量子力学辅导PPT课件
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量子力学优秀课件
[Fˆ ,Gˆ ] | n 0
c | n 0 但由题意知 c | n 0
这是相互矛盾旳， 即全部能级都简并。
23
设能级 En 的简并度为fn（fn 1），
本征态记为 | n v (v 1,2,, fn )，
在此 fn 维态空间中求矩阵 FG 的迹（trace）
tr(FˆGˆ ) fn nv | (FˆGˆ ) | nv v1
即能量本征态必有确定的宇称，其宇称就 是宇称算符Pˆ的本征值：
Pˆ n (x) n (x) (1)n n (x) 即宇称为(1)n
22
推论2 定理中如[Fˆ ,Gˆ ] c（为不等于0的常数）,
则体系全部能级都简并，而且简并度为无穷大
证明：（用反证法） 首先，设某能级 En不简并，上面已证明
10
②量子力学各守恒量不一定都可同步取确 定值，除非在同一种守恒量完全集中。 如中心力场中，
L是守恒量，Lx , Ly , Lz自然都是守恒量
但一般不能同时有确定值.
但特殊情况l 0时，Y00是它们的共同 本征态。因而此时它们同步有拟定值0。
11
③守恒量与定态旳异同
（1）概念不同 a. 定态是能量取拟定值旳状态—能量本征态 b.守恒量是特殊旳力学量，要满足一定条件
Lˆ2Y l(l 1)2Y 的形式,故Lˆ不取确定值。
9
守恒量是否处于某本征态由初始条件拟定: 假设力学量A是守恒量：
测值几率分布不随时间变化
a. 若初始时为A旳本征态，则体系保持本征态；? 本征态相应旳量子数称为好量子数
b. 若初始时没有处于 A 旳本征态，则后来任意 时刻也不会处于本征态，但是测值几 率不随 时间变化。
]
i
( pˆ x2
c | n 0 但由题意知 c | n 0
这是相互矛盾旳， 即全部能级都简并。
23
设能级 En 的简并度为fn（fn 1），
本征态记为 | n v (v 1,2,, fn )，
在此 fn 维态空间中求矩阵 FG 的迹（trace）
tr(FˆGˆ ) fn nv | (FˆGˆ ) | nv v1
即能量本征态必有确定的宇称，其宇称就 是宇称算符Pˆ的本征值：
Pˆ n (x) n (x) (1)n n (x) 即宇称为(1)n
22
推论2 定理中如[Fˆ ,Gˆ ] c（为不等于0的常数）,
则体系全部能级都简并，而且简并度为无穷大
证明：（用反证法） 首先，设某能级 En不简并，上面已证明
10
②量子力学各守恒量不一定都可同步取确 定值，除非在同一种守恒量完全集中。 如中心力场中，
L是守恒量，Lx , Ly , Lz自然都是守恒量
但一般不能同时有确定值.
但特殊情况l 0时，Y00是它们的共同 本征态。因而此时它们同步有拟定值0。
11
③守恒量与定态旳异同
（1）概念不同 a. 定态是能量取拟定值旳状态—能量本征态 b.守恒量是特殊旳力学量，要满足一定条件
Lˆ2Y l(l 1)2Y 的形式,故Lˆ不取确定值。
9
守恒量是否处于某本征态由初始条件拟定: 假设力学量A是守恒量：
测值几率分布不随时间变化
a. 若初始时为A旳本征态，则体系保持本征态；? 本征态相应旳量子数称为好量子数
b. 若初始时没有处于 A 旳本征态，则后来任意 时刻也不会处于本征态，但是测值几 率不随 时间变化。
]
i
( pˆ x2
量子力学简介PPT课件
i Et
Ψ (x, y, z, t) (x, y, z)e
2023/12/30
对于等式右边： 1 ( 2 2 V ) E
2m
量子力学简介
说明
2 2 V E
2m
——定态薛定谔方程
(x,y,z)应为单值函数;
(1) 标准条件： |Ψ |2dxdydz 1 应为有限值；
(2) 求解
, , ,
量子力学简介
2. 一维粒子在外保守力场中运动时具有势能 V
粒子的总能量： E p2 V
2m
同理，有：
Ψ
2 2
i
V
t
2m x2
推广：粒子在三维空间中运动时:
引入拉普拉斯算符: 2
2
x 2
2 y 2
2 z 2
i Ψ 2 2 V ——薛定谔方程
t
2m
定义哈密顿算符:
Hˆ
2
2
V
(r )
应连续.
