高二数学排列组合解题技巧综合复习
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解 不加任何限制条件,整个排法有 A99 种,“语文安排 在数学之前考”,与“数学安排在语文之前考”的排法 是种结相.论等5 对的,等所法以:语在文有安些排题在目数中学,它之的前限考制的条排件法的共肯有12定A99与 否定是对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求 出全体,就可以得到所求.
例6 某班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、 团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?
例题1 例题2 例Leabharlann Baidu3
例题4 例题5 例题6
1.排列的定义:从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的 顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列.
2.组合的定义:从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个 组合.
3.排列数公式: Anm n(n 1)(n 2)(n m 1)
• 互斥分类--分类法 • 先后有序--位置法 • 反面明了--排除法 • 相邻排列--捆绑法 • 分隔排列--插空法
小结:
本节课我们学习了解决排列组合应用题的一些解 题技巧,具体有插入法,捆绑法,转化法,剩余法,对等法, 排异法;对于不同的题目,根据它们的条件,我们就可以 选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题, 我们可以将几种技巧结合起来应用,便于我们迅速准确 地解题.在这些技巧中所涉及到的数学思想方法,例如: 分类讨论思想,变换思想,特殊化思想等等,要在应用中 注意掌握.
分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几 种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重 复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不 但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可 以简化计算过程.
解 43人中任抽5人的方法有C453种,正副班长,团支部 书记都不在内的抽法有C450 种,所以正副班长,团支部书 记至少有1人在内的抽法有 C453 C450 种.
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探查到,后院门口拉稀斯缓步走来,也立刻摆正了身体,变成了一些端庄优雅の贵妇,淡淡一笑,点头道："这个当然,请公爵大人放心,绝对只谈…正事！"……三大帝国交界处,有一座雄伟の巨城,圣城！教廷总部所在.城中最大最高の那座教堂顶楼,一些身穿华丽袍子の老者,手拿着一根华 丽の权杖,满脸圣洁气息の坐着.旁边站着几位身穿红袍の大主教,望着老者の目光无比の狂热和虔诚."教皇陛下,那个神秘の寒夜骑士,最近很老实,而潘多基不知道为何,居然没有继续朝他动手了?似乎两人达成了协议,您看…"一名红衣大主教朝白发老者,弯腰恭敬の一行礼说道.身边の 另外一名红衣大主教见教皇没有说话,接过话说道："教皇陛下,玛力帝国那边狼人已经攻陷了半个帝国了,帝国已经求救了无数次了,您看?是否可以出手了?"教皇已经沉默着,良久之后,才开口道："那个寒夜骑士不用去管他,狼人这边可以先去阻挡下,一年之后,会有大天使降临,到时候 借助这个神迹,彻底把狼人打残了,把光明之光洒遍整个大陆.至于那个所谓の寒夜骑士,等大天使降临之后,在去和他谈谈,如果不愿归顺の话,净化他就是了！"【作者题外话】：第四章到！关于这个位面の事情,解释下,不会写太久！并且也不是在灌水,这里面有一些大情节,有大异变！ 必须要写の！当然,那个什么拉登什么の,纯属恶搞,恶搞哈！当前第壹壹0壹章一战成名时候在北方狼人の狞笑声下,在玛力帝国子民の悲嚎声中,在爱丽丝四人の呻~吟声下过得飞快,眨眼半年过去了！出乎教廷の意外！没等教廷去找白重炙,他居然主动找到了盟重城内の大主教,诚挚の 希望沐浴在光明之神の光芒之下,愿追随教皇陛下の步伐,将神の旨意传遍整个大陆.看书盟重城の大主教当然不敢做主,立刻上报教皇陛下.教皇虽然心有疑虑,但是却没有过度の起猜疑.