由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图
三角函数与解三角形-新高考数学新情景、新文化问题(新高考地区专用)(解析版)
三角函数与解三角形一、单选题1．（2021·云南昆明市·高三（文））东寺塔与西寺塔为“昆明八景”之一，两塔一西一东，遥遥相对，已有1100多年历史．东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称．如图，在A 点测得：塔在北偏东30°的点D 处，塔顶C 的仰角为30°，且B 点在北偏东60°．AB 相距80（单位：m ），在B 点测得塔在北偏西60°，则塔的高度CD 约为（ ）mA ．69B ．40C ．35D ．23【答案】B 【分析】根据题意构造四面体C -ABD ,再运用线面位置关系及三角形相关知识求解出相应的线段长即可. 【详解】如图，根据题意，图中CD ⊥平面ABD ,30CAD ∠=︒,30,60,80BAD ABD AB ∠=︒∠=︒=ABD 中，30,60BAD ABD ∠=︒∠=︒， 90ADB ∴∠=︒cos 80?cos30AD AB BAD ∴=∠=︒=又CD ⊥平面ABD ，ACD ∴是直角三角形Rt ACD中，30,90,CAD ADC AD ∠=︒∠=︒=·tan 3040CD AD ∴=︒==，选项B 正确，选项ACD 错误 故选：B.2．（2021·山东枣庄八中高一期中）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积"中提出了已知三角形三边a ，b ，c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即S =现在有周长为10+ABC满足sin :sin :sin 2:A B C =，则用以上给出的公式求得ABC 的面积为（ ） A．B．C．D ．12【答案】A 【分析】利用正弦定理结合三角形的周长可求得ABC 的三边边长，利用题中公式可求得ABC 的面积. 【详解】由题意结合正弦定理可得：::sin :sin :sin 2:a b c A B C ==ABC周长为10+10a b c ++=+4a ∴=，6b =，c =所以S == 故选：A.3．（2021·安徽淮北一中高一月考）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），若大、小正方形的面积分别为25和1，直角三角形中较大的锐角为θ，则cos2θ等于（ ）A ．725B ．725-C ．925D ．925-【答案】B 【分析】根据题意可得出1sin cos 5θθ-=，平方可得24sin 225θ=，即可求出.【详解】因为大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，所以大正方形的边长为5，小正方形的边长为1， 所以5sin 5cos 1θθ-=，即1sin cos 5θθ-=，两边平方得11sin 225θ-=，即24sin 225θ=. 因为θ是直角三角形中较大的锐角，所以42ππθ<<，所以22πθπ<<，所以7cos 225θ==-. 故选：B.4．（2021·蚌埠铁路中学高三开学考试（文））勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．勒洛三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，即能在距离等于其圆弧半径（等于正三角形的边长）的两条平行线间自由转动，并且始终保持与两直线都接触．机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成勒洛三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来．如在勒洛三角形ABC 内随机选取一点，则该点位于正三角形ABC 内的概率为（ ）AB C D 【答案】A 【分析】由题意可得曲边三角形的面积为一个扇形加两个拱形的面积，或者3个扇形面积减去2个三角形的面积，然后由几何概型的概率公式求出概率． 【详解】解：由题意可得正三角形的边长为半径的三段圆弧组成的曲边三角形的面积S 曲＝S 扇形CAB +2S 拱＝123π⋅⋅22+2（S 扇形﹣S △ABC ）＝23π⋅3﹣2⋅22＝2π﹣三角形ABC 的面积S △ABC 22所以由几何概型的概率公式可得：所求概率＝ABCS S ∆曲 故选：A ．5．（2021·江苏高一期中）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了“黄金分割”.“黄金分割”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，它表现了恰到好处的和谐，0.618≈，这一比值也可以表示为2sin18m =︒，若228m n +=，=（ ） A．2 B ．4 C ．D ．【答案】C 【分析】由题知28cos 18n =,再根据二倍角公式化简整理即可得答案. 【详解】解:因为2sin18m =︒，228m n +=, 所以2228288sin 188cos 18n m =-=-=,2sin1822cos1822sin 3622cos54cos54⨯===故选:C6．（2021·贵州贵阳·高三开学考试（文））水车（如图1），又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，主要利用水流的动力灌溉农作物，是先人们在征服世界的过程中创造出来的高超劳动技艺，是珍贵的历史文化遗产，相传为汉灵帝时毕岚造出雏形，经三国时孔明改造完善后在蜀国推广使用，隋唐时广泛用于农业灌溉，有1700余年历史．下图2是一个水车的示意图，它的直径为3m ，其中心（即圆心）O 距水面0.75m ．如果水车每4min 逆时针转3圈，在水车轮边缘上取一点P ，我们知道在水车匀速转动时，P 点距水面的高度h（单位：m ）是一个变量，它是时间t （单位：s ）的函数．为了方便，不妨从P 点位于水车与水面交点Q 时开始记时()0t =，则我们可以建立函数关系式()()sin h t A t k ωϕ=++（其中0A >，0>ω，2πϕ<）来反映h 随t 变化的周期规律．下面关于函数()h t 的描述，正确的是（ ）A ．最小正周期为80πB ．一个单调递减区间为[]30,70C ．()y h t =的最小正周期为40D ．图像的一条对称轴方程为403t =- 【答案】D 【分析】首先求得()33sin 24064h t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞，然后结合选项由三角函数的图象和性质判断即可.【详解】依题意可知，水车转动的角速度32(rad /s)46040ππω⨯==⨯， 3324A k +=+，3324A k -+=-+，解得32A =，34k =，由()330sin sin 024h A k ϕϕ=+=+=得1sin 2ϕ=-，又2πϕ<，则6πϕ=-，所以()33sin 24064h t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞.对于选项A ：函数()h t 的最小正周期为2=8040ππ，故A 错误；对于选项B ：当[]30,70t ∈时，719,4061212t ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，因为3719,21212πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以函数()h t 在[]30,70上不具有单调性，故B 错误； 对于选项C ：()()353340sin 02642h h π=+=≠，所以C 错误；对于选项D ：40333sin 32244h π⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（最小值），所以D 正确.故选：D.7．（2021·江苏南京市·高一期中）托勒密（C .Ptolemy ，约90-168），古希腊人，是天文学家､地理学家､地图学家､数学家，所著《天文集》第一卷中载有弦表.在弦表基础上，后人制作了正弦和余弦表（部分如下图所示），该表便于查出0°~90°间许多角的正弦值和余弦值，避免了冗长的计算.例如，依据该表，角2°12′的正弦值为0.0384，角30°0′的正弦值为0.5000，则角34°36′的正弦值为（ ）A ．0.0017B ．0.0454C ．0.5678D ．0.5736【答案】C 【分析】先看左边列找34︒，再往右找对第一行的36'即可. 【详解】由题意查表可得3436︒'的正弦值为0.5678. 故选:C .8．（2021·江苏镇江·高一期中）今年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年．“红星闪闪放光彩”，正五角星是一个非常优美的几何图形，庄严美丽的国旗和国徽上的大五角星是中国共产党的象征，如图为一个正五角星图形，由一个正五边形的五条对角线连结而成，已知C ，D 为AB 的两个黄金分割点，即AC BD AB AB =．则cos DEC ∠=（ ）ABCD【答案】A 【分析】根据图形和已知条件表示出,,CE DE CD ，然后用余弦定理求解即可 【详解】由正五角星的对称性知：BC CE DE AD ===， 不妨设BC CE DE AD x ====，则CD AC AD =-， 又AC BC AC AD AB +=+=，AB AC ==则AC AD AC +=，所以AD =，AC AD AD ==，CD AC AD x x =-=-=22222224cos 122x DE CE CDDEC DE CEx +-∠===⨯ 故选：A二、多选题9．（2021·河北唐山·高三开学考试）声音是由物体振动产生的波，每一个音都是由纯音合成的.已知纯音的数学模型是函数sin y A t ω=.我们平常听到的乐音是许多音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数()1sin sin 22f x x x =+，则（ ）A ．()f x 的最大值为32B ．2π为()f x 的最小正周期C ．π2x =为()y f x =曲线的对称轴 D ．()π,0为曲线()y f x =的对称中心【答案】BD 【分析】分析函数sin y x =与1sin 22y x =不能同时取得最大值可判断A ；由sin y x =的最小正周期是2π，1sin 22y x=的最小正周期是2ππ2=可判断B ；计算ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是否成立可判断C ；计算()()2π0f x f x +-=是否成立可判断D ；进而可得正确选项. 【详解】对于A ：若()f x 的最大值为32，则sin y x =与1sin 22y x =同时取得最大值，当sin y x =取得最大值1时，cos 0x =，可得1sin 2sin cos 02y x x x ===取不到12，若1sin 22y x =取得最大值12时，sin 21x =，此时()ππZ 4x k k =+∈，而πsin sin π4y x k ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭1，所以sin y x =与1sin 22y x =不可能同时取得最大值，故选项A 不正确；对于B ：因为sin y x =的最小正周期是2π，1sin 22y x =的最小正周期是2ππ2=， 且()()()()112πsin 2πsin 22πsin sin 222f x x x x x f x +=+++=+=，()()()()11πsin πsin 2πsin sin 222f x x x x x f x +=+++=-+≠所以2π为()f x 的最小正周期，故选项B 正确；对于C ：ππ1π1sin sin 2cos sin 222222f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，ππ1π1sin sin 2cos sin 222222f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不恒成立，即ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π2x =不是曲线()y f x =的对称轴，故选项C 不正确；对于D ：()()()112πsin 2πsin 22πsin sin 222f x x x x x -=-+-=--，所以()()2π0f x f x +-=对于任意的x 恒成立，所以()π,0为曲线()y f x =的对称中心，故选项D 正确； 故选：BD.10．（2021·江苏）由倍角公式2cos 22cos 1x x =-，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．一般地，存在一个n （n *∈N ）次多项式()12012n n n n n P t a t a ta t a --=+++⋅⋅⋅+（012,,,n a a a a ⋅⋅⋅∈R ），使得()cos cos n nx P x =，这些多项式()n P t 称为切比雪夫（P ．L ．Tschebyscheff )多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（ ）A ．()3343P t t t =-+ B ．()424881P t t t =-+C ．sin18︒=D ．cos18︒=【答案】BC 【分析】通过求cos3,cos 4,cos5x x x ，来判断出正确选项. 【详解】()cos3cos 2cos2cos sin 2sin =+=-x x x x x x x()222cos 1cos 2sin cos x x x x =-- ()()222cos 1cos 21cos cos x x x x =--- 34cos 3cos x x =-，所以()3343P t t t =-，A 错误.