高等代数二次型及其矩阵表示
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高等代数课件§6.3 正定二次型与正定矩阵
f
x2 1
x2 2
5
x2 3
2t x1x2
2x1x3 4x2 x3
为正定二次型?
解
二次型的矩阵为
A
1 t 1
t 1 2
251 ,
要使二次型为正定二次型 , 则A的各阶顺序 主子式均为正 , 即
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
1＞0
（1） xTAx ＞0 ，则称 f 为正定二次型，
相应地矩阵A称为正定矩阵；
（2） xTAx ＜0 ，则称 f 为负定二次型，相应
地矩阵A称为负定矩阵；
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（3）xTAx≥ 0 ，则称 f 为半正定二次型，相应
地矩阵A称为半正定矩阵；
（4）xTAx ≤0 ，则称 f 为半负定二次型，相应
0 1 2
2
5 2
2 6
2 0
2 0 4
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解 (1) 2＞0,
2 2
1 2
5＞0,
2 1 0
1 2 1 4＞0, ∴该矩阵为正定矩阵.
0 1 2
解 (2)∵-5＞0, 5 2 26 ＞0, 2 6
, 1t
t 1
1 t 2＞0,
1t t1
1
2 5t 2 4t ＞0,
1 2 5
1 t 2＞0
因此
5t
2
4t ＜0
解之得 4＜t＜0 5
故当 4 ＜t＜0 时,该二次型为正定二次型. 5
第八章 二次型
f = ax2 + 2bxy + cy2
（1）
为了便于研究这个二次曲线的几何性质（例如判断是什么曲线）, 我们可以对它进行适 当的坐标变换
⎧x
⎨ ⎩
y
= =
x′ cosθ x′ sin θ
− +
y′ sin θ y′ cos θ
,
（2）
将 f 化成标准方程.
(1)式的右端是一个二次齐次多项式. 从代数的观点看, 所谓化标准方程就是用变量的 线性替换(2)化简一个二次齐次多项式, 使它只含有平方项.
一、配方法
配方法就是利用平方公式
(x1 + x2 +L + xn )2 = x12 + x22 +L + xn2 + 2x1x2 + 2x1x3 +L + 2x1xn + 2x2 x3 +L + +2x2 xn +L + 2xn−1xn
对已知二次型进行配方. 配方法主要有以下两种情形:
(1) 如果二次型中, 某个变量平方项的系数不为零, 如有 a11 ≠ 0 , 先将含 x1 的所有因
子都配成平方项, 然后再对其它含平方项的变量配方, 直到全配成平方和的形式.
(2) 如果二次型中没有平方项, 而有某个 aij ≠ 0(i ≠ j) , 则可作线性替换
⎧xi = yi + y j
⎪ ⎨
x
j
பைடு நூலகம்
=
yi
−
yj
⎪ ⎩
xk
=
yk ,
k ≠ i, j
化成含有平方项的二次型, 然后再配方.
例 1 将二次型
高等代数教案 北大版 第五章
教学方法与手段
讲授法 启发式
教
学
过
程
经过非退化线性替换，二次型的矩阵变成一个与之合同的矩阵.由第四章§4定理4，合同的矩阵有相同的秩，这就是说，经过非退化线性替换后，二次型矩阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对角矩阵，而对角矩阵的秩就等于它对角线上不为零的平方项的个数.因之，在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关，二次型矩阵的秩有时就称为二次型的秩.
这个定理通常称为惯性定理.
定义3在实二次型 的规范形中，正平方项的个数 称为 的正惯性指数；负平方项的个数 称为 的负惯性指数；它们的差 称为 的符号差.
应该指出，虽然实二次型的标准形不是唯一的，但是由上面化成规范形的过程可以看出，标准形中系数为正的平方项的个数与规范形中正平方项的个数是一致的，因此，惯性定理也可以叙述为：实二次型的标准形中系数为正的平方项的个数是唯一的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数.
至于标准形中的系数，就不是唯一确定的.在一般数域内，二次型的标准形不是唯一的，而与所作的非退化线性替换有关.
下面只就复数域与实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题.
设 是一个复系数的二次型，由本章定理1，经过一适当的非退化线性替换后， 变成标准形，不妨假定化的标准形是
.(1)
易知 就是 的矩阵的秩.因为复数总可以开平方，再作一非退化线性替换
是非退化时，由上面的关系即得
.
这也是一个线性替换，它把所得的二次型还原.这样就使我们从所得二次型的性质可以推知原来二次型的一些性质.
讨论、练习与作业
课后反思
授课内容
第二讲标准形
教学时数
2
授课类型
讲授
讲授法 启发式
教
学
过
程
经过非退化线性替换，二次型的矩阵变成一个与之合同的矩阵.由第四章§4定理4，合同的矩阵有相同的秩，这就是说，经过非退化线性替换后，二次型矩阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对角矩阵，而对角矩阵的秩就等于它对角线上不为零的平方项的个数.因之，在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关，二次型矩阵的秩有时就称为二次型的秩.
这个定理通常称为惯性定理.
定义3在实二次型 的规范形中，正平方项的个数 称为 的正惯性指数；负平方项的个数 称为 的负惯性指数；它们的差 称为 的符号差.