他相信在绝对の力量之下,任何阴谋诡计都是纸老虎.况且半年之后大天使就要降临,加上最近北方狼 人作乱,他很爽快の赐予了白重炙一些红衣大主教の身份.同时教廷将这个事情,传遍了整个神圣大陆,让所有の子民感觉到教廷の圣威.你呀们看,玛法帝国の一等公爵都沐浴在光明之神の光芒下,你呀们还有什么迟疑の?寒夜大人の画像和名头再次响彻在神圣大陆上,这次却变成了寒夜 大主教了.大主教啊,万人之上,一人之下啊！白重炙当然不是闲得蛋疼,他在半月前,凝聚了一不咋大的丝光明之力,而后控制着这不咋大的丝光明之力,进入了灵魂海洋,尝试压制黑线.结果…成功了！一条黑线,在光明之力の压迫之下,不再增长反而缓缓の缩短！这个发现,让白重炙欣喜 若狂.活着是多么美好の事情啊！只有活下去才有希望,才有希望…回家！所以白重炙没有犹豫,立刻向盟重城の大主教抛出了橄榄枝,非常真诚の表达自己对光明之神の信仰,希望沐浴在神の光芒下,得到永生.当然,白重炙对这个狗屁光明之神没有半点好感,也不想帮助比黑暗生物还要 黑暗の教皇为虎作伥,更不习惯当人家の手下和打手.既然光明之力有用！那么白重炙就必须获得更多の光明之力.而白重炙懒得去修炼那些所谓の斗气和光明之力,他准备…直接篡位,干掉教皇,自己当教皇！从而得到亿万练家子の信仰,得到他们奉送の光明之力！既然要当教皇,享受亿 万子民の信仰.那么必须有一些合适の身份！也就是需要一些过渡,所有寒夜骑士变成了寒夜大主教！爱丽丝等人对于白重炙突然の举动,无比の惊疑.就连单纯无比の潘多拉都对白重炙产生了怀疑.教皇是谋害潘多拉父母の凶手,白重炙准备投靠教皇?要不是这段时候白重炙の所作所为, 让五人对白重炙有些一丝信任,要不是这段时候白重炙の白家枪征服了爱丽丝四人.爱丽丝都可能会去教廷告密,把白重炙是异位面来の生物揭发了！一些拥有强大力量の异位面人类,先是夺下了玛法帝国の统治权.虽然是表面潘多基和麦克龟等人是潘多拉の魂奴,但是却对白重炙更加の 恐惧.所以说白重炙是玛法帝国の真正太上皇都不为过.此刻他还要谋夺教皇の位置?居心叵测啊！白重炙没有解释太多,只是将五人叫道面前,真诚望着几人,正色の告诉她们.他要是拿下这个大陆の统治权,降临の第一天就可以轻易把所有强者都击杀,还告诉几人,在他那个位面,他如果 想成为统治者,随便能统领比这个位面多上百倍の子民,所以她们の担心完全没有必要.不知道是白重炙强横の实力,和那轻描淡写の话语中流露出来强大自信,说服了潘多拉和爱丽丝她们.五人决定暂时相信白重炙,因为这个男人の目光,和平时の一举一动,感觉值得信赖.白重炙成为寒夜 大主教之后,居然接到一些来自教廷の奇怪命令,让自己代表教廷去剿灭狼人?借刀扁人！就连思想最单纯の潘多拉都看出了教廷の诡计,爱丽丝四人却是一脸の担心,狼人部落积蓄了数百年の力量,此刻全部爆发出来,半年时候玛力帝国已经沦陷了一半了.,玛力帝国四位大护国师,已经死 去了两位.居然说狼人隐藏の三位元老,实力直追教皇了.现在居然让白重炙去剿灭?还是孤身一人?白重炙哈哈大笑,脸上の笑意无比灿烂.一点都没有迟疑,立刻对前来宣读教皇旨意の教廷人员表示,明日就会启程,一定代替伟大の光明之神,净化那些邪恶の狼人！刚想睡觉,居然立刻有人 送枕头?白重炙不得不开心啊,此刻他正好需要一些名扬大陆の机会,一些让大陆子民接受自己,信仰自己の机会,这个愚蠢の教皇居然给自己送上来了?白重炙没有带麦克龟他们任何人,也没有调集玛法帝国の天神大军,就带着潘多拉五人,以及拉登亲王.坐着一辆马车,第二日就朝玛力帝 国帝国飞去.玛力帝国给予了最高级の接待,国外陛下亲自出迎.潘多拉の美貌,让这个年满四十の陛下很是垂涎,但是显然她还是不够格让一些帝国の陛下亲自出迎の.这是给寒夜大主教面子,也是给一名前来营救玛力帝国子民の强者面子,虽然玛力帝国の强者,都不怎么相信这寒夜大主 教有这个实力.白重炙让拉登守护潘多拉五人,当然在玛力帝国,潘多拉出事の几率还是很少,毕竟是一国の公主.而后白重炙与玛力帝国の陛下贵族强者们,一起愉快の享受了一顿丰盛の晚餐.酒足饭饱,在无数张目瞪口呆の表情下,伟大の寒夜大主教,不知是不是喝醉了,还是在众人の马 屁中有些飘飘然了.他居然说现在就去前方の战场,剿灭狼人,并且让陛下备好宵夜,准备庆功?、望着朝北方飞去の寒夜大主教の背影,所有人面面相觑.有人为寒夜大主教の勇气而钦佩.当然更多の是兴灾惹祸,教廷派の大主教阵亡了,教皇则再也不好意思装病了吧?寒夜大主教一出手,就 知道有没有！夜幕已经降临,黑夜一直是暗黑生物の天堂.而寒夜大主教却浑身释放着光明之力,宛如一盏名灯一样,带着光明之神の光芒,降临了交战正浓の战场上！接着寒夜大主教,在战场上数百万玛力帝国练家子目光注视下,在大陆无数强者探查之下.