x y z
E （粒子能量）
（定态波函数）
(3) 势能函数V 不随时间变化.
以一维定态薛定谔方程（粒子在一维空间运动)为例讨论．
2023/12/30
17.4 一维定态问题
量子力学简介
17.4.1 一维无限深方势阱
1. 势能函数
0 V (x)
2. 定态薛定谔方程
0 xa x 0，x a
1.22
应用举例
电子显微镜分辨率 远大于
光学显微镜分辨率
20世纪30年代, 电子显微镜诞生了.电子显微镜是利用高 速运动的电子束代替光线来观察物体的细微结构的, 放大倍 数比光学显微镜高许多, 可以达到几十万倍.电子显微镜大大 开阔了人们的视野, 使人们看到了细胞更细微的结构.
《量子力学》课件
贝尔不等式实验
总结词
验证量子纠缠的非局域性
详细描述
贝尔不等式实验是用来验证量子纠缠特性的重要实验。通过测量纠缠光子的偏 振状态，实验结果违背了贝尔不等式，证明了量子纠缠的非局域性，即两个纠 缠的粒子之间存在着超光速的相互作用。
原子干涉仪实验
总结词
验证原子波函数的存在
详细描述
原子干涉仪实验通过让原子通过双缝，观察到干涉现象，证明了原子的波函数存在。这个实验进一步 证实了量子力学的预言，也加深了我们对微观世界的理解。
量子力学的意义与价值
推动物理学的发展
量子力学是现代物理学的基础之一，对物理学的发展产生了深远 的影响。
促进科技的创新
量子力学的发展催生了一系列高科技产品，如电子显微镜、晶体 管、激光器等。
拓展人类的认知边界
量子力学揭示了微观世界的奥秘，拓展了人类的认知边界。
量子力学对人类世界观的影响
01 颠覆了经典物理学的观念
量子力学在固体物理中的应用
量子力学解释了固体材料的电子 结构和热学性质，为半导体技术 和超导理论的发现和应用提供了
基础。
量子力学揭示了固体材料的磁性 和光学性质，为磁存储器和光电 子器件的发展提供了理论支持。
量子力学还解释了固体材料的相 变和晶体结构，为材料科学和晶
体学的发展提供了理论基础。
量子力学在光学中的应用
复数与复变函数基础
01
复数
复数是实数的扩展，包含实部和虚部，是量子力 学中描述波函数的必备工具。
02
复变函数
复变函数是定义在复数域上的函数，其性质与实 数域上的函数类似，但更为丰富。
泛函分析基础
函数空间
泛函分析是研究函数空间的数学分支，函数空间中的元素称为函数或算子。
量子力学(全套) ppt课件
1 n2
人们自然会提出如下三个问题：
1. 原子线状光谱产生的机制是什么？ 2. 光谱线的频率为什么有这样简单的规律？
nm
3. 光谱线公式中能用整数作参数来表示这一事实启发我们 思考： 怎样的发光机制才能认为原子P的PT课状件态可以用包含整数值的量来描写12 。
从前，希腊人有一种思想认为：
•2.电子的能量只是与光的频率有关，与光强无关，光
强只决定电子数目的多少。光电效应的这些规律是经典
理论无法解释的。按照光的电磁理论，光的能量只决定
于光的强度而与频率无关。
PPT课件
24
（3） 光子的动量
光子不仅具有确定的能量 E = hv，
而且具有动量。根据相对论知，速度 为 V 运动的粒子的能量由右式给出：
nm
11
谱系
m
Lyman
1
Balmer
2
Paschen
3
Brackett
4
Pfund
5
氢原子光谱
n 2,3,4,...... 3,4,5,...... 4,5,6,...... 5,6,7,...... 6,7,8,......