()()222222cos 4cos 22cos 2sin 22cos 14sin cos x x x x x x x =⋅=-=--()42224cos 4cos 141cos cos x x x x =-+--428cos 8cos 1x x =-+，所以()424881P t t t =-+，B 正确.()cos5cos 4cos4cos sin 4sin x x x x x x x =+=- ()428cos 8cos 1cos 2sin 2cos2sin x x x x x x =-+- ()53228cos 8cos cos 4sin 2cos 1cos x x x x x x =-+--()()53228cos 8cos cos 41cos 2cos 1cos x x x x x x =-+--- 5316cos 20cos 5cos x x x =-+.所以()53cos90cos 51816cos 1820cos 185cos180︒=⨯︒=︒-︒+︒=，由于cos180︒≠，所以4216cos 1820cos 1850︒-︒+=，由于cos18cos30︒>︒，所以223cos 18cos 304︒>︒=，所以由4216cos 1820cos 1850︒-︒+=解得2cos 18︒=，所以sin18︒=，C正确. 2=≠⎝⎭，所以D 错误. 故选：BC 【点睛】三角函数化简求值问题，关键是根据题意，利用三角恒等变换的公式进行化简.11．（2021·全国）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋.一艘货船的吃水深度（船底到水面的距离）为4m.安全条例规定至少要有2.25m 的安全间隙（船底到海底的距离），下表给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.若选用一个三角函数()f x 来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，则下列说法中正确的有（ ） A ．() 2.5cos 56x x f π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．() 2.5sin 56f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．该货船在2：00至4：00期间可以进港D ．该货船在13：00至17：00期间可以进港 【答案】BCD 【分析】依据题中所给表格，写出()f x 的表达式而判断选项A ，B ；再根据船进港的条件列出不等式，求解即可判断选项C ，D. 【详解】依据表格中数据知，可设函数为()sin f x A x k ω=+，由已知数据求得 2.5A =，5k =，周期12T =，所以26T ππω==﹐ 所以有() 2.5sin 56f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，选项A 错误；选项B 正确； 由于船进港水深至少要6.25，所以 2. 5sin 5 6.256x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥，得1sin 62x π⎛⎫⎪⎝⎭≥， 又024046x x ππ≤≤⇒≤≤，则有5666x πππ≤≤或1317666x πππ≤≤，从而有1 5 x ≤≤或1317x ≤≤，选项C ，D 都正确. 故选：BCD 【点睛】解三角不等式sin()(||1)x m m ωϕ+≥<关键在于：找准不等式中的函数值m 所对角； 长为一个周期的区间内相位x ωϕ+所在范围.12．（2020·全国高三月考）斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形ABCD AB BC ⎛= ⎝⎭中作正方形ABFE ，以F 为圆心，AB 长为半径作弧BE ；然后在黄金矩形CDEF 中作正方形DEHG ，以H 为圆心，DE 长为半径作弧EG ；；如此继续下去，这些弧就连接成了斐波那契螺线.记弧BE ，EG ，GI 的长度分别为l ，m ，n ，则下列结论正确的是（ ）A ．l m n =+B ．2m l n =⋅C ．2m l n =+D ．111m l n=+ 【答案】AB 【分析】设1AB =，则2BC =，再由14圆弧分别求得l ，m ，n ，然后再逐项判断.【详解】不妨设1AB =，则2BC =，所以121)4l π=⨯⨯=.因为3ED =所以12(34m π=⨯⨯=.同理可得124)4n π=⨯⨯=所以l m n =+，2m l n =⋅，2m l n ≠+，111m l n≠+，所以A ，B 正确，C ，D 错误. 故选：AB三、填空题13．（2021·安徽高三开学考试（理））正割（secant ）及余割（cosecant ）这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割1sec cos αα=，余割1csc sin αα=．已知0t >，且22sec csc 16x t x +≥对任意的实数,2k x x k Z π⎛⎫≠∈ ⎪⎝⎭均成立，则t 的最小值为__________． 【答案】9 【分析】根据正余割的定义，得到和为1，结合基本不等式1的代入即可求解 【详解】 由题得：22111sec csc x x+=， 所以()22222211sec csc sec csc 16sec csc x t x x t x x x ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭即：2222csc sec 11sec csc t x xt x x t ≥+++++116t ++5-3，所以9t ≥故答案为：914．（2021·江苏仪征中学高一月考）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》，作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设2DF FA =，若AB =ABD △的面积为____________.【答案】【分析】设BD x =，可得出3AD x =，23ADB π∠=，利用余弦定理求出x 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABD △的面积. 【详解】设BD x =，则3AD x =，因为DEF 为等边三角形，则3ADE π∠=，故23ADB π∠=， 在ABD △中，由余弦定理得()222252323cos3AB x x x x π==+-⨯⨯⨯，解得2x =，故6AD =，2BD =，因此，ABD △的面积为1226sin23ABD S π=⨯⨯⨯=△故答案为：15．（2021·安徽阜阳·高一期末）筒车是一种水利灌溉工具（如图1所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为O ，筒车的半径为r ，筒车转动的周期为24s ，如图2所示，盛水桶M在0P 处距水面的距离为0h ．4s 后盛水桶M 在1P 处距水面的距离为1h ，若10h h -=，则直线0OP 与水面的夹角为______．【答案】π12【分析】根据题意构建平面几何模型，在借助三角函数求解答案. 【详解】如图，过O 作直线l 与水面平行，过0P 作0P A l ⊥于A ，过1P 作1PB l ⊥于B ． 设0AOP α∠=，1BOP β∠=，则，4π2π243βα-=⨯=，π3βα∴=+由图知，0sin P A r α=，1sin PB r β=，0101sin sin P A h h PB r r r βα--=-==，所以πsin sin 3αα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ34α-=-，即π12α=．故答案为：π12. 16．（2021·广东深圳·高三）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当ABC 的三个内角均小于120︒时，则使得120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒的点P 即为费马点．已知点P 为ABC 的费马点，且AC BC ⊥，若||||||PA PB PC λ+=，则实数λ的最小值为_________．【答案】2 【分析】根据题意120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，不妨设PCB α∠=，故,,326CBP ACP CAP πππααα∠=-∠=-∠=-，进而得,63ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以在BCP 和ACP △中，由正弦定理得sin sin 3BP PC απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，sin 2sin 6PA PC παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭，故sin sin 2sin sin 36πααλππαα⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在结合三角恒等变换化简整理求函数最值即可.【详解】根据题意, 点P 为ABC 的费马点，ABC 的三个内角均小于120︒, 所以120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，设PCB α∠=，所以在BCP 和ACP △中，,,3236CBP ACP CAP ACP ππππααα∠=-∠=-∠=-∠=-，且均为锐角，所以,63ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以由正弦定理得：sin sin 3BPPC παα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，sin sin 26PA PCππαα=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin sin 3BP PC απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，sin 2sin 6PA PC παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因为||||||PA PB PC λ+=所以sin cos sin sin cos sin 2sin sin 36πααααααλππαα⎛⎛⎫- - ⎪⎝⎭=+==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11==，因为,63ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22,33ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以(2sin 20,2α，)12,⎡∈+∞⎣故实数λ的最小值为2.故答案为：2【点睛】本题考查数学文化背景下的解三角形，三角恒等变换解决三角函数取值范围问题，考查运算求解能力，数学建模能力，化归转化思想，是难题.本题解题的关键在于根据题目背景，通过设PCB α∠=，进而建立解三角形的模型，再根据正弦定理及三角恒等变换化简求最值即可.四、解答题17．（2021·海安市南莫中学高一期中）下图所示的毕达格拉斯树画是由图（i ）利用几何画板或者动态几何画板Geogebra 做出来的图片，其中四边形ABCD ，AEFG ，PQBE 都是正方形.如果改变图（i ）中EAB ∠的大小会得到更多不同的“树形”.（1）在图（i ）中，21AB ,AE ==，且AE AB ⊥，求AQ ；（2）在图（ii ）中，21AB ,AE ==，设(0)EAB θθπ∠=<<，求AQ 的最大值.【答案】（1（2）9. 【分析】（1）由已知条件结合诱导公式求得cos ABQ ∠，在ABQ △中，利用余弦定理，即可求解；（2）由已知条件结合余弦定理，求得BE ，再利用正弦定理、余弦定理及三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）当AE AB ⊥时，BE BQ ==则()cos cos2ABQ ABE π∠=+∠sin AE ABE BE =-∠=-=在ABQ △中，由余弦定理可得2222cos 45413AQ AB BQ AB BQ ABQ =+-⋅∠=++=，所以AQ =（2）在ABE △中，由余弦定理知，2222cos 54cos BE AB AE AB AE θθ⋅=-⋅=+-，所以BE BQ ==在ABE △中，由正弦定理知sin sin AE BEABE θ=∠，可得sin ABE ∠=在ABQ △中，由余弦定理可得2222cos()2AQ AB BQ AB BQ ABE π=+-⋅⋅+∠454cos 4θ=+-+4(sin cos )994πθθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以当3(0,)4πθπ=∈时，AQ 的取最大值9.答：（1）AQ =（2）AQ 的最大值为9.18．（2021·昆明·云南师大附中高一期中）仰望星空，时有流星划过天际，令我们感叹生命的短暂，又深深震撼我们凡俗的心灵．流星是什么？从古至今，人们作过无数种猜测．古希腊亚里士多德说，那是地球上的蒸发物，近代有人进一步认为，那是地球上磷火升空后的燃烧现象．10世纪波斯著名数学家、天文学家阿尔·库希设计出一种方案，通过两个观测者异地同时观察同一颗流星，来测定其发射点的高度．如图，假设地球是一个标准的球体，O 为地球的球心，AB 为地平线，有两个观测者在地球上的A ，B 两地同时观测到一颗流星S ，观测的仰角分别为SAD α∠=，SBD β∠=，其中，90DAO DBO ∠=∠=︒，为了方便计算，我们考虑一种理想状态，假设两个观测者在地球上的A ，B 两点测得30α=︒，15β=︒，地球半径为R 公里，两个观测者的距离3RAB π=． 1.73 1.5≈）（1）求流星S 发射点近似高度ES ；（2）在古希腊，科学不发达，人们看到流星以为这是地球水分蒸发后凝结的固体，已知对流层高度大约在18公里左右，若地球半径6370R ≈公里，请你据此判断该流星S 是地球蒸发物还是“天外来客”？