AB OB OA b a b a a b =-=-=---=-；c ．如图④所示，点A B ，在原点的两边，()AB OA OB a b a b a b =+=+=+-=-．综上，数轴上A B ，两点之间的距离AB a b =-．回答下列问题：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示2-和5-的两点之间的距离是，数轴上表示1和3-的两点之间的距离是；(2)数轴上表示x 和1-的两点A 和之间的距离是，如果2AB =，那么x 为；(3)当47x y ++-取最小值时，x =，y =．四．绝对值几何意义（共6小题）1．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：1x +的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数1-的点的距离，2x -的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数2的点的距离．当12x x ++-取得最小值时，x 的取值范围是（）A ．12x ≤≤B ．1x ≤-或2x ≥ 2．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：1x +的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数1-的点的距离，2x -的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数2的点的距离．当12x x ++-取得最小值时，x 的取对x 的值进行分类讨论，进而得出代数式的值．以1-和2为界点，将数轴分成三部分，对x 的值进行分类讨论，然后根据绝对值的意义去绝对值符号，分别求出代数式的值进行比较即可．【详解】解：如图，当1x <-时，10x +<，20x -<，|1||2|x x ++-(1)(2)x x =-+--12x x =---+213x =-+>；当2x >时，10x +>，20x ->，|1||2|x x ++-(1)(2)x x =++-12x x =++-213x =->；当12x -≤≤时，10x +≥，20x -≤，|1||2|x x ++-(1)(2)x x =+--123x x =+-+=；综上所述，当12x -≤≤时，|1||2|x x ++-取得最小值，所以当|1||2|x x ++-取得最小值时，x 的取值范围是12x -≤≤．故答案为：12x -≤≤．3．阅读理解：对于有理数a 、b ，a 的几何意义为：数轴上表示数a 的点到原点的距离；|a -b |的几何意义为：数轴上表示数a 的点与表示数b 的点之间的距离．如：2x -的几何意义即数轴表示数x 的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题：(1)根据2x +的几何意义，若23x +=，那么x 的值是．(2)画数轴分析23x x +++的几何意义，并求出23x x +++的最小值是．(3)11232023x x x x x x +++-+-+-+⋯+-的最小值是多少？的点之间的距离，当23x -≤≤-时，23x x +++的最小值是为根据绝对值的几何意义，我们知道53-表示5、3在数轴上对应的两点间的距离；535(3)+=--，所以53+表示5、3-在数轴上对应的两点之间的距离；550=-，所以5表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，那么A 、B 两点之间的距离可以表示为AB a b =-．回答下列问题：(1)数轴上表示6与9-的两点之间的距离是_________；数轴上表示x 与2的两点之间的距离是_______．(2)若33x -=，则x =_______．(3)满足235x x ++-=的整数x 有_______个．经过有理数运算的学习，我们知道53-可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，()52--可以表示5与2-之差的绝对值，也可以表示5与2-两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究：(1)5x -表示数轴上有理数x 所对应的点到________所对应的点之间的距离；2x +表示数轴上有理数x 所对应的点到________所对应的点之间的距离．若25x +=，则x =________．(2)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x ，使得257x x ++-=．这样的整数x 有________________．（写出所有的整数x ）(3)利用绝对值的几何意义，求出123x x x -+++-的最小值，并说明理由．(1)直接写出数轴上点B 表示的数；(2)53-表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如3x -的几何意义是数轴上表示有理数x 的点与表示有理数3的点之间的距离，试探索：①若82x -=，则x =（直接写出）；②118x x ++-的最小值为（直接写出）；(3)请直接写出所有满足37329a a ++-=的整数a 的值．故答案为：，，0．五．数轴上两点之间的距离（共15小题）1．已A B 、两点在数轴上表示的数分别是3-和6-，若在数轴上找一点C ，使得A 和C 之间的距离是4，使得B D 、之的距离是1，则C D 、之间的距离不可能是（）A ．0B ．6C ．2D ．4【答案】D【分析】本题考查了数轴，画出数轴，然后根据两种情况确定出点C D 、的位置，再根据数轴上的两点间的距离求出C 的可能值，据此即可求解，掌握数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．【详解】解：如图，C D 、间的距离可能是0268、、、，∴C D 、之间的距离不可能是4，故选：D ．2．如图，一条数轴上有点A 、B 、C ，其中点A 、B 表示的数分别是14-，10，现以点C 为折点，将数轴向右对折，若点A 落在射线C 上且到点B 的距离为6，则C 点表示的数是（）A ．1B ．3-C ．1或5-D ．1或4-【答案】C 【分析】本题考查了数轴，分类讨论思想是解题的关键．先根据两点间的距离公式求出点A 落在对应点表示的数，在利用中点公式求出C 点表示的数．【详解】设A '是点A 的对应点，由题意可知点C 是A 和A '的中点当点A 在B 的右侧，6BA '=，A '表示的数为10616+=，那么C 表示的数为：(1416)21-+÷=，当点A 在B 的左侧，6BA '=，A '表示的数为1064-=，那么C 表示的数为：(144)25-+÷=-，故选：C ．3．如图，已知A ，(B B 在A 的左侧)是数轴上的两点，点A 对应的数为12，且18AB =，动点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P 的运动过程中，M ，N 始终为AP ，BP 的中点，设运动时间为(0)t t >秒，则下列结论中正确的有()①B 对应的数是6-；②点P 到达点B 时，9t =；③2BP =时，6t =；④在点P 的运动过程中，线段MN 的长度会发生变化．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点距离．利用数轴，分类讨论即可求解．【详解】解：已知A ，(B B 在A 的左侧)是数轴上的两点，点A 对应的数为12，且18AB =，B ∴对应的数为：12186-=-；故①是正确的；1829÷= ，故②是正确的；当2BP =时，16AP =，1628t =÷=，故③是错误的；在点P 的运动过程中，9MN =，故④是错误的；故选：B ．4．在数轴上，点A ，B 在原点O 的两侧，分别表示数a ，2，将点A 向右平移2个单位长度，得到点C ．若点C 到A 、B 两个点的距离相等，则a 的值为（）A ．0B ．1-C ．2-D ．1【答案】C【分析】此题考查了数轴上点的移动，由题意得点A 表示数为a ，点B 表示数为2，点C 表示数为2a +，熟知数轴A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C 【分析】根据已知图形可写出墨水盖住的整数，相加即可；【详解】由图可知，被墨水盖住的整数为：3-，2-，1，2，3，相加为()321231-+-+++=；故选C ．【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算，准确表示出盖住的整数是解题的关键．6．数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2013厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点的个数是（）个，且在数轴上的位置如图所示．已知343a b =-，则代数式5c d -的值是．【答案】12-【分析】根据题意，则2b a =+，3c a =+，7d a =+，结合343a b =-，列式解答即可．本题考查了数轴的意义，有理数的计算，熟练掌握有理数加减运算是解题的关键．【详解】解：仔细观察图形，由数轴可知：a b c d <<<.∵每相邻两点之间的距离是1个单位长，∴2b a =+，3c a =+，7d a =+.∵343a b =-，∴()3423a a =+-，∴5a =-，∴3532c a =+=-+=-，7572d a =+=-+=，∴521012c d -=--=-.故答案为：12-．8．如图，在数轴上，点A 表示的数是10，点B 表示的数为50，点P 是数轴上的动点．点P 沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点P 到点A 的距离与点P 到点B 的距离比是2:3时，点P 表示的数是．现将该刻度尺沿数轴向右平移3个单位，则刻度尺上6.1cm 对应数轴上的数为．平移动，移动后的正方形记为A B C D ''''，点、、A B C 、D 的对应点分别为A B C D ''''、、、，点E 是线段AA '的中点，当BEC '△面积为9时，点A '表示的数为．【分析】本题考查了数轴上的动点问题，三角形的面积，解题的关键是根据正方形平移后正确地表示出各线段的长∵113922BEC S BE D A BE '''=⋅=⨯=V ，∴6BE =，∴369AE AB BE =+=+=，∵点E 是线段AA '的中点，∴18AA '=，∵点A 表示的数为4-，∴点A '表示的数为41814-+=；②当正方形ABCD 沿数轴向左移动时，如图，S V Q 6,BE ∴=∴633AE BE AB =-=-=，∵点E 是线段AA '的中点，∴6AA '=，∵点A 表示的数为4-，∴点A '表示的数为4610--=-．综上，数轴上点A '表示的数是14或10-；故答案为：14或10-．11．如图，A ，B ，C 为数轴上的点，4AC =，点B 为AC 的中点，点P 最小值为．【答案】6【分析】根据题意得出2AB BC ==，然后分情况讨论，作出相应图形求解即可．【详解】解：∵4AC =，点B 为AC 的中点，∴2AB BC ==，当点P 位于点A 左侧时，如图所示，()22410PA PB PC PA PA AB PA AC PA ++=++++=+；当点P 与点A 重合时，如图所示，202810PA PB PC ++=++=；当点P 位于点A 与点B 之间时，如图所示：()22226PA PB PC PB BC PB ++=++=+；当点P 与点B 重合时，如图所示，220226PA PB PC ++=++⨯=；当点P 位于点B 与点C 之间时，如图所示：22246PA PB PC AB PB PB PC ++=+++=+=；当点P 与点C 重合时，如图所示，2426PA PB PC ++=+=；当点P 位于点C 右侧时，如图所示，2264PA PB PC AC PC BC PC PC PC ++=++++=+；综上可得：2PA PB PC ++的最小值为6，故答案为：6．【点睛】本题主要考查数轴上两点之间的距离及分类讨论思想，理解题意，进行分类讨论是解题关键．12．如图所示，观察数轴，请回答：(1)点C 与点D 的距离为，点B 与点D 的距离为；(2)点B 与点E 的距离为，点A 与点C 的距离为；发现：在数轴上，如果点M 与点N 分别表示数m ，n ，则他们13．同学们都知道，()73--表示7与3-之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与3-的两点之间的距离．试探索：(1)()73--=________；(2)找出所有符合条件的整数x ，使得415x x ++-=；(3)对于任何有理数x ，36x x -+-是否有最小值？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由；(4)若169x x ++-=时，求x 的值．+=--=-，617112∴x的值为2-或7．14．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．(1)若1表示的点与1-表示的点重合，则2-表示的点与数表示的点重合；(2)若1-表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：①5表示的点与数表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为2023（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？的和是m．(1)若B为原点．则A点对应的数是__________；点C对应的数是__________，m=__________．CO=．求m．(2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且6【答案】(1)2--，1，1(2)22-A B C所对应的数是解题关键．【分析】本题主要考查了数轴的知识，根据题意确定点、、A B C所对应的数，即可获得答案；（1）根据题意，确定点、、A B C所对应的数，即可获得答案．（2）根据题意，确定点、、【详解】（1）解：根据题意，2BC=，AB=，1若B为原点，即点B对应的数为0，则点A 对应的数为2-，点C 对应的数为1，∴2011=-++=-m ．故答案为：2-，1，1-；（2）解：根据题意，原点O 在图中数轴上点C 的右边，且6CO =，则点C 对应的数为6-，点B 对应的数为7-，点A 对应的数为9-，∴()()67922m =-+-+-=-．六．数轴上动点问题（共12小题）1．正方形ABCD 在数轴上的位置如图所示，点D 、A 对应的数分别为1-和0，若正方形ABCD 绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B 所对应的数为1；则翻转2019次后，数轴上数2019所对应的点是（）三次向右跳3个单位长度，第四次向左跳4个单位长度…以此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处距离原点（）个单位长度．A ．0B ．100C ．50D ．－50【答案】C【分析】数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算即可．【详解】解：0＋1﹣2＋3﹣4＋5﹣6＋…＋99﹣100＝﹣50，所以落点处离0的距离是50个单位．故答案为：C ．【点睛】主要考查了数轴，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．3．如图，在数轴上点A 、B 表示的数分别为﹣2、4，若点M 从A 点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N 从B 点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M 、N 同时出发，运动时间为t 秒，经过秒后，M 、N 两点间的距离为8个单位长度．【答案】14或149【分析】已知运动时间为t 秒，根据题意建立含有t 的一元一次方程，解出t 的值即可．【详解】解：已知运动时间为t 秒，根据题意M 、N 两点间的距离为8个单位长度，分析N 点的两种移动方向分别建立一元一次方程可得：当N 向左运动，则有25448t t -+-+=，解得t =149，当N 向右运动，则有25448t t -+--=，解得t =14．故答案为14或149．【点睛】本题主要考查线段的动点和数轴问题，根据题意分情况列出含有t 的一元一次方程是解决本题的关键．4．如图，动点A ，B ，C 分别从数轴－30，10，18的位置沿数轴正方向运动，速度分别为2个单位长度/秒，4个单位长度/秒，8个单位长度/秒，线段OA 的中点为P ，线段OB 的中点为M ，线段OC 的中点为N ，若k PM MN ⋅-为常数，则k 为．【答案】2【分析】运动t 秒后，点P 在数轴上表示的数为-15+t ，点M 在数轴上表示的数是5+2t ，点N 在数轴上表示的数是9+4t ，分别表示出PM =20+t ，MN =2t +4，再代入k PM MN ⋅-，根据k PM MN ⋅-为常数，得到关于k 的方程，解方程即可．【详解】解：根据题意得，点P 在数轴上表示的数为-3022t +=-15+t ，点M 在数轴上表示的数是1042t +=5+2t ，点N 在数轴上表示的数是1882t +=9+4t ，则PM =20+t ，MN =2t +4，(20)(24)(2)204k PM MN k t t k t k ∴⋅-=+-+=-+- k PM MN ⋅-为常数，2=0k ∴-2k ∴=故答案为：2．【点睛】本题考查一元一次方程的应用、数轴上点的位置关系，根据k PM MN ⋅-为常数列方程是解题关键．5．定义：若A ，B ，C 为数轴上三点，若点C 到点A 的距离是点C 到点B 的距离2倍，我们就称点C 是【A ，B 】的美好点．例如：如图1，点A 表示的数为1-，点B 表示的数为2．表示1的点C 到点A 的距离是2，到点B 的距离是1，那么点C 是【A ，B 】的美好点；又如，表示0的点D 到点A 的距离是1，到点B 的距离是2，那么点D 就不是【A ，B 】的美好点，但点D 是【B ，A 】的美好点．如图2，M ，N 为数轴上两点，点M 所表示的数为7-，点N 所表示的数为2(1)点E ，F ，G 表示的数分别是3-，6.5，11，其中是【M ，N 】美好点的是_；写出【N ，M 】美好点H 所表示的数是_．(2)现有一只电子蚂蚁P 从点N 开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t 为何值时，P ，M 和N 中恰有一个点为其余两点的美好点？【答案】(1)G ；4-或16-(2)1.5，2.25，3，6.75，9，13.5【分析】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、点是【M ，N 】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E ，F ，G 到点M ，N 的距离，只有点G 符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N 的距离是到点M 的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化．（2）根据美好点的定义，P ，M 和N 中恰有一个点为其余两点的美好点分8种情况，须区分各种情况分别确定P 点的位置，进而可确定t 的值．【详解】（1）解：根据美好点的定义，18GM =，9GN =，2GM GN =，只有点G 符合条件，故答案是：G ．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N 的距离是到点M 的距离2倍的点，点N 的右侧不存在满足条件的点，点M 和N 之间靠近点M 一侧应该有满足条件的点，进而可以确定4-符合条件．点M 的左侧距离点M 的距离等于点M 和点N 的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是16-．故答案为：4-或16-；（2）解：根据美好点的定义，P ，M 和N 中恰有一个点为其余两点的美好点分8种情况，第一情况：当P 为【M ，N 】的美好点，点P 在M ，N 之间，如图1，当2MP PN =时，3PN =，点P 对应的数为231-=-，因此 1.5t =秒；第二种情况，当P 为【N ，M 】的美好点，点P 在M ，N 之间，如图2，当2PM PN =时，6NP =，点P 对应的数为264-=-，因此3t =秒；第三种情况，P 为【N ，M 】的美好点，点P 在M 左侧，如图3，当2PN MN =时，18NP =，点P 对应的数为21816-=-，因此9t =秒；第四种情况，M 为【P ，N 】的美好点，点P 在M 左侧，如图4，当2MP MN =时，27NP =，点P 对应的数为22725-=-，因此13.5t =秒；第五种情况，M 为【N ，P 】的美好点，点P 在M 左侧，如图5，当2MN MP =时，13.5NP =，点P 对应的数为213.511.5-=-，因此 6.75t =秒；第六种情况，M 为【N ，P 】的美好点，点P 在M ，N 左侧，如图6，当2MN MP =时， 4.5NP =，因此 2.25t =秒；第七种情况，N 为【P ，M 】的美好点，点P 在M 左侧，当2PN MN =时，18NP =，因此9t =秒，第八种情况，N 为【M ，P 】的美好点，点P 在M 右侧，当2MN PN =时， 4.5NP =，因此 2.25t =秒，综上所述，t 的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5．6．若A 、B 、C 为数轴上三点，若点C 到A 的距离是点C 到B 的距离2倍，我们就称点C 是【A ，B 】的好点．例如，如图1，点A 表示的数为1-，点B 表示的数为2．表示1的点C 到点A 的距离是2，到点B 的距离是1，那么点C 是【A ，B 】的好点；又如，表示0的点D 到点A 的距离是1，到点B 的距离是2，那么点D 就不是【A ，B 】的好点，但点D 是【B ，A 】的好点．知识运用：如图2，M 、N 为数轴上两点，点M 所表示的数为2-，点N 所表示的数为4．(1)数所表示的点是【M ，N 】的好点；(2)如图3，A 、B 为数轴上两点，点A 所表示的数为20-，点B 所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P 从点B 出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？【答案】(1)2或10t=秒或20秒或15秒(2)10【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题：（1）根据数轴求出两点距离，再根据新定义的概念求出结果，注意有两种情况；（2）分情况讨论，根据好点的定义可求出结果；正确理解新定义是解题的关键．【详解】（1）解：设点H是【M，N】的好点，∴=，2HM HN当H在M、N之间时，HM HN MN∴+==--=，4(2)6∴+=，HN HN26∴=，2HN∴表示的数为422H-=，当H在N右边时，设H表示的数为h，h h∴--=-，(2)2(4)∴=，10h故答案为：2或10；（2）解：当P是【A，B】好点时，即2=，PA PB\-=´，t t60222t∴=；10当P是【B，A】好点时，即2=，PB PA∴=-，t t22(602)t∴=；20当B是【A，P】好点时，即2BA BP=，\=´，6022tt∴=，15当A是【B，P】好点时，即2=，AB AP∴=-，602(602)tt∴=；15t=秒或20秒或15秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点．综上所述，当10、两点表示的数是互为相反数；7．如图，数轴上的单位长度为1，A B(1)点A表示的数是______，点B表示的数______．(2)数轴上一个动点P先向左移动2个单位长度，再向右移动5个单位到达点M，若点M表示的数是1，则点P所表示的数是______．(3)在数轴上，点O为坐标原点，若点A、点B分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度向右运动，当两点t>．同时运动时，设运动时间为t秒()0①点A 表示的数为______；点B 表示的数为______．（用含t 的式子表示）②当t 为何值时，点A 、点B 、点O 三点之间恰好有一个点到其他两个点的距离相等？(1)则点A 对应的数是，点B 对应的数是；(2)动点P 、Q 分别同时从A 、C 出发，分别以每秒8个单位和4个单位的速度沿数轴正方向运动．M 在线段AP 上，且AM MP =，N 在线段CQ 上，且14CN CQ =，设运动时间为()0t t >．①求点M、N对应的数（用含t的式子表示）②猜想的长度是否与t的大小有关？如果有关请你写出用t表示的代数式；如果无关请你求出的长度．如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB，线段AB的长可以用右边=-．的数减去左边的数表示，即AB b a请用上面的知识解答下面的问题：如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2cm到达A点，再向左移动3cm到达B点，然后向右移动9cm到达C点，用1个单位长度表示1cm．(1)请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置：(2)点C到点A的距离CA=______cm；若数轴上有一点D，且5AD=，则点D表示的数为_________；x，则移动后的点表示的数为_____；（用代数式表示）(3)若将点A向右移动cm(4)若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动，设移动时间为t秒，-的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．试探索：AC AB-，C表示4，图见解析；【答案】(1)A表示2-，B表示5CA=--=+=（cm）；（2）4(2)426设D表示的数为a，度向终点C移动，设移动时间为t秒．若用PA，PB，PC分别表示点P与点A、点B、点C的距离，试回答以下问题．(1)当点P运动10秒时，PA=______，PB=______，PC=______；(2)当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示P到点A、点B、点C的距离：PA=______，PB=______，PC=______；(3)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？(4)当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能否为4个单位长度？如果能，请直接写出点P表示的数；如果不能，请说明理由．当Q 点未到达点，此时3AQ x =，BP x =，则Q 则()10243PQ x x =-+--+此时(343AQ AC QC =-=-则Q 点表示的数为2468-+-两个长方形ABCD 和EFGH 的宽都是3个单位长度，长方形ABCD 的长AD 是6个单位长度，长方形EFGH 的长EH 是10个单位长度，其中点A 、D 、E 、H 在数轴上（如图），点E 在数轴上表示的数是5，且E 、D 两点之间的距离为14，原点记为0．(1)求数轴上点H 、A 所表示的数？(2)若长方形ABCD 以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形EFGH 以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M 、N 两点，其中点M 在A 、D 两点之间，且12AM AD =，其中点N 在E 、H 两点之间，且15EN EH =，设运动时间为x 秒．①经过x 秒后，M 点表示的数是，N 点表示的数是（用含x 的式子表示，结果需化简）．②求MN （用含x 的式子表示，结果需化简）．(3)若长方形ABCD 以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形EFGH 固定不动，设长方形ABCD 运动的时间为()0t t >秒，两个长方形重叠部分的面积为S ，当12S =时，求此时t 的值．。