区域 远紫外 可见 红外 远红外 超远红外
RH
C
1 m2
自然之美要由整数来表示。例如：
奏出动听音乐的弦的长度应具有波长的整数倍。
这些问题，经典物理学不能给于解释。首先，经典物理学不能 建立一个稳定的原子模型。根据经典电动力学，电子环绕原子 核运动是加速运动，因而不断以辐射方式发射出能量，电子的 能量变得越来越小，因此绕原子核运动的电子，终究会因大量 损失能量而“掉到”原子核中去，原子就“崩溃”了，但是， 现实世界表明，原子稳定的存在着。除此之外，还有一些其它 实验现象在经典理论看来是难以解释的，这里不再累述。
量子力学ppt
详细描述
量子计算和量子通信是量子力学的重要应用之一，具有比传统计算机和通信更高的效率和安全性。
量子计算是一种基于量子力学原理的计算方式，具有比传统计算机更快的计算速度和更高的安全性。量子通信是一种基于量子力学原理的通信方式，可以保证通信过程中的安全性和机密性。这两个应用具有广泛的应用前景，包括密码学、金融、人工智能等领域。
薛定谔方程
广泛应用于原子、分子和凝聚态物理等领域，可以用于描述物质的量子性质和现象。
薛定谔方程的应用
哈密顿算符与薛定谔方程
03
量子力学中的重要概念
是量子力学中的一种重要运算符号，用于描述量子态之间的线性关系，可以理解为量子态之间的“距离”。
狄拉克括号
是一种量子化方法，通过引入正则变量和其对应的算符，将经典物理中的力学量转化为量子算符，从而建立量子力学中的基本关系。
描述量子系统的状态，可以通过波函数来描述。
量子态与波函数
量子态
一种特殊的函数，可以表示量子系统的状态，并描述量子粒子在空间中的概率分布。
波函数
波函数具有正交性、归一性和相干性等性质，可以用于计算量子系统的性质和演化。
波函数的性质
一种操作符，可以用于描述物理系统的能量和动量等性质。
哈密顿算符
描述量子系统演化的偏微分方程，可以通过求解该方程得到波函数和量子系统的性质。
量子优化
量子优化是一种使用量子计算机解决优化问题的技术。最著名的量子优化算法是量子退火和量子近似优化算法。这些算法可以解决一些经典优化难以解决的问题，如旅行商问题、背包问题和图着色问题等。然而，实现高效的量子优化算法仍面临许多挑战，如找到合适的启发式方法、处理噪声和误差等。
量子信息中的量子算法与量子优化
解释和预测新材料的物理性质，如超导性和半导体性质等。
量子计算和量子通信是量子力学的重要应用之一，具有比传统计算机和通信更高的效率和安全性。
量子计算是一种基于量子力学原理的计算方式，具有比传统计算机更快的计算速度和更高的安全性。量子通信是一种基于量子力学原理的通信方式，可以保证通信过程中的安全性和机密性。这两个应用具有广泛的应用前景，包括密码学、金融、人工智能等领域。
薛定谔方程
广泛应用于原子、分子和凝聚态物理等领域，可以用于描述物质的量子性质和现象。
薛定谔方程的应用
哈密顿算符与薛定谔方程
03
量子力学中的重要概念
是量子力学中的一种重要运算符号，用于描述量子态之间的线性关系，可以理解为量子态之间的“距离”。
狄拉克括号
是一种量子化方法，通过引入正则变量和其对应的算符，将经典物理中的力学量转化为量子算符，从而建立量子力学中的基本关系。
描述量子系统的状态，可以通过波函数来描述。
量子态与波函数
量子态
一种特殊的函数，可以表示量子系统的状态，并描述量子粒子在空间中的概率分布。
波函数
波函数具有正交性、归一性和相干性等性质，可以用于计算量子系统的性质和演化。
波函数的性质
一种操作符，可以用于描述物理系统的能量和动量等性质。
哈密顿算符
描述量子系统演化的偏微分方程，可以通过求解该方程得到波函数和量子系统的性质。
量子优化
量子优化是一种使用量子计算机解决优化问题的技术。最著名的量子优化算法是量子退火和量子近似优化算法。这些算法可以解决一些经典优化难以解决的问题，如旅行商问题、背包问题和图着色问题等。然而，实现高效的量子优化算法仍面临许多挑战，如找到合适的启发式方法、处理噪声和误差等。
量子信息中的量子算法与量子优化
解释和预测新材料的物理性质，如超导性和半导体性质等。
量子力学ppt课件
To see a world in a grain of sand and a heaven in a wild flower Hold infinite in the palm of your hand and eternity in an hour.