应该指出，虽然实二次型的标准形不是唯一的，但是由上面化成规范形的过程可以看出，标准形中系数为正的平方项的个数与规范形中正平方项的个数是一致的，因此，惯性定理也可以叙述为：实二次型的标准形中系数为正的平方项的个数是唯一的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数.
至于标准形中的系数，就不是唯一确定的.在一般数域内，二次型的标准形不是唯一的，而与所作的非退化线性替换有关.
下面只就复数域与实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题.
设 是一个复系数的二次型，由本章定理1，经过一适当的非退化线性替换后， 变成标准形，不妨假定化的标准形是
.(1)
易知 就是 的矩阵的秩.因为复数总可以开平方，再作一非退化线性替换
是非退化时，由上面的关系即得
.
这也是一个线性替换，它把所得的二次型还原.这样就使我们从所得二次型的性质可以推知原来二次型的一些性质.
讨论、练习与作业
课后反思
授课内容
第二讲标准形
教学时数
2
授课类型
讲授
6.1二次型的定义及其矩阵表示
对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩.
• 例1 用矩阵形式表示下列二次型 • （1） f (x, y) 5x2 8xy 3y2 • 解： a11 5, a12 a21 4, a22 3
• 所以
f
(x,
y)
x,Байду номын сангаас
y
5 4
4 x
3
y
• （2） • 解：
f
(x1, x2 , x3
a11 0, a12
一、二次型的概念
定义4.11
含有n个变量 x1 ,
x2 ,
,
x
的二次齐次函数
n
f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
称为二次型. 简记为 f f (x1, , xn )
当aij是复数时, f称为复二次型 ;
当aij是实数时, f称为实二次型 .
1/21
二、二次型的表示方法
1．用和号表示
对二次型
f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 取a ji aij , 则2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,于是
)12x, 3a2 13
x1x2
0;
2 x2
x3
a21
1 2
, a22
0, a23
1;
a31 0, a32 1, a33 1
• 所以：
0
1 2
0
A
1 2
0
• 例1 用矩阵形式表示下列二次型 • （1） f (x, y) 5x2 8xy 3y2 • 解： a11 5, a12 a21 4, a22 3
• 所以
f
(x,
y)
x,Байду номын сангаас
y
5 4
4 x
3
y
• （2） • 解：
f
(x1, x2 , x3
a11 0, a12
一、二次型的概念
定义4.11
含有n个变量 x1 ,
x2 ,
,
x
的二次齐次函数
n
f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
称为二次型. 简记为 f f (x1, , xn )
当aij是复数时, f称为复二次型 ;
当aij是实数时, f称为实二次型 .
1/21
二、二次型的表示方法
1．用和号表示
对二次型
f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 取a ji aij , 则2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,于是
)12x, 3a2 13
x1x2
0;
2 x2
x3
a21
1 2
, a22
0, a23
1;
a31 0, a32 1, a33 1
• 所以：
0
1 2
0
A
1 2
0
6.1 二次型及其矩阵表示
6
第 六 章 二 次 型
§6.1 二次型及其矩阵表示
二、二次型的矩阵表示
推导 f ( x1 , x2 , L , xn ) =
2 a11 x1 + a12 x1 x2 + L + a1n x1 x n 2 + a 21 x 2 x1 + a22 x2 + L + a2 n x2 x n
LLLLLLLLLL 2 + a n1 xn x1 + an 2 xn x2 + L + ann xn
§6.1 二次型及其矩阵表示
一、二次型的概念
定义 含有 n 个变量的二次齐次多项式称为 n 元二次型。 个变量的二次齐次 二次齐次多项式称为 二次型。
(一般) 一般)
2 2 例如 (1) f ( x , y ) = 3 x + 8 x y + 2 y
是一个二 二次型。 是一个二元二次型。
2 2 2 (2) f ( x , y , z ) = x + 2 x y + 6 x z + 2 y + 4 y z + 4 z
2 2
3 4 x = ( x, y ) . 4 2 y
4
第 六 章 二 次 型
§6.1 二次型及其矩阵表示
一、二次型的概念
试试看： 试试看： (2) f ( x , y , z ) = x 2 + 2 x y + 6 x z + 2 y 2 + 4 y z + 4 z 2
=
x1 (a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn ) + x2 (a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n x n )
5-1 二次型及其矩阵表示
第五章 实二次型 ５－１ 二次型及其矩阵表示一、２元实二次型：两个实变量ｘ，ｙ的二次齐次多项式函数。
ｆ（ｘ，ｙ）＝ａｘ２＋２ｂｘｙ＋ｃｙ２［平方项 交叉项］＝22Cy byx bxy ax +++＝()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++cy bx by ax y x＝[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x c b b a y x 二次型ｆ的矩阵Ａ 未知量矩阵Ｘｆ（Ｘ）＝ＸＴＡＸ（ＡＴ＝Ａ）叫二次型ｆ的矩阵表示式。
二元二次型ｆ−−−→←一一对应２阶实对称矩阵Ａ。
二次型ｆ的秩＝秩（Ａ）。
二、３元实二次型：三个实变量ｘ１，ｘ２ｘ３的二次齐次多项式函数。
ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ａ１１ｘ１２＋２ａ１２ｘ１ｘ２＋２ａ１３ｘ１ｘ３＋ａ２２ｘ２２＋２ａ２３ｘ２ｘ３＋ａ３３ｘ３２令ａｊｉ＝ａｉｊ，其中１≤ｉ＜ｊ≤３。
因为ｘｉｘｊ＝ｘｊｘｉ，所以ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ ａ１１ｘ１２＋ａ１２ｘ１ｘ２＋ａ１３ｘ１ｘ３＋ａ２１ｘ２ｘ１＋ａ２２ｘ２２＋ａ２３ｘ２ｘ３＋ａ３１ｘ３ｘ１＋ａ３２ｘ３ｘ２＋ａ３３ｘ３２＝[]321x x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++++333232131323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a＝[]321x x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211a a a a a a a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x 二次型ｆ的矩阵Ａ 未知量矩阵Ｘｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ＸＴＡＸ（ＡＴ＝Ａ）叫二次型ｆ的矩阵表示式。
三元二次型ｆ−−−→←一一对应３阶实对称矩阵Ａ。
二次型ｆ的秩＝秩（Ａ）例（掌握）ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ｘ１２－２ｘ２２＋３ｘ３２－４ｘ１ｘ２＋ｘ１ｘ３，ｆ的矩阵Ａ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---30210222121 ｆ的矩阵表示式：ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝[]321x x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---30210222121⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x 。
§1 二次型及其矩阵表示
或简称线性替换．
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如果系数行列式
c11 c12 ⋯ c1n
c 21 c22 ⋯ c2n det(cij ) = ≠0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ cn1 cn2 ⋯ cnn
那么该线性替换就称为是非退化的． 非退化的． 非退化的
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返回
结束
线性替换也记为 X = CY, 其中
c11 c 21 C= ⋯ cn1
2 22 2
+⋯⋯+ a x
称为数域P中一个n元二次型，简称二次型
．
2 nn n
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结束
2. 线性替换 我们看到：
x = y = 2 x′ − 5 1 x′ + 5 1 y′, 5 2 y′ 5
5x2 + 4xy + 2y2
′2 + y′2 6x
为研究二次型，我们常常希望通过变量的线性 替换化简二次型，为此，我们引入“线性替换”： “线性替换”
证明： 证明：
给定一个对称阵 A = (aij )n×n , 显然由
a11 a f (x1, x2 ,⋯, xn )= (x1 x2 ⋯xn ) 21 ⋯ an1
a12 ⋯ a1n x1 a22 ⋯ a2n x2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ an2 ⋯ ann xn
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结束
再看二次曲线的一般方程：
ax2 + 2bxy + cy2 = f
该如何作坐标变换（如何选择旋转坐标轴的角度θ, 代数语言即如何寻找满足要求的二阶方阵），使得 其方程形如 Ax′2 + By′2 = C, 从而判别原二次曲线的形状.
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如果系数行列式
c11 c12 ⋯ c1n
c 21 c22 ⋯ c2n det(cij ) = ≠0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ cn1 cn2 ⋯ cnn
那么该线性替换就称为是非退化的． 非退化的． 非退化的
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线性替换也记为 X = CY, 其中
c11 c 21 C= ⋯ cn1
2 22 2
+⋯⋯+ a x
称为数域P中一个n元二次型，简称二次型
．
2 nn n
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2. 线性替换 我们看到：
x = y = 2 x′ − 5 1 x′ + 5 1 y′, 5 2 y′ 5
5x2 + 4xy + 2y2
′2 + y′2 6x
为研究二次型，我们常常希望通过变量的线性 替换化简二次型，为此，我们引入“线性替换”： “线性替换”
证明： 证明：
给定一个对称阵 A = (aij )n×n , 显然由
a11 a f (x1, x2 ,⋯, xn )= (x1 x2 ⋯xn ) 21 ⋯ an1
a12 ⋯ a1n x1 a22 ⋯ a2n x2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ an2 ⋯ ann xn
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结束
再看二次曲线的一般方程：
ax2 + 2bxy + cy2 = f
该如何作坐标变换（如何选择旋转坐标轴的角度θ, 代数语言即如何寻找满足要求的二阶方阵），使得 其方程形如 Ax′2 + By′2 = C, 从而判别原二次曲线的形状.