并说明理由．【答案】（1）0.5ES R =公里；（2）该流星不是地球蒸发物，而是“天外来客”，理由见解析. 【分析】（1）由已知条件在ASB △中利用正弦定理求出1)AS R =，在SAC 中再利用余弦定理求出OS ，从而可得ES OS R =-；（2）由（1）求出的值可得流星S 发射点近似高度为3185公里，远远大于对流层最高近似高度18公里，从而可得结论 【详解】 （1）因为3AB R π=，则60AOB ∠=︒，所以AOB 为等边角形，所以AB R =．又因为90DAO DBO ∠=∠=︒，所以30∠=∠=︒DAB DBA ，所以30∠=∠=︒DAB DBA ，所以60SAB ∠=︒，45SBA ∠=︒，75ASB ∠=︒．在ASB △中，由正弦定理：sin 75sin 45AB AS =︒︒，得()sin 4530sin 45R AS ︒=︒+︒， 解得1)AS R =，在SAC 中，由余弦定理：2222222212cos 1)1)(42OS SA OA SA OA SAO R R R R ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯-= ⎪⎝⎭．所以 1.5OS R =≈≈，所以0.5ES OS R R =-=公里．（2）0.53185ES R ≈≈公里，所以流星S 发射点近似高度为3185公里，远远大于对流层最高近似高度18公里，所以该流星不是地球蒸发物，而是“天外来客”．（言之有理即可）．19．（2021·奉新县第一中学高一月考）重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O 为吸引游客，准备在门前两条小路OA 和OB 之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知π6AOB ∠=，弓形花园的弦长AB =M ，π6MAB MBA ∠=∠=，设OBA θ∠=.（1）将OA 、OB 用含有θ的关系式表示出来；（2）该山庄准备在M 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计OA 、OB 的长度，才使得喷泉M 与山庄O 的距离的值最大？【答案】（1）OA θ=，6OB πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）当OA OB =OM 取最大值4+ 【分析】（1）本题可通过正弦定理得出OA θ=、6OB πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）本题首先可根据题意得出2AM BM ==，然后通过余弦定理得出2222cos 6OM OB BM OB BM πθ⎛⎫=+-⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，通过转化得出222283OM πθ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，最后通过50,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭以及正弦函数的性质即可求出最值.【详解】（1）因为sin sin sin OA OB AB OAB AOBθ==∠∠，π6AOB ∠=，AB =所以56OAB πθ∠=-，OA θ=，566OB ππθθ⎛⎫⎛⎫=-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）因为AB =π6MAB MBA ∠=∠=，所以2AM BM ==， 在OMB △中，由余弦定理易知2222cos 6OM OB BM OB BM πθ⎛⎫=+-⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，即2248sin 4cos 666OM πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭248sin 2428224cos 22286333ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+=-+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭122sin 2282283233πππθθθ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++=-++⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦，因为50,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2272,333πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，2sin 23πθ⎡⎛⎫+∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎭， 当2sin 213πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即512πθ=时， 2OM 取最大值28+OM 取最大值4+此时51264OA πππ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭ 512643OB ππππ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故当OA OB =时，OM 取最大值4+ 【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的实际应用，考查正弦定理与余弦定理的应用，考查三角恒等变换，考查根据正弦函数的性质求最值，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题.20．（2021·江苏省镇江中学）古希腊数学家普洛克拉斯曾说：“哪里有数学，哪里就有美，哪里就有发现……”，对称美是数学美的一个重要组成部分，比如圆，正多边形……，请解决以下问题：（1）魏晋时期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，割圆术可以视为将一个圆内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，求sin3︒的近似值(结果保留π).（2）正n 边形的边长为a ，内切圆的半径为r ，外接圆的半径为R ，求证：2tan2a R r nπ+=.【答案】（1）60π；（2）详见解析.【分析】（1）将一个单位圆分成120个扇形，每个扇形的圆心角为3︒，再根据120个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积求解；（2）设O 为内切圆的圆心，OA ，OB 分别为外接圆和内切圆的半径R ，r ，易知 1,2AB a nπθ==，然后在Rt OAB 中，利用三角函数的定义求得R ，r ，利用三角恒等变换证明.【详解】（1）将一个单位圆分成120个扇形，每个扇形的圆心角为3︒， 因为这120个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积， 所以11211sin 32π⨯⨯⨯⨯≈ sin 360π≈；（2）设O 为内切圆的圆心，OA ，OB 分别为外接圆和内切圆的半径R ，r ，则,OA R OB r ==， 如图所示：所以1,2AB a nπθ==， 在Rt OAB 中，sin AB OAθ=，即12sin an Rπ=，所以2sin a R n π=， cos OB OA θ=，即cos r n Rπ=，所以coscos 2sin a n r R n nπππ==， 所以1cos cos2sin 2sin 2sina a a n n R r n n nπππππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+=+=， 22cos 24sincos2tan222a a nnnnππππ==.21．（2021·上海徐汇·高一期末）主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周国的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）．已知某噪声的声波曲线f(x)=Asin (2π3x +φ)(A >0,0≤φ<π)，其中的振幅为2，且经过点（1，－2）（1）求该噪声声波曲线的解析式f(x)以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式g(x)； （2）证明：g(x)+g(x +1)+g(x +2)为定值． 【答案】（1）f(x)=2sin (2π3x +5π6), g(x)=−2sin (2π3x +5π6)；（2）证明见解析.【分析】（1）首先根据振幅为2求出A ，将点（1，-2）代入解析式即可解得； （2）由（1），结合诱导公式和两角和差的余弦公式化简即可证明.【详解】（1）∵振幅为2，A >0，∴A =2，f(x)=2sin (2π3x +φ)，将点（1，-2）代入得：−2=2sin (2π3+φ)⇒sin (2π3+φ)=−1，∵0≤φ<π，∴2π3+φ∈[2π3,5π3)，∴2π3+φ=3π2⇒φ=5π6，∴f(x)=2sin (2π3x +5π6)，易知g(x)与f(x)关于x 轴对称，所以g(x)=−2sin (2π3x +5π6).（2）由（1）g(x)=−2sin (2π3x +5π6)=−2sin (2π3x +π3+π2)=−2cos (2π3x +π3)g(x)+g(x +1)+g(x +2)=−2cos (2π3x +π3)−2cos (2π3x +π)−2cos (2π3x +2π3+π)=−2cos (2π3x +π3)+2cos2π3x +2cos (2π3x +2π3)=−2(cos2π3x ⋅12−sin2π3x ⋅√32)+2cos2π3x +2[cos2π3x ⋅(−12)−sin2π3x ⋅√32]=0.即定值为0.22．（2021·合肥市第六中学高一期末）合肥逍遥津公园是三国古战场，也是合肥最重要的文化和城市地标，是休闲游乐场，更是几代合肥人美好记忆的承载地.2020年8月启动改造升级工作，欲对该公园内一个平面凸四边形ABCD 的区域进行改造，如图所示，其中4DC a =米，2DA a =米，ABC 为正三角形.改造后BCD △将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域，ABD △将作为对三国历史文化的介绍区域.（1）当3ADC π∠=时，求旅游观光、休闲娱乐的区域BCD △的面积；（2）求旅游观光、休闲娱乐的区域BCD △的面积的最大值.【答案】（1）()22m ；（2）(()224m a +.【分析】（1）由余弦定理求得AC ，再由正弦定理求得ACD ∠，求出BC BC ⊥，易得面积；（2）不妨设ADC θ∠=，ACD α∠=，用余弦定理表示出2AC ，用正弦定理表示出sin α，再用余弦定理表示出cos α，然后表示出BCD △的面积，利用两角和的正弦公式展开代入2sin ,cos ,AC αα，再利用两角差的正弦公式化简，然后利用正弦函数性质得最大值． 【详解】解析：（1）2222cos3AC AD DC AD DC π=+-⋅⋅，∴AC =，又sin sin3ACADACD π=∠，∴1sin 2ACD ∠=，易知ACD ∠是锐角，所以6π∠=ACD ，∴2BCD π∠=，()2214m 2BCD S a =⨯⨯=△，（2）不妨设ADC θ∠=，ACD α∠=，于是由余弦定理得()222016cos AC a θ=-①，22sin sin sin sin AC a a ACθαθα=⇒=②， 22222124168cos cos 8AC a a AC a aAC a a aAC+=+-⋅⇒=③， ∴14sin 23BCDS a AC πα⎛⎫=⨯⨯⋅+ ⎪⎝⎭△2(sin cos cos sin )33a AC ππαα=⋅+2222sin 128a AC a AC AC AC θ⎡⎤+=⋅⎢⎥⎣⎦((2222sin 4sin 43a a a πθθθ⎛⎛⎫=-+=-++ ⎪ ⎝⎝≤⎭，当且仅当5 326πππθθ-=⇒=时取等号，∴BCD S △最大值为(()224m a +.【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是选用一个角为参数，然后把其他量表示为参数的三角函数，这里注意正弦定理和余弦定理的应用，然后利用三角函数恒等变换公式化简变形，最后利用正弦函数性质求得最值．。
《高考真题》专题07 三角函数求值-2019年高考文数母题题源系列全国Ⅰ专版(原卷版)