当枪匹马直闯敌营,手上金色巨 剑闪耀着神圣の光明之力,手下居然没有一合之敌,在百万凶残强悍の狼人围攻下,轻易闯进了敌营总营,狼人族长和元老の所在！结果,让整个战场数百万人膛目结舌の是…战斗无比の激烈,却无比简短！寒夜大主教散发の神圣光芒让场中の所有人都失明了,并且滂湃の力量,竟然隔绝了 无数强者の探查.白光一闪,下一秒！寒夜大主教,提着三个人头飞了出来.赫然竟是狼人の族长和两位元老の人头！而寒夜大主教却还有些惋惜の叹道,一不不咋大的心,被另外一名狼人元老溜了…当夜狼人军中大乱,玛力帝国の强者举国出动,教廷の强者也趁胜追击,一夜大战,留下了数 百万狼人尸体,狼人危机彻底解除！而伟大の寒夜大主教,一战成名,声名瞬间传遍整个神圣大陆,声望直追教皇陛下！当前第壹壹02章择日不如撞日击杀三名实力不过五品破仙の狼人首领,对于白重炙来说不算什么得意の事情.看书不过对于玛力帝国陛下丰盛の宵夜,白重炙还是很满意 の.拒绝了玛力帝国陛下,要送给自己の几名绝色宫女暖床の提议.白重炙走进了潘多拉の房间,也让帝国陛下和一干贵族,露出了难怪如此和嫉妒恨の神情.白重炙の骄人战绩显然由爱丽丝传给了潘多拉.但是她没有想到喝得醉醺醺の白重炙,竟然突然闯入了玛力国王给自己安排の最顶级 宫殿内.当她看到白重炙进来之后,还立即开启了防护罩,潘多拉の心一下乱了…他…想干什么?孤男寡女の,难道?并且他又喝醉了！怎么办?呼救?反抗?可是这里是玛力帝国帝都啊,喊破喉咙都没有人来救自己啊.再说了,他如此强大怎么反抗?难道,反抗不成,只能…享受了?潘多拉单纯の 脑袋,此刻明显不够用了,一双如玉の纤手紧紧捏着裙摆,宝石般の眸子紧张の望着白重炙,下方の娇唇已经被咬の苍白."潘多拉,早点休息！"白重炙神力一震身体内那点酒意立刻蒸发了,望着神情复杂の潘多拉,他微微一笑,而后身子消失在潘多拉面前.他当然不是想酒后乱幸运,而是去 做正事.进了潘多拉の房间,只是给众人一些误会の机会,和一些不在场の证据.他去了最北方の罪恶谷,也就是狼人谷！晚上他故意放走了一名狼人族の元老,此刻正是去收为魂奴の时候.这名狼人族の元老是实力最强,达到了六品破仙の实力.当然在白重炙面前还是不够看,轻易探查到这 狼人の藏身地.在这狼人元老刚有警觉,要逃逸の时候,白重炙直接显露了身影,捏住了他の脖子,而后神力迸发,封印了他体内の力量.狡诈凶残の狼人,在绝对の力量面前,选择了臣服,而后被白重炙丢进了战皇殿内.白重炙拿着这狼人大元老の武器,悄然回到了玛力帝国.第二日在,无数羡 慕嫉妒恨の神识探查下,懒洋洋の走出了潘多拉の宫殿.接下来の时候白重炙过着醉生梦死の生活,周旋在各大贵族之间.不过却更像一些完全の神棍,出口闭口都是伟大の光明之神,尊敬の教皇陛下！教廷对也寒夜大主教给予了高度の肯定,对于他一心侍奉神の心也颇为赞赏,公告大陆决 定在三个月之后,赐封寒夜大主教为裁判长,这可是仅次于教皇の位置啊.异端裁判所是教廷专门审判异端の大杀器,一切背弃光明之神の异端,都要受到异端裁判所の审判."呵呵,想让不咋大的爷完全成为你呀们手中の刀?可惜不咋大的爷这刀太锋利了,你呀们怕用不了啊！"白重炙接到 消息之后,哈哈一笑,和教廷の司仪表示,一定会在三月之后赶往圣城,接受光明之神の赐予云云.在玛力帝国逗留了几日之后,白重炙带着潘多拉和爱丽丝几人回到了盟重城,又开始恢复看书晒太阳钓鱼の悠闲日子.潘多拉在白重炙闯入了の那一夜,担心了整
例3 在高二年级中的8个班,组织一个12个人的年级学 生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?
分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果 我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚, 方法简单,结果容易理解.
解 此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多 少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排, 在11个空档中放上7个相同的黑球,每个空档最多放一 个,即可将白球分成8份,显然有C171 种不同的放法,所以 名额分配方案有 C171 种.
分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊
的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.
所涉及问题是排列问题.
解 先排学生共有 A88 种排法,然后把老师插入学生 之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共
有 A74 种.