初一数学期末复习数轴绝对值动点压轴题难题(附答案详解)

初一数学数轴绝对值动点压轴题（附答案详解）一、解答题（共20小题）1. 如图，数轴的原点为O，点A，B，C是数轴上的三点，点B对应的数为1，AB=6，BC=2，动点P，Q同时从A，C出发，分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动．设运动时间为t秒(t>0)．（1）求点A，C分别对应的数；（2）求点P，Q分别对应的数（用含t的式子表示）．（3）试问当t为何值时，OP=OQ?2. 已知点P，Q是数轴上的两个动点，且P，Q两点的速度比是1:3．（速度单位：单位长度/秒）（1）动点P从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点Q也从原点出发向数轴正方向运动，4秒时，两点相距16个单位长度．求两个动点的速度，并在数轴上标出P，Q两点从原点出发运动4秒时的位置．（2）如果P，Q两点从（1）中4秒时的位置同时向数轴负方向运动，那么再经过几秒，点P，Q到原点的距离相等?3. 阅读下面材料：如图，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离可以表示为∣a−b∣．根据阅读材料与你的理解回答下列问题：（1）数轴上表示3与−2的两点之间的距离是．（2）数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为．（3）代数式∣x+8∣可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若∣x+8∣=5，则x=．（4）求代数式∣x+1008∣+∣x+504∣+∣x−1007∣的最小值．4. 如图1，在平面直角坐标系中，A(6,a)，B(b,0)且(a−6)2+√b−2=0．（1）求点A，B的坐标；（2）如图1，P点为y轴正半轴上一点，连接BP，若S△PAB=15，请求出P点的坐标；（3）如图2，已知AB=√52，若C点是x轴上一个动点，是否存在点C，使BC=AB，若存在，请直接写出所有符合条件的点C的坐标；若不存在，请说明理由．5. 如图，A，B分别为数轴上的两点，A点对应的数为−5，B点对应的数为55，现有一动点P以6个单位/秒的速度从B点出发，同时另一动点Q恰好以4个单位/秒的速度从A点出发：（1）若P向左运动，同时Q向右运动，在数轴上的C点相遇，求C点对应的数．（2）若P向左运动，同时Q向左运动，在数轴上的D点相遇，求D点对应的数．（3）若P向左运动，同时Q向右运动，当P与Q之间的距离为20个单位长度时，求此时Q点所对应的数．6. 数轴上从左到右有A，B，C三个点，点C对应的数是10，AB=BC=20．（1）点A对应的数是，点B对应的数是；（2）若数轴上有一点D，且BD=4，则点D表示的数是什么?（3）动点P从A出发，以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，同时，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．当点P和点Q间的距离为8个单位长度时，求t的值．7. 如图，已知点O是原点，点A在数轴上，点A表示的数为−6，点B在原点的右侧，且OB=4OA．3（1）点B对应的数是，在数轴上标出点B．（2）已知点P、点Q是数轴上的两个动点，点P从点A出发，以1个单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以3个单位/秒的速度向左运动；①用含t的式子分别表示P，Q两点表示的数：P是；Q是；②若点P和点Q经过t秒后在数轴上的点D处相遇，求出t的值和点D所表示的数；③求经过几秒，点P与点Q分别到原点的距离相等?8. 如图，半径为1个单位的圆片上有一点A与数轴的原点重合，AB是圆片的直径．（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C表示的数是数（填“无理”或“有理”），这个数是；（2）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是；（3）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，−1，−5，+4，+3，−2．当圆片结束运动时，A点运动的路程共有多少?此时点A所表示的数是多少?9. 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示−3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于∣m−n∣．如果表示数a 和−1的两点之间的距离是3，那么a=．（2）若数轴上表示数a的点位于−4与2之间，则∣a+4∣+∣a−2∣的值为；（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得∣x+2∣+∣x−5∣=7，这些点表示的数的和是．（4）当a=时，∣a+3∣+∣a−1∣+∣a−4∣的值最小，最小值是．10. 如图，数轴上的点O和A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点，沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒(0≤t≤10)．（1）线段BA的长度为；（2）当t=3时，点P所表示的数是；（3）求动点P所表示的数（用含t的代数式表示）；（4）在运动过程中，当PB=2时，求运动时间t．11. A,B,C为数轴上的三点，动点A,B同时从原点出发，动点A每秒运动x个单位，动点B每秒运动y个单位，且动点A运动到的位置对应的数记为a，动点B运动到的位置对应的数记为b，定点 C 对应的数为8．（1）若2秒后，a,b满足∣a+8∣+(b−2)2=0，则x=，y=，并请在数轴上标出A,B两点的位置．（2）若动点A,B在（1）运动后的位置上保持原来的速度，且同时向正方向运动z秒后使得∣a∣=∣b∣，使得z=．（3）若动点A,B在（1）运动后的位置上都以每秒2个单位向正方向运动继续运动t秒，点A 与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离为AB，且AC+BC=1.5AB，则t=．12. 探索研究：（1）比较下列各式的大小（用“<”或“>”或“=”连接）．①∣+1∣+∣4∣∣+1+4∣；②∣−6∣+∣−3∣∣−6−3∣；③∣10∣+∣−3∣∣10−3∣；④∣8∣+∣−5∣∣8−5∣；⑤∣0∣+∣+2∣∣0+2∣；⑥∣0∣+∣−8∣∣0−8∣．（2）通过以上比较，请你分析、归纳出当a，b为有理数时，∣a∣+∣b∣∣a+b∣（用“<”或“>”或“=”或“≥”或“≤”连接）．（3）根据（2）中得出的结论，当∣x∣+2017=∣x−2017∣时，则x的取值范围是；若x>0，且∣x∣+∣y∣=10，∣x+y∣=2，则y=．13. 阅读下面材料并回答问题．I阅读：数轴上表示−2和−5的两点之间的距离等于(−2)−(−5)=3；数轴上表示1和−3的两点之间的距离等于1−(−3)=4．一般地，数轴上两点之间的距离等于右边点对应的数减去左边点对应的数．II问题：如图，O为数轴原点，A，B，C是数轴上的三点，A，C两点对应的数互为相反数，且A点对应的数为−6，B点对应的数是最大负整数．（1）点B对应的数是，并请在数轴上标出点B位置；PC，求线段AP中点对应的数；（2）已知点P在线段BC上，且PB=25⋅x2−bx+2的值（a，b，c是点（3）若数轴上一动点Q表示的数为x，当QB=2时，求a+c100A，B，C在数轴上对应的数）．14. 如图，已知数轴上点A表示的数为6，点B表示的数为−4，C为线段AB的中点，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t>0）秒．（1）点C表示的数是；（2）当t=秒时，点P到达点A处；（3）点P表示的数是（用含字母t的代数式表示）；（4）当t=秒时，线段PC的长为2个单位长度；（5）若动点Q同时从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，那么，当t=秒时，PQ的长为1个单位长度．15. 阅读理解．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：“当式子∣x+1∣+∣x−2∣取最小值时，相应的x的取值范围是，最小值是”．小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．”他们把数轴分为三段：x<−1，−1≤x≤2和x>2，经研究发现，当−1≤x≤2时，值最小为3．请你根据他们的解题解决下面的问题：（1）当式子∣x−2∣+∣x−4∣+∣x−6∣+∣x−8∣取最小值时，相应的x的取值范围是，最小值是．（2）已知y=∣2x+8∣−4∣x+2∣，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程．16. 阅读思考：小聪在复习过程中，发现可以用“两数的差”来表示“数轴上两点间的距离”，探索过程如下：如图甲所示，三条线段的长度可表示为AB=4−2=2，CB=4−(−2)=6，DC=(−2)−(−4)=2，于是他归纳出这样的结论：当b>a时，AB=b−a（较大数−较小数）．（1）思考：你认为小聪的结论正确吗? ．（2）尝试应用：①如图乙所示，计算：EF=，FA=．②把一条数轴在数m处对折，使表示−14和2014两数的点恰好互相重合，则m=．（3）问题解决：①如图丙所示，点A表示数x，点B表示−2，点C表示数2x+8，且BC=4AB，问：点A和点C分别表示什么数?②在上述①的条件下，在如图丙所示的数轴上是否存在满足条件的点D，使DA+DC=3DB?若存在，请直接写出点D所表示的数；若不存在，请说明理由．17. 如图，数轴上有A、B、C、D四个点，分别对应的数为a、b、c、d，且满足a，b是方程∣x+9∣=1的两解(a<b)，(c−16)2与∣d−20∣互为相反数．（1）求a、b、c、d的值；（2）若A、B两点以每秒6个单位的速度向右匀速运动，同时C、D两点以每秒2个单位的速度向左匀速运动，并设运动时间为t秒，问t为多少时，A、B两点都运动在线段CD上（不与C、D两个端点重合）?（3）在（2）的条件下，A、B、C、D四个点继续运动，当点B运动到点D的右侧时，问是否存在时间t，使B与C的距离是A与D的距离的4倍，若存在，求时间t；若不存在，请说明理由．18. 已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且AB=12．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒．（1）写出数轴上点B，P所表示的数（可以用含t的代数式表示）；（2）若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问点P运动多少秒与Q相距2个单位长度?（3）若M为AQ的中点，N为BP的中点．当点P在线段AB上运动过程中，探索线段MN与线段PQ的数量关系．19. 在数轴上依次有 A ，B ，C 三点，其中点 A ，C 表示的数分别为 −2，5，且 BC =6AB ．（1）在数轴上表示出 A ，B ，C 三点；（2）若甲、乙、丙三个动点分别从 A ，B ，C 三点同时出发，沿数轴负方向运动，它们的速度分别是 14，12，2（单位长度/秒），当丙追上甲时，甲乙相距多少个单位长度?（3）在数轴上是否存在点 P ，使 P 到 A ，B ，C 的距离和等于 10?若存在求点 P 对应的数；若不存在，请说明理由．20. 已知数轴上三点 M ，O ，N 对应的数分别为 −3，0，1，点 P 为数轴上任意一点，其对应的数为x ．（1）如果点 P 到点 M 、点 N 的距离相等，那么 x 的值是．（2）当 x = 时，使点 P 到点 M ，点 N 的距离之和是 5；（3）如果点 P 以每秒钟 3 个单位长度的速度从点 O 向左运动时，点 M 和点 N 分别以每秒钟 1个单位长度和每秒钟 4 个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么秒钟时点 P 到点 M ，点 N 的距离相等.