§5.1 二次型及矩阵表示
B = C ′AC , | C |≠ 0 ， 则 A = (C −1 )′ BC −1 = P′BP, P = C −1 ≠ 0
若 则
A1 = C1′ AC1 , A2 = C2′ A1C2 , C1 ≠ 0, C2 ≠ 0 ，
（3）传递性：
A2 = (C1C2 )′ A(C1C2 ) = Q′AQ,
（5.1）
（5.2）
f ( x, y ) = a′x′2 + c′y′2
（5.3）
（5.1）的右边是一个二元齐次多项式，把它化为标准方程 用代数的语言来说，就是用变量替换（5.2）把二元齐次多项式 化为只含平方项的标准方程。
第五章 二次型
能不能把这个结果推广到一般的 n 元齐次多项式？ 这需要引入 n 元齐次多项式的概念。 定义1：F是一个数域，系数在F中的n个文字 x1 , x2 ," , xn 的二次齐次多项式
第五章 二次型
例如： f ( x1 ) = 3 x12 是一元二次型；
2 f ( x1 , x2 ) = 2 x12 − 6 x1 x2 + 5 x2 是二元二次型；
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + x1 x2 + 3 x1 x3 + 2 x2 + 4 x2 x3 + 3 x3
⎛ n ⎞ ⎜ ∑ a1 j x j ⎟ ⎜ jn=1 ⎟ ⎜ a x ⎟ n n n ∑ 2j j = ( x1 , x2 ,..., xn ) ⎜ j =1 ⎟ = x1 ∑ a1 j x j + x2 ∑ a2 j x j + " + xn ∑ anj x j ⎜ ⎟ j =1 j =1 j =1 # ⎜ n ⎟ ⎜ ⎜ ∑ anj x j ⎟ ⎟ ⎝ j =1 ⎠
二次型及其矩阵表示
非对称二次型：矩阵不是对称矩阵
半正定二次型：矩阵的所有特征值都是非负数
半负定二次型：矩阵的所有特征值都是非正数
实二次型：矩阵的系数都是实数
对称二次型：矩阵是对称矩阵
正定二次型：矩阵的所有特征值都是正数
负定二次型：矩阵的所有特征值都是负数
二次型的矩阵表示方法
01
02
03
04
标准二次型：二次型可以表示为矩阵乘以向量的形式，其中矩阵是对称矩阵。
02
二次型在经济学中的应用
生产函数：二次型可以用来表示生产函数，分析生产过程中的投入与产出关系。
成本函数：二次型可以用来表示成本函数，分析生产过程中的成本与产量关系。
效用函数：二次型可以用来表示效用函数，分析消费者在消费过程中的满足程度与消费量关系。
投资函数：二次型可以用来表示投资函数，分析投资者在投资过程中的收益与投资量关系。
主成分分析在二次型中的应用
01
主成分分析（PCA）是一种用于降维和多元数据分析的统计学方法。
04
02
03
在二次型中，主成分分析可以用来寻找数据的主成分，即数据的主要方向。
通过主成分分析，我们可以将二次型矩阵分解为两个矩阵的乘积，其中一个矩阵是对角矩阵，另一个矩阵是低秩矩阵。
这种分解方法可以简化二次型的计算，提高计算效率。
二次型在物理学中的应用
电磁学：二次型在电磁学中用于描述电磁场的分布和相互作用，如麦克斯韦方程组、高斯定理等。
03
量子力学：二次型在量子力学中用于描述粒子的状态和运动规律，如薛定谔方程、海森堡不确定性原理等。
04
力学：二次型在力学中用于描述物体的运动和受力情况，如牛顿第二定律、胡克定律等。
01
光学：二次型在光学中用于描述光的传播和折射现象，如菲涅尔方程、折射定律等。
半正定二次型：矩阵的所有特征值都是非负数
半负定二次型：矩阵的所有特征值都是非正数
实二次型：矩阵的系数都是实数
对称二次型：矩阵是对称矩阵
正定二次型：矩阵的所有特征值都是正数
负定二次型：矩阵的所有特征值都是负数
二次型的矩阵表示方法
01
02
03
04
标准二次型：二次型可以表示为矩阵乘以向量的形式，其中矩阵是对称矩阵。
02
二次型在经济学中的应用
生产函数：二次型可以用来表示生产函数，分析生产过程中的投入与产出关系。
成本函数：二次型可以用来表示成本函数，分析生产过程中的成本与产量关系。
效用函数：二次型可以用来表示效用函数，分析消费者在消费过程中的满足程度与消费量关系。
投资函数：二次型可以用来表示投资函数，分析投资者在投资过程中的收益与投资量关系。
主成分分析在二次型中的应用
01
主成分分析（PCA）是一种用于降维和多元数据分析的统计学方法。
04
02
03
在二次型中，主成分分析可以用来寻找数据的主成分，即数据的主要方向。
通过主成分分析，我们可以将二次型矩阵分解为两个矩阵的乘积，其中一个矩阵是对角矩阵，另一个矩阵是低秩矩阵。
这种分解方法可以简化二次型的计算，提高计算效率。
二次型在物理学中的应用
电磁学：二次型在电磁学中用于描述电磁场的分布和相互作用，如麦克斯韦方程组、高斯定理等。
03
量子力学：二次型在量子力学中用于描述粒子的状态和运动规律，如薛定谔方程、海森堡不确定性原理等。
04
力学：二次型在力学中用于描述物体的运动和受力情况，如牛顿第二定律、胡克定律等。
01
光学：二次型在光学中用于描述光的传播和折射现象，如菲涅尔方程、折射定律等。
高等代数课件 5.1 二次型及其矩阵表示
阵表示
一、二次型定义
一个系数在数域P中的 含有n个变量 定义1 x1 , x2 ,, xn 的二次齐次多项式
f ( x1 , x2 ,, xn ) = a11 x12 + 2a12 x1 x2 + + 2a1n x1 xn +
2 a22 x2 + 2a23 x2 x3 + + 2a2 n x2 xn + + 2 a n −1 , n −1 x n − 1 + 2a n − 1 , n x n − 1 x n + 2 ann xn
a1n a2 n ann
(n 元)二次型
一一对应
(n 阶)对称矩阵
7
二次型及其矩阵表示