专题07 三角函数求值【母题来源一】【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°= A ．−2B ．−C ．2D ．【答案】D【解析】tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)︒=︒+︒=︒=︒+︒=tan 45tan 301tan 45tan 30︒+︒-︒︒12+==+ 故选D.【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．【母题来源二】【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -= A ．15 BC．5D ．1【答案】B【解析】根据条件，可知,,O A B 三点共线，从而得到2b a =，因为222cos22cos 1213⎛⎫=-=⋅-=αα，解得215a =，即5a =，所以25a b a a -=-=， 故选B.【名师点睛】本题主要考查任意角的三角函数和三角恒等变換，考查考生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【母题来源三】【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知π(0)2∈，α，tan α=2，则πcos ()4α-= .【答案】10【解析】由tan 2α=得sin 2cos αα=， 又22sin cos 1αα+=，所以21cos 5α=，因为π(0,)2α∈，所以cos αα==， 因为πππcos()cos cossin sin 444ααα-=+，所以πcos()4525210α-=+⨯=. 【名师点睛】三角函数求值的三种类型：（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异． ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．【命题意图】通过考查三角恒等变换公式等相关知识，考查转化思想和运算求解能力. 【命题规律】一般在选择题或填空题中进行考查，分值5分，主要从公式的变用、逆用以及角度的关系等角度，考查方程思想和运算求解能力.【答题模板】已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：（1）先化简所求式子．（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．【方法总结】1.深层次领悟公式的功能、规律与内涵对三角公式，知其结构特征仅是第一层面要求，重要的是要知晓公式的功能及揭示的规律与内涵.如1±sin2α＝(sinα±cosα)2有并项的功能，cos2α＝cos2α－sin2α有升幂的功能，sin2α＝2sinαcosα有将角由大化小的功能，两角和与差的正切公式，揭示的是同名不同角的正切函数的关系等．2.余弦的差角公式是本节公式之源，掌握其证明过程以及和差倍半公式的推演方法是很必要的．3.三角恒等证明分有条件的恒等证明和无条件的恒等证明．对于有条件的恒等证明，需要注意的问题有二：一是仔细观察等式两边结构上的联系与差异，探寻消除差异(函数的差异、角的差异)的方法；二是充分利用条件，特别是将条件变形整理后使用．4.熟知一些恒等变换的技巧（1）公式的正用、逆用及变形用．（2）熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，3α是23α的半角，2α是4α的倍角等．（3）在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，尤其要重视常数“1”的各种变形，例如：1＝πtan4，1＝sin2α＋cos2α等．（4）在进行三角函数化简、求值、恒等式证明时，常常采用切化弦、异名化同名、异角化同角、高次降低次的方法，达到由不统一转化到统一，消除差异的目的．总之，三角恒等变换说到底就是“四变”，即变角、变名、变式、变幂．通过对角的分拆，达到使角相同；通过转换函数，达到同名(最好使式中只含一个函数名)；通过对式子变形，达到化简(尽可能整式化、低次化、有理化)；通过幂的升降，达到幂的统一．1．【福建省宁德市2019届高三毕业班第二次（5月）质量检查考试数学】A ．2- B ．2C ．12-D ．122．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷数学】已知π3sin 245x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 4x 的值为 A ．1825 B ．1825± C ．725D ．725±3．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学】已知ππsin 3cos 36αα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 2α=A ．-B ．2-C ．D ．24．【山东省潍坊市2019届高三高考模拟（4月二模）考试】若4tan 3α=，则cos 22απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．2425- B ．725- C ．725D ．24255．【安徽省1号卷A10联盟2019()πcos π2αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 2α=A ．7B ．3CD6．【江西省抚州市临川第一中学2019届高三下学期考前模拟考试】已知平面直角坐标系下，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点(4,3)P ，则πcos 22α⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．2425 B ．2425- C ．2425或2425-D ．7257．【湖北省2019届高三4cos 2x x +=，则πcos 3x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．12BC ．3D ．348．【安徽省皖南八校2019届高三第三次联考数学】若3sin cos 5αβ-=，4cos sin 5αβ+=，则s i n()αβ-=A ．3B ．2C ．13D ．129．【山东省济宁市2019届高三第一次模拟考试数学】tan 20sin 20︒=︒A ．1B ．2C ．3D ．410．【湖北省武汉市2019届高三4月调研测试数学】若角α满足sin 51cos αα=-，则1cos sin αα+=A ．15B ．52C ．5或15D ．511．【山西省2019届高三百日冲刺考试数学】已知sin10cos102cos140m +=，则m =__________． 12．【广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试（B 卷）】已知 为锐角，且，则 __________.13．【江西省景德镇市2019届高三第二次质检】公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m =︒.若2m n +=4=___________.14．【河南省名校-鹤壁高中2019届高三压轴第二次考试数学】平面直角坐标系xOy 中，点()00,P x y 是单位圆在第一象限内的点， xOP α∠=，若π11cos 133α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则00x y +=__________．。
六年级数学上册素材：黄金分割
六年级数学上册素材：黄金分割黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。
0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。
上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。
黄金分割发现关于黄金分割比例的起源大多认为来自毕达哥拉斯，据说在古希腊，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听。
他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数理的方式表达出来。
被应用在很多领域，后来很多人专门研究过，开普勒称其为“神圣分割”也有人称其为“金法”。
在金字塔建成1000年后才出现毕达哥拉斯定律，可见这很早就存在。
只是不知这个谜底。
黄金分割的历史来源由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。
公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。
公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。
中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。
德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。
到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。
黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。
最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代在中国推广。
欧洲部分2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割。
所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分（长的一部分）对于全部之比，等于另一部分（短的一部分）对于该部分之比。
而计算黄金分割最简单的方法，是计算斐波契数列1，1，2，3，5，8，13，21，……后二数之比2/3，3/5，5/8，8/13，13/21，……近似值的。
黄金比例
• Fibonacci (1170–1250) mentioned the numerical series now named after him in his Liber Abaci; the Fibonacci sequence is closely related to the golden ratio. • Luca Pacioli (1445–1517) defines the golden ratio as the "divine proportion" in his Divina Proportione. • Johannes Kepler (1571–1630) describes the golden ratio as a "precious jewel": "Geometry has two great treasures: one is the Theorem of Pythagoras, and the other the division of a line into extreme and mean ratio; the first we may compare to a measure of gold, the second we may name a precious jewel." These two treasures are combined in the Kepler triangle.
• 1953年，美国数学家J.基弗首先提出优选法 optimization method中的黄金分割法 • 优选法,是以数学原理为指导，用最可能少 的试验次数，尽快找到生产和科学实验中 最优方案的一种科学试验的方法。 • 1970-80年代，中国数学家华罗庚在中国推 广，取得很大成绩。
2022-2023学年湖南省邵阳市新邵县高一上数学期末学业质量监测模拟试题含解析
对于 C：令 h3 x f g x ，则 h3 x f g x f g x f g x h3 x ，故 h3 x f g x 为
偶函数，故 C 正确；
对于 D：令 h4 x g f x ，则 h4 x g f x g f x h4 x ，故 h4 x g f x 为偶函数，故 D
1、B
【解析】设 M x, y ，直线 BM 的斜率为 y ，直线 AM 的斜率为 y .有 x 2
x2
x2
直线 BM 的斜率与直线 AM 的斜率的差是 1,所以 y y 1 . x2 x2
通分得：
xy 2 y xy 2 y
x 2x 2
1 ，整理得：
y
x2 4
1 x
2 .
故选 B.
用时 60 秒，经过 t 秒后，水斗旋转到点 P ，已知 A(2 3, 2) ，设点 P 的坐标为 (x，y) ，其纵坐标满足 y f (t) R sin(t )(t 0, 0, )
2
（1）求函数 f (t) 的解析式； （2）当水车转动一圈时，求点 P 到水面的距离不低于 4m 的持续时间
点睛：求轨迹方程的常用方法：
（1）直接法：直接利用条件建立 x，y 之间的关系 F(x，y)＝0
（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程
（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程
（4）代入(相关点)法：动点 P(x，y)依赖于另一动点 Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点 P(x，y)的轨迹方程 2、D
数取得最大值或者最小值的地方.对于选择题
7、A
【解析】由已知可得：该几何体是一个四棱锥和四棱柱的组合体，
2021届新高考数学二轮专题练习：热点(十三) 数学文化 (含解析)