答案第一部分1. （1）∵点B对应的数为1，AB=6，BC=2，∴点A对应的数是1−6=−5，点C对应的数是1+2=3．（2）∵动点P，Q分别同时从A，C出发，分别以每秒2个单位长度和1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，∴点P对应的数是−5+2t，点Q对应的数是3+t．（3）①当点P与点Q在原点两侧时，若OP=OQ，则5−2t=3+t，解得：t=23；②当点P与点Q在原点同侧时，若OP=OQ，则−5+2t=3+t，解得：t=8；当t为23或8时，OP=OQ．2. （1）设P的速度为x单位长度/秒，Q的速度为3x单位长度/秒．依题意，得4(x+3x)=16，∴x=1．∴P的速度为1单位长度/秒，Q的速度为3单位长度/秒．4秒时，P的位置在−4，Q的位置在12．（2）设再经过y秒时，点P，Q到原点的距离相等，①当点P，Q位于原点两侧时，12−3y=4+y，解得，y=2．②当点P，Q位于原点同侧时，3y−12=4+y，解得，y=8．所以再经过2秒或8秒时点P，Q到原点的距离相等．3. （1）5【解析】∣3−(−2)∣=5．（2）∣x−7∣（3）−8；−3或−13（4）如图，∣x+1008∣+∣x+504∣+∣x−1007∣的最小值即∣1007−(−1008)∣=2015．4. （1）∵(a−6)2+√b−2=0，又∵(a−6)2≥0，√b−2≥0，∴a=6，b=2，∴A(6,6)，B(2,0)．（2）设P(0,m)(m>0)，∵S△PAB=S△POA+S△ABO−S△POB，∴15=12×m×6+12×2×6−12×2×m，9)．∴P(0,92（3）C(2+2√13,0)或(2−2√13,0)．【解析】∵AB=√52=2√13，B(2,0)，∴BC=AB=2√13，∴C(2+2√13,0)或(2−2√13,0)．5. （1）设相遇时间为x秒，4x+6x=55−(−5)，解得：x=6，因此C点对应的数为−5+4×6=19．（2）设追及时间为y秒，6y−4y=55−(−5)，解得：y=30，点D对应的数为−5−4×30=−125．（3）①相遇前PQ=20时，设相遇时间为a秒，4a+6a=55−(−5)−20，解得：a=4，因此Q点对应的数为−5+4×4=11，②相遇后PQ=20时，设相遇时间为b秒，4b+6b=55−(−5)+20，解得：b=8，因此C点对应的数为−5+4×8=27，故Q点对应的数为11或27．6. （1）−30；−10【解析】∵AB=BC=20，点C对应的数是10，点A在点B左侧，点B在点C左侧，∴点B对应的数为10−20=−10，点A对应的数为−10−20=−30．（2）由于点B对应的数为−10，BD=4，∴点D表示的数为−14或−6．（3）当运动时间为t秒时，点P对应的数是4t−30，点Q对应的数是t−10，依题意，得：∣t−10−(4t−30)∣=8，∴20−3t=8或3t−20=8，解得：t=4或t=28．3．∴t的值为4或2837. （1）8数轴表示如图所示：【解析】∵点A表示的数为−6，∴OA=6，OA，∵OB=43∵点B在原点的右侧，∴点B对应的数是8．（2）①−6+t；8−3t②∵点P和点Q经过t秒后在数轴上的点D处相遇，∴−6+t=8−3t，∴t=7，2=−2.5．∴点D所表示的数=−6+72③∵P是−6+t；Q是8−3t，∴OP=∣−6+t∣，OQ=∣8−3t∣，∵点P与点Q分别到原点的距离相等，∴∣−6+t∣=∣8−3t∣，∴−6+t=8−3t或−6+t=3t−8，或t=1，∴t=72秒或1秒，点P与点Q分别到原点的距离相等．∴经过72【解析】①∵P的路程为t，Q的路程为3t，∴P是−6+t；Q是8−3t．8. （1）无理；−2π【解析】把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C表示的数是无理数，这个数是−2π．（2）±4π【解析】把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是±4π．（3）2+1+5+4+3+2=17，故A点运动的路程共有34π，+2−1−5+4+3−2=1，故此时点A所表示的数是2π．9. （1）3；5；−4或2【解析】∣1−4∣=3，∣−3−2∣=5，∣a−(−1)∣=3，所以，a+1=3或a+1=−3，解得a=−4或a=2．（2）6【解析】因为表示数a的点位于−4与2之间，所以a+4>0，a−2<0，所以∣a+4∣+∣a−2∣=(a+4)+[−(a−2)]=a+4−a+2=6．（3）12【解析】使得∣x+2∣+∣x−5∣=7的整数点有−2，−1，0，1，2，3，4，5，−2−1+0+1+2+ 3+4+5=12．故这些点表示的数的和是12．（4）1；7【解析】a=1有最小值，最小值=∣1+3∣+∣1−1∣+∣1−4∣=4+0+3=7．10. （1）5【解析】∵B是线段OA的中点，∴BA=12OA=5．（2）6【解析】当t=3时，点P所表示的数是2×3=6．（3）当0≤t≤5时，动点P所表示的数是2t；当5≤t≤10时，动点P所表示的数是20−2t．（4）①当0≤t≤5时，动点P所表示的数是2t，∵PB=2，∴∣2t−5∣=2，∴2t−5=2或2t−5=−2，解得t=3.5或t=1.5；②当5≤t≤10时，动点P所表示的数是20−2t，∵PB=2，∴∣20−2t−5∣=2，∴20−2t−5=2或20−2t−5=−2，解得t=6.5或t=8.5．综上所述，所求t的值为1.5或3.5或6.5或8.5．11. （1）4；1（2）103或56（3）2.75或9.2512. （1）=；=；>；>；=；=（2）≥（3）x≤0；−6或−413. （1）−1点B位置如图：【解析】点B对应的数是−1．（2）设点P对应的数为p，∵点P在线段BC上，∴PB=p−(−1)=p+1，PC=6−p，∵PB=25PC，∴p+1=25(6−p)，∴p=1．设AP中点对应的数为t，则t−(−6)=1−t，∴t=−2.5，∴AP中点对应的数为−2.5．（3）由题意：a+c=0，b=−1，当点Q在点B左侧时，−1−x=2，x=−3，∴a+c100−x2−bx+2=0=0−(−1)×(−3)+2=−1，当点Q在点B左侧时，x−(−1)=2，x=1，∴a+c100−x2−bx+2=0−(−1)×1+2=3．14. （1）1【解析】(6−4)÷2 =2÷2= 1.故点C表示的数是1．（2）5【解析】[6−(−4)]÷2 =10÷2=5(秒).答：当t=5秒时，点P到达点A处．（3）2t−4【解析】点P表示的数是2t−4．（4）1.5秒或3.5【解析】P在点C左边，[1−2−(−4)]÷2=3÷2= 1.5(秒).P在点C右边，[1+2−(−4)]÷2=7÷2= 3.5(秒).答：当t=1.5秒或3.5秒时，线段PC的长为2个单位长度．（5）3秒或113【解析】点P，Q相遇前，依题意有(2+1)t=6−(−4)−1，解得t=3；点P，Q相遇后，依题意有(2+1)t=6−(−4)+1，解得t=113．答：当t=3秒或113秒时，PQ的长为1个单位长度．15. （1）4≤x≤6；8．（2）当x≥−2时，y=∣2x+8∣−4∣x+2∣=−2x，当−4≤x≤−2时，y=∣2x+8∣−4∣x+2∣=6x+16，当x≤−4时，y=∣2x+8∣−4∣x+2∣=2x，所以x=−2时，y有最大值y=4．16. （1）正确【解析】∵当b>a时，b−a的值为线段AB的实际长度．（2）2；3；1000（3）①∵BC=2x+8−(−2)=2x+10，AB=−2−x，又∵BC=4AB，∴2x+10=4(−2−x)，解得x=−3，∴点A表示数−3，点C表示数2．②存在．设点D所表示的数为y，则（a）当y<−3时，DA=−3−y，DC=2−y，DB=−2−y，若DA+DC=3DB，则−3−y+2−y=3(−2−y)，解得y=−5，满足条件；（b）当−3≤y<−2时，DA=y−(−3)=y+3，DC=2−y，DB=−2−y，若DA+DC=3DB，则y+3+2−y=3(−2−y)，解得y=−113<−3，不符合题意；（c）当−2≤y<2时，DA=y−(−3)=y+3，DC=2−y，DB=y−(−2)=y+2，若DA+DC=3DB，则y+3+2−y=3(y+2)，解得y=−13，满足条件；（d）当y≥2时，DA=y−(−3)=y+3，DC=y−2，DB=y−(−2)=y+2，若DA+DC=3DB，则y+3+y−2=3(y+2)，解得y=−5，不符合题意．综上可知，存在点D表示的数为−5或−13时满足条件．17. （1）∵a，b是方程∣x+9∣=1的两根(a<b)，∴a=−10，b=−8 .∵(c−16)2与∣d−20∣互为相反数，(c−16)2≥0，∣d−20∣≥0，∴c−16=0，d−20=0．∴c=16，d=20 .（2）可知：AC=26，BD=28，AB=2，CD=4．∵A、B两点以每秒6个单位的速度向右匀速运动，C、D两点以每秒2个单位的速度向左匀速运动，∴点A、C相遇时间t=26÷(6+2)=134，点B、D的相遇时间t=28÷(6+2)=72.∵点A、C相遇之后到B、D相遇之前，A、B两点都运动在线段CD上，∴当134<t<72时，A、B两点都运动在线段CD上．（3）存在时间，使得 BC =4AD ．理由：（1）当 t =72 时，点 B 与点 D 相遇，此时 AD =AB =2，BC =CD =4；当 A 、 D 相遇时 t =30÷8=154；当 72<t <154 时，点 A 在线段 CD 上，此时 BC =4+8(t −72)=8t −24，AD =2−8(t −72)=30−8t . 若 BC =4AD ，则 8t −24=4(30−8t )，解得 t =3.6；（2）当 t =154 时，点 A 与点 D 相遇，此时 BC =CD +AB =6，AD =0；当 t >154 时，点 A 在 CD 的延长线上，此时 BC =8t −24，AD =8t −30 .若 BC =4AD ，则 8t −24=4(8t −30)，解得 t =4．综上所述，t =3.6 或 t =4 时，BC =4AD ．18. （1） ∵ 点 A 表示的数为 8，B 在 A 点左边，AB =12，∴ 点 B 表示的数是 8−12=−4．∵ 动点 P 从点 A 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 t （t >0）秒， ∴ 点 P 表示的数是 8−3t ．（2）设点 P 运动 x 秒时，与 Q 相距 2 个单位长度．则 AP =3x ，BQ =2x ．∵AP +BQ =AB −2，∴3x +2x =10．解得：x =2．∵AP +BQ =AB +2，∴3x +2x =14．解得：x =145．∴ 点 P 运动 2 秒或 145 秒时与点 Q 相距 2 个单位长度．（3）如图：当 P 在 Q 的左侧时，MN =MQ +NP −PQ =12AP +12BP −PQ =12(AP +BP )−PQ =12AB −PQ =6−PQ ．即 MN +PQ =6．如图当 P 在 Q 的右侧时，MN =MQ +NP −PQ =12AP +12BP −PQ =12(AP +BP )−PQ =12AB −PQ =6−PQ ．综上，MN +PQ =6．19. （1）（2） 7÷(2−14)=4（秒），4×(12−14)−1=0．答：丙追上甲时，甲乙相距 0 个单位长度．（3）设 P 点表示的数为 x ，由题意可得 ∣x +2∣+∣x +1∣+∣x −5∣=10．当 x <−2 时，−x −2−x −1−x +5=10．解得 x =−83．当 −2<x <−1 时，x +2−x −1−x +5=10．解得 x =−4，不属于上述范围（舍）．当 −1<x <5 时，x +2+x +1−x +5=10．解得 x =2．当 x >5 时，x +2+x +1+x −5=10．解得 x =4，不属于上述范围（舍）．结合数轴，解得 x =−83，2，∴P 点表示的数为 −83 或 2．20. （1） −1（2） −3.5 或 1.5（3） 43 或 2 【解析】提示：①当点 M 和点 N 在点 P 同侧时，因为 PM =PN ，所以点 M 和点 N 重合． ②当点 M 和点 N 在点 P 两侧时，有两种情况．情况 1：如果点 M 在点 N 左侧；情况 2：如果点 M 在点 N 右侧．。