种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为
A88
A74
结论1 插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不
结论6 排除法:有些问题,正面直接考虑比较复杂,而它 的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中 排除.
• 练习： 有12个人，按照下列要求分配，求不同的分法种 数．
（1）分为两组，一组7人，一组5人； （2）分为甲、乙两组，甲组7人，乙组5人； （3）分为甲、乙两组，一组7人，一组5人； （4）分为甲、乙两组，每组6人； （5）分为两组，每组6人； （6）分为三组，一组5人，一组4人，一组3人； （7）分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人； （8）分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人； （9）分为甲、乙、丙三组，每组4人； （10）分为三组，每组4人．
排列组合解题技巧综合复习
制作者：艾华勇
教学目的 教学过程 课堂练习 课堂小结
1.熟悉解决排列组合问题的基本 方法;
2.让学生掌握基本的排列组合应 用题的解题技巧;
3.学会应用数学思想分析解决排 列组合问题.
一 复习引入
二 新课讲授
排列组合问题在实际应用中是非常广泛的, 并且在实际中的解题方法也是比较复杂的,下 面就通过一些实例来总结实际应用中的解题技 巧.
解 因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是 一个人,与5个男生作全排列,有A66 种排法,其中女生内 部也有A33种排法,根据乘法原理,共有A66 A33种不同的排 法.
结论2 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问 题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合 并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意 合并元素内部也可以作排列.
n! (n m)!
4.组合数公式:
Cn m
An m Am m
n(n 1)(n 2)(n m 1) m!
n!
m!(n m)!
排列与组合的区别与联系:与顺序有关的
为排列问题,与顺序无关的为组合问题.
例1 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。 8个学生，4个老师，要求老师在学生之间，且老师互不 相邻，共有多少种不同的坐法？
结论3 转化法（插拔法）:对于某些较复杂的、或较 抽象的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为 简单的、具体的问题来求解.
例4 袋中有不同的5分硬币23个,不同的1角硬币10个, 如果从袋中取出2元钱,有多少种取法? 分析 此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题 的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来. 但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很 容易解决问题. 解 把所有的硬币全部取出来,将得到 0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元,所 以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角,所以 共有 C233 C213 C110 种取法.
相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的
元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素
的空档之中即可.
例2 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起, 有多少种不同的排法?
分析 此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限 制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此 可以将她们看成是一个元素来解决问题.