热点(十三) 数学文化1．[2020·石家庄模拟](古典概率中的数学文化)古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了“完全数”6和28，后人进一步研究发现后续3个“完全数”分别为496,8 128,33 550 336，现将这5个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为( )A. 15B. 25C.35D. 110 2．[2020·山东六地市部分学校线上考试]《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4.在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是( )A.415B. 158C.154 D ．120 3．(函数图象中的数学文化)我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数f (x )＝x 4|4x －1|的图象大致是( )4．(概率中的数学文化)我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为( )A.1415B.115C.29D.79 5．(数列中的数学文化)《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为( )A ．23岁B ．32岁C ．35岁D ．38岁6．[2020·新高考Ⅰ卷](立体几何中的数学文化)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为()A．20°B．40°C．50°D．90°7．(解析几何中的数学文化)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2＋y2≤1，若将军从点A(2,0)出发，河岸线所在直线方程x＋y－4＝0，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为()A.10 B．25－1C．2 5 D.10－18．(圆中的数学文化)阿波罗尼斯(约公元前262～190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k＞0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P满足|P A||PB|＝2，则|P A|2＋|PB|2的最小值为() A．36－24 2 B．48－24 2C．36 2 D．24 29．如图所示，在著名的汉诺塔问题中，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘，三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱．已知起始柱上套有n个圆盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面，现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上，规则如下：每次只能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面，规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动．若将n个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为p(n)，则p(4)＝()A．33 B．31C．17 D．1510．(解三角形中的文化)《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形面积的求法填补了我国数学史中的一个空白，虽与著名的海伦公式形式上有所不同，但实质完全等价，由此可以看出我国古代已经具有很高的数学水平．其求法是：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”把以上这段文字用数学公式表示，即S＝14⎣⎡⎦⎤c2a2－⎝⎛⎭⎫c2＋a2－b222(S，a，b，c分别表示三角形的面积、大斜、中斜、小斜)．现有周长为42＋25的△ABC满足sin A︰sin B︰sin C＝(2＋1)︰5︰(2－1)，试用以上给出的数学公式计算△ABC的面积为()A. 3 B．2 3C. 5 D．2 511．(立体几何中的数学文化)我国古代《九章算术》里记载了一个求“羡除”体积的例子，羡除，隧道也，其所穿地，上平下邪．小明仿制羡除裁剪出如图所示的纸片，在等腰梯形ABCD 中，AB＝10，BC＝CD＝DA＝8，在等腰梯形ABEF中，EF＝6，AF＝BE＝6.将等腰梯形ABCD 沿AB折起，使DF＝CE＝26，则五面体ABCDFE中异面直线AC与DE所成角的余弦值为()A．0 B.2 4C．－24 D.2212．(多选题)(生活中的数学文化)《九章算术·衰分》中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱数多少衰出之，问各几何？”翻译为“今有甲持钱560，乙持钱350，丙持钱180，甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计100钱，要按个人带钱多少的比例交税，问三人各应付多少税？”则下列说法中正确的是()A．甲付的税钱最多B．乙、丙两人付的税钱超过甲C．乙应出的税钱约为32D．丙付的税钱最少13．(三角函数中的文化)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可表示为m＝2sin 18°.若m2＋n＝4，则1－2cos2 27°3m n＝________.14．(数列中的数学文化)“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系数数字常被人们称之为神奇数．具体数列为1,1,2,3,5,8…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列{a n}为“斐波那契”数列，S n为数列{a n}的前n项和，若a2 020＝M，则S2 018＝________.(用M表示)15．[2020·山东烟台、菏泽联考](二项式定理中的数学文化)杨辉三角，又称贾宪三角、帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，由杨辉三角可以得到(a＋b)n展开式的二项式系数．根据相关知识可求得(1－2x)5展开式中的x3的系数为________．16．[2020·山东肥城一中模拟](立体几何中的数学文化)在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”．已知三棱柱ABC -A1B1C1是一个“堑堵”，其中AB＝BC＝BB1＝2，点M是A1C1的中点，则四棱锥M-B1C1CB的外接球的表面积为________．热点(十三) 数学文化1．答案：B解析：记5个“完全数”中随机抽出2个为第一组，剩下3个为第二组，则基本事件总数为C 25＝10.又6和28恰好在第一组有1种情况，6,28和其他3个数中的1个在第二组有3种情况，所以所求概率为1＋310＝25，故选B.2．答案：C解析：由题意，根据给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4，再由扇形的弧长公式，可得扇形的圆心角α＝l r ＝308＝154(弧度)，故选C.3．答案：D解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 44x －1，x ＞0，x41－4x，x ＜0，f (－x )＝x 4|4－x －1|＝x 4·4x|4x －1|≠f (x )，且f (－x )≠－f (x )，所以f (x )没有奇偶性，而A ，B 选项中的图象关于y 轴对称，排除A ，B ；当x →－∞时，f (x )＝x 41－4x→＋∞，排除C ，选D. 4．答案：A解析：设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A ，所以P (A )＝C 23C 210＝115，因此P (A )＝1－P (A )＝1－115＝1415，故选A.5．答案：C解析：设这位公公的第n 个儿子的年龄为a n ， 由题可知{a n }是等差数列，设公差为d ，则d ＝－3， 又由S 9＝207，即S 9＝9a 1＋9＋82×(－3)＝207，解得a 1＝35，即这位公公的长儿的年龄为35岁．故选C. 6．答案：B解析：过球心O 、点A 以及晷针的轴截面如图所示，其中CD 为晷面，GF 为晷针所在直线，EF 为点A 处的水平面，GF ⊥CD ，CD ∥OB ，∠AOB ＝40°，∠OAE ＝ ∠OAF ＝90°，所以∠GF A ＝∠CAO ＝∠AOB ＝40°.故选B.7．答案：B解析：设点A 关于直线x ＋y ＝4的对称点A ′(a ，b )，k AA ′＝ba －2， AA ′的中点为⎝⎛⎭⎪⎫a ＋22，b 2，故⎩⎪⎨⎪⎧ba －2＝1a ＋22＋b 2＝4解得a ＝4，b ＝2，要使从点A 到军营总路程最短，即为点A ′到军营最短的距离，即为点A ′和圆上的点连线的最小值，即为点A ′和圆心的距离减半径， “将军饮马”的最短总路程为 4＋16－1＝25－1，故选B.8．答案：A解析：以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－1,0)、B (1,0)，设P (x ，y )，∵|P A ||PB |＝2，∴(x ＋1)2＋y 2(x －1)2＋y2＝2，两边平方并整理得x 2＋y 2－6x ＋1＝0⇒(x －3)2＋y 2＝8，所以P 点的轨迹是以(3,0)为圆心，22为半径的圆，则有|P A |2＋|PB |2＝2(x 2＋y 2)＋2＝2|OP |2＋2，如图所示：当点P 为圆与x 轴的交点(靠近原点)时，此时， OP 取最小值，且OP ＝3－22，因此，|P A |2＋|PB |2≥2×(3－22)2＋2＝36－242，故选A. 9．答案：D解析：由题意，把圆盘从起始柱全部移到目标柱上最少需要移动的次数记为p (n )，则把起始柱上的(除最底下的)圆盘从起始柱移动到辅助柱最少需要移动的次数为p (n －1)，则有p (n )＝2p (n －1)＋1，所以p (n )＋1＝2[p (n －1)＋1]，又p (1)＝1，即{p (n )＋1}是以p (1)＋1＝2为首项，2为公比的等比数列，由等比数列通项公式可得，p (n )＋1＝2n ，所以p (n )＝2n －1，故p (4)＝24－1＝15，故选D.10．答案：A解析：因为sin A ︰sin B ︰sin C ＝(2＋1)︰5︰(2－1)， 则由正弦定理得a ︰b ︰c ＝(2＋1)︰5︰(2－1)． 设a ＝(2＋1)x ，b ＝5x ，c ＝(2－1)x ， 又周长为42＋25，所以42＋25＝(2＋1)x ＋5x ＋(2－1)x ，解得x ＝2. 所以S ＝14×⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫42×(2－1)2×(2＋1)2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤22×(2＋1)2＋22×(2－1)2－2022 ＝ 3.故选A.11．答案：B解析：如图，过点C 作AB 的垂线，H 为垂足，易知BH ＝1，CH ＝37，AC ＝12.同理，在等腰梯形CDFE 中，对角线DE ＝6 2.过点C 作CG ∥DE 交FE 的延长线于点G ，易知四边形CDEG 是平行四边形，DE 綉CG ，连接AG ，则异面直线AC 与DE 所成的角即直线AC 与CG 所成的角．过点A 作AT ⊥EF ，交EF 的延长线于点T ，则易知AT ＝42，TG ＝16，所以AG ＝12 2. 在△ACG 中，AG ＝122，AC ＝12，CG ＝DE ＝62，由余弦定理得cos ∠ACG ＝144＋72－2882×12×62＝－24.因为异面直线所成的角在⎝⎛⎦⎤0，π2范围内，所以异面直线AC 与DE 所成角的余弦值为24，故选B.12．答案：ACD 解析：甲付的税钱最多、丙付的税钱最少，可知A 、D 正确；乙、丙两人付的税钱占总税钱的53109＜12不超过甲。
关于黄金分割数学论文
关于黄金分割数学论文学生姓名：***班级：初一四班一．简述黄金分割1.黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。
0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。
上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。
2.关于黄金分割比例的起源大多认为来自毕达哥拉斯，据说在古希腊，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听。
他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数理的方式表达出来,被应用在很多领域，后来很多人专门研究过，开普勒称其为“神圣分割”,也有人称其为“金法”。
在金字塔建成1000年后才出现毕达哥拉斯定律，可见这很早就存在,只是不知道这个谜底。
3.把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是（√5-1）：2，取其小数点后三位的近似值是0.618。
由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，也称为中外比。
这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：1÷0.618≈1.618 （1-0.618）÷0.618≈0.618 或根号5减1的差除以二。
如图所示，黄金分割图形二．黄金分割与生活1.黄金分割与人体人体肚脐的位置到脚底的长度与人体身高的比值符合黄金比例例如一个人身高为136cm，从肚脐到脚底有84cm，肚脐以上52cm，则52:84=0.619……，同时84:136=0.618……，符合黄金分割比例。
2.黄金分割与建筑物从4600年前修建的埃及金字塔，到2400年前修建的巴特农神殿，到埃菲尔铁塔、东方明珠、联合国大厦，在许多著名的建筑中，人们发现了一个惊人的巧合，那就是，它们都运用了黄金分割。
3.黄金分割与乐器斯特拉迪瓦里在制造他那有名的小提琴时，运用了黄金分割来确定f形洞的确切位置；二胡要获得最佳音色，其千斤须放在琴弦长度的0.618处。
黄金分割比的应用
AC CB
AC
AC x
可化为一元二次方程 x2 x 1 0 .
该方程旳根为
x1
1 2
5
,
x2
1 2
5
.
A
C
B
于是
AB AC
x1
1 2
5
1.618 ,
其倒数 AC 2 5 1 0.618. AB 1 5 2
即 C 点约在 AB 长度旳 0.618 旳位置上．
希腊数学家把这个几何问题里旳点 C 叫作黄金分
两侧口角点构成旳三角等）。
只要留心，就会在生活旳方方面面发觉其“魅影”， 假如我们灵活地加以利用，将大大提升我们旳生活质量。
例如，根据广泛调查，全部让人感到赏心悦目旳矩形，涉及电视屏 幕、写字台面、书籍、门窗等，其短边与长边之比大多为0.618。甚至连 火柴盒、国旗旳长宽百分比，都遵守0.618比值。在音乐会上，报幕员在 舞台上旳最佳位置，是舞台宽度旳0.618之处；最有趣旳是，在消费领域 中也可妙用0.618这个“黄金数”，取得“物美价廉”旳效果。据教授简 介，在同一商品有多种品种、多种价值情况下，将高档价格减去低档价 格再乘以0.618，即为挑选商品旳首选价格。对它旳多种神奇旳作用和魔 力，数学上至今还没有明确旳解释，只是发觉它频频在实际中发挥我们 意想不到旳作用。内含“黄金分割比”旳五角星形状也非常耐人寻味， 世界上有将近40个国家（如中国、美国、朝鲜、土耳其、古巴等等）旳 国旗上上旳“星”都是五角形旳星。