绝对值几何意义及动点问题(一)

绝对值几何意义及动点问题(一)绝对值几何意义及动点问题在几何学中，绝对值是一个常见的概念，它表示一个数到零的距离。

在这篇文章中，我们将探讨绝对值的几何意义以及与动点相关的问题。

绝对值的几何意义绝对值可以用几何的方式来解释。

首先，我们可以将绝对值看作一个点到零点的距离。

例如，对于实数x，绝对值|x|表示点x到零点的距离。

如果x是负数，则绝对值表示x在数轴上的投影到零点的距离。

绝对值的性质绝对值具有以下性质： - |x| >= 0：绝对值永远大于等于零。

- |x| = 0 当且仅当 x = 0：只有当x等于零时，绝对值才等于零。

- |x * y| = |x| * |y|：绝对值的乘积等于各个数的绝对值的乘积。

绝对值的动点问题在几何学中，动点问题是一类常见的问题，它涉及到点在运动中的位置、轨迹等特性。

绝对值可以应用在动点问题中，通过求解动点到其他点的距离。

以下是一些与绝对值和动点相关的问题： 1. 给定一个动点A和两个固定点B、C，求动点A到点B和点C的距离之和的最小值。

2. 已知动点A在直线L上运动，点B为直线L上的固定点，求动点A到点B的距离的最大值。

3. 给定一个动点A和一个固定点B，在直线L 上构建一个点C，使得动点A到点B和点C的距离之和最小。

这些问题都可以通过绝对值的几何意义来解决。

我们可以使用点到点的距离公式，通过求解绝对值来得到问题的答案。

绝对值在几何学中具有重要的意义，它可以帮助我们解决许多与动点相关的问题。

通过理解绝对值的几何意义，我们可以更好地应用它来解决各种几何问题。

希望通过这篇文章，你对绝对值的几何意义及动点问题有更深入的理解。

七年级动点问题--与绝对值有关的综合运用

（3）在（2）的条件下，动点 P 从 A 点出发以 5 单位/秒的速度向左运动，动点 Q 从 B 点出发以 3 单位/秒的速度向左运动，动点 M 从 C 点出发以 2 单位/秒的速度向右运动，动点 N 从 D 点出发以 4 单位/秒的速度向右运动，P、Q、M、N 四点同时出发. ①第几秒时，线段 PN 的长度恰好线段 QM 的 2 倍？
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☆☆摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人！☆☆
例二、已知数轴上三点 M，O，N 对应的数分别为－3，0，1，点 P 为数轴上任意一点，其对应的数为 x ．（1）如果点 P 到点 M、点 N 的距离相等，那么 x 的值是______________；（2）如果点 P 以每秒 3 个单位长度的速度从点 O 向左运动时，点 M 和点 N 分别以每秒 1 个单位长度和每秒 4 个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么几秒后点 P 到点 M、点 N 的距离相等？
A a m 图 1 B B m 图 2 a A
二、数轴上两点间的距离：求距离，大减小如图，A 点对应的数为 a ，B 点对应的数为 b ，则线段 AB 的长度为 b a ；
三、数轴两点对应线段的中点：求中点，平均数如图，A 点对应的数为 a ，B 点对应的数为 b ，则线段 AB 的中点 M 对应的数为解：设 M 点对应的数为 x （如图）. x 则有：MA= ，BM= ，， . （a、b 的平均数） ∵M 为线段 AB 的中点，∴MA=BM，∴ ∴ x= ，即点 M 对应的数为
例八、如图，A、B、C 三点在数轴上对应的数分别为 a，b，c ，且 a，b 满足 a 8 (b 4) 2 0 ， c 是方程
1 c 2 c 2 的解. 2 （1）直接写出 a，b，c 的值： a =

