工程数学(本)模拟试题1及参考答案

工程数学（本）模拟试题2011.11

一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）

1. B A ,都是n 阶矩阵，则下列命题正确的是 ( ) ．

(A) B A AB = (B) 2222)(B AB A B A +-=-

(C) BA AB = (D) 若0AB =，则0A =或0B =

2. 已知2维向量组4321,,,αααα，则),,,(4321ααααr 至多是（ ）．

(A) 1 (B) 2

(C) 3 (D) 4

3. 设0AX =是n 元线性方程组，其中A 是n 阶矩阵，若条件（ ）成立，则该方程组没有非0解．

(A) n r <)(A (B) A 的行向量线性相关

(C) 0=A (D) A 是行满秩矩阵

4. 袋中放有3个红球，2个白球，第一次取出一球，不放回，第二次再取一球，则两次都是红球的概率是（ ）．

(A) 256 (B) 10

3 (C) 203 (D) 25

9 5. 设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2的样本，则（ ）是μ无偏估计．

(A) 3215

15151x x x ++ (B) 321x x x ++ (C)

321535151x x x ++ (D) 321525252x x x ++ 二、填空题（每小题3分，共15分）

1. 设B ,A 均为3阶矩阵，且3,6=-=B A ，='--3)(1B A ．

2. 设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量x ，使得x x A λ=，则称λ为A 的 ．

3. 已知2.0)(,8.0)(==AB P A P ，则=-)(B A P ．

4. 设随机变量⎥⎦

⎤⎢⎣⎡a X 5.02.0210~，则=a ．

5. 若参数θ的估计量 θ

满足E ( )θθ=，则称 θ为θ的 ． 三、计算题（每小题16分，共64分）

1设矩阵⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--------=031052,843722310B A ，I

是3阶单位矩阵，且有B X A I =-)(，求X ．

2. 求线性方程组

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++--=--+--=--=+++8

8325

92343232432143214324321x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解．

3. 设)4,3(~N X ，试求⑴)95(<X P ．（已知,8413.0)1(=Φ 9987.0)3(,9772.0)2(=Φ=Φ）

4. 某钢厂生产了一批管材，每根标准直径100mm ，今对这批管材进行检验，随机取出9根测得直径的平均值为99.9mm ，样本标准差s = 0.47，已知管材直径服从正态分布，问这批管材的质量是否合格（检验显著性水平α=00

5.，t 0058230

6.().=）

四、证明题（本题6分）

设321,,ααα是线性无关的，证明, 313221,,αααααα+++也线性无关．

试题答案及评分标准

（供参考）

一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）

1. A

2. B

3. D

4.B

5. C

二、填空题（每小题3分，本题共15分）

1. 8

2. 特征值

3.6.0

4.3.0

5. 无偏估计

三、计算题（每小题16分，本题共64分）

1. 解：由矩阵减法运算得

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---------⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-943732311843722310100010001A I ………5分 利用初等行变换得

113100237010349001113100011210010301⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦

⎥⎥⎥

→----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦

⎥⎥⎥113100011210001111110233010301001111 →---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦

⎥⎥⎥100132010301001111 即 ()I A -=---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦

⎥⎥⎥-1132301111 由矩阵乘法运算得

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-=-6515924031052111103231)(1B A I X ………16分 2. 解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------2413043250432103211188312

591234321032

111 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→0000021100432103211110550

0241212004321032111 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→0000

0211000101012001 此时齐次方程组化为 ⎪⎩⎪⎨⎧-==-=43

42412x x x x x x

令14=x ，得齐次方程组的一个基础解系

[]'--=11121X ………12分 令04=x ，得非齐次方程组的一个特解

[]'=02010X

由此得原方程组的全部解为

10kX X X += （其中k 为任意常数） ………16分

3. 解：⑴)32

31()23923235(

)95(<-<=-<-<-=<

⑵)2

3723()7(->-=>X P X P )22

3(1)223(≤--=>-=X P X P 0228.09772.01)2(1=-=Φ-= ………16分 4. 解：零假设H 0100:μ=．由于未知σ2，故选取样本函数

T x s n

t n =--μ~()1 ………5分 已知x =999.，经计算得

s 90473016==..，x s n

-=-=μ9991000160625... ………11分 由已知条件t 00582306.().=，

x s n

t -=<=μ062523068005..(). 故接受零假设，即可以认为这批管材的质量是合格的。 ………16分

四、证明题（本题6分）

证明：设有一组数321,,k k k ，使得

0)()()(313322211=+++++ααααααk k k

成立，即0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k ，由已知321,,ααα线性无关，故有

⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+00032

2131k k k k k k

该方程组只有零解，得0321===k k k ，故313221,,αααααα+++是线性无关的．证毕． ………6分

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