则f = X T AX 二次型的矩阵表示
a11 a12 a1n x1 a21 a22 a2 n x2 f ( x1 , x2 ,, xn ) = ( x1 , x2 ,, xn ) a a a x n1 n 2 nn n
第五章 二次型
5
二次型及其矩阵表示
f ( x1 , x2 ,, xn ) = x1 (a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn ) + x2 (a21 x1 + a22 x2 + + a2 n xn ) + + xn (an1 x1 + an 2 x2 + + ann xn )
i =1 j =1 n n
也即 f = X T AX 经过可逆线性变换 X = CY 化成
2 2 2 f = d1 y1 + d 2 y2 + + d n yn
一、二次型定义
一个系数在数域P中的 含有n个变量 定义1 x1 , x2 ,, xn 的二次齐次多项式
f ( x1 , x2 ,, xn ) = a11 x12 + 2a12 x1 x2 + + 2a1n x1 xn +
2 a22 x2 + 2a23 x2 x3 + + 2a2 n x2 xn + + 2 a n −1 , n −1 x n − 1 + 2a n − 1 , n x n − 1 x n + 2 ann xn
a1n a2 n ann
(n 元)二次型
一一对应
(n 阶)对称矩阵
7
二次型及其矩阵表示
则f = X T AX 二次型的矩阵表示
a11 a12 a1n x1 a21 a22 a2 n x2 f ( x1 , x2 ,, xn ) = ( x1 , x2 ,, xn ) a a a x n1 n 2 nn n
第五章 二次型
5
二次型及其矩阵表示
f ( x1 , x2 ,, xn ) = x1 (a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn ) + x2 (a21 x1 + a22 x2 + + a2 n xn ) + + xn (an1 x1 + an 2 x2 + + ann xn )
i =1 j =1 n n
也即 f = X T AX 经过可逆线性变换 X = CY 化成
2 2 2 f = d1 y1 + d 2 y2 + + d n yn
第四节_二次型及其矩阵表示
2. 二次型的矩阵：二次型与对称矩阵一一对应 3.可逆线性替换与二次型：矩阵的合同
18
21．试证：若A 是n 阶方阵，n 是奇数，且满足 T A A E, A 1, 则 E A 0 . 证：
E A AAT A A AT E
A A E A E 1 E A
n
∵ n 是奇数，故有
EA EA
E A 0.
19
23． 设A为n 阶方阵，Ak O (k 2的正数 ),
求: E A . k 解： A O ,
1
Ak E k E k E E k Ak
1
E A E A A2 Ak 1
R( A) R( A) 2 3
方程组有无穷多解，
x1 1 (x3 为自由未知量) 其一般解为 x2 1 x3
23
⒈ 若C 可逆，则称线性替换 ⑴为可逆线性替换 (或非退化线性替换) ,简称为可逆替换. ⒉ 若矩阵C 是正交矩阵，则称⑴为正交线性替 换，简称为正交替换.
11
定理: 可逆线性替换将二次型变成二次型.
T f ( x , x , , x ) X AX , 证： 设二次型 1 2 n
X CY 为可逆替换，则有
6
如
3 A 2 0
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) x1 2 x2 3 x1 x2 7 x2 x3 3 2 x1 x1 x2 0 x1 x3 2 3 7 2 x1 x2 2 x2 x2 x3 2 2 7 2 0 x1 x3 x2 x3 0 x3 3 2 0 1
f ( x1 , x2 ,, xn ) X AX
18
21．试证：若A 是n 阶方阵，n 是奇数，且满足 T A A E, A 1, 则 E A 0 . 证：
E A AAT A A AT E
A A E A E 1 E A
n
∵ n 是奇数，故有
EA EA
E A 0.
19
23． 设A为n 阶方阵，Ak O (k 2的正数 ),
求: E A . k 解： A O ,
1
Ak E k E k E E k Ak
1
E A E A A2 Ak 1
R( A) R( A) 2 3
方程组有无穷多解，
x1 1 (x3 为自由未知量) 其一般解为 x2 1 x3
23
⒈ 若C 可逆，则称线性替换 ⑴为可逆线性替换 (或非退化线性替换) ,简称为可逆替换. ⒉ 若矩阵C 是正交矩阵，则称⑴为正交线性替 换，简称为正交替换.
11
定理: 可逆线性替换将二次型变成二次型.
T f ( x , x , , x ) X AX , 证： 设二次型 1 2 n
X CY 为可逆替换，则有
6
如
3 A 2 0
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) x1 2 x2 3 x1 x2 7 x2 x3 3 2 x1 x1 x2 0 x1 x3 2 3 7 2 x1 x2 2 x2 x2 x3 2 2 7 2 0 x1 x3 x2 x3 0 x3 3 2 0 1
f ( x1 , x2 ,, xn ) X AX
二次型及其矩阵表示
f ( x1, x2 ,L , xn ) a11x12 a12 x1x2 L L a1n x1xn
a21 x2 x1 a22 x22 L a2n x2 xn L L L L L L L L
an1 xn x1 an2 xn x2 L ann xn2
nn
aij xi x j .