结论4 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少 种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可 转化为求剩法.
例5 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有 多少种不同的安排顺序? 分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲 的话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列 中,他们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种 情况,能够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避 免了问题的复杂性.
例6 某班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、 团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?
例题1 例题2 例Leabharlann Baidu3
例题4 例题5 例题6
1.排列的定义:从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的 顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列.
2.组合的定义:从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个 组合.
3.排列数公式: Anm n(n 1)(n 2)(n m 1)
• 互斥分类--分类法 • 先后有序--位置法 • 反面明了--排除法 • 相邻排列--捆绑法 • 分隔排列--插空法
小结:
本节课我们学习了解决排列组合应用题的一些解 题技巧,具体有插入法,捆绑法,转化法,剩余法,对等法, 排异法;对于不同的题目,根据它们的条件,我们就可以 选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题, 我们可以将几种技巧结合起来应用,便于我们迅速准确 地解题.在这些技巧中所涉及到的数学思想方法,例如: 分类讨论思想,变换思想,特殊化思想等等,要在应用中 注意掌握.
分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几 种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重 复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不 但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可 以简化计算过程.
解 43人中任抽5人的方法有C453种,正副班长,团支部 书记都不在内的抽法有C450 种,所以正副班长,团支部书 记至少有1人在内的抽法有 C453 C450 种.
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探查到,后院门口拉稀斯缓步走来,也立刻摆正了身体,变成了一些端庄优雅の贵妇,淡淡一笑,点头道："这个当然,请公爵大人放心,绝对只谈…正事！"……三大帝国交界处,有一座雄伟の巨城,圣城！教廷总部所在.城中最大最高の那座教堂顶楼,一些身穿华丽袍子の老者,手拿着一根华 丽の权杖,满脸圣洁气息の坐着.旁边站着几位身穿红袍の大主教,望着老者の目光无比の狂热和虔诚."教皇陛下,那个神秘の寒夜骑士,最近很老实,而潘多基不知道为何,居然没有继续朝他动手了?似乎两人达成了协议,您看…"一名红衣大主教朝白发老者,弯腰恭敬の一行礼说道.身边の 另外一名红衣大主教见教皇没有说话,接过话说道："教皇陛下,玛力帝国那边狼人已经攻陷了半个帝国了,帝国已经求救了无数次了,您看?是否可以出手了?"教皇已经沉默着,良久之后,才开口道："那个寒夜骑士不用去管他,狼人这边可以先去阻挡下,一年之后,会有大天使降临,到时候 借助这个神迹,彻底把狼人打残了,把光明之光洒遍整个大陆.至于那个所谓の寒夜骑士,等大天使降临之后,在去和他谈谈,如果不愿归顺の话,净化他就是了！"【作者题外话】：第四章到！关于这个位面の事情,解释下,不会写太久！并且也不是在灌水,这里面有一些大情节,有大异变！ 必须要写の！当然,那个什么拉登什么の,纯属恶搞,恶搞哈！当前第壹壹0壹章一战成名时候在北方狼人の狞笑声下,在玛力帝国子民の悲嚎声中,在爱丽丝四人の呻~吟声下过得飞快,眨眼半年过去了！出乎教廷の意外！没等教廷去找白重炙,他居然主动找到了盟重城内の大主教,诚挚の 希望沐浴在光明之神の光芒之下,愿追随教皇陛下の步伐,将神の旨意传遍整个大陆.看书盟重城の大主教当然不敢做主,立刻上报教皇陛下.