3、斐波那契数列与黄 金分割
假如每对兔子（一雄一 雌）每月能生殖一对小 兔子（也是一雄一雌，
兔子问题
下同），每对兔子第一 种月没有生育能力，但
从第二个月后来便能每
月生一对小兔子。假定
数学练习(新教材人教A版强基版)第四章三角函数与解三角形44简单的三角恒等变换
1．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos(π－x )＝－45，则tan 2x 等于( ) A.724 B ．－724 C.247 D ．－2472．(2023·保定模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝223，则sin 2θ的值为( )A.79 B ．－79 C.29 D ．－293．(2023·枣庄模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则cos ⎝⎛⎭⎫2α－4π3等于( ) A ．－59 B.59 C ．－13 D.134．公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割约为，这一数值也可以表示为m ＝2sin 18°，若4m 2＋n ＝16，则m n 2cos 227°－1的值为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．85．(多选)(2023·合肥模拟)下列计算结果正确的是( )A ．cos(－15°)＝6－24B ．sin 15°sin 30°sin 75°＝18C ．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝－12D ．2sin 18°cos 36°＝126. (2022·石家庄模拟)黄金分割比例广泛存在于许多艺术作品中．在三角形中，底与腰之比为黄金分割比的三角形被称作黄金三角形，被认为是最美的三角形，它是两底角为72°的等腰三角形．达·芬奇的名作《蒙娜丽莎》中，在整个画面里形成了一个黄金三角形．如图，在黄金△ABC 中，BC AC ＝5－12，根据这些信息，可得sin 54°等于( )A.25－14B.5＋14C.5＋48D.5＋387．(2023·淄博模拟)sin 12°(2cos 212°－1)3－tan 12°＝________. 8．(2023·青岛模拟)若α∈(0，π)，cos 2α＝sin 2α2－cos 2α2，则α＝________. 9．化简并求值．(1)3－4sin 20°＋8sin 320°2sin 20°sin 480°； (2)⎝⎛⎭⎫1cos 280°－3cos 210°·1cos 20°.10．(2023·长春质检)(1)已知tan(α＋β)＝35，tan ⎝⎛⎭⎫β－π3＝13，求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π3； (2)已知cos 2θ＝－45，π4<θ<π2，求sin 4θ，cos 4θ. (3)已知sin(α－2β)＝437，cos(2α－β)＝－1114，且0<β<π4<α<π2，求α＋β的值．11．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝cos 2β1－sin 2β，则( ) A ．α＋β＝π2 B ．α－β＝π4C ．α＋β＝π4D ．α＋2β＝π2 12. 魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24 576边形，求出圆周率π约等于355113，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4sin 52°，则1－2cos 27°π16－π2的值为( ) A ．－18 B ．－8 C ．8 D.1813．(多选)(2023·长沙模拟)若sin α2＝33，α∈(0，π)，则( ) A ．cos α＝13B ．sin α＝23C ．sin ⎝⎛⎭⎫α2＋π4＝6＋236D ．sin ⎝⎛⎭⎫α2－π4＝23－6614．(2022·邢台模拟)已知α，β均为锐角，sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π3＝513，则sin(α＋β)＝________，cos(2α－β)＝________.15．(2023·武汉模拟)f (x )满足：∀x 1，x 2∈(0,1)且x 1≠x 2，都有x 2f (x 1)－x 1f (x 2)x 1－x 2<0.a ＝sin 7°sin 83°，b ＝tan 8°1＋tan 28°，c ＝cos 25π24－12，则f (a )a ，f (b )b ，f (c )c 的大小顺序为( ) A.f (a )a <f (b )b <f (c )cB.f (a )a <f (c )c <f (b )bC.f (b )b <f (c )c <f (a )aD.f (c )c <f (a )a <f (b )b16．设α，β为锐角，且2α－β＝π2，tan αcos βx ＋sin β＝1，则x ＝________.。
黄金法则及其应用
黄金分割法则及其应用黄金分割点0.618，一个极为迷人而神秘的数字，而且它还有着一个很动听的名字———黄金分割率，它是古希腊著名哲学家、数学家毕达哥拉斯于2500多年前发现的。
古往今来，这个数字一直被后人奉为科学和美学的金科玉律。
在艺术史上，几乎所有的杰出作品都不谋而合地验证了这一著名的黄金分割率，无论是古希腊帕特农神庙，还是中国古代的兵马俑，它们的垂直线与水平线之间竟然完全符合1比0.618的比例。
也许，0.618在科学艺术上的表现我们已了解了很多，但是，你有没有听说过，0.618还与炮火连天、硝烟弥漫、血肉横飞的惨烈、残酷的战场也有着不解之缘，在军事上也显示出它巨大而神秘的力量？0.618与武器装备在冷兵器时代，虽然人们还根本不知道黄金分割率这个概念，但人们在制造宝剑、大刀、长矛等武器时，黄金分割率的法则却早已处处体现了出来，因为按这样的比例制造出来的兵器，用起来会更加得心应手。
当发射子弹的步枪刚刚制造出来的时候，它的枪把和枪身的长度比例很不科学合理，很不方便于抓握和瞄准。
到了1918年，一个名叫阿尔文·约克的美远征军下士，对这种步枪进行了改造，改进后的枪型枪身和枪把的比例恰恰符合0.618的比例。
实际上，从锋利的马刀刃口的弧度，到子弹、炮弹、弹道导弹沿弹道飞行的顶点；从飞机进入俯冲轰炸状态的最佳投弹高度和角度，到坦克外壳设计时的最佳避弹坡度，我们也都能很容易地发现黄金分割率无处不在。
在大炮射击中，如果某种间瞄火炮的最大射程为12公里，最小射程为4公里，则其最佳射击距离在9公里左右，为最大射程的2/3，与0.618十分接近。
在进行战斗部署时，如果是进攻战斗，大炮阵地的配置位置一般距离己方前沿为1/3倍最大射程处，如果是防御战斗，则大炮阵地应配置距己方前沿2/3倍最大射程处。
0.618与战术布阵在我国历史上很早发生的一些战争中，就无不遵循着0.618的规律。
春秋战国时期，晋厉公率军伐郑，与援郑之楚军决战于鄢陵。
上海市宝山区2023届高三二模数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知不等式的解集为，若中只有唯一整数，则称A 为“和谐解集”，若关于的不等式在区间上存在“和谐解集”，则实数的可能取值为（ ）A．B．C．D．2. 中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景（影）台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影．到了汉代，使用圭表有了规范，规定“表”为八尺长（1尺=10寸）．用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于丈量土地．同一日内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差千里”．记“表”的顶部为，太阳光线通过顶部投影到“圭”上的点为．同一日内，甲地日影长是乙地日影长的，记甲地中直线与地面所成的角为，且．则甲、乙两地之间的距离约为（）A ．10千里B ．12千里C ．14千里D ．16千里3. 已知，则（ ）A．B．C．D．4. 设复数满足（i 为虚数单位），则在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5.已知复数，其中i为虚数单位，则A．B．C．D．6. 已知双曲线的右焦点与实轴的右端点分别为点，，以点为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，为坐标原点．若为等腰三角形，则双曲线的离心率（ ）A．B．C．D．或7. 若（a ，b 为有理数），则（ ）A ．45B ．55C ．70D ．808. 已知集合，或，则( )A．B．C．D．9.曲线是平面内与两个定点的距离的积等于的点的轨迹，给出下列四个结论：其中所有正确结论的序号是（ ）A ．曲线关于坐标轴对称；B．周长的最小值为；C．点到轴距离的最大值为D ．点到原点距离的最小值为.上海市宝山区2023届高三二模数学试题上海市宝山区2023届高三二模数学试题三、填空题四、解答题10. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离声压级燃油汽车10混合动力汽车10电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．A．B．C．D．11. 已知，，则下列说法正确的是（ ）A ．两圆位置关系是相交B．两圆的公共弦所在直线方程是C．上到直线的距离为的点有四个D ．若为上任意一点，则12. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件，存在如下关系:．对于一个电商平台，用户可以选择使用信用卡、支付宝或微信进行支付．已知使用信用卡支付的用户占总用户的，使用支付宝支付的用户占总用户的，其余的用户使用微信支付．平台试运营过程中发现三种支付方式都会遇到支付问题，为了优化服务，进行数据统计发现：出现支付问题的概率是，若一个遇到支付问题的用户，使用三种支付方式支付的概率均为，则以下说法正确的是（ ）A ．使用信用卡支付的用户中有的人遇到支付问题B ．使用支付宝支付遇到支付问题与使用微信支付遇到支付问题的概率不同C．要将出现支付问题的概率降到，可以将信用卡支付通道关闭D ．减少微信支付的人数有可能降低出现支付问题的概率13. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为，若，则___________.14. 已知函数，，则函数的所有零点之和是___________.15.函数的最小正周期_____，最大值为_____.16.在数列中，若且.（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式及数列的前n 项和.17. 数列为正项数列，，且对，都有；(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，为数列的前项和，求证：18. 在①且，②且，③正项数列满足这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题:已知数列的前项和为，且______?(1)求数列的通项公式:(2)求证：.19. 已知中，角所对的边分别为，且.(1)求的值.(2)若的面积，且，求的外接圆半径.20. 如图，在正三棱柱中，D是BC的中点．(1)证明：平面．(2)求四棱锥与三棱锥的体积之比．21. 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在双曲线上.当时，.（1）求双曲线的方程.（2）设为双曲线上一点，点，在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限，若恰为线段的中点，试判断的面积是否为定值?若为定值，请求出这个定值；若不为定值，请说明理由.。
黄金分割比应用
黄金矩形
黄金分割比应用
绘画中的黄金分割比
就像在建筑与雕塑中一样，神奇的“黄金分割比”自古至今也出现 在许多伟大画家的著名作品中，如米开朗基罗的《圣家庭》（Holy Family）就是典型的例子，它的人物构图布置中包含着一个“黄金五角 星”。拉斐尔的《刑罚》（Crucifixion）是另一著名例子，其人物布局 以“黄金三角形”和“黄金五角星”展开。这方面的例子还有达芬奇的 《蒙娜丽莎》、《最后的晚餐》和未完成的作品《圣徒杰罗姆》（Saint Jerome）伦伯朗的《自画像》、透纳的《日出中的诺城堡》（Norham Castle at Sunrise）、修拉的《阅兵》（La Parade）、《浴者》 （Bathers）。现代绘画中超现实主义画家达利（Salvador Dali，19041989）的《最后的圣餐》（The Sacrament of the Last Supper）最能说 明问题，整幅画面置于一个“黄金矩形”之中，而人物的布置也包含着 黄金比例，餐桌的上方是一个巨大的十二面体的一部分，这个多面体包 含12个符合黄金比例的五边形。
黄金分割比
---构图解析
黄金分割比应用
起源：公元前6世纪--古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边 形的作图，黄金分割。
发展：2000多年前,古希腊雅典学派---计算黄金分割最简单的方法，是计 算斐波契数列1，1，2，3，5，8，13，21，...后二数之比 2/3,3/5,4/8,8/13,13/21,...近似值。称为“中外比”。
文明古国埃及的金字塔，形似方锥 ，大小各异。但这些金字塔底面的 边长与高这比都接近于0.618.
黄金分割比应用
泰姬陵的多出布局都能看出黄金分割
黄金分割比应用
古希腊的一些神庙，在建筑时高和宽 也是按黄金比0.618来建立，他们认 为这样的长方形看来是较美观；其大 理石柱廓，就是根据黄金分割律分割 整个神庙的.