一粒沙里有一个世界 一朵花里有一个天堂 把无穷无尽握于手掌 永恒宁非是刹那时光 (荷兰，乌仑贝克，1925年电子自旋发现者）
一． 黑体辐射问题
黑体：一个物体能全部吸收辐射在它上面的电磁波而无反 射。 热辐射：任何物体都有热辐射。 当黑体的辐射与周围物体处于平衡状态时的能量分布：
热力学+特殊假设→维恩公式, (长波部分不一致). 经典电动力学+统计物理学→瑞利金斯公式（短波部分完 全不一致） 二．光电效应
光照在金属上有电子从金属上逸出的现象，这种电子叫光 电子。光电效应的规律： （1）存在临界频率 ； （2）光电子的能量只与光的频率有关，与光强无关，光 频率越高，光电子能量越大，光强只影响光电子数目。光 强越大，光电子数目越多。
1921诺贝尔物理学奖
• A.爱因斯坦 • 对现代物理方面的
贡献，特别是阐明 光电效应的定律
二、爱因斯坦光量子理论
爱因斯坦在普朗克能量子论基础上进一步提出光量 子（或光子）的概念。辐射场是由光量子组成的，光 具有粒子特性，既有能量，又有动量。
光是以光速 c 运动的微粒流，称为光量子（光子）
光子的能量 h 说明光具有微粒性
m m0
1
v2 c2
h
n
c
h 0
c
n0
X
mv
0
2h m0c
sin2
2
康普顿散射公式
c
h m0c
一粒沙里有一个世界 一朵花里有一个天堂 把无穷无尽握于手掌 永恒宁非是刹那时光 (荷兰，乌仑贝克，1925年电子自旋发现者）
一． 黑体辐射问题
黑体：一个物体能全部吸收辐射在它上面的电磁波而无反 射。 热辐射：任何物体都有热辐射。 当黑体的辐射与周围物体处于平衡状态时的能量分布：
热力学+特殊假设→维恩公式, (长波部分不一致). 经典电动力学+统计物理学→瑞利金斯公式（短波部分完 全不一致） 二．光电效应
光照在金属上有电子从金属上逸出的现象，这种电子叫光 电子。光电效应的规律： （1）存在临界频率 ； （2）光电子的能量只与光的频率有关，与光强无关，光 频率越高，光电子能量越大，光强只影响光电子数目。光 强越大，光电子数目越多。
1921诺贝尔物理学奖
• A.爱因斯坦 • 对现代物理方面的
贡献，特别是阐明 光电效应的定律
二、爱因斯坦光量子理论
爱因斯坦在普朗克能量子论基础上进一步提出光量 子（或光子）的概念。辐射场是由光量子组成的，光 具有粒子特性，既有能量，又有动量。
光是以光速 c 运动的微粒流，称为光量子（光子）
光子的能量 h 说明光具有微粒性
m m0
1
v2 c2
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2
康普顿散射公式
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h m0c
第一章-量子力学基础PPT课件
结构化学
王荣顺 等 编著
讲授：陈喜 （副教授）
2021/3/12
1
Байду номын сангаас
结构化学课程内容
· 微观粒子运动所遵循的量子力学规律 ·原子结构（原子中电子的分布和能级） ·分子结构（化学键性质和分子能量状态） ·晶体结构（晶体场理论，晶体初步） ·实验方法（IR、NMR、EPR、PES等）
2021/3/12
2
结构化学的学习方法
❖ 理论联系实际 理论来源于实践，被实践检验，反过来又指导 实践；在实践的基础上建立模型，近似和假定 才可以得出合理的结果。
❖ 学会抽象思维和运用数学工具 抓住问题的关键，采用简化的数学模型。
❖ 恰当的运用类比，模拟以及其他科学方法
2021/3/12
3
参考书目
1.《物质结构》， 潘道皑、赵成大、郑载兴，高等教育出版社，1989年。 2.《量子化学》，徐光宪，科学出版社，2008年。 3.《结构化学基础》，周公度，北京大学出版社，2009年。 4. 《结构化学多媒体版》，李炳瑞，高等教育出版社，2004年