基本结论
1、二次型经过线性替换仍为二次型. 2、二次型X´AX经非退化线性替换化为二次型Y´BY
A 与 B合同，即存在可逆阵 C Pnn，使 B CAC.
3、矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性.
§5.1 二次型及其矩阵表示
f ( x1, x2 ,L , xn ) a11x12 2a12 x1x2 L 2a1n x1xn
a22 x22 L L L 2a2n x2 xn
a33 x32 L 2a3n x3 xn
①
Байду номын сангаас
L L L L
ann xn2
称为数域P上的一个n元二次型（Quadratic Form）．
§5.1 二次型及其矩阵表示
)
2 7
4 8
6 5
x2 x3
n
3. xi2
xi x j
i 1
1i jn
n
4. ( xi x)2,
i 1
其中
x
1 n
n i 1
xi .
§5.1 二次型及其矩阵表示
二、非退化线性替换
1、定义 x1, x2 ,L , xn; y1, y2 ,L , yn 是两组文字,
cij P,i, j 1,2,...n
非退化线性替换：
x1 c11 y1 c12 y2 L c1n yn
北京大学数学系《高等代数》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第五章至第六章【圣才出品】
第5章二次型5.1复习笔记一、二次型及其矩阵表示1．二次型定义设P是一数域，一个系数在数域P中的x1，x2，…，x n的二次齐次多项式称为数域P上的一个n元二次型，或简称二次型．2．线性替换与二次型矩阵（1）线性替换定义设x1，…，x n；y1，…，y n是两组文字，系数在数域P中的一组关系式称为由x1，…，x n到y1，…，y n的一个线性代替，或简称线性替换．如果系数行列式，那么线性替换就称为非退化的．（2）二次型的矩阵令由于所以二次型可以写成其中的系数排成一个n×n 矩阵它就称为二次型的矩阵，因为a ij ＝a ji ，i，j＝1，…，n，所以A＝A'二次型的矩阵都是对称的．3．合同矩阵（1）定义数域P 上n×n 矩阵A ，B 称为合同的，如果有数域P 上可逆的n×n 矩阵C ，使B C AC¢=（2）性质①反身性：A＝E'AE ；②对称性：由B＝C'AC 即得A＝（C -1）'BC -1；③传递性：由A 1＝C 1'AC 1和A 2＝C 2'A 1C 2即得经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的．二、标准形1．定义数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和2221122n nd x d x d x +++ 的形式，该形式就称为的一个标准形．注意：二次型的标准型不是唯一的，而与所作的非退化线性替换有关．2．定理在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵．即对于任意一个对称矩阵A 都可以找到一个可逆矩阵C，使C AC ¢成对角矩阵，并且该对角矩阵的值就是对应的标准形式的系数．三、唯一性1．基本概念（1）二次型的秩在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关，二次型矩阵的秩有时就称为二次型的秩．（2）复二次型的规范性设f（x1，x2，…，x n）是一个复系数的二次型．经过一适当的非退化线性替换后，f（x1，x2，…，x n）变成标准形，不妨假定它的标准形是易知r就是f（x1，x2，…，x n）的矩阵的秩．因为复数总可以开平方，我们再作一非退化线性替换（1）就变成称为复二次型f（x1，x2，…，x n）的规范形．结论：任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的．即任一复数的对称矩阵合同于一个形式为的对角矩阵．从而有，两个复数对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等．（3）实二次型的规范形设f（x1，x2，…，x n）是一实系数的二次型，经过某一个非退化线性替换，再适当排列文字的次序，可使f（x1，x2，…，x n）变成标准形其中d i＞0，i＝1，…，r；r是f（x1，x2，…，x n）的矩阵的秩．因为在实数域中，正实数总可以开平方，所以再作一非退化线性替换（4）就变成（6）称为实二次型f（x1，x2，…，x n）的规范形．结论：任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的．2．惯性定理设实二次型f（x1，x2，…，x n）经过非退化线性替换X＝BY化成规范形而经过非退化线性替换X＝CZ也化成规范形则p＝q．另一种表述：实二次型的标准形中系数为正的平方项的个数是唯一确定的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数．3．惯性指数在实二次型f（x1，x2，…，x n）的规范形中，（1）正惯性指数：正平方项的个数p；（2）负惯性指数：负平方项的个数r－p；（3）符号差：p－（r－p）＝2p－r．该定义对于矩阵也是适合的．四、正定二次型1．定义实二次型，f（x1，x2，…，x n）称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数c1，c2，…，c n都有f（c1，c2，…，c n）＞0．2．常用的判别条件（1）n元实二次型f（x1，x2，…，x n）是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于。
§5.1 二次型及其矩阵表示
则二次型可记作 f xT Ax, 其中A为对称矩阵.
6
5.1.3、二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．（参 见P213定理5.1.1）
对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做对称矩阵 A的二次型; 对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩.
第五章 二次齐次函数， 这种函数在物理、统计、规划、极值等问题中 有广泛的应用．二次型与实对称矩阵有紧密的 联系．二次型可以通过对称矩阵表示，对二次 型某些性质的研究可以转化为对相应对称矩阵 的研究．
1
§5.1
二次型及其矩阵表示
5.1.1、二次型及其矩阵表示
定义1 含有n个变量 x1 , x2 ,, xn的二次齐次函数
8
例2 设二次型
试写出二次型f的矩阵.（f为三元二次型）
解：将交叉项xixj的系数除2 即平均分配给 xixj及xjxi,则二次型f的系数矩阵A为
9
太简单 简略讲
例3 将二次型
写成矩阵形式.