初一动态问题+绝对值+几何动态

专题1.动态问题【2018-2019朝阳期末】28. 对于数轴上的A ,B ,C 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”.例如数轴上点A ,B ,C 所表示的数分别为1，3，4，此时点B 是点A , C 的“联盟点”.（1）若点A 表示数-2, 点B 表示的数2，下列各数32−，0，4，6所对应的点分别 C 1，C 2 ，C 3 ，C 4，其中是点A ,B 的“联盟点”的是；（2）点A 表示数-10, 点B 表示的数30，P 在为数轴上一个动点：①若点P 在点B 的左侧，且点P 是点A , B 的“联盟点”，求此时点P 表示的数； ②若点P 在点B 的右侧，点P ，A , B 中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，写出此时点P 表示的数 .28. 如图，数轴上点A对应的有理数为10，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，点Q以每秒3个单位长度的速度从原点O出发，且P、Q两点同时向数轴正方向运动，设运动时间为t秒。

（1）当t＝2时，P，Q两点对应的有理数分別是 , ,PQ= ；（2）当PQ＝8时，求t的值。

25. 阅读下列材料：我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“平衡点”．解答下列问题：（1）若点A表示的数为−3，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“平衡点”，则点M表示的数为；（2）若点A表示的数为−3，点A与点B的“平衡点M”表示的数为1，则点B表示的数为；（3）点A表示的数为−5，点C，D表示的数分别是−3，−1，点O为数轴原点，点B为线段CD上一点.①设点M表示的数为m．若点M可以为点A与点B的“平衡点”，则m的取值范围是；②当点A以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点C同时以每秒3个t t>秒，求t的取值范围，使单位长度的速度向正半轴方向移动.设移动的时间为()0得点O可以为点A与点B的“平衡点”.29．对于数轴上不重合的两点A，B，给出如下定义：若数轴上存在一点M，通过比较线段AM和BM的长度，将较短线段的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”. 若线段AM和BM的长度相等，将线段AM或BM的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”．（1）当数轴上原点为O，点A表示的数为-1，点B表示的数为5时．①点O到线段AB的“绝对距离”为___________；②点M表示的数为m，若点M到线段AB的“绝对距离”为3，则m的值为___________；（2）在数轴上，点P表示的数为-6，点A表示的数为-3，点B表示的数为2. 点P以每秒2个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点B同时以每秒1个单位长度的速度向负半轴方向移动. 设移动的时间为()0t t>秒，当点P到线段AB的“绝对距离”为2时，求t的值．29. 阅读完成问题：数轴上，已知点A、B、C.其中，C为线段AB的中点：（1）如图，点A表示的数为-1，点B表示的数为3，则线段AB的长为，C点表示的数为 ;（2）若点A表示的数为-1，C点表示的数为2，则点B表示的数为 ;（3）若点A表示的数为t，点B表示的为t+2，则线段AB的长为 ,若C 点表示的数为2，则t= ;（4）点A表示的数为1x，点B表示的为2x，C点位置在-2至3之间（包括边界点），若C点表示的数为x，则1x+2x+3x的最小值为 ,1x+2x+3x的最大值3为 .28.（1）阅读思考：小迪在学习过程中，发现“数轴上两点间的距离”可以用“表示这两点数的差”来表示，探索过程如下：如图1所示，线段AB ，BC ，CD 的长度可表示为: AB = 3 = 4-1 ，BC =5 = 4-(-1)，CD = 3 = (-1) - (-4)，于是他归纳出这样的结论：如果点A 表示的数为a ，点B 表示的数为b ，当b >a 时，AB = b -a （较大数-较小数）．（2）尝试应用：① 如图2所示，计算：OE =__________，EF =__________；② 把一条数轴在数m 处对折，使表示-19和2019两数的点恰好互相重合，则m =__________；（3）问题解决：① 如图3所示，点P 表示数x ，点M 表示数-2，点N 表示数2x +8，且MN =4PM ，求出点P 和点N 分别表示的数；② 在上述①的条件下，是否存在点Q ，使PQ +QN =3QM ？若存在，请直接写出点Q 所表示的数；若不存在，请说明理由．图1DCAB1图2xM图3PON28．已知数轴上两点A、B，其中A表示的数为2-，B表示的数为2，若在数轴上存在一点C，使得AC+BC=n，则称点C叫做点A、B的“n节点”.例如图1所示：若点C表示的数为0，有AC+BC=2+2=4，则称点C为点A、B的“4节点”.请根据上述规定回答下列问题：（1）若点C为点A、B的“n节点”，且点C在数轴上表示的数为4-，求n的值；（2）若点D是数轴上点A、B的“5节点”，请你直接写出点D表示的数为；（3）若点E在数轴上（不与A、B重合），满足12BE AE=，且此时点E为点A、B的“n节点”，求n的值.备用图备用图B图1备用图备用图28.（6分）对于数轴上的点P ，Q ，给出如下定义：若点P 到点Q 的距离为d （d ≥0），则称d 为点P 到点Q 的d 追随值，记作d [PQ ]．例如，在数轴上点P 表示的数是2，点Q 表示的数是5，则点P 到点Q 的d 追随值为d [PQ ]=3．问题解决：（1）点M ，N 都在数轴上，点M 表示的数是1，且点N 到点M 的d 追随值d [MN ]=a（a ≥0），则点N 表示的数是（用含a 的代数式表示）；（2）如图，点C 表示的数是1，在数轴上有两个动点A ，B 都沿着正方向同时移动，其中A 点的速度为每秒3个单位，B 点的速度为每秒1个单位，点A 从点C 出发，点B 表示的数是b ，设运动时间为t （t >0）．① 当b =4时，问t 为何值时，点A 到点B 的d 追随值d [AB ]=2； ②若0<t ≤3时，点A 到点B 的d 追随值d [AB ]≤6，求b 的取值范围．C7-3-2-1643213.阅读下列材料：我们给出如下定义：数轴上给定两点A，B以及一条线段PQ，若线段AB的中点R在线段PQ上（点R能与点P或Q重合），则称点A与点B关于线段PQ径向对称.下图为点A与点B关于线段PQ径向对称的示意图.解答下列问题：如图1，在数轴上，点为原点，点A表示的数为−1，点M表示的数为2.图1（1）①点B，C，D分别表示的数为−3，32，3，在B，C，D三点中，与点A关于线段OM径向对称；②点E 表示的数为x，若点A与点E关于线段OM的径向对称，则x的取值范围是；（2）点N是数轴上一个动点，点F表示的数为6，点A与点F关于线段ON径向对称，线段ON的最小值是；（3）在数轴上，点H，K，L表示的数分别是−5，−4，−3，当点H以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动时，线段KL同时以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动.设移动的时间为（>0）秒，问为何值时，线段KL上至少存在一点与点H关于线段OM径向对称.26．如图，数轴上点A,B表示的有理数分别为-6，3，点P是射线AB上的一个动点（不与点A,B重合），M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．（1）若点P表示的有理数是0，那么MN的长为；若点P表示的有理数是6，那么MN的长为．（2）点P在射线AB上运动（不与点A,B重合）的过程中，MN的长是否发生改变？若不改变，请写出求MN的长的过程；若改变，请说明理由．29. 如图正方形ABCD 的边AB 在数轴上，点A 表示的数为-1，正方形ABCD 的面积为16.（1）数轴上点B 表示的数为；（2）将正方形ABCD 沿数轴水平移动，移动后的正方形记为''''D C B A ，移动后的正方形''''D C B A 与原正方形ABCD 重叠部分的面积记为S. ① 当S =4时，画出图形，并求出数轴上点'A 表示的数；② 设正方形ABCD 的移动速度为每秒2个单位长度，点E 为线段'AA 的中点，点F 在线段'BB 上，且B B BF '=41. 经过t 秒后，点E ，F 所表示的数互为相反数，直接写出t 的值.27. 已知数轴上三点M ，O ，N 对应的数分别为－1，0，3，点P 为数轴上任意一点，其对应的数为x ．（1）MN 的长为；（2）如果点P 到点M 、点N 的距离相等，那么x 的值是；（3）数轴上是否存在点P ，使点P 到点M 、点N 的距离之和是8？若存在，直接写出x 的值；若不存在，请说明理由．（4）如果点P 以每分钟1个单位长度的速度从点O 向左运动，同时点M 和点N 分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动. 设t 分钟时点P 到点M 、点N 的距离相等，求t 的值.12345–1–2–3–4–50OM N28. A，B两点在数轴上的位置如图所示，其中点A对应的有理数为-4，且AB=10。

绝对值与动点问题(七年级培优)