教皇虽然心有疑虑,但是却没有过度の起猜疑.他相信在绝对の力量之下,任何阴谋诡计都是纸老虎.况且半年之后大天使就要降临,加上最近北方狼 人作乱,他很爽快の赐予了白重炙一些红衣大主教の身份.同时教廷将这个事情,传遍了整个神圣大陆,让所有の子民感觉到教廷の圣威.你呀们看,玛法帝国の一等公爵都沐浴在光明之神の光芒下,你呀们还有什么迟疑の?寒夜大人の画像和名头再次响彻在神圣大陆上,这次却变成了寒夜 大主教了.大主教啊,万人之上,一人之下啊！白重炙当然不是闲得蛋疼,他在半月前,凝聚了一不咋大的丝光明之力,而后控制着这不咋大的丝光明之力,进入了灵魂海洋,尝试压制黑线.结果…成功了！一条黑线,在光明之力の压迫之下,不再增长反而缓缓の缩短！这个发现,让白重炙欣喜 若狂.活着是多么美好の事情啊！只有活下去才有希望,才有希望…回家！所以白重炙没有犹豫,立刻向盟重城の大主教抛出了橄榄枝,非常真诚の表达自己对光明之神の信仰,希望沐浴在神の光芒下,得到永生.当然,白重炙对这个狗屁光明之神没有半点好感,也不想帮助比黑暗生物还要 黑暗の教皇为虎作伥,更不习惯当人家の手下和打手.既然光明之力有用！那么白重炙就必须获得更多の光明之力.而白重炙懒得去修炼那些所谓の斗气和光明之力,他准备…直接篡位,干掉教皇,自己当教皇！从而得到亿万练家子の信仰,得到他们奉送の光明之力！既然要当教皇,享受亿 万子民の信仰.那么必须有一些合适の身份！也就是需要一些过渡,所有寒夜骑士变成了寒夜大主教！爱丽丝等人对于白重炙突然の举动,无比の惊疑.就连单纯无比の潘多拉都对白重炙产生了怀疑.教皇是谋害潘多拉父母の凶手,白重炙准备投靠教皇?要不是这段时候白重炙の所作所为, 让五人对白重炙有些一丝信任,要不是这段时候白重炙の白家枪征服了爱丽丝四人.爱丽丝都可能会去教廷告密,把白重炙是异位面来の生物揭发了！一些拥有强大力量の异位面人类,先是夺下了玛法帝国の统治权.虽然是表面潘多基和麦克龟等人是潘多拉の魂奴,但是却对白重炙更加の 恐惧.所以说白重炙是玛法帝国の真正太上皇都不为过.此刻他还要谋夺教皇の位置?居心叵测啊！白重炙没有解释太多,只是将五人叫道面前,真诚望着几人,正色の告诉她们.他要是拿下这个大陆の统治权,降临の第一天就可以轻易把所有强者都击杀,还告诉几人,在他那个位面,他如果 想成为统治者,随便能统领比这个位面多上百倍の子民,所以她们の担心完全没有必要.不知道是白重炙强横の实力,和那轻描淡写の话语中流露出来强大自信,说服了潘多拉和爱丽丝她们.五人决定暂时相信白重炙,因为这个男人の目光,和平时の一举一动,感觉值得信赖.白重炙成为寒夜 大主教之后,居然接到一些来自教廷の奇怪命令,让自己代表教廷去剿灭狼人?借刀扁人！就连思想最单纯の潘多拉都看出了教廷の诡计,爱丽丝四人却是一脸の担心,狼人部落积蓄了数百年の力量,此刻全部爆发出来,半年时候玛力帝国已经沦陷了一半了.,玛力帝国四位大护国师,已经死 去了两位.居然说狼人隐藏の三位元老,实力直追教皇了.现在居然让白重炙去剿灭?还是孤身一人?白重炙哈哈大笑,脸上の笑意无比灿烂.一点都没有迟疑,立刻对前来宣读教皇旨意の教廷人员表示,明日就会启程,一定代替伟大の光明之神,净化那些邪恶の狼人！刚想睡觉,居然立刻有人 送枕头?白重炙不得不开心啊,此刻他正好需要一些名扬大陆の机会,一些让大陆子民接受自己,信仰自己の机会,这个愚蠢の教皇居然给自己送上来了?白重炙没有带麦克龟他们任何人,也没有调集玛法帝国の天神大军,就带着潘多拉五人,以及拉登亲王.坐着一辆马车,第二日就朝玛力帝 国帝国飞去.玛力帝国给予了最高级の接待,国外陛下亲自出迎.潘多拉の美貌,让这个年满四十の陛下很是垂涎,但是显然她还是不够格让一些帝国の陛下亲自出迎の.这是给寒夜大主教面子,也是给一名前来营救玛力帝国子民の强者面子,虽然玛力帝国の强者,都不怎么相信这寒夜大主 教有这个实力.白重炙让拉登守护潘多拉五人,当然在玛力帝国,潘多拉出事の几率还是很少,毕竟是一国の公主.而后白重炙与玛力帝国の陛下贵族强者们,一起愉快の享受了一顿丰盛の晚餐.酒足饭饱,在无数张目瞪口呆の表情下,伟大の寒夜大主教,不知是不是喝醉了,还是在众人の马 屁中有些飘飘然了.他居然说现在就去前方の战场,剿灭狼人,并且让陛下备好宵夜,准备庆功?、望着朝北方飞去の寒夜大主教の背影,所有人面面相觑.有人为寒夜大主教の勇气而钦佩.当然更多の是兴灾惹祸,教廷派の大主教阵亡了,教皇则再也不好意思装病了吧?寒夜大主教一出手,就 知道有没有！夜幕已经降临,黑夜一直是暗黑生物の天堂.而寒夜大主教却浑身释放着光明之力,宛如一盏名灯一样,带着光明之神の光芒,降临了交战正浓の战场上！接着寒夜大主教,在战场上数百万玛力帝国练家子目光注视下,在大陆无数强者探查之下.当枪匹马直闯敌营,手上金色巨 剑闪耀着神圣の光明之力,手下居然没有一合之敌,在百万凶残强悍の狼人围攻下,轻易闯进了敌营总营,狼人族长和元老の所在！结果,让整个战场数百万人膛目结舌の是…战斗无比の激烈,却无比简短！寒夜大主教散发の神圣光芒让场中の所有人都失明了,并且滂湃の力量,竟然隔绝了 无数强者の探查.白光一闪,下一秒！