解： 是一个四元二次型，先写出二次型的矩阵
10
11
太简单 简略讲
例３ 设
， 试写出以A为矩阵的二次型.
a ij x i x j .
i , j 1
4
n
2．用矩阵表示 2 f a11 x1 a12 x1 x 2 a1n x1 x n 2 a 21 x 2 x1 a 22 x 2 a2n x2 xn 2 a n1 x n x1 a n 2 x n x 2 a nn x n
2
只含有平方项的二次型 2 2 2 f k1 y1 k2 y2 kn yn 称为二次型的标准形（或法式）． 例如
二次型及其矩阵表示
第6章 二次型
6.1 二次型及其矩阵表示 6.2 二次型的标准形 6.3 惯性定理和二次型的正定性 总结 习题课
在上一节中，数域P上的任一二次型，都可经过 适当的非退化线性变换化为标准形。但标准形不唯一。
P148例1与P152例4 问题：能否找到有关标准形的不变量？
6.3.1 惯性定理
一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩． 下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质．
故
ki 0i 1,, n.
推论 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的特征值全为正．
推论1 n元实二次型正定的充分必要条件是， 它的规范形为
f z z z
2 1 2 2
2 n
推论2 n元实二次型正定的充分必要条件是， 它的正惯性指数为n。
6.3.5 正定矩阵
则k1 , , kr中正数的个数与1 , , r中正数的个数
定义6-4：在实二次型的标准形中，正平方项的项数p 称为二次型的正惯性指数；负平方项的项数q=r-p（ r为二次型的秩）称为二次型的负惯性指数；它们的 差p-q=2p-r称为二次型的符号差。 注：类似可以定义实对称矩阵的正惯性指数、 负惯性指数以及符号差。 推论6-1 两二次型可以经过非退化线性变换互相变换 的充要条件是：它们具有相同的秩和正惯性指数。 推论6-2 两个实对称矩阵合同的充要条件是： 它们具有相同的秩和正惯性指数。
(4) f的矩阵A的的顺序主子式 Di 满足 (1)i Di 0(i 1, 2,, n) 即，奇数阶顺序主子式小于0， 偶数阶顺序主子式大于0，
6.1 二次型及其矩阵表示 6.2 二次型的标准形 6.3 惯性定理和二次型的正定性 总结 习题课
在上一节中，数域P上的任一二次型，都可经过 适当的非退化线性变换化为标准形。但标准形不唯一。
P148例1与P152例4 问题：能否找到有关标准形的不变量？
6.3.1 惯性定理
一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩． 下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质．
故
ki 0i 1,, n.
推论 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的特征值全为正．
推论1 n元实二次型正定的充分必要条件是， 它的规范形为
f z z z
2 1 2 2
2 n
推论2 n元实二次型正定的充分必要条件是， 它的正惯性指数为n。
6.3.5 正定矩阵
则k1 , , kr中正数的个数与1 , , r中正数的个数
定义6-4：在实二次型的标准形中，正平方项的项数p 称为二次型的正惯性指数；负平方项的项数q=r-p（ r为二次型的秩）称为二次型的负惯性指数；它们的 差p-q=2p-r称为二次型的符号差。 注：类似可以定义实对称矩阵的正惯性指数、 负惯性指数以及符号差。 推论6-1 两二次型可以经过非退化线性变换互相变换 的充要条件是：它们具有相同的秩和正惯性指数。 推论6-2 两个实对称矩阵合同的充要条件是： 它们具有相同的秩和正惯性指数。
(4) f的矩阵A的的顺序主子式 Di 满足 (1)i Di 0(i 1, 2,, n) 即，奇数阶顺序主子式小于0， 偶数阶顺序主子式大于0，
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来曲线的性质，如：对圆 x21 + x22 = 1，令
( ) ( )( )
x1 = 1 0 y1 ,
x2
0 0 y2
得 y21 = 1 为两直线.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
把方程 (1) 化成标准方程. 在二次曲面的研究中也有.... .... .... . .
. .. . . ..
二次型的代数观点
(1) 的左端是一个二次齐次多项式. 从代数的观点看，所谓化标 准方程就是用变量的线性替换 (2) 化简一个二次齐次多项式，使 它只含有平方项. 二次齐次多项式不但在几何中出现，而且在数 学的其它分支以及物理、力学中也常常会碰到. 这一章就是来介 绍它的一些基本性质.
二次型的几何背景
在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心 二次曲线的一般方程是
ax2 + 2bxy + cy2 = f
(1)
为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角 度 θ，作转抽 (反时针方向转轴)
x = x′ cos θ − y′ sin θ,
(2) y = x′ sin θ + y′ cos θ,
X = CY
称为变量 x1, x2, · · · , xn 到变量 y1, y2, · · · , yn 的一个非退化线性 替换.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
非退化线性替换
n 元二次型 X′AX 经过非退化线性替换 X = CY 变成
. .. . . ..