绝对值与动点问题1. 如图，点A 、B 和线段CD 都在数轴上，点A 、C 、D 、B 起始位置所表示的数分别为-2、0、3、12；线段CD 沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为t 秒．（1）当t =0秒时，AC 的长为______，当t =2秒时，AC 的长为______；（2）用含有t 的代数式表示AC 的长为______；（3）当t =______秒时AC -BD =5，当t =______秒时AC +BD =15；（4）若点A 与线段CD 同时出发沿数轴的正方向移动，点A 的速度为每秒2个单位，在移动过程中，是否存在某一时刻使得AC =2BD ，若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．2. 阅读下列材料并解决有关问题：我们知道|x |={x ，(x ＞0)0，(x =0)−x ，(x ＜0)，现在我们可以用这个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x +1|+|x -2|时，可令x +1=0和x -2=0，分别求得x =-1，x =2（称-1，2分别叫做|x +1|与|x -2|的零点值．）在有理数范围内，零点值x =-1和x =2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）当x ＜-1时，原式=-（x +1）-（x -2）=-2x +1；（2）当-1≤x ≤2时，原式=x +1-（x -2）=3；（3）当x ＞2时，原式=x +1+x -2=2x -1．综上所述，原式={−2x +1，(x ＜−1)3，(−1≤x ≤2)2x −1，(x ＞2)．通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）分别求出|x +2|和|x -4|的零点值；（2）化简代数式|x +2|+|x -4|；（3）求方程：|x +2|+|x -4|=6的整数解；（4）|x +2|+|x -4|是否有最小值？如果有，请直接写出最小值；如果没有，请说明理由．3. （1）阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为|AB |．当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，|AB |=|OB |=|b |=|a -b |；当A 、B 两都不在原点时，①如图2，点A 、B 都在原点的右边|AB |=|OB |-|OA |=|b |-|a |=b -a =|a -b |；②如图3，点A 、B 都在原点的左边，|AB |=|OB |-|OA |=|b |-|a |=-b -（-a ）=|a -b |； ③如图4，点A 、B 在原点的两边，|AB |=|OB |+|OA |=|a |+|b |=a +（-b ）=|a -b |；（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5两点之间的距离是______ ，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是______ ，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是______ ；②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是______ ，如果|AB|=2，那么x为______ ；③当代数式取|x+1|+|x-2|最小值时，相应的x的取值范围是______ ；）④求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2015|的最小值．（提示：1+2+3+…+n=n(n+1)24.已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|a+5|+（b-1）2=0，规定A、B两点之间的距离记作|AB|=|a-b|．（1）求A、B两点之间的距离|AB|；（2）设点P在线段AB之间且在数轴上对应的数为x，当|PA|-|PB|=2时，求x的值；（3）若点P在线段AB之外，N、M分别是PA、PB的中点．对于①|PN|+|PM|的值，②||PN|-|PM||的值．探究①②中值的结果，判断哪个结果的值一定是一个常数，说明理由并求出这个常数．5.我们知道在数轴上表示两个数x，y的点之间的距离可以表示为|x-y|，比如表示3的点与-2的点之间的距离表示为|3-（-2）|=|3+2|=5；|x+2|+|x-1|可以表示数x的点与表示数1的点之间的距离与表示数x的点与表示数-2的点之间的距离的和，根据图示易知：当表示数x的点在点A和点B之间（包含点A和点B）时，表示数x的点与点A的距离与表示数x的点和点B的距离之和最小，且最小值为3，即|x+2|+|x-1|的最小值是3，且此时x的取值范围为-2≤x≤1，请根据以上材料，解答下列问题：（1）|x+2|+|x-2|的最小值是______；|x+1|+|x-2|=7，x的值为______．（2）|x+2|+|x|+|x-1|的最小值是______；此时x的值为______．（3）当|x+1|+|x|+|x-2|+|x-a|的最小值是4.5时，求出a的值及x的值或取值范围．6.若a、b互为相反数，b、c互为倒数，并且m的立方等于它本身．+ac值；（1）试求2a+2bm+2|，试求4（2a一S）+2（2a-S）-（2）若a＞1，且m＜0，S=|2a一3b|-2|b-m|-|b+12（2a-S）的值．（3）若m≠0，试讨论：x为有理数时，|x+m|-|x-m|是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．7.在数轴上表示a，0，1，b四个数的点如图所示，已知OA=OB，求|a+b|+|a|+|a+1|b 的值．8.在学习绝对值后，我们知道，|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而|5|=|5-0|，即|5-0|表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，有：|5-3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5-（-3）|，所以|5+3|表示5、-3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a-b|．请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：（1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是______；数轴上P、Q两点的距离为3，点P表示的数是2，则点Q表示的数是______．（2）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、-3、1，那么A到B的距离与A到C 的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）；满足|x-3|+|x+2|=7的x的值为______．（3）试求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|的最小值．9.阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|=|x-0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为|x1-x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离；在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：例1：解方程|x|=2．容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的x=±2；例2：解不等式|x-1|＞2．如图，在数轴上找出|x-1|=2的解，即到1的距离为2的点对应的数为-1，3，则|x-1|＞2的解为x＜-1或x＞3；例3：解方程|x-1|+|x+2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和-2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，1和-2的距离为3，满足方程的x 对应点在1的右边或-2的左边．若x对应点在1的右边，如图可以看出x=2；同理，若x对应点在-2的左边，可得x=-3．故原方程的解是x=2或x=-3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x+3|=4的解为______ ；（2）解不等式|x-3|+|x+4|≥9；（3）若|x-3|-|x+4|≤a对任意的x都成立，求a的取值范围．10.点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|．利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示1和3两点之间的距离______．（2）数轴上表示-12和-6的两点之间的距离是______．（3）数轴上表示x和1的两点之间的距离表示为______．（4）若x表示一个有理数，且-4＜x＜2，则|x-2|+|x+4|=______．11.在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求|a|a +|b|b+|c|c的值．【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则|a|a +|b|b+|c|c=aa+bb+cc=1+1+1=3；②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则|a|a +|b|b+|c|c=aa+−bb+−cc=1+(−1)+(−1)=−1．综上所述，|a|a +|b|b+|c|c值为3或﹣1．【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求|a|a +|b|b+|c|c的值；（2）若a，b，c为三个不为0的有理数，且a|a|+b|b|+c|c|=−1，求abc|abc|的值．12.同学们都知道，|5-（-2）|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：（1）求|5-（-2）|=______．（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x-1|=4这样的整数是______．（3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x-3|+|x-5|是否有最小值？如果有写出最小值如果没有说明理由．13.阅读材料：我们知道，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点间的距离表示为AB．则AB=|a-b|．所以式子|x-3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题：（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是_____，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是_____．（2）数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为_________．（3）若|x-3|=|x+1|，则x=______；（4）若|x+4|+|x﹣2|=6，写出满足条件的所有整数x，并求这些整数的和.答案和解析1.【答案】解：（1）2；4；（2）t+2；（3）6；11；（4）假设存在，则点A表示的数为2t-2，C表示的数为t，D表示的数为t+3，B表示的数为12，∴AC=|2t-2-t|=|t-2|，BD=|t+3-12|=|t-9|，∵AC=2BD，∴|t-2|=2|t-9|，．解得t1=16，t2=203秒．故在运动的过程中使得AC=2BD，此时运动的时间为16秒和203【解析】【分析】本题考查了绝对值、数轴以及一元一次方程的应用，根据数量关系列出一元一次方程是解题的关键．（1）依据A、C两点间的距离求解即可；（2）t秒后点C运动的距离为t个单位长度，从而得到点C表示的数；根据A、C两点间的距离求解即可；（3）t秒后点C运动的距离为t个单位长度，点D运动的距离为t个单位长度，从而可得到点C、点D表示的数；根据两点间的距离表示出AC、BD，根据AC-BD=5和AC+BD=15得到关于t的含绝对值符号的一元一次方程，分别解方程即可得出结论；（4）假设存在，找出AC、BD，根据AC=2BD即可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：（1）当t=0秒时，AC=|-2-0|=|-2|=2；当t=2秒时，移动后C表示的数为2，∴AC=|-2-2|=4．故答案为2；4；（2）点A表示的数为-2，点C表示的数为t；∴AC=|-2-t|=t+2．故答案为t+2；（3）∵t秒后点C运动的距离为t个单位长度，点D运动的距离为t个单位长度，∴C表示的数是t，D表示的数是3+t，∴AC=t+2，BD=|12-（3+t）|，∵AC-BD=5，∴t+2-|12-（t+3）|=5．解得：t=6．∴当t=6秒时AC-BD=5；∵AC+BD=15，∴t+2+|12-（t+3）|=15，t=11；当t=11秒时AC+BD=15，故答案为6，11；（4）见答案.2.【答案】解：（1）∵|x+2|和|x-4|的零点值，可令x+2=0和x-4=0，解得x=-2和x=4，∴-2，4分别为|x+2|和|x-4|的零点值．（2）当x＜-2时，|x+2|+|x-4|=-2x+2；当-2≤x＜4时，|x+2|+|x-4|=6；当x≥4时，|x+2|+|x-4|=2x-2；（3）∵|x+2|+|x-4|=6，∴-2≤x≤4，∴整数解为：-2，-1，0，1，2，3，4．（4）|x+2|+|x-4|有最小值，∵当x=-2时，|x+2|+|x-4|=6，当x=4时，|x+2|+|x-4|=6，∴|x+2|+|x-4|的最小值是6．【解析】本题主要考查了绝对值，解题的关键是能根据材料所给信息，找到合适的方法解答．（1）根据题中所给材料，求出零点值；（2）将全体实数分成不重复且不遗漏的三种情况解答；（3）由|x+2|+|x-4|=6，得到-2≤x≤4，于是得到结果；（4）|x+2|+|x-4|有最小值，通过x的取值范围即可得到结果．3.【答案】（1）3；3；4；（2）|x+1|；-3或1；(3)-1≤x≤2; (4)1015056【解析】解：①数轴上表示2和5两点之间的距离是：|2-5|=3，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是：|-2+5|=3，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是：|1+3|=4，②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是：|x+1|，当|AB|=2，即|x+1|=2，解得x=-3或1．③若|x+1|+|x-2|取最小值，那么表示x的点在-1和2之间的线段上，所以-1≤x≤2．=1008时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2015|最小，④解：当x=1+20152最小值为1+2+3+…+1007+0+1+2+3+…+1007=（1+2+3+…+1007）×2×2=(1+1007)×10072=1015056．故答案为：3，3，4；|x+1|，-3或1；-1≤x≤2;1015056①根据两点间的距离公式即可求解；②根据两点间的距离公式可求数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离，再根据两点间的距离公式列出方程可求x；③求|x+1|+|x-2|的最小值，意思是x到-1的距离之和与到2的距离之和最小，那么x应在-1和2之间的线段上；④根据提示列出算式计算即可求解．本题考查了数轴，涉及的知识点为：数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值．绝对值是正数的数有2个．4.【答案】解：（1）∵|a+5|+（b-1）2=0，∴a=-5，b=1，|AB|=|a-b|=|-5-1|=6；（2）因为P在A、B之间|PA|=|x-（-5）|=x+5，|PB|=|x-1|=1-x∵||PN |-|PM ||， ∴x +5-（1-x ）=2， ∴x =-1；（3）②||PN |-|PM ||的值是一个常数当点P 在线段AB 的左侧时有|PN |-|PM |=12|PB |-12|PA |=12（|PB |-|PA |）=12|AB |=3；当点P 在线段AB 的右侧时有|PN |-|PM |=12|PB |-12|PA |=12（|PB |-|PA |）=-12|AB |=-3； ∴点P 在线段AB 之外时总有||PN |-|PM ||=3，而|PN |+|PM |的结果与点P 位置有关，不为常数， ∴||PN |-|PM ||的值为常数，这个常数为3．【解析】（1）根据绝对值与平方的和0，可得绝对值、平方同时为0，根据两点间的距离公式，可得答案；（2）根据两点间的距离公式，可得答案；（3）根据分类讨论，可得，||PN |-|PM ||的值，可得答案．题考查了绝对值，两点间的距离公式是解题关键，（3）要分类讨论，要不重不漏． 5.【答案】解：（1）4；-3或4；（2）3；0（3）由图可得，只有当a =1.5且0≤x ≤1.5或a =-1.5且-1≤x ≤0时，|x +1|+|x |+|x -2|+|x -a |的最小值是4.5，∴当|x +1|+|x |+|x -2|+|x -a |的最小值是4.5时，a =1.5且0≤x ≤1.5或a =-1.5且-1≤x ≤0．【解析】解：（1）根据绝对值的几何意义可得，当-2≤x ≤2时，|x +2|+|x -2|的最小值是4；当x ＜-1时，-x -1-x +2=7，解得x =-3，当-1≤x ＜2时，x +1+2-x =7，方程无解，当x ≥2时，x +1+x -2=7，解得x =4， ∴x 的值为-3或4，故答案为：4；-3或4；（2）根据绝对值的几何意义可得，当x =0时，|x +2|+|x |+|x -1|的最小值是3，故答案为：3；0；（3）见答案.（1）根据绝对值的几何意义，得出|x +2|+|x -2|的最小值；（2）根据绝对值的几何意义，得出|x +2|+|x |+|x -1|的最小值；（3）画出数轴，分两种情况进行讨论：当a =1.5且0≤x ≤1.5或a =-1.5且-1≤x ≤0时，|x +1|+|x |+|x -2|+|x -a |的最小值是4.5．本题主要考查了数轴以及绝对值的几何意义的运用，一个数x 的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数x 的点离远点（表示数0）的距离，x 的绝对值表示为|x |．解题时注意分类思想的运用．6.【答案】解：（1）∵a +b =0，bc =1， ∴ac =-1 ∴2a+2b m+2+ac =0-1=-1∴b ＜-1，2a -3b ＞0，b +12＜0 ∵m 的立方等于它本身，且m ＜0 ∴m =-1，b -m =b +1＜0 ∴s =2a -3b +2b +2+b +12=2a +52 ∴2a -s =-524（2a -S ）+2（2a -S ）-（2a -S ） =5（2a -S ） =-252；（3）若m ≠0，此时m =±1 ①若m =1，则|x +m |-|x -m |=|x +1|-|x -1| 当x ≤-1时|x +1|-|x -1|=-x -1+x -1=-2 当-1＜x ≤1时|x +1|-|x -1|=x +1+x -1=2x 当x ＞1时|x +1|-|x -1|=x +1-x +1=2∴当x 为有理数时，存在最大值为2； ②若m =-1同理可得：当x 为有理数时，存在最大值为2．综上所述，当m =±1，x 为有理数时，|x +m |-|x -m |存在最大值为2．【解析】（1）先根据a 、b 互为相反数，b 、c 互为倒数，得出a +b =0，bc =1，再代入所求代数式进行计算；（2）根据a ＞1及m 的立方等于它本身把S 进行化简，再代入所求代数式进行计算；（3）根据若m ≠0，可知m =±1，①当m =1时，代入|x +m |-|x -m |，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，求出代数式的值，②同理，当m =-1时代入所求代数式，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，求出代数式的值，即可．本题考查的是绝对值的性质，相反数及倒数的定义，代数式求值，熟知以上知识是解答此题的关键．7.【答案】解：由已知条件和数轴可知：b ＞1＞0＞-1＞a ， ∵OA =OB ，∴|a +b |+|ab |+|a +1|=0+1-a -1=-a ．故|a +b |+|a b |+|a +1|的值为：-a ．【解析】由已知条件和数轴可知：b ＞1＞0＞-1＞a ，再由这个确定所求绝对值中的正负值就可求出此题．此题主要考查了学生数轴和绝对值的定义，即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0．数轴左边的为负数，右边的为正数． 8.【答案】（1）1 -1或5 |x +3|+|x -1|（3）|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|=（|x-1|+|x-100|）+（|x-2|+|x-99|）+…+（|x-50|+|x-51|）|x-1|+|x-100|表示数轴上数x的对应点到表示1、100两点的距离之和，当1≤x≤100时，|x-1|+|x-100|有最小值为|100-1|=99；|x-2|+|x-99|表示数轴上数x的对应点到表示2、99两点的距离之和，当2≤x≤99时，|x-2|+|x-99|有最小值为|99-2|=97；…|x-50|+|x-51|表示数轴上数x的对应点到表示50、51两点的距离之和，当50≤x≤51时，|x-50|+|x-51|有最小值为|51-50|=1．所以，当50≤x≤51时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|有最小值为：99+97+95+…+3+1=（99+1）+（97+3）+…+（51+49）=100×25=2500．【解析】解：（1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是3-2=1；数轴上P、Q两点的距离为3，点P表示的数是2，则点Q表示的数是2-3=-1或2+3=5；（2）A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+3|+|x-1|，∵|x-3|+|x+2|=7，当x＜-2时，3-x-x-2=7，x=-3，当-2≤x≤3时，x不存在．当x＞3时，x-3+x+2=7，x=4．故满足|x-3|+|x+2|=7的x的值为-3或4．（3）当绝对值的个数为奇数时，取得最小值x是其中间项，而当绝对值的个数为偶数时，则x取中间两项结果一样．从而得出对于|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|，当50≤x≤51时取得最小值．此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．9.【答案】1或-7【解析】解：（1）根据绝对值得意义，方程|x+3|=4表示求在数轴上与-3的距离为4的点对应的x的值为1或-7．（2）∵3和-4的距离为7，因此，满足不等式的解对应的点3与-4的两侧．当x在3的右边时，如图，易知x≥4．当x在-4的左边时，如图，易知x≤-5．∴原不等式的解为x≥4或x≤-5（3）原问题转化为：a大于或等于|x-3|-|x+4|最大值．∵当x≥3时，|x-3|-|x+4|应该恒等于-7，当-4＜x＜3，|x-3|-|x+4|=-2x-1随x的增大而减小，∴-7＜|x-3|-|x+4|＜7，∵当x≤-4时，|x-3|-|x+4|=7，∴|x-3|-|x+4|的最大值为7．故a≥7．仔细阅读材料，根据绝对值的意义，画出图形，来解答．本题是一道材料分析题，通过阅读材料，同学们应当深刻理解绝对值得几何意义，结合数轴，通过数形结合对材料进行分析来解答题目．由于信息量较大，同学们不要产生畏惧心理．10.【答案】（1）2（2） 6（3）|x-1|（4）6【解析】解：（1）数轴上表示1和3两点之间的距离为|3-1|=2；（2）数轴上表示-12和-6的两点之间的距离是|-6-（-12）|=6；（3）数轴上表示x和1的两点之间的距离表示为|x-1|；（4）∵-4＜x＜2，∴|x-2|+|x+4|=|-4-2|=6，故答案为：2，6，|x-1|，6．（1）依据在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|，即可得到结果．（2）依据在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|，即可得到结果．（3）依据在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|，即可得到结果．（4）依据-4＜x＜2，可得表示x的点在表示-4和2的两点之间，即可得到|x-2|+|x+4|的值即为|-4-2|的值．本题考查的是绝对值的几何意义，两点间的距离，理解绝对值的几何意义是解决问题的关键．11.【答案】解：（1）∵abc＜0，∴a，b，c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，①当a，b，c都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0时，则：|a|a +|b|b+|c|c=−aa+−bb+−cc=-1-1-1=-3；②a，b，c有一个为负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0，则|a|a +|b|b+|c|c=−aa+bb+cc=-1+1+1=1．（2）∵a，b，c为三个不为0的有理数，且a|a|+b|b|+c|c|=−1，∴a，b，c中负数有2个，正数有1个，∴abc＞0，∴abc |abc|=abcabc=1．【解析】（1）仿照题目给出的思路和方法，解决（1）即可；（2）根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出a，b，c中负数有2个，正数有1个，判断出abc的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可．本题主要考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法．能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键．12.【答案】7 -3，-2，-1，0，1【解析】解：（1）原式=|5+2|=7．故答案为：7；（2）令x+3=0或x-1=0时，则x=-3或x=1．当x＜-3时，-（x+3）-（x-1）=4，-x-3-x+1=4，解得x=-3（范围内不成立）；当-3≤x≤1时，（x+3）-（x-1）=4，x+3-x+1=4，0x=0，x为任意数，则整数x=-3，-2，-1，0，1；当x＞1时，（x+3）+（x-1）=4，解得x=1（范围内不成立）．综上所述，符合条件的整数x有：-3，-2，-1，0，1．故答案为-3，-2，-1，0，1；（3）由（2）的探索猜想，对于任何有理数x，|x-3|+|x-5|有最小值为2．（1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值就可以了．（2）要x的整数值可以进行分段计算，令x+3=0或x-1=0时，分为3段进行计算，最后确定x的值．（3）根据（2）方法去绝对值，分为3种情况去绝对值符号，计算三种不同情况的值，最后讨论得出最小值．此题考查了整式的加减，去绝对值和数轴相联系的综合试题以及去绝对值的方法和去绝对值在数轴上的运用，难度较大，去绝对值的关键是确定绝对值里面的数的正负性．13.【答案】解：（1）3；4；（2）︱x+2︱；（3）1；（4）∵|x+4|+|x﹣2|=6，若x<-4，则原式可化为-（4+x）+（2-x）=6，x=-4；若-4≤x≤2，则x+4-（x-2）=6，x不存在；若x>2，则x+4+x-2=6，x=2；∴x=-4或2．符合条件的整数在-4和2之间，整数和为2+1+0+（-1）+（-2）+（-3）+（-4）=-7．【解析】【分析】本题考查的是绝对值的定义，解答此类问题时要用分类讨论的思想．（1）根据数轴可知，表示2和5两点之间的距离是两者差的绝对值为3，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是两者差的绝对值为4；（2）数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为两者差的绝对值．（3）根据绝对值的意义，可知|x-3|是数轴上表示数x的点与表示数3的点之间的距离，|x+1|是数轴上表示数x的点与表示数-1的点之间的距离，若|x-3|=|x+1|，则此点必在-1与3之间，故x-3＜0，x+1＞0，由此可得到关于x的方程，求出x的值即可；（4）由于x-3及x-1的符号不能确定，故应分x＞-4，-4≤x≤2，x＜2三种情况解答．【解答】解：（1）|2-5|=3，|-3-1|=4，故答案为3；4；（2）数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为︱x+2︱；故答案为︱x+2︱；（3）根据绝对值的意义可知，此点必在-1与3之间，故x-3＜0，x+1＞0，∴原式可化为3-x=x+1，∴x=1；故答案为1；（4）见答案．。