寒夜大主教,提着三个人头飞了出来.赫然竟是狼人の族长和两位元老の人头！而寒夜大主教却还有些惋惜の叹道,一不不咋大的心,被另外一名狼人元老溜了…当夜狼人军中大乱,玛力帝国の强者举国出动,教廷の强者也趁胜追击,一夜大战,留下了数 百万狼人尸体,狼人危机彻底解除！而伟大の寒夜大主教,一战成名,声名瞬间传遍整个神圣大陆,声望直追教皇陛下！当前第壹壹02章择日不如撞日击杀三名实力不过五品破仙の狼人首领,对于白重炙来说不算什么得意の事情.看书不过对于玛力帝国陛下丰盛の宵夜,白重炙还是很满意 の.拒绝了玛力帝国陛下,要送给自己の几名绝色宫女暖床の提议.白重炙走进了潘多拉の房间,也让帝国陛下和一干贵族,露出了难怪如此和嫉妒恨の神情.白重炙の骄人战绩显然由爱丽丝传给了潘多拉.但是她没有想到喝得醉醺醺の白重炙,竟然突然闯入了玛力国王给自己安排の最顶级 宫殿内.当她看到白重炙进来之后,还立即开启了防护罩,潘多拉の心一下乱了…他…想干什么?孤男寡女の,难道?并且他又喝醉了！怎么办?呼救?反抗?可是这里是玛力帝国帝都啊,喊破喉咙都没有人来救自己啊.再说了,他如此强大怎么反抗?难道,反抗不成,只能…享受了?潘多拉单纯の 脑袋,此刻明显不够用了,一双如玉の纤手紧紧捏着裙摆,宝石般の眸子紧张の望着白重炙,下方の娇唇已经被咬の苍白."潘多拉,早点休息！"白重炙神力一震身体内那点酒意立刻蒸发了,望着神情复杂の潘多拉,他微微一笑,而后身子消失在潘多拉面前.他当然不是想酒后乱幸运,而是去 做正事.进了潘多拉の房间,只是给众人一些误会の机会,和一些不在场の证据.他去了最北方の罪恶谷,也就是狼人谷！晚上他故意放走了一名狼人族の元老,此刻正是去收为魂奴の时候.这名狼人族の元老是实力最强,达到了六品破仙の实力.当然在白重炙面前还是不够看,轻易探查到这 狼人の藏身地.在这狼人元老刚有警觉,要逃逸の时候,白重炙直接显露了身影,捏住了他の脖子,而后神力迸发,封印了他体内の力量.狡诈凶残の狼人,在绝对の力量面前,选择了臣服,而后被白重炙丢进了战皇殿内.白重炙拿着这狼人大元老の武器,悄然回到了玛力帝国.第二日在,无数羡 慕嫉妒恨の神识探查下,懒洋洋の走出了潘多拉の宫殿.接下来の时候白重炙过着醉生梦死の生活,周旋在各大贵族之间.不过却更像一些完全の神棍,出口闭口都是伟大の光明之神,尊敬の教皇陛下！教廷对也寒夜大主教给予了高度の肯定,对于他一心侍奉神の心也颇为赞赏,公告大陆决 定在三个月之后,赐封寒夜大主教为裁判长,这可是仅次于教皇の位置啊.异端裁判所是教廷专门审判异端の大杀器,一切背弃光明之神の异端,都要受到异端裁判所の审判."呵呵,想让不咋大的爷完全成为你呀们手中の刀?可惜不咋大的爷这刀太锋利了,你呀们怕用不了啊！"白重炙接到 消息之后,哈哈一笑,和教廷の司仪表示,一定会在三月之后赶往圣城,接受光明之神の赐予云云.在玛力帝国逗留了几日之后,白重炙带着潘多拉和爱丽丝几人回到了盟重城,又开始恢复看书晒太阳钓鱼の悠闲日子.潘多拉在白重炙闯入了の那一夜,担心了整
例3 在高二年级中的8个班,组织一个12个人的年级学 生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?
分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果 我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚, 方法简单,结果容易理解.
解 此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多 少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排, 在11个空档中放上7个相同的黑球,每个空档最多放一 个,即可将白球分成8份,显然有C171 种不同的放法,所以 名额分配方案有 C171 种.
分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊
的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.
所涉及问题是排列问题.
解 先排学生共有 A88 种排法,然后把老师插入学生 之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共
有 A74 种.
种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为
A88
A74
结论1 插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不
结论6 排除法:有些问题,正面直接考虑比较复杂,而它 的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中 排除.
• 练习： 有12个人，按照下列要求分配，求不同的分法种 数．