矩阵的合同
定义 数域 P 上两个 n 级矩阵 A 与 B，如果存在数域 P 上的一个可 逆矩阵 C，使得
C′AC = B 则称 A 与 B 合同，记作 A ∼= B.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
二次型的矩阵表示
令
X = xx...12 ,
(6)
xn
则二次型 f(x1, x2, · · · , xn) 可以写成
f(x1, x2, · · · , xn) = X′AX
A2 = (C1C2)′A(C1C2)
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
矩阵的合同
因之，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩 阵是合同的. 这样，我们就把二次型的变换通过矩阵表示出来， 为以下的讨论提供了有利的工具.
是非退化时，由上面的关系即得
Y = C−1X
这也是一个线性替换，它把所得的二次型还原. 这样就使我们从 所得二次型的性质可以推知原来二次型的一些性质.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
非退化线性替换的几何意义
另一方面，若不可逆线性替换，则由变换后的曲线性质看不出原
. .. . . ..
二次型的概念
例 x21 + x1x2 + 3x1x3 + 2x22 + 4x2x3 + 3x23; x2 + 4y2 + z2 − 4xy − 8xz − 4yz; x2 − y2; x1x2 + x1x3 − 3x2x3.
都是有理数域上的二次型.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
矩阵的合同
定义 数域 P 上两个 n 级矩阵 A 与 B，如果存在数域 P 上的一个可 逆矩阵 C，使得
C′AC = B 则称 A 与 B 合同，记作 A ∼= B.
合同是矩阵之间的一个关系，不难看出，合同关系具有 1 反身性：A = E′AE； 2 对称性：由 B = C′AC 即得 A = (C−1)′BC−1； 3 传递性：由 A1 = C′1AC1 和 A2 = C′2A1C2 即得
其中 A 是二次型 f(x1, x2, · · · , xn) 的矩阵.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
非退化线性替换
令
Y = yy...12
yn
设 C 是数域 P 上的一个 n 级可逆矩阵，下述关系式
+········· + annx2n
(3)
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
二次型的概念
(3) 式也可以写成
f(x1, x2, · · · , xn) = a11x21 + a12x1x2 + a13x1x3 + · · · + a1nx1xn + a21x2x1 + a22x22 + a23x2x3 + · · · + a2nx2xn
+·········
+ an1xnx1 + an2xnx2 + an3xnx3 + · · · + annx2n
∑n ∑n
=
aijxixj
i=1 j=1
(4)
其中 aji = aij, 1 ≤ i, j ≤ n.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
矩阵的合同
定义 数域 P 上两个 n 级矩阵 A 与 B，如果存在数域 P 上的一个可 逆矩阵 C，使得
C′AC = B 则称 A 与 B 合同，记作 A ∼= B.
合同是矩阵之间的一个关系，不难看出，合同关系具有 1 反身性：A = E′AE； 2 对称性：由 B = C′AC 即得 A = (C−1)′BC−1；
. .. . . ..
二次型的等价
定义 数域 P 上两个 n 元二次型 X′AX 与 Y′BY，如果存在一个非退 化线性替换 X = CY，把 X′AX 变成 Y′BY，则称二次型 X′AX 与 Y′BY 等价，记作 X′AX ∼= Y′BY.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
(CY)′A(CY) = Y′C′ACY
(7)
记 B = C′AC，则 (7) 可写成 Y′BY，这是变量 y1, y2, · · · , yn 的 一个二次型. 由于
B′ = (C′AC)′ = C′A′(C′)′ = C′AC
因此 B 也是对称矩阵. 于是二次型 Y′BY 的矩阵正好是 B.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
非退化线性替换的几何意义
最后指出，在变换二次型时，我们总是要求所作的线性替换是非 退化的. 从几何上看，这一点是自然的，因为坐标变换一定是非 退化的. 一般地，当线性替换
X = CY
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
二次型的概念
定义 系数在数域 P 中的 n 个变量 x1, x2, · · · , xn 的一个二次齐次多项 式，称为数域 P 上的一个 n 元二次型，它的一般形式是
f(x1, x2, · · · , xn) = a11x21 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + · · · + 2a1nx1xn + a22x22 + 2a23x2x3 + · · · + 2a2nx2xn
矩阵的合同
定义 数域 P 上两个 n 级矩阵 A 与 B，如果存在数域 P 上的一个可 逆矩阵 C，使得
C′AC = B 则称 A 与 B 合同，记作 A ∼= B.
合同是矩阵之间的一个关系，不难看出，合同关系具有 1 反身性：A = E′AE；
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
二次型的矩阵表示
把 (4) 中的系数排成一个 n 级矩阵 A(注意 aji = aij)
A = aa11... 12
a12
a22 ...
a13
a23 ...
··· ···
a1n
a2n ...
(5)
a1n a2n a3n · · · ann
把 A 称为二次型 f(x1, x2, · · · , xn) 的矩阵. 它是对称矩阵. 显然， 二次型 f(x1, x2, · · · , xn) 的矩阵是惟一的；它的主对角元依次是 x21, x22, · · · , x2n 的系数，它的 (i, j)-元是 xixj 的系数的一半，其中 i ̸= j.