人教版数学七年级上册期末复习：动点问题和绝对值问题压轴题

压轴题：动点问题以及绝对值问题总结一、填空题1.数轴上两点间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值.例：点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，则A、B两点间的距离表示为AB＝|a﹣b|.根据以上知识解题：（1）数轴上表示3和5两点之间的距离是________，数轴上表示2和－5两点之间的距离是________.（2）在数轴上表示数x的点与﹣2的点距离是3，那么x＝________.（3）如果x表示一个有理数，那么|x+4|+|x﹣2|的最小值是________.（4）如果x表示一个有理数，当x=________时，|x+3|+|x﹣6|=11.2.阅读下列内容：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作|a﹣b|，如|3﹣5|表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，|3+5|＝|3﹣（﹣5）|表示数轴上表示数3的点与表示数﹣5的点的距离，|a﹣3|表示数轴上表示数a的点与表示数3的点的距离.根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在答题卡相应位置，不写过程）（1）若|x﹣1|=|x+1|，则x=________，若|x﹣2|＝|x+1|，则x=________；（2）若|x﹣2|+|x+1|=3，则x的取值范围是________；（3）若|x﹣2|+|x+1|=5，则x的值是________；（4）若|x﹣2|﹣|x+1|=3，则x能取到的最大值是________.二、综合题3.（1）在数轴上标出数﹣4.5，﹣2，1，3.5所对应的点A，B，C，D；（2）C，D两点间距离=________；B，C两点间距离=________；（3）数轴上有两点M，N，点M对应的数为a，点N对应的数为b，那么M，N两点之间的距离=________；（4）若动点P，Q分别从点B，C同时出发，沿数轴负方向运动；已知点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，问①t为何值时P，Q两点重合？②t为何值时P，Q两点之间的距离为1？4.如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是18，8，﹣10．（1）填空：AB=________，BC=________；（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向左运动．试探索：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由．（3）现有动点P、Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动；当点P移动到B点时，点Q才从A点出发，并以每秒3个单位长度的速度向左移动，且当点P 到达C点时，点Q就停止移动．设点P移动的时间为t秒，试用含t的代数式表示P、Q两点间的距离．5.已知a是最大的负整数，与互为相反数，在数轴上，所对应的点分别为A，B，C，点P为该数轴上一动点，其对应的数为x.（1）a=________，b=________，c=________；（2）化简：；（3）三个点在数轴上运动，其中点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点B与点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，试求几秒后B点到点A、点C的距离相等?6.已知A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，且|2b+20|+|a-0|=0，P是数轴上的一个动点，0为原点。

七年级上册数轴动点绝对值问题

七年级上册数轴动点绝对值问题一、数轴动点绝对值问题题目。

1. 已知数轴上点A表示的数为 -2，点B表示的数为6，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒。