此时增加光的强度可增加光束中单位体
积内的光子数，因而增加发射电子的速率， 使光电流增大。
2021/3/12
17
3．氢原子光谱与波尔的原子模型
当原子被电火花、电弧或其它方法激 发时，能够发出一系列具有一定频率（或波 长）的光谱线，这些光谱线构成原子光谱。
氢原子光谱实验装置图
2021/3/12
18
连续光谱 氢原子吸收光谱(Balmer系)
(4) 频率大于0的入射光照射到金属表面，
立即有电子逸出，二者几乎无时间差
2021/3/12
11
光电管的伏 安特性
王荣顺 等 编著
讲授：陈喜 （副教授）
2021/3/12
1
Байду номын сангаас
结构化学课程内容
· 微观粒子运动所遵循的量子力学规律 ·原子结构（原子中电子的分布和能级） ·分子结构（化学键性质和分子能量状态） ·晶体结构（晶体场理论，晶体初步） ·实验方法（IR、NMR、EPR、PES等）
2021/3/12
2
结构化学的学习方法
❖ 理论联系实际 理论来源于实践，被实践检验，反过来又指导 实践；在实践的基础上建立模型，近似和假定 才可以得出合理的结果。
❖ 学会抽象思维和运用数学工具 抓住问题的关键，采用简化的数学模型。
❖ 恰当的运用类比，模拟以及其他科学方法
2021/3/12
3
参考书目
1.《物质结构》， 潘道皑、赵成大、郑载兴，高等教育出版社，1989年。 2.《量子化学》，徐光宪，科学出版社，2008年。 3.《结构化学基础》，周公度，北京大学出版社，2009年。 4. 《结构化学多媒体版》，李炳瑞，高等教育出版社，2004年
此时增加光的强度可增加光束中单位体
积内的光子数，因而增加发射电子的速率， 使光电流增大。
2021/3/12
17
3．氢原子光谱与波尔的原子模型
当原子被电火花、电弧或其它方法激 发时，能够发出一系列具有一定频率（或波 长）的光谱线，这些光谱线构成原子光谱。
氢原子光谱实验装置图
2021/3/12
18
连续光谱 氢原子吸收光谱(Balmer系)
(4) 频率大于0的入射光照射到金属表面，
立即有电子逸出，二者几乎无时间差
2021/3/12
11
光电管的伏 安特性
相关主题
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(r,,)u(rr)Ylm(,) 13
其中u (r )满足方程 u(r) 2 m 2(E V (r) )l(lr 21 ) u(r)0
相当于(0,)范围内的一维运动,其行为可用径向量子数n r 描述
从波函数 的形式看，角度方向零点由 Ylm(,) 提供，径向
零点由u (r )提供。根据节点定理，对于确定的 l，径向基态无 节点(nr 0)，第 k个径向激发态 (nr k)有 k个节点。
2(x)V(x)(x)E(x)
2m
V (x)E 2 m 2 ((x x ))E 2 m 2(4x2 3 2)
322
E
V(x)42x2
2m
2m
8
2、利用连接条件定能级 定态问题中常见的一类问题是确定粒子的能量，一般方
法是求解S.eq，然后利用边界条件和连接条件确定能量本 征值。常见情况如下：
（1）束缚态中，粒子局限于有限范围内运动，因此无 限远处波函数为零；
(l1 ( n x ) ) |x a (l2 ( n x ) ) |x a
由此得
kc ao k a t ka
又有
(k a)2(ka)2 2m22aV0
令 k,aka cot
2
2
2ma2V0 2
此方程有一个解的条件（存在一个束缚态的条件）
2m 22V a022
8m22V 2 a01
11Βιβλιοθήκη 22(21* 1*2)d