2022年湖北省黄冈中学高考数学适应性试卷(5月份)+答案解析(附后)
2022年湖北省黄冈中学高考数学适应性试卷（5月份）1. 命题“，”的否定是( )A.， B. ，C. ，D.，2. 设集合，，则( )A.B.C.D. 3. 已知复数，则( )A. B. 4 C.D. 104. 设是等差数列的前n 项和，，，则( )A. 90B. 100C. 120D. 2005. 已知某圆台的高为1，上底面半径为1，下底面半径为2，则侧面展开图的面积为( )A.B.C.D.6. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割均为，这一数值也可以表示为，若，则( )A. 8B. 4C. 2D. 17. 已知a ，b 为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为( )A. 8B. 9C. 10D. 138. 已知抛物线E ：的焦点为F ，点A 是抛物线E 的准线与坐标轴的交点，点P 在抛物线E 上，若，则( )A. B. C. D.9. 已知a ，b ，c 均为非零实数，且，则下列不等式中，一定成立的是( )A. B.C.D.10. 2021年某市教育部门组织该市高中教师在暑假期间进行集中培训，培训后统一举行测试．现随机抽取100名教师的测试成绩进行统计，得到如图所示的频率分布折线图，已知这100名教师的成绩都在区间内，则下列说法正确的是( )A. 这100名教师的测试成绩的极差是20分B. 这100名教师的测试成绩的众数是分C.这100名教师中测试成绩不低于90分的人数约占D. 这100名教师的测试成绩的中位数是85分11. 已知函数，将图像上所有的点向左平移个单位长度后得到函数的图像，若是偶函数，且在上恰有一个极值点，则的取值可能是( )A. 1B. 3C. 5D. 712. 已知是半径为2的圆O的内接三角形，则下列说法正确的是( )A.若角，则B. 若，则C. 若，则的夹角为D. 若，则AB为圆O的一条直径13. 已知函数是奇函数，则实数a的值为______.14. 已知，是双曲线的两个焦点，P是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为N，则点N到坐标原点O的距离是______.15. 甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为__________.16. 截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图所示，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为______.17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且满足求角B的大小；求的面积的最大值．18. 已知数列的前n项和为，正项等比数列的首项为，且求数列和的通项公式；求使不等式成立的所有正整数n组成的集合．19. 在党中央的英明领导下，在全国人民的坚定支持下，中国的抗击“新型冠状肺炎”战役取得了阶段性胜利，现在摆在我们大家面前的是有序且安全的复工复产．某商场为了提振顾客的消费信心，对某中型商品实行分期付款方式销售，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数的分布列为456P a b其中，求购买该商品的3位顾客中，恰有1位选择分4期付款的概率；商场销售一件该商品，若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为2000元；若顾客选择分5期付款，则商场获得的利润为2500元；若顾客选择分6期付款，则商场获得的利润为3000元，假设该商场销售两件该商品所获得的利润为单位：元，设时的概率为m，求当m取最大值时，利润X的分布列和数学期望；设某数列满足，，，若，求n的最小值．20. 已知四棱锥中，底面ABCD是矩形，且，是正三角形，平面PAD，E、F、G、O分别是PC、PD、BC、AD的中点．求平面EFG与平面ABCD所成的锐二面角的大小；线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．21. 已知点是椭圆的左焦点，且椭圆C经过点过点作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M，N两点，过点M作直线l：的垂线，垂足为求椭圆C的标准方程；求证：直线EN过定点，并求定点的坐标．22. 已知函数当时，求的最小值；若，是定义域上的增函数，求实数a的取值集合．答案和解析1.【答案】D【解析】解：根据题意，命题“，”的否定为，，故选：根据题意，由全称命题、特称命题的关系，分析可得答案．本题考查命题的否定，涉及全称命题、特称命题的关系，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：，，，故选：可求出集合A，B，然后进行补集和并集的运算即可．本题考查了描述法和区间的定义，对数函数的单调性，交集和并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：，，故选：根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：因为等差数列中，，，则故选：由已知结合等差数列的求和公式及性质即可求解．本题主要考查了等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由题意知圆台母线长为，且上底面圆周为，下底面圆周为，圆台侧面展开图为圆环的一部分，圆环所在的小圆半径为：，则圆环所在的大圆半径为，侧面展开图的面积为故选：由题意求得圆台的侧面展开图为圆环的一部分，求出小圆和大圆半径即可求出答案．本题考查圆台的侧面展开图的面积的求法，考查圆台的结构特征、侧面展开图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】C【解析】解：，若，，故选：由已知利用同角三角函数基本关系式可求，利用降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简所求即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：设上切点，曲线的导数为，由题意得，可得，又a，b为正实数，，当且仅当即时，上式等号成立，的最小值是9，故选：由题意列式求得，然后结合1的代换利用基本不等式求最值．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求最值的方法，是中档题．8.【答案】B【解析】解：过P作准线的垂线，垂足为Q，由，可得，由题意如图所示：在中，可，由抛物线的性质可得，所以，在中，由正弦定理可得：，所以，故选：过P作准线的垂线，垂足为Q，由，可得，求出的值，由抛物线的性质可得，由正弦定理可得的值．本题考查抛物线的性质的应用及三角形的正弦定理的应用，属于中档题．9.【答案】BD【解析】解：对于A，，当时，，故A错误，对于B，，，，故B正确，对于C，令，，，满足非零实数，但，故C错误，对于D，，，，，故D正确．故选：根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．本题主要考查不等式的性质，以及特殊值法，属于基础题．10.【答案】BC【解析】【分析】本题考查频率分布折线图，属于基础题．根据频率分布折线图是连接频率分布直方图中各长方形中上端的中点得到的折线图，结合频率分布直方图中各数据的计算可判断每个选项的正误．【解答】解：这100名教师的测试成绩的最高分和最低分都无法确定，则极差不确定，故A错误；由图可知，这100名教师的测试成绩的众数为分，故B正确；这100名教师中测试分数不低于90分的人数占，故C正确；设这100名教师测试成绩的中位数为a，则，解得，故D错误．故选：11.【答案】BCD【解析】解：函数，将图像上所有的点向左平移个单位长度后得到函数的图像，若是偶函数，则，，即，，，，在上，，而恰有一个极值点，，求得，故选：由题意，利用函数的图象变换规律，余弦函数的图象和极值点，求得的范围，可得结论．本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的图象和极值点，属于中档题．12.【答案】BC【解析】【分析】根据平面向量线性运算，平面向量垂直性质，平面向量数量积定义，向量夹角公式即可求解．本题考查平面向量线性运算，平面向量垂直性质，平面向量数量积定义，向量夹角公式，属中档题．【解答】解：对A，如图，过O作OH垂直AB于点H，则H为AB的中点，，又，，，，错误；对B，，，为BC中点，为直径，，正确；对C，，设，则，由两边平方得，解得，，，又，，正确；对D，，，，，，为直径，错误．故选：13.【答案】1【解析】解：因为是奇函数，由奇函数性质可得，所以，整理得恒成立，所以故答案为：由已知结合奇函数的定义代入即可求解a的值．本题主要考查了奇函数的定义的应用，属于基础题．14.【答案】1【解析】解：设点关于直线PN对称的点为，则，由定义可知，，设，则，则，即，故答案为：设点关于直线PN对称的点为，结合定义得出，再由距离公式得出点N到坐标原点O的距离．本题考查了双曲线的定义和性质，属于中档题．15.【答案】【解析】【分析】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用。
2021-2022学年辽宁省重点高中沈阳市市郊联体高一下学期期中考试数学试题(解析版)
辽宁省重点高中沈阳市市郊联体2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知(2,3),(,4)a b m ==，若a b ⊥，则(m = ) A ．6- B ．6C ．83D ．2-〖解 析〗(2,3),(,4)a b m ==，a b ⊥，∴2120a b m ⋅=+=，解得6m =-．〖答 案〗A2．某扇形的圆心角为30︒，半径为2，则该扇形的弧长为( ) A ．60B ．23π C ．6π D ．3π 〖解 析〗由弧长公式得263l r ππα==⨯=．〖答 案〗D3．在ABC ∆中，若tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos (C = )A ． BC ．12-D ．12〖解 析〗tan tan tan tan 1A B A B =++，即tan tan tan tan 1A B A B +=-， tan tan tan()11tan tan A BA B A B+∴+==--，即tan()tan 1A B C +=-=-，tan 1C ∴=，即4C π=，则cos cos4C π==． 〖答 案〗B 4．已知72333tan(),cos ,sin()634a b c πππ=-==-，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．b c a >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．a c b >>〖解 析〗7tan()tan()tan 666a ππππ=-=-+=-=， 231cos cos(8)cos 3332b ππππ==-==，33sin()sin(8)sin 444c ππππ=-=-+=-= 所以c a b <<． 〖答 案〗C5．若(3,4),(6,3),(5,3),OA OB OC m m ABC =-=-=---∠为锐角，则实数m 的取值范围是()A ．3(,)4-∞-B ．113(,)(,)224-∞---C ．311(,)(,)422-+∞D ．3(,)4-+∞〖解 析〗根据题意，(3,4)OA =-，(6,3)OB =-，(5,3)OC m m =---， 则(3,1)BA =--，(1,)BC m m =---，若ABC ∠为锐角，则0BA BC ⋅>且BA 、BC 不共线， 则有3(1)0(1)(1)(3)()m m m m ---+>⎧⎨-⨯--≠--⎩，解可得34m >-且12m ≠，即m 的取值范围为3(4-，11)(22⋃，)+∞．〖答 案〗C6．已知θ为第四象限角，sin cos θθ+=，则sin cos (θθ-= )A ．B ．C D〖解 析〗θ为第四象限角，sin cos θθ+= 21(sin cos )12sin cos 5θθθθ∴+=+=，sin 0θ<，cos 0θ>， 2sin cos 5θθ∴=-，sin cos θθ∴-==== 〖答 案〗B7．公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄，其近似值为0.618，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为2sin18a =︒，若24a b +=，则2(1cos72a b =-︒)A ．12B ．2CD ．4〖解 析〗2sin18a =︒，若24a b +=，2222444sin 184(1sin 18)4cos 18b a ∴=-=-︒=-︒=︒，∴2222241841843621cos721cos72236a b sin cos sin sin ︒⋅︒===-︒-︒︒． 〖答 案〗B8．函数2cos()(0y x ωϕω=+>，0)ϕπ<<为奇函数，该函数的部分图像如图所示．A ，B分别为最高点、最低点，且||AB =( )A ．(2,0)B ．(,0)2πC ．(,0)4πD ．(4,0)〖解 析〗由2cos()y x ωϕ=+为奇函数，知2k πϕπ=+，k Z ∈，又0ϕπ<<，所以2πϕ=，所以2cos()2sin 2y x x πωω=+=-， 由图知，2A y =，2B y =-，因为||AB =，所以4A B x x -=，即142T =，所以8T =，而2T πω=，所以4πω=，所以2sin4y x π=-，令4x k ππ=，k Z ∈，则4x k =，k Z ∈，所以该函数图像的一个对称中心的坐标为(4,0)，即选项D 正确． 〖答 案〗D二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 9．曲线2tan(3)4y x π=+的对称中心可能是( )A ．(36π，0)B ．7(12π-，0)C ．13(12π，0)D ．(12π-，0)〖解 析〗令3()42k x k Z ππ+=∈．则()612k x k Z ππ=-∈． 当36x π=时，2tan3y π=，故A 错误；当1312x π=时，42tan 3y π=，故C 错误； 当3k =-时，712x π=-，7(12π-，0)为其对称中心，故B 正确；当0k =时，12x π=-，(12π-，0)为其对称中心，故D 正确．〖答 案〗BD10．下列说法错误的是( )A ．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是6π B ．若角2rad α=，则角α为第二象限角 C ．若角α为第一象限角，则角2α也是第一象限角 D ．在区间(,)22ππ-内，函数tan y x =与sin y x =的图像有3个交点〖解 析〗对于A ：将表分针拨快5分钟，则分针转过的角度为30︒，故A 正确； 对于B ：因为角22()114.6180rad πα==⨯︒≈︒，所以角α为第二象限角，故B 正确；对于C ：若α为第一象限角，不妨取390α=︒， 则角1952α=︒为第三象限角，故C 错误；对于D ：作出函数tan y x =与sin y x =的图像：在区间(2π-，)2π上，函数tan y x =与sin y x =只有一个交点，故D 错误． 〖答 案〗CD11．已知函数()cos22sin()cos()22f x x x x ππ=--+，则( )A ．()1f x 的解集为[,],4k k k Z πππ+∈ B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的图像关于直线8x π=对称D ．