- 当t = 2时，求PQ的长度。

- 求当t为何值时，PQ=(1)/(2)AB。

解析：- 当t = 2时，点P表示的数为-2 + 1×2=0，点Q表示的数为6-2×2 = 2。

- 所以PQ=|0 - 2|=2。

- 因为AB=| - 2-6| = 8，点P表示的数为-2+t，点Q表示的数为6 - 2t。

- 则PQ=|(-2 + t)-(6 - 2t)|=|3t - 8|。

- 当PQ=(1)/(2)AB = 4时，即|3t - 8|=4。

- 当3t-8 = 4时，3t=12，t = 4。

- 当3t - 8=-4时，3t=4，t=(4)/(3)。

2. 数轴上点A对应的数为a，点B对应的数为b，且| a+2|+(b - 1)^2 = 0，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。

- 求AB的长。

- 若点P到点A和点B的距离相等，求x的值。

- 数轴上是否存在点P，使PA+PB = 5？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由。

解析：- 因为| a + 2|+(b - 1)^2 = 0，| a+2|≥slant0，(b - 1)^2≥slant0。

- 所以a=-2，b = 1，则AB=| - 2-1|=3。

- 因为点P到点A和点B的距离相等，所以x=(a + b)/(2)=(-2 + 1)/(2)=-(1)/(2)。

- 当点P在点A左侧时，PA=-2 - x，PB = 1 - x，则-2 - x+1 - x=5，-2x=6，x=-3。

- 当点P在点B右侧时，PA=x + 2，PB=x - 1，则x + 2+x - 1 = 5，2x=4，x = 2。

3. 已知数轴上有A、B两点，A点表示的数为 -1，B点表示的数为3。

绝对值几何意义及动点问题

绝对值几何意义及动点问题
在数学中，绝对值有一个几何意义。

绝对值表示一个数距离原点的距离，既可以是正数，也可以是零。

在数轴上，绝对值表示一个点到原点的距离。

如果一个数的绝对值为3，则表示它在数轴上距离原点为3的位置。

绝对值也可以用来解决动点问题。

在动点问题中，通常涉及到一个或多个变化的变量，而我们需要找到满足特定条件的变量的取值。

利用绝对值可以将这些条件转化为等式或不等式，从而解决问题。

例如，假设有一个点P(x,y)，我们希望找到离原点(0,0)的距离为5的点。

可以将这个条件表达为|x|+|y|=5。

这个等式代表了所有满足条件的点的集合。

我们可以将这个等式进一步简化为两个不等式|x|≤5和|y|≤5，来确定满足条件的点的位置。

另一个例子是求两个点之间的距离。

假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，我们希望找到它们之间的距离。

可以使用绝对值表达式来表示：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。

这个公式将两个点的坐标差的平方和开方，得到它们之间的距离。

综上所述，绝对值在几何中具有重要的意义，并且可以应用于解决动点问题。

七年级上数学期末压轴题专项复习：动点问题(pdf版)

题型一：绝对值方程教师备课提醒：由于绝对方程会以“解普通一元一次方程”为基础，所以授课老师在讲解本部分内容时候根据班级情况复习普通的一元一次方程解法．含绝对值的一次方程的解法⑴形如 ax + b = c (a ≠ 0) 型的绝对值方程的解法：①当c < 0 时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；②当c = 0 时，原方程变为 ax + b = 0 ，即 ax + b = 0 ，解得 x = - b；a ③当c > 0 时，原方程变为 ax +b =c 或 ax + b = -c ，解得 x = c - b 或 x = -c - b．a a ⑵形如 ax +b = cx + d (ac ≠ 0) 型的绝对值方程的解法：①根据绝对值代数意义将原方程化为两个方程 ax + b = cx + d 和 ax + b = -(cx + d ) ；2动点问题知识互联网②分别解方程 ax + b = cx + d 和 ax + b = -(cx + d ) ． ⑶形如 ax + b = cx + d (ac ≠ 0) 型的绝对值方程的解法： ①根据绝对值的非负性可知cx + d ≥ 0 ，求出 x 的取值范围；②根据绝对值的代数意义将原方程化为两个方程 ax + b = cx + d 和 ax + b = -(cx + d ) ； ③分别解方程 ax + b = cx + d 和 ax + b = -(cx + d ) ； ④将求得的解代入cx + d ≥ 0 检验，舍去不合条件的解．【例题1】 ⑴若 x + 5 = 2 ，则x = ．⑵若 3x + 1 = 4 ，则 x = ．⑶解关于 x 的绝对值方程： 1 1 - 2x - 1= 1 ．3 6【解析】 ⑴ x = -3 或 x = -7 ；⑵ x = 1 或x = - 5 ；⑶ x = 9 或 x = - 5 3 4 4【例题2】 ⑴ 2x + 3 = 4 - x ；⑵ -3x + 2 = 3 + x ．【解析】 ⑴ x = 1 或 x = -7 ；⑵ x = - 1 或 x = 5 3 4 2【例题3】 ⑴若 5x + 6 = 6x - 5 ，则 x = ．⑵解方程【解析】⑴11； 4x + 3 = 2x + 9 ． ⑵解法一：令4x + 3 = 0 得 x = - 3，将数分成两段进行讨论：4①当 x ≤- 3 时，原方程可化简为： -4x - 3 = 2x + 9 ， x = -2 在 x ≤- 3的范围内，是方程4 4 的解．②当 x >- 3 时，原方程可化简为： 4x + 3 = 2x + 9 ， x = 3 在 x >- 3的范围内，是方程的4 4 解．综上所述 x = -2 和 x = 3 是方程的解．解法二：依据绝对值的非负性可知 2x + 9 ≥ 0 ，即 x ≥ - 9．原绝对值方程可以转化为2① 4x + 3 = 2x + 9 ，解得： x = 3 ，经检验符合题意． ②4x + 3 = -(2x + 9 ，解得 x = -2 ，经检验符合题意．综合①②可知 x = -2 和 x = 3 是方程的解．例题赏析1. 数轴上两点的距离①两点间的距离=这两点分别所表示的数的差的绝对值，②两点间的距离=右端点表示的数- 左端点表示的数。

利用绝对值方程解动点问题

利用绝对值方程解动点问题一、基础回顾：1、数轴：定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线。

数轴上点的移动：若表示数a 的点向右移动b 个单位长度，则移动后这点表示的数为a+b;若表示数a 的点向左移动b 个单位长度，则移动后这点表示的数为a -b 。

2、数轴上表示距离：求数轴上两点之间的距离如果已知这两点对应的数的大小关系，则可以用“大减小”表示距离；如果未知这两点对应的数的大小关系，则用两数的差的绝对值表示距离。

如：数轴上两点A 、B 表示的数为a 、b ：若已知a ＞b ，则AB 的距离为a -b;若a 、b 的大小关系不确定，则AB=b a -或a b -。

3、绝对值得几何意义：绝对值的定义：数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作a 。

拓展延伸：根据绝对值的几何意义，我们可以将a 化为0-a ，表示数轴上数a 与0之间的距离； 3-a 表示数轴上数a 与3之间的距离；5+a 可以看作)5(--a 表示数轴上数a 与-5之间的距离；那么，我们可以将b a -理解为数轴上对应的数a 与b 之间的距离。

二、实战演练题型一：PA=nPB例：已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为-3和2，点P 为数轴上一点，其对应的数为x 。

（1）数轴上是否存在点P ，使点P 到点B 的距离等于点P 到点A 的距离？若存在，请求出x 的值，若不存在，请说明理由；（2）数轴上是否存在点P ，使点P 到点B 的距离等于点P 到点A 的距离的3倍？若存在，请求出x 的值，若不存在，请说明理由。

练习：数轴上A 、B 、C 三点分别表示0、-2、1.（1）画出数轴，并标出A 、B 、C 三点；（2）数轴上有一点D ，点D 到点C 的距离是它到点B 的距离的4倍，请写出点D 表示的数。

题型二：PA+PB=n例：如图，数轴上每相邻两点的距离为一个单位长度，点A 、B 、C 、D 对应的数为a 、b 、c 、d ，且d -2a=14.（1）那么a= ，b= ；（2）数轴上是否存在点P ，使得PA+PD=15，若存在，请求出点P 对应的数，若不存在，请说明理由；练习：1、已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为a 、b ，且a 、b 满足0)3(52=-++b a ，点P 为数轴上一点，其对应的数为x 。

七上数学数轴动点压轴题

七上数学数轴动点压轴题数轴上动点问题常常出现在压轴题中，结合初一的数轴、绝对值、方程等知识。

解决这类问题需要分类讨论，利用中点公式和绝对值方程。

以下是一道精选题：题目：已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上的一个动点，其对应的数为x。

当PA+PB=5时，求x的值。

解析：最基本的思路是列绝对值方程。

即利用PA+PB=5列绝对值方程|x+1|+|x-3|=5，然后解绝对值方程即可。

数轴上动点问题的难点在于其结合了多种数学知识，需要灵活运用各种公式和方法。

题目：在数轴上，点A表示的数是-3，点B表示的数是5，点C 是数轴上的一个动点，对应的数为x。

当AC+BC=10时，求x的值。

解析：首先，我们可以根据题目条件列出绝对值方程。

在这个例子中，方程是|x+3|+|x-5|=10。

然后我们需要解这个绝对值方程。

由于绝对值方程可能有两个解，我们需要分情况讨论。

情况一：当x+3≥0且x-5≤0时，即-3≤x≤5时，原方程可以转化为(x+3)+(5-x)=10，这个方程的解是x在-3和5之间的所有实数。

情况二：当x+3<0且x-5>0时，即x<-3或x>5时，原方程可以转化为-(x+3)+(x-5)=10，但这个方程没有解。

综合两种情况，我们得出当AC+BC=10时，x的取值范围是-3≤x≤5。

这个例子展示了解决数轴上动点问题的一般步骤：首先根据题目条件列出绝对值方程，然后分情况讨论解绝对值方程。

在实际解题过程中，可能需要更复杂的分析和计算。

希望这个例子能帮助你更好地理解数轴上动点问题的解法。

解决数轴上动点问题，可以采用以下解题方法：观察法：首先观察题目给出的条件和要求，明确需要解决的问题。

列绝对值方程：根据题目条件，列出含有动点坐标x的绝对值方程。

这是解决数轴上动点问题的关键步骤。

分情况讨论：由于绝对值方程可能有两个解，需要根据x的取值范围分情况讨论。

这通常涉及到数轴上的区间划分和不同区间的处理方式。

初一绝对值化简数轴动点问题

知识要点1、a 的几何意义是：在数轴上，表示这个数的点离原点的距离；b -a 的几何意义是：在数轴上，表示数b a ,对应数轴上两点间的距离。

2、去绝对值符号的法则：一、根据题设条件化简：例1、设化简例2、三个有理数c b a ,,，其积不为零，求cc b b a a ++的值二、借助数轴化简例3、有理数c b a ,,在数轴上对应的点（如下图）,图中O 为原点，化简a cb b a b a --+++-。

例4、c b a ,,的大小如下图所示，求ac ab ac ab a c a c c b c b b a b a --+--+-----的值a c x0 b ab 0 x1 c ()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=时当时当时当0000a a a a a a三、采用零点分段讨论法化简例5、化简|x+2|+|x-3|例6、若245134x x x +-+-+的值恒为常数，求x 该满足的条件及此常数的值。

例题精讲1、当52<<-x 时，化简5772----+x x2、如果32≤≤-x ，求322-+-+x x x 的最大值.3、化简3223++-x x4、已知0≠abc ，求abcabc bc bc ac ac ab ab c c b b a a ++++++的值5、当x 的取值范围为多少时，式子4311047+---+-x x x 的值恒为一个常数，试求出这个值及x 的取值范围.6、若21<<x ，求代数式x x x x x x +-----1122的值7、若0<x ，求x x x x ---32及32x x -的值8、已知有理数c b a ,,在数轴上的对应点的位置如图所示：那么求a c c b b a -+---的值9、化简200774+-+-x xa c x0 b数轴上的线段与动点问题1.已知数轴上两点A、B对应的数分别为—1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。