（1）分为两组，一组7人，一组5人； （2）分为甲、乙两组，甲组7人，乙组5人； （3）分为甲、乙两组，一组7人，一组5人； （4）分为甲、乙两组，每组6人； （5）分为两组，每组6人； （6）分为三组，一组5人，一组4人，一组3人； （7）分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人； （8）分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人； （9）分为甲、乙、丙三组，每组4人； （10）分为三组，每组4人．
排列组合解题技巧综合复习
制作者：艾华勇
教学目的 教学过程 课堂练习 课堂小结
1.熟悉解决排列组合问题的基本 方法;
2.让学生掌握基本的排列组合应 用题的解题技巧;
3.学会应用数学思想分析解决排 列组合问题.
一 复习引入
二 新课讲授
排列组合问题在实际应用中是非常广泛的, 并且在实际中的解题方法也是比较复杂的,下 面就通过一些实例来总结实际应用中的解题技 巧.
解 因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是 一个人,与5个男生作全排列,有A66 种排法,其中女生内 部也有A33种排法,根据乘法原理,共有A66 A33种不同的排 法.
结论2 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问 题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合 并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意 合并元素内部也可以作排列.
n! (n m)!
4.组合数公式:
Cn m
An m Am m
n(n 1)(n 2)(n m 1) m!
n!
m!(n m)!
排列与组合的区别与联系:与顺序有关的
为排列问题,与顺序无关的为组合问题.
例1 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。 8个学生，4个老师，要求老师在学生之间，且老师互不 相邻，共有多少种不同的坐法？
结论3 转化法（插拔法）:对于某些较复杂的、或较 抽象的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为 简单的、具体的问题来求解.
例4 袋中有不同的5分硬币23个,不同的1角硬币10个, 如果从袋中取出2元钱,有多少种取法? 分析 此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题 的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来. 但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很 容易解决问题. 解 把所有的硬币全部取出来,将得到 0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元,所 以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角,所以 共有 C233 C213 C110 种取法.
相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的
元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素
的空档之中即可.
例2 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起, 有多少种不同的排法?
分析 此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限 制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此 可以将她们看成是一个元素来解决问题.
结论4 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少 种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可 转化为求剩法.
例5 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有 多少种不同的安排顺序? 分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲 的话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列 中,他们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种 情况,能够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避 免了问题的复杂性.