()f x 在3[,]88ππ-上单调递减〖解 析〗()cos22sin()cos()cos22cos sin cos2sin222f x x x x x x x x x ππ=--+=+=+)4x π=+，选项A ，令())14f x x π+，则2sin(2)42x π+，解得2[244x k πππ+∈+，32]4k ππ+，k Z ∈，所以[x k π∈，]4k ππ+，k Z ∈，即选项A 正确；选项B ，最小正周期22T ππ==，即选项B 正确； 选项C ，令242x k πππ+=+，k Z ∈，则82k x ππ=+，k Z ∈，所以()f x 图象的对称轴为8x π=，即选项C 正确； 选项D ，令2[242x k πππ+∈+，32]2k ππ+，k Z ∈，则[8x k ππ∈+，5]8k ππ+，k Z ∈，即选项D 错误． 〖答 案〗ABC12．已知函数()2sin()f x x a ωϕ=++，0ω>，则下列结论正确的是( ) A ．若对于任意的x R ∈，都有()1f x 成立，则1a - B ．若对于任意的x R ∈，都有()()f x f x π+=成立，则2ω=C ．当3πϕ=时，若()f x 在[0,]2π上单调递增，则ω的取值范围为1(0,]3D ．当a =R ϕ∈，函数()f x 在[0,]2π上至少有两个零点，则ω的取值范围为[4，)+∞〖解 析〗对于A ，对于任意的x R ∈，都有()1f x 成立，所以12sin()a x ωϕ-+恒成立，又sin()[1x ωϕ+∈-，1]，12sin()[1x ωϕ-+∈-，3]，1a ∴-，故A 正确；对于B ，由题可得π是函数的周期，但不能推出函数的最小正周期为π，故B 错误； 对于C ，当3πϕ=时，当[0,]2x π∈时，[,]3323x ππωππω+∈+，则,0232ωπππω+>，故103ω<，故C 正确；对于D ，当a =[0,]2x π∈时，[,]2x ωπωϕϕϕ+∈+，由()2sin()f x x ωϕ=+在[0,]2π上至少有两个零点， 则22ωπϕϕπ+-，即4ω，故D 正确．〖答 案〗ACD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知角α的终边上一点(1,2)P -，则2sin 2cos αα-的值为 ． 〖解 析〗因为角α的终边上一点(1,2)P -，所以2tan 21α==--， 所以222222sin cos 2tan 12(2)1sin 2cos 1141cos sin cos tan ααααααααα--⨯---====-+++．〖答 案〗1-14．在ABC ∆中，5cos 13A =-，3sin 5B =，则cos C = ．〖解 析〗ABC ∆中，5cos 13A =-，A ∴为钝角，故12sin 13A =； 3sin 5B =，4cos 5B ∴=， 则5412356cos cos()(cos cos sin sin )()13513565C A B A B A B =-+=--=---=． 〖答 案〗566515．如图，在正方形ABCD 中，2AB =，E 为BC 的中点，点P 是以AB 为直径的圆弧上任一点．则AE AP ⋅的最大值为 ．〖解 析〗如图，取AB 中点O ，以O 点为原点，以AB 所在直线为x 轴，如图建立平面直角坐标系，设POB θ∠=，结合题意，可知(1,0)A -，(1,0)B ，(1,1)E ，(cos P θ，sin )([0θθ∈，])π， 所以(cos 1,sin )AP θθ=+，(2,1)AE =，所以2cos sin 2)225AE AP θθθϕ⋅=++=+++， 当且仅当sin()1θϕ+=时等号成立，∴AE AP ⋅的最大值为2．〖答 案〗2+16．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=->恰有3条对称轴在(0,)2π上，且()12f π=，则函数()f x 的单调递增区间是 ．〖解 析〗根据辅助角公式：数()cos (0)2sin()6f x x x x πωωωω->=-，设6x πθω=-，则当(0,)2x π∈时，(66x ππθω=-∈-，)26ωππ-， 而sin y θ=的对称轴符合()2k k Z πθπ=+∈的形式，恰有三条对称轴时，这三条对称轴为35,,222πππθ=， ∴57(,)2622ωππππ-∈，解得1622(,]33ω∈，此时当57,(,]22622x ππωπππθ==-∈，令6[264x k πππ-∈-，2]2k ππ+，k Z ∈，解得[318k x ππ∈-，]39k ππ+，k Z ∈． 〖答 案〗[318k ππ-，]39k ππ+，k Z ∈ 四、解答题（本大题共6小题，共70分。
黄金分割点发现历史
黄金分割点发现历史由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。
公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。
他认为所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比。
而计算黄金分割最简单的方法，是计算斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，...后二数之比2/3,3/5,5/8,8/13,13/21,...近似值的。
黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为"金法"，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为"各种算法中最可宝贵的算法"。
这种算法在印度称之为"三率法"或"三数法则"，也就是我们现在常说的比例方法。
公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。
中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。
德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。
其实有关"黄金分割"，我国也有记载。
虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的，后来传入了印度。
经考证。
欧洲的比例算法是源于我国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊传入的。
到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。
黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。
最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代由华罗庚提倡在中国推广。
几何作法已知线段AB，按照如下方法作图：（1）经过点B作BD⊥AB，使BD= AB/2.（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点数值通常用希腊字母φ表示这个值。
课题研究 黄金分割点
研究课题：黄金分割点以及其由来应用和事例主要步骤：1.上网及在图书馆查阅资料。
2.归纳整理。
3.记录。
4.检查正文黄金分割点的由来因公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。
黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为"金法"，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为"各种算法中最可宝贵的算法"。
这种算法在印度称之为"三率法"或"三数法则"，也就是我们现在常说的比例方法。
公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。
中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学家帕乔利称中外比为神圣比例，并专门为此著书立说。
德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。
到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。
黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛:最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代由华罗庚提倡在中国推广。
特点把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是一个无理数，用分数表示为(√5-1)/2，取其前三位数字的近似值是0.618。
由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。
这个分割点就叫做黄金分割点（）这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似表示，通常用希腊字母φ表示这个值。
黄金分割奇妙之处，在于其比例与其倒数是一样的。
例如：1.618的倒数是0.618，而1.618:1与1:0.618是一样的。
价值1.黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。
应用时一般取0.618 ，就像圆周率在应用时取3.14一样。
2021届山西省太原市高三第二学期模拟考试(一)(一模)数学(文科)试卷【含答案】
2021届山西省太原市高三第二学期模拟考试(一)（一模）数学(文科)试卷(考试时间：下午3：00－5：00)注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，第I卷1至4页，第II卷5至8页。
2.回答第I卷前，考生务必将自己的姓名考试编号填写在答题卡上。
3.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
4.回答第II卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3}，B＝{1，3，5}，则A∪(∁U B)＝A.{2，3，4}B.{2}C.{1，5}D.{1，3，4，5}2.已知复数z满足z(1－i)＝2i，则复数z＝A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i3.公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割数512，其近似值为0.618，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a＝2sin18°，若a2＋b＝4，则2a b1cos72-︒＝A.12B.251+D.44.函数f(x)＝cos(sinx)的部分图象大致是5.在区间[－1，1]上任取一个实数k ，则使得直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1有公共点的概率是 A.32 B.22 C.33 D.126.已知a ，b 为单位向量，且满足|a －b|2，则|2a ＋b|＝ 3 7 5 27.已知{a n }是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且{S n }是等差数列，给出以下结论错误的是A.{a n ＋S n }是等差数列B.{a n ·S n }是等比数列C.{a n 2}是等差数列D.n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列 8.已知实数x ，y 满足3x y 302x 3y 90x 2y 10+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则z ＝2x y 3x 2+--的取值范围是A.(－∞，1]∪(2，4]B.[1，2)∪(2，4]C.[1，2)∪[4，＋∞)D.(－∞，1]∪[4，＋∞) 9.已知a ＝2ln3π，b ＝3ln2π，c ＝2ln π3，则下列结论正确的是 A.b<c<a B.c<b<a C.b<a<c D.a<b<c10.已知正四面体ABCD 的棱长为4，点E 在棱AB 上，且BE ＝3AE ，过E 作四面体ABCD 外接球的截面，则所作截面面积的最小值为 A.103π B.3π C.3π311.已知过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F(12，0)的直线与该抛物线相交于A ，B 两点，若△AOF 的面积与△BOF(O 为坐标原点)的面积之比是2，则|AB|＝ A.94 B.134 C.54 D.7412.已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<2π)的图象关于x ＝－3π对称，且f(6π)＝0，将f(x)的图象向右平移3π个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是 A.φ＝3π B.若g(x)是奇函数，则ω的最小值为1C.若f(x)在[3π，2π]上单调递增，则ω∈(0，23]D.若g(x)是周期最大的偶函数，则f(x)在[0，16π]上单调递增太原市2021年高三年级模拟考试(－～)数学试卷(理科) 第II 卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
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公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。
公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。
经过计算得出结沦：长段(假设为a)与短段(假设为b)之比为1：o．618，其比值为L 618．可用公式
a：b=(a+b):a
表达，并存在着的数学关系．此时，长段长度的平方又恰等于整个木棒与短段长度的乘积，即a=(a+b)b
这一神奇的比例关系，后来被古希腊著名哲学家、美学家柏拉图誉为“黄金分割律”，简称“黄金律”、“黄金比”．这里用“黄金”两字来形容这个规律的重要性，可谓是恰如其分．更奇妙的是，1除以1．618恰等于o．618，而其他数字均无此特征．例如：I除以1．718不等手o，718；1除以1．518不等于O，518……1与o．618之差的O．382，其与o．618之比也
如何发现的传家毕达哥拉斯(PInthagoras)有一天路过一铁匠铺，被清脆悦耳的打铁声吸引住了，驻足细听，凭直觉认定这声音有“秘密”！他走进铺里，仔细测量了铁砧和铁锤的大小，发现它们之间的比例近乎于1：o．618．回家后，他拿来一根木棒，让他的学生在这根木棒上刻下一个记号，其位置既要使木棒的两端距离不相等，又要使人看上去觉得满意。经多次实验得到一个非常一致的结果，即用C点分割木棒AB，整段AB与长段cB之比，等于长段CB与短段CA之比．毕这哥拉斯接着又发现，把较短的一段放在较长的一段上面，也产生同样的比例：以致于无穷(见图5—5—1)
等于o．618(精确到o．001)。因此，说黄金分割的比值是1．618(长段：短段)或是o．618(短段：长段)，都是正确的．数学家们还发现2：3或3：5或5：8等都是黄金比的近似值，并以分子分母之和为新的分母(原分母为分子)而递增，即3／5．5／8．8／13，，13／21，21／34．34／55、55／88……数字越大，其分子分母的比值就越接近O．618，数学上将此称为“弗波纳齐数列”。根据这个数列规律，又可从“线段”黄金比求出“面积”黄金比．近代建筑学家勒．柯布西埃就是根据此数列发明了“黄金尺”(建筑标准尺，以I．6倍略强的比例递增)。中世纪数学家开普勒(Kepler)将黄金分割律和勾股定理并称为“几何学中的两大宝藏”。19世纪威尼斯数学家帕乔里将黄金分割律誉为“神赐的比例”．
中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。
到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代在中国推广。