2
2
(21*
1*2)
ds
0
因为束缚态边界条件是 r ,1 0 ,2 0
由于 E1 E2 ，则有
1*2d0
即1, 2正交
7
（2）质量为m的粒子处于能量为 E的本征态，波函数为
12x2
(x)Axe2
已知 V(0)0 ，求能量 E和势能函数V ( x)。
解：属于直接应用S.eq解题的例子。
（1）今有两个波函数 12AB (ex 2 2x 2/b 2 xc)e 2x2/2
它们都是能量本征态，试问它们对应的能级哪个高？ 是否相邻能级？
解：可以直接由S.eq出发求出两个态的能量差
E2E12m 2 211 212
2 mc
12
但却无法回答题目中的两个问题。利用节点法很方便！ 1 无节点，对应基态，能量最低； 2 有两个节点（本征态） x(b b24c)/2
重要性。
（1）证明：具有不同能量的两个束缚态，其波函数正交。
证明：令1, 2 分别对应能量 E1, E2 ，E1 E2；结论与势能的 具体形式无关，第一选择是从S.eq出发。
2 221V1E11
(1)
2 222V2E22
(2)
2(1)*1 *(2)并对空间积分
6
(E1 E2)
1*2d
2
2
(221* 1*22)d
1(x)Asink(x)
k 2m(EV0)/
利用边界条件1(0)0，得 0
在 xa区域，解为
E0
2(x)Bekx Bekx
k 2mE/
对于束缚态 x,0，由此得 B0
10
于是可得 1(x)Asiknx 0xa
2(x)Bekx
xa
在 xa处，势能存在有限跃变，则波函数及其导数均连续，
或波函数之对数的导数连续，
判定其描述第二激发态，能量高于 1 描述的基态；二者描 述的态不是相邻能级的态，它们之间还有一个能量本征 态，即第一激发态，具有一个节点。
问题：如果 2 不是能量本征态，情况又如何？ （2）在氢原子的一个能量本征态中，测得其轨道角动量为
零（s态），而有两个同心球面是波函数的零点。求氢 原子的能量。 解：三维有心力场系统波函数写成
（5）波函数一般应满足三个基本条件:单值 连续 有限
（6）连续方程
j
0
t
5
典型例题
1、根据S-eq解题
量子力学描述方式的最大特点是微观体系的运动状态用波 函数完全描述。波函数是几率振幅，寻求波函数是QM的最 为重要的任务。求解波函数满足的S.eq是获得波函数的基 本途径。求解时要充分认识边界条件（包括衔接条件）的
A 1 2 2 x e 2 A ( 2 x x ) e 1 2 2 x 2 A ( 1 2 x 2 ) e 1 2 2 x 2
A ( 2 2 x ) e 1 2 2 x 2 A ( 1 2 x 2 ) ( 2 x ) e 1 2 2 x 2 (4 x 2 3 2 )
（2）势能无限大处，有限能量的粒子不能逾越，波函 数为零；
（3）势能有限跃变处，波函数及其导数均连续；
（4）对于势，波函数本身连续，其导数有跃变。
V(x)(x)
(0)(0)2 m 2(0)
9
例题
粒子在势场V(x) V0
0
x0 0xa
xa
中运动（V0 0）。求至少存在一个束缚态的条件。 解：显然，在 x0处， 0 ；在 0xa区域，由S.eq知
it 22 2V(r,t)
当(势r)场满足V(定r)不态显薛含定时谔间方时程，其解是定态解 (r ,t)(r )e iE /t
H 22 2V(r)E
4
定态薛定谔方程即能量算符的本征方程 所谓定态即能量的本征态 （4）波函数的归一化条件
2d 1
(r )~c(r )描述同一态
波函数常数因子和相位因子不定性
量子力学辅导
1
整体概况
+ 概况1
您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后。
概况2
+ 您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后。
概况3
+ 您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后。 2
一、状态和波函数 二、一维势场中的粒子 三、力学量和算符 四、对易关系与表象变换 五、三维定态问题 六、近似方法 七、自旋与角动量 八、全同粒子 九、带电粒子在电磁场中的运动 十、散射问题
3
（1）微观粒子的一状、态状由态波和函波数函数(r,t)完全描述。
已| 知|2概率(r密,t（)度坐标|表|2 d象 的粒表子示处）在，d可体得积其元的Q表概象率的表示。
（2）态的叠加原理
设 1,2,n是体系可能实现的态，则它们的线性叠加
cnn 也是体系可能实现的态。 n
（3）波函数随时间的变化规律由薛定谔方程给出
3、节点法
节点即波函数的零点，用节点法解题的依据是节点定理： 对于一维束缚态，在基本区域内（不含边界点）基态无节点， 第n个激发态有n个节点。对于多维情况，由于经常存在对 称性，因而可以化为等效的一维问题。该定理的适用范围非 常广，可以用来确定波函数零点、判定量子数、排列能级顺 序、判定能量本征值等。
其中u (r )满足方程 u(r) 2 m 2(E V (r) )l(lr 21 ) u(r)0
相当于(0,)范围内的一维运动,其行为可用径向量子数n r 描述
从波函数 的形式看，角度方向零点由 Ylm(,) 提供，径向
零点由u (r )提供。根据节点定理，对于确定的 l，径向基态无 节点(nr 0)，第 k个径向激发态 (nr k)有 k个节点。
2(x)V(x)(x)E(x)
2m
V (x)E 2 m 2 ((x x ))E 2 m 2(4x2 3 2)
322
E
V(x)42x2
2m
2m
8
2、利用连接条件定能级 定态问题中常见的一类问题是确定粒子的能量，一般方
法是求解S.eq，然后利用边界条件和连接条件确定能量本 征值。常见情况如下：
（1）束缚态中，粒子局限于有限范围内运动，因此无 限远处波函数为零；
(l1 ( n x ) ) |x a (l2 ( n x ) ) |x a
由此得
kc ao k a t ka
又有
(k a)2(ka)2 2m22aV0
令 k,aka cot
2
2
2ma2V0 2
此方程有一个解的条件（存在一个束缚态的条件）
2m 22V a022
8m22V 2 a01
11Βιβλιοθήκη 22(21* 1*2)d
2
2
(21*
1*2)
ds
0
因为束缚态边界条件是 r ,1 0 ,2 0
由于 E1 E2 ，则有
1*2d0
即1, 2正交
7
（2）质量为m的粒子处于能量为 E的本征态，波函数为
12x2
(x)Axe2
已知 V(0)0 ，求能量 E和势能函数V ( x)。
解：属于直接应用S.eq解题的例子。
（1）今有两个波函数 12AB (ex 2 2x 2/b 2 xc)e 2x2/2
它们都是能量本征态，试问它们对应的能级哪个高？ 是否相邻能级？
解：可以直接由S.eq出发求出两个态的能量差
E2E12m 2 211 212
2 mc
12
但却无法回答题目中的两个问题。利用节点法很方便！ 1 无节点，对应基态，能量最低； 2 有两个节点（本征态） x(b b24c)/2
重要性。
（1）证明：具有不同能量的两个束缚态，其波函数正交。
证明：令1, 2 分别对应能量 E1, E2 ，E1 E2；结论与势能的 具体形式无关，第一选择是从S.eq出发。
2 221V1E11
(1)
2 222V2E22
(2)
2(1)*1 *(2)并对空间积分
6
(E1 E2)
1*2d
2
2
(221* 1*22)d
1(x)Asink(x)
k 2m(EV0)/
利用边界条件1(0)0，得 0
在 xa区域，解为
E0
2(x)Bekx Bekx
k 2mE/
对于束缚态 x,0，由此得 B0
10
于是可得 1(x)Asiknx 0xa
2(x)Bekx
xa
在 xa处，势能存在有限跃变，则波函数及其导数均连续，
或波函数之对数的导数连续，
判定其描述第二激发态，能量高于 1 描述的基态；二者描 述的态不是相邻能级的态，它们之间还有一个能量本征 态，即第一激发态，具有一个节点。
问题：如果 2 不是能量本征态，情况又如何？ （2）在氢原子的一个能量本征态中，测得其轨道角动量为
零（s态），而有两个同心球面是波函数的零点。求氢 原子的能量。 解：三维有心力场系统波函数写成
（5）波函数一般应满足三个基本条件:单值 连续 有限
（6）连续方程
j
0
t
5
典型例题
1、根据S-eq解题
量子力学描述方式的最大特点是微观体系的运动状态用波 函数完全描述。波函数是几率振幅，寻求波函数是QM的最 为重要的任务。求解波函数满足的S.eq是获得波函数的基 本途径。求解时要充分认识边界条件（包括衔接条件）的
A 1 2 2 x e 2 A ( 2 x x ) e 1 2 2 x 2 A ( 1 2 x 2 ) e 1 2 2 x 2
A ( 2 2 x ) e 1 2 2 x 2 A ( 1 2 x 2 ) ( 2 x ) e 1 2 2 x 2 (4 x 2 3 2 )
（2）势能无限大处，有限能量的粒子不能逾越，波函 数为零；
（3）势能有限跃变处，波函数及其导数均连续；
（4）对于势，波函数本身连续，其导数有跃变。
V(x)(x)
(0)(0)2 m 2(0)
9
例题
粒子在势场V(x) V0
0
x0 0xa
xa
中运动（V0 0）。求至少存在一个束缚态的条件。 解：显然，在 x0处， 0 ；在 0xa区域，由S.eq知
it 22 2V(r,t)
当(势r)场满足V(定r)不态显薛含定时谔间方时程，其解是定态解 (r ,t)(r )e iE /t
H 22 2V(r)E
4
定态薛定谔方程即能量算符的本征方程 所谓定态即能量的本征态 （4）波函数的归一化条件
2d 1
(r )~c(r )描述同一态
波函数常数因子和相位因子不定性
量子力学辅导
1
整体概况
+ 概况1
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概况2
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概况3
+ 您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后。 2
一、状态和波函数 二、一维势场中的粒子 三、力学量和算符 四、对易关系与表象变换 五、三维定态问题 六、近似方法 七、自旋与角动量 八、全同粒子 九、带电粒子在电磁场中的运动 十、散射问题
3
（1）微观粒子的一状、态状由态波和函波数函数(r,t)完全描述。
已| 知|2概率(r密,t（)度坐标|表|2 d象 的粒表子示处）在，d可体得积其元的Q表概象率的表示。
（2）态的叠加原理
设 1,2,n是体系可能实现的态，则它们的线性叠加
cnn 也是体系可能实现的态。 n
（3）波函数随时间的变化规律由薛定谔方程给出
3、节点法
节点即波函数的零点，用节点法解题的依据是节点定理： 对于一维束缚态，在基本区域内（不含边界点）基态无节点， 第n个激发态有n个节点。对于多维情况，由于经常存在对 称性，因而可以化为等效的一维问题。该定理的适用范围非 常广，可以用来确定波函数零点、判定量子数、排列能级顺 序